2014年全国初中数学联赛决赛(初三)试题及答案解析

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准

规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分

的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．已知,x y 为整数，且满足22441

111211()()()3x y x y x y

++=--，则x y +的可能的值有（ C ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ A ）

A ．47

B ．59

C ．916

D ．1225

3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知

3BP =，1PE =，则AE ＝ （ B ）

A ．62

B ．2

C ．3

D ．6 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片

上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ B ）

A ．12

B ．25

C ．23

D ．34

5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +

=，则1

{}{}x x

+=

（ D ）

A ．12

B ．35-

C ．1(35)2

- D ．1 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使

得△A D E 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ A ）

A ．423-

B ．23-

C ．1(31)2

- D ．31- 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b

++=+-+-+-，则abc =__0__．

2．使得不等式981715

n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 144 ． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠=48︒．

4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = 36 ．

第二试 （A ）

一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求22

11a b +的值． 解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.

设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=，

……………………5分

联立解得(,x y =或(,)(6,2)x y =. ……………………10分

若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两

根，但这个方程的判别式2

(2)24200∆=--=-<，没有实数根； ……………………15分

若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2

(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以 2222222222211()262282

a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ……………………20分

二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠, AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：

DFE AFB ∠=∠．

证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知E C D A C B D A ∠=∠=∠. ……………………5分 又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，

所以△ECD ∽△

DAF ， (15)

分 所以

ED CD AB DF AF AF

==. ……………………20分 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故

DFE AFB ∠=∠. ……………………25分

三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.

解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P .

取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质

P .…………………5分

为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333

(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则 33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+-

3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++

＝3

()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++ 2221()()2

x y z x y z xy yz zx =

++++--- 2221()[()()()]2

x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ① …………………

…10分

不妨设x y z ≥≥，

如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+；

F C A

B D

E