高中数学(必修1)知识结构框图

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高中数学必修1-5知识点小结(很实用)OK

高一数学必修1知识网络123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数A B A x B y f ?B A B x,y,x f,y y x y 映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。

高中数学必修1-5知识网络结构图

高一数学必修1知识网络集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/nA A ABC A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。

高中数学必修及选修教材学习知识体系结构与框架

第一章集合集合与函数概函数及其定义念概念表示方法：列举法、描述法根本关系：交集、并集、补集、全集、属于根本运算交、并、补元素的概念、个数概念定义域、值域对应关系区间：闭开，半开半闭展示发放：图像法、列表函数的单调性增函数基本性质最大、最小值定义义奇偶性；判断方法减函数a r a s a r s指数与指数幂的运算( a r) s a rs( ab) r a r b r第二章整数指数幂基本初等函数指数函数互为反函数对数函数幂函数指数幂指数函数性质对数与对数运算对数函数及性质定义：有理数指数幂无理数指数幂定义定义域 R性质值域〔 0,+ ∞〕图像过定点〔 0，1〕单调性对数底数真数定义log a ( M N ) log a M log a N运算log a M log a M log a NNlog a M n nlog a M定义定义域图象值域过点〔 1， 0〕性质单调性过〔 1,1 〕性质奇偶性单调性第三章]函数与程函数的应用函数模型及应用定义关系方程的根与函数的零点零点定理二分法定义用二分法求方程的近视根求根步骤几类不同增长的函数模型函数模型的应用实例建立实际问题的函数模型必修二第一章空间几何体锥、柱、台、球的结构特征空间几何体的结构简单组合体的结构特征正视图三视图侧视图俯视图空间几何体的三视图与直观图斜二侧画法直观图平行投影与中心投影锥、柱、台的外表积与体积空间几何体的表面积与体积球的外表积与体积第二章平面：公理1、公理 2、公理3共面相交直线平行直线：点、直线、平面间的位置关系空间点、直线、平面间的位置关系直线、平面平行的判定及性质直线、平面垂直的判定及性质空间中直线与直线的位置公理 4关系异面直线平行平面与平面间的位置关系相交直线在平面空间中直线与内平面的位置关相交系平行直线与平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理直线与平面平行的性质定理平面与平面平行的性质定理直线与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理第三章直线与方程倾斜角 0°≤α＜ 180°直线的倾斜角与斜率斜率 k tanl1 //l2k1k2,b1b2两条直线平行与垂直的判定l 1l2k 1k 21点斜式y y1k(x x1 )截距式 y kx b直线的方程两点式yy1x x1y2y1x2x1一般式 Ax By C0两条直线的交点坐标A1 x B1 y C10A2 x B2 y C20两点间的距离公式|AB|(x x)2(y y)22121直线的交点坐标与距离公式点到直线的距离Ax0 By0CdB 2A 2平行线间的距离第四章圆的标准方程x a 2y b 2r 2圆的一般方程圆的方程y2x 2Dx Ey F0d r l 与 C 相交直线与圆的位置关系d r l 与 C相切圆与方程直线、圆的位置关系直线与圆的方程的应用圆与圆的位置关系概念空间直角坐标系空间两点间的距离公式d r l与 C相离相交 R r d R r内切d Rr外切 d Rr内含 d Rr相离 d Rr辗转相除法与更相减损术必修三算法的概念第一章算法秦久韶算法算法与程序框图顺序结构程序框图条件结构循环结构输入语句、输出语赋值语句初根本算法语句步条件语句、循环语句算法案例第二章随机抽样统用样本估计总体计变量间的相关关系抽签法简单随机抽样随机法系统抽样求极差分层抽样决定组距组数将数据分组用样本频率分布估计总体分布列频率分布表画频率分布直方图用数本的数字特征估众数，中位数，平均数计总体的数字特征标准差变量间的相关关系正相关两个变量的线性相关负相关回归直线第三章概率随机事件的概率随机事件的概率频率意义概率性质必然事件不可能事件任何两个不同事件互斥根本领件特征古典概型任何事件都可表示为根本领件的和概率定义几何概型概率必修四第一章任意角和弧度制任意角弧度制正角负角零角任意角的三角函数三角函数三角函数的图像与性质三角函数：正弦函数，余弦函数，正切函数公式一：终边相同的角同一三角函数值相等周期性同角三角函数关系单调性正弦余弦函数的性质奇偶性正弦余弦函数的图像最大最小值正弦为奇余弦为偶正切函数的性质与图像周期奇偶性单调性三角函数的诱导公式函数y sin x的图像公式二值域公式三公式四公式五公式六振幅周期2初相相位x频率f12三角函数模型的简单应用第二章平面向量的实际背景及根本概念平面向量的线性运算平面向量平面向量的根本定理及坐标表示平面向量的数量积平面向量应用实例向量的物理背景与概念有向线段零向量，单位向量的几何表示向量平行向量相等向量与共线向向量加法三角形法那么量向量加法运算及几何意义向量加法平行四边形法那么向量减法运算及几何r ra a意义r r r向量数乘运算及几a a a何意义rrr ra b a b平面向量根本定理平面向量的正交分解极坐标表示平面向量坐标运算数量积rrrrr r r r o o 共线的坐标表示a b a b cos a0,b0,0180物理背景与定义投影rx , ya坐标表示，模，夹r角x2y2ar rx1x2y1 y2平面几何中的向量cosa br r2222方法 a b x1y1x2y2向量在物理中的应用举例cos cos cos sin sin两角差的余弦公式cos cos cos sin sin 第三章sin sin cos cos sin两角和与差的正弦sin sin cos cos sin 两角和与差的正余弦正切公式弦，余弦和正切公tantan tan 1 tan tan式tantan tan 1tan tan三sin22sin cos角二倍角的正弦余弦恒正切公式2222等cos2 cos sin2cos 1 1 2sin 变换tan 22 tan 1tan2简单的三角恒等变换必修五正弦定理a b c 第一章sin sin 2 Rsin C解三角形222正弦定理和余弦定ab c 2bccos理余弦定理b2a2c22accosc2a2b22ab cosC应用举例第二章数列项数列的概念与简单表示法有穷数列无穷数列定义等差数列数列等差数列的前n 项和等比数列等比数列前n 项和S n等差中项ba c2通项 a a n 1 dn1公差 da n a mn mn a1 a nS n2数列的应用S n na1n n1d2定义公比q n m a na m等比中项 a n2a p a q通项a n a1q n 1na1q1a11q n anqq 11qa11q必修五a b 0a b第三章不等式与不等关系a b0a ba b 0a b一元二次不等式及不其解法等式根本不等式二元一次不等式〔组〕与简单线性规划问题ax2bx c0ax2bx c0ax2bx c0a b 2 ab最大最小值问题一元一次不等式〔组〕与平面区域目标函数线性目标函数线性规划简单的线性规划问题可行解可行域最优解选修 1-1第一章命题及其关系常充分条件和必要条件用逻辑用语简单的逻辑连接词全称量词与存在量词真命题：判断为真的语句命题假命题：判断为假的语句四种命题及其关系原命题逆命题四种命题否命题逆否命题充分条件和必要条件充要条件且或非全称量词x M , p( x)存在量词x M , p( x)含有一个量词的命题的否认x M , p(x)nx i y i nx yb i1n2x i2nxi 1a y bx 选修 1-2回归分析的根本思想及初步应用样本中心第一章统计案例独立性检验的根本思想与初步应用第二章合情推理合情推理与演绎推理推理演绎推理与证明总偏差平方和回归方程y bx a分类变量随机变量 K 2越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

