2018届高中数学北师大版空间点、线、面间位置关系单元测试 Word版含答案

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2018届北师大版空间点、直线、平面之间的位置关系检测卷

1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则“α∥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若a⊂α，b⊥β，α∥β，则由α∥β，b⊥β⇒b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；若a⊥b，a⊂α，b⊥β，则b⊥α或b∥α或b⊂α，此时α∥β或α与β相交，所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.2．(2016·福州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条答案 D解析在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交．3．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线答案 C解析不论l∥α，l⊂α，还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.4．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M既不在AC上，也不在BD上解析由于EF ∩HG ＝M ，且EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ACD ，所以点M 为平面ABC 与平面ACD 的一个公共点，而这两个平面的交线为AC ，所以点M 一定在直线AC 上，故选A.5．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为( ) A.255B.55C.45D.35答案 B解析因为四边形ABCD 为正方形，故CD ∥AB ，则CD 与P A 所成的角即为AB 与P A 所成的角，即为∠P AB .在△P AB 内，PB ＝P A ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22×P A ×AB ＝5＋4－52×5×2＝55，故选B. 6．下列命题中，正确的是( )A ．若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线B ．若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，则直线a 平行于经过直线b 的所有平面C ．若直线a 与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D ．若直线a ∥平面α，点P ∈α，则平面α内经过点P 且与直线a 平行的直线有且只有一条答案 D解析对于A ，当α∥β，a ，b 分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a ∥b ，故A 错误．对于B ，设a ，b 确定的平面为α，显然a ⊂α，故B 错误．对于C ，当a ⊂α时，直线a 与平面α内的无数条直线都平行，故C 错误．易知D 正确．故选D.7．(2016·南昌高三期末)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形．∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋P A 1的最小值为________．解析连接A 1B ，将△A 1BC 1与△CBC 1同时展平形成一个平面四边形A 1BCC 1，则此时对角线CP ＋P A 1＝A 1C 达到最小，在等腰直角三角形△BCC 1中，BC 1＝2，∠CC 1B ＝45°，在△A 1BC 1中，A 1B ＝40＝210，A 1C 1＝6，BC 1＝2，∴A 1C 21＋BC 21＝A 1B 2，即∠A 1C 1B ＝90°.对于展开形成的四边形A 1BCC 1，在△A 1C 1C 中，C 1C ＝2，A 1C 1＝6，∠A 1C 1C ＝135°，由余弦定理有，CP ＋P A 1＝A 1C ＝2＋36－122cos135°＝50＝5 2.8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案 ②③④解析把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .9．(2015·浙江)如图，三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．答案 78解析如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .∵M 为AD 的中点， ∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角． ∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2， N 为BC 的中点，由勾股定理求得AN ＝DN ＝CM ＝22， ∴MK ＝ 2.在Rt △CKN 中，CK ＝(2)2＋12＝ 3. 在△CKM 中，由余弦定理，得 cos ∠KMC ＝CM 2＋MK 2－CK 22CM ×MK＝(22)2＋(2)2－(3)22×22×2＝78.*10.(2017·郑州质检)如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是________．①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE . 答案 ③解析取DC 中点F ，连接MF ，BF ，MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球上，可得①②正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；A 1C 在平面ABCD 中的投影与AC 重合，AC 与DE 不垂直，可得③不正确．11.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．证明如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1、H、O三点共线．12.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，∴EF∥CD.∴∠BEF 或其补角即为异面直线BE 与CD 所成的角．在Rt △EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △BAF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010.∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. *13.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D 、B 、F 、E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线．证明 (1)如图所示，因为EF是△D 1B 1C 1的中位线，所以EF ∥B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ，所以EF ∥BD .所以EF ，BD 确定一个平面．即D 、B 、F 、E 四点共面． (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设平面A 1ACC 1确定的平面为α，又设平面BDEF 为β. 因为Q ∈A 1C 1，所以Q ∈α. 又Q ∈EF ，所以Q ∈β. 则Q 是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，则R∈α且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．。

专题8-3空间点、线、面的位置关系(讲)-2018年高考数学(理)一轮复习讲练测Word版含解析

2018年高考数学讲练测【新课标版】【讲】第八章立体几何第03节空间点、线、面的位置关系【考纲解读】【知识清单】1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．对点练习：下列命题：①三个点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面；④两条平行线确定一个平面；⑤若四点不共面，则必有三点不共线．其中正确命题是________．【答案】③④⑤2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．对点练习：【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥，则（）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 【答案】C 【解析】由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．3.异面直线所成的角异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：]2,0(π.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．对点练习：【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）A C D 【答案】C【考点深度剖析】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．【重点难点突破】考点一平面的基本性质【1-1】下列叙述中错误的是（）． A. 若且，则B. 三点，，确定一个平面C. 若直线，则直线与能够确定一个平面D. 若，且，，则【答案】B【解析】根据公理若，且是的交线，则，A正确；当，，三点共线时不能确定一个平面，错误；根据推论若直线，则直线与能够确定一个平面，C正确；根据公理若，且，，则，D正确，故选．【1-2】【江西卷】如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．【答案】4【1-3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．【答案】见解析.【解析】如图所示，∵A1A∥C1C，∴A1A，C1C确定平面A1C.∵A1C⊂平面A1C，O∈A1C，∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩线A1C，∴O∈平面BDC1，∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上．∵AC∩BD＝M，∴M∈平面BDC1，且M∈平面A1C，∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M，∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．【1-4】如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．【答案】见解析.【解析】很明显，点S是平面SBD和平面SAC一个公共点，即点S在交线上．由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．【领悟技法】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.【触类旁通】【变式1】如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（）．⊂A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. ABα【答案】CA B两点在平面α同侧，则直线AB与平面α平行，【解析】若1若在异侧，则直线AB与平面α相交，故选C．【变式2】如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.（Ⅰ）求证：E，F，G，H四点共面；（Ⅱ）设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．【答案】见解析.【变式3】如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．【答案】见解析.【解析】如图，连接GE，FH.因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GE∥AC.又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC.所以FH∥GE，GH，EF不平行．所以E，F，H，G四点共面．所以四边形EFHG是一个梯形．设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两个平面的交线上．因为这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点．综合点评：(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上.考点二空间两直线的位置关系【2-1】已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（）．A. ，，则B. ，，，，则C. ，，则D. 当，且时，若，则【答案】C【解析】中，可能在面上，错误；中，，可能都平行于、相交的直线，错误；中，正确；中，直线和直线可能异面，错误．故选．【2-2】如图，正方体中，下列结论不正确．．．的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】与是两条异面直线．所以不可能平行,选C.【2-3】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．【答案】②③④【解析】把正四面体的平面展开图还原．如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.【2-4】如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB A C ．11AE B C ⊥D ．11//AC 平面1ABE 【答案】C【领悟技法】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.【触类旁通】【变式1】若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是( ) A ．平行 B ．异面 C ．相交 D ．平行、异面或相交【答案】D【解析】当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D. 【变式】如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与是异面直线．以上四个结论中，正确的序号是（）．A. ③④B. ②④C. ①②③D. ②③④【答案】A【解析】如图所示，画出题目中的正方体，由图可知①与是异面直线，错误；②，错误；③与成角，正确；④与是异面直线，正确；正确的选项为③④．故选．【变式3】【广东卷】若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交【答案】D【解析】如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确，选D.【变式4】如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．【答案】③④综合点评：判定空间两条直线是异面直线的方法：(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点B 的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.考点3 异面直线所成的角【3-1】在正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线1BA 与1CC 所成的角为（） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C【解析】如图所示，由正方体的性质可知11CC BB ，则异面直线1BA 与1CC 所成的角即11B BA ∠，结合正方体的性质可知1145B BA ∠=，综上可得异面直线1BA 与1CC 所成的角为45°. 本题选择C 选项.【3-2】【大纲全国卷】已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A .16B .36 C .13 D .33【答案】B【解析】如图所示，取AD 的中点F ，连EF ，CF ，则EF∥BD，∴异面直线CE 与BD 所成的角即为CE 与EF 所成的角∠CEF. 由题知，△ABC，△ADC 为正三角形，设AB ＝2，则CE ＝CF ＝3，EF ＝12BD ＝1.∴在△CEF 中，由余弦定理，得cos ∠CEF ＝CE 2＋EF 2－CF 22CE·EF＝32＋12－322×3×1＝36，故选B .⊥，则异面直线直线b与c所成的角的范围为【3-3】异面直线,a b所成的角，直线a c（）【答案】B【解析】作b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a与平面α的交点，在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面αα中，所有与OP'平行的线与b由于PP'垂直于平面α，所以该线垂直与PP′，则该线垂直于平面OPP'，所以该线垂直与b'，故在平面α所有与OP'垂直的线与b'OP'夹角大于0b'故选B.【领悟技法】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是]2,0(π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【触类旁通】【变式1】【2016高考新课标1卷】平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为(A)2 (B )2 (C)3 (D)13【答案】A【变式2】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1的中点，则A 1B 与EF 所成角的大小为________．【答案】π3【解析】如图，连接B 1D 1，D 1C ，B 1C .由题意知EF 是△A 1B 1D 1的中位线，所以EF ∥B 1D 1. 又A 1B ∥D 1C ，所以A 1B 与EF 所成的角等于B 1D 1与D 1C 所成的角．因为△D 1B 1C 为正三角形，所以∠B 1D 1C ＝π3.故A 1B 与EF 所成角的大小为π3. 【变式3】【2017课标3，理16】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③ 【解析】【变式4】如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，PA ＝2.求：（Ⅰ）三角形PCD 的面积；（Ⅱ）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．【答案】（1）23；（2）π4.【解析】（Ⅰ）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD . 又AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD . 因为PD ＝22＋22＝23，CD ＝2，所以三角形PCD 的面积为12×2×23＝2 3.（Ⅱ）如图，取PB 的中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，由EF ＝2，AF ＝2，AE ＝2知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π4.因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.综合点评：求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.【易错试题常警惕】易错典例：l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面错解：A错因：受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况．正解：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．温馨提醒：1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.2. 不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.3.两条异面直线所成角的范围是(0,]2.4.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.【学科素养提升之思想方法篇】化抽象为具体——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答异面直线所成角的问题中，主要存在两类问题，一是“有图考图”，二是“无图考图”，如：【典例1】已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成的角为________.【答案】60°或30°【解析】解析方法一如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝12AB，PN∥CD，且PN＝12CD，所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角.方法二由AB＝CD，可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1－C1CD1D中进行考虑，如图，由M，N分别是BC，AD的中点，所以MN∥AA1，即∠BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角. 连接A1B1交AB于O，所以A1B1∥CD，即∠AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角.所以∠AOA1＝60°或120°，由矩形AA1BB1的性质可得∠BAA1＝60°或30°.所以直线AB和MN所成的角为60°或30°.【典例2】如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成的角是________.【答案】90°【解析】取AA′的中点Q，连接QN，BQ，且BQ与B′M相交于点H，则QN綉AD綉BC，从而有四边形NQBC为平行四边形，所以NC∥QB，则有∠B′HB为异面直线B′M与CN所成的角.又∵B′B＝BA，∠B′BM＝∠BAQ＝90°，BM＝AQ，∴△B′BM≌△BAQ，∴∠MB′B＝∠QBM.而∠B′MB＋∠MB′B＝90°，从而∠B′MB＋∠QBM＝90°，∴∠MHB＝90°.。

