(浙江专用)2018年高考数学总复习第五章平面向量、复数第2讲平面向量基本定理与坐标表示课时作业

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(浙江专用)2018年高考数学总复习第五章平面向量、复数第3讲平面向量的数量积及其应用学案

第3讲平面向量的数量积及其应用最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos__θ 叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21. (3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角.( ) (5)a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)若a ·b >0，a 和b 的夹角可能为0；若a ·b <0，a 和b 的夹角可能为π.(5)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2.(2015·全国Ⅱ卷)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A.－1B.0C.1D.2解析因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，选C. 答案 C3.(2017·湖州模拟)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________.解析因为(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝|a |2－|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝3－23×cos〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝32，由于〈a ，b 〉∈[0，π].则向量a ，b 的夹角为π6. 答案π64.(2016·石家庄模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝________.解析 ∵|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4＋2|a ||b |cos 2π3＋1＝4－2＋1＝3，∴|a ＋b |＝ 3.答案35.(必修4P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________.解析由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案－26.(2017·瑞安一中检测)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)，|b |＝1，且a ＋b 与a －2b 垂直，则向量a ·b ＝________；a 与b 的夹角θ的余弦值为________. 解析 ∵(a ＋b )⊥(a －2b )，∴(a ＋b )·(a －2b )＝0，即|a |2－a ·b －2|b |2＝0，∴5－a ·b －2＝0，∴a ·b ＝3，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝355.答案 3355考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】 (1)(2015·四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( ) A.20B. 15C.9D.6(2)(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A.－58B.18C.14D.118解析 (1)取AB →，AD →为一组基底.∵BM →＝3MC →，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN→＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.(2)法一如图所示，根据已知得，DF →＝34AC →，所以AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →，BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →＝34－12－14×1×1×cos 60°＝18.故选B. 法二建立如图所示的平面直角坐标系.则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，所以BC →＝(1，0).易知DE ＝12AC ，∠FEC ＝∠ACE ＝60°，则EF ＝14AC ＝14，所以点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538，所以AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538·(1，0)＝18.故选B.答案 (1)C (2)B规律方法 (1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【训练1】 (1)(2017·义乌市调研)在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 的中点，点E 满足BE →＝13BC →，则AE →·BD →＝________.(2)(2017·宁波质检)已有正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________.解析 (1)法一因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，BD →＝BA →＋AD →＝－AB→＋12AC →.因为AB ⊥AC ，所以AB →·AC →＝0，所以AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋12AC →＝－23|AB →|2＋16|AC →|2＝－23×22＋16×22＝－2. 法二建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，BD →＝(－2，1)，所以AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23·(－2，1)＝43×(－2)＋23×1＝－2.(2)法一如图，DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·CB →＝DA →·CB →＋AE →·CB →＝DA →2＝1，DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·DC → ＝DA →·DC →＋AE →·DC →＝AE →·DC →＝|AE →|·|DC →|≤|DC →|2＝1.法二以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1，0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法三由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1.当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1. 答案 (1)－2 (2)1 1 考点二平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8B.－6C.6D.8(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.解析 (1)由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D. (2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3. 又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3. 答案 (1)D (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 规律方法 (1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析 (1)|BA →|＝1，|BC →|＝1，c os∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.由〈BA →，BC →〉∈[0°，180°]，得∠ABC ＝30°.(2)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 答案 (1)A (2)－2考点三平面向量的模及其应用【例3】 (1)(2017·云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A.57 B.61 C.57D.61(2)(2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________. 解析 (1)由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B. (2)由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e | 由于上式对任意单位向量e 都成立. ∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.答案 (1)B (2)12规律方法 (1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【训练3】 (1)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________.解析 (1)设D (x ，y )，由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，32∴PA →＋3PB →＝(5，3a－4x )，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.答案 (1)1＋7 (2)5[思想方法]1.计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.[易错防范]1.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量.2.两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之也不成立.。