高中数学必修第一册人教A版《二次函数与一元二次方程、不等式》教材分析

高中数学必修第一册人教A版《二次函数与一元二次方程、不等式》教材分析2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、本节知识结构框图二、重点、难点重点、难点：二次函数与一元二次方程、不等式的联系，借助二次函数求解一元二次不等式.三、教科书编写意图及教学建议本节引入了一元二次不等式，研究它的解法和应用.在探索一元二次不等式的解法时，教科书首先从二次函数的观点看一元二次方程、不等式，然后从一元二次不等式与相应函数、方程的联系中推导出求解一元二次不等式的一般性方法，进一步发展了用函数理解方程、不等式的思想方法.1.一元二次不等式的定义本节从一元二次不等式的定义讲起，为了体现一元二次不等式的现实意义，教科书设计了一个实际问题——求花圃的矩形栅栏的边长，为了解决这个问题，需要把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来，再解数学模型.学生在初中学过了用一元一次不等式表示不等关系，在本章的第一节又练习了用不等式或不等式组表示不等关系，因此教科书在这里直接利用不等关系“围成的矩形区域的面积要大于20”建立了一个不等式“”.这就是一个一元二次不等式，教科书接下来给出了一般的一元二次不等式的定义和一般形式.要回答上述问题，就需解这个不等式，这就引出了对一元二次不等式解法的研究.2.借助二次函数与一元二次方程、不等式的联系，获得求解一元二次不等式的一般性方法求解一元二次不等式通常有两种基本方法，一种是代数方法，即先对二次三项式进行因式分解，把一元二次不等式转化为一元一次不等式组，再通过求解一元一次不等式组得到一元二次不等式的解集.但这种方法不适用于判别式的情况.另一种是函数方法，即借助二次函数图象，得到求解一元二次不等式的通性通法.教科书介绍的是后一种方法.在初中，学生学过了从一元一次函数观点看解一元一次方程、不等式，知道了解一元一次方程可以归结为在一次函数的函数值为0时，求自变量的值，解一元一次不等式或相当于在一次函数的值大于0或小于0时，求自变量的取值范围，这种解法利用的三者的关系是：一次函数的图象与轴的交点就是一元一次方程对应的点，在轴上方或下方的点的集合就组成了一元一次不等式或的图象.为了将这种思想方法迁移到“二次”，在探索求解一元二次不等式的方法之前，教科书设计了一个思考栏目，先让学生回顾初中学过的从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，再从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法.在解答这个思考栏目时，教科书借助具体的一元二次不等式，阐述了二次函数与一元二次方程、不等式的联系：二次函数的图象与轴有两个交点，，这两个点满足解析式，且，所以交点的横坐标是一元二次方程的两个根，而图象位于轴下方的点都满足解析式，且，所以这些点的横坐标的取值范围就是不等式的解集.这样，教科书不仅借助具体的一元二次不等式回答了如何从二次函数的观点看一元一次方程、不等式，而且获得了这个不等式的解集.接下来，教科书对上述方法进行了归纳、概括，获得了求解一般一元二次不等式的解法.教学中可以引导学生发现，上述解法的关键是利用二次函数的图象与轴的相关位置确定不等式的图象对应的的取值范围，而确定的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根.于是，借助二次函数图象求解一元二次不等式的方法是：先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.教科书接下来分，和三种情况，总结了二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，利用这个对应关系就可以求解任意一元二次不等式了.需要说明的是，由于一般函数的零点的概念和性质在本书的“4.5函数的应用（二）”中才会有比较深入的介绍，所以教科书在这里只介绍了什么是二次函数的零点，而且没有推广这个概念.3.归纳用二次函数求解一元二次不等式的程序接下来，教科书安排了三道例题，示范如何用二次函数解一元二次不等式.这三道例题分别对应了与所求解的不等式相应的二次函数的图象与轴有两个交点、有一个交点和没有交点的情况，例3还代表了不等式的二次项系数的情况.通过解例1～例3中的不等式，教师可以引导学生总结用二次函数解一元二次不等式或的一般步骤：（1）检查二次项系数的符号，对于的一元二次不等式，把它的二次项系数化为正数.（2）计算判别式的值，如果，求方程的根；如果，说明方程无实数根.（3）画出二次函数的图象，结合图象得出不等式的解集.教师在教学中还需要注意，不要让学生通过记忆不同情况下不等式的解集的方式来解不等式，而是让学生画出相应二次函数的草图，数形结合地解不等式.在三道例题之后，教科书设计了一个框图，目的是更清晰地描绘出用二次函数求解一元二次不等式的程序.教学时可以让学生尝试在总结上述步骤的基础上，自己画出这个框图.4.应用一元二次不等式解决实际问题在本节的最后，教科书安排了两道例题来示范如何用一元二次不等式解决实际问题.实际上，用一元二次不等式解决实际问题时，难点在于建立一元二次不等式表示实际问题中的不等关系，但学生在本章的开始阶段已经重点学习了这个内容，而本节的重点是一元二次不等式的解法.因此，教科书在例4，例5中都直接给出了描述实际问题的二次函数，为建立不等式提供了方便.例如，在例4中，某条摩托车流水线生产的摩托车数量与创造的价值之间的关系表示为二次函数__ ，那么要求这条流水线创收60 000元以上需要生产的摩托车的数量，实际上就是求一元二次不等式的解集.接下来，教科书按照前面介绍的求解一元二次不等式的步骤求出了不等式的解集，并根据实际情况解答了问题.本节的练习和习题2.3中也安排了应用一元二次不等式解实际问题的题目，除了习题2.3中“拓广探索”的题目，其他的题都比较容易列出一元二次不等式.教学中要注意把握本部分内容的重点，把重点放在解一元二次不等式上.。