【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修二《空间直角坐标系》单元测试题及解析

2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修二第二章《空间直角坐标系》单元测试题班级：姓名：一、选择题：（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 在空间直角坐标系中，已知点P(,,x y z ),关于下列叙述： ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1(,,x y z -)②点P 关于yoz 平面对称点的坐标是P 2(,,x y z --)③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3(x,－y,z)④点P 关于原点对称点的坐标是P 4(,,x y z ---)其中正确的叙述的个数是 ( )A.1B.2C.3D.42．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（）A ．26B ．3C ．23D ．363.已知空间两点A(－3,－1,1)、B(－2,2,3)，C 在oz 轴上，且与A 、B 两点的距离相等，则点C 的坐标是（）A.(0,0,1)B.(0,3,0)C.3(0,0,)2D.(2,1,0)4. 在直角坐标系中，已知两点(4,2),(1,3)M N -，沿x 轴把直角坐标平面折成直二面角后，,M N 两点间的距离为( )A ．38B ．34C ．22D ．10[答案] B 解析：翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系，,M N 两点的坐标分别为(4,2,0)M ，(1,0,3)N ，利用空间直角坐标系中两点间距离公式得，,M N 两点间的距离为222(41)(20)(03)22-+-+-=．5. 已知点(1,2,11),(4,2,3),(6,1,4)A B C --，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6．已知点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ，)15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是（）xz yN MOA ．21，4B ．1，8C ．21-，－4 D ．－1，－87．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为（）A ．（27，4，－1）B ．（2，3，1）C ．（－3，1，5） D ．（5，13，－3）8．已知(,5,21),(1,2,2)A x x x B x x --+-，当,A B 两点间距离取得最小值时，x 的值为（）A ．19B ．87- C ．87D ．19149．给定空间直角坐标系中，x 轴上到点(4,1,2)P 的距离为30的点有（）A ．2个B ．1个C ．0个D ．无数个10．如图，在空间直角坐标系中有一棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，1AC 的中点E 与AB 的中点F 的距离为（）A ．2aB ．22aC ．aD ．2a[答案]B 解析：点E 的坐标为(,,)222a a a，点F 的坐标为(,,0)2aa ，所以222()()222a a EF a =+=，故选B ．二、填空题:（本题共5小题，每小题5分，共25分.请将正确的答案填到横线上） 11．已知点A （－3，1，4），则点A 关于原点的对称点B 的坐标为；AB 的长为．12．如右图，为一个正方体截下的一角P －ABC，||PA a =，||PB b =，||PC c =，建立如图坐标系，求△ABC 的重心G 的坐标__．13．在空间直角坐标系中，自点(4,2,3)P --引x 轴的垂线，则垂足的坐标为.14．已知平行四边形ABCD 的两个顶点的坐标分别为(2,3,5)A --和(1,3,2)B -，对角线的交点是(4,1,7)E -，则,C D 的坐标分别为.15. 在长方体1111D C B A A B C D-中，若)3,0,5(),0,4,5(),0,0,5(),0,0,0(1A B A D ，则对角线1AC 的长为______________.三、解答题:（本题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和演算步骤）1DXA CY1CZO(D )E 1BB1AF16．（12分）在平面内的直线1x y +=上确定一点M ，使M 到点(6,5,1)N 的距离最小.17．（12分）如图，已知矩形ABCD 中，||3AD =，||4AB =．将矩形ABCD 沿对角线BD 折起，使得面BCD ⊥面ABD ．现以D 为原点，DB 作为y 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 坐标平面内．试求A ，C 两点的坐标．18．（12分）已知点(1,1,0)A ，对于Oz 轴正半轴上任意一点P ，在Oy 轴上是否存在一点B ，使得PA AB⊥恒成立？若存在，求出B 点的坐标；若不存在，说明理由.19.（12分）已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．(1)在x 轴上求一点P ，使|PA|＝|PB|；(2)在xOz平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点的轨迹．XAYB OZ PXAYB OZP20．（13分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC 上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．21．（14分）在空间直角坐标系中，已知A （3，0，1）和B （1，0，－3），试问：（1）在y 轴上是否存在点M ，满足||||MA MB =？（2）在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 坐标．北师大版必修2第一章《空间直角坐标系》单元测试题答案一、选择题： 1. [答案] A 2．[答案] C 3. [答案] C4.解析：翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系，,M N 两点的坐标分别为(4,2,0)M ，(1,0,3)N ，利用空间直角坐标系中两点间距离公式得，,M N 两点间的距离为222(41)(20)(03)22-+-+-=．5. [答案] C 解析：根据两点间距离公式89,75,14AB AC BC ===，则有222AC BC AB +=． 6．[答案] C 7．[答案] D8．[答案] C 解析：2143219AB x x =-+，所以当87x =时，,A B 两点间距离取得最小值．9．[答案] A 解析：设满足条件的点为(,0,0)x ，代入两点间距离公式：222(4)(01)(02)30x -+-+-=，解得9x =或1x =-，所以满足条件的点为(9,0,0)或(1,0,0)-．10．[答案]B 解析：点E 的坐标为(,,)222a a a，点F 的坐标为(,,0)2a a ，所以222()()222a a EF a =+=，故选B ．二、填空题:11．[答案] （3，－1，－4）； 226； 12．[答案] （3,3,3bc a ）13．[答案] (4,0,0)-解析：过空间任意一点P 作x 轴的垂线，垂足均为(,0,0)a 的形式，其中a 为点P 在x 轴上的坐标．14．[答案] (6,1,19)与(9,5,12)-解析：点E 分别是点A 与点C 、点B 点D的中点，所以,C D 的坐标分别为(6,1,19)与(9,5,12)-．15. [答案]：25解析：1C 的坐标为），，（340，253452221=++=AC 或由已知可得该长方体从同一顶点出发的棱长分别为3，4，5. 三、解答题:16．解：因为点M 在平面内的直线1x y +=上，故可设点M 为(,1,0)x x -+，所以222(6)(4)12453MN x x x x =-+++=-+，所以当1x =时MN 取得最小值.此时点M 坐标为(1,0,0).17．解：由于面BCD ⊥面ABD ，从面BCD 引棱DB 的垂线CF 即为面ABD 的垂线，同理可得AE 即为面BCD 的垂线，故只需求得DF DE CF AE ,,,的长度即可。

立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题(含详细答案解析)

第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（）A．5B．4C．9D．1［答案] D[解析］由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!（)A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对;当直尺平行于地面时,C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案］ D［解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误;D项，假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面,直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有错误!（)A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③;②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β,即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在导学号 92180601（)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部[答案] B[解析］∵∠BAC＝90°,∴BA⊥AC．又∵BC1⊥AC,∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有错误!（) A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B［解析］如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．（2016·浙江文）已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则错误!(）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[答案］ C[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时,m∥l；选项B,只有当m⊥β时,m∥n；选项C,由于l⊂β,∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n,故选C．8．（2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为错误!（）A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析］如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1。

2018届高中数学北师大版立体几何单元测试 Word版含答案

一．基础题组1.【2011课标，文8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A. B. C. D .【答案】D【解析】由题意可知,该几何体为一个半圆锥与一个三棱锥组合而成,不难分析出,选项D正确.2.【2011全国1，文8】【答案】C3. 【2010全国1，文6】直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30° B．45° C．60° D．90°【答案】：C4. 【2005全国1，文2】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28（B ）π8 （C ）π24 （D ）π4【答案】B【解析】由题知，截面圆半径为1，距离，截面圆半径，球的半径构成直角三角形，即球的半径的平方=距离的平方+截面圆半径的平方，所以，球的半径等于根号2，球的表面积公式4π*半径的平方，所以，答案是8π 5. 【2005全国1，文4】如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为( )（A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）23【答案】A【解析】6. 【2011全国1，文15】已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为【答案】237. 【2009全国卷Ⅰ,文15】已知OA 为球O 的半径,过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M,若圆M 的面积为3π,则球O 的表面积等于____________.【答案】:16π8. 【2014全国1，文19】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.【解析】（1）连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点.因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥.又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，。

高中数学必修二单元测试：空间点、线、面之间的位置关系word版含答案

空间点、线、面之间的位置关系单元测试一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为( )A．P∈m，m∈αB．P∈m，m⊂αC．P⊂m，m∈αD．P⊂m，m⊂α解析：选B 点在直线上用“∈”，直线在平面上用“⊂”，故选B.2．(2018·平阳期末)已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C 由平行直线公理可知，若c∥b，则a∥b，与a，b是异面直线矛盾．所以c与b不可能是平行直线．3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( ) A．6 2 B．12C．12 2 D．24 2解析：选A 如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝62，故选A.4.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条；与AB异面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．答案：5 45.如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点，连接M ，C .∵M 为AD 的中点，∴M ∥AN ，∴∠ MC 为异面直线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理易求得AN ＝DN ＝CM ＝22，∴M ＝ 2.在Rt △C N 中，C ＝ 2 2＋12＝ 3.在△C M 中，由余弦定理，得cos ∠ MC ＝2 2＋ 22 2－3 22×2×22＝78. 答案：78二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A ，B ，C ，D 是空间四点，命题甲：A ，B ，C ，D 四点不共面，命题乙：直线AC 和BD 不相交，则甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若A ，B ，C ，D 四点不共面，则直线AC 和BD 不共面，所以AC 和BD 不相交；若直线AC 和BD 不相交，若直线AC 和BD 平行时，A ，B ，C ，D 四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．2．(2018·宁波模拟)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与A 1B 1平行解析：选D 如图，连接C 1D ，在△C 1DB 中，MN ∥BD ，故C 正确；因为CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，所以MN 与CC 1垂直，故A 正确；因为AC ⊥BD ，MN ∥BD ，所以MN 与AC 垂直，故B 正确；因为A 1B 1与BD 异面，MN ∥BD ，所以MN 与A 1B 1不可能平行，故D 错误．3．下列命题中，真命题的个数为( )①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l .A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.4.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为棱D 1C 1的中点．设AM 与平面BB 1D 1D 的交点为O ，则( )A ．三点D1，O ，B 共线，且OB ＝2OD 1B ．三点D 1，O ，B 不共线，且OB ＝2OD 1C ．三点D 1，O ，B 共线，且OB ＝OD 1D ．三点D 1，O ，B 不共线，且OB ＝OD 1解析：选A 连接A 1M 与B 1D 1交于点H ，连接OH .因为△MD 1H 与△A 1B 1H 相似，所以D 1HHB 1＝D 1M A 1B 1＝MH A 1H ＝12.因为OH ∥A 1A ，所以OH AA 1＝MH MA 1＝13，所以OH ＝13AA 1，所以OH ＝13B 1B ，且OH ∥BB 1，所以由三角形相似可知，D 1，O ，B 三点共线，且OB ＝2OD 1.5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为() A.32 B ．33010C.3010 D.12解析：选C 如图，设正方体的棱长为a ，取线段AB 的中点M ，连接CM ，MF ，EF .则MF綊AE，所以∠CFM即为所求角或所求角的补角．在△CFM中，MF＝CM＝52a，CF＝62a，根据余弦定理可得cos∠CFM＝30 10，所以可得异面直线AE与CF所成的角的余弦值为3010.故选C.6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB 与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：37．(2018·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ，因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2. 答案： 29．(2018·舟山模拟)在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．解：如图，分别取AD ，CD ，AB ，BD 的中点E ，F ，G ，H ，连接EF ，FH ，HG ，GE ，GF .由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34， GE ∥BD ，且GE ＝134，GE 和EF 所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角．同理，GH ∥AD ，HF ∥BC ，GH ＝12，HF ＝32. 又AD ⊥BC ，所以∠GHF ＝90°，所以GF 2＝GH 2＋HF 2＝1.在△EFG 中，GE 2＋EF 2＝1＝GF 2，所以∠GEF ＝90°，即AC 和BD 所成的角为90°.10.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，故三棱锥P ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则DE ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34. 即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图是三棱锥D ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( )A.33 B ．12C. 3D.22 解析：选A 由三视图及题意得如图所示的直观图，从A 出发的三条线段AB ，AC ，AD 两两垂直且AB ＝AC ＝2，AD ＝1，O 是BC 中点，取AC 中点E ，连接DE ，DO ，OE ，则OE ＝1，又可知AE ＝1，由于OE ∥AB ，故 ∠DOE 即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE 中，DE ＝2，由于O 是中点，在直角三角形ABC 中可以求得AO ＝2，在直角三角形DAO 中可以求得DO ＝ 3.在三角形DOE 中，由余弦定理得cos ∠DOE ＝1＋3－22×1×3＝33，故所求余弦值为33. 2．如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC，所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.又因为EC＝2FB＝2，所以OM∥FB∥EC且OM＝12EC＝FB，所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF.因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，所以PQ∥AE，PB∥EF，所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，因为PB∩PQ＝P，PB，PQ⊂平面PBQ，所以平面PBQ∥平面AEF.又因为BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．易求AF＝EF＝5，MB＝OF＝3，OF⊥AE，所以cos∠OFE＝OFEF＝35＝155，所以BM与EF所成的角的余弦值为155.。

