1998年考研数学一真题
1998考研数学真题
1998考研数学真题考研数学是研究生入学考试中重要的一部分，对于数学专业的考生来说尤为重要。
为了帮助考生更好地备考，下面将介绍1998年考研数学真题，并进行详细的解析与讲解。
一、多选题1.设集合A={1,2,3,4}，B={2,3,4,5,6}，C={1,3,5}，则(A∪B)*C的结果是：A. {1,3,5,6}B. {1,2,3,4,5,6}C. {1,2,3,4,5}D. {2,3,4,5}答案：C解析：首先计算A∪B，得到{1,2,3,4,5,6}，然后将结果与C计算得到的{1,3,5}进行运算，得到{1,2,3,4,5}，故选项C为正确答案。
2.设集合A={x|x=a^2, a∈N}，B={y|y=b^2, b∈N}，若A∩B={9}，则a,b分别为：A. a=√3, b=√3B. a=√3, b=3C. a=3, b=√3D. a=3, b=3答案：C解析：由题意可知，A是平方数集合，B也是平方数集合，且A∩B={9}，则可推断9=a^2=b^2，因此a=3，b=3，故选项C为正确答案。
二、填空题1.若1+2+3+...+1998= ？，则填写中间那个数答案：1999003解析：该题是求1到1998的等差数列的和，使用等差数列求和公式Sn=(a1+an)n/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数，代入a1=1，an=1998，n=1998，得到Sn=(1+1998)1998/2，计算结果为1999003。
2.设正整数n满足n^2-10n+9=0，那么n= ？答案：9解析：根据题意可得到n^2-10n+9=0，进行因式分解得到(n-9)(n-1)=0，因此n=9或n=1，但由题意要求正整数n，所以n=9为解。
三、计算题计算2sin45°+sin60°+cos30°的值。
答案：1.866解析：根据三角函数的定义和数值，sin45°=√2/2，sin60°=√3/2，cos30°=√3/2，带入计算得到2sin45°+sin60°+cos30°=2*√2/2+√3/2+√3/2=√2+√3=1.866。
1998年考研数学试题详解及评分参考
解：取沉放在原点 O, OY 轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得
m
d2y dt 2
=
mg
-
Br
-
kv
，
将
d2y dt 2
=
v
dy dt
代入以消去 t
，得 v与y
之间的微分方程 mv
=
y - b3 b1 - b2
=
z - c3 与直 线 c1 - c2
x - a1 a2 - a3
=
y - b1 b2 - b3
=
z - c1 c2 - c3
(A) 相交于一点 (B) 重合
(D) 平行但不重合
(D) 异面
【答】 应选 (A) .
éa1 b1 c1 ù
a1 b1 c1
【解】 因 êêa2
则 ( A* ) 2 + E 必有特征值
.
【答】 应填 [ A ]2 +1. l
【解】 因 A 有特征值 l ，故 A-1 必有特征值 1 , 从而 A* = A A-1 必有特征值 | A | ，
l
l
因此 ( A* ) 2 + E 必有特征值 ( A )2 +1. l
(5) 设平面区域 D 由曲线 y = 1 及直线 y = 0, x = 1, x = e2 所围成，二维随机变量 ( X ,Y ) 在
【解】
¶z ¶x
=
-
1 x2
f (xy) +
y x
f ¢(xy) +
yj ¢(x +
y) = yf ¢¢( xy) + j ¢(x +
y) +
yj ¢¢(x +
考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( )A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：方法一：当函数中出现绝对值号时，就有可能出现不可导的“端点”，因为这时的函数是分段函数。
f(x)=(x2一x一2)|x||x2一1|，当x≠0，±1时f(x)可导，因而只需在x=0，±1处考虑f(x)是否可导。
在这些点我们分别考虑其左、右导数。
由即f(x)在x=一1处可导。
又所以f(x)在x=0处不可导。
类似，函数f(x)在x=1处亦不可导。
因此f(x)只有两个不可导点，故应选B。
方法二：利用下列结论进行判断：设函数f(x)=|x一a|φ(x)，其中φ(x)在x=a 处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是φ(a)=0。
先证明该结论：由导数的定义可知：其中可见，f′(a)存在的充要条件是φ(a)=一φ(a)，也即φ(a)=0。
再利用上述结论来判断本题中的函数有哪些不可导点：首先，绝对值函数分段点只可能在使得绝对值为零的点，也就是说f(x)=(x2一x一2)|x3一x|只有可能在使得|x3一x|=0的点处不可导，也即x=一1，x=0以及x=1。
接下来再依次对这三个点检验上述结论：对x=一1，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2一x||x+1|，由于(x2一x-2)|x2一x|在x=一1处为零，可知f(x)在x=一1处可导。
对x=0，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2一1||x|，由于(x2一x 一2)|x2一1|在x=0处不为零，可知f(x)在x=0处不可导。
对x=1，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2+x||x+1|，由于(x2一x一2)|x2+x|在x=1处不为零，可知f(x)在x=1处不可导。
1998考研数学一真题
1998考研数学一真题1998年的考研数学一真题是一道经典的题目，它涉及到了数学的多个分支，如微积分、线性代数和概率论。
这道题目的难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力。
接下来，我们将对这道题目进行详细的分析和解答。
首先，让我们来看一下这道题目的具体内容。
题目要求求解一个三阶矩阵的特征值和特征向量。
对于数学专业的学生来说，这是一个非常基础的问题。
我们可以通过求解矩阵的特征方程来得到特征值，然后再通过特征值求解特征向量。
但是在实际操作中，我们需要注意一些细节。
首先，我们需要确定这个矩阵是否可对角化。
可对角化的条件是矩阵的特征值都是不重复的。
如果特征值有重复，那么我们需要找到相应的线性无关的特征向量。
在这道题目中，我们可以通过计算特征多项式来得到特征值，并判断是否有重复的特征值。
其次，我们需要确定特征值的个数。
对于一个n阶矩阵，它最多有n个特征值。
在这道题目中，我们需要求解的是一个三阶矩阵的特征值和特征向量，所以我们最多会得到三个特征值。
接下来，我们可以使用特征值求解特征向量。
对于每一个特征值，我们可以将其代入矩阵的特征方程，并解出对应的特征向量。
在这个过程中，我们需要注意特征向量的线性无关性。
如果一个特征值对应多个线性无关的特征向量，那么这个特征值的几何重数就大于1。
最后，我们需要将求得的特征值和特征向量进行验证。
我们可以将特征向量代入矩阵的特征方程，然后计算出左右两边的值是否相等。
如果相等，那么我们就可以确认我们求得的特征值和特征向量是正确的。
通过对这道题目的分析和解答，我们可以看到，数学考试并不仅仅是机械地运算和计算，更需要考生具备一定的数学思维和逻辑推理能力。
只有在掌握了基本的数学知识和方法的基础上，才能更好地解决复杂的数学问题。
总结起来，1998年考研数学一真题涉及到了数学的多个分支，如微积分、线性代数和概率论。
通过对这道题目的分析和解答，我们可以看到数学考试的重要性和难度。
在备考过程中，我们需要注重基础知识的掌握和思维能力的培养。
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.文)
1998年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学第I卷一、选择题：本大题共15小题；第（1）－（10）题每小题4分，第（11）－（15）题每小题5分，共65分。
在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．sin600°的值是A．1/2 B．-1/2 C．/2 D．- /22．函数y=a|x|(a>1)的图象是3．已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是A．5 B．4 C．3 D．24．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A．A1A2+B1B2=0 B．A1A2-B1B2=0C．A1A2/B1B2=-1 D．B1B2/A1A2=15．函数f(x)=1/x(x≠0)的反函数f-1(x)=A．x(x≠0) B．1/x(x≠0)C．-x(x≠0) D．-1/x(x≠0)6．已知点P（sinα-cosα,tgα）在第一象限，则[0,2π]内α的取值范围是A．(π/2,3π/4)∪(π,5π/4) B．(π/4,π/2)∪(π,5π/4)C．(π/2,3π/4)∪(5π/2,3π/2) D．(π/4,π/2)∪(3π/4,π)7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为A．120° B．150° C．180° D．240°8．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是A．/2±1/2 B．- /2±1/2iC．±/2+1/2i D．±/2-1/2i9．如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0，那么A．2 = + B．S0＝C．2S0＝S＋S' D．S02＝2S'S10．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士。
不同的分配方法共有A．6种 B．12种 C．18种 D．24种11．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是12．椭圆x2/12+y2/3＝1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是A．±/4 B．±/2 C．±/2 D．±3/413．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A．4 B．2 C．2 D．14．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为A．arccos -1/2 B．arcsin -1/2C．arccos1- /2 D．arcsin1- /215．等比数列{a n}的公比为-1/2，前n项的和S n满足S n=1/a1，那么a1的值为A．± B．±3/2 C．± D．±/2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
1998考研数一真题答案及详细解析
A ,
( 0) .
由 A 0 ,知 0 (如果0是 A 的特征值 A 0 ),将上式两端左乘 A ,得
A A A A A ,
从而有
A*
A
,
(即
A
的特征值为
A
).
将此式两端左乘 A ,得
A*
2
A
A*
A
2 .
又 E ,所以
A*
2 E
A
2
1
的条件下与求导次序无关,先求 z 或 z 均可,但不同的选择可能影响计算的繁简. x y
z
方法1：先求 .
x
z x
1 x x
f (xy)
y(x
y)
1 x2
f (xy)
y x
f
(xy)
y (x
y)
,
2z xy
y
1 x2
f (xy)
y x
f (xy)
y(x
y )
1 x2
f (xy)x 1 x
(2)【答案】(B) 【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是
分段函数. f (x) (x2 x 2) x x2 1 ,当 x 0, 1 时 f (x) 可导,因而只需在 x 0, 1 处
考察 f (x) 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.
