-初中数学竞赛专题培训(3)：实数的若干性质和应用

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八年级奥数实数知识点归纳

八年级奥数实数知识点归纳实数是我们在学习数学过程中会接触到的一种数，它是包括有理数和无理数的一种数集。

下面我们来归纳一下八年级奥数实数知识点。

一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两种。

其中有理数包括整数、正整数、负整数、分数和小数，无理数主要包括π 和√2 等无限不循环小数。

二、实数的运算1.实数加减法实数加减法遵循交换律、结合律和分配律。

例如，a+b=b+a，a+(b+c)=(a+b)+c，a×(b+c)=a×b+a×c。

2.实数乘法实数乘法同样可以遵循交换律、结合律和分配律。

此外，为了便于计算，我们通常会将分数化为最简形式。

3.实数除法在实数除法中，我们除数不能为 0。

如果被除数和除数同时为整数或者分数，我们可以直接进行除法运算。

如果被除数或者除数为无理数，我们可以采用近似的方法进行计算。

三、实数的大小比较实数的大小比较需要根据实数的正负性和绝对值进行分析。

例如，负数的绝对值大于正数的绝对值，而正数的绝对值又大于 0。

四、实数的表示实数可以通过分数和小数两种方式进行表示。

在小数中，我们还可以使用科学计数法来表示大数。

五、实数的应用在学习数学的过程中，实数的应用非常广泛。

例如，在物理学、化学和金融等领域，实数可以用来描述物理量、计算化学反应和进行金融投资分析等。

总结通过上文的介绍和归纳，相信大家对于八年级奥数实数知识点有了更加清晰的认识和了解。

在实际学习过程中，我们需要注重实际应用，同时也需要不断进行练习和巩固，从而更好地掌握实数的概念和运用。

初中数学必修——实数基础知识与应用

初中数学必修——实数基础知识与应用数学作为一门基础学科，在我们的学习中占据着至关重要的位置。

而在数学中，实数基础知识是我们学习的重点和难点之一。

在初中阶段，我们接触到的最多的就是实数这个概念。

由此，本文将从实数基础知识的概念、性质、应用三个方面进行阐述，希望能对初中生的学习有所帮助。

一、实数基础知识的概念1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数的数集，用符号R表示。

其中，有理数是能表示为分数形式的数，如正整数、负整数、分数、小数等；而无理数则是不能表示为分数形式的数，如根号2、圆周率等。

2. 实数的数轴表示我们可以利用数轴来表示实数，其中左边为负无穷，右边为正无穷，0点为原点，实数集中的数都被标在数轴上。

在数轴上，实数的“绝对值”表示的是该数到0点的相对距离。

例如，-3和3到数轴0点的距离是相等的，它们的绝对值都是3。

二、实数基础知识的性质1. 实数的顺序性实数满足的是“简单正性”，即任何一个实数都可以和0相比较，将其分为正数、负数和0。

另外，实数还满足“三角不等式”，即对于任意的实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。

2. 实数的有理数和无理数分类实数可以分为有理数和无理数两种类型。

有理数可以用分数表示，而无理数则不能化为分数形式。

其中，无理数还可以分为代数无理数和超越无理数两类。

3. 实数的区间表示可以用小括号、中括号和分号表示区间，如(0,1)表示0到1之间的实数，开区间；[0,1]表示0到1之间的实数，闭区间；(a,b]表示大于a小于等于b的实数。

三、实数基础知识的应用1. 实数在几何学中的应用实数在几何学中有着广泛的应用，比如点、线和面等图形中的坐标点都可以用有序实数对来表示。

在坐标系中，我们可以计算两点之间的距离，求解线段的长度、斜率等。

2. 实数在物理学中的应用实数在物理学中也有着重要的应用，如长度、温度、时间、速度、力等物理量都可以用实数来表示。

在物理学中，我们可以通过实数的计算来求解物理问题，如速度、加速度、力与物体运动状态等。

中考数学复习重要知识点专项总结—实数

中考数学复习重要知识点专项总结—实数实数是所有有理数和无理数的集合，用R表示。

实数的性质如下：1.实数的四则运算：实数的加法、减法、乘法和除法满足交换律、结合律和分配律。

2.实数的拓展性质：实数集是一个有序集，对实数a和b，有a<b、a=b或a>b。

3.实数的稠密性：对任意两个实数a和b(a<b)，必存在一个有理数或无理数c，使得a<c<b。

4.实数的绝对值：对于实数a，其绝对值表示为，a，定义为a的非负实数。

5.实数的整除性：对于实数a和b，若a能整除b，则称a是b的因数，b是a的倍数。

6.实数的质数和合数：对于大于1的整数，若除了1和它本身外没有其他因数，则称为质数；若有其他因数，则称为合数。

7.实数的再排列：对于实数a、b和c，若有a<b<c，则称a、b和c具有从小到大的次序。

8.实数的大小比较：对于实数a和b，可以比较其大小关系，如a<b、a>b或a=b。

9.实数的绝对值不等式：对于实数a和b，若，a，<b，则-a<b<a；若，a，=b，则-a=b=a。

10.实数的代数式化简：对于实数的代数式，可以进行运算和化简，如多项式和分式等。

11.实数的连续性：实数集是连续的，任意两个实数之间必存在一个实数。

12.实数的小数化：对于实数，可以用小数表示，如有限小数和无限循环小数等。

13.实数的有理数和无理数：实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数是可以表示为整数的比值，无理数是不能表示为整数的比值。