2018届北师大版空间点、线、面间位置关系单元测试

题组层级快练(五十二)1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是( ) A ．平行于同一平面的两个平面一定平行 B ．平行于同一直线的两条直线一定平行 C ．垂直于同一直线的两条直线一定平行 D ．垂直于同一平面的两条直线一定平行答案 C解析垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例证明．2．设α，β，γ为平面，a ，b 为直线，给出下列条件： ①a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α；②α∥γ，β∥γ； ③α⊥γ，β⊥γ；④a ⊥α，b ⊥β，a ∥b. 其中能推出α∥β的条件是( ) A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④答案 C3．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长分别是8，12，过AB 的中点E 且平行于BD ，AC 的截面四边形的周长为( ) A ．10 B ．20 C ．8 D ．4答案 B解析设截面四边形为EFGH ，F ，G ，H 分别是BC ，CD ，DA 的中点，∴EF ＝GH ＝4，FG ＝HE ＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.4．(2017·武汉市二中月考)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1答案 D解析连接AC 交BD 于点O ，连接EO ，则OE ∥AC 1.∴AC 1到平面BED 的距离，即为C 1点到平面BED 的距离，又C 1E ＝CE 且CC 1∩平面BED ＝E ，∴点C 1到平面BED 的距离等于C 点到平面BED 的距离．又BD ⊥平面ECO.∴平面BED ⊥平面ECO ，过点C 作CH ⊥EO 于点H ，则CH 即为点C 到平面BED 的距离，∴CH ＝CE·CO EO ＝2×22＝1.5．(2017·吉林省实验中学一模)已知两条不同直线l ，m 和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则l∥α.其中正确的命题是________．答案②解析若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以①错误；若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以②正确；若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊂α，所以③错误．6．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案平面ABC和平面ABD解析连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F.由重心的性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E.由EMMA＝ENNB＝12，得MN∥AB.因此MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.7．过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．答案 6解析过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，EF1，EE1，FF1，E1F，E1F1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．8.如图，已知三个平面α，β，γ互相平行，a，b是异面直线，a与α，β，γ分别交于A，B，C三点，b与α，β，γ分别交于D，E，F三点，连接AF交平面β于G，连接CD交平面β于H，则四边形BGEH必为________．(在平行四边形，梯形中选一个)答案平行四边形解析由题意知，直线a与AF确定平面ACF，由面面平行的性质定理，可得BG∥CF，同理有HE∥CF，所以BG∥HE.同理BH∥GE，所以四边形BGEH为平行四边形．9.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.答案(1)略(2)略解析(1)连接FG.∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2.∴BG 綊A 1E ，∴A 1G ∥BE. 又∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形． ∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1.∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB.故E ，B ，F ，D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF. ∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB.又由(1)知，A 1G ∥BE ，且A 1G ⊂平面A 1GH ，HG ⊂平面A 1GH ，BF ⊄平面A 1GH ，BE ⊄平面A 1GH ，∴BF ∥平面A 1GH ，BE ∥平面A 1GH. 又∵BF ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F.10.(2013·福建，文)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠PAD ＝60°.(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P －ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M 为PA 的中点，求证：DM ∥平面PBC ； (3)求三棱锥D －PBC 的体积．答案 (1)略 (2)略 (3)8 3 解析方法一：(1)在梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3.在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理，得BE ＝3，从而AB ＝6. 又由PD ⊥平面ABCD ，得PD ⊥AD.从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠PAD ＝60°，得PD ＝4 3.正视图如图所示．(2)取PB 中点N ，连接MN ，CN.在△PAB 中，∵M 是PA 中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3.又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD. ∴四边形MNCD 为平行四边形．∴DM ∥CN.又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ，∴DM ∥平面PBC.(3)V D －PBC ＝V P －DBC ＝13S △DBC ·PD ，又S △DBC ＝6，PD ＝43，所以V D －PBC ＝8 3.方法二：(1)同方法一．(2)取AB 的中点E ，连接ME ，DE. 在梯形ABCD 中，BE ∥CD ，且BE ＝CD ，∴四边形BCDE 为平行四边形．∴DE ∥BC.又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴DE ∥平面PBC. 又在△PAB 中，ME ∥PB ，ME ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， ∴ME ∥平面PBC.又DE ∩ME ＝E ，∴平面DME ∥平面PBC. 又DM ⊂平面DME ，∴DM ∥平面PBC. (3)同方法一．11.如图所示，三棱柱ABC －A1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB.当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF? 答案当M 为AC 中点时，BM ∥平面AEF.解析方法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M.∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ，∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC. ∴OM ⊥底面ABC.又∵EC ＝2FB ，∴OM ∥FB 綊12EC.∴四边形OMBF 为矩形．∴BM ∥OF.又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ.∴PQ ∥AE.∵EC ＝2FB ，∴PE 綊BF ，PB ∥EF. ∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF. 又PQ ∩PB ＝P ，∴平面PBQ ∥平面AEF. 又∵BQ ⊂面PQB ，∴BQ ∥平面AEF.故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．12．(2017·福建四地六校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ； (2)求多面体A —CDEF 的体积．答案 (1)略 (2)83解析 (1)证明由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝90°.取BF 中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别是AF ，BC 中点，可知NG ∥CF ，MG ∥EF.又MG ∩NG ＝G ，CF ∩EF ＝F ，∴平面MNG∥平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.(2)作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE—BCF为直三棱柱，∴AH⊥平面CDEF，且AH＝ 2.∴V A－CDEF＝13S四边形CDEF·AH＝13×2×22×2＝83.13.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.答案(1)略(2)略证明(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.1．下列命题中正确的是________．①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．答案⑤⑥解析a∩α＝A时，a不在α内，∴①错；直线l 与α相交时，l 上有无数个点不在α内，故②错；l ∥α时，α内的直线与l 平行或异面，故③错；a ∥b ，b ∥α时，a ∥α或a ⊂α，故④错；l ∥α，则l 与α无公共点，∴l 与α内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，A 1C 1与B 1D 1都与平面ABCD 平行，∴⑥正确．2．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H.D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．答案452解析取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB.因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD.同理SB ∥FE.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF·HD ＝(12AC)·(12SB)＝452.3．(2017·江西抚州一中)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积．答案 (1)略 (2)1解析 (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又∵D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF.∵DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，∴BC 1∥平面A 1CD. (2)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴AA 1⊥CD. ∵AC ＝CB ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB. 又∵AA 1∩AB ＝A ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，得∠ACB ＝90°.∴CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3. ∵A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，∴DE ⊥A 1D. ∴VC －A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.4.正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP ＝DQ.求证：PQ ∥平面BCE.思路证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质．证明方法一：(判定定理法)如图所示．作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN. ∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD. 又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB.又PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ，QN DC ＝BQ BD .∴PM AB ＝QNDC .∴PM 綊QN ，即四边形PMNQ 为平行四边形．∴PQ ∥MN.又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE.方法二：(判定定理法)如图，连接AQ ，并延长交BC 延长线于K ，连接EK.∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQBQ .又AD ∥BK ，∴DQ BQ ＝AQ QK ，∴AP PE ＝AQQK ，∴PQ ∥EK.又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE.方法三：(性质定理法)如图，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ，连接QM.∴PM ∥平面BCE.∵PM ∥BE ，∴AP PE ＝AMMB.又AE ＝BD ，AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ.∴AP PE ＝DQ BQ ，∴AM MB ＝DQ QB .∴MQ ∥AD.又AD ∥BC ， ∴MQ ∥BC ，∴MQ ∥平面BCE.又PM ∩MQ ＝M ，∴平面PMQ ∥平面BCE.又PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE.5．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB.证明连接MF ，∵M ，F 是A 1B 1，C 1D 1的中点，四边形A 1B 1C 1D 1为正方形， ∴MF 綊A 1D 1.又A 1D 1綊AD ，∴MF 綊AD. ∴四边形AMFD 是平行四边形．∴AM ∥DF.∵DF ⊂平面EFDB ，AM ⊄平面EFDB ，∴AM ∥平面EFDB ，同理AN ∥平面EFDB. 又AM ⊂平面ANM ，AN ⊂平面ANM ，AM ∩AN ＝A ， ∴平面AMN ∥平面EFDB.6.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E ，F ，G 分别为PC ，PD ，BC 的中点．(1)求证：PA ∥平面EFG ； (2)求三棱锥P —EFG 的体积．答案 (1)略 (2)16解析 (1)证明如图，取AD 的中点H ，连接GH ，FH.∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD.∵G ，H 分别是BC ，AD 的中点，∴GH ∥CD.∴EF ∥GH. ∴E ，F ，H ，G 四点共面．∵F ，H 分别为DP ，DA 的中点，∴PA ∥FH. ∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ，∴PA ∥平面EFG . (2)∵PD ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥CG. 又∵CG ⊥CD ，CD ∩PD ＝D ，∴GC ⊥平面PCD. ∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1，∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12.又GC ＝12BC ＝1，∴V P —EFG ＝V G —PEF ＝13×12×1＝16.7．(2017·枣庄模拟)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．答案当点E 是AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1解析方法一：存在点E ，且E 为AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1，下面给出证明：如图，取BB 1的中点F ，连接DF ，则DF ∥B 1C 1，∵AB 的中点为E ，连接EF ，则EF ∥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1，∴平面DEF ∥平面AB 1C 1. 而DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面AB 1C 1.方法二：假设在棱AB 上存在点E ，使得DE ∥平面AB 1C 1.如图，取BB 1的中点F ，连接DF 、EF ，则DF ∥B 1C 1，又DF ⊄平面AB 1C 1，∴DF ∥平面AB 1C 1，又DE ∥平面AB 1C 1，DE ∩DF ＝D ，∴平面DEF ∥平面AB 1C 1， ∵EF ⊂平面DEF ，∴EF ∥平面AB 1C 1，又∵EF ⊂平面ABB 1，平面ABB 1∩平面AB 1C 1＝AB 1，∴EF ∥AB 1， ∵点F 是BB 1的中点，∴点E 是AB 的中点．即当点E 是AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1.8.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．第 11 页共 11 页(1)求三棱锥A －PDE 的体积；(2)AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．答案 (1)83(2)AM ＝5时，PA ∥平面EDM 解析 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD.又因为ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD.因为PD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD 是三棱锥A －PDE 的高．因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4，所以S △PDE ＝12S △PDC ＝12×(12×4×4)＝4. 又AD ＝2，所以V A －PDE ＝13AD ·S △PDE ＝13×2×4＝83. (2)取AC 中点M ，连接EM ，DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，所以EM ∥PA.又因为EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ，所以PA ∥平面EDM.所以AM ＝12AC ＝ 5. 即在AC 边上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，AM 的长为 5.。