2018版高考数学浙江专用专题复习专题5 平面向量复数第28练含解析精品

一、选择题1．(2016·杭州第二次教学质量检测)在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2.若AP →＝16AD →＋56AB →，则|BC →＋tPB →|(t ∈R )的取值范围是( )A ．[55，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[55，1]D ．[1，＋∞)2．(2016·嘉兴市高三教学测试(一))如图，B ，D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB ＝t ＋1，AD ＝t ＋2，则AC →·BD →等于( ) A ．1 B ．2C ．tD ．2t3．如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →等于( ) A ．13B ．7C ．5D ．34．(2016·湖北七校联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(23，1)C ．(0，13)D ．(13，23)5．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若aOA →＋bOB →＋cOC →＝0，则O 是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心6．(2016·衢州4月高三教学质量检测)正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE ＝EA ，CF ＝2FB ，如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上(不含顶点)有且只有6个不同的点P ，使得PE →·PF →＝λ成立，那么λ的取值范围为( ) A ．(－3，－14)B ．(－3,3)C ．(－14，3)D ．(3,12)二、填空题7．(2016·绍兴高三教学质量检测)在△ABC 中，BC ＝6，M 1，M 2分别为边BC ，AC 的中点，AM 1与BM 2相交于点G ，BC 的垂直平分线与AB 交于点N ，且NG →·NC →－N G →·NB →＝6，则BA →·BC →＝________.8．在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，已知点O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则OC →·(BA →＋2BC →)＝________.9．如图所示，在半径为1的扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．10．如图，线段AB 的长度为2，点A ，B 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，BC ＝1，O 为坐标原点，则OC →·OD →的取值范围是________．11．(2016·湖南师大附中月考四)如图，在△ABC 中，E 为边AC 上一点，且AC →＝3AE →，P 为BE 上一点，且满足AP →＝mAB →＋nAC →(m >0，n >0)，则1n ＋3m＋3的最小值为________． 12．(2016·浙江杭州萧山中学期中)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．答案解析1．A2．A [因为BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →＝|AC →|·|AD →|cos ∠CAD －|AC →|·|AB →|cos ∠CAB .又因为AC 为圆的直径，所以∠ADC ＝∠ABC ＝π2，所以cos ∠CAD ＝|AD →||AC →|，cos ∠CAB ＝|AB →||AC →|，则AC →·BD →＝|AD →|2－|AB →|2＝t ＋2－(t ＋1)＝1，故选A.]3．C [连接AP ，BP ，则PM →＝P A →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(P A →＋AM →)·(PB →－AM →)＝P A →·PB →－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5.]4．C [因为O 在线段CD 上，且BD →＝2DC →，设BO →＝λBC →，且23<λ<1，则AO →－AB →＝λ(AC →－AB →)，即AO →＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x ＝1－λ∈(0，13)．故选C.]5．B [OB →＝OA →＋AB →，OC →＝OA →＋AC →. 若aOA →＋bOB →＋cOC →＝0，则 (a ＋b ＋c )OA →＋bAB →＋cAC →＝0，得AO →＝bc a ＋b ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|.∵AB →|AB →|与AC →|AC →|分别为AB →和AC →方向上的单位向量，设AP →＝AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则AP 平分∠BAC .又AO →、AP →共线，∴AO 平分∠BAC .同理可证BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，从而O 是△ABC 的内心．]6．C [以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立坐标系如图所示，则设E (－3,3)，F (3,2)，所以EF ＝37，设P (x ，y )，则由λ＝PE →·PF →＝(PE →＋PF →)2－(PE →－PF →)24＝4x 2＋(2y －5)2－|EF →|24，整理得x 2＋(y －52)2＝λ＋374，所以P 在以(0，52)为圆心，半径为λ＋374的圆上运动，要使正方形与圆有6个交点，需满足AB ，BC 与圆相交，CD 与圆相离，所以52<λ＋374，3<λ＋374，72>λ＋374，解得－14<λ<3，故选C.]7．36解析 N G →·NC →－NG →·NB →＝NG →·(NC →－NB →)＝N G →·BC →＝(NM 1→＋M 1G →)·BC →＝NM 1→·BC →＋M 1G →·BC →＝6.因为NM 1⊥BC ，所以NM 1→·BC →＝0，所以M 1G →·BC →＝6.由题意知G 是△ABC 的重心，所以M 1G →＝13M 1A →，则BA →·BC →＝(BM 1→＋M 1A →)·BC→＝BM 1→·BC →＋M 1A →·BC →＝12BC →2＋3M 1G →·BC →＝12×62＋3×6＝36.8．40解析由OA →＋3OB →＋4OC →＝0，得(OC →＋CA →)＋3(OC →＋CB →)＋4OC →＝0，即得OC →＝－18(CA →＋3CB →)．又BA →＋2BC →＝CA →＋3BC →＝CA →－3CB →，则OC →·(BA →＋2BC →)＝－18(CA →＋3CB →)·(CA →－3CB →)＝18×(9CB →2－CA →2)＝40. 9．－116解析 ∵OP →＝OB →＋BP →，∴OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋|BP →|2.又∵∠AOB ＝60°，OA ＝OB ＝1，∴∠OBA ＝60°.∴OB →·BP →＝|BP →|cos120°＝－12|BP →|，∴OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝(|BP →|－14)2 －116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时取等号． 10．[1,3]解析设∠OBA ＝α，则0°≤α<90°.此时|OA →|＝2sin α，|OB →|＝2cos α，且向量OA →与AD →的夹角为α，向量OB →与BC →的夹角为90°－α. 又OC →＝OB →＋BC →，OD →＝OA →＋AD →，且OA →⊥OB →，AD →＝BC →，则OC →·OD →＝(OB →＋BC →)·(OA →＋AD →)，即OC →·OD →＝OB →·OA →＋OB →·AD →＋BC →·OA →＋BC →·AD →＝OB →·AD →＋BC →·OA →＋1＝OB →·BC →＋AD →·OA →＋1＝|OB →|×|BC →|×cos(90°－α)＋|OA →|×|AD →|×cos α＋1＝2cos α·sin α＋2sin αcos α＋1＝2sin 2α＋1.而0°≤2α<180°，则0≤sin 2α≤1，故1≤2sin 2α＋1≤3，即OC →·OD →的取值范围是[1,3]． 11．15解析根据题意，得AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋3nAE →.因为B ，P ，E 三点共线，所以m ＋3n ＝1，从而有1n ＋3m ＝(m ＋3n )·(1n ＋3m )＝3＋3＋m n ＋9n m ≥6＋29＝12，当且仅当m n ＝9n m ，即m ＝12，n＝16时取等号，所以1n ＋3m ＋3的最小值是12＋3＝15. 12．3解析设点P 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)，AP →＝(x －1，y ＋1)．∵AP →＝λAB →＋μAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，解得⎩⎨⎧λ＝23x －13y －1，μ＝－13x ＋23y ＋1.∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴点P 的坐标满足不等式组⎩⎨⎧1≤23x －13y －1≤2，0≤－13x ＋23y ＋1≤1.作出不等式组对应的平面区域，得到如图所示的平行四边形CDEF 及其内部，其中C (4,2)，D (6,3)，E (5,1)，F (3,0)． ∵|CF →|＝(3－4)2＋(0－2)2＝5，点E (5,1)到直线CF ：2x －y －6＝0的距离为d ＝|2×5－1－6|5＝355，∴平行四边形CDEF 的面积为S ＝|C F →|×d ＝5×355＝3，即动点P 构成的平面区域D 的面积为3.。

浙江版2018年高考数学一轮复习专题5.2平面向量基本定理及坐标表示讲

