NC-5-3

分段插值
1. 一次插值 插值条件为 y (4) 2 ， (9) 3 y
59 54 5 L1 (5) 2 3 2.2 49 94
2. 二次插值 插值条件为:
y (4) 2
y(9) 3
y (4)
2
1 4
(5 4)(5 9) 1 54 59 5 4 5 H 2 (5) 1 2 3 =2.24 49 49 4 49 94
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分段插值
分段线性插值
定义5.6 设已知点 a=x0<x1<…<xn=b 上的函数值 f(x0), f(x1),…, f(xn)，若有一折线函数 y(x) 满足: 1. y(x) 在[a, b]上连续, 2. y( xi ) f ( xi ) i 0,1, 2,L , n 3. y(x) 在每个子区间[xi, xi+1]上是线性函数,
(5.22)式有n+1个待定参数，但方程只有n－1个，故需要利用 边界条件来增加两个方程：
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样条(Spline)插值
第一边界条件
S (a) f (a) m0 , S (b) f (b) mn
由(5.22)有方程组
2 1 2 2 2 O O n 2 m1 g1 1 f (a) m2 g2 M (5.23) M n 2 mn 2 gn2 2 mn 1 g n 1 n 1 f (b)
2 2 2 2
定理5.6 设 f (4) ( x) 在 [a, b] 上连续，H(x) 是 f(x) 的分段三 次Hermite插值多项式， 令 h max ( xi 1 xi ) ， M max | f (4) ( x) |，则
0i n 1
x[ a ,b ]
1. lim H ( x) f ( x) h 0
记 i
hi 1 hi , i hi hi 1 hi hi 1
gi 3 (i f [ xi 1 , xi ] i f [ xi , xi 1 ])
i 1, 2,L , n 1
(5.22)
则有方程组
i mi 1 2mi i mi 1 gi , i 1, 2,L , n 1
M 4 h 2. | E ( x) | | f ( x) H ( x) | 384
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分段插值
例5.10 根据函数 f ( x) x 的如下数据
分别用两点一次插值，带导数的二次插值，两点三次插值计 算x = 5的近似值，比较其精度．
解：取最接近 x = 5的两个节点的数据进行插值.
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则 H(x) 称为分段三次Hermite插值多项式．
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分段插值
由插值多项式的唯一性，当 x [ xi , xi 1 ] 时，分段三次 Hermite插值多项式为：
x xi x xi 1 x xi 1 x xi H ( x ) 1 2 f ( xi ) 1 2 f ( xi 1 ) xi xi 1 xi xi 1 xi 1 xi xi 1 xi x xi 1 x xi ( x xi ) f ( xi ) ( x xi 1 ) f ( xi 1 ) xi xi 1 xi 1 xi
定理5.5 设 f ( x) 在 [a, b] 上存在； y( x)是f ( x) 的分段性插值函 数，令 h max ( xi 1 xi ) ， M xmax] | f ( x) | ，则有 [ a ,b
0i n 1
1. lim y ( x ) f ( x )
h0
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分段插值
3. 三次插值 插值条件为
y (4) 2 1 (4) y 4
2
y (9) 3 1 y(9) 6
2
5 4 5 9 5 9 5 4 H 3 ( x) 1 2 2 1 2 3 4 9 4 9 9 4 9 4 59 1 54 1 (5 4) (5 9) 49 4 94 6 2.2373
2. 第二边界条件 S (a) f (a), S (b) f (b)；
特别当 S (a) 0, S (b) 0 时，称之为自然边界条件。 3. 当 f(x)是以为 b -a 周期的周期函数时，S(x) 也必须是以 b-a 为周期的周期函数。相应的边界条件: 为：S ( k ) (a 0) S ( k ) (b 0) , k 0,1, 2 。
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分段插值
例5.9 设有函数 f ( x)
1 1 x2
该函数在 (,) 上具有 任意阶的导数，在[-5, 5]上 取等距节点 xi 5 i 进行 Lagrange 插值，插值效果如 图所示． 在(-3.63, 3.63)之内有较好的近似，在之外特别是附近，误差 很大，称之为Runge振荡现象。而且随着 n的增大，振荡越厉 害。所以对该例而言增加插值节点并没有提高精度，反而使 误差更大。