14.实数的逼近性：对于无理数，可以用有理数来逼近它们，无理数具有无限不循环小数的特点。

15.实数的运算律：实数的运算满足结合律、分配律、交换律和对称律等性质。

以上就是中考数学复习中实数的一些重要知识点的总结。

通过理解和掌握这些知识点，可以提高对实数的理解和应用能力，为解决数学问题打下坚实的基础。

初中数学实数中考考点分析

初中数学实数中考考点分析一、实数的定义与性质：1.实数的定义：实数包括有理数和无理数，其中有理数包括整数、分数和整数部分为零的小数，无理数包括无限不循环小数和无意义的开方数。

2.实数集的性质：实数集是一个无限的集合，实数集按大小可以分为正数、负数和零三部分，并满足有序性、稠密性和连续性等性质。

二、实数的四则运算：1.实数的加法和减法：实数加法满足交换律和结合律，并可以通过加法逆元进行减法运算。

2.实数的乘法和除法：实数乘法满足交换律和结合律，并可以通过乘法逆元进行除法运算。

3.实数的混合运算：实数的四则运算可以通过运算法则进行混合运算。

三、绝对值与数轴问题：1.绝对值的定义：绝对值是一个非负实数，表示实数与零之间的距离。

2.绝对值的性质：绝对值的值域为非负实数，绝对值为0的实数只有零本身。

3.数轴与实数的表示：实数可以通过数轴上的点来表示，数轴可以用于表示实数的大小关系和计算实数的距离等问题。

四、实数的比大小：1.实数的比较：实数大小比较可以通过比较实数的绝对值来进行。

2.实数的大小关系：实数的大小关系可以通过实数在数轴上的位置来判断。

五、实数的分数表示：1.实数的分数表示：实数可以通过有理数的分数表示，可以将无限循环小数表示为有限小数或分数。

2.实数的分数运算：实数的分数可以通过分数的四则运算进行运算。

六、根式与开方：1.根式的概念：根式是指形如√a的式子，其中a为非负实数。

2.平方根与立方根：平方根是指形如√a的根式，立方根是指形如∛a的根式。

3.根式的四则运算：根式的四则运算可以通过运算法则进行化简。

七、应用题：实数的应用题是指将实数的概念和运算与实际问题相结合的题目，如利用实数表示长度、面积和体积等物理量的问题，以及应用实数进行问题求解等。

这些内容是初中数学实数的一些重点内容，也是中考数学中的重要考点。

在备考中，学生需要熟练掌握实数的定义和性质，加强实数的四则运算能力，掌握绝对值和数轴的使用方法，能够比较和判断实数的大小关系，熟练运用分数和根式进行计算和化简，并能够将实数运用于实际问题的解答中。

实数的竞赛知识点总结

实数的竞赛知识点总结一、基本概念1. 实数的定义：实数是可以用小数表示的数，包括有理数和无理数两大类。

2. 有理数：有限小数、有限小数循环小数、无限循环小数都是有理数。

例如，1，-2，$\frac{3}{4}$，1.23，-0.5，0.3333…等都是有理数。

3. 无理数：无法用有限小数或循环小数表示的数称为无理数。

例如，$\sqrt{2}$ ，π ，e，$\sqrt{3}$ 等都是无理数。

4. 实数的大小比较：实数的大小可以用大小关系符号来表示，包括大于（>）、小于（<）、大于或等于（$\geq$）、小于或等于（$\leq$）等四个符号。

5. 实数的运算：实数的加法、减法、乘法、除法等运算规则。

6. 实数的绝对值：表示实数到零点的距离，又叫做模。

可以用符号 |x| 来表示，x的绝对值为大于等于0的数。

7. 实数的递增与递减：实数序列中，若对于任意相邻的两项都有a_n+1 ≥ a_n，则称该序列为递增的；若对于任意相邻的两项都有a_n+1 ≤ a_n，则称该序列为递减的。

8. 实数的零点：指函数的零点，即函数取值为0时的x的值。

二、实数的性质1. 实数的加法性质：结合律、交换律、分配律等。

2. 实数的乘法性质：结合律、交换律、分配律等。

3. 实数的闭包性：加法闭合性、乘法闭合性。

4. 实数的比较性：对于实数a， b，如果a > b，则一定有 $a^2$ > $b^2$。

5. 实数的连续性：实数轴上的连续性，有理数与无理数之间的无限稠密性。

6. 实数的数轴表示：实数在数轴上的表示方法，包括绝对值、大小比较、递增与递减等。

7. 实数的等式与不等式的性质：根据实数的性质求解等式与不等式的方法和技巧。

8. 实数的分解表示：实数可以分解为有理数与无理数的和。

9. 实数的有序性：任意两个实数都可以用大小关系符号进行比较。

三、实数的应用1. 实数的代数运算：包括实数的加减乘除、开方运算、指数运算、对数运算等。

长沙市2022年七年级数学竞赛班专题：实数的概念与性质综合运用

部编版七年级竞赛专题：实数的概念与性质综合运用1. 判断下列说法是否正确？①带根号的数是无理数；（）②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数；（）③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数；（）④一个无理数的平方一定是有理数.。