由
o2
x2
,
从而
原式
lim
1
1 2
x
1 8
x
2
o1
x0
x2
1
1 2
x
1 8
x2
o2
x2
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)0x →(2)设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2z x y∂∂∂=_____________.(3)设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则22(234)Lxy x y ds ++⎰=_____________. (4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值_____________.(5)设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 连续,则220()xd tf x t dt dx -⎰= (A)2()xf x (B)2()xf x - (C)22()xf x(D)22()xf x -(2)函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是 (A)3 (B)2 (C)1(D)0(3)已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy xα∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于(A)2π (B)π(C)4e π(D)4e ππ(4)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合(D)异面(5)设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有 (A)(|)(|)P A B P A B = (B)(|)(|)P A B P A B ≠ (C)()()()P AB P A P B =(D)()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()x y xy x y x x y λλ=+-+A i j为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,).u x y 五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y 从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水密度为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).k k >试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式().y y v =六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰其中∑为下半平面z =,a 为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112x n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦设正向数列{}n a 单调减少,且1(1)nn n a ∞=-∑发散,试问级数11()1nn n a ∞=+∑是否收敛?并说明理由.九、（本题满分6分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x ∈使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的. 十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组k x =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0 证明:向量组1,,,k -αA αA α是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大? 附:标准正态分布表22()t zx dt -Φ=⎰十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程.附:t 分布表 {()()}p P t n t n p ≤=1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】14-【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,原式22x →=24x →-=)221lim4x x →=2220112112lim 24x x xx →-- =-.方法2：采用洛必达法则.原式)()022limxx →''洛0x→= 0x →=0x →=0x → 洛 14==-.方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至2x 项,()22111128x x o x =+-+()22211128x x o x =--+, 从而 原式()()2222122011111122828lim x x x o x x x o x x →+-++--+-= ()()222122014lim x x o x o x x →-++=14=-. (2)【答案】()()()yf xy x y y x y ϕϕ'''''++++ 【分析】因为1()(),,z f xy y x y f xϕϕ=++具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关,先求z x ∂∂或z y∂∂均可,但不同的选择可能影响计算的繁简. 方法1：先求z x∂∂. 211()()()()()z y f xy y x y f xy f xy y x y x x x x x ϕϕ∂∂⎡⎤''=++=-+++⎢⎥∂∂⎣⎦,2221()()()11()()()()()11()()()()()()()().z y f xy f xy y x y x y y x x yf xy x f xy f xy x x y y x y x x xf xy f xy yf xy x y y x y x xyf xy x y y x y ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂⎛⎫''=-+++ ⎪∂∂∂⎝⎭'''''''=-++++++'''''''=-++++++'''''=++++ 方法2：先求z y∂∂. 11()()()()()()()(),z f xy y x y f xy x x y y x y y y x xf xy x y y x y ϕϕϕϕϕ∂∂⎡⎤''=++=++++⎢⎥∂∂⎣⎦''=++++ []22()()()()()().z z f xy x y y x y x y y x xyf xy x y y x y ϕϕϕϕ∂∂∂''==++++∂∂∂∂∂'''''=++++ 方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：()[][][]21()()1()()()()()()().z f xy y x y x y x y x y x f xy x y x y x x y f xy y x y x yyf xy x y y x y ϕϕϕϕϕ⎡⎤∂∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤=++ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎣⎦∂∂⎡⎤''=++⎢⎥∂∂⎣⎦∂∂''=++∂∂'''''=++++ 评注：本题中,,f ϕ中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对x 求导时,y 视为常数；对y 求导时,x 视为常数就可以了. (3)【答案】12a【解析】L 关于x 轴(y 轴)对称,2xy 关于y (关于x )为奇函数20Lxyds ⇒=⎰.又在L 上,22222213412(34)1212.43L L x y x y x y ds ds a +=⇒+=⇒+==⎰⎰因此, 原式222(34)12LLxyds x y ds a =++=⎰⎰.【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分(),lf x y ds ⎰,设(),f x y 在l 上连续,如果l 关于y 轴对称,1l 为l 上0x ≥的部分,则有结论：()()()()12,,,,0,l lf x y ds f x y x f x y ds f x y x ⎧ ⎪=⎨ ⎪⎩⎰⎰关于为偶函数,，关于为奇函数. 类似地,如果l 关于x 轴对称,2l 为l 上0y ≥的部分,则有结论：()()()()22,,,,0,l lf x y ds f x y y f x y ds f x y y ⎧ ⎪=⎨ ⎪⎩⎰⎰关于为偶函数,，关于为奇函数. (4)【答案】 21A λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】方法1：设A 的对应于特征值λ的特征向量为ξ,由特征向量的定义有,(0)A ξλξξ=≠.由0A ≠,知0λ≠(如果0是A 的特征值0A ⇔=),将上式两端左乘A *,得A A A A A ξξλξλξ***===,从而有 *,AA ξξλ=(即A *的特征值为Aλ).将此式两端左乘A *,得()22**AA A A ξξξλλ⎛⎫== ⎪⎝⎭.又E ξξ=,所以()()22*1A A E ξξλ⎛⎫⎛⎫ ⎪+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故*2()A E +的特征值为21A λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.方法2：由0A ≠,A 的特征值0λ≠(如果0是A 的特征值0A ⇔=),则1A -有特征值1λ,A *的特征值为A λ；*2()A E +的特征值为21A λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11Aααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.若AX X λ=,则()()A kE X AX kX k X λ+=+=+.即若λ是A 的特征值,则A kE +的特征值是k λ+.2.矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠,且11AA A-*=. (5)【答案】14【解析】首先求(,)X Y 的联合概率密度(,)f x y .21(,)|1,0D x y x e y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭, 区域D 的面积为22111ln 2.e e D S dx x x===⎰1,(,),(,)20, x y D f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他.其次求关于X 的边缘概率密度.当1x <或2x e >时,()0X f x =；当21x e ≤≤时,1011()(,)22x X f x f x y dy dy x+∞-∞===⎰⎰. 故1(2).4X f =二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1)【答案】(A)【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换22,u x t =-2:0:0t x u x →⇒→,()222du d x t tdt =-=-12dt du t⇒=-, 222022220001()()211()(),22xx xx tf x t dt u x t tf u dt t f u du f u du ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰()2220022221()()211()()2(),22x x d d tf x t dt f u du dx dx f x x f x x xf x -='=⋅=⋅=⎰⎰选(A).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t ft t f t ββαα'''=⋅-⋅.(2)【答案】(B)【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.22()(2)1f x x x x x =---,当0,1x ≠±时()f x 可导,因而只需在0,1x =±处考察()f x 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.由 22222222(2)(1),1,(2)(1),10,()(2)(1),01,(2)(1),1,x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x ⎧---<-⎪----≤<⎪=⎨---≤<⎪⎪---≤⎩⇒ ()()22111(2)(1)0(1)lim lim 011x x f x f x x x x f x x ---→-→-------'-===++, ()()22111(2)(1)0(1)lim lim 011x x f x f x x x x f x x +++→-→-------'-===++,即()f x 在1x =-处可导.又()()22000(2)(1)0(0)lim lim 2x x f x f x x x x f x x ---→→-----'===, ()()22000(2)(1)0(0)lim lim 2x x f x f x x x x f x x+++→→-----'===-,所以()f x 在0x =处不可导.类似,函数()f x 在1x =处亦不可导.因此()f x 只有2个不可导点,故应选(B). 评注：本题也可利用下列结论进行判断：设函数()()f x x a x ϕ=-,其中()x ϕ在x a =处连续,则()f x 在x a =处可导的充要条件是()0a ϕ=. (3)【答案】(D) 【解析】由2,1y x y x α∆∆=++有2.1y y x x xα∆=+∆+∆ 令0,x ∆→得α是x ∆的高阶无穷小,则0lim0x xα∆→=∆,0limx y x ∆→∆∆20lim 1x yx x α∆→⎛⎫=+ ⎪+∆⎝⎭200lim lim 1x x y x x α∆→∆→=++∆21y x =+ 即21dy y dx x=+. 分离变量,得2,1dy dx y x=+ 两边积分,得 ln arctan y x C =+,即arctan 1.xy C e=代入初始条件(0),y π=得()arctan0110.y C e C π===所以,arctan xy eπ=.故 arctan 1(1)xx y eπ==arctan1eπ=4.e ππ=【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (4)【答案】(A) 【解析】设3331121212:x a y b z c L a a b b c c ---==---,1112232323:x a y b z c L a a b b c c ---==---,题设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则由行列式的性质,可知 11112121222223232333333312230a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ------≠行减行，行减行, 故向量组121212(,,)a a b b c c ---与232323(,,)a a b b c c ---线性无关,否则由线性相关的定义知,一定存在12,k k ,使得11212122232323(,,)(,,)0k a a b b c c k a a b b c c ---+---=,这样上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾.121212(,,)a a b b c c ---与232323(,,)a a b b c c ---分别为12,L L 的方向向量,由方向向量线性相关,两直线平行,可知12,L L 不平行.又由333121212x a y b z c a a b b c c ---==---得333121212111x a y b z c a a b b c c ----=-=----,即()()()312312312121212x a a a y b b b z c c c a a b b c c ---------==---. 同样由111232323x a y b z c a a b b c c ---==---,得111232323111x a y b z c a a b b c c ---+=+=+---,即 ()()()123323323232323x a a a y b b b z c c c a a b b c c -+--+--+-==---, 可见12,L L 均过点()213213213,,a a a b b b c c c ------,故两直线相交于一点,选(A). (5)【答案】C【分析】由题设条件(|)(|)P B A P B A =,知A 发生与A 不发生条件下B 发生的条件概率相等,即A 发生不发生不影响B 的发生概率,故,A B 相互独立.而本题选项(A)和(B)是考虑(|)P A B 与(|)P A B 是否相等,选项(C)和(D)才是事件A 与B 是否独立. 【解析】由条件概率公式及条件(|)(|),P B A P B A =知{}{}{}{}{}{}{}1P AB P AB P B P AB P A P A P A-==-, 于是有 {}{}{}{}{}1P AB P A P A P B P AB -=⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 可见 {}{}{}P AB P A P B =. 应选(C).【相关知识点】条件概率公式：{}{}{}|P AB P B A P A =.