2018届北师大版空间点线面的位置关系(理) 检测卷

【热点集训】1. 【四川巴中市2017届“零诊”，8】设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若//m α，//m β，则//αβ； ②若//m α，//m n ，则//n α； ③若m α⊥，//m β，则βα⊥；④若m α⊥，//αβ，则β⊥m . 其中所有正确命题的序号是（）A ．③④B ．②④C ．①②D ．①③ 【答案】A.【解析】根据线面平行的性质可知①②错误，根据线面垂直的性质可知③④正确，故选A. 2.【甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末】设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A ．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB ．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC ．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD ．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α 【答案】C3.【江西南昌市2017届摸底考试，12】如图，在四面体ABCD 中，已知AB AC ⊥，BD AC ⊥，那么D 在面ABC 内的射影H 必在（）A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．ABC ∆内部【答案】A【解析】由AB AC ⊥，BD AC ⊥，可得AC ABD ⊥平面，即ABC ABD ⊥平面平面，因此D 在面ABC 内的射影H 必在ABC 平面与ABD 平面的交线AB 上，选A. 4.【贵州省贵阳市第一中学2017届高考适应性月考卷(一)】设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题： ①若,//m αβα⊥，则m β⊥； ②若,m αβα⊥⊥，则//m β； ③若,m m n α⊥⊥，则//n α； ④若,n n αβ⊥⊥，则//βα. 其中，真命题的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【解析】5. 【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评，9】在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，点M 是侧面11ABB A 内的一点，若MC 与平面ABC 所成的角为30︒，MC 与平面11ACC A 所成的角也为30︒，则MC 与平面11BCC B 所成的角正弦值为（）A ．12B D【答案】B【解析】以MC 为对角线作长方体，设MC 与平面11BCC B 所成的角为α，则222sin sin 30sin 301α+︒+︒=，故sin α=.选B. 6. 【2017届浙江省效实中学上学期期中考试】,αβ是两个平面，l 是直线，给出以下四个命题：①若,,//l l ααββ⊥⊥则，②若//,//,//l l ααββ则，③,//,l l ααββ⊥⊥则， ④//,,l l ααββ⊥⊥则，其中真命题有A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个【答案】A 【解析】7.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，11】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4,,,PA AB E F H ==分别是棱,,PB BC PD 的中点，则过,F,H E 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面面积为（）A ．B ．C ．D ．+ 【答案】C .【解析】由过,F,H E 的平面交直线CD 于N 点，可得N 点为CD 的中点，即CN=2；由过,F,HE 的平面交直线PA 于Ｍ点，可得Ｍ为ＰＡ的四等分点，所以ＰＭ＝１，所以过,F,H E 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面为五边形MEFNH ，所以其面积等于三角形MEH 和矩形EFNH 即,643222,632221=⨯==⨯⨯=∆∆EFNH MEH S S 所以所求的面积为，故应选C .8. 【河南百校联盟2017届高三11月质检，4】如图，在空间四边形ABCD （A ，B ，C ，D 不共面）中，一个平面与边AB BC CD DA ，，，分别交于E ，F ，G ，H （不含端点），则下列结论错误的是（）A.若::AE BE CF BF =，则AC 平面EFGHB.若E ，F ，G ，H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形C. 若E ，F ，G ，H 分别为各边中点且AC BD =，则四边形EFGH 为矩形D. 若E ，F ，G ，H 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形【答案】C9.【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，10】如图，在三棱锥A BCD -中，已知三角形ABC 和三角形DBC 所在平面互相垂直，AB BD =，23CBA CBD π∠=∠=，则直线AD 与平面BCD 所角的大小是（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】B【解析】如图，在平面ABC 内，过A 作AH BC ⊥，垂足为H ，连接DH ，则AH ⊥平面DBC ，AD 在平面DBC 内的身影为DH ，所以ADH ∠即为直线AD 与平面BCD 所成的角．由题设知60AB BD ABH DBH HB HB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，所以AHB DHB ∆≅∆，所以90AHB DHB ∠=∠=︒，即DH BH ⊥，所以45ADH ∠=︒，即直线AD 与平面BCD 所成角的大小为4π，故选B ．10.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，10】设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BCA ∠=︒，2BC CA ==，若该棱柱的所有顶点都在体积为323π的球面上，则直线1B C 与直线1AC 所成角的余弦值为（）A ．23-B ．23C．D【答案】B11. 【贵州遵义市2017届高三第一次联考，16】已知平面α截一球面得圆M ，过圆M 的圆心的平面β与平面α所成二面角的大小为60°，平面β截该球面得圆N ，若该球的表面积为64π，圆M 的面积为4π，则圆N 的半径为__________．【解析】设球心O ，半径为R ，则26444R R ππ=⇒=;设圆M 半径为r ，则242r r ππ=⇒=，因此OM ==，又906030OMN ∠=-= ，所以ON =,因此圆N = 12.【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考，15】有共同底边的等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直，则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为_____________．【答案】14【解析】过B 作BE 平行CD ，过D 作DE 平行CB,两直线交于E 点，设AB 的中点为F ，连接AE ，AF ，DF ，则ABE ∠为异面直线AB 和CD 所成角的补角，设等边三角形边长为1，因为ABC ∆与△BCD 都为正三角形，所以AF ⊥BC ，FD ⊥BC ，AF=DF=23，因为面ABC ⊥面BCD ，所以⊥AF 面BCD ，ED ⊥FD ，所以AF ⊥FD ，AF ⊥DE ，因为AF ∩FD=F ，所以DE ⊥面AFD ，所以ED ⊥AD ，所以AD ==所以21022=+=DE AD AE ，由余弦定理得1cos 4ABE ∠=-，所以异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为1413.【2017届山东省高密市12月检测】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11A B 的中点，则直线AE 与平面11BDD B 所成角的正弦值是_________.【解析】取AB 得中点F ,连接,1F B 过点F 作,BD FG ⊥垂直为G ,连接G B 1,在正方体1111ABCD A B C D -中，⊥1BB 平面ABCD ,又⊂FG 平面ABCD ，所以FG BB ⊥1，又因为⊂⋂⊥BD BB BD BD FG ,,1平面11B BDD ,⊂1BB 平面11B BDD ,所以⊥FG 平面11B BDD所以G FB 1∠为F B 1与平面11B BDD 所成的角，设正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，10102542sin ,25,4211==∠∴==∴FO B F B FG ,因为F B AE 1//,直线AE 与平面11BDD B 所成角的正弦值是101014.【2015届内蒙古巴彦淖尔市第一中学上期高10月考】如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】 (1)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF ∥平面PCD. （2）连接BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD . 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面PAD .P又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD .15.【河北唐山市2017届高三年级期末,19】（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PB PC PD ==.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若2PA =，求二面角A PD B -- 的余弦值．【答案】（1）见解析；（2（2）如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (3，－1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，＝(0，2，－2)，＝(－3，3，0)，设平面PBD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则即⎩⎨⎧2y －2z ＝0，－3x ＋3y ＝0，取平面PBD 的法向量m ＝(3，1，1)， …9分取平面PAD 的法向量n ＝(1，0，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝155，所以二面角A -PD -B 的余弦值是155．…12分16. 【广东省汕头市2017届高三上学期期末，18】（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为 90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小. 【答案】（1）见解析；（2）30︒．【解析】（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，从而6,6==EC AC FC PC ，因为PCA FCE ECACFC PC ∠=∠=,，所以FCE ∆∽PCA ∆， 90=∠=∠PAC FEC ，由此知EF PC ⊥，PC 与平面BED 内两条相交直线EF BD ,都垂直，所以⊥PC 平面BED .解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b DE b BE PC -==-=，从而0,0=⋅=⋅，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b -==，设),,(z y x =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b =，设),,(r q p n =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅BE n PC n ，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=，)2,2,2(--=，21||||,cos =>=<DP n ，所以60,>=<．因为PD 与平面PBC 所成角和><,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为 30.17. 【河南省广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一），19】（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PAD △为正三角形，AB CD ∥，2AB CD =，90BAD ∠=︒，PA CD ⊥，E 为棱PB 的中点.PE DCA（1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为45︒，求二面角A DE C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）．（2）因为AB CD ∥，PA CD ⊥，所以PA AB ⊥，又AB AD ⊥，PA AD A = ，所以AB ⊥平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CPD ∠为PC 与平面PAD 所成的角，即45CPD ∠=︒，从而CD AD =.……………………6分以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，不妨设2AD =，则()0 0 0A ，，，()4 0 0B ，，，(0 1 P ，，()0 2 0D ，，，12 2E ⎛ ⎝，.……7分所以12 2AE ⎛= ⎝ ，，()0 2 0AD =，，.设平面ADE 的法向量为() n x y z = ，，，则0n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即120220x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得0x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 令4z =-，得)0 4n =-，，.……………………9分由（1）可知PA ⊥平面CDE ，所以(0 1 AP =，为平面CDE 的一个法向量 (10)分所以cos AP n AP n AP n ⋅<>===，所以二面角A DE C --的余弦值为……………………12分 18. 【四川巴中市2017届“零诊”，19】 (本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点.（1）求证：//1B A 平面1ADC ；（2）若AC AB ⊥，1==AC AB ，21=AA ，求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2. 【解析】（1）如图，连接C A 1，交1AC 于点E ，则点E 是C A 1和1AC 的中点，连接DE ，则B A DE 1//， ∵⊂DE 平面1ADC ，⊄B A 1平面1ADC ，∴//1B A 平面1ADC ；（2）如图建立空间直角坐标系xyz A -，则)0,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,1,0(C ，)2,1,0(1C ，)0,21,21(D ，则)0,21,21(=，)2,1,0(1=AC ，设平面1ADC 的法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001AC ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0202121z y y x ，取1=z ，得2-=y ，2=x ，得)1,2,2(-=m ，易得平面1ABA 的法向量为)0,1,0(=，故32||||,cos -=>=<n m ，故平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值为35)32(12=--.19.【四川省2016年普通高考适应性测试，19】（本小题满分12分）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将 AED DCF △，△分别沿DE ，DF 折起，使 A C ，两点重合于P.（Ⅰ）求证：平面PBD BFDE ⊥平面；（Ⅱ）求二面角P DE F --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）23【解析】（Ⅰ）证明：连接EF 交BD 于O ，连接OP.在正方形ABCD 中，点E 是AB 中点，点F 是BC 中点，所以 BE BF DE DF ==，，所以DEB DFB △≌△，所以在等腰DEF △中，O 是EF 的中点，且EF OD ⊥，因此在等腰PEF △中，EF OP ⊥，从而EF OPD ⊥平面，又EF BFDE ⊂平面，所以平面BFDE OPD ⊥平面，即平面PBD BFDE ⊥平面.……………………………………6分（Ⅱ）方法一：在正方形ABCD 中，连接AF ，交DE 于G ，设正方形ABCD 的边长为2，由于点E 是AB 中点，点F 是BC 中点，所以Rt Rt DAE ABF △≌△，于是ADE FAB ∠=∠，从而90ADG DAG EAG DAG ∠+∠=∠+∠=︒，所以AF DE ⊥，于是，在翻折后的几何体中，PGF ∠为二面角P DE F --的平面角，在正方形ABCD 中，解得AG =GF =，所以，在PGF △中，PG AG ==，GF =1PF =，由余弦定理得2222cos 23PG GF PF PGF PG GF +-∠==⋅，所以，二面角P DE F --的余弦值为23.………………………………12分方法二：由题知 PE PF PD ，，两两互相垂直，故以P 为原点，向量 PF PE PD，，方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系.设正方形边长为2，则()0 0 0P ，，，()0 1 0E ，，，()1 0 0F ，，，()0 0 2D ，，. 所以()1 1 0EF =- ，，，()0 1 2ED =- ，，.设() x y z =m ，，为平面EFD 的一个法向量，由EF ED ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩m m得020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得11 1 2⎛⎫= ⎪⎝⎭m ，，，又由题知()1 0 0=n ，，是平面PED 的一个法向量，所以2cos 3⋅<>==⋅m n m n m n ，. 所以，二面角P DE F --的余弦值为23.………………………………12分20.【广东2017届高三上学期阶段测评（一），20】（本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，底面ABC 为正三角形.（Ⅰ）证明：AC PB ⊥；（Ⅱ）若平面PAC ABC ⊥平面，2AC PC ==，求二面角A PC B --的余弦值. 【答案】【解析】（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接PO ，BO ， ∵PA PC =， ∴PO AC ⊥，又AB CB =， ∴AC POB ⊥平面，∴AC PB ⊥.………………………………5分（Ⅱ）平面PAC ABC ⊥平面且交于AC ，PO AC ⊥，∴PO ABC ⊥平面，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.又 2PA PC AC PC ===，，ABC △为正三角形，∴(()()0 0 0 0 1 0 0P B C -，，，，，，，(()0 1 0PB BC ==--，，，，.设() n x y z =，，为平面PBC 的法向量，则00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴0x =-=⎪⎩，∴z y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，取1y =-，则)1 1n =--，，为平面PBC 的一个法向量，又()0 0OB =，为平面PAC 的一个法向量，∴cos n OB <>==，则二面角A PC B -=……………………………………12分 21.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评，20】（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中， 1 AB AD a ==，，PA ABCD ⊥平面，且1PA =， E F ，分别为 AD PA ，中点，在BC 上有且只有一个点Q ，使得PQ QD ⊥.（1）求证：平面BEF PDQ ∥平面；（2）求二面角E BF Q --的余弦值.【答案】【解析】（1）方法一：以A 点为原点，分别以 AB AD AP，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz ，则()()()()0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1A B D a P ，，，，，，，，，，，，设()1 0Q x ，，，则()1 1PQ x =- ，，，()1 0DQ a x =-- ，，，…………………………2分若PQ QD ⊥，则()10PQ QD x a x ⋅=-+-=，即2210 4x ax a -+=∆=-，，∴0 2 1a x ∆===，，.………………………………………………4分 ∴()()1 1 0 1 1 0Q QD -，，，，，，又E 是AD 中点，∴()0 1 0E ，，，()1 1 0BE =- ，，，∴QD BE =，∴BE DQ ∥，又BE PDQ ⊄平面，DQ PDQ ⊂平面，∴BE PDQ ∥平面，又F 是PA 中点，∴EF PD ∥，∵EF PDQ ⊄平面，PD PDQ ⊂平面，∴EF PDQ ∥平面，∵BE EF E = ， BE EF PDQ ⊂，平面，∴平面BEF PDQ ∥平面.……………………6分方法二：（几何法）题意转化为矩形ABCD 中只需AQ 垂直于QD 的点Q 只有一个，则以AD 为直径的圆与线段BC 相切，易得2BC =，Q 是线段BC 的中点，由BE QD ∥，EF DP ∥，易得两平面平行.………6分22. 【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，20】（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF⊥平面ABCD，//,2,21EF AB AD AB AF EF====，点P在棱DF上.（1）求证：AD BF⊥；（2）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（3）若13FP FD=，求二面角D AP C--的余弦值.【答案】(1)见解析；（2（3（3）因为AB ⊥平面ADF ，所以平面ADF 的一个法向量()11,0,0n = ，由13FP FD =为知P 为FD 的三等分点且此时220,,33P ⎛⎫⎪⎝⎭.在平面APC 中，()220,,,1,2,033AP AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以平面APC 的一个法向量()22,1,1n =-- .所以121212cos ,n n n n n n == ，又因为二面角D AP C --的大小为锐角，所以该二面角的余12分。