第02节平面向量基本定理及坐标表示【考纲解读】【知识清单】1．平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理如果12e e ，是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量a，有且只有一对实数12λλ，，使1122a e e λλ=+.其中，不共线的向量12e e ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．对点练习：向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ-＝________．【答案】32-2．平面向量的坐标运算 1. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a x y i j ＝＋，这样，平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标． (2)若1122()()A x y B x y ，，，，则2121()A x x y y B ＝－，－． 3．平面向量的坐标运算(1)若1122()()a x y b x y ==，，，，则1212()a b x x y y ±=±±，； (2)若()a x y ＝，，则()a x y λλλ＝，． (3)设1122()()A x yB x y ，，，，则2121()A x x y y B ＝－，－，221221|()A x x y B y ＝－(－|)对点练习：【2017湖南郴州一测】ABCD Y 中，(1,2)AB =u u u r ，(1,4)AD =-u u u r，则AC =u u u r （）A ．(3,3)-B ．(2,2)- C. (2,2)- D ．(0,6) 【答案】D【解析】试题分析：AC =u u u r (0,6)AB AD +=u u u r u u u r,故选D.3．平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-. 对点练习：【2017广西名校摸底】已知函数322+=-x y 的图象是由函数x y 2=的图象按向量a 平移而得到的，又b a ∥，则=b （）A ．)3,2(--B ．)2,3(-C ．)3,2(-D ．)2,3( 【答案】A【考点深度剖析】平面向量基本定理及坐标表示，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．【重点难点突破】考点1 平面向量基本定理及其应用【2017·杭州测试】如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.【答案】OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b.【解析】∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b.【领悟技法】1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．2.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底12e e ，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．【触类旁通】【变式一】如图，已知AP uuu r ＝43AB uuu r ，用OA uu u r ，OB uuu r 表示OP uuu r ，则OP uuu r等于( )A.13OA uu u r －43OB uuu rB.13OA uu u r ＋43OB uuu rC.－13OA uu u r ＋43OB uuu rD.－13OA uu ur －43OB uuu r 【答案】C【解析】OP uuu r ＝OA uu u r ＋AP uuu r ＝OA uu u r ＋43AB uuu r ＝OA uu u r ＋43 (OB uuu r －OA uu u r )＝－13OA uu ur ＋43OB uuu r ，选C.考点2 平面向量的坐标运算【2-1】已知向量()()()1,3,1,2,2,4AB BC AD =-=--=u u u r u u u r u u u r，则CD =u u u r （）A ．()4,1-B ．()0,9C ．()2,1-D ．()2,9 【答案】D【2-2】已知向量(,),(1,2)a x y b ==-r r ，且(1,3)a b +=r r ，则|2|a b -r r等于（）A ．1B ．3C ．4D ．5 【答案】D 【解析】因(1,3)a b +=r r ,(1,2)b =-r ,故(2,1)a =r ,所以2(4,3)a b -=-r r,故22|2|435a b -=+=r r ,故应选D. 【领悟技法】注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．【触类旁通】【变式一】已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r，则2a b -=r r （）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =r ，所以2(4,8)(1,1)a b -=--r r=()5,7，故选A.【变式二】【2017河北武邑三调】在矩形ABCD 中，()()1,3,,2AB AC k =-=-u u u r u u u r，则实数k =（）A ．5-B ．4- C. 23D ．4 【答案】D【解析】(1,1)1304CB AB AC k AB CB k k =-=--⇒•=-+=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选D.考点3 平面向量共线的坐标表示【3-1】向量()1,tan cos ,1,3a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭r r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C ．23-D ．223-【答案】A【3-2】设向量a r =()21x ,-，b r =()14x ,+，则“3x =”是“a r //b r”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当3x =时，()2,2a =r ，()4,4b =r ，此时//a b r r ；当//a b r r时，()()11248x x -+=⨯=，解得3x =±.所以“3x =”是“//a b r r”的充分而不必要条件.【领悟技法】1.向量共线的充要条件有两种：（1）a b ∥⇔(0)a b b λ≠=.（2）若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-. 当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便. 2.两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等. 【触类旁通】【变式一】已知向量()()2,3,cos ,sin a b θθ==v v ，且//a b v v，则tan θ=（） A ．32 B ．32- C ．23 D ．23- 【答案】A 【解析】由//a b v v ，可知2sin 3cos 0θθ-=，解得tan θ=32，故选A.【变式二】已知向量=（2，2），=（cosα，﹣sinα），则向量的模的最小值是（） A ．3 B ．3 C ．D ．2 【答案】C 【解析】考点4 平面向量共线的应用【4-1】设(1,2)OA =-u u u r ，(,1)OB a =-u u u r ，(,0)OC b =-u u u r，0,0a b >>，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则12a b+的最小值是（）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D 【解析】(1,1)AB a =-u u u r ，(,1)BC b a =--u u u r，若A 、B 、C 三点共线，//AB BC u u u r u u u r ，由向量共线定理得()()111a b a -⨯=⨯--，21a b ∴+=，故()12124244248b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭．【4-2】如图，在△ABC 中, 13AN NC =u u u r u u u r,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m的值为( )A ．1B ．31C ．19D ．3 【答案】C【课本回眸】向量共线的充要条件有两种：（1）a b ∥⇔(0)a b b λ≠=.（2）若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-. 【领悟技法】当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件（2）解题较为方便. 【触类旁通】【变式一】设两个向量()222,cos ,,sin 2μλλθμθ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭a b ，其中,,R λμθ∈．若2=a b ，则λμ的最小值为______．【答案】6- 【解析】值为值为6-.【变式二】【2017山西大学附中二模】在直角梯形,,DC//AB,AD DC 1,AB 2,E,F ABCD AB AD ⊥===分别为,AB AC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）．若AP ED AF λμ=+u u u v u u u v u u u v ，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是___________．【答案】[]1,1-2sin cos 24πλμθθθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，,444πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦[]21,14πθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.【易错试题常警惕】易错典例：如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=,AP DE AC ．易错分析：不能结合图形特征，灵活建立直角坐标系，将向量用坐标表示，将问题转化成三角问题求解．正确解析：以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD 的边长为1，则1E 0C 11D 01A 002（，），（，），（，），（，）．设P cos sin (1,1)AC θθ∴=u u u r （，）， .又向量,AP DE AC μλ+=由题意得 00cos 10sin 12πθθθ≤≤∴≤≤≤≤，，，∴当cos 1θ=时，同时，sin 0θ=时，λμ+取最小值为21. 温馨提醒：涉及几何图形问题，要注意分析图形特征，利用已有的垂直关系，建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，利用向量共线的充要条件，应用函数方程思想解题.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量的基本定理及向量坐标运算理-人教版高三全册数学