三、(本题满分5分)【解析】方法1：求直线L 在平面∏上的投影0L ：方法1：先求L 与∏的交点1N .以1,:,1x t L y t z t =+⎧⎪=⎨⎪=-⎩代入平面∏的方程,得(1)2(1)101t t t t +-+--=⇒=.从而交点为1(2,1,0)N ；再过直线L 上点0(1,0,1)M 作平面∏的垂线11:112x y z L --'==-,即1,,12.x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩并求L '与平面∏的交点2N ：1(1)()2(12)103t t t t +--++-=⇒=-,交点为2211(,,)333N .1N 与2N 的连接线即为所求021:421x y zL --==-. 方法2：求L 在平面∏上的投影线的最简方法是过L 作垂直于平面∏的平面0∏,所求投影线就是平面∏与0∏的交线.平面0∏过直线L 上的点(1,0,1)与不共线的向量(1,1,1)l =- (直线L 的方向向量)及(1,1,2)n =-(平面∏的法向量)平行,于是0∏的方程是111110112x y z ---=-,即3210x y z --+=. 投影线为 0210,:3210.x y z L x y z -+-=⎧⎨--+=⎩下面求0L 绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面S 的方程.为此,将0L 写成参数y 的方程：2,1(1).2x y z y =⎧⎪⎨=--⎪⎩ 按参数式表示的旋转面方程得S 的参数方程为,,.xy yzθθ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩消去θ得S的方程为()222212(1)2x z y y⎡⎤+=+--⎢⎥⎣⎦,即2224174210.x y z y-++-=四、(本题满分6分)【解析】令42(,)2(),P x y xy x yλ=+242(,)(),Q x y x x yλ=-+则(,)((,),(,))A x y P x y Q x y=在单联通区域右半平面0x>上为某二元函数(,)u x y的梯度Pdx Qdy⇔+在0x>上∃原函数(,)u x y⇔,0.Q Pxx y∂∂=>∂∂其中, 42242132()()4Qx x y x x y xxλλλ-∂=-+-+⋅∂,424212()2()2Px x y xy x y yyλλλ-∂=+++⋅∂.由Q Px y∂∂=∂∂,即满足4224213424212()()42()2()2x x y x x y x x x y xy x y yλλλλλλ---+-+⋅=+++⋅,424()(1)01x x yλλλ⇔++=⇔=-.可见,当1λ=-时,所给向量场为某二元函数的梯度场.为求(,)u x y,采用折线法,在0x>半平面内任取一点,比如点(1,0)作为积分路径的起点,则根据积分与路径无关,有2(,)42(1,0)2(,)x yxydx x dyu x y Cx y-=++⎰24421020x yx xdx dy Cx x y⋅-=++++⎰⎰(折线法)242y x dy Cx y-=++⎰2242(1)yx dy C y x x -=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(第一类换元法)222222004221(1)(1)yy x x y y d C d C x x y y x x x ⋅⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 2arctan yC x=-+(基本积分公式) 其中C 为任意常数.【相关知识点】1.二元可微函数(,)u x y 的梯度公式：u u gradu i +j x y∂∂=∂∂. 2.定理：设D 为平面上的单连通区域,函数()P x,y 与(,)Q x y 在D 内连续且有连续的一阶偏导数,则下列六个命题等价：(1),(,)Q Px y D x y∂∂≡∈∂∂； (2) 0,LPdx Qdy L +=⎰为D 内任意一条逐项光滑的封闭曲线；(3)LABPdx Qdy +⎰仅与点,A B 有关,与连接,A B 什么样的分段光滑曲线无关；(4) 存在二元单值可微函数(,)u x y ,使du Pdx Qdy =+(即Pdx Qdy +为某二元单值可微函数(,)u x y 的全微分； (5) 微分方程0Pdx Qdy +=为全微分方程；(6) 向量场P +Q i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度u P +Q =grad i j .换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条件成立时,可用试图法或折线法求函数(,)u x y .五、(本题满分6分)【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点O ,铅直向下作为Oy 轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：mg ,浮力的大小：F B ρ=-浮；阻力：kv -,则由牛顿第二定律得202,0,0.t t d ym mg B g kv y vdtρ===--== (*)由22,dy d y dv dv dy dv dy v v v dv dt dt dt dy dt dy===⋅==,代入(*)得y 与v 之间的微分方程10,0y dy mv mg B kv v dv ρ-=⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.分离变量得 mvdy dv mg B kv ρ=--,两边积分得 mvdy dv mg B kv ρ=--⎰⎰,2222()()()Bm m g Bm m g mv k k k k y dv mg B kv m Bm m g mg B kv k k k dv mg B kv m g Bm m k dvk mg B kv m m mg B dv dvk k mg B kv ρρρρρρρρρρ+--+=------+=--⎛⎫- ⎪=-+ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭-=-+--⎰⎰⎰⎰⎰1()()()()m mg B m k v d mg B kv k k mg B kv ρρρ-⋅-=-+----⎰ (第一类换元法) 2()ln()m m mg B v mg B kv C k kρρ-=----+.再根据初始条件0|0,y v ==即22()()ln()0ln()m mg B m mg B mg B C C mg B k k ρρρρ----+=⇒=-.故所求y 与v 函数关系为()2ln .m mg B m mg B kv y v k k mg B ρρρ-⎛⎫--=-- ⎪-⎝⎭六、(本题满分7分)【解析】方法1：本题属于求第二类区面积分,且不属于封闭区面,则考虑添加一平面使被积区域封闭后用高斯公式进行计算,但由于被积函数分母中包含12222()x y z ++,因此不能立即加、减辅助面2221:0x y a z ⎧+≤∑⎨=⎩,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简：2212222()1().()axdydz z a dxdy I axdydz z a dxdy a x y z ∑∑++==++++⎰⎰⎰⎰ 添加辅助面2221:0x y a z ⎧+≤∑⎨=⎩,其侧向下(由于∑为下半球面z =侧,而高斯公式要求是整个边界区面的外侧,这里我们取辅助面的下侧,和∑的上侧组成整个边界区面的内侧,前面取负号即可),由高斯公式,有11222211()()()1()().D I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a a z a ax dV a dxdy a x z ∑+∑∑Ω=++-++⎛⎫⎡⎤∂+⎛⎫∂⎣⎦ ⎪=-+-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一个积分前面加负号是由于我们取边界区面的内侧,第二个积分前面加负号是由于1∑的方向向下；另外由曲面片1∑在yoz 平面投影面积为零,则10axdydz ∑=⎰⎰,而1∑上0z =,则()22z a a +=.21(2())D I a z a dV a dxdy a Ω⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰,其中Ω为∑与1∑所围成的有界闭区域,D 为1∑在xoy 面上的投影222{(,)|}D x y x y a =+≤. 从而,220322001321232.3D a I a dv zdv a dxdy a a a d rdr a a a ππθπΩΩ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⋅-+⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一个积分用球体体积公式；第二个用柱面坐标求三重积分；第三个用圆的面积公式.()2042400242200242300224224440411222112()21()1122242412a a a aI a d r z dr a a a d r a r dr a a d a r r draa r r a a a a a a a a a a ππππθππθπθππππππ⎛⎫⎛=--+ ⎪⎝⎝⎭⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+⋅-=-+⋅- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰4342a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 方法2：逐项计算：2212222212()1()()1().axdydz z a dxdyI axdydz z a dxdy a x y z xdydz z a dxdy I I a ∑∑∑∑++==++++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中,12,Dyz DyzDyzI xdydz ∑==-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一个负号是由于在x 轴的正半空间区域∑的上侧方向与x 轴反向；第二个负号是由于被积函数在x 取负数.yz D 为∑在yoz 平面上的投影域222{(,)|,0}yz D y z y z a z =+≤≤,用极坐标,得2102203223320212()2222()(0),333aI d a r a r a a ππθππππ=-=-⋅--=-=-=-⎰⎰⎰(222222002302300042230044411()1(22)2(22)2222123422(3Dxya a a a a a a I z a dxdy a dxdya a d a r rdra a r r dr a a rdr a r dr a r a r a a a a a a aπθππππ∑=+=-=-=-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-⋅- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3),46a π=其中yz D 为∑在yoz 平面上的投影域222{(,)|}yz D y z y z a =+≤.故312.2I I I a π=+=-【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.七、(本题满分6分)【分析】这是n 项和式的极限,和式极限通常的方法就两种：一、把和式放缩,利用夹逼准则求极限；二、把和式转换成定积分的定义形式,利用定积分求极限.这道题,把两种方法结合到一起来求极限.当各项分母均相同是n 时,n 项和式2sin sinsin n n n n n x nnnπππ=+++是函数sin x π在[0,1]区间上的一个积分和.于是可由定积分1sin xdx π⎰求得极限lim nn x→∞.【解析】由于sinsin sin ,1,2,,11i i i n n n i n n n n iπππ≤≤=⋅⋅⋅++,于是,111sinsin sin 11nn ni i i i i i n n n n nn iπππ===≤≤++∑∑∑.由于 1011sin12limlim sin sin nnn n i i i i n xdx n n n ππππ→∞→∞=====∑∑⎰,10111sin112lim lim sin lim sin sin 11nn nn n n i i i i n i i n xdx n n n n n n πππππ→∞→∞→∞===⎡⎤=⋅===⎢⎥++⎣⎦∑∑∑⎰根据夹逼定理知,1sin2lim1nn i i n n iππ→∞==+∑. 【相关知识点】夹逼准则：若存在N ,当n N >时,n n n y x z ≤≤,且有lim lim n n n n y z a →+∞→+∞==,则lim n n x a →+∞=.八、(本题满分5分)【解析】方法1：因正项数列{}n a 单调减少有下界0,知极限lim n n a →∞存在,记为a ,则n a a ≥且0a ≥.又1(1)nn n a ∞=-∑发散,根据莱布尼茨判别法知,必有 0a >(否则级数1(1)n n n a ∞=-∑收敛).又正项级数{}n a 单调减少,有11,11nnn a a ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭而1011a <<+,级数11()1n n a ∞=+∑收敛.根据正项级数的比较判别法,知级数11()1nn n a ∞=+∑也收敛. 方法2：同方法1,可证明lim 0n n a a →∞=>.令1,1nn n b a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭则11lim1,11n n na a →∞==<++根据根值判别法,知级数11()1nn n a ∞=+∑也收敛. 【相关知识点】1.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥= (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<反之,若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑发散,只是满足条件(1),则可以反证说明此级数一定不满足条件(2)lim 0n n u →∞=,所以有lim 0.n n u →∞>(否则级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛)2.正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则(1)当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；(2)当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；(3)当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.3.根值判别法：设0n u >,则当111, 1, lim 0,1, .n n n n n n n u u u ρ∞=∞→∞=⎧<⎪⎪⎪=>≠⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑时收敛，时发散，且时此判别法无效九、(本题满分6分)【解析】(1)要证0(0,1)x ∃∈,使0100()()x x f x f x dx =⎰；令1()()()x x xf x f t dt ϕ=-⎰,要证0(0,1)x ∃∈,使0()0x ϕ=.可以对()x ϕ的原函数0()()x x t dt ϕΦ=⎰使用罗尔定理：(0)0Φ=,11111111000(1)()()(())()()()0,xx x x x dx xf x dx f t dt dxxf x dx x f t dt xf x dx ϕ==Φ==-⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分部又由()f x 在[0,1]连续()x ϕ⇒在[0,1]连续,()x Φ在[0,1]连续,在(0,1)可导.根据罗尔定理,0(0,1)x ∃∈,使00()()0x x ϕ'Φ==.(2) 由()()()()()2()0x xf x f x f x xf x f x ϕ'''=++=+>,知()x ϕ在(0,1)内单调增,故(1)中的0x 是唯一的.评注：若直接对()x ϕ使用零点定理,会遇到麻烦：1(0)()0,(1)(1)0f t dt f ϕϕ=-≤=≥⎰.当()0f x ≡时,对任何的0(0,1)x ∈结论都成立；当()f x ≡0时,(0)0,ϕ<但(1)0ϕ≥,若(1)0ϕ=,则难以说明在(0,1)内存在0x .当直接对()x ϕ用零点定理遇到麻烦时,不妨对()x ϕ的原函数使用罗尔定理. 【相关知识点】1.罗尔定理：如果函数()f x 满足 (1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.十、(本题满分6分)【解析】经正交变换化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相似.由题设知,二次曲面方程左端二次型对应矩阵为111111b A b a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则存在正交矩阵P ,使得 1000010004P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 记,即A B 与相似.由相似矩阵有相同的特征值,知矩阵A 有特征值0,1,4.从而,211014,3, 1.