新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读〖数学探究杨辉三角的性质与应用内容解读〗

数学探究杨辉三角的性质与应用一、知识结构框图二、学习目标1．结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养．2．在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法，培养遵守学术规范、坚守诚信底线的科学研究素养．三、重点、难点重点：杨辉三角性质的发现和证明，利用杨辉三角解决古算题和其他领域的问题．难点：杨辉三角性质的应用．四、教科书编写意图及教学建议杨辉三角是一个很有魅力的数字三角形．它很实用，从低次到高次，从各行之间的相互独立到相邻两行之间关联的发现，从一两条性质到一系列性质的探究，从正整数的开方到组合数、幂和公式的导出，都体现了数学知识的由浅入深、由特殊到一般的过程，也体现了由直观到抽象、由猜想到论证的数学思维过程．它还很美，特别是对称之美，广受喜爱，曾经成为邮票或数学杂志封面的图案．它也很多元化，中国、阿拉伯、欧洲等地的众多数学家都曾经研究和运用它，数十幅带有不同文化元素的数字三角形展现了丰富生动的多元文化．考虑到杨辉三角在数学、数学思维和数学文化上的魅力，教科书专门将它作为一个主题，设置了数学探究活动，并安排了3课时，让学生以课题研究的形式，从不同角度探究它．通过自主探究或合作探究，既能够丰富数学知识，建立不同知识之间的联系，还能进一步学会如何进行数学探究，感悟数学价值，提升数学精神、应用意识，从而全面提升数学学科核心素养和人文素养．（一）杨辉三角的历史探源杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，从数学角度体现了中华优秀传统文化．因此，教科书就从这里入手，给出了《详解九章算法》一书中的开方作法本源图，简单介绍了数学家杨辉，以及杨辉三角的由来．同时，这一段关于历史发展的介绍也是数学探究活动的背景，能够让学生在杨辉三角的演变中，了解为什么要研究杨辉三角，杨辉三角在我国的发现时间比欧洲早500年左右等，从而激发学生的民族自豪感和“一探究竟”的兴趣．在教学中，可以适当补充杨辉三角的演变历史，也可以让学生自己去搜集一些这方面的资料进行阅读，从而为接下来的数学探究活动作好准备，下面提供一些史料，供教学时参考．图1名为开方作法本源图，现在杨辉算书的传本中都没有这个图，只在明朝《永乐大典》（1407）抄录的《详解九章算法》中还保存着这份宝贵遗产，可惜《永乐大典》被掠至英国，现藏在剑桥大学图书馆内．《详解九章算法》由杨辉所著，他在书中提到“出释锁算书，贾宪用此术”．这说明，在我国至迟贾宪时期就已经发明了这个数字三角形．关于贾宪的生平，所知甚少．根据一些记载，只能推定贾宪著书的年代是在1023年至1050年这段时期．贾宪用这个数字三角形来进行开方，所以称为“开方作法本源”．而在宋元时期，数学家将开方或解数字方程称为“释锁”，故此图出现在《释锁》算书中．后来，朱世杰（1303）、吴敬（1450）、程大位（1592）等古代数学家均引用并发展了开方作法本源图．借助此图，古代数学家们开高次方、解高次方程，创造出了具有中国古代数学独特风格的高次方程的数值解法．（二）杨辉三角性质的探究杨辉三角性质的探究，是这个数学探究活动的重点，将杨辉三角作为一个探究主题有两个主要原因：一是由于前面提到的杨辉三角本身所具有的数学、数学思维和数学文化上的魅力；二是由于杨辉三角的直观性和性质的丰富性，既有“一目了然”的性质，也有“深藏不露”的性质，所以它可以让不同发展水平的学生都能探究，并有所收获．为了让学生顺利而又充分地开展探究活动，教科书在编写中重点关注了以下两个方面．1．探究的方法探究是一种复杂的学习活动，不同学科的探究，因其学科特点会有其特有的方法．在科学中，探究强调调查研究、实验验证、数据分析和解释，结论解释和预测；而在数学中，探究更多的是一种思维状态，强调观察和想象、归纳和猜想、推理和论证，当学生获得了探究的方法、养成了探究的习惯，他们就会自发地去探究、主动积极地学习，成为自主学习者．因此，教科书在杨辉三角性质探究这一部分，注重“如何探究”的引导，重在展现探究的方法，并加以示例说明．探究不是凭空产生的，它和数学问题紧密相联．首要的是发现和提出一个数学问题．如何发现和提出问题呢？教科书中的“1．观察杨辉三角的结构，即杨辉三角中数字排列的规律，例如每一行、相邻两行、斜行等，画一画，连连线，算一算，写出你发现的结论”告诉学生：（1）需要“观察”．