第2讲平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )．A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析由题意得a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴．答案 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )．A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．答案 C3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )．A.14B.12C ．1D ．2 解析依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B5. 若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC =( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2)解析因为AC =AB +BC =(4,6),所以选A.答案 A6．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．答案 D二、填空题7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 128．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |，∴|λ|＝|a ||b |，又|b |＝5，|a |＝2 5.∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)．答案 (－4，－2)9．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C三点共线，则1a ＋2b的最小值为________．解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b ) ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2 b a ·4a b＝8. 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b的最小值是8. 答案 810．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)．答案 (0，－2)三、解答题11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．解析设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )．∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cosθ，t )， (1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋cos θ－124＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15. 14．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13. (2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2无解．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5.1平面向量的概念及线性运算课件

→ → ②若A，B，C，D是不共线的四点，则 AB＝DC 是四边形ABCD为平行四
边形的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是 A.②③ B.①②
答案解析
C.③④
D.②④
思维升华
向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度. (5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线.
→ → → → → → → → AB＝DC，AD＋AB＝AC，AD＋CD＝BD正确.
→ → → 而AB－AD＝DB，故 C 错误.故选 C.
→ → (2)(2015· 课标全国Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点，若BC＝3CD，则 1→ 4→ → A.AD＝－3AB＋3AC → 4→ 1→ C.AD＝3AB＋3AC → 1→ 4 → B.AD＝3AB－3AC → 4→ 1→ D.AD＝3AB－3AC
1 A.0，2 1 C.－2，0 1 B.0，3 1 D.－3，0
答案
解析
思维升华
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则. (2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则. (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.
数乘
求实数λ与向量a
(λμ)a ； (2)当λ>0时，λa的方向与a (1)λ(μa)＝______

【K12教育学习资料】2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5.4平面向量的应用第1课时平面

