复数、算法、推理与证明(高一必修3、高二选修1-2)_第3节_合情推理与演绎推理_文科

第3节合情推理与演绎推理

1.下列推理是归纳推理的是( B )

(A)由于f(x)=xcos x满足:f(-x)=-f(x)对任意x∈R都成立,推断f(x)=xcos x 为奇函数

(B)由a1=1,a n=3n-1,求出S1,S2,S3,猜出数列{a n}的前n项和的表达式

(C)由圆x2+y2=1的面积S=πr2,推断:椭圆+=1(a>b>0)的面积S=πab

(D)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质

解析:归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些性质,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,只有B是归纳推理,故选B.

2.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( C )

(A)使用了归纳推理

(B)使用了类比推理

(C)使用了“三段论”,但推理形式错误

(D)使用了“三段论”,但小前提错误

解析:由“三段论”的推理方式可知,该推理的错误原因是推理形式错误.

3.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于( D ) (A)f(x) (B)-f(x) (C)g(x) (D)-g(x)

解析:由已知得偶函数的导函数为奇函数,

故g(-x)=-g(x).

4.(2017·河北衡水中学一调)一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5个伙伴;第二天,6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴;…,如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂( B )

(A)只(B)66只

(C)63只(D)65只

解析:根据题意可知,第一天共有蜜蜂1+5=6(只);第二天共有蜜蜂6+6×5=62(只);第三天共有蜜蜂62+62×5=63(只);…,故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+65×5=66(只),故选B.

5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:

①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;

②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;

③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;

④“t≠0,mt=xt⇒m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p⇒a=x”;

⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”;

⑥“=”类比得到“=”.

以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( B )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:①②正确;③④⑤⑥错误.

6.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情况,四名学生回答如下:

甲说:“我们四人都没考好”;

乙说:“我们四人中有人考的好”;

丙说:“乙和丁至少有一人没考好”;

丁说:“我没考好”.

结果,四名学生中有两人说对了,则四名学生中说对的两人是( D )

(A)甲,丙 (B)乙,丁

(C)丙,丁 (D)乙,丙

解析:甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果丁正确,则丙也是对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确.故答案为D.

7.(2018·大庆校级模拟)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,第六个图的蜂巢总数为( C )

(A)61 (B)90 (C)91 (D)127

解析:从所给图中可发现第n个图可视为在前一个图的基础上外面围上一个正六边形,且每条边有n个小六边形.设第n个图的蜂巢总数为f(n).则f(n)比f(n-1)多的蜂巢数即为外围的蜂巢数6n-6.

因此,当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),

所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)= 6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.

又f(1)=1=3×12-3×1+1,

所以f(n)=3n2-3n+1.

当n=6时,f(6)=3×62-3×6+1=91.故选C.

8.(2018·西安质检)观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,1+2+…+n+…+2+1= .

解析:因为1=12,1+2+1=22,1+2+3+2+1=32,1+2+3+4+3+2+1=42,…,

所以归纳可得1+2+…+n+…+2+1=n2.

答案:n2

能力提升(时间:15分钟)

9.观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…,用你所发现的规律得出22 018的末位数字是( B )

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

解析:通过观察可知,末位数字的周期为4,2 018÷4=504……2,故22 018的末位数字为4.故选B.

10.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,则△ABC的内切圆半径为

r=.将此结论类比到空间四面体:设四面体S ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,体积为V,则四面体的内切球半径为( C )

(A) (B)

(C) (D)

解析:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是r,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的

体积为V=(S1+S2+S3+S4)r,所以r=.

11.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按下图所标边长,由勾股定理有:c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O LMN,如果用

S1,S2,S3表示三个侧面面积,S4表示截面面积,那么类比得到的结论是.

解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜

边,可得++=.故填++=.

答案:++=

12.已知点A(x1,),B(x2,)是函数y=a x(a>1)的图象上任意不同两点,依据图象

可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方,因此有结论>

成立.运用类比思想方法可知,若点A(x1,sin x1),B(x2,sin x2)是函数y=sin x(x ∈(0,π))的图象上任意不同两点,则类似地有成立.

解析:对于函数y=a x(a>1)的图象上任意不同两点A,B,依据图象可知,线段AB总是

位于A,B两点之间函数图象的上方,因此有结论> 成立;对于函数