这种观察并不是单纯地看一看，它包含着积极的思维过程，要有目的，如数字排列的规律；要随时比较，如数字间的关系和差异；等等．（2）需要“实验”．虽然数学不像科学那样需要精密设备、精心设计的实验，但有时候还是需要人为地创造一些条件和方法辅助思维，如圈一圈、连一连、算一算等．而这些观察和实验的结果正是归纳推理的基础．（3）需要“归纳”．通过观察和实验，获得一定素材后，就可以进行归纳，作出初步的结论，然后用数学语言描述出来，就是一个猜想，即一个数学问题．为了说明这一一点，教科书以杨辉三角的基本性质C r n ＝C 11r n --＋C 1r n -为例，示范如何发现和提出问题．具体来说，通过观察和比较教科书中的图1和图2，发现杨辉三角和二项式系数之间的对应关系；通过连线和计算，如教科书上的图4，发现除了三角形的两个腰上的数字都是1，其余的数都是它肩上两个数相加，从特殊到一般，就归纳出结论：C rn ＝C 11r n --＋C 1rn -．这就是一个数学问题．在教学中，要特别注意探究方法的指导，至于发现结论和写出结论，应该由学生自己完成．例如观察和实验的指导，应关注于在数字三角形中圈一圈、连一连、算一算等手段的尝试；关注于有目的的观察，相邻行之间、各行数字的和等（图2）．基于观察、实验和归纳，学生会获得很多关于杨辉三角的结论，这里列出一些最基本的结论（更多的结论见“五、探究活动参考资料”），供教学时参考：（1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C r n ＝C n r n-．（2）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C r n ＝C 11r n --＋C 1r n -．（3）第n 行奇数项之和与偶数项之和相等，即C n 0＋C n 2＋C n 4＋…＝C n 1＋C n 3＋C n 5＋…．（4）第n 行数的和为2n ，即C n 0＋C n 1＋C n 2＋…＋C n n ＝2n ．（5）第n 行各数平方和等于第2n 行中间的数，即（C n 0）2＋（C n 1）2＋（C n 2）2＋…＋（C n n ）2＝C 2n n （图3）．（6）自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n 个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即C r r ＋C 1r r +＋C 2r r +＋…＋C n －1r ＝C n r ＋1（图4）．在提出了一个数学问题后，就需要分析和解决这个问题，教科书中的“2．利用已学知识，尝试对所得结论进行证明”就指明了，在数学上，当我们获得一个猜想之后，必须要证明它，所用的就是逻辑推理的方法．从观察和实验，到归纳和猜想，再到推理和论证，这是一个完整的数学探究过程，数学探究中的“推理论证”不同于科学探究中的“实验验证”，数学中的结论一旦得到证明，是不会改变的，而科学中经过实验验证的结论有时会在若干年后推翻重建．在教学中，要特别注意强调推理论证在数学中的重要性及其作用，而且要鼓励或要求学生去证明自己发现的结论，让学生经历完整的数学探究过程．这样不仅有助提升学生的直观想象、数学抽象素养，而且还有助于提升学生的数学运算、逻辑推理素养．2．探究的开放性杨辉三角这个数学探究活动，从教科书的设计来看，它的开放性很大，除了给定一个“数字三角形”这个情境外，其他环节都是完全开放的，教科书给的示例也只是为了说明探究方法．在这种情况下，如果没有教师的指导，那么学生能探究到什么程度就取决于学生的自主探究能力，自主探究能力越高，探究就越开放、收获就会越多．但是学生的数学能力总是参差不齐的，能力越低越需要教师的指导，让他们“跳一跳”摘到果子．当学生在探究活动中的发现越来越多，解决的问题越来越难，兴趣和信心也会越来越浓厚．因此，在教学中教师需要关注学生的探究过程，掌握学生的探究程度，并据此匹配相应程度的探究指导．关于杨辉三角这个主题，以“问题”为例，有的学生可能会发现和提出一组问题，有的学生可能只能发现和提出一个问题，在这种情况下，教师可以分别为他们提供一些材料或给予一些提示，指导他们发现更多的结论，在各自的程度上更加深入地探究．在教学中，根据学生的探究程度，灵活采用开放型、指导型等不同的探究形式，让不同水平的学生通过探究活动都能有所收获，包括知识的增长和探究方法的养成．（三）杨辉三角应用的探究华罗庚先生（1910—1985）曾写过一本小册子《从杨辉三角谈起》，其中从杨辉三角的性。