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数 5.4 平面向量的应用第1课时平面向量在几何中的应用教师用书1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．【知识拓展】1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2．若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )1．(教材改编)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋－2＝22，|AC →|＝16＋64＝45，|BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．2．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3答案 D解析在△ABC 中，由余弦定理可得AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →|＝3，故选D.3．(2017·浙江名校协作体联考)若向量a ，b 满足|a |＝|2a ＋b |＝2，则a 在b 方向上投影的最大值是( ) A. 3 B ．－ 3 C. 6 D ．－ 6答案 B解析由题意得|2a ＋b |2＝4|a |2＋4|a||b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝16＋8|b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝4，则cos 〈a ，b 〉＝－|b |2－128|b |＝－(|b |8＋32|b |)≤－2|b |8·32|b |＝－32，当且仅当|b |＝23时等号成立，所以向量a 在向量b 方向上投影的最大值是|a |cos 〈a ，b 〉＝－ 3. 4．(2016·武汉模拟)平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________．答案 x ＋2y －4＝0解析由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4，即x ＋2y ＝4.第1课时平面向量在几何中的应用题型一向量在平面几何中的应用命题点1 向量和平面几何知识的综合例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．答案 (1)12(2)5解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )， PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )，则PA →＋3PB →＝(5,3a －4y )，即|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2，由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a . 因此当y ＝34a 时，|PA →＋3PB →|2取最小值25.故|PA →＋3PB →|的最小值为5. 命题点2 三角形的“四心”例2 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心答案 C解析由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．引申探究1．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？答案 A解析由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．2．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？答案 D解析由条件，得AP →＝λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，从而AP →·BC →＝λ(AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C )＝λ·|AB →|·|BC →－B|AB →|cos B ＋λ·|AC →|·|BC →|cos C |AC →|cos C＝0，所以AP → ⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．命题点3 平面向量数量积与余弦定理例3 (2016·杭州二模)在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 垂直BC 于点D ，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，若DE →·DF →＝6，则BC 等于( )A ．213B ．10C ．237D ．14答案 A解析由题意，知DE ＝AE ，DF ＝AF ， ∵DE →·DF →＝|DE →|·|DF →|·cos∠EDF ＝|DE →|·|DF →|·|DE →|2＋|DF →|2－|EF →|22|DE →|·|DF →|＝|AE →|2＋|AF →|2－|EF →|22＝16＋9－|EF →|22＝6，∴|EF →|＝13，∴BC ＝213.思维升华向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形(2)(2016·宁波八校联考)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．答案 (1)A (2)1－32解析 (1)AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的角平分线．因为(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的角平分线垂直于BC ，所以AB＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12，所以cos∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．(2)cos∠BAC ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝2＋615， ∴sin∠BAC ＝2－315，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin∠BAC ＝1－32.题型二向量在解析几何中的应用命题点1 向量与解析几何知识的综合例4 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝___________.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3 解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |1＋k2＝3，得k ＝±3，即yx＝± 3. 命题点2 轨迹问题例5 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →的最值．解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.∴点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1. (2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →，又NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2＝x 2＋(y －1)2－1 ＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19，当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3. 综上，PE →·PF →的最大值为19；PE ·PF 的最小值为12－4 3.思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．(1)(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为________．(2)(2016·温州一模)如图，已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在第一象限，且满足|F 2P →|＝a ，(F 1P →＋F 1F 2→)·F 2P →＝0，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若F 2P →＝5F 2Q →，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±32x D ．y ＝±33x 答案 (1)－92(2)B解析 (1)∵圆心O 是直径AB 的中点， ∴PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， ∵PO →与PC →共线且方向相反，∴当大小相等时，PO →·PC →最小．由条件知，当PO ＝PC ＝32时，最小值为－2×32×32＝－92.(2)由(F 1P →＋F 1F 2→)·F 2P →＝0，可得|F 1P →|＝|F 1F 2→|＝2c ，则点P (x ，y )(x >0，y >0)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋c 2＋y 2＝4c 2，x －c2＋y 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c －a 24c，y ＝a 16c 2－a24c.又F 2P →＝5F 2Q →，解得Q (c －a 220c ，a 16c 2－a 220c)，又Q 在双曲线C 上，代入双曲线方程化简得80c 4－168a 2c 2＋85a 4＝0，则(4c 2－5a 2)(20c 2－17a 2)＝0，又c >a ，所以4c 2－5a 2＝0,4(a 2＋b 2)－5a 2＝0，则a ＝2b ，则双曲线C 的渐近线方程为y＝±b a x ＝±12x ，故选B.11．函数与方程思想在向量中的应用典例 (1)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于______．(2)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.思想方法指导求向量模的最值或范围问题往往将模表示成某一变量的函数，采用求函数值域的方法确定最值或范围；在向量分解问题中，经常需要用已知向量来表示其他向量，此时可通过三点共线建立向量之间的关系，比较基向量的系数建立方程组求解．解析 (1)因为b ≠0，所以b ＝x e 1＋y e 2，x ≠0或y ≠0. 当x ＝0，y ≠0时，|x ||b |＝0；当x ≠0时，|b |2＝(x e 1＋y e 2)2＝x 2＋y 2＋3xy ， |x |2|b |2＝x 2x 2＋y 2＋3xy ＝1y 2x 2＋3·yx＋1，不妨设y x ＝t ，则|x |2|b |2＝1t 2＋3t ＋1，当t ＝－32时，t 2＋3t ＋1取得最小值14，此时|x |2|b |2取得最大值4，所以|x ||b |的最大值为2.综上，|x ||b |的最大值为2.(2)由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，得(μ2－1)AB →＋λ2AD →＋(λ2＋μ2)AC →＝0，得(μ2－1)AB →＋λ2AD →＋(λ2＋μ2)(AD →＋12AB →)＝0，得(14λ＋34μ－1)AB →＋(λ＋μ2)AD →＝0.又因为AB →，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.答案 (1)2 (2)451．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC →答案 D解析在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形．3. 如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .4．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 D解析 ∵PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴PA →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线．5．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728 D.10答案 B解析设点A 的坐标为(a 2，a )，点B 的坐标为(b 2，b )，直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，与抛物线y 2＝x 联立得y 2－ty －m ＝0，故ab ＝－m ，由OA →·OB →＝2得a 2b 2＋ab ＝2，故ab ＝－2或ab ＝1(舍去)，所以m ＝2，所以△ABO 的面积等于12m |a －b |＝|a －b |＝|a ＋2a |，△AFO 的面积等于12×14|a |＝|a |8，所以△ABO 与△AFO 的面积之和等于|98a |＋|2a |≥2 98|a |×2|a |＝3，当且仅当98|a |＝2|a |，即|a |＝43时“＝”成立，故选B.6. 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1 C.83 D.43答案 D解析分别以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D (43，43)，设AP ＝x ，从而P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC ，AC 的对称点P 1(4,4－x )，P 2(－x,0)与△ABC 的重心D (43，43)共线，所以4343＋x ＝43－－x 43－4，解得x ＝43.7．(2016·杭州模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______．答案3解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝4|a ||b |cos π3＝4>0，∴|a ＋b |>|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝3， ∴|a －b |＝ 3.8．已知点D 为△ABC 所在平面上一点，且满足AD →＝15AB →－45CA →，若△ACD 的面积为1，则△ABD的面积为________．答案 4解析由AD →＝15AB →－45CA →，得5AD →＝AB →＋4AC →，所以AD →－AB →＝4(AC →－AD →)，即BD →＝4DC →.所以点D 在边BC 上，且|BD →|＝4|DC →|，所以S △ABD ＝4S △ACD ＝4.9．已知直线2x ＋y ＋2＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1和上顶点D ，若BF 1→·AD →＝0，则该椭圆的离心率e ＝________.答案255解析因为直线2x ＋y ＋2＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，所以A (－1,0)，B (0，－2)，易知F 1(－c,0)，D (0，b )，所以BF 1→＝(－c,2)，AD →＝(1，b )．因为BF 1→·AD →＝0，所以－c ＋2b ＝0，所以b c ＝12，即a 2－c 2c 2＝12，所以a 2c 2＝54，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝255.10．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 [π6，5π6]解析如图，向量α与β在单位圆O 内，因为|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为边的三角形的面积为14，故β的终点在如图的线段AB 上(α∥AB →，且圆心O 到线段AB 的距离为12)，因此夹角θ的取值范围为[π6，5π6]．11．(2016·嘉兴第二次教学测试) 如图，设正△BCD 的外接圆O 的半径为R (12<R <33)，点A在BD 下方的圆弧上，则(AO →－AB →|AB →|－AD →|AD →|)·AC →的最小值为________．答案－12解析因为(AO →－AB →|AB →|－AD →|AD →|)·AC →＝(AO →－AC →|AC →|)·AC →＝12|AC →|2－|AC →|＝12(|AC →|－1)2－12，因为3R ≤|AC →|≤2R ，而12<R <33，所以当|AC →|＝1时，取到最小值－12.12. 如图，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，求△APC 的面积．解设AB →＝a ，BC →＝b 为一组基底，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .因为点A ，P ，E 与D ，P ，C 分别共线，所以存在λ和μ使AP →＝λAE →＝λa ＋23λb ，DP →＝μDC →＝13μa ＋μb .又AP →＝AD →＋DP →＝(23＋13μ)a ＋μb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，23λ＝μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝67，μ＝47.所以S △PAB ＝47S △ABC ＝14×47＝8(cm 2)，S △PBC ＝(1－67)·S △ABC ＝14×17＝2(cm 2)，于是S △APC ＝14－8－2＝4(cm 2)．13．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a ,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，由PA →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，32y －b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x2，b ＝y3.∵b ＞0，∴y ＞0，把a ＝－x2代入①，得－x2(x ＋x2)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．。