北师大版必修2练习单元测试二点、线、面之间的位置关系 Word版含解析

单元测试二点、线、面之间的位置关系班级姓名考号分数本试卷满分分，考试时间分钟．一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．．若点在直线上，在平面α内，则、、α间的关系可记为( )．∈，∈α．∈，⊂α．⊂，⊂α．⊂，∈α答案：．下列说法正确的是( )．经过空间三点有且只有一个平面．经过圆心和圆上两点有且只有一个平面．若三条直线两两相交，则这三条直线共面．经过两条平行直线有且只有一个平面答案：．、是异面直线，则( )．存在α⊥，α⊥．一定存在⊂α且⊥α．一定存在⊂α且α∥．一定存在α∥且α⊥答案：解析：与线面垂直性质定理矛盾；当与不垂直时不成立；不一定成立．．若平面α外有一条直线与α内的两条平行线都垂直，则( )．⊥α．∥α．与α斜交．以上都有可能答案：解析：因为平面外的直线与α内的两条平行线垂直，所以不能确定与α的具体位置关系，它们可能垂直，也可能斜交或平行．．下列说法不正确的是( )．同一平面内没有公共点的两条直线平行．已知，，，是四条直线，若∥，∥，∥，则∥．在正方体－中，是的中点，是的中点，则直线，异面．梯形一定是平面图形答案：．直线不垂直于α，则α内与垂直的直线有( )．条．条．无数条．α内所有直线答案：解析：不管与平面α关系如何，过一定可找到一平面β，在β内可做一直线′⊥，然后将′平行平移到α内，再在α内作′的平行线，由空间两直线垂直的定义可知，在α内有无数条直线与垂直．故选.．对于直线、和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是( )．⊥，∥α，∥β．⊥，α∩β＝，⊂α．∥，⊥β，⊂α．∥，⊥α，⊥β答案：解析：两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．．如右图所示，∈α，∈，∈，∈β，⊥，⊥，＝＝，＝，是棱上的一个动点，则＋的最小值为( )．．答案：解析：把α、β展开成一个平面，如图，作∥，延长交于，则＝＝，＝，∴在△中有＝＝.．已知三平面α、β、γ互相平行，两条直线，分别与平面α，β，γ相交于点，，和，，，若＝，＝，则等于( )．．．．答案：解析：连接交β于，连接，，，，在△中，由β∥γ得∥，∴＝，在△中，由α∥β得∥，∴＝，∴＝＝，又＝，∴＝.．在下列四个正方体中(如图所示)，能得出⊥的是( )答案：解析：由线面垂直可判定异面直线是否垂直．二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．．在棱长都相等的三棱锥－中，相互垂直的棱的对数为．答案：．已知∠＝°，∠与∠的两边分别平行，则∠＝.答案：°或°．已知三条相交于一点的线段、、两两垂直，且、、在同一平面内，在平面外，⊥平面于，则垂足是△的．(填内心、外心、垂心、重心中的一个)答案：垂心解析：如图所示，∵⊥，⊥，∴⊥平面，⊂平面，∴⊥.又∵⊥∴⊥平面，⊂平面∴⊥，同理⊥，⊥.∴是△的垂心．三、解答题：本大题共小题，共分，其中第小题分，第～小题各分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．如图所示，已知三角形中∠＝°，⊥面，⊥，求证：⊥面.。

2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档第八章立体几何8-3空间点、线、面之间的位置关系Word

8．3 空间点、线、面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或__________________．(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面．公理2的推论如下：①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题．2．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一个平面内，有且只有 .平行直线：同一个平面内， .异面直线：不同在任何一个平面内， .(2)异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性．③异面直线所成的角：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是____________．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________．3．平行公理公理4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据．4．等角定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．自查自纠1．(1)两点直线在平面内 (2)不在一条直线 (3)有且只有一条2．(1)一个公共点没有公共点没有公共点(2)③⎝⎛⎦⎥⎤0，π2 互相垂直异面垂直3．同一条直线 4．相等或互补在下列命题中，不是．．公理的是( ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B ．过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解：公理是不需要证明的原始命题，而选项A 是面面平行的性质定理，故选A .(2015·广东)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交解：可用反证法，假设l 与l 1，l 2都不相交，因为l 与l 1都在平面α内，于是l ∥l 1，同理l ∥l 2，于是l 1∥l 2与已知矛盾．故选D .若点P ∈α，Q ∈α，R ∈β，α∩β＝m ，且R ∉m ，PQ ∩m ＝M ，过P ，Q ，R 三点确定一个平面γ，则β∩γ是( )A ．直线QRB ．直线PRC ．直线RMD ．以上均不正确解：因为PQ ∩m ＝M ，m ⊂β，所以M ∈β.又M ∈平面PQR ，即M ∈γ，故M 是β与γ的公共点．又R ∈β，R ∈平面PQR ，即R ∈γ，所以R 是β与γ的公共点．所以β∩γ＝MR .故选C .给出下列命题： ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中所有正确命题的序号是____________．解：经过不共线的三点可以确定一个平面，①错误；两条平行线可以确定一个平面，②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，③正确；命题④中没有说明三个交点是否共线，这两个平面可能相交或重合，④错误．故填②③.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为____________．解：连接DF ，则AE ∥DF ，所以∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体的棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝D 1F ＝52a ， cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2-a22·52a ·52a ＝35.故填35.类型一基本概念与性质问题在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有________条．解：如图示，在EF 上任取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，当M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条直线都有交点．故填无数．【点拨】本题难度不大，但比较灵活．解题关键在于构造平面，可考虑过一条直线及另一条直线上的一点作平面，进而找出与三条异面直线都相交的直线．解决点、线、面位置关系问题可借助平面、立体(长方体、正方体)模型，有利于我们看清问题．一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°解：将展开图还原，得如图所示正方体，易知AB与CD是异面直线，且它们所成的角为60°.故选D.类型二点共线、线共点问题如图，E，F，G，H分别是空间四边形AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG交于点O.求证：B，D，O三点共线．证明：因为E∈平面ABD，H∈平面ABD，所以EH⊂平面ABD.因为EH∩FG＝O，所以O∈平面ABD.同理可证O∈平面BCD.所以O∈平面ABD∩平面BCD＝BD.即B ，D ，O 三点共线．【点拨】(1)本题是一道经典的点共线问题，它体现了证明点共线的基本思路：首先由其中的两个点B 和D 确定一条直线，然后证明点O 也是直线BD 上的点，也就是证明点O 是两个平面的交线上的点．在证明点O 也是直线BD 上的点时，运用了公理1以及公理3，这种方法是证明点共线的通用方法．(2)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，如变式2.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，AA 1的中点．求证：(1)EF ∥D 1C ；(2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明：(1)连接A 1B ，则EF ∥A 1B ，A 1B ∥D 1C .所以EF ∥D 1C .(2)因为面AA 1D 1D ∩面ABCD ＝DA ，且EF ∥D 1C ，EF ＝12D 1C ，所以D 1F 与CE 相交．又D 1F ⊂面AA 1D 1D ，CE ⊂面ABCD ，所以D 1F 与CE 的交点必在DA 上．所以CE ，D 1F ，DA 三线共点．类型三共面问题如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：因为GH 是△AFD 的中位线，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，所以GH 綊BC ，所以四边形BCHG 为平行四边形．(2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由：BE 綊12AF ，又由G 为FA 中点知，BE 綊FG ，所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，所以EF 与CH 共面．又D ∈FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面．【点拨】点共面的证明方法和点共线的证明方法类似，即先由部分点或者线确定一个平面，再证明其余的点或者在该平面内，或者由另外一部分点确定另一个平面，再证明这两个平面是同一个平面．无论是点共线、线共点问题，还是共面问题，我们基本上是运用公理及其推论来进行演绎推理，其演绎推理的基本步骤是：首先由部分点或者线确定一条直线或者一个平面，再运用公理或者推论，证明剩余的点、线也在这条直线或者这个平面内．下列如图所示的正方体和正四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．(填所有满足条件图形的序号)解：易知①③中PS ∥QR ，所以四点共面．在②中构造如图所示的含点P ，S ，R ，Q 的正六边形，易知四点共面．在④中，由点P ，R ，Q 确定平面α，由图象观察知点S 在平面α外，因此四点不共面．综上知，故填①②③.类型四异面直线问题如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证：AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值．解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设此平面为α. 因为A ∈α，B ∈α，E ∈α，所以平面α即为平面ABE ，所以P ∈平面ABE ，显然这与P ∉平面ABE 矛盾，所以AE 与PB 是异面直线．(2)取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥PB ，∠AEF (或其补角)就是异面直线AE 和PB 所成的角．因为∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，所以AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2-AF 22·AE ·EF ＝2＋2-32×2×2＝14，即异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.【点拨】探求常规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择端点、中点、等分点，通过三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行平移等．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题．(2015·河南郑州二模)如图是正四面体的平面展开图．G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．(填写所有正确命题的序号)解：如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE 与MN 垂直．故②③④正确．故填②③④.1．判断空间线面关系命题的真假，是一类常见的客观题．解这类题，一要准确把握、理解相关概念；二要熟悉“推理论证加反例推断”的方法；三要借助空间直观．如教室就是一个长方体，建议同学们学立体几何时充分借助这一模型．2．要重视三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的互译，特别要培养准确使用符号语言的能力．在空间图形中，点是最基本的元素，点与线、点与面是元素与集合的关系，直线与平面是集合与集合的关系，防止出现符号“∈”“⊂”混用的错误．3．求两条异面直线所成角的步骤是：先作图，再证明，后计算．作图，往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线，或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线，即平移线段法，此法是求异面直线所成角的常用方法，其实质是把异面问题转化为共面问题；证明，即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算，一般在一个三角形中求解，这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决，如果计算出来的角是钝角，则需要转化为相应的锐角，因为异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.4．证明“线共面”或者“点共面”问题时，可以先由部分直线或者点确定一个平面，再证明其余的直线或者其余的点也在这个平面内．5．证明“点共线”问题时，可以将这些点看做是两个平面的交线上的点，只要证明这些点是两个平面的公共点，根据公理3就可以确定这些点都在同一条直线上，即点共线．1．(2015·湖北)l1，l2表示空间中两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则( )A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解：由l1，l2是异面直线可得l1，l2不相交，所以p⇒q；由l1，l2不相交，可得l1，l2可能是异面直线或l 1∥l2，q p．所以p是q的充分不必要条件．故选A.2．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的一个图是( )解：A，B中PQ綊RS，D中直线PQ与RS相交(或RP∥SQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线．故选C.3．(2015·太原检测)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面解：直线l与平面α相交时，在平面α内不存在与l平行的直线，所以A错误；l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，所以B错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l 异面的直线，所以D错误．无论哪种情形，在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.4．直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30°B．45° C．60° D．90°解：延长CA到D，使得AD＝AC，连接A1D，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，∠DA1B 就是异面直线BA1与AC1所成的角，又△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.故选C.5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误．．的是( )A．A1C1∥平面ABCDB．AC1⊥BDC．AC1与CD成45°角D．A1C1与B1C成60°角解：由A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，知A1C1∥平面ABCD，A正确；由BD⊥平面ACC1A1知BD⊥AC1，B正确；由A1D∥B1C可知，∠DA1C1为A1C1与B1C所成的夹角，又因为△DA1C1为等边三角形，所以∠DA1C1＝60°.故选C.6．(2014·广东)在空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下面结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1，l4既不垂直也不平行D．l1，l4的位置关系不确定解：构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，排除A，B，C，故选D.7．(2015·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线．上述命题中错误的是________．(写出所有错误命题的序号)解：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④错．故填②③④.8．(2015·浙江)如图，在三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是____________．解：连接ND ，取ND 的中点为E ，连接ME ，EC ，则ME ∥AN ，异面直线AN ，CM 所成的角即为∠EMC (或其补角)，因为AN ＝22，CN ＝1，所以ME ＝2，又CM ＝22，NE ＝2，所以CE ＝3，所以cos ∠EMC ＝ME 2＋CM 2-CE 22ME ·CM＝2＋8-32×2×22＝78.故填78.9．如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′.(1)哪些棱所在直线与直线BA ′是异面直线？ (2)直线BA ′和CC ′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线AA ′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD ，DC ，CC ′，DD ′，D ′C ′，B ′C ′所在直线分别与直线BA ′是异面直线．(2)由BB ′∥CC ′可知，∠B ′BA ′为异面直线BA ′与CC ′的夹角，∠B ′BA ′＝45°，所以直线BA ′与CC ′的夹角为45°.(3)直线AB ，BC ，CD ，DA ，A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′分别与直线AA ′垂直． 10．如图，设E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1所在棱上的中点，求证：E ，F ，G ，H ，P ，Q 共面．证明：连接A 1C 1，GQ ，EH ，因为E ，F ，G ，Q 分别是A 1D 1，D 1C 1，C 1C ，A 1A 的中点，所以EF ∥A 1C 1∥QG .同理FG ∥EH .设E ，F ，G ，Q 确定平面α，F ，G ，H ，E 确定平面β，由于α与β都经过不共线的三点E ，F ，G ，故α与β重合，所以E ，F ，G ，H ，Q 五点共面．同理可证E ，F ，G ，P ，Q 五点共面．所以E ，F ，G ，H ，P ，Q 共面．11．(2016·上海)将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC ︵长为5π6，A 1B 1︵长为π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小．解：(1)由题意可知，圆柱的母线长l ＝1，底面圆半径r ＝1.圆柱的体积V ＝πr 2l ＝π×12×1＝π，圆柱的侧面积S ＝2πrl ＝2π×1×1＝2π.(2)设过点B 1的母线与下底面交于点B ，连接OB ，则O 1B 1∥OB ，所以∠COB 或其补角为O 1B 1与OC 所成的角．由A 1B 1︵长为π3，可知∠AOB ＝∠A 1O 1B 1＝π3，由AC ︵长为5π6，可知∠AOC ＝5π6，所以∠COB ＝∠AOC -∠AOB ＝5π6-π3＝π2，即异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小为π2.(2014·陕西)四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，AD ⊥平面BDC .所以四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：因为BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，所以BC ∥FG ，BC ∥EH .所以FG ∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，所以EF ∥HG .所以四边形EFGH 是平行四边形．又因为AD ⊥平面BDC ，所以AD ⊥BC .所以EF ⊥FG .所以四边形EFGH 是矩形．。