高中数学必修1复习 PPT课件图文

x4 x0
(4)已知f(幂 2)8 ，函求数 f(x)函的数解析
函数单调性
y
f(x2)
f(x1)
在给定区间上任x取 1, x2,
x1 x2
f(1x)f(2x)
函数f (x)在给定区间
O
x1 x2 x
上为增函数。
注意
增函数、减函数、单调函数是对定义域上的某个区间而言的。
y
在给定区间上任x取 1, x2,
真数自变量
函数 y=logax 叫作指数函数
底数(a>0且a≠1) 常数
指数函数与对数函数
y
1
0
x
R
y
y
y
1
1
o
1
x
o
x
0
x
单调性
(0, ) 相同
(0, )
(0, 1)
在R上是增函数在R上是减函数
R
(1, 0)
在( 0 , + ∞ )上是在( 0 , + ∞ )上是
增函数
减函数
指数函数与对数函数
x3,2
5 4 3 2 1
0 1 3 -8 -6 -4 -2
2 4 6 810
-1
x=2
-2
-3
-4
-5
二、函数的表示法
1、解析法 2、列表法 3、图像法
例10 (1)已f知 (x)x24x3,求 f(x1)
(2)已f知 (x1)x22x,求 f(x)
x23 x0 (3)已知 f(x) 1 x0，求 f[f(4)]
(3) loaM g nnloaM g (n R ).
几个重要公式
(1)logabllooggccballggba

人教版高中数学必修一全套PPT课件

点在直线上或点在直线外。
点与平面的位置关系
点在平面内、点在平面外或点在平面上（即点在平面的边界上）。
直线与平面的位置关系
直线在平面内、直线与平面相交或直线与平面平行。
2024/1/25
31
直线、平面平行的判定及其性质
直线平行的判定
同一平面内，不相交的两条直线互相平行。
平面平行的判定
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
。
幂函数增长模型
函数值随自变量幂次增长，增长速度介于线性和指数之间，
如幂函数。
2024/1/25
19
函数模型的应用实例
经济学中的应用
利用函数模型研究成本、收益、利润等经济问题。
2024/1/25
物理学中的应用
利用函数模型描述物体的运动规律、波动现象等。
工程学中的应用
利用函数模型进行工程设计、优化等问题。
2023 WORK SUMMARY
人教版高中数学必修一全套PPT课件
REPORTING
2024/1/25
1
目录
• 高中数学必修一概述 • 集合与函数概念 • 基本初等函数（Ⅰ） • 空间几何体 • 点、直线、平面之间的位置关系
2024/1/25
2
PART 01
高中数学必修一概述
2024/1/25
以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面所围成的几何体。
球
半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周形成的曲面所围成的几何体。
2024/1/25
24
空间几何体的三视图和直观图
三视图
正视图（从正面看）、侧视图（从左面看）、俯视图（从上面看）。

常用逻辑用语(单元教学设计)-高中数学新教材必修第一册

常用逻辑用语单元教学设计内容及其解析：本单元知识结构图：抽象概括逻辑推理1.1内容（1）充分条件、必要条件以及充要条件的意义；判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，数学定义与充要条件的关系。

（2）全称量词与存在量词。

全称量词命题与存在量词命题的否定。

1.2内容解析内容本质：常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。

本单元主要研究：充分条件，必要条件，充要条件，全称量词与存在量词，全称量词命题与存在量词命题的否定。

通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。

理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。

理解充要条件的意义，理解定义与充要条件的关系。

由于中学数学中的许多命题都可以写成“若p,则q”的形式，通过判断命题的真假，分析条件p 和结论q 的关系，可以得到三个逻辑用语。

也就是说，“若p,则q”是真命题，即由p 能推出q,则p 是q 的充分条件，即p 成立，足以保证q 成立；同时，q 是p 的必要条件，即p 成立，首先必须q 成立。