高考数学一轮复习讲义第五章平面向量概念及线性运算

向量的线性运算
例 2 在△ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB＝2GE，设A→B＝a，A→C＝b，试用 a，b 表示 A→D，A→G.
结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键．解 A→D＝12(A→B＋A→C)＝12a＋12b； A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→E＝A→B＋13(B→A＋B→C) ＝23A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→B＋13A→C＝13a＋13b.
定义
法则(或几何意义)
运算律
求两个向量加法
和的运算
三角形平行四边形
(1)交换律： a＋b＝b＋a
(2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) ．
要点梳理
忆一忆知识要点
求 a 与 b 的相
减法反向量－b 的和的运算叫做 a 与 b 的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
一轮复习讲义
平面向量的概念及线性运算
要点梳理
忆一忆知识要点
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度平面向量是自由向量
(或称为模)
长度为 0 的向量；其方向
零向量是任意的
记作 0
非零向量 a 的单位向量
单位向量长度等于1个单位的向量
为±|aa|
要点梳理
探究提高
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (5)非零向量 a 与|aa|的关系是：|aa|是 a 方向上的单位向量．

(浙江版)2018年高考数学复习：专题5.1 平面向量的概念及线性运算(讲)

第01节平面向量的概念及线性运算【考纲解读】【知识清单】1．向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．对点练习：给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．λ＝ (λ为实数)，则λ必为零．③0a其中错误的命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．0【答案】B故选B.2．平面向量的线性运算一．向量的线性运算平行四边形法则1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①()()a a λμλμ＝；②() a a a λμλμ＋＝＋；③()a b a b λλλ＋＝＋.对点练习：【2015高考新课标1】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（）A.1433AD AB AC =-+B.1433AD AB AC =-C.4133AD AB AC =+D.4133AD AB AC =-【答案】A 【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.3．共线向量共线向量定理：向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa.对点练习：设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 同向．【答案】（1）证明见解析；（2）k ＝1.。

高三数学专题复习之平面向量与复数

平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。

复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。

高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。

浙江高考数学第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入5.4平面向量的应用课件

解:(1)f(x)=2cos2x+ 3sin 2x=cos 2x+ 3sin 2x+1=2sin 2x+6 +1,
令-2 +2kπ≤2x+6 ≤ 2 +2kπ,k∈Z,
π π π π π
π
解得 kπ-3 ≤x≤kπ+6 ,k∈Z,因为 x∈ 0, 2 , 所以 f(x)的单调递增区间为 0, 6 .
∴|OC|= 12 + 22 -2 × 1 × 2 × cos60°
= 3. ∴∠AOC=90°, 即�� ⊥ �� ,
关闭

90°
解析答案
-10知识梳理双击自测
自测点评 1.实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算. 2.向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观,向量本身是一个数形结合的产物.在利用向量解决问题时,要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合. 3.要注意变换思维方式,能从不同角度看问题,要善于应用向量的有关性质解题.
3 π sin �� 1 �� 1
-18-
考点一
考点二
考点三
考点四
向量在解析几何中的应用(考点难度★★★)
C: 2 +y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足�� = 2 ��.
(1)求点P的轨迹方程;
�� 2
考点一
考点二
考点三
考点四
对点训练已知函数 f(x)=2cos2x+2 3sin xcos x(x∈R).

浙江高考数学第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入5.1平面向量的概念及线性运算课件

第五章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
5.1
平面向量的概念及线性运算
-3-
2018 2017 2016 2015 2014 年份平面向量的 8,5 分(理) 概念及线性 17,8 分 15,6 分运算 1.理解平面向量及几何意义,理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的考查要求概念. 2.掌握平面向量加法、减法、乘法的概念,并理解其几何意义. 平面向量的概念及线性运算高考直接考查的可能考向分析性不大,常常结合后面知识进行命题考查.
同,因此�� = �� . ③不正确.两向量不能比较大小. ④不正确.当 λ=μ=0 时,a 与 b 可以为任意向量,满足 λa=μb,但 a 与 b关闭 C 不一定共线 .故选 C.
解析答案
-10知识梳理双击自测
2.已知点 D 是△ABC 边 AB 上的中点,设��=a,��=b,则向量 �� =( 1 A.-a-2b C.a-2b
考点一
考点二
考点三
平面向量的有关概念辨析(考点难度★) 【例1】 (1)下列命题中,正确的是 .(填序号) 关闭 ①有向线段就是向量 ,向量就是有向线段 ; ①不正确 ,向量可以用有向线段表示 ,但向量不是有向线段 ,有向线段也不 ②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
是向量;
③向量��与向量��共线,则 A,B,C,D 四点共线; ②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量 ④如果a∥b,b∥c,那么a∥c; 方向不一定相同或相反; ⑤两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.

【步步高】2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义：第五章5.3平面向量的数量积

1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |(4)cos θ＝a ·b |a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 【知识拓展】1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.(2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．( × )1．(教材改编)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k 等于( ) A ．－12 B ．6 C ．－6 D ．12答案 D解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．(2016·临安质检)已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |等于( ) A. 6 B. 5 C. 3 D. 2答案 C解析由题意可得a·b ＝|b |cos 30°＝32|b |,4a 2－4a·b ＋b 2＝1，即4－23|b |＋b 2＝1，由此求得|b |＝3，故选C.3．(2016·温州调研)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．直角梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形答案 C解析由AB →＋CD →＝0得平面四边形ABCD 是平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0得DB →·AC →＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.4．(2016·北京)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．答案 π6解析设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a ||b |＝1×3＋1×312＋(3)2·12＋(3)2＝234＝32，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.题型一平面向量数量积的运算例1 (1)(2016·天津)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58B.18C.14D.118(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．答案 (1)B (2)1 1解析 (1) 如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.(2)方法一以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1. 因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1. 方法二由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．(1)(2016·全国丙卷)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．答案 (1)A (2)2918解析 (1)∵|BA →|＝1，|BC →|＝1， cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝32，又∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.(2)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1， ∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×12×cos 60°＋23×16×12×cos 120°＝2918.题型二平面向量数量积的应用命题点1 求向量的模例2 (1)(2016·宁波模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a|＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB→＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|＝________.(2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 (1)2 (2)7＋1 解析 (1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b ) ＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2) ＝4×(3－2×2×3×cos π6＋4)＝4，所以|AD →|＝2.(2)设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1，知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7，故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1. 即|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是7＋1.命题点2 求向量的夹角例3 (1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________________．答案 (1)223 (2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 解析 (1)因为a 2＝(3e 1－2e 2)2 ＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，又a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3. 思维升华平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a||b |，要注意θ∈[0，π]． (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有①a 2＝a·a ＝|a |2或|a |＝a·a .②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.(1)(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.(2)(2016·绍兴二模)已知单位向量a 和b 满足|a ＋b |＝2|a －b |，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A ．－13B ．－23C.13D.23(3)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6答案 (1)9 (2)C (3)C解析 (1)因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.(2)由|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝2|a －b |，得2＋2a·b ＝2(1－2a·b ＋1)，即a·b ＝13，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝13.(3)∵AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.题型三平面向量与三角函数例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．(1)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( ) A ．－43B ．－45C.45D.34(2)已知向量a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________．答案 (1)A (2)1解析 (1)由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则tan α＜0，解得tan α＝－43，故选A.(2)由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|.由OA →⊥OB →得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0，所以|a |＝|b |，由|OA →|＝|OB →|得|a －b |＝|a ＋b |，所以a·b ＝0. 所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，所以|OB →|＝|OA →|＝2，故S △OAB ＝12×2×2＝1.5．利用数量积求向量夹角典例已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，直线外有两个点A (－1,1)，B (3,3)．求使向量P A →与PB →夹角为钝角的充要条件．错解展示现场纠错解错解中，cos θ<0包含了θ＝π，即P A →，PB →反向的情况，此时a ＝1，故P A →，PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况．1．(2016·北师大附中模拟)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案 D2．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( )A ．22＋ 3B ．2 3C ．4D ．12答案 B解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.3．(2016·山西四校联考)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.32答案 D解析 ∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 4. 在△ABC 中，如图，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( )A.89B.109C.259D.269 答案 B解析若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0.又E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →) ＝⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC → ＝⎝⎛⎭⎫23AC →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB → ＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC → ＝29×(1＋4)＋0＝109.故选B. 5．(2016·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C.*6.若△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为( ) A ．4 B.15 C.7 D ．1答案 C解析如图所示，取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则由平面向量的加法的几何意义得 AB →＋AC →＝2AD →. 又由条件得，AB →＋AC →＝－12OA →＝12AO →，所以2AD →＝12AO →，即4AD →＝AO →，所以A ，O ，D 共线．所以OA ⊥BC ，所以CD 为CA →在CB →方向上的投影．因为|AO →|＝|CO →|＝4，所以|OD →|＝3，所以|CD →|＝|OC →|2－|OD →|2＝7.7．(2016·绍兴柯桥区二模)已知平行四边形ABCD 中，AC ＝3，BD ＝2，则AB →·AD →＝________. 答案 54解析 ▱ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，DB →＝AB →－AD →， ∴|AB →＋AD →|＝3，|AB →－AD →|＝2， ∴(AB →＋AD →)2－(AB →－AD →)2＝5， ∴AB →·AD →＝54.8．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32]，则AB →与BC →夹角的取值范围是________．答案 [π6，π4]解析由三角形面积公式及已知条件知 32≤S △ABC ＝12AB ·BC sin B ≤32，所以3≤AB ·BC sin B ≤3，①由AB →·BC →＝3，知AB ·BC cos(π－B )＝3，所以AB ·BC ＝－3cos B ，代入①得，3≤－3sin Bcos B≤3，所以－1≤tan B ≤－33，所以3π4≤B ≤5π6，而AB →与BC →的夹角为π－B ，其取值范围为[π6，π4]．9．(2017·临安中学调研)已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________. 答案 4解析由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0,2)，P (1,1)，C (0，0)，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝2CP →2＝4.10．(2015·杭州模拟)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于________．答案 13解析建立如图所示坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0， AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13. 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22. 12．(2017·杭州高三第一次质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c .若A ＝π6，(1＋3)c ＝2b . (1)求C ；(2)若CB →·CA →＝1＋3，求a ，b ，c .解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得(1＋3)sin C ＝2sin B ，又因为2sin B ＝2sin(5π6－C )＝cos C ＋3sin C ，所以sin C ＝cos C ，又C ∈(0，56π)，所以C ＝π4. (2)因为CB →·CA →＝22ab ，所以ab ＝2(1＋3)．由正弦定理得2a ＝c ，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＝12c 2＋(1＋3)24c 2－2(1＋3) ＝3＋32c 2－2(1＋3)，解得c ＝2，所以a ＝2，b ＝1＋ 3.*13.(2016·萧山中学模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2)．(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0.又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，∴OB →＝(24,8)或OB →＝(－8，－8)．(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k. ∵k >4，∴0<4k<1， ∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k. 由32k＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4,8)， ∴OA →·OC →＝(8,0)·(4,8)＝32.。