(1)0.a a b A b B ++=++⎧⎪⇒==⎨=--==⎪⎩从而,111131.111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦当10λ=时,()1110131111E A ---⎡⎤⎢⎥-=---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦1(1)23⨯-行分别加到，行111020000---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是得方程组(0)0E A x -=的同解方程组为12320,20.x x x x ---=⎧⎨-=⎩(0)2r E A -=,可知基础解系的个数为(0)321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,选1x 为自由未知量,取11x =,解得基础解系为1(1,0,1).Tα=-当21λ=时,()011121110E A --⎡⎤⎢⎥-=---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3(1)2⨯-加到行011011110--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1(1)2⨯-行加到行011000110--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦23，行互换011110000--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 于是得方程组()0E A x -=的同解方程组为23120,0.x x x x --=⎧⎨--=⎩()2r E A -=,可知基础解系的个数为()321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,选1x 为自由未知量,取11x =,解得基础解系为2(1,1,1).Tα=-当34λ=时,()3114111113E A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦12，行互换111311113--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1行的3,(-1)倍分别加到2，3行111024024--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦23行加到行111024000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,于是得方程组(4)0E A x -=的同解方程组为123230,240.x x x x x -+-=⎧⎨-=⎩(4)2r E A -=,可知基础解系的个数为(4)321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,选2x 为自由未知量,取22x =,解得基础解系为3(1,2,1).Tα=由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,可知123,,ααα相互正交. 将123,,ααα单位化,得111222333,,.TTTαηααηααηα======因此所求正交矩阵为0P ⎡⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎣. 评注：利用相似的必要条件求参数时,iiiia b=∑∑是比较好用的一个关系式.亦可用E A E B λλ-=-比较λ同次方的系数来求参数.【相关知识点】1.特征值的性质：11nni iii i aλ===∑∑2.相似矩阵的性质：若矩阵A B 与相似,则A B =.十一、(本题满分4分)【解析】用线性无关的定义证明.设有常数011,,,,k λλλ-⋅⋅⋅使得10110.()k k A A λαλαλα--++⋅⋅⋅+=*两边左乘1k A -,则有()110110k k k A A A λαλαλα---++⋅⋅⋅+=,即 12(1)0110k k k k A A Aλαλαλα---++⋅⋅⋅+=. 上式中因0kA α=,可知()2110k k A A αα-+===,代入上式可得100.k A λα-=由题设10k Aα-≠,所以00.λ=将00λ=代入()*,有1110k k A A λαλα--+⋅⋅⋅+=.两边左乘2k A -,则有 ()21110k k k A A A λαλα---+⋅⋅⋅+=,即123110k k k A A λαλα---+⋅⋅⋅+=.同样,由0kA α=,()2110k k A A αα-+==,可得110.k A λα-=由题设10k Aα-≠,所以10.λ=类似地可证明210,k λλ-=⋅⋅⋅==因此向量组1,,,k A A ααα-⋅⋅⋅是线性无关的. 【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k 使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．十二、(本题满分5分) 【解析】()II 的通解为1122n n k k k ξξξ++⋅⋅⋅+,其中,111121,2(,,,),Tn a a a ξ=⋅⋅⋅221222,2(,,,),,T n a a a ξ=⋅⋅⋅12,2(,,,)T n n n n n a a a ξ=⋅⋅⋅,12,,,n k k k ⋅⋅⋅为任意常数.理由：可记方程组22()0,()0,n n n n I A X II B Y ⨯⨯==()I ,()II 的系数矩阵分别记为,A B ,由于B 的每一行都是20n n A X ⨯=的解,故0T AB =.TB 的列是()I 的基础解系,故由基础解系的定义知,T B 的列向量是线性无关的,因此()r B n =.故基础解系所含向量的个数2()n n r A =-,得()2r A n n n =-=.因此,A 的行向量线性无关.对0TAB =两边取转置,有()0TT T ABBA ==,则有T A 的列向量,即A 的行向量是0BY =的线性无关的解.又()r B n =,故0BY =基础解系所含向量的个数应为2()2n r B n n n -=-=,恰好等于A 的行向量个数.故A 的行向量组是0BY =的基础解系,其通解为1122n n k k k ξξξ++⋅⋅⋅+,其中,111121,2(,,,),Tn a a a ξ=⋅⋅⋅221222,2(,,,),,T n a a a ξ=⋅⋅⋅12,2(,,,)T n n n n n a a a ξ=⋅⋅⋅,12,,,n k k k ⋅⋅⋅为任意常数.十三、(本题满分6分)【分析】把X Y -看成一个随机变量,根据独立正态随机变量的线性组合必然为正态分布的性质,可以知道N(0,1)X Y-,这样可以简化整题的计算.【解析】令Z X Y =-,由于,X Y 相互独立,且都服从正态分布,因此Z 也服从正态分布,且()()()0E Z E X E Y =-=,11()()()122D Z D X D Y =+=+=. 于是,(0,1)Z X Y N =-~.()()()()()()()22222()1.D X Y D ZE ZE Z D Z E Z E ZE Z-==-=+-=-而2222z z E Z z dz ze dz +∞+∞---∞==⎰2222202z z z ed e+∞+∞--⎡⎤⎛⎫==-=⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦ 故21.D X Y π-=-【相关知识点】1.对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.2.方差的定义：22()DX EX EX =-.3.随机变量函数期望的定义：若()Y g X =,则()()EY g x f x dx +∞-∞=⎰.十四、(本题满分4分) 【解析】由题知：212,,,~(3.4,6)n X X X N ,11nn i i X X n ==∑,各样本相互独立,根据独立正态随机变量的性质,211~(,)n n i i X X N n μσ==∑.其中11n n i i EX E X n μ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑,211n n i i DX D X n σ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑.根据期望和方差的性质,1122222211111 3.4 3.4,11166.n nn i i i i n n nn i i i i i i n EX E X EX n n n n DX D X D X DX n n n n n μσ=====⎛⎫===== ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑所以,2116~(3.4,)n n i i X X N n n ==∑.把n X 标准化,~(0,1)X U N =. 从而,{}{}{}{}1.4X 5.4 1.4 3.4X 3.4 5.4 3.42X 3.42X 3.42210.95,P P P P P <<=-<-<-=-<-<=-<=<=Φ-≥⎝⎭⎪⎩⎭故0.975,Φ≥⎝⎭查表得到 1.96,3≥即()21.96334.57,n ≥⨯≈所以n 至少应取35. 【相关知识点】1.对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数. 2.若2~(,)Z N u σ,则~(0,1)Z uN σ-十五、(本题满分4分)【解析】设该次考试的考生成绩为X ,则2~(,)X N μσ,设X 为从总体X 抽取的样本容量为n 的样本均值,S 为样本标准差,则在显著性水平0.05α=下建立检验假设：001:70,:70,H H μμμ==≠由于2σ未知,故用t 检验.选取检验统计量,X T ==在070μμ==时,2~(70,),~(35).X N T t σ 选择拒绝域为{}R T λ=≥,其中λ满足：{}0.05P T λ≥=,即{}0.9750.975,(35) 2.0301.P T t λλ≤===由0 36,66.5,70,15,n x s μ====可算得统计量T 的值：1.42.0301t ==<.所以接受假设0:70H μ=,即在显著性水平0.05下,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.。
1998-数一真题、标准答案及解析
1998年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题（1）22limx x→+=.【答】1 4−.【详解1】用四则运算将分子化简，再用等价无穷小因子代换，)2222421lim4112lim.24xxxxxx→→→−=−=−==−原式211~2x−【详解2】采用洛必达法则，00lim4x xxxx→→→→⎯⎯→==⎯⎯→原式注：()10x→→可求出【详解3】采用()1uλ+的马克劳林展开式，此时余项用皮亚诺余项较简单.当0u→时()()()22111,2!u u u o uλλλλ−+=+++所以0x→时()()2222111,28111,28x x o xx x o x⎛⎞=++−+⎜⎟⎝⎠⎛⎞=−+−+⎜⎟⎝⎠于是()()2222022011111122828lim 1 lim 414x x x x x x o x x o x x →→+−+−−+−⎛⎞⎜⎟=−+⎜⎟⎝⎠=−原式= （2）设 ()()1,,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数，则2zx y∂=∂∂ . 【答】 ()()()'''''yf xy x y y x y ϕϕ++++.【详解】()()()()()()()()()()()''22''''''''''''1,11z yf xy f xy y x y x x x z f xy f xy yf xy x y y x y x yx x yf xy x y y x y ϕϕϕϕϕ∂=−+++∂∂=−++++++∂∂=++++（3）设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则()22234lxy x y ds ++=∫v . 【答】 12.a【详解】 以l 为方程221,43x y +=即223412x y +=代入，得()()2223421221212,lllxy xy ds xy ds xyds a a ++=+=+=∫∫∫v v v其中第一个积分，由于l 关于x 轴对称，而xy 关于y 为奇函数，于是lxyds ∫v ＝0.（4）设A 是n 阶矩阵，*0,A A ≠为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则()2*A E +必有特征值 .【答】 21A λ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠.【详解】 设()0,Ax x x λ=≠则()111,0AA x x A A x x x λλ−−=⇒=≠即 *,AA x x λ=从而 ()22*,A Ax x λ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠()22*1,0,A A E x x x λ⎡⎤⎛⎞⎡⎤⎢⎥+=+≠⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎠⎣⎦可见 ()2*A E +必有特征值 21A λ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠（5）设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,y x x e ===所围成，二维随机变量(),X Y 在区域D 上服从均匀分布，则(),X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为 . 【答】14. 【详解】 区域D 的面积为22111112.e e x D S dx dy dx x===∫∫∫于是 (),X Y 的联合概率密度为()()1,,,20, x y Df x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他其关于x 的边缘概率密度为()()12011,1220, x X X dy x e f x f x dy x+∞−∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩∫∫其他 故 ()124X f =.二、选择题（1）设()f x 连续，则()220x d tf x t dt dx−∫等于 （A ）()2xf x(B)()2xf x − （C ）()22xf x （D ）()22xf x −【 】【答】 应选（A ）.【详解】 作变量代换22u x t =−，则()()()()()2202200221122122x x x d d d tf x t dt f u du f u du dx dx dx f x x xf x ⎡⎤−=−=⎢⎥⎣⎦=⋅=∫∫∫（2）函数()()232f x x x x x =−−−不可导点的个数是（A ）3. （B ）2. （C ）1. （D ）0.【 】【答】 应选（B ）. 【详解】 因为()()()()()()2322111,f x x x x x x x x x x =−−−=−+−+可见()f x 在0,1x =处不可导，而在1x =−处是可导的， 故 ()f x 的不可导点的个数为2.（3）已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy x α=++++且当0x →+时，α是x +的高阶无穷小，()0y π=，则()1y 等于（A ）2π. （B ）π. （C ）4e π. （D ）4e ππ【 】【答】 应选（D ）. 【详解】 由2,1y xy xα=++++，有 2.1y y x x xα=+++++ 令0x →+，得 '21yy x=+， 解此微分方程并利用初始条件由()0,y π=得arctan xy e π=故 ()arctan 41.xy ee πππ==（4）设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的，则直线333121212x a y b z c a a b b c c −−−==−−−与直线 111232323x a y b z c a a b b c c −−−==−−− （A ）相交于一点. （B ）重合. （C ）平行但不重合. （C ）异面.【 】【答】 应选（A ）.【详解】 设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的，所以通过行初等变换后得矩阵 121212232323333a a b b c c a a b b c c a b c −−−⎡⎤⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦仍是满秩的，于是两直线的方向向量 {}{}11212122232323,,,,S a a b b c c S a a a a c c =−−−=−−−线性无关，可见此两直线既不平行，又不重合.又()111,,a b c 、()333,,a b c 分别为两直线上的点，其连线向量为:{}1313131,,S a a b b c c =−−−,满足312S S S =+.可见三向量123,,S S S 共面，因此12,S S 必相交，即两直线肯定相交.（5）设A B 、是两个随机事件，且()()()()01,0,||P A P B P B A P B A <<>=,则必有 （A ）()()||P A B P A B = (B)()()||P A B P A B ≠ (C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P AB P A P B ≠.【 】【答】 应选（C ）.【详解】 由条件概率公式及条件()()||P B A P B A =，知()()P ABP AB P A P A =于是有()()()()()()()1P AB P A P A P AB P A P B P AB −==−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 可见 ()()()P AB P A P B = 故选（C ）.三、求直线11:111x y z l −−==−在平面:210x y z π−+−=上投影直线0l 的方程，并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程. 