2018年高一北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第1章单元测试二点、线、面之间的位置关

单元测试二　点、线、面之间的位置关系班级____　姓名____　考号____　分数____本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为( )A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α答案：B2．下列说法正确的是( )A．经过空间三点有且只有一个平面B．经过圆心和圆上两点有且只有一个平面C．若三条直线两两相交，则这三条直线共面D．经过两条平行直线有且只有一个平面答案：D3．a、b是异面直线，则( )A．存在α⊥a，α⊥bB．一定存在a⊂α且b⊥αC．一定存在a⊂α且α∥bD．一定存在α∥a且α⊥b答案：C解析：A与线面垂直性质定理矛盾；B当a与b不垂直时不成立；D不一定成立．4．若平面α外有一条直线l与α内的两条平行线都垂直，则( )A．l⊥αB．l∥αC．l与α斜交D．以上都有可能答案：D解析：因为平面外的直线与α内的两条平行线垂直，所以不能确定l与α的具体位置关系，它们可能垂直，也可能斜交或平行．5．下列说法不正确的是( )A．同一平面内没有公共点的两条直线平行B．已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥dC．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是CC1的中点，则直线AE，D1F异面D．梯形一定是平面图形答案：C6．直线l不垂直于α，则α内与l垂直的直线有( )A．0条B．1条C．无数条D．α内所有直线答案：C解析：不管l与平面α关系如何，过l一定可找到一平面β，在β内可做一直线l′⊥l，然后将l′平行平移到α内，再在α内作l′的平行线，由空间两直线垂直的定义可知，在α内有无数条直线与l垂直．故选C.7．对于直线m 、n 和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是( )A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥βB ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂αC ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β答案：C解析：两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．8．如右图所示，A ∈α，B ∈l ，C ∈l ，D ∈β，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝1，CD ＝2，P 是棱l 上的一个动点，则AP ＋PD 的最小值为( )A .B ．252C ．3D .10答案：D解析：把α、β展开成一个平面，如图，作AE ∥BC ，延长DC 交AE 于E ，则AE ＝BC ＝1，EC ＝1，∴在Rt △AED 中有AD ＝＝.32＋12109．已知三平面α、β、γ互相平行，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，若AB ＝10，＝，则AC 等于( )DE DF 12A ．5 B ．10C ．15D ．20答案：D解析：连接AF 交β于G ，连接AD ，BG ，GE ，CF ，在△ACF 中，由β∥γ得BG ∥CF ，∴＝，在△AFD 中，由α∥β得AD ∥GE ，∴＝，∴＝＝，AB AC AG AF AG AF DE DF AB AC DE DF 12又AB ＝10，∴AC ＝20.10．在下列四个正方体中(如图所示)，能得出AB ⊥CD 的是( )答案：A解析：由线面垂直可判定异面直线是否垂直．二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．11．在棱长都相等的三棱锥P －ABC 中，相互垂直的棱的对数为__________．答案：312．已知∠ABC ＝120°，∠ABC 与∠A 1B 1C 1的两边分别平行，则∠A 1B 1C 1＝________.答案：60°或120°13．已知三条相交于一点的线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且A 、B 、C 在同一平面内，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是△ABC 的________．(填内心、外心、垂心、重心中的一个)答案：垂心解析：如图所示，∵PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，∴PA ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴BC ⊥PA.又∵BC ⊥PH∴BC ⊥平面PAH ，AH ⊂平面PAH∴AH ⊥BC ，同理BH ⊥AC ，CH ⊥AB.∴H 是△ABC 的垂心．三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．如图所示，已知三角形ABC 中∠ACB ＝90°，SA ⊥面ABC ，AD ⊥SC ，求证：AD ⊥面SBC.证明：∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC.又SA ⊥面ABC ，∴SA ⊥BC.∴BC ⊥面SAC ，∴BC ⊥AD.又SC ⊥AD ，SC ∩BC ＝C ，∴AD ⊥面SBC.15．在正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN.求证：MN ∥平面BB 1C 1C.证明：如图所示作NE ∥AB 交BC 于E ，作MF ∥AB 交B 1B 于F ，连结EF ，则NE ∥MF.∵NE ∥AB ，∴＝NE AB CN CA又MF ∥AB ∥A 1B 1，∴＝MF A1B1BM BA1∵CA ＝BA 1，AN ＝A 1M ，∴CN ＝BM.∴＝.NE AB MF A1B1又AB ＝A 1B 1，∴NE ＝MF.∴四边形MNEF 是平行四边形，∴MN 綊EF.又MN ⊄平面B 1BCC 1，EF ⊂平面B 1BCC 1，∴MN ∥平面B 1BCC 1.16.如图所示，AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，AC ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝，CE ＝2，G 、F 分别为BE 、BC 的中点．求证：2(1)AB ⊥平面ACED ；(2)平面BDE ⊥平面BCE.解：(1)∵AD ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ACED ，∴平面ABC ⊥平面ACED ，∵BC 2＝AC 2＋AB 2，∴AB ⊥AC ，∵平面ABC ∩平面ACED ＝AC ，AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥平面ACED.(2)∵AB ＝AC ，F 为BC 的中点，∴AF ⊥BC.∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥AF ，又∵BC ∩CE ＝C ，∴AF ⊥平面BCE ，又GF 是△BCE 的中位线，∴GF 綊CE.12∵AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，AD ＝1，CE ＝2，∴AD 綊CE ，12∴AD 綊GF ，∴四边形GFAD 为平行四边形，∴AF ∥GD ，∴GD ⊥平面BCE ，又GD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCE.17.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱CC 1的中点．(1)求证：CD ∥平面A 1EB ；(2)求证：AB 1⊥平面A 1EB.解：(1)设AB 1和A 1B 的交点为O ，连结EO 、OD ，∵O 为AB 1的中点，D 为AB 的中点，∴OD ∥BB 1，且OD ＝BB 1.12又E 是CC 1中点，∴EC ∥BB 1，且EC ＝BB 1，∴EC ∥OD 且EC ＝OD.12∴四边形ECDO 为平行四边形，∴EO ∥CD.又CD ⊄平面A 1BE ，EO ⊂平面A 1BE ，则CD ∥平面A 1BE.(2)∵三棱柱各侧面都是正方形，∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC.∴BB 1⊥平面ABC.∵CD⊂平面ABC，∴BB1⊥CD.由已知得AB＝BC＝AC，∴CD⊥AB，∴CD⊥平面A1ABB1.由(1)可知EO∥CD，∴EO⊥平面A1ABB1，∴EO⊥AB1.∵侧面是正方形，所以AB1⊥A1B.又EO∩A1B＝O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB，∴AB1⊥平面A1BE.18．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；(2)证明：直线BD⊥平面PEG.解：(1)该安全标识墩左视图，如图所示．(2)证明：由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，∴FH⊥EG，又ABCD－EFGH为长方体，∴BD∥FH，设点O是EFGH的对称中心，∵P－EFGH是正四棱锥，∴PO⊥平面EFGH，而FH⊂平面EFGH，∴PO⊥FH.∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，PO⊂平面PEG，EG⊂平面PEG，∴FH⊥平面PEG.而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.。

专题8-3空间点、线、面的位置关系(测)-2018年高考数学(文)一轮复习讲练测Word版含解析

2018年高考数学讲练测【新课标版】【测】第八章立体几何第03节空间点、线、面的位置关系班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】2.【2016高考浙江文数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m ，n 满足m∥α，n⊥β，则（） A.m∥l B.m∥nC.n⊥lD.m⊥n 【答案】C 【解析】由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．3.下列命题中正确的个数是( )①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】 B【解析】 “若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α”是错误的，因为直线l 可与平面α相交．“若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行”是错误的，因为直线l 可与平面α内的直线成异面直线．“如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行”是错误的，因为另一条直线可能在平面内．“若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任一条直线都没有公共点”是正确的，因为直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α没有公共点．综上可知应选B ．4. 已知两直线，及两个平面，，给出下列四个命题，正确的命题是（）． A. 若，则 B. 若，，则C. 若，则D. 若，则【答案】B5.【2017年福建省数学基地校】已知m 、n 是两条不同直线， α、β为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是( ) A. //m β， //αβ B. m β⊥， αβ⊥C. m n ⊥， n α⊥， m α⊄D. m 上有不同的两个点到α的距离相等【答案】C【解析】对于A ，直线m 可能位于平面α内；所以不能由A 推出//m α；对于B ，直线m 可能位于平面α内；所以不能由B 推出//m α；对于D ，当直线m 与平面α相交时，显然在该直线上也能找到两个不同的点到平面α的距离相等．故选C6.【浙江省嘉兴市高三教学测试】已知直线l ,m 和平面α,下列命题正确的是( ) A.若//,,l m αα⊂则//l m B.若//,,l m m α⊂则//l α C.若,,l m m α⊥⊂ 则l α⊥ D.若,,l m αα⊥⊂ 则l m ⊥ 【答案】D【解析】选项A 是错误的,因为线面平行不一定能推出线线平行,根据线面平行的判断,选项B 也是错误的,需要增加条件l ⊂α,根据线面垂直的判断可知选项C 是错误的,选项D 是正确的,因为线面垂直可以得到线线垂直(线面垂直的性质定理). 7. 设为空间不重合的直线， ,,αβγ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是（） ①//，//，则//；②⊥，⊥，则//；③若//,//,//m l m l αα则；④若l ∥m ， l α⊂， m β⊂，则α∥β； ⑤若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则 ⑥//,//αγβγ，则//αβ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C【解析】试题分析：①显然正确；②可能相交；③l 可能在平面α内；④l 可能为αβ、两个平面的交线，两个平面αβ、可能相交；⑤αβ、可能相交；⑥显然正确，故选C ． 8.设A ，B ，C ，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC【答案】 C【解析】A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC 与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.9. 如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）．A. BD∥平面CB1D1B. AC1⊥BDC. AC1⊥平面CB1D1D. 异面直线AD与CB1角为60°【答案】D故选D.10.【温州市十校联合体期末联考】空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF＝3，则异面直线AD,BC所成的角为( )A．30° B．60° C．90° D．120°D【答案】B【解析】设G 为AC 的中点，由已知中AD=BC=2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若EF，根据三角形中位线定理，我们易求出∠EGF 为异面直线AD 、BC 所成的角（或其补角），解三角形EGF 即可得到答案.11.【安徽蚌埠市高二期末】在正四棱锥P-ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为（） A ．90 B ．60 C ． 45 D ．30【答案】C12. 如图，正方体的棱线长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（）．A. B. 平面C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等【答案】D【解析】试题分析：连接，则，所以平面，则，故A正确；因为平面，所以平面，故B正确；因为三棱锥的底面是底边为，高为棱长的三角形，面积为，三棱锥的高为点到平面的距离，所以三棱锥的体积是定值，故C正确；显然的面积与的有相同的底边，且到的距离是棱长1，且到的距离是，即两三角形的面积不相等，故D错误；；故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2018学年高中数学北师大版必修2学业分层测评23 空间直