精选浙江专用2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5.4平面向量的应用第1课时平面向量在几何中的应用

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数 5.4 平面向量的应用第1课时平面向量在几何中的应用教师用书1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．【知识拓展】1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2．若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )1．(教材改编)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋－2＝22，|AC →|＝16＋64＝45，|BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．2．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案 D解析在△ABC 中，由余弦定理可得AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →|＝3，故选D.3．(2017·浙江名校协作体联考)若向量a ，b 满足|a |＝|2a ＋b |＝2，则a 在b 方向上投影的最大值是( ) A.3B ．－ 3 C.6D ．－ 6 答案 B解析由题意得|2a ＋b |2＝4|a |2＋4|a||b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝16＋8|b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝4，则cos 〈a ，b 〉＝－|b |2－128|b |＝－(|b |8＋32|b |)≤－2|b |8·32|b |＝－32，当且仅当|b |＝23时等号成立，所以向量a 在向量b 方向上投影的最大值是|a |cos 〈a ，b 〉＝－ 3. 4．(2016·武汉模拟)平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________．答案 x ＋2y －4＝0解析由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4，即x ＋2y ＝4.第1课时平面向量在几何中的应用题型一向量在平面几何中的应用命题点1 向量和平面几何知识的综合例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．答案 (1)12(2)5解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )， PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )，则PA →＋3PB →＝(5,3a －4y )，即|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2，由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a . 因此当y ＝34a 时，|PA →＋3PB →|2取最小值25.故|PA →＋3PB →|的最小值为5. 命题点2 三角形的“四心”例2 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心答案 C解析由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．引申探究1．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？答案 A解析由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．2．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？答案 D解析由条件，得AP →＝λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，从而AP →·BC →＝λ(AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C )＝λ·|AB →|·|BC →－B|AB →|cos B ＋λ·|AC →|·|BC →|cos C |AC →|cos C＝0，所以AP → ⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．命题点3 平面向量数量积与余弦定理例3 (2016·杭州二模)在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 垂直BC 于点D ，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，若DE →·DF →＝6，则BC 等于( )A ．213B ．10C ．237D ．14 答案 A解析由题意，知DE ＝AE ，DF ＝AF ， ∵DE →·DF →＝|DE →|·|DF →|·cos∠EDF ＝|DE →|·|DF →|·|DE →|2＋|DF →|2－|EF →|22|DE →|·|DF →|＝|AE →|2＋|AF →|2－|EF →|22＝16＋9－|EF →|22＝6，∴|EF →|＝13，∴BC ＝213.思维升华向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形(2)(2016·宁波八校联考)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．答案 (1)A (2)1－32解析 (1)AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的角平分线．因为(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的角平分线垂直于BC ，所以AB＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12，所以cos∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．(2)cos∠BAC ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝2＋615， ∴sin∠BAC ＝2－315，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin∠BAC ＝1－32.题型二向量在解析几何中的应用命题点1 向量与解析几何知识的综合例4 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝___________.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3 解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |1＋k2＝3，得k ＝±3，即yx＝± 3. 命题点2 轨迹问题例5 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →的最值．解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.∴点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1. (2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →，又NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2＝x 2＋(y －1)2－1 ＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19，当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3. 综上，PE →·PF →的最大值为19；PE ·PF 的最小值为12－4 3.思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．(1)(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为________．(2)(2016·温州一模)如图，已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在第一象限，且满足|F 2P →|＝a ，(F 1P →＋F 1F 2→)·F 2P →＝0，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若F 2P →＝5F 2Q →，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±55xB ．y ＝±12xC ．y ＝±32x D ．y ＝±33x 答案 (1)－92(2)B解析 (1)∵圆心O 是直径AB 的中点， ∴PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， ∵PO →与PC →共线且方向相反，∴当大小相等时，PO →·PC →最小．由条件知，当PO ＝PC ＝32时，最小值为－2×32×32＝－92.(2)由(F 1P →＋F 1F 2→)·F 2P →＝0，可得|F 1P →|＝|F 1F 2→|＝2c ，则点P (x ，y )(x >0，y >0)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋c 2＋y 2＝4c 2，x －c2＋y 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c －a 24c，y ＝a 16c 2－a24c.又F 2P →＝5F 2Q →，解得Q (c －a 220c ，a 16c 2－a 220c)，又Q 在双曲线C 上，代入双曲线方程化简得80c 4－168a 2c 2＋85a 4＝0，则(4c 2－5a 2)(20c 2－17a 2)＝0，又c >a ，所以4c 2－5a 2＝0,4(a 2＋b 2)－5a 2＝0，则a ＝2b ，则双曲线C 的渐近线方程为y＝±b a x ＝±12x ，故选B.11．函数与方程思想在向量中的应用典例 (1)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于______．(2)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.思想方法指导求向量模的最值或范围问题往往将模表示成某一变量的函数，采用求函数值域的方法确定最值或范围；在向量分解问题中，经常需要用已知向量来表示其他向量，此时可通过三点共线建立向量之间的关系，比较基向量的系数建立方程组求解．解析 (1)因为b ≠0，所以b ＝x e 1＋y e 2，x ≠0或y ≠0. 当x ＝0，y ≠0时，|x ||b |＝0；当x ≠0时，|b |2＝(x e 1＋y e 2)2＝x 2＋y 2＋3xy ， |x |2|b |2＝x 2x 2＋y 2＋3xy ＝1y 2x 2＋3·yx＋1，不妨设y x ＝t ，则|x |2|b |2＝1t 2＋3t ＋1，当t ＝－32时，t 2＋3t ＋1取得最小值14，此时|x |2|b |2取得最大值4，所以|x ||b |的最大值为2.综上，|x ||b |的最大值为2.(2)由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，得(μ2－1)AB →＋λ2AD →＋(λ2＋μ2)AC →＝0，得(μ2－1)AB →＋λ2AD →＋(λ2＋μ2)(AD →＋12AB →)＝0，得(14λ＋34μ－1)AB →＋(λ＋μ2)AD →＝0.又因为AB →，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.答案 (1)2 (2)451．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC →答案 D解析在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形．3. 如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12b B.12a －bC ．a ＋12b D.12a ＋b答案 D解析连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .4．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 D解析 ∵PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴PA →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线．5．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728 D.10答案 B解析设点A 的坐标为(a 2，a )，点B 的坐标为(b 2，b )，直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，与抛物线y 2＝x 联立得y 2－ty －m ＝0，故ab ＝－m ，由OA →·OB →＝2得a 2b 2＋ab ＝2，故ab ＝－2或ab ＝1(舍去)，所以m ＝2，所以△ABO 的面积等于12m |a －b |＝|a －b |＝|a ＋2a |，△AFO 的面积等于12×14|a |＝|a |8，所以△ABO 与△AFO 的面积之和等于|98a |＋|2a |≥2 98|a |×2|a |＝3，当且仅当98|a |＝2|a |，即|a |＝43时“＝”成立，故选B.6. 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1 C.83D.43 答案 D解析分别以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D (43，43)，设AP ＝x ，从而P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC ，AC 的对称点P 1(4,4－x )，P 2(－x,0)与△ABC 的重心D (43，43)共线，所以4343＋x ＝43－－x 43－4，解得x ＝43.7．(2016·杭州模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______．答案3解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝4|a ||b |cos π3＝4>0，∴|a ＋b |>|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝3， ∴|a －b |＝ 3.8．已知点D 为△ABC 所在平面上一点，且满足AD →＝15AB →－45CA →，若△ACD 的面积为1，则△ABD的面积为________．答案 4解析由AD →＝15AB →－45CA →，得5AD →＝AB →＋4AC →，所以AD →－AB →＝4(AC →－AD →)，即BD →＝4DC →.所以点D 在边BC 上，且|BD →|＝4|DC →|，所以S △ABD ＝4S △ACD ＝4.9．已知直线2x ＋y ＋2＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1和上顶点D ，若BF 1→·AD →＝0，则该椭圆的离心率e ＝________.答案255解析因为直线2x ＋y ＋2＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，所以A (－1,0)，B (0，－2)，易知F 1(－c,0)，D (0，b )，所以BF 1→＝(－c,2)，AD →＝(1，b )．因为BF 1→·AD →＝0，所以－c ＋2b ＝0，所以b c ＝12，即a 2－c 2c 2＝12，所以a 2c 2＝54，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝255.10．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 [π6，5π6]解析如图，向量α与β在单位圆O 内，因为|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为边的三角形的面积为14，故β的终点在如图的线段AB 上(α∥AB →，且圆心O 到线段AB 的距离为12)，因此夹角θ的取值范围为[π6，5π6]．11．(2016·嘉兴第二次教学测试) 如图，设正△BCD 的外接圆O 的半径为R (12<R <33)，点A在BD 下方的圆弧上，则(AO →－AB →|AB →|－AD →|AD →|)·AC →的最小值为________．答案－12解析因为(AO →－AB →|AB →|－AD →|AD →|)·AC →＝(AO →－AC →|AC →|)·AC →＝12|AC →|2－|AC →|＝12(|AC →|－1)2－12，因为3R ≤|AC →|≤2R ，而12<R <33，所以当|AC →|＝1时，取到最小值－12.12. 如图，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，求△APC 的面积．解设AB →＝a ，BC →＝b 为一组基底，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .因为点A ，P ，E 与D ，P ，C 分别共线，所以存在λ和μ使AP →＝λAE →＝λa ＋23λb ，DP →＝μDC →＝13μa ＋μb .又AP →＝AD →＋DP →＝(23＋13μ)a ＋μb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，23λ＝μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝67，μ＝47.所以S △PAB ＝47S △ABC ＝14×47＝8(cm 2)，S △PBC ＝(1－67)·S △ABC ＝14×17＝2(cm 2)，于是S △APC ＝14－8－2＝4(cm 2)．13．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a ,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，由PA →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，32y －b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x2，b ＝y3.∵b ＞0，∴y ＞0，把a ＝－x2代入①，得－x2(x ＋x2)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．。

浙江版2018年高考数学一轮复习专题5.1平面向量的概念及线性运算讲20171128382

第01节平面向量的概念及线性运算【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测1.以考查向量的线性理解平面向量及几何意2013·浙江理7;1.平面向运算、共线为主，且义，理解零向量、向量2014•浙江文22;量的实际主要是在理解它们含的模、单位向量、向量2015•浙江理15;背景及基义的基础上，进一步相等、平行向量、向量本概念2016•浙江文理15;解题，如利用向量的夹角的概念。

线性运算求参数等；2013·浙江7;2.考查单位向量较多.2015•浙江文13, 理.15;3.备考重点：2016•浙江文理15;(1) 理解相关概念是基础，掌握线性运算2.向量掌握向量加法、减法、的线性运数乘的概念，并理解其的方法是关键；算几何意义。