（）2. 下面有3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数.其中，正确的结论有( )个．（江苏省竞赛试题）A.0 B ．1 C ．2 D ．33. 已知b a m x +=是m 的立方根，而36-=b y 是x 的相反数，且73-=a m ，求x 与y 的平方和的立方根．4. 已知实数a 满足a a a =-+-20052004，求22004-a 的值。

5. 已知非零实数a ，b 满足a b a b a 24)3(2422=+-+++-，则b a +等于( )．A ．－1B ．0C ．1D ．2（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）6. 若a ，b 满足753=+b a ，求b a S 32-=的取值范围．（全国初中数学联赛试题）7. （北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y 231x a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．8. 已知实数m ，n ，p 满足=--⋅+-n m n m 199199p n m p n m -++--+32253，求p 的值．（北京市竞赛试题）9. 已知a ，b 是有理数，且032091412)12341()2331(=---++b a ，求a ，b 的值．10. 怎样证明2是无理数？11. 设d cx bax y ++=，a ，b ，c ，d 都是有理数，x 是无理数. 求证：(1) 当ad bc =时，y 是有理数；(2) 当ad bc ≠时，y 是无理数．12. 已知20052+a 是整数，求所有满足条件的正整数a 的和。

中考总复习专题：实数

中考总复习专题：实数中考总复习：实数专题一、知识回顾实数是一种数的类型，包括有理数和无理数。

有理数包括整数和分数，无理数则是不能表示为分数的数，如π（3.1415926……）等。

实数的概念和基本性质是进行数学运算和解决数学问题的基础。

二、重点难点1、重点：掌握实数的概念和基本性质，包括有理数和无理数的分类，理解实数与数轴上的点的对应关系。

2、难点：正确运用实数的运算法则进行计算，理解实数的大小比较规则，能够利用数轴解决相关问题。

三、运算法则1、加法：实数的加法遵循交换律和结合律，即a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）。

2、减法：实数的减法遵循反交换律，即a-b=-（b-a）。

3、乘法：实数的乘法遵循结合律和分配律，即（ab）c=acbc，（a+b）c=ac+bc。

4、除法：实数的除法遵循倒数的性质，即a/b=b/a。

四、应用举例1、求解实际问题的数值：例如求解一个矩形的面积或者周长，需要运用到实数的加减乘除等运算法则。

2、解决几何问题：例如在三角形、正方形等几何图形中，常常需要使用到勾股定理等知识点，从而涉及到实数的计算。

3、自然科学中的应用：例如在物理、化学等自然科学中，实数经常被用来表示物体的长度、质量等物理量。

五、复习建议1、强化基础知识：对于实数的基础知识，需要反复巩固和理解，例如实数的定义、性质、运算法则等。

2、练习实际应用：通过解决实际问题，加深对实数的理解和运用，提高解决实际问题的能力。

3、注重思路方法：在解决实数问题时，要注重思路和方法，善于总结规律，避免死记硬背。

4、查漏补缺：在复习过程中，要注意发现自己的薄弱环节，及时进行查漏补缺。

六、结语实数是数学中的一个重要概念，对于数学学习和实际应用都具有重要意义。

在中考总复习中，要全面系统地复习实数的相关知识，掌握实数的概念、性质、运算法则等，提高解决实际问题的能力。

要注意发现自己的不足之处，及时进行巩固和强化，为未来的数学学习和实际应用打下坚实的基础。

中考数学专题复习：实数

中考数学专题复习：实数
汇报人：
2023-12-11
目录
• 实数的定义与分类 • 实数的性质 • 实数的运算规则 • 实数在几何中的应用 • 实数在实际生活中的应用 • 中考真题回顾与解析
01
实数的定义与分类
实数的定义
01
实数是有理数和无理数的总称，通常用字母r表示实数。
02
有理数包括正数、负数和零，而无理数则是一些无限不循环小数，如π、根号2等。
总结词
确定无理数大小，估算在实数范围内值。
详细描述
无理数是指无限不循环小数，不能直接计算，但可以通过估算来确定其大致范围。例如，$\pi$的值大约在$3.14$和$3.15$之间，$\sqrt{2}$的值大约在$1.4$和$1.5$之间。
中考真题三：实数与三角形
总结词
掌握实数在三角形中的应用。
详细描述
06
中考真题回顾与解析
中考真题一：有理数的混合运算
总结词
掌握运算顺序，灵活运用运算律。
详细描述
有理数的混合运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按从左到右的顺序进行；如果有括号，要先算括号里面的。运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。
中考真题二：无理数的估算
在日常生活中，我们经常使用实数来表示物体的重量。例如，一个苹果重约150 克，一头大象重约5吨等。
在科学研究和工程领域，实数也被广泛应用于表示物体的重量和力等物理量。
用实数表示时间
时间是连续的，无法用有限数量的整数来表示。因此，人们使用实数来表示时间，例如秒、分、时、日等。
在科学研究、工程技术和金融等领域，人们经常需要精确地计算时间，这时就需要使用实数来表示时间。

初三数学复习实数知识点梳理

初三数学复习实数知识点梳理实数是数系中的一种数，包括整数、有理数和无理数。

在初三数学中，实数是一个重要的考点。

为了帮助同学们复习实数知识点，下面对实数相关的概念、性质和运算进行了梳理和总结。

一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数指的是可以表示为两个整数的比值（分数）的数，而无理数指的是无法表示为两个整数的比值的数。