学业分层测评(二十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称【解析】由A、B两点的坐标可知关于y轴对称．【答案】 B2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()A．|a| B．|b|C．|c| D．以上都不对【解析】设点P在平面xOy上的射影为P′，则|PP′| ＝|c|.【答案】 C3．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是() A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)【解析】过点P向xOy平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点，又N(－2,1,0)，所以对称点为P′(－2,1，－4)，故选A.【答案】 A4．(2016·嘉兴高一检测)以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图2-3-4所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为()图2-3-4A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12 【解析】 A (0,0,0)，B 1(1,0,1)，所以AB 1的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12，0＋02，0＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 0，12. 【答案】 B5．设z 为任一实数，则点(2,2，z )表示的图形是( ) A ．z 轴B ．与平面xOy 平行的一直线C ．平面xOyD ．与平面xOy 垂直的一直线【解析】 (2,2，z )表示过点(2,2,0)且与z 轴平行的直线，即与平面xOy 垂直的直线．【答案】 D 二、填空题6．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．【解析】空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．【答案】 (－4,1，－2)7．点P (－3,2,1)关于Q (1,2，－3)的对称点M 的坐标是________．【解析】设M 坐标为(x ，y ，z )，则有1＝x －32，2＝2＋y 2，－3＝1＋z2，解得x ＝5，y ＝2，z ＝－7，所以M (5,2，－7)．【答案】 (5,2，－7)8．如图2-3-5，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，BP ＝13BD ′，则P 点的坐标为________．图2-3-5【解析】过P 作PP ′⊥xOy 平面，则PP ′＝13. 过P ′作P ′M ∥AB ，P ′N ∥BC ，则MP ′＝23，NP ′＝23. 所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13三、解答题9．已知点A (－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A 1，A 1关于xOz 平面的对称点为A 2，A 2关于z 轴的对称点为A 3，求线段AA 3的中点M 的坐标.【导学号：10690071】【解】因为点A (－4,2,3)关于坐标原点的对称点A 1的坐标为(4，－2，－3)，点A 1(4，－2，－3)关于xOz 平面的对称点A 2的坐标为(4,2，－3), 点A 2(4,2，－3)关于z 轴的对称点A 3的坐标为(－4，－2，－3)，所以AA 3中点M 的坐标为(－4,0,0)．10．如图2-3-6所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有的棱长均为2，侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当的坐标系写出各顶点的坐标．图2-3-6【解】取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．因为三棱柱各棱长均为2，所以OA＝OC＝1，OB＝3，可得A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2)．[能力提升]1．(2016·吉林高一检测)若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7 B．－7C．－1 D．1【解析】点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.【答案】 D2．(2014·湖北高考)在如图2-3-7所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的主视图和俯视图分别为()图2-3-7A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【解析】由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的主视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故主视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②.故选D.【答案】 D3．已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为________．【解析】分别过点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)作与yOz平面，xOz平面，xOy 平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(1,1,1)；或过点(－1,0,0)，(0，－1，0)，(0,0，－1)作与yOz平面，xOz平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(－1，－1，－1)．【答案】(1,1,1)或(－1，－1，－1)4.如图2-3-8所示，AF，DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．图2-3-8【解】因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC，又AF平面ABC，BC平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC，又BC是圆O的直径，所以OB＝OC，又AB＝AC＝6，所以OA⊥BC，BC＝62，所以OA＝OB＝OC＝OF＝3 2.如图所示，以O为原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系，所以A(0，－32，0)、B(32，0,0)、C(－32，0,0)、D(0，－32，8)、E(0,0,8)、F(0,32，0).。

2018届高考数学(文)总复习跟踪检测(四十)空间点、线、面之间的位置关系含解析

课时跟踪检测 (四十) 空间点、线、面之间的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为( )A．P∈m，m∈αB．P∈m，m⊂αC．P⊂m，m∈αD．P⊂m，m⊂α解析：选B 点在直线上用“∈”，直线在平面上用“⊂”，故选B．2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解析：选D 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( )A．6 2 B．12C．12 2 D．24 2解析：选A 如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝62，故选A．4．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．答案：1或45．如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1．故符合条件的有5条．答案：5二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A 由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．3．下列命题中，真命题的个数为( )①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l．A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2．4．如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A 连接A1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，C ，A 四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1，因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，所以A ，M ，O 三点共线．5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为( )A ．32 B ．33010 C ．3010 D ．12解析：选C 如图，设正方体的棱长为a ，取线段AB 的中点M ，连接CM ，MF ，EF ．则MF 綊AE ，所以∠CFM 即为所求角或所求角的补角．在△CFM 中，MF ＝CM ＝52a ，CF ＝62a ，根据余弦定理可得cos ∠CFM ＝3010，所以可得异面直线AE 与CF 所成的角的余弦值为3010．故选C ． 6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：37．(2017·福建六校联考)设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线．上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①8．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2．答案： 29．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM与CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B与CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)AM与CN不是异面直线．理由如下：如图，连接MN，A1C1，AC．因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1．又因为A1A綊C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)D 1B 与CC 1是异面直线．理由如下：因为ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B ⊂平面α，CC 1⊂平面α，所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾．所以假设不成立，即D 1B 与CC 1是异面直线．10．如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2．求：(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，故三棱锥P ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433．(2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则DE ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34．即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图是三棱锥D ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( )A ．33B ．12C ． 3D ．22 解析：选A 由三视图及题意得如图所示的直观图，从A 出发的三条线段AB ，AC ，AD 两两垂直且AB ＝AC ＝2，AD ＝1，O 是BC 中点，取AC 中点E ，连接DE ，DO ，OE ，则OE ＝1，又可知AE ＝1，由于OE ∥AB ，故∠DOE 即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE 中，DE ＝2，由于O是中点，在直角三角形ABC 中可以求得AO ＝2，在直角三角形DAO 中可以求得DO ＝3．在三角形DOE 中，由余弦定理得cos ∠DOE ＝1＋3－22×1×3＝33，故所求余弦值为33． 2．如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB＝2．(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M ．因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ．又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB ∥EC 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF ．因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ ．因为EC ＝2FB ＝2，所以PE 綊BF ，所以PQ∥AE，PB∥EF，所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，因为PB∩PQ＝P，PB，PQ⊂平面PBQ，所以平面PBQ∥平面AEF．又因为BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF．故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．易求AF＝EF＝5，MB＝OF＝3，OF⊥AE，所以cos∠OFE＝OFEF ＝35＝155，所以BM与EF所成的角的余弦值为155．。

2018届高三数学：第51练空间点、线、面的位置关系含答案

1．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条2．已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l( )A．相交B．平行C．垂直D．异面3．(2017·蚌埠质检)已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．若l1⊥l2，l1⊥l3，则l2∥l3B．若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3C．若l1∥l2，l2∥l3，则l1，l2，l3共面D．若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面4．平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的投影分别是m1和n1，给出下列四个命题：①m1⊥n1⇒m⊥n；②m⊥n⇒m1⊥n1；③m1与n1相交⇒m与n相交或重合；④m1与n1平行⇒m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是( )A．1 B．2C．3 D．45．(2016·江门模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点．下列结论中，正确的是( )A ．EF ⊥BB 1 B ．EF ∥平面ACC 1A 1 C ．EF ⊥BDD ．EF ⊥平面BCC 1B 16.(2016·青岛平度三校上学期期末)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 7．有下列命题：①如果两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合； ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任一直线平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ⑤若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任一直线都没有公共点．其中正确命题的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．58．(2016·上饶一模)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都等于2，D 在AC 1上，F 为BB 1的中点，且FD ⊥AC 1，有下述结论：①AC 1⊥BC ；②ADDC1＝1；③平面FAC1⊥平面ACC1A1；④三棱锥D－ACF的体积为33.其中正确结论的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4二、填空题9．如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．10．α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________．11．设a，b，c是空间中的三条直线，给出以下几个命题：①设a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交．其中真命题的个数是________．12.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1)．设平面MEF∩平面MPQ＝l，现有下列结论：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直线l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线．其中不成立的结论是________．(写出所有不成立结论的序号)答案精析1．D2．C [当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．]3．B [两条直线都和第三条直线垂直，这两条直线不一定平行，故选项A不正确；一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它也垂直于另一条，故B正确；三条直线相互平行，这三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱所在的直线，故C不正确；三条直线相交于一点，这三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱所在的直线，故D不正确．]4．D [如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1，AB1，B1C，A1B在底面A1B1C1D1上的投影分别是A1D1，A1B1，B1C1，A1B1.因为A1D1⊥A1B1，而AD1不垂直于AB1，故①不正确；因为AD1⊥B1C，而A1D1∥B1C1，故②不正确；因为A1D1与A1B1相交，而AD1与A1B异面，故③不正确；因为A1D1∥B1C1，而AD1与B1C异面，故④不正确．]5．B [如图所示，取BB1的中点M，连接ME，MF，延长ME交AA1于P，延长MF交CC1于Q，∵E，F分别是AB1，BC1的中点，∴P是AA1的中点，Q是CC1的中点，从而可得E是MP的中点，F是MQ的中点，∴EF∥PQ.又PQ⊂平面ACC1A1，EF⊄平面ACC1A1，∴EF∥平面ACC1A1.故选B.]6．D [因为AC⊥平面BDD1B1，BE⊂平面BDD1B1，所以AC⊥BE，故A正确；根据线面平行的判定定理，故B正确；因为三棱锥的底面△BEF 的面积是定值，且点A 到平面BDD 1B 1的距离是定值22，所以其体积为定值，故C 正确；很显然，点A 和点B 到EF 的距离不一定是相等的，故D 错误．]7．A [①正确；②有可能相交，故错误；③有可能异面，故错误；④有可能线在面内，故错误；⑤正确，因此正确命题的个数为2，故选A.]8．C [BC ⊥CC 1，但BC 不垂直于AC ，故BC 不垂直于平面ACC 1A 1，所以AC 1与BC 不垂直，故①错误；连接AF ，C 1F ，可得AF ＝C 1F ＝ 5. 因为FD ⊥AC 1，所以可得D 为线段AC 1的中点，故②正确；取AC 的中点为H ，连接BH ，DH ，因为该三棱柱是正三棱柱，所以CC 1⊥底面ABC ，因为BH ⊂底面ABC ，所以CC 1⊥BH ，因为底面ABC 为正三角形，可得BH ⊥AC ，又AC ∩CC 1＝C ，所以BH ⊥侧面ACC 1A 1.因为D 和H 分别为AC 1，AC 的中点，所以DH ∥CC 1∥BF ，DH ＝BF ＝12CC 1，可得四边形BFDH 为平行四边形，所以FD ∥BH ，所以可得FD ⊥平面ACC 1A 1，因为FD ⊂平面FAC 1，所以平面FAC 1⊥平面ACC 1A 1，故③正确；V D －ACF ＝V F －ADC ＝13·FD ·S △ACD ＝13×3×(12×1×2)＝33，故④正确．故选C.]9．30°解析∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC. ∵OC⊂平面BB′C′C，AB⊥平面BB′C′C，∴OC⊥AB.又OC⊥OB，AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又AO⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2，sin∠OAC＝OCAC＝12，∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.10．①③解析由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面，①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；②中，由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等无法得到EF⊥AC，故②错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC，由①可知③正确；④中，仿照②的分析过程可知④错误，故答案为①③.11．0解析因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可以相交，平行，异面，故①错．因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面，相交，平行，故②错．由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面，相交，平行，故③错．12．④解析连接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，易证PQ∥平面MEF，又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，∴l∥平面ABCD，故①成立；又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；∵l∥EF∥BD，∴易知直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．。