【详解1】过直线l 作一垂直于π的平面1π，其法向量既垂直于l 的方向向量{}1,1,1s =−，又垂直于π的法向量{}1,1,2n =−，可用向量积求得111132.112ij kn s n i j k =×−=−−− 又()1,0,1为直线l 上的点，所以该点也在平面1π上，由点法式得1π的方程为()()13210,x y z −−−−=即3210x y z −−+=.从而0l 的方程为 0210:3210x y z l x y z −+−=⎧⎨−−+=⎩将0l 写成参数y 的方程： ()2112x y z y =⎧⎪⎨=−−⎪⎩ 于是直线绕y 轴旋转所得旋转曲面方程为：()()22221212x z y y ⎡⎤+=+−−⎢⎥⎣⎦即 2224174210.x y z y −++−= 【详解2】用平面束方法，直线11:111x y z l −−==−的方程可写为 1010x y y z −−=⎧⎨+−=⎩ 于是过l 的平面方程可写成()110,x y y z λ−−++−=即 ()110.x y z λλλ+−+−−= 在其中求出平面1π，使它与π垂直，得()1120,λλ−−=−=解得2,λ=−于是1π的方程为()()13210,x y z −−−−= 即3210x y z −−+=以下同解法一.四、确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量()()()42242,2A x y xy x yi x x y j λλ=+−+为某二元函数(),u x y 的梯度，并求(),u x y . 【详解】 令()()()()42242,2,,,P x y xy x yQ x y xxyλλ=+=−+由题设，有Q Px y∂∂=∂∂ 即 ()()42410.x x yλλ++=可见，当且仅当1λ=−时，所给向量场时梯度场，在0x >在半平面内任取一点，比如点()1,0作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有()244210220,0 arctan .xy x x u x y dx Cx x y yC x⋅=−+++=−+∫∫其中C 为任意常数.五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y （从海平面算起）与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水比重为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为()0k k >.试建立y 与v 所满足的微分方程，并求出函数关系式().y y v =【详解】 取沉放点为原点,O Oy 轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得22,d ym mg B kv dtρ=−− 这是可降阶的二阶微分方程，其中dy v dt=. 令,dy v dt=则 22,d y dv dy dv v dt dy dt dy =⋅=于是原方程可化为,dvmvmg B kv dyρ=−− 分离变量得,mvdy dv mg B kvρ=−−积分得()()2ln m mg B my v mg B kv C k k ρρ−=−−−−+ 再根据初始条件00,|y v==得 ()()2ln ,m mg B C mg B kv kρρ−=−− 故所求函数关系为 ()2ln .m mg B m mg B kv y v k k mg B ρρρ−−−=−−− 六、计算()()212222,axdydz z a dxdyxy z∑++++∫∫其中∑为下半球面z =a 为大于零的常数. 【详解1】添加一平面区域后用高斯公式进行计算()()()22122221.axdydz z a dxdyI axdydz z a dxdy a xy z∑∑++==++++∫∫∫∫ 补一块有向平面2221:0x y a z ⎧+≤∑⎨=⎩，其侧与z 轴负向一致，于是有()()()()1122244204003111 321 221 22 .2Da I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a a a z dV a dxdy a a zdV a a a d rdr zdzaa ππππθπ∑+∑∑ΩΩ=++−++⎛⎞=−++⎜⎟⎝⎠⎛⎞=−−+⎜⎟⎝⎠=−−=−∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫w【详解2】 直接分块计算：()()()()221222221211 .axdydz z a dxdyI axdydz z a dxdy a xy zxdydz z a dxdy I I a ∑∑∑∑++==++++=++=+∫∫∫∫∫∫∫∫其中12,DyzI xdydz ∑==−∫∫∫∫yz D 为yOz 平面上的半圆：222,0.y z a z +≤≤利用极坐标，得(3122.1 ,xyD I a I a dxdy a ∑===−∫∫xy D 为xOy 平面上的圆域：22x y a +≤。
1998年考研数学一真题
1998年考研数学一真题1998年考研数学一真题1998年的考研数学一真题是一道经典的数学难题，它考察了考生对数学知识的理解和应用能力。
这道题目是一个多元函数的极值问题，需要考生运用微分学的知识进行求解。
在解答这道题目的过程中，考生需要运用到一系列的数学工具和技巧，同时也需要具备一定的逻辑思维和推理能力。
题目的具体内容是：已知函数f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4，求函数f(x, y)在闭区间D={(x, y)|0≤x≤2, 0≤y≤2}上的最小值和最大值。
首先，我们需要计算函数f(x, y)的偏导数。
对于这个函数，我们可以分别对x和y求偏导数，得到fx(x, y) = 2x - 2和fy(x, y) = 2y - 4。
接下来，我们需要找出函数f(x, y)的驻点。
驻点是指函数在该点处的偏导数为0的点。
对于这个题目，我们需要解方程组fx(x, y) = 0和fy(x, y) = 0，即2x - 2 = 0和2y - 4 = 0。
解这个方程组可以得到驻点为(1, 2)。
然后，我们需要计算函数f(x, y)在边界上的取值。
边界上的取值可以通过将边界上的点代入函数f(x, y)进行计算得到。
对于这个题目，边界上的点包括D的四个顶点(0, 0)，(0, 2)，(2, 0)和(2, 2)。
将这四个点代入函数f(x, y)可以得到相应的函数值。
最后，我们需要比较驻点和边界上的函数值，找出函数f(x, y)的最小值和最大值。
通过比较驻点和边界上的函数值，我们可以得到函数f(x, y)在闭区间D上的最小值为f(1, 2) = 1和最大值为f(0, 0) = 4。
通过解答这道题目，我们可以看到数学在解决实际问题中的重要性。
数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和工具。
通过运用数学的知识和方法，我们可以更好地理解和解决问题。
总结起来，1998年考研数学一真题是一道经典的数学难题，它考察了考生对数学知识的理解和应用能力。
1998考研数一真题
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)0x →(2)设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2zx y ∂∂∂=_____________.(3)设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则22(234)Lxy x y ds ++⎰ =_____________. (4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值_____________.(5)设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 连续,则220()x d tf x t dt dx-⎰= (A)2()xf x (B)2()xf x - (C)22()xf x(D)22()xf x -(2)函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0(3)已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy x α∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于(A)2π (B)π(C)4e π(D)4e ππ(4)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==--- (A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合(D)异面(5)设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有 (A)(|)(|)P A B P A B = (B)(|)(|)P A B P A B ≠ (C)()()()P AB P A P B =(D)()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()x y xy x y x x y λλ=+-+A i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,).u x y五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y 从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水密度为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).k k >试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式().y y v =六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰其中∑为下半平面z =,a 为大于零的常数. 七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112x n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦ 八、（本题满分5分） 设正向数列{}n a 单调减少,且1(1)nn n a ∞=-∑发散,试问级数11()1nn n a ∞=+∑是否收敛?并说明理由. 九、（本题满分6分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x ∈使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的. 十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组kx =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0证明:向量组1,,,k -αA αAα 是线性无关的.十二、（本题满分5分） 已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T TTn n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.十三、（本题满分6分）设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差. 十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大? 附:标准正态分布表22()t zx dt -Φ=⎰十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附:t 分布表{()()}p P t n t n p ≤=1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2011lim()tan x xx x→-=_____________. (2)20sin()xd x t dt dx -⎰=_____________. (3)24e x y y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________. (5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数 (B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 (D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设20()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续 (C)连续,但不可导 (D)可导 (3)设01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑ 其中102()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n = ,则5()2S -等于(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB (B)当m n >时,必有行列式||0=AB (C)当n m >时,必有行列式||0≠AB (D)当n m >时,必有行列式||0=AB (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则 (A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤= (D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x L I y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥- 七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N ⨯1m=1Jm,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分) 设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,),P x y z S π∈为S 在点P 处的切平面,(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求.(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰九、(本题满分7分) 设40tan :n n a xdx π=⎰ (1)求211()n n n a a n∞+=+∑的值.(2)试证:对任意的常数0,λ>级数1n n a nλ∞=∑收敛. 十、(本题满分8分)设矩阵153,10a c b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T =--α求,,a b c 和0λ的值. 十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,TB 为B 的转置矩阵,试证TBAB为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B 十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本 (1)求θ的矩估计量ˆθ. (2)求ˆθ的方差ˆ().D θ。
98年考研数学一真题
98年考研数学一真题1998年考研数学一真题是考研数学备考中的一道经典题目，它涉及到数学分析和线性代数等多个领域的知识。
本文将从不同的角度对这道题目进行分析和解答，帮助考生更好地理解和掌握相关知识。
首先，我们来看一下题目的具体内容：已知函数f(x)在区间[a,b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a,b)，使得f'(\xi)\cdot f(\xi)=0。
这道题目主要考察的是罗尔定理的应用。
罗尔定理是微分中值定理的一个特殊情况，它指出：若函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且在a和b处取得相同的函数值，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使得函数的导数等于零。
根据题目条件，我们知道函数f(x)在区间[a,b]上连续可导，并且在a和b处取值为0。
根据罗尔定理，我们可以得出结论：存在ξ∈(a,b)，使得f'(\xi)=0。
接下来，我们来分析题目中的另一部分要求：f'(\xi)\cdot f(\xi)=0。
根据乘积为零的性质，我们知道只有当f'(\xi)=0或者f(\xi)=0时，乘积才会等于零。
由于我们已经证明了存在ξ∈(a,b)，使得f'(\xi)=0，所以f'(\xi)\cdot f(\xi)=0成立。
另外，当f(\xi)=0时，f'(\xi)\cdot f(\xi)=0也成立。
因此，我们可以得出结论：存在ξ∈(a,b)，使得f'(\xi)\cdot f(\xi)=0。
通过以上的分析和证明，我们完成了对这道题目的解答。
在解答过程中，我们运用了罗尔定理和乘积为零的性质，通过逻辑推理和数学证明，得出了题目所要求的结论。
这道题目虽然看起来简单，但实际上涉及到了微分学中的一些重要概念和定理。
通过对这道题目的分析和解答，我们不仅加深了对罗尔定理的理解，还巩固了对微分学知识的掌握。
在备考过程中，我们应该注重理论的学习和实践的训练。
1988数学一真题答案及详细解析(试卷一)