二、实数的表示方法1. 小数表示法有限小数：有限位数的小数，例如0.5、0.25等。

无限循环小数：有一段数字循环出现的小数，例如0.3333...、0.6666...等。

无限不循环小数：没有一段数字循环出现的小数，例如π、√2等。

2. 分数表示法分数表示法是将一个数表示为两个整数的比值。

例如，3/4表示三除以四的结果。

3. 开方表示法开方表示法是用根号√来表示一个数的平方根。

例如，√9表示9的平方根，结果为3。

三、实数的性质1. 有理数的性质：（1）有理数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。

（2）有理数的乘积仍然是有理数。

（3）有理数的和、差、积和商都是有理数，除非被除数为零。

2. 无理数的性质：（1）无理数与有理数相加、相减、相乘、相除的结果通常是无理数。

（2）无理数与无理数相加、相减、相乘、相除的结果通常是无理数。

3. 实数的比较：实数之间可以进行大小的比较，可以使用大小符号来表示。

例如，对于任意的两个实数a和b，如果a大于b，则记作a > b；如果a小于b，则记作a < b；如果a等于b，则记作a = b。

四、实数的运算1. 实数的加法：实数的加法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有：（1）交换律：a + b = b + a（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)2. 实数的减法：实数的减法可以看作是加法的逆运算，即a - b = a + (-b)，其中- b表示b的相反数。

3. 实数的乘法：实数的乘法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有：（1）交换律：a × b = b × a（2）结合律：(a × b) × c = a × (b × c)4. 实数的除法：实数的除法可以看作是乘法的逆运算，即a ÷ b = a × (1/b)，其中1/b 表示b的倒数。

八年级数学竞赛讲座实数的概念及性质附答案

第六讲实数的概念及性质数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数pq的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数pq的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0≠p ． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．例题求解【例1】若a 、b 满足b a 53+3=7，则S ＝b a 32-的取值范围是．(全国初中数学联赛试题)思路点拨运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组．注：古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．【例2】设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab －a －b+1=0，则b 是一个( )A ．小于0的有理数B ．大于0的有理数C ．小于0的无理数D ．大于0的无理数(武汉市选拔赛试题)思路点拨对等式进行恰当的变形，建立a 或b 的关系式．【例3】已知a 、b 是有理数，且032091412)121341()2331(=---++b a ，求a 、b 的值．思路点拔把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a 、b 的方程组．【例4】(1) 已知a 、b 为有理数，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足axy+by 2＝1，求a+b 的值． (南昌市竞赛题)(2)设x 为一实数，表示不大于x 的最大整数，求满足=x+1的整数x 的值．(江苏省竞赛题)思路点拨 (1)运用估算的方法，先确定x ，y 的值，再代入xy+by 2＝1中求出a 、b 的值；(2)运用的性质，简化方程．注：设x 为一实数，则表示不大于x 的最大整数，]又叫做实数x 的整数部分，有以下基本性质： (1)x －1<≤x (2)若y< x ，则≤ (3)若x 为实数，a 为整数，则= + a ．【例5】已知在等式s dcx bax =++中，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，解答： (1)当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是有理数； (2) 当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是无理数． ( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)把s 用只含a 、b 、c 、d 的代数式表示；(2)从以下基本性质思考：设a 是有理数，r 是无理数，那么①a+r 是无理数；②若a ≠0，则a r 也是无理数；③r 的倒数r1也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a 、b 、c 、d 取值进行详细讨论．注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．学力训练1．已知x 、y 是实数， 096432=+-++y y x ，若y x axy =-3，则a= ． (2002年个数的平方根是22b a +和1364+-b a ，那么这个数是． 3．方程0185=++-+y y x 的解是．4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11121=；同样∵1112=12321，∴11112321=；…由此猜想=76543211234567898． (济南市中考题)5．如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是( ) A ．12- B ．21- C ．22- D ．22-(江西省中考题)6．已知x 是实数，则πππ1-+-+-x x x 的值是( )A ．π11-B ．π11+C ．11-πD ．无法确定的( “希望杯”邀请赛试题)7．代数式21-+-+x x x 的最小值是( ) A ．0 B ．21+ C ．1 D ．不存在的 ( “希望杯”邀请赛试题)8．若实数a 、b 满足032)2(2=+-+-+a b b a ，求2b+a －1的值．(山西省中考题)9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． 21)1(2=+，211=S ；31)2(2=+，222=S ；41)3(2=+，233=S ；…(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S l 2+S 22+S 32+…+S 210的值． (烟台市中考题) 10．已知实数 a 、b 、c 满足0412212=+-+++-c c c b b a ，则a(b+c)= ． 11．设x 、y 都是有理数，且满足方程04)231()321(=--+++πππy x ，那么x －y 的值是．( “希望杯’邀请赛试题)12．设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab+a －b ＝1，则b= ． (四川省竞赛题)13．已知正数a 、b 有下列命题：①若a=1，b ＝1，则1≤ab ； ②若25,21==b a ，则23≤ab ； ③若a ＝2，b=3，则25≤ab ； ④若a=1，b=5，则3≤ab ．根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则≤ab ． (黄冈市竞赛题) 14．已知：11=-a a ，那么代数式a a+1的值为( ) A ．25 B ．25- C ．5- D ．5 (重庆市竞赛题)15．设表示最接近x 的整数(x ≠n+0.5，n 为整数)，则+++…+的值为( )A ．5151B ．5150C ．5050D ．5049( “五羊杯”邀请赛试题) 16．设a<b<0，ab b a 422=+，则ba ba -+的值为( ) A ．3 B ．6 C ．2 D ．3 (全国初中数学竞赛题)17．若a 、b 、c 为两两不等的有理数，求证：222)(1)(1)(1a c c b b a -+-+-为有理数．18．某人用一架不等臂天平称一铁块a 的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量． (安徽省中考题)．19．阅读下面材料，并解答下列问题：在形如a b =N 的式于中，我们已经研究过两种情况：①已知a 和b ，求N ，这是乘方运算，②已知b 和N ，求a ，这是开方运算．现在我们研究第三种情况；已知a 和N ，求b ，我们把这种运算叫做对数运算．定义：如果a b =N (a>0，a ≠1，N>0)，则b 叫做以a 为底的N 的对数，记作b=log a N ．例如：因为23=8，所以log 28=3；因为2-3=81，所以log 281=－3．(1)根据定义计算:①log 3 81= ；②log 33= ；③log 3l= ；④如果log x 16=4，那么x= ． (2)设a x =M ，a y ＝N ，则log a M=x ；log a N ＝y(a>0，a ≠1，N>0，M ，N 均为正数)．用log A M ，log A N 的代数式分别表示log a MN 及log a NM，并说明理由． (泰州市中考题) 20．设dcx bax y ++=，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数．求证： (1)当bc=ad 时，y 是有理数；(2)当bc ≠ad 时，y 是无理数．设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a ，试求AABC 的形状．。