反之，“若q,则p”也是真命题，则p 也是q 的必要条件，此时，p 是q 的充分必要条件。

由上述分析，也就获得了辨析充分条件、必要条件以及充要条件的方法：即将判断“p 是q 的什么条件”的问题转化为判断命题“若p,则q ”及其逆命题的真假的问题。

具体包括四种情况：若 q p ⇒”且“p q ⇒”，则p 为q 的充分必要条件；若q p ⇒，且q ⇒/p,则p 为q 的充分不必要条件：若p ⇒/q 且p q ⇒，则p 为q 的必要不充分条件；若p ⇒/q ，且q ⇒/p ，，则p 为q 的既非充分又非必要条件。

在数学知识体系中，数学定义、判定定理和性质定理是重要的组成部分，它们都可以用逻辑用语表述。

每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件，每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。

高一数学必修一知识点总结人教(3篇)

高一数学必修一知识点总结人教1.知识网络图复数知识点网络图2.复数中的难点（1）复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.（2）复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.（3）复数的辐角主值的求法.（4）利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.3.复数中的重点（1）理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.（2）熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.（3）复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.（4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法.数学教学心得如果以上的表述并不具有数学学科的特点的话，那么加上一个定语——让学生用数学的眼光进行数学思考。

比如，百货店的促销信息，人们不仅会关注哪个折扣低，还会关注标价的高低。

美国统计学家戴维穆尔的《统计学的世界》一书中有幅漫画，画的是一个人误以为平均水深就是每一个地方都是这样的水深而溺水死亡，从侧面反映了数学常识在现实生活中的作用。

数学地思考，是数学学习的更高目标。

数学学习过程中所倡导的思考方式是具有学科特点的。

看到一幅图画时，别的学科可能关注的是这幅图是多么的美观，但是对于数学学习来说，教师需要引导学生关注这个图形的组成与分解，引导学生思考的是多边形线的条数等。

这种量化、精确化的思考方式是数学教学最根本的目标价值所在。

高中数学必修第一册人教A版(2019)《充分条件与必要条件》教材分析

高中数学必修第一册人教A版（2019）《充分条件与必要条件》教材分析1.4充分条件与必要条件一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：充分条件、必要条件和充要条件的意义.难点：对必要条件的意义、充要条件与数学定义之间的关系的理解.三、教科书编写意图及教学建议本节的主要内容是充分条件、必要条件、充要条件，以及它们和判定定理、性质定理、数学定义之间的关系.通过本节的学习，学生能理解这三个常用逻辑用语的意义，会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分又不必要条件，理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系.本节主要以“若，则”形式的命题为载体，通过考察命题中条件和结论的关系，学习充分条件、必要条件和充要条件这三个常用逻辑用语.在教学中补充命题例子时，所给的命题的真假最好是显然的，或者是比较容易判断的.这是因为，学生刚开始学习逻辑用语，学习重点是对充分条件、必要条件和充要条件的意义的理解和辨析，而不是如何判断“若，则”形式的命题的真假.判断命题的真假不应该成为学生学习本节内容的障碍.1.4.1充分条件与必要条件1.概念的引入学生在初中阶段学习过命题的概念，知道命题是对某一件事情作出判断的语句，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若，则”的形式.其中，是命题的条件，是命题的结论.教学时，建议列举学生熟悉的数学命题，加深学生对命题的条件和结论的认识，学会辨析.例如，命题“对顶角相等”可以写成“若两个角是对顶角，则这两个角相等”的形式，其中条件：两个角是对顶角，结论：这两个角相等.本节从判断“若，则”形式命题的真假性出发，通过分析真命题中和的关系，进而引出充分条件和必要条件的概念.“若，则”为真命题，即由可以推出，按教科书上定义，是的充分条件，同时，是的必要条件.学生对于是的充分条件的表述比较容易接受，但是对于是的必要条件的表述可能会难以理解.为了帮助学生理解必要条件的含义，教科书在这里加了一个边空，旨在说明：假定由可以推出，那么不成立时，一定不成立（否则成立时，一定成立，矛盾！），这就表明是成立必不可少的条件.2.充分条件与判定定理、必要条件和性质定理的关系教科书通过梳理和分析初中学过的典型数学命题，帮助学生理解充分条件与判定定理的关系，必要条件和性质定理的关系.在本小节中，第一个“思考”中的命题（1）（4）和例1中的命题（1）（2）都是初中学习过的判定定理，它们分别给出了“平行四边形是菱形”“”“四边形是平行四边形”“两个三角形相似”的一个充分条件，这样编排的目的是引导学生将充分条件与判定定理联系起来.为了明确这两者之间的联系，教科书中设置了第二个“思考”，让学生给出“四边形是平行四边形”的其他充分条件.通过这个“思考”，学生会认识到平行四边形的每个判定定理实际上都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件.教学时，教师还可以引导学生回顾“两个三角形全等”“两个三角形相似”“两直线平行”的判定定理，分析其中条件与结论的关系，进一步加深学生对充分条件与判定定理的关系的认识.对于必要条件和性质定理的关系，教科书中也做了类似的处理.例1中的命题（3）与例2中的命题（1）（2）都是初中学习过的性质定理，它们分别给出了“四边形是菱形”“四边形是平行四边形”“两个三角形相似”的一个必要条件，引导学生将必要条件和性质定理联系起来.紧接着，教科书设置了第三个“思考”，让学生尝试给出“四边形是平行四边形”的其他的必要条件，由此引出平行四边形的其他性质定理.通过这个“思考”，学生可以进一步体会必要条件和性质定理的关系.