(2)注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.【知识清单】1．向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．对点练习：给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．- 1 -③a＝0 (为实数)，则必为零．其中错误的命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．0【答案】B故选B.2．平面向量的线性运算一．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；加法求两个向量和的运算三角形法则(2)结合律：(a＋b)+c＝a+(b＋c)平行四边形法则求a与b的相反向量减法－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则二．向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①a＝a；②(＋)a＝a＋a；③(a＋b)＝a＋b. 对点练习：【2015高考新课标1】设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则（）- 2 -14A.AD AB AC33B.14 AD ABAC3341C.AD AB AC33D.41 AD ABAC33【答案】A【解析】由题知11AD AC CD AC BC AC (ACAB)33=14ABAC33，故选A.3．共线向量共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 对点练习：设两个非零向量a与b不共线，→→→(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b同向．【答案】（1）证明见解析；（2）k＝1.又∵λ>0，∴k＝1.【考点深度剖析】平面向量的概念及线性运算，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，以工具的形式出现．- 3 -【重点难点突破】考点1 向量的有关概念【1-1】给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4【答案】C【解析】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC.又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD且AB与DC方向相同，因此AB＝DC.③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当＝＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．选C.【领悟技法】(1)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．．(3)几个重要结论①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．【触类旁通】【变式一】给出下列命题：①a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a//b；②若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；- 4 -③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； ④若向量 a 与向量b 平行，则向量 a 与b 的方向相同或相反； ⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等．其中真命题的序号是________．【答案】⑤考点 2 平面向量的线性运算【2-1】如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那么 EF 等于（）1111A ．B ．AB ADABAD23421211C ．D ．AB DAABAD3223【答案】D 【解析】1 1 12,故选 D.AB AD AD AB ABAD3223【领悟技法】- 5 -1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【触类旁通】→【变式一】平行四边形OADB的对角线交点为C，BM＝13→→BC，CN＝13→→→CD，OA＝a，OB＝b，用a、→→→ b 表示OM、ON、MN.152b,ON 2【答案】OM= b，MN＝a＋a＋6633111【解析】BA＝a－b，BM＝BA＝a－b，666OM OB BM＝1a＋5b，OD＝a＋b，66ON OC CN＝1OD＋OD126222＝a＋b，OD＝333MN ON OM＝1a－b.126考点3 共线向量12a－16b.【3-1】在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD ＝13CA＋λCB，则λ等于()A. 23B.13C．－13D．－23【答案】A【解析】∵CD＝CA＋AD，CD＝CB＋BD，∴2CD＝CA＋CB＋AD＋BD.- 6 -【领悟技法】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．【触类旁通】【变式一】已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB PA PB，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上【答案】B【解析】由CB PA PB得CB PB PA，∴CP PA.则CP,PA为共线向量，又CP,PA有一个公共点P，C、P、A三点共线，即点P在直线AC上．故选B.【易错试题常警惕】易错典例：下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则a与b同向或反向；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题的序号为________．易错分析：概念理解不清致误．- 7 -答案：④温馨提醒：(1)易忽略 0与 0的区别，把零向量 0误写成 0而致误．(2)易将向量与数量混淆而致误，如|a |＝|b |误推出 a ＝±b 等．(3)忽视向量为零向量的特殊情况而致误．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数 5.4 平面向量的应用第2课时平面向量的综合应用教师

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第2课时平面向量的综合应用题型一平面向量与三角函数命题点1 向量与三角恒等变换的结合例1 已知a＝（cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β),0〈β<α<π.且a＋b＝（0,1)，则α＝________，β＝________。

答案错误!错误!解析因为a＋b＝(0，1),所以错误!由此得cos α＝cos（π－β)．由0<β〈π，得0〈π－β<π，又0〈α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝错误!.又α>β，所以α＝错误!，β＝错误!。

命题点2 向量与三角函数的结合例2 已知向量a＝（sin x，错误!)，b＝(cos x，－1)．(1）当a∥b时，求tan 2x的值；(2)求函数f(x)＝(a＋b）·b在［－错误!，0］上的值域．解（1)∵a∥b，∴sin x·(－1)－错误!·cos x＝0，即sin x＋错误!cos x＝0，tan x＝－错误!，∴tan 2x＝错误!＝错误!。

2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义第五章平面向量、复数第2讲Word版含答案

基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.(必修4P118A 组2(6))下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B. 答案 B2.(2016·沈阳质监)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，则AC →＝( ) A.(－1，－12) B.(－1，12) C.(1，－12)D.(1，12)解析因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1，12)，故选B. 答案 B3.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A. 答案 A4.如右图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为( )A.e 1＋e 2B.－2e 1＋e 2C.2e 1－e 2D.2e 1＋e 2解析以e 1的起点为坐标原点，e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，由题意可得e 1＝(1，0)，e 2＝(－1，1)，a ＝(－3，1)，因为a ＝x e 1＋y e 2＝x (1，0)＋y (－1，1)，＝(x －y ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.答案 B5.已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A.－23B.43C.12D.13解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.答案 A6.(2017·诸暨市调研)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( ) A.23B.43C.－3D.0解析因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，故选D. 答案 D7.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →等于( ) A.(－2，7)B.(－6，21)C.(2，－7)D.(6，－21)解析 AQ →＝PQ →－PA →＝(－3，2)，∵Q 是AC 的中点， ∴AC →＝2AQ →＝(－6，4)，PC →＝PA →＋AC →＝(－2，7)， ∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6，21). 答案 B8.(2017·河南八市质检)已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( ) A.12AC →＋13AB → B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB → 解析如图，∵EC →＝2AE →， ∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 答案 C二、填空题9.已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________. 解析因为(x ，1)＋(2，y )＝(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，所以x ＋y ＝－3. 答案－310.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________.解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案 1211.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________. 解析因为a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1，2)＋2(x ，1)＝(2x ＋1，4)，v ＝2(1，2)－(x ，1)＝(2－x ，3).又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.答案 1212.在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2)表示.解析如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.答案－23e 1＋512e 213.(2017·丽水月考)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1). (1)满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 分别为________； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，则实数k ＝________；(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，则d 的坐标为________.解析 (1)由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(3)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，又a ＋b ＝(2，4)，|d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4（x －4）－2（y －1）＝0，（x －4）2＋（y －1）2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3. ∴d 的坐标为(3，－1)或(5，3).答案 (1)59，89 (2)－1613(3)(3，－1)或(5，3)能力提升题组 (建议用时：15分钟)14.(2017·长沙调研)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2 PA →，则( )A.x ＝23，y ＝13B.x ＝13，y ＝23C.x ＝14，y ＝34D.x ＝34，y ＝14解析由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.答案 A15.已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC→＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为( )A.2B.52C.3D.4解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ).∵tan 30°＝3nm＝33， ∴m ＝3n ，即m n＝3，故选C. 答案 C16.已知点A (－1，2)，B (2，8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________.解析设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)，DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6).因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别为(0，4)，(－2，0)，从而CD →＝(－2，－4). 答案 (－2，－4)17.(2017·金华四校联考)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动.若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为________；最小值为________.解析以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2；当α＝0或2π3时，x ＋y 取得最小值1. 答案 2 118.(2016·四川卷改编)已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________. 解析建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM→|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.答案 494。

2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第五章平面向量、复数第1讲含答案

基础巩固题组(建议用时：30分钟）一、选择题1.已知下列各式:①错误!＋错误!＋错误!；②错误!＋错误!＋错误!＋错误!；③错误!＋错误!＋错误!＋错误!；④错误!－错误!＋错误!－错误!,其中结果为零向量的个数为（)A.1 B。

2 C。

3 D.4解析由题知结果为零向量的是①④，故选B。

答案B2。

设a是非零向量,λ是非零实数，下列结论中正确的是（）A。

a与λa的方向相反B。

a与λ2a的方向相同C.｜－λa|≥|a｜D.|－λa｜≥|λ｜·a解析对于A,当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa 的方向相反；B正确；对于C，|－λa｜＝|－λ||a｜，由于|－λ|的大小不确定,故｜－λa|与｜a|的大小关系不确定；对于D，｜λ｜a是向量，而|－λa|表示长度,两者不能比较大小。

答案B3.如图，在正六边形ABCDEF中，错误!＋错误!＋错误!＝（）A。

0 B.错误!C。

错误! D.错误!解析由题干图知错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.答案D4。

设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量,则a＝|a|a0;②若a与a0平行，则a＝｜a|a0；③若a与a0平行且|a｜＝1，则a＝a0.假命题的个数是（)A。

0 B.1 C.2 D。

3解析向量是既有大小又有方向的量，a与｜a｜a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向,反向时a＝－|a｜a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.答案D5。

设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则错误!＋错误!＋错误!＋错误!等于（)A.错误!B.2错误!C。

3错误! D。

4错误!解析错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝（错误!＋错误!)＋(错误!＋错误!)＝2错误!＋2错误!＝4错误!.故选D.答案D6。