八年级奥数实数知识点归纳总结

八年级奥数实数知识点归纳总结奥数，全称奥林匹克数学竞赛，是一项国际性的数学竞赛。

在奥数竞赛中，实数是一项非常重要的知识点。

在这里，我们将对八年级奥数实数知识点进行归纳总结。

一、实数定义实数包括有理数和无理数两部分，其中有理数可以表示成两个整数的比值，无理数不能表示成有理数的比值。

二、实数的运算1.实数加法：两个实数相加，符号相同则相加并保留符号，符号不同则相减并取较大的符号。

2.实数减法：一个实数减去另一个实数，相当于加上另一个数的相反数。

3.实数乘法：两个实数相乘，同号得正，异号得负。

4.实数除法：除以一个非零实数等于乘以它的倒数。

三、实数的表示1.实数绝对值：实数x的绝对值表示为|x|，x≥0时，|x|=x，x<0时，|x|=-x。

2.实数的相反数：实数x的相反数表示为-x，满足x+(-x)=0。

3.实数的倒数：非零实数x的倒数表示为1/x，满足x*(1/x)=1。

4.实数的数轴表示：实数可以在数轴上表示，数轴上左侧为负数，右侧为正数，原点为0。

四、实数的分类实数可分为有理数和无理数。

其中有理数还可分为整数、分数、正数和负数。

五、实数的大小比较实数的大小比较可以通过比较它们的绝对值的大小，如果相同再比较符号的大小。

也可以在数轴上进行比较，位于左侧的实数比位于右侧的实数小。

六、实数的应用实数在生活中有着广泛的应用，如在物理学中，实数可用于描述长度、重量等物理量；在经济学中实数可用于表示价格、收益等；在化学中，实数可用于表示温度、浓度等。