同样地，教师还可以以“两个三角形全等”“两个三角形相似”“两直线平行”的必要条件为例，加深学生对必要条件和性质定理的关系的理解.3.例题和练习的设计意图与教学分析例1是为了加深学生对充分条件的理解，并学会判断是否为的充分条件.例1选取了学生在初中学习过的两个判定定理，是为后面分析充分条件与判定定理之间的关系作准备.例2是为了加深学生对必要条件的理解，并学会判断是否为的必要条件.事实上，判断是否为的必要条件与判断是否为的充分条件本质上是一回事，都是判断“若，则”是否为真命题，即是否成立.例2选取了学生在初中学习过的两个性质定理，是为后面分析必要条件与性质定理之间的关系作准备.本小节的练习1，2是为了巩固学生对充分条件和必要条件的理解，熟练掌握判断是否为的充分条件（或是否为的必要条件）的方法.练习3是让学生尝试使用充分条件和必要条件表述数学结论.1.4.2充要条件1.充要条件概念的引入学习了充分条件和必要条件之后，教科书再介绍充要条件的概念是顺理成章的事情.教科书通过考察四个“若，则”形式的命题及其逆命题“若，则”的真假，发现有的命题和它的逆命题同时为真命题.这样一来，由第一小节学习的充分条件和必要条件的概念可知，既是的充分条件，又是的必要条件，从而引出是的充要条件的概念.教学中可以多举例子促进学生掌握：若是的充分条件，又是的必要条件，则是的充要条件，同时也是的充要条件.2.问题的转化学生学习本节内容不仅要理解充分条件与必要条件的含义，还要学会对给定的与，判断是否为的充分条件（或为的必要条件）、必要条件（或为的充分条件）、充要条件（或为的充要条件）.需要注意的是，判断是否为的必要条件，需要判断命题“若，则”是否为真命题.这里，命题“若，则”与“若，则”互为逆命题，如果其中一个称为原命题，那么另一个称为它的逆命题.将一个命题的条件与结论互换，就得到了它的逆命题.教学时，教师可以通过学生熟悉的数学例子，让学生体会和理解这两个命题之间的联系与差别，但注意不要让学生死记硬背.因此，判断是否为的充分条件、必要条件和充要条件的问题，就转化判断命题“若，则”及其逆命题“若，则”的真假的问题.教学时，教师可引导学生作如下总结：为的充分条件（或为的必要条件）：“若，则”为真命题，即；为的必要条件（或为的充分条件）：“若，则”为真命题，即；为的充要条件（或为的充要条件）：“若，则”与“若，则”均为真命题，即且，进一步地，为的充分不必要条件：“若，则”为真命题且“若，则”为假命题，即且；为的必要不充分条件：“若，则”为假命题且“若，则”为真命题，即且；为的既非充分又非必要条件：“若，则”与“若，则”均为假命题，即且.需要强调的是，尽管“为的充要条件”与“为的充要条件”这两个事实是等价的，但是还要注意它们之间的区别.具体来说，如果要证明结论：“为的充要条件”或“的充要条件为”，则需要证明充分性”和“必要性”这两个方面.这里，“充分性”是指由可以推出，即，“必要性”是指由可以推出，即.然而，对结论“为的充要条件”或“的充要条件是”而言，它的“充分性”是指，“必要性”是指，与前者恰好相反.3.充要条件和数学定义的关系如果学生理解了充分条件和必要条件的含义，那么充要条件的含义就不难理解了.本小节在介绍完充要条件的概念后，通过例3让学生学会判定是不是的充要条件.在例3后面，教科书安排了一个探究栏目，让学生给出“四边形是平行四边形”的一些充要条件，为后面探讨充要条件和数学定义的关系作准备.根据前面两个思考题的分析，学生不难得到“四边形是平行四边形”的四个充要条件.随后，教科书回顾平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，在这个定义中，条件“两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件，它与前面的四个充要条件可以相互推出，彼此等价.这个具体例子的目的是让学生体会到“四边形是平行四边形”的每个充要条件都从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念。

(完整版)高中数学知识结构框图

高中数学知识结构框图
必修一：第一章集合
第三章基本初等函数(Ⅰ)
指数函数
对数数函数
定义域
值域
图象
性质
过定点
过定点
减函数
增函数
减函数
增函数
幂函数
奇函数
偶函数
第一象限性质
减函数
增函数
过定点
必修二：第一章立体几何初步
第二章平面解析几何初步
必修三：第一章算法初步
第二章统计
第三章概率
必修四：第一章基本初等函数（II）
函
数
性Байду номын сангаас
质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
第二章平面向量
第三章三角恒等变换
必修五：第一章解三角形
第二章数列

高中数学课程内容

高中数学课程内容必修课程由5个模块组成:必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

选修课程由4个系列：系列1：由2个模块组成。

选修1--1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1---2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图。

系列2：由3个模块组成。

选修2--1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2--2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数。

选修2--3：计数原理、随机变量及其分布列、统计案例。

系列3：由6个专题组成。

选修3--1：................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ......................................................................................................................................................重难点及考点：重点：函数、数列、三角函数、平面向量、圆锥曲线、立体几何、导数难点：函数、圆锥曲线。

高中数学新课标课程必修模块与选修系列的内容结构

高中数学新课标课程必修模块与选修系列的内容结构1.1、高中数学新课标课程必修模块的内容结构.⑴数学1是整个高中数学的基础.①集合一章，主要是学习集合语言，从日常生活和初中数学中的实例出发引出集合概念，让学生学习用集合语言描述在义务教育阶段学过的一些集合，如数集和图形集合。

