全国各地2011届高三月高三月考试题106套考试题(14)

即m+ 则函数 f1 ( x),
f 2 ( x) 的图像交点个数即为函数 g ( x ) 的零点个数，…………8 分
2 1 x 2 − 4 ( x + 2)( x − 2) + = = x2 2 2x 2 2x 2
Q f 2 ( x) = −
/
∴ x在(−∞,−2), (2,+∞) 时，Q f 2 / ( x ) > 0, ∴ f 2 ( x ) ↑ ； x在(−2,0), (0,2) 时，Q f 2 / ( x ) < 0, ∴ f 2 ( x ) ↓ ；
B．第二象限
2．已知命题 p : ∀x ∈ R , x > sin x ，则 p 的否定形式为 A． ¬p : ∃x ∈ R , x < sin x C． ¬p : ∃x ∈ R , x ≤ sin x 3. 函数 y = B． ¬p : ∀x ∈ R , x ≤ sin x D． ¬p : ∀x ∈ R , x < sin x
(2 − x, g ( x)) . 由题设条件，点 (2 − x, g ( x)) 在 y = f ( x) 的图象上，从而
g ( x ) = f (2 − x ) = 3 sin[ (2 − x ) − ] = 3 sin[ − x − ] 4 3 2 4 3
= 3 cos( 当0 ≤ x ≤
π
π
答：甲船应取北偏东 30o 的方向去追乙，此时乙船行驶 a 海里。…………13 分 20. 解： （1）∵ a n + S n =1（n∈N*） ∴ a n +1 + S n +1 =1
两式相减： a n +1 − a n + S n +1 − S n = 0 ∴{ a n }是公比为
4 3
y = g ( x) 的最大值．
19.(本题满分 13 分) 甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60 方向的 B 处，两船相距 a 海里，乙船正向北 行驶，若甲船速度是乙船速度的 3 倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上 乙船，此时乙船行驶多少海里？ C
o
B A 20． （本小题满分 14 分）
4 3
3 sin
π
6
=
3 ……………………13 分 2
19. 解：如图，甲船在 C 处追上乙船。设乙船行驶速度是 v，则甲船行驶速度 是 3v .设甲、乙两船到 C 处的时间都为 t…………2 分 则在△ABC 中 BC = vt , AC = B A
3vt , ∠ABC = 120o 由余弦定理可知
1 π ) 2 4 1 π B． f ( x ) = 4 sin( x + ) 2 4
C． f ( x ) = 2 sin( x +
π
3π ) 4 1 1 10．函数 f ( x ) = ax 3 + ax 2 − 2ax + 2a + 1 图象经过四个象限，则实数 a 的取值范围是 3 2 6 3 8 3 8 1 6 3 A． − < a < B． − < a < − C． − < a < − D． − < a < − 5 16 5 16 5 16 5 16
D． f ( x ) = 4 sin( x +
4
)
1 2
第Ⅱ卷
r
（非选择题 共 100 分）
二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，将答案填在题后的横线上． ） 11. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ， a = (2, 0) ， b = 1 则 a + 2b = **********
数列{ a n }、{ bn }的前 n 项和分别为 S n ， Tn ，且 a n + S n =1（n∈N*） 。 （1）证明数列{ a n }是等比数列； ，求证： Tn > 2n − 2 （2）若数列{ bn }满足： b1 = 1 ，且 bn +1 = bn + a n （n∈N*）
21.（本小题满分 14 分） 设函数 f ( x ) = (2 − a ) ln x +
2 的根在区间 ( k , k + 1)( k ∈ Z ) 上，则 k 的值为 x B．1 C． − 1 或
y
知 函 数
2
π
-
3π 2
π
2
2
O
-2
x y=f '(x)
其导函数 f ′( x ) 的部分图象如图所示， f ( x ) = A sin(ω x + ϕ )( A > 0 , ω > 0 , 0 < ϕ < π ) ， 则函数 f ( x ) 的解析式为 A． f ( x ) = 2 sin( x +
log 1 (4 x − 3) 的定义域为
2
（A） (−∞, )
3 4
（B） ( −∞,1]
（C） ( ,1]
3 4
（D） ( ,1)
3 4
4. 三个数 6 0.5 ， 0.5 6 ， log 0.5 6 的大小顺序为 （A） 0.5 < log 0.5 6 < 6
6 0 .5
（B） 0.5 < 6
2
求实数 m 的取值范围。
17．(本小题满分 13 分) 已知向量 a = ( mx 2 , −1), b = (
r
r
1 , x ) (m 是常数), mx − 1
(1)若 f ( x) = r r 是奇函数，求 m 的值;
1 ab
（2）设函数 g ( x ) = f ⎜ 点，没有零点？
⎛ x⎞ x ⎟ − ，讨论当实数 m 取何值时，函数 g ( x ) 有两个零点，一个零 ⎝2⎠ 2
（Ⅰ）当 a = 0 时，求 f ( x ) 的极值；
1 + 2ax ( a ∈ R) . x
（Ⅱ）当 a < 0 时，求 f ( x ) 的单调区间； （Ⅲ）若对任意 a ∈ ( −3,−2) 及 x1 , x2 ∈ [1,3] ，恒有 (m + ln 3)a − 2 ln 3 >| f ( x1 ) − f ( x2 ) | 成立，求 m 的取值范围.