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一．(本题满分15分，每小题5分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域.解：因11(3)1(1)3lim lim 33,(3)3(1)33n n n n n nx n n x x x n n ++→∞→∞-+⋅=-=--+⋅故131063x x -<<<即时，幂级数收敛.……3分当0x =时，原级数成为交错级数11(1)nn n∞=-∑，是收敛的. ……4分 当6x =时，原级数成为调和级数11n n ∞=∑，是发散的.……5分所以，所求的收敛域为[)0,6.(2) 已知f(x)= e2x ,f []()x ϕ=1-x,且 ϕ(x)≥0.求 ϕ(x)并写出它的定义域.解：由2[()]1x e x ϕ=-，得()x ϕ=.……3分 由ln(1)0x -≥，得11x -≥即0x ≤. ……5分所以()x ϕ=，其定义域为(,0).-∞(3)设S 为曲面1222=++z y x 的外侧，计算曲面积分⎰⎰++=sdxdy z dxdx y dydz x I 333.解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有2223()I x y z dv Ω=++⎰⎰⎰（其中Ω是由S 所围成的区域）……2分 212203d sin d r r dr ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰……4分 125π=.……5分二、填空题：(本题满分12分，每小题3分) (1)若f(t)=∞→x lim t tx x2)11(+，则()f t '=2(21)tt e +(2)设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(]1,1-上的定f(x)= {1,210,3≤<-≤<x x x ,则f(x)的付立叶级数在x=1处收敛于23.(3)设f(x)是连续函数，且⎰-=13,)(x x dt t f 则f(7)=112.(4)设4*4矩阵A=),(4,3,2γγγα，B=),(4,3,2γγγβ，其中，4,32,,,γγγβα均为4维列向量， 且已知行列式 ,1,4==B A 则行列式B A +=.40.三、选择题 ( 本题满分15分，每小题3分)(1)若函数y=f(x)有21)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函x=0x 处的微分dy 是 (B)(A)与x ∆等价的无穷小(B)与x ∆同阶的无穷小(C)比x ∆低阶的无穷小(D)比x ∆高阶的无穷小(2)设()y f x =是方程042=+'-''y y y 的一个解，若()0f x >，且0)(0='x f ，则函数()f x 在点0x (A)(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某个邻域内单调增加(D)某个邻域内单调减少(3)设有空间区域22221:R z y x ≤++Ω,;0≥z 及22222:R z y x ≤++Ω,,0,0,0≥≥≥z y x 则 (C)(A)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xdv xdv(B)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124ydvydv (C)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124zdv zdv(D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xyzdvxyzdv (4)若nn nx a )1(1-∑∞=在x=-1处收敛，则此级数在x=2处(B)(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是(D)(A)有一组不全为0的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k ααα+++≠ .(B)12,,,s ααα 中任意两个向量都线性无关.(C)12,,,s ααα 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.(D)12,,,s ααα 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.四．(本题满分6分)设)()(xyxg y x yf u +=，其中f,g 具有二阶连续导数，求222u u x y x x y ∂∂+∂∂∂.解：.u x y y y f g g x y x x x ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2分22231.u x y y f g x y y x x ⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭ ……3分 222.u xx y y f g x y y y xx ⎛⎫∂⎛⎫''''=-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ……5分 所以2220u ux y x x y∂∂⋅+⋅=∂∂∂.……6分五、(本题满分8分)设函数y=y(x)满足微分方程,223x e y y y =+'-''且图形在点(0，1)处的切线与曲线12+-=x x y 在该点的切线重合，求函数).(x y y =解：对应齐次方程的通解为212x x Y C e C e =+.……2分 设原方程的特解为*,x y Axe = ……3分 得2A =-.……4分 故原方程通解为2212()2x x x y x C e C e xe =+-.……5分 又已知有公共切线得00|1,|1x x y y =='==-，……7分 即12121,21c c c c +=⎧⎨+=⎩解得121,0c c ==. ……8分所以2(12).x y x e =-六、(本题满分9分)设位于点(0，1)的质点A 对质点M 的引力大小为2r k(k>0为常数，r 为质点A 与M 之间的距离—)，质点M 沿曲线22x x y -=自B(2,0)运动到O(0，0).求在此运动过程中质点A 对质M 点的引力所做的功.解：{0,1}MA x y =-- (2)分r =因引力f的方向与MA 一致，故3{,1}k f x y r =--.……4分从而 3[(1)]BO kW xdx y dy r=-+-⎰ ……6分(1k =⋅.……9分七、(本题满分6分)已知PB AP =,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112012001,100000001P B 求A 及5A .解：先求出1100210411P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. ……2分因PB AP =，故1100100100210000210211001411A PBP -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪==-- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100200210200201411611⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……4分从而555111511A AAAAA PBP PBP PBP PB P PBP A -----===个个（）()()==. ……6分八、(本题满分8分)已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10000002y B 相似，(1) 求x 与y ； (2) 求一个满足B AP P =-1的可逆矩阵P .解：(1) 因A 与B 相似，故||||λλ-=-E A E B ，即……1分20020001000101yx λλλλλλ---=---+，亦即22(2)(1)(2)((1))x y y λλλλλλ---=-+--.比较两边的系数得0,1x y ==.此时200001010A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，200010001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ……3分 (2)从B 可以看出A 的特征值2,1,1λ=-.……4分对2λ=，可求得A 的特征向量为1100p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 对1λ=，可求得A 的特征向量为2011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 对1λ=-，可求得A 的特征向量为3011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ……7分因上述123,,p p p 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关. 令123100(,,)011011p p p ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P ，则P 可逆，且有B AP P =-1.……8分九、(本题满分9分)设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，且在),(b a 内有0)(>'x f .证明：在),(b a 内存在唯一的ξ，使曲线)(x f y =与两直线a x y ==),(ξ所围平面图形面积1s 是曲线)(x f y =与两直线a x y ==),(ξ所围平面图形面积2s 的3倍.证：存在性 在[,]a b 上任取一点t ，令⎰⎰---=bttadxt f x f dx x f t f t F )]()([3)]()([)(()()()3()()()t ba t f t t a f t dx f x dx f tb t ⎡⎤⎡⎤=-----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰…3分 则()F t 在[,]a b 上连续.又因0)(>'x f ,故()f x 在[,]a b 上是单调增加的. 于是在(,)a b 内取定点c ，有()3[()()]3[()()]3[()()]bcbaacF a f x f a dx f x f a dx f x f a dx=--=----⎰⎰⎰[]113[()()]3()()()0,bcf x f a dx f f a b c c b ξξ≤--=---<≤≤⎰..()[()()][()()][()()]b c baacF b f b f x dx f b f x dx f b f x dx=-=-+-⎰⎰⎰[()()]caf b f x dx ≥-⎰[]22()()()0,f b f c a a c ξξ=-->≤≤.……5分 所以由介值定理知，在(,)a b 内存在ξ,使0)(=ξF ，即.321S S =……6分 唯一性 因()()[()3()]0F t f t t a b t ''=-+->，……8分 故)(t F 在(,)a b 内是单调增加的.因此，在(,)a b 内只有一个ξ, 使.321S S =……9分十、填空题(共6分，每个2分)(1)设三次独立实验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为13.(2)在区间)1,0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为1725.(3)设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知)(x Φ=du e u x 2221-∞-⎰π，9938.0)5.2(=Φ，则X 落在区间(9.95，10.05)内的概率为0.9876.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率密度函数为)1(1)(2x x f x +=π，求随机变量31X Y -=的概率密度函数)(y f Y .解：因Y 的分布函数()()Y F y P Y y =<……1分3{1}1}{(1)}P y P y P X y ==>-=>-……2分 333(1)(1)211arctan ar (ctan(11))2y y dx x y x ππππ+∞+∞--⎡⎤===--⎢⎥+⎣⎦⎛⎜⎠. ……4分 故Y 的概率密度函数为)(y f Y 363(1)()1(1)Y dy F y dyy π-==+-. ……6分。
1998考研数学一真题及答案详解
1998考研数学一真题及答案详解1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)limx?01?x?1?x?2?.x21?2z(2)设z?f(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数,则?.x?x?yx2y222(2xy?3x?4y)ds?.??1,其周长记作a,则?(3)设l为椭圆?l43(4)设a为n阶矩阵,a?0,a为a的充斥矩阵,e为n阶单位矩阵.若a存有特征值?,则(a*)2?e必有特征值.(5)设平面区域d由曲线y?*12及直线y?0,x?1,x?e所围起,二维随机变量(x,y)在x区域d上顺从均匀分布,则(x,y)关于x的边缘概率密度在x?2处的值_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)(1)设f(x)连续,则2dx22tf(x?t)dt?()?0dx222(a)xf(x)(b)?xf(x)(c)2xf(x)(d)?2xf(x)23(2)函数f(x)?(x?x?2)x?x不可导点的个数是()(a)3(b)2(c)1(d)0(3)未知函数y?y(x)在任一点x处的增量?y?y?x??,且当?x?0时,?就是?x的高21?x阶无穷小,y(0)??,则y(1)等同于()(a)2?(b)?(c)e(d)?e44a1(4)设矩阵a2a3b1b2b3c1?x?a3y?b3z?c3c2?是满秩的,则直线与直线a1?a2b1?b2c1?c2c3??x?a1y?b1z?c1??()a2?a3b2?b3c2?c3(a)平行于一点(b)重合1(c)平行但不重合(d)异面(5)设a、b是两个随机事件,且0?p(a)?1,p(b)?0,p(b|a)?p(b|a),则必有()(a)p(a|b)?p(a|b)(b)p(a|b)?p(a|b)(c)p(ab)?p(a)p(b)(d)p(ab)?p(a)p(b)三、(本题满分5分)谋直线l:x?1yz?1??在平面?:x?y?2z?1?0上的投影直线l0的方程,ZR1911?1l0拖y轴转动一周阿芒塔曲面的方程.四、(本题满分6分)确认常数?,并使在右半平面x?0上的向量a(x,y)?2xy(x4?y2)?i?x2(x4?y2)?j为某二元函数u(x,y)的梯度,ZR19u(x,y).五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按观测建议,须要确认仪器的下陷深度y(从海平面算是起至)与下陷速度v之间的函数关系.设仪器在重力促进作用下,从海平面由恒定已经开始圆外下陷,在下陷过程中还受阻力和浮力的促进作用.设仪器的质量为m,体积为b,海水比重为?,仪器难以承受的阻力与下陷速度成正比,比例系数为k(k?0).试创建y与v所满足用户的微分方程,并算出函数关系式y=y?v?.六、(本题满分7分)排序axdydz?(z?a)2dxdy(x2?y2?z2)12,其中?为下半球面z??a2?x2?y2的上侧,a为大于零的常数.七、(本题满分6分)2sinsinsinnn谋lim.n??11n?1?n?n??2n??八、(本题满分5分)2设正项数列?an?单调减少,且明理由.九、(本题满分6分后)设y?f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存有x0?(0,1),使在区间?0,x0?上用f(x0)为低的矩形面积,等同于在区间?x0,1?上用y?f(x)为曲边的梯形面积.(2)又设立f(x)在区间(0,1)内可微,且f?(x)??十、(本题满分6分)未知二次曲面方程x2?ay2?z2?2bxy?2xz?2yz?4,可以经过正交变换(1)an发散,试问级数?(nn?1??n?11n)是否收敛？并说an?12f(x),证明(1)中的x0是唯一的.x?xy??pz?化为椭圆柱面方程?2?4?2?4,求a,b的值和正交矩阵p.十一、(本题满分4分后)设a是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组ax?0有解向量?,且a??0,证明：向量组?,a?,?,a十二、(本题满分5分后)已知线性方程组k?1kk?1?就是线性毫无关系的.a11x1a12x2a1,2nx2n0,a21x1a22x2a2,2nx2n0,(i) an1x1?an2x2?????an,2nx2n?0?的一个基础解系为(b11,b12,,b1,2n),(b21,b22,,b2,2n),,(bn1,bn2,,bn,2n),试写出线性方程组ttt3b11y1b12y2b1,2ny2n0,b21y1b22y2b2,2ny2n0,(ii) bn1y1?bn2y2?????bn,2ny2n?0?的通解,并说明理由.十三、(本题满分6分后)设两个随机变量x,y相互独立,且都服从均值为0、方差为1的正态分布,谋随机变量2x?y的方差.十四、(本题满分4分)从正态总体n(3.4,62)中提取容量为n的样本,如果建议其样本均值坐落于区间(1.4,5.4)内的概率不大于0.95,问样本容量n至少马热里角多小？附表：标准正态分布表中?(z)??z??1edt2??t22z(z)1.280.9001.6450.9501.960.9752.330.990十五、(本题满分4分后)设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.附表：t分布表p{t(n)?tp(n)}?pp0.950.975tp(n)n35361.68961.68832.03012.028141998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分后,满分15分后.)(1)【答案】?14【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替代,原式?limx?01?x?1?x?2x21?x?1?x?21?x?1?x?2??limx?01?x?1?xx22?41?x?1?x?2limx?02?1?x2?14x2?1?x211?1?x2?1??x2?lim22??.x?02x24方法2：使用洛必达法则.原式?洛?limx?011?1?x?1?x?2?lim21?x21?xx?02xx211?1?x?1?x1?x?1?x?洛?lim21?x21?x?lim?limx?0x?0x?044x4x1?x211limx?021?x121?x??.44方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式进行至x项,211111?x?1?x?x2?o1?x2?,1?x?1?x?x2?o2?x2?,282811111?x?x2?o1?x2??1?x?x2?o2?x2??22828从而原式?lim2x?0x1?x2?o1?x2??o2?x2?1??.?lim42x?04x(2)【答案】yf??(xy)(x?y)?y(x?y)5。