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样条(Spline)插值
三转角插值法
设在节点 xi , i 0,1,L , n 处的一阶导数值为
S ( xi ) mi
其中 mi 是待定参数，mi 在材料力学中解释为细梁在截面处 的转角．由插值多项式的唯一性，此时的三次样条函数，就 是分段三次 Hermite 插值多项式．
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样条(Spline)插值
(5.19)
4 2 6 S ( xi 0) mi mi1 2 ( f i1 f i ) hi1 hi1 hi1
(5.20)
在(5.19)式中用 i-1 代替，得 S (x) 在 [ xi1 , xi ] 上的表达式。且
S ( xi 0) 2 4 6 mi 1 mi 2 ( fi fi 1 ) hi hi hi
2 2
准确值
5=2.236068
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样条 (Spline) 插值
分段线性插值：节点处不具有光滑性。 分段三次Hermite插值：能满足了光滑性，但要求给出 节点处的一阶导数值，这在应用中产生了一定的困难。 现希望仅给出节点处函数值的插值条件和边界条件就能 构造出具有二阶连续导数的插值函数，即样条插值函数。 样条(Spline)一词来源于 绘图技术，在绘图中需要 用一根窄的、柔软的条子 （称为样条）画出一条经 过一组已知点的平滑曲线， 如图所示。
则称 S(x) 为关于划分△的一个三次样条函数．
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样条(Spline)插值
除了(5.17)的n+1个函数值条件外，为了构造唯一的三次样 条插值函数，还需补充在区间 [a, b] 的端点处各补充一个 条件，称之为边界条件． 常见的有以下三种边界条件: 1. 第一边界条件 S (a) f (a), S (b) f (b) ；
故当 x [ xi , xi 1 ], i 0,1,..., n 1时，令
hi 1 xi 1 xi 有
( x xi1 ) 2 [hi1 2( x xi )] ( x xi ) 2 [hi1 2( xi1 x)] S ( x) fi f i1 3 3 hi1 hi1
(5.21)
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样条(Spline)插值
由 S ( xi 0) S ( xi 0), i 1, 2,L , n 1 得
1 fi 1 fi fi fi 1 1 1 1 mi 1 2 mi 1 3 mi , i 1, 2,L , n 1 2 2 hi hi 1 hi hi hi 1 hi 1
M 2 h 2. | E ( x) | | f ( x) y ( x) | 8
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分段插值
分段三次Hermite插值
今后用 C k [a, b] 表示区间 [a, b] 上具有 k 阶连续导数的函数集 合．分段线性插值多项式在节点处不具有光滑性．为了使插值 多项式具有光滑性，可采用分段三次 Hermite 插值。 定义5.7 设有节点 a=x0<x1<…<xn=b ，插值函数 H(x) 满足: 1. H(x) 在 [a, b]上具有连续的一阶导数, 2. H ( xi ) f ( xi ), H ( xi ) , f ( xi ) i 0,1, 2,L , n 3. H(x) 在每个小区间 [ xi , xi 1 ] 上是三次多项式,
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O 2
n 1
样条(Spline)插值
第二边界条件：
S (a) f (a), S (b) f (b)
在(5.20)取 i=0，(5.21)中取 i = n有
h1 2m0 m1 3 f [ x0 , x1 ] 2 f (a) m 2m 3 f [ x , x ] hn f (b) n n 1 n n 1 2
( x xi1 ) 2 ( x xi ) ( x xi ) 2 ( x xi1 ) mi mi1 2 2 hi1 hi1
(5.18)
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样条(Spline)插值
对 S (x) 在 [ xi , xi 1 ] 上求导有
S ( x) 6 x 2 xi 4 xi1 6 x 4 xi 2 xi1 6( xi xi1 2 x) mi mi1 ( f i1 f i ) hi2 1 hi2 1 hi31
则称 y(x) 是 f(x) 的分段线性插值函数。
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分段插值
y(x) 在每个小区间 [xi, xi+1] 上可表示为:
x xi 1 x xi y ( x) f ( xi ) f ( xi 1 ) xi x xi 1 xi xi 1 xi 1 xi