以上便是对八年级奥数实数知识点的归类总结。

掌握实数知识，对于参加奥数竞赛将会有很大的帮助。

奥数七年级实数知识点总结

奥数七年级实数知识点总结奥数七年级实数知识点总结实数是数学中最基础且最重要的数系之一，广泛应用于各个领域。

在奥数七年级中，学生将接触到关于实数的一些基本概念和性质，例如有理数和无理数的区别、实数的大小比较以及实数的运算法则等等。

本文将对这些知识点进行总结，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握实数的相关知识。

首先，我们来谈谈有理数和无理数的区别。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。

例如，-2、0、1/2和0.3都是有理数。

而无理数是不能表示为两个整数的比值的数，通常以无限不循环小数的形式出现，例如π和根号2。

有理数和无理数一起构成了实数集合。

实数之间的大小比较是奥数中常见的问题。

在进行大小比较时，需要根据实数的正负和绝对值大小进行判断。

对于两个正数来说，它们的大小关系与它们的数值大小一致。

例如，3大于2，10大于1。

而对于两个负数来说，它们的大小关系则与它们的数值大小相反。

例如，-3小于-2，-10小于-1。

当一个正数和一个负数进行比较时，正数大于负数。

在研究绝对值大小时，可将实数的绝对值看作它们到零点的距离。

绝对值越小，实数越接近零点。

例如，|-3| = 3，|2| = 2。

因此，-3比2更接近零点，-3小于2。

实数的运算法则也是奥数中重要的一部分。

实数之间的加法、减法、乘法和除法都遵循一定的规律。

例如，对于任意的实数a、b和c来说，加法具有交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

减法可以转化为加法，即a - b = a + (-b)。

乘法具有交换律和结合律，即a × b= b × a，(a × b) × c = a × (b × c)。

除法可以转化为乘法，即a ÷ b = a × (1/b)，其中b ≠ 0。

在进行实数乘法和除法运算时，需要注意负数的处理。

初中数学竞赛辅导材料目录

初中数学竞赛辅导材料目录一、初中数学竞赛基础知识1.数集及其运算-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念及运算性质-数集的表示方法与运算法则2.代数式与方程-一元一次方程与一元一次不等式的解法及应用-一次函数的定义、性质与图像-一元二次方程的解法及应用3.几何基本概念-点、线、面、角的定义与性质-直线、射线、线段、平行线、垂直线的概念与判定-多边形、三角形、四边形的性质4.图形的相似与投影-图形的相似判定条件及相似比的计算-平面图形在对称、旋转、平移、投影中的性质与运用5.数据的整理与表示-数据的收集、整理、描述和分析方法-列联表的制作与应用-分组频数统计图的制作与读图6.立体几何-空间图形的基本概念及性质-空间图形的展开与剖析-空间图形的体积与表面积计算方法二、初中数学竞赛解题技巧与方法1.快速计算技巧-快速计算小技巧的应用（如乘法口诀、整数加减乘除的计算等）-快速计算较大数的方法（如分解因数、整理计算顺序等）2.思维训练与问题解决-近似计算与估算的方法与应用-分析解题条件与利用信息求解问题-数学问题的逻辑和推理方法3.策略与技巧-消元法与代入法的使用-枚举与特例法的应用-逆向思维与反证法的运用4.考试技巧与应试心理-数学竞赛常见题型的解题思路-如何正确阅读题目与审题技巧-考试时间分配与答题顺序规划-心理调适与压力应对方法三、数学竞赛真题及解析1.真题分析与解题方法讲解-分析数学竞赛真题的特点与难点-理解题目要求、辅助线的作法、巧用条件等解题技巧-真题解析与解题思路讲解2.解题思路总结与题型归纳-简述各种常见数学竞赛题型的解题思路-总结解题中常用的技巧与方法-提供大量的练习题目，以加强学生对各类题型的掌握以上为初中数学竞赛辅导材料的目录，通过系统的学习与实践，相信学生们可以提升数学竞赛的能力，取得更好的成绩。