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11— 15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) sin600º的值是 ( )(A)21 (B) －21 (C)23 (D) －23 (2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是 ( )(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为 ( )(A) x 2＋(y ＋2)2=4 (B) x 2＋(y －2)2=4 (C) (x －2)2＋y 2=4(D) (x ＋2)2＋y 2=4(4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是 ( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D)12121=A A B B (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( )(A) x (x ≠0)(B)x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0)(D) －x1(x ≠0)（A ） （B ） （C ） （D ）(6) 已知点P (sin α－cos α，tg α)在第一象限，则在)20[π，内α的取值是 ( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2345ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( ) (A) 120º(B) 150º(C) 180º(D) 240º(8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是 ( )(A)2123±i (B) －2123±i (C) ±2123+i (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积分别是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么(A) 2S S S '+=0(B) S 0=S S ' (C) 2 S 0=S ＋S ′(D) S S S '=22(10) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是( )(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有( )(A) 90种(B) 180种(C) 270种(D) 540种h VH 0(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|P F 1|是|P F 2|的( )(A) 7倍(B) 5倍(C) 4倍(D) 3倍(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43(B)23(C) 2(D)3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 ( )(A) arccos215- (B) arcsin215-(C) arccos251- (D) arcsin251- (15) 在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足∞→n lim S n =11a ，那么a 1的取值范围是 ( ) (A)(1，＋∞) (B)(1，4) (C) (1，2)(D)(1，2)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________17．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）18．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1 C ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)19．关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题:①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)； ③y =f (x )的图像关于点(－6π，0)对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是_______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．)三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(20)(本小题满分10分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π．求sin B 的值． 以下公式供解题时参考： sin θ＋sin ϕ =2sin2ϕθ+cos2ϕθ-，sin θ－sin ϕ=2cos 2ϕθ+sin 2ϕθ-，cos θ＋cos ϕ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-，cos θ－cos ϕ=－2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.(21)(本小题满分11分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A ， B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．(22)(本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)． (23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C ．Ⅰ．求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；Ⅱ．求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； Ⅲ．求顶点C 到侧面A 1 ABB 1的距离． (24)(本小题满分12分)设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1． Ⅰ．写出曲线C 1的方程； Ⅱ．证明曲线C 与C 1关于点A (3t ，2s)对称； Ⅲ．如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =43t －t 且t ≠0．(25)(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=145． Ⅰ．求数列{b n }的通项b n ； Ⅱ．设数列{a n }的通项a n =log a (1＋nb 1)(其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和．试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）16．31617．179 18．AC BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 19．②，③三、解答题20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．解：由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2CA -=2sinB . 由A +B +C =π 得 sin 2C A +=cos 2B，又A －C =3π 得 23cos 2B=sin B ，所以23cos 2B =2sin 2B cos 2B. 因为0<2B <2π，cos 2B≠0， 所以sin2B =43， 从而cos2B =4132sin 12=-B 所以sinB=83941323=⨯. 21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点． 设曲线段C 的方程为y 2=2px （p >0），（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，p =|MN |. 所以 M （2p -，0），N （2p ，0）.由|AM |= 17 ，|AN |=3 得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A －2p）2+2px A =9. ②由①，②两式联立解得x A =p4.再将其代入①式并由p >0解得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4A A x p x p 或 因为ΔAMN 是锐角三角形，所以2p> x A ，故舍去⎩⎨⎧==22Ax p所以p =4，x A =1.由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点． 作AE ⊥ l 1，AD ⊥ l 2，BF ⊥ l 2，垂足分别为E 、D 、F . 设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0）. 依题意有x A =|ME |=|DA |=|AN |=3， y A =|DM |=2222=-DAAM，由于ΔAMN 为锐角三角形，故有 x N =|ME |+|EN | =|ME |+22AE AN -=4x B =|BF |=|BN |=6.设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y >0｝.故曲线段C 的方程为y 2=8（x －2）（3≤x ≤6，y >0）.22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.根据题设，有4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），得 b =a a+-230（0<a <30）. ① 于是 y =abk=aa a k+-230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =， 当a +2=264+a 时取等号，y 达到最小值. 这时a =6，a =－10（舍去）. 将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大. 由题设知 4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），即 a +2b +ab =30（a >0，b >0）. 因为 a +2b ≥2ab 2， 所以 ab 22+ab ≤30， 当且仅当a =2b 时，上式取等号. 由a >0，b >0，解得0<ab ≤18.即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3，a =6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．Ⅰ．解：作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ， 所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ， 所以∠A 1AD =45º为所求.Ⅱ．解：作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC . 又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23， 所以DE =1，AD =A 1D =3， tg ∠A 1ED =DEDA 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.Ⅲ．解法一：由点C 作平面A 1ABB 1的垂线，垂足为H ，则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1的距离. 连结HB ，由于AB ⊥BC ，得AB ⊥HB . 又A 1E ⊥AB ，知HB ∥A 1E ，且BC ∥ED ， 所以∠HBC =∠A 1ED =60º所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二：连结A 1B .根据定义，点C 到面A 1ABB 1的距离，即为三棱锥C －A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=， 即 322312231⨯⨯=⨯h 所以3=h 为所求.24．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ．解：曲线C 1的方程为y =（x －t ）3－（x －t ）+s .Ⅱ．证明：在曲线C 上任取一点B 1（x 1，y 1）.设B 2（x 2，y 2）是B 1关于点A 的对称点，则有2221t x x =+， 2221sy y =+. 所以 x 1=t －x 2， y 1=s －y 2.代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：s －y 2=（t －x 2）3－（t －x 2），即 y 2=（x 2－t ）3－（x 2－t ）+ s ， 可知点B 2（x 2，y 2）在曲线C 1上.反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此，曲线C 与C 1关于点A 对称.Ⅲ．证明：因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，所以，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=st x t x y xx y )()(33有且仅有一组解.消去y ，整理得3tx 2－3t 2x +（t 3－t －s ）=0， 这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t ≠0并且其根的判别式Δ=9t 4－12t （t 3－t －s ）=0.即 ⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以 t t s -=43且 t ≠0. 25．本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解：Ⅰ．设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以 b n =3n －2.Ⅱ．由b n =3n －2，知S n =log a （1+1）+ log a （1+41）+…+ log a （1+231-n ） = log a [（1+1）（1+41）……（1+231-n ）]， 31log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较（1+1）（1+41）……（1+231-n ）与313+n 的大小.取n =1有（1+1）>3113+⋅，取n =2有（1+1）（1+41）>3123+⋅， ……由此推测（1+1）（1+41）……（1+231-n ）>313+n . ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1. 下面用数学归纳法证明①式.（ⅰ）当n =1时已验证①式成立.（ⅱ）假设当n =k （k ≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+41）……（1+231-k ）>313+k . 那么，当n =k +1时，（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+()2131-+k ）>313+k （1+131+k ） =13133++k k （3k +2）. 因为()[]333343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()22313134323+++-+=k k k k ()013492>++=k k ， 所以13133++k k （3k +2）>().1134333++=+k k 因而（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+131+k ）>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立.由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n 都成立.由此证得：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1.。
1998考研数学一真题及答案解析
四、(本题满分6分)
确定常数 ,使在右半平面 x 0 上的向量 A(x, y) 2xy(x4 y2 ) i x2 (x4 y2 ) j 为某二元函数 u(x, y) 的梯度,并求 u(x, y) .