由题知对任意的不为零的实数 x , 都有 f ( − x ) = − f ( x ) ,
1 1 = − m + 恒成立，所以 m = 0 . ……………………6 分 x x 2 x 2 x （2）由（1）知， g ( x ) = m − − ，则 g ( x ) = 0 ⇔ m = + x 2 x 2 2 x 设 f 1 ( x ) = m, f 2 ( x ) = + ， x 2
π
4
x cos
π
6
− cos
π
4
x sin
π
6
− cos
π
4
x=
3 π 3 π sin x − cos x 2 4 2 4
= 3 sin(
π
故 f ( x ) 的最小正周期为 T =
x − ) ……………5 分 4 3 2π
π
π
=8………………6 分
4
( Ⅱ ) 解 法 一 ： 在 y = g ( x ) 的 图 象 上 任 取 一 点 ( x, g ( x )) ， 它 关 于 x = 1 的 对 称 点
12.
⎧1 − m ≥ −2 ⎪ 所以 ⎨1 + m ≤ 3 （等号不能同时取到） ………11 分 ⎪m > 0 ⎩
解得 0 < m ≤ 2 就是所求的实数 m 的取值范围． …………13 分
17．解: (1)由题知 a b =
r r
mx 2 x mx − 1 1 ,所以 f ( x) = =m− …3 分 −x= mx − 1 mx − 1 x x
( −1, f ( −1)) 处的切线的斜率为__**********___.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （本小题满分 13 分） 已知命题 p :| x − 1 |< m ( m > 0) ， q：x − x − 6 ≤ 0； ， 若 ¬p 是 ¬q 的必要而不充分条件，
AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 AB BC cos120o ，…………5 分
即 2v t − avt − a = 0 ，解得 vt = − (舍去)或vt=a …………9 分
2 2 2
a 2
所以 BC = a, 又
BC AC = , 所以∠CAB = 30o …………12 分 o sin ∠CAB sin120
所以 f 2 ( x ) 极小值 = f 2 ( 2) = 2 ， f 2 ( x ) 极大值 = f 2 (−2) = −2 …………11 分 所以，当 m > 2, 或m < −2 时，函数 g ( x ) 有两个零点； 当 m = ±2 时，函数 g ( x ) 有一个零点； 当 − 2 < m < 2 时，函数 g ( x ) 没有零点. …………13 分 说明：若用均值不等式讨论 f 2 ( x) 的图像性质，或用其它方法求解，可酌情给分 18. 解： （Ⅰ） f ( x ) = sin
18． （本小题满分 13 分） 设函数 f ( x ) = sin(
πx π
πx − ) − 2 cos 2 +1． 4 6 8
（Ⅰ）求 f ( x ) 的最小正周期． （ Ⅱ ） 若 函 数 y = g ( x ) 与 y = f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 x = 1 对 称 ， 求 当 x ∈ [0, ] 时
4 3