北师大版高中数学必修二《空间立体几何点线面关系》同步测试题.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作《空间立体几何点线面关系》同步测试题一、选择题1、以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面）①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b其中正确命题的个数是（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个2、已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有（）（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个3、如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（）（A ）平行（B ）相交（C ）平行或相交（D ）AB ⊂α4、已知m ，n 为异面直线，m ∥平面α，n ∥平面β，α∩β=l ，则l （）（A ）与m ，n 都相交（B ）与m ，n 中至少一条相交（C ）与m ，n 都不相交（D ）与m ，n 中一条相交5、已知直线m 、n 与平面α、β,给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α,则m ∥n ;②若m ∥α,n ⊥α,则n ⊥m ;③若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是( )A ．0B ．1 C.2 D ．36、若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是( )A ．//a β且αβ⊥B ．a β⊂且αβ⊥C ．a b ⊥且//b αD.a β⊥且//αβ 8、对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是( )A ．若,,m m n α⊥⊥则n α∥B ．若m αα∥,n ∥,则m ∥nC ．若,m n αα⊂∥,则m ∥nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n9、若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线（）A ．只有一条B ．有无数条C ．所有直线D ．不存在10、经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．1个或无数个11、已知直线a ，b 和平面α，下列命题中正确的是（）A ．若b a b a //,,//则αα⊂B ．若b a b a //,//,//则ααC ．若αα//,,//a b b a 则⊂D ．若ααα//,//,//b b a b a 或则⊂12、已知直线m ⊥平面α，直线⊂n 平面β，下列说法正确的有（）①若n m ⊥则,//βα②若βα⊥，则m //n ③若m //n ，则βα⊥④若βα//,则n m ⊥ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个13、已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（） A ．α∥β B ．α与β相交 C ．α与β重合 D ．α∥β或α与β相交14、经过平面外两点与这个平面平行的平面（） A ．只有一个 B ．至少有一个 C ．可能没有D ．有无数个 15、已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖16、对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面α,使得( )A.αα⊂⊂b a ,B.b a ,α⊂∥αC.αα⊥⊥b a ,D.αα⊥⊂b a ,17、设b 、c 表示两条直线，α、β表示两个平面，下列命题中真命题是( )A ．若b ⊂α,c ∥α，则b ∥cB ．若b ⊂α,b ∥c ，则c ∥α 或α⊆cC ．若c ∥α c ⊂β，则α⊥βD ．若c ∥α α⊥β c ⊂β18、设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是( )A ．α⊥β，α∩β=l ，m ⊥lB ．α∩γ=m ，α⊥γ，β⊥γC ．α⊥γ，β⊥γ， m ⊥αD ．n ⊥α，n ⊥β， m ⊥α19、设n m ,是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题①γβγαβα//////⇒⎭⎬⎫；②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m //；③βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥//m m ；④αα////m n n m ⇒⎭⎬⎫⊂；其中正确的命题是( )Ａ．①④；Ｂ．②③；Ｃ．①③；Ｄ．②④；20、已知直线m 、n ，平面α、β,给出下列命题:①若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//,//m n αβ，且//m n ，则//αβ ③若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若,//m n αβ⊥，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题是（）A .①③B .②④C .③④D .①21、已知α、β是平面，m 、n 是直线，则下命题不正确的是（）.A ．若m ∥n , m ⊥α, 则n ⊥α B. 若,m ⊥α, m ⊥β, 则α∥βC.若m ⊥α, m ∥n , n ⊂β, 则α⊥βD. .若m ∥α, α ∩β=n 则m ∥n22、设α、β、γ是三个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列4个命题： ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β；③若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b . 其中正确命题是( ) A. ③ B. ④ C. ①③ D. ②④23、直线a ∥平面α的一个充分条件是（）A ．存在一条直线b ，b ∥α，a ∥bB ．存在一个平面β，,β⊆a α∥βC ．存在一个平面β，a ∥β，α∥βD ．存在一条直线b ，b ⊂α，a ∥b24、已知直线m 、l ,平面α、β，且m ⊥α, l ⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ,则α∥β；④若m ∥l ,则α⊥β.其中正确命题的个数是( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）425、设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，下列命题中，逆命题不成立．．．的是( ）A.当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥βB.当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥bC ．当α⊂b 时，若b ⊥β，则βα⊥D ．当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c26、直线l ,m 与平面γβα,,，满足l =γβ⋂, l //α,α⊂m ,γ⊥m ,则必有（）A. γα⊥且β//mB. γα⊥且m l ⊥C. β//m 且m l ⊥D. βα//且γα⊥27、已知直线m ，n 和平面α，则m//n 的必要非充分条件是（）A m//α且n//αB m ⊥α且 n ⊥αC m//α且α⊂nD m ，n 与α成等角28、设βα、是两个平面，m l 、是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是( )A ．l m l 且,,αα⊂⊂∥β，m ∥βB ．l m l 且,,βα⊂⊂∥mC ．l ∥α，m ∥β，且l ∥mD ．,,βα⊥⊥m l 且 l ∥m29、已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，有下列四个命题①若m //n ，m ⊥α，则n ⊥α； ②若m ⊥α,m ⊥β，则α//β；③若m ⊥α，m //n ，n ⊂ β，则α⊥β； ④若m //α，α⋂β=n ，则m //n .其中正确命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个30、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β其中正确的两个命题是（）A.①②B.③④C.②④D.①③ 31、若αβ、是两个不重合的平面，给定以下条件：①αβ、都垂直于平面γ；②α内有不共线的三点到β的距离相等；③l m 、是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；④l m 、是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β. 其中可以判断α∥β的是（）A.①②B.②③C.②④D.④32、已知βα,是平面，m ，n 是直线，给出下列命题：①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,；②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交；④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂其中正确命题的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．133、已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥；③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ；其中正确的命题个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．434、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（） A ．若α∥β，,l a n β⊂⊂，则l ∥n B ．若α⊥β，l a ⊂，则l ⊥βC ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥mD ．若l ⊥α， l ∥β，则α⊥β。

2018北师大版文科数学高考总复习教师用书8-2空间图形的基本关系与公理Word版含答案

第2讲空间图形的基本关系与公理最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．知识梳理1．空间图形的公理(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(5)等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．2．空间点、直线、平面之间的位置关系aα3.异面直线所成的角(1)定义：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a ，b 所成的角． (2)范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( ) (4)若直线a 不平行于平面α，且aα，则α内的所有直线与a 异面．( )解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误．(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误． (4)由于a 不平行于平面α，且a α，则a 与平面α相交，故平面α内有与a 相交的直线，故错误．答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( )A．30°B．45°C．60°D．90°解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.答案 C3.在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的．答案 A4．(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由题意知aα，bβ，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．答案 A5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．答案b与α相交或b∥α或bα考点一空间图形的公理及应用【例1】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．规律方法(1)证明线共面或点共面的常用方法①直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面．②纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．③辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．(2)证明点共线问题的常用方法①空间图形的公理法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据空间图形的公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．②纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．【训练1】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊12AD，BE綊12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊12AD.又BC綊12AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解∵BE綊12AF，G为F A的中点，∴BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．考点二判断空间两直线的位置关系【例2】(1)(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)(2017·南昌一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析(1)法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交．法二如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．(2)在图①中，直线GH∥MN；在图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；在图③中，连接QM，GM∥HN，因此GH与MN共面；在图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，G∉MN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．答案(1)D(2)②④规律方法(1)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．【训练2】(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行(2)(2017·西安调研)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为() A．①④B．②③C．③④D．①②解析(1)如图，连接C 1D ，在△C 1DB 中，MN ∥BD ，故C 正确； ∵CC 1⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD ，∴CC 1⊥BD ，∴MN ⊥CC 1，故A 正确；∵AC ⊥BD ，MN ∥BD ，∴MN ⊥AC ，故B 正确； ∵A 1B 1与BD 异面，MN ∥BD ，∴MN 与A 1B 1不可能平行，故选项D 错误．(2)对于①，当a ∥M ，b ∥M 时，则a 与b 平行、相交或异面，①为真命题．②中，bM ，a ∥b ，则a ∥M 或aM ，②为假命题．命题③中，a 与b 相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①，④为真命题．答案 (1)D (2)A考点三异面直线所成的角【例3】 (1)(2017·合肥模拟)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．(2)(2016·全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A.32 B.22C.33 D.13解析(1)取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角．设AB＝1，则A1A＝2，AB1＝3，B1E＝32，故∠AB1E＝60°.(2)根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD 的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角．设平面CB1D1∩平面ABCD ＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形，故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32. 答案 (1)60° (2)A规律方法 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成角的三个步骤①作：通过作平行线，得到相交直线的夹角． ②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．③求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．【训练3】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45 解析连接BC 1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝4 5.答案 D[思想方法]1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想．[易错防范]1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则()A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件．故选A.答案 A2．(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案 D3．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④解析显然命题①正确．由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错．命题③中，两个平面重合或相交，③错．三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确．答案 B4．(2017·安庆模拟)a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )A ．若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面B ．若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交C ．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等D ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c解析若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 相交、平行或异面；若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交、平行或异面；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ，c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C 正确．故选C. 答案 C5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( ) A.45 B.35 C.23 D.57 解析连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体棱长为a ，则D1D＝a，DF＝52a，D1F＝52a，∴cos∠D1FD＝⎝⎛⎭⎪⎫52a2＋⎝⎛⎭⎪⎫52a2－a22·52a·52a＝35.答案 B二、填空题6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________(填序号)．解析A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，C1∉AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，①②错；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，B∉MB1，因此直线BN 与MB1是异面直线，③正确；连接D1C，因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.答案③④7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．解析取CD 的中点H ，连接EH ，FH .在正四面体CDEF 中，由于CD ⊥EH ，CD ⊥HF ，且EH ∩FH ＝H ，所以CD ⊥平面EFH ，所以AB ⊥平面EFH ，则平面EFH 与正方体的左右两侧面平行，则EF 也与之平行，与其余四个平面相交．答案 48．(2014·全国Ⅱ卷改编)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为________．解析如图所示，取BC 中点D ，连接MN ，ND ，AD . ∵M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴MN 綊12B 1C 1.又BD 綊12B 1C 1，∴MN 綊BD ，则四边形BDNM 为平行四边形，因此ND ∥BM ， ∴∠AND 为异面直线BM 与AN 所成的角(或其补角)．设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN ＝5，AD ＝5，在△ADN 中，由余弦定理得 cos ∠AND ＝ND 2＋AN 2－AD 22ND ·AN ＝3010.故异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为3010. 答案3010三、解答题9.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解(1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)直线D1B和CC1是异面直线．理由：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B 与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B平面α，CC1平面α，所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线．10．(2017·咸阳中学月考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，P A⊥底面ABC，D 是PC的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求： (1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝43 3. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面； ③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3解析①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．答案 B12．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．因此l1与l4的位置关系不能确定．答案 D13．如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC ＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．解析取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF 綊12AD .∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)．在△GHF 中，可求HF ＝2， GF ＝GH ＝6， ∴cos ∠HFG ＝2＋6－62×2×6＝36.答案 3614.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值．解 (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，∴ME∥OC，则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝2，EM ＝3，MD＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM为直角三角形，∴tan∠EMD＝DEEM＝23＝63.∴异面直线OC与MD所成角的正切值为6 3.。