为了准确使用集合语言，学习集合之间的关系与运算。

集合语言在整套教材中经常使用。

②在函数一章，除学习函数概念外，重点学习一次函数和二次函数。

这两个函数是学习函数概念最好的载体，其中蕴涵着高中数学中一些重要的思想方法。

在教材中设专节，在初中学过的一次、二次函数的基础上拓宽、提高。

用一次函数和二次函数实现初中数学向高中数学的过渡。

进一步研究了指数函数、对数函数和幂函数等基本初等函数，过渡到高中数学。

③在数学1中，对通用的数学思想方法，如数形结合、配方法、待定系数法、数学建模等都给予足够的重视与练习。

这些通性、通法在整个高中数学教材中反复使用。

⑵在数学4中，学生将学习三角函数、平面向量、三角恒等变换.①三角函数一章是在旋转变换思想指导下编写的。

把角定义为射线绕顶点的旋转，把三角函数定义为角终边上单位向量在坐标轴上的投影。

用旋转对称、中心对称和轴对称引入诱导公式。

通过单位圆中三角函数线的变化研究三角函数的性质。

②到三角恒等变换一章把和角公式理解为研究旋转变换的基本公式。

通过用数量积的坐标计算公式，证明和角公式，使学生体会向量的数量积与和角公式的内在联系。

③平面向量一章中，向量概念是由“位移”引入的，因为数学中的向量是物理学中的自由向量，只有大小、方向两个要素，用“位移”有利于学生理解数学中的向量概念。

把向量和向量运算与几何紧密地联系起来，沟通平行、全等与向量的加法，相似与数乘向量，正投影的性质与向量数量积之间的关系，把几何学的研究代数化。

由于向量是沟通几何、代数和分析的桥梁，同时可为将来学习高等数学打下良好的基础，所以本章的编写较为细致，以便于教师教学和学生自学。

高中数学知识点总结(最全版)

系列3：由6个专题组成。
选修3—1：数学史选讲。
选修3—2：信息安全与密码。
选修3—3：球面上的几何。
选修3—4：对称与群。
选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6：三等分角与数域扩充。
系列4：由10个专题组成。
选修4—1：几何证明选讲。
选修4—2：矩阵与变换。
选修4—3：数列与差分。
选修4—4：坐标系与参数方程。
⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用
⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用
（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名称
记号
意义
性质
示意图
交集
且
（1）
（2）
（3）
并集
或
（1）
（2）
（3）
补集
1 2
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
① ②
③
【2.1.2】指数函数及其性质

高中数学必修一知识点

高中数学1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。

系列3：由6个专题组成。

选修3—1：数学史选讲。

选修3—2：信息安全与密码。

选修3—3：球面上的几何。

选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。

选修3—6：三等分角与数域扩充。

系列4：由10个专题组成。

选修4—1：几何证明选讲。

选修4—2：矩阵与变换。

选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。

选修4—5：不等式选讲。

选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。

选修4—8：统筹法与图论初步。

选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇()U A =∅ð 2()U A A U =ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法0))()()U U B A B =?)()()U U B A B =?〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，yxo都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a-=． ③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=．（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =xxxxx x(q)0x①若02b x a -≤，则()m f q = ②0b x ->，则()m f p =．第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=xf 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

人教版高中数学必修1教材解读材料

人教版高中数学必修1教材解读材料函数是高中数学的核心概念,是学习的主线.其总体的结构:在必修1的学习中,用集合与对应的语言刻画函数,结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题. 学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解体会函数与方程的有机联系.教材解读主要分以下两部分•一、问题思考–教学内容的选择有什么变化？–教学目标与要求有什么变化？–教材的呈现方式有何变化？–如何在课堂教学中顺应变化？•二、案例分析–函数的概念–函数的单调性–指数函数的概念–函数的零点–二分法1.教学内容集合内容基本不变函数部分删减: 反函数增加：最值定义. 函数的奇偶性降低：映射概念、复合函数定义域、值域过于繁难的技巧化训练.提高：函数概念、分段函数、函数的单调性、用函数图象研究函数性质函数模型的背景和应用信息技术整合.同时函数的应用独立成章.2.教学目标集合语言是现代数学的基本语言。

使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。

高中数学课程是将集合作为一种语言来学习，学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成是变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言来刻划函数.函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终.3.教材呈现(1).讲背景，讲思想，讲应用•知识的引入强调背景，使教材生动、自然而亲切，让学生感到知识的发展水到渠成而不是强加于人。

螺旋上升地安排核心数学概念和重要数学思想；把握数学本质，保证科学性；强调数学形式下的思考和推理训练。

通过解决具有真实背景的问题，引导学生体会数学的作用与力量，发展应用意识(2)强调问题性、启发性,引导教、学方式的变革遵循认知规律，以问题引导学习，体现数学知识、学生认知的过程性，促使学生主动探究，培养学生的创新意识和应用意识，引导教、学方式的改进4.课堂教学六字经: 问题引导学习,教学重心前移,典型丰富例证,提供概括时机,保证思考力度,加强思想联系,使用变式训练, 强调反思迁移第一章集合与函数概念解读一.知识结构二.课程标准内容1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。