祝学习愉快！。

八年级奥数实数知识点

八年级奥数实数知识点实数是指全体有理数和无理数的集合。

实数是数学中最常见的一类数，我们在学习数学时也离不开实数。

在八年级的奥数学习中，实数是一个非常重要的知识点。

本文将全面介绍八年级奥数实数知识点。

一、实数的定义实数是由有理数和无理数组成的数集。

其中有理数是可以表示成p/q（p和q为整数，且q≠0）的数字，无理数则无法表示成有理数的数字。

二、实数的分类实数可以分为三类，分别是正数、负数和零。

正数是大于零的实数，负数则是小于零的实数，零是和零相等的实数。

三、实数的运算1.加法运算：两个实数相加时，先将它们的小数点对齐，按位相加即可。

同时注意进位。

2.减法运算：两个实数相减时，可以将减法转化为加法，即a-b=a+(-b)。

若要计算两个实数相减的结果，应先将它们的小数点对齐，再按位相减。

同时注意借位。

3.乘法运算：两个实数相乘的结果等于它们的积。

在计算过程中，应注意小数点的位置。

4.除法运算：两个实数相除的结果等于它们的商。

在计算过程中，应注意小数点的位置。

若被除数不够除，则应在被除数末尾添零继续除。

四、实数的度量实数之间的大小可以用数轴上的位置来表示。

数轴上的每一个点都对应着一个实数，数轴上的正方向表示正数，数轴上的负方向表示负数。

任何一个实数都可以用数轴上的一个唯一的点来表示。

实数a和b之间的距离为|a-b|。

五、实数的性质1.实数具有传递性，即若a<b，b<c，则a<c。

2.实数具有对称性，即若a=b，则b=a。

3.实数具有割裂性，即对于任意实数a和b，都有且只有下列三种情况之一成立：a<b，a=b，或a>b。

4.实数具有区间性，即将实数分为开区间、闭区间、半开区间三种。

六、实数的应用实数在我们日常生活中有着广泛的应用。

比如，在科学计算、经济学、物理学、化学、生物学等领域中，实数都起着重要作用。

在奥数竞赛中，实数也是一个重要的知识点。

只有熟练掌握实数的概念、性质和运算，才能在竞赛中获得好成绩。

九年级数学实数的性质与运算

九年级数学实数的性质与运算实数是数学中的重要概念，它涵盖了整数、有理数和无理数等各种数的集合。

数学中实数的性质与运算是九年级数学课程的重要内容，掌握实数的性质与运算对于进一步学习高级数学和解决实际问题都具有重要意义。

一、实数的性质实数具有一些重要的性质，包括有序性、稠密性和完备性。

1. 有序性实数集合中的每个数都有大小之分，即可以进行大小比较。

例如，对于任意的实数a和b，要么a>b，要么a<b，要么a=b。

这种有序性质使得我们可以对实数进行排序和比较大小。

2. 稠密性实数集合中存在着无穷多个有理数和无理数，并且它们之间没有间隔。

换句话说，对于任意两个实数a和b（a<b），在它们之间一定存在着其他实数。

这种稠密性使得我们可以通过插值法在两个已知的实数之间找到其他的实数。

3. 完备性实数集合是一个完备的数集，也就是说，它没有“漏洞”。

无论是有理数还是无理数，实数集合中都没有任何间断点或缺失的数。

这也就使得实数能够精确地表示各种数量关系和度量关系，成为了数学分析的基石。

二、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法等基本运算，同时也具有一些特殊的性质和规律。

1. 加法和减法实数的加法和减法运算符合交换律、结合律和分配律等基本性质。

对于任意的实数a、b和c，有以下运算规律：- 加法交换律：a + b = b + a- 减法定义：a - b = a + (-b)- 减法的反运算：a - a = 0- 减法分配律：a × (b - c) = a × b - a × c2. 乘法和除法实数的乘法和除法运算符合交换律、结合律和分配律等基本性质。

对于任意的实数a、b和c（b≠0、c≠0），有以下运算规律：- 乘法交换律：a × b = b × a- 除法定义：a ÷ b = a × (1/b)- 除法的反运算：a ÷ a = 1- 除法的分配律：a ÷ (b × c) = (a ÷ b) ÷ c实数的乘法和除法还具有零元和幂零律的特殊性质：- 零元：0是实数集合中唯一的零元，对于任意的实数a，都有a × 0 = 0- 幂零律：对于任意的实数a，若a的某次方等于0，则a本身为0，即a的幂零次方为0三、实数的性质与运算在解决实际问题中的应用实数的性质与运算在解决实际问题中具有广泛的应用，例如：1. 金融领域：利息的计算、股票和基金的交易、货币兑换等都需要使用实数的性质与运算。

奥数七年级实数知识点

奥数七年级实数知识点七年级的学生进入初中，开始学习更高深的数学知识。

其中一个重要的领域是实数。

实数是指所有的实数，包括有理数和无理数。

在这篇文章中，我们将深入探讨七年级学生所需了解的重要实数知识点。

一. 实数的概念实数是指可以用数轴上的点来表示的数，包括有理数和无理数。

数轴是一个直线，上面的点与实数一一对应。

有理数是可以表示成两个整数之比的数，而无理数则不能用有理数的形式表示，如根号2、根号3等。

二. 实数的范围实数包括从负无穷到正无穷的所有数。

在数轴上，正数位于原点的右侧，负数则位于原点的左侧。

而无理数则分布在整个数轴上。

三. 实数的比较对于有理数和无理数的比较，我们可以通过大小关系和绝对值来进行。

对于两个有理数，我们可以比较它们的大小。

对于两个无理数，我们需要使用近似值进行比较。

而对于有理数和无理数的比较，则需要将无理数近似成一个有理数，再比较大小。

四. 实数的表示实数可以用分数表示，也可以用小数表示。

对于有理数来说，可以用分数或小数表示。

而无理数则大多数用小数表示，因为无理数无法表示成分数的形式。

五. 实数的运算实数的运算同样也是非常重要的知识点。

实数的加、减、乘、除等运算都是基本的。

对于有理数的运算，可以使用通分或分母分解来进行。

对于无理数的运算，只能将其近似成小数，再进行运算。

六. 实数的绝对值实数的绝对值表示该数到原点的距离，因此它总是非负的。

对于正数，它的绝对值等于它本身。

而对于负数，则需要取负号，如|-3|= 3，|3|= 3。

七. 实数的平方实数的平方表示该数乘以自己的结果，即x²= x × x。

对于正数和负数来说，它们的平方都是非负数，如3²= 9，-3²= 9。

总结实数是高中数学中的重要知识点之一。

这篇文章介绍了实数的概念、范围、比较、表示、运算、绝对值、平方等知识点。

通过这些知识，七年级的学生可以更好地理解实数的概念和应用，为未来的数学学习打下坚实的基础。

实数概念例题和知识点总结

实数概念例题和知识点总结一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。

有理数包括整数和分数，整数又分为正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。

无理数是无限不循环小数。

二、实数的分类1、按定义分类实数可以分为有理数和无理数。

有理数：能表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。

无理数：不能表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数，如π、＼（＼sqrt{2}＼）等。

2、按正负分类实数可以分为正实数、零和负实数。

正实数：大于零的实数，包括正有理数和正无理数。

负实数：小于零的实数，包括负有理数和负无理数。

零：既不是正实数也不是负实数。

三、实数的性质1、实数与数轴上的点一一对应。

数轴上的每一个点都对应一个实数，反之，每一个实数都能在数轴上找到一个对应的点。

2、实数的运算（1）加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零。

（2）减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

（3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。

（4）除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为零）。

（5）实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

四、实数的大小比较1、正数大于零，零大于负数，正数大于负数。

2、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。

3、作差法：若\（a b ＞ 0\），则\（a ＞ b\）；若\（a b ＝ 0\），则\（a ＝ b\）；若\（a b ＜ 0\），则\（a ＜ b\）。

4、作商法：对于两个正数\（a\）、＼（b\），若\（＼frac{a}｛b} ＞ 1\），则\（a ＞ b\）；若\（＼frac{a}｛b} ＝ 1\），则\（a ＝ b\）；若\（＼frac{a}｛b} ＜ 1\），则\（a ＜ b\）。