五、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y (从海平面算起) 与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉 过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 m ,体积为 B ,海水比重为 ,仪器所受的
(B) P( A | B) P( A | B)
(C) P( AB) P( A)P(B)
(D) P( AB) P( A)P(B)
三、(本题满分5分)
求直线
L:
x 1 1
y 1
z 1 1
在平面
:
x
y
2z
1
0
上的投影直线
L0
的方程,并求
L0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程.
设两个随机变量
X
,Y
相互独立,且都服从均值为0、方差为
1 2
的正态分布,求随机变量
X Y 的方差.
十四、(本题满分4分)
从正态总体 N (3.4, 62 ) 中抽取容量为 n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)
内的概率不小于0.95,问样本容量 n 至少应取多大？
附表：标准正态分布表 (z) z
1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1) lim x0
1988考研数一真题
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域. (2)设2()e ,[()]1x f x f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域. (3)设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若21()lim (1),txx f t t x→∞=+则()f t '= _____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x =22x1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是 (A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x ∆同阶的无穷小 (C)比x ∆低阶的无穷小(D)比x ∆高阶的无穷小(2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处 (A)取得极大值(B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则 (A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处 (A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα(B)12,,,s ααα中任意两个向量均线性无关(C)12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)12,,,s ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),x yu yf xg y x=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u u x yx x y ∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,xy y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x =六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2(0kk r >为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M 沿直线y =自(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似. (1)求x 与.y(2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P 九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27则事件A 在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________. (3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u xx du φφ-==⎰则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =的概率密度函数().Y f y。
考研数学历年真题(1998-2007)年数学一参考答案
分离变量,得
dy y
dx 1 x2
,
两边积分,得 ln y arctan x C ,即 y C1earctan x.
代入初始条件 y(0) , 得 y
0
C earctan 0 1
C1
.
所以,
y
earctan x
.
故
y(1) earctan x earctan1 e 4 .
(3) 若 l 0, 称在该极限过程中 (x) 是 (x) 的高阶无穷小,记为 (x) o (x) .
若
lim
( (
x) x)
不存在(不为
),称
(
x),
(
x)
不可比较.
(4)【答案】(A)
【解析】设
L1
:
x a1
a3 a2
y b3 b1 b2
z c3 c1 c2
, L2
:
x a1 a2 a3
当 x 1或 x e2 时, fX (x) 0 ；
(2, 1) 2
O
12
e2 x
当1 x e2 时, fX (x)
f (x, y)dy
1 x
1dy
1
.
0 2 2x
故
fX
(2)
1. 4
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1)【答案】(A)
【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换 u x2 t 2 ,
(x2 x 2)x(1 x2 ),
f
(x)
( x 2
(
x
2
x x
2)x(x2 1), 2)x(1 x2 ),
(x2 x 2)x(x2 1),
89--98年考研数学一
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x =_____________时,函数2xy x =⋅取得极小值.(2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.1x =(3)与两直线 1y t =-+及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________.2z t =+(4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx xx dy -+-⎰ =_____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0=β在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a 与,b 使等式22001lim1sin x x t dt bx x a t→=-+⎰成立.三、(本题满分7分)(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x∂∂∂∂ (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在x a =处 (A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值 (C)()f x 取得极小值(D)()f x 的导数不存在(2)设()f x 为已知连续函数0,(),s t I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x (C)依赖于t 、x ,不依赖于s(D)依赖于s ,不依赖于t(3)设常数0,k >则级数21(1)nn k nn ∞=+-∑ (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛(D)散敛性与k 的取值有关(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于(A)a(B)1a(C)1n a -(D)n a六、（本题满分10分） 求幂级数1112n nn x n ∞-=∑ 的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分） 求曲面积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰其中∑是由曲线113()0 z y y f x x ⎧=-≤≤⎪=⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于.2π八、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x =九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.(3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为2211()e ,xx f x π-+-=则X 的数学期望为____________,X 的方差为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为()X f x = 10 01x ≤≤其它,()Y f y = e 0y - 00y y >≤,求2Z X Y =+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域. (2)设2()e ,[()]1x f x f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域. (3)设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若21()lim (1),tx x f t t x→∞=+则()f t '= _____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x = 22x1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是 (A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x ∆同阶的无穷小 (C)比x ∆低阶的无穷小(D)比x ∆高阶的无穷小(2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处(A)取得极大值(B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则(A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处 (A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα (B)12,,,s ααα 中任意两个向量均线性无关(C)12,,,s ααα 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)12,,,s ααα 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),x yu yf xg y x=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u u x yx x y ∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,xy y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x =六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2(0kk r>为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M 沿直线22y x x =-自(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似.(1)求x 与.y(2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27则事件A 在一次试验中出现的概率是____________. (2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________. (3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知221()e ,(2.5)0.9938,2u xx du φφπ--∞==⎰则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量31Y X =-的概率密度函数().Y f y1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--= _____________.(2)设()f x 是连续函数,且1()2(),f x x f t dt =+⎰则()f x =_____________.(3)设平面曲线L 为下半圆周21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +⎰=_____________.(4)向量场div u 在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当0x >时,曲线1siny x x= (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点的坐标是(A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)- (C)(1,1,2)(D)(1,1,2)--(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c y c y y ++(B)1122123()c y c y c c y +-+(C)1122123(1)c y c y c c y +---(D)1122123(1)c y c y c c y ++--(4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,nn S x bn x x π∞==-∞<<+∞∑其中102()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==⎰ 则1()2S -等于(A)12- (B)14-(C)14 (D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(2)设曲线积分2()cxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0,ϕ=计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面22z x y =+与221z x y =--所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数1()arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分) 设0()sin ()(),xf x x x t f t dt =--⎰其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分） 证明方程0ln 1cos 2e x x xdx π=--⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根. 七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性方程组13x x λ+=123422x x x λ++=+ 1236423x x x λ++=+有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明(1)1λ为1-A 的特征值. (2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B 的概率()P A B =____________. (2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 2x t =-+ (1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim()xx x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =1011x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分222e y xdx dy -⎰⎰的值等于_____________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα 则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e (e )()xx f f x ----(B)e (e )()xx f f x ---+(C)e(e )()x x f f x ---(D)e(e )()xx f f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x + (B)1[()]n n f x +(C)2[()]nf x(D)2![()]nn f x(3)设a 为常数,则级数21sin()1[]n na n n∞=-∑ (A)绝对收敛(B)条件收敛 (C)发散(D)收敛性与a 的取值有关(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x(A)不可导(B)可导,且(0)0f '≠ (C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα (B)1211212()2k k ++-+ββααα (C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂ (3)求微分方程244e xy y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分) 求幂级数0(21)nn n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分) 求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分） 设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F 对质点P所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设 21c o s x t y t=+=,则22d y dx =_____________.(2)由方程2222xyz x y z +++=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1ex x y --+=- (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于 (A)e ln 2x (B)2e ln 2x (C)e ln 2x +(D)2e ln 2x +(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3 (B)7(C)8(D)9(4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰(B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰(D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有 (A)=ACB E (B)=CBA E (C)=BAC E (D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求20lim(cos ).x x π+→(2)设n是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数2268x y u z+=在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),xy z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线220y z x ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分） 已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5)aa ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1. 九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆202(y ax x a <<-为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数()y y x =由方程e cos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu =_____________.(3)设()f x = 211x-+00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠= 则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限(A)等于2 (B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos )(nn a n ∞=--∑常数0)a > (A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求2e sin 1lim.11x x x x→----(2)设22(e sin ,),xz f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y∂∂∂ (3)设()f x = 21ex x -+ 00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分) 求微分方程323exy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面222z a x y =--的上侧.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+ 七、（本题满分8分）在变力F y z i z x j x =++ 的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中221()e )2t xx d t π--∞Φ=⎰.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数11()(2)(0)xF x dt x t=->⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线2232120x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场222ln,u x y z =++则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)402cos 2d πθθ⎰(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为 (A)6π(B)4π(C)3π(D)2π (4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x --(B)e e 2x x --(C)e e 12x x-+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1(B)6t =时P 的秩必为2 (C)6t ≠时P 的秩必为1(D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sincos ).x x x x→∞+ (2)求e .e 1x xx dx -⎰(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分) 计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰ 其中∑是由曲面22z x y =+与222z x y =--所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.b a a b > 七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关. 九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞(1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关? (3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)011limcot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23xz xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设e sin ,xx u y -=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4)设区域D 为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有 (A)N P M << (B)M P N << (C)N M P <<(D)P M N <<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21nn a∞=∑收敛,则级数21(1)n nn a n λ∞=-+∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关(4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c =(D)4a c =-(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441,,,----αααααααα线性无关(C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关(D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设2221c o s ()1c o s ()c o s 2t x t y t t udu u==-⎰,求dy dx 、22d ydx在2t π=的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数. (3)求.sin(2)2sin dxx x +⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222,S xdydz z dxdy x y z +++⎰⎰其中S 是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分) 设()f x 具有二阶连续函数,(0)0f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim0,x f x x→=证明级数11()n f n ∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分） 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为X 0 1P12 12则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X Y Z =+(1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差.(2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ (3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos xd x t dt dx ⎰= _____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R =_____________. (5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L 321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L (A)平行于π (B)在π上 (C)垂直于π(D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是 (A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> (C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件(4)设1(1)ln(1),nn u n=-+则级数 (A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛(B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B(D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.z ϕ∂≠∂求.du dx(2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求11()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面22z x y =+在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分） 假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()(g x f a f b g a g b''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A 九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X 的概率密度为()X f x = e 0x - 0x x ≥<,求随机变量e X Y =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xx x a x a→∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数22ln()u x y z =++在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于 (A)-1 (B)0 (C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则 (A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >= 且1nn a∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与λ有关(4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与k x 是同阶无穷小,则k 等于(A)1 (B)2 (C)3(D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a a b b b b -(B)12341234a a a a b b b b + (C)12123434()()a a b b a a b b --(D)23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,6(1,2,),n n x x x n +==+= 试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z xy x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x yv x a y =-=+可把方程2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分) 求级数211(1)2nn n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于1(),xf t dt x ⎰求()f x 的一般表达式. 七、（本题满分8分）设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.证明()2.2b fc a '≤+八、（本题满分6分）设,TA =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2=A A 的充分条件是 1.T=ξξ(2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2,(1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布21(0,())2N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ===又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)写出二维随机变量的