2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案

2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题

参考答案

说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．若0x >，0y >= B ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则BD CD ⋅＝（ D ）

A ．16

B ．15

C ．13

D ．12

3．已知,x y 为整数，且满足22441

111211()()()3x y x y x y

++=--，则x y +的可能的值有 （ C ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4．用1g 、3g 、6g 、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ C ）

A ．21

B ．20

C ．31

D ．30

5．已知实数,,x y z 1()2

x y z =++，则xyz 的值为 （ A ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．不确定

6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，M 为三角形内一点，过点M 作三边的平行线，交各边于D 、E 、F 、G 、P 、Q （如图），如果DE FG PQ x ===，则x ＝ （ D ）

A ．1813

B ．2013

C ．2213

D ．2413 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝

1-． 2．使得不等式981715

n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 144 ． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则PAC ∠=

48︒．

4．已知n 为正整数，且432261225n n n n ++++为完全平方数，则n ＝ 8 ． 第二试

一、（本题满分20分）设b 为正整数，a 为实数，记221145224

M a ab b a b =-++-+，在,a b 变动的情况下，求M 可能取得的最小整数值，并求出M 取得最小整数值时,a b 的值．

解 222233(2)2(2)121(21)(1)44

M a b a b b b a b b =-+-+++++=-++++，………………5分 注意到b 为正整数，所以2319(11)44

M ≥++=，所以M 可能取得的最小整数值为5. ……………………10分

当5M =时，223(21)(1)54a b b -++++

=，故2217(21)(1)4

a b b -+++=.…………………15分 因为b 为正整数，所以2(1)b +是整数且不小于4，所以一定有12b +=，且21(21)4

a b -+=，所以1b =，12a =或32

a =. ……………………20分 二．（本题满分25分）在直角△ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，

90EDF ∠=︒，已知4CE =，2AE =，32

BF CF -=，求AB . 解 延长ED 到点M ，使DM ED =，连接MB 、MF . 又因为D 为AB 的中点，所以△BDM ≌△ADE . …………5分

所以A E B M =，A ABM ∠=∠，所以AC //BM ，所以18090CBM C ∠=︒-∠=︒，故△BMF 是直角三角形，于是有222BM BF MF +=. ……………………10分

又在直角△CEF 中，有222CE CF EF +=. 又由90EDF ∠=︒和DM ED =可得EF MF =， ……………………15分 于是可得222222CE CF BM BF AE BF +=+=+，

所以222212BF CF CE AE -=-=，即()()12BF CF BF CF +-=. ……………………20分 又32BF CF -=

，所以8BF CF +=，即8BC =. 因此2222268100AB AC BC =+=+=，所以10AB =. ……………………25分

三．（本题满分25分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足2221222bc ac ab a bc b ac c ab ++=+++，求a b c ++的值.

解 由2221222bc ac ab a bc b ac c ab ++=+++得2221111222111a b c bc ac ab

++=+++. 设22a x bc =，22b y ac =，22c z ab =，则8xyz =，且1111111

x y z ++=+++，…………………10分 通分即得(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)y z x z x y x y z ++++++++=+++，

展开后整理得2xyz x y z =+++，所以6x y z ++=. …………………15分

即222

2226a b c bc ac ab

++=，所以3333a b c abc ++=，分解因式得 222()[()()()]0a b c a b b c c a ++-+-+-=.

又,,a b c 不全相等，所以222()()()0a b b c c a -+-+-≠，故0a b c ++=. ………………25分