初一数学实数进阶专题

初一数学实数进阶专题
1. 有理数与无理数
有理数是可以表示为两个整数的比例的数，而无理数是不能用两个整数比例表示的数。

例如，$\sqrt{2}$是一个无理数，因为它不能表示为两个整数的比例。

2. 实数的基本性质
实数具有以下基本性质：
- 实数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

- 实数满足交换律、结合律和分配律。

- 实数可以用有理数或无理数表示。

3. 实数的进阶运算
3.1 绝对值
对于一个实数$a$，它的绝对值表示为$|a|$，表示$a$与零点之间的距离。

绝对值满足以下性质：
- 若$a \geq 0$，则$|a| = a$。

- 若$a < 0$，则$|a| = -a$。

3.2 数轴上的实数
数轴是一条直线，用来表示实数。

实数在数轴上可以以点的形式表示。

3.3 数的比较
比较两个实数大小时，可以利用数轴上的位置关系进行判断。

- 若$a$在$b$的左边，则$a < b$。

- 若$a$在$b$的右边，则$a > b$。

3.4 实数的四舍五入
四舍五入是一种常见的实数近似计算方法，用于将一个实数近似为较为接近的整数，保留指定位数的小数。

4. 实际应用
实数在日常生活中具有广泛的应用，例如：
- 衡量温度、时间、长度等物理量时使用实数。

- 在金融领域中，实数用于货币计算和投资分析。

- 在建筑和工程中，实数用于测量和计算。

以上是关于初一数学实数进阶专题的简要介绍，实数的概念、性质和应用非常广泛，对于数学学习和实际生活都有重要意义。

初中数学竞赛专题培训[1]

第一讲：因式分解(一) (1)第二讲：因式分解(二) (8)第三讲实数的若干性质和应用 (12)第四讲分式的化简及求值 (16)第五讲恒等式的证明 (20)第六讲代数式的求值 (26)第七讲根式及其运算 (30)第八讲非负数 (35)第九讲一元二次方程 (40)第十讲三角形的全等及其应用 (45)第十一讲勾股定理及应用 (52)第十二讲平行四边形 (58)第十三讲梯形 (63)第十四讲中位线及其应用 (68)第十五讲相似三角形(一) (73)第十六讲相似三角形(二) (77)第十七讲* 集合及简易逻辑 (83)第十八讲归纳及发现........... 91第十九讲特殊化及一般化.. (97)第二十讲类比及联想 (103)第二十一讲分类及讨论 (108)第二十二讲面积问题及面积方法. 113第二十三讲几何不等式 (118)第二十四讲* 整数的整除性 (124)第二十五讲* 同余式 (130)第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 (136)第二十七讲列方程解应用问题中的量141第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题 (148)第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界 (155)第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (99)第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法及技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-a b-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4 )=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n 来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的及技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1 )=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2 -1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再及第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v) =u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．第二讲：因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍及前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n 的形式，应用待定系数法即可求出m 和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+ bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．第三讲实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．例1分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．证设两边同乘以100得②-①得99x=261.54-2.61=258.93，无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．性质2 设a为有理数，b为无理数，则(1)a+b，a-b是无理数；有理数和无理数统称为实数，即在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．例2分析证所以分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数及无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．证用反证法．所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得4m2＝2q2，q2＝2m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．证将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则反之，显然成立．说明本例的结论是一个常用的重要运算性质．是无理数，并说明理由．整理得：由例4知a＝Ab，1=A，说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结有理数作为立足点，以其作为推理的基础．例6 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a及b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．分析只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．证因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以说明构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法．例7 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？即由①，②有存在无理数α，使得a＜α＜b成立．b4+12b3+37b2+6b-20的值．分析因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10．例9 求满足条件的自然数a，x，y．解将原式两边平方得由①式变形为两边平方得例10 设a n是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0.a1a2a3…a n…是有理数．分析有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证0.a1a2a3…a n…是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．证计算a n的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：a k+20=a k，若此式成立，说明0.a1a2…a n…是由20个数字组成循环节的循环小数，即下面证明a k+20=a k．令f(n)=12+22+…+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)及f(n)有相同的个位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)．由前面计算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍数，故a k+20=a k 成立，所以0.a1a2…a n…是一个有理数．第四讲分式的化简及求值分式的有关概念和性质及分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子及分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简及求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式及真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式及真分式之和的形式．例2 求分式当a=2时的值．分析及解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c 都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b ≠0，c≠0．例4 化简分式：分析及解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只及x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2 -8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8 x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．第五讲恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式及根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识及技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个及它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法及技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)( 1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．证因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2 -x2+x2y2)=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz( xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x )+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x ＞0，y＞0，z＞0，且证令1989x2=1991y2=1993z2=k(k ＞0)，则又因为所以所以说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．证因为所以所以说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．同理所以所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法及综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法及综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．证要证 a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要证 ab=ac+bc，只要证 c(a+b)=ab，只要证这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．证由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以a＝b，c=d．所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法及技巧求证：8a+9b+5c=0．a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)．所以6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a)，即 8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析及证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．说明本题证明过程中主要是进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．证由已知说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析及证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．联想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc -ca)，所以将①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以 a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元及二元的结构类似．证由已知有①×②×③得x2y2z2=1．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能及方法，这对以后的数学学习非常重要．第六讲代数式的求值代数式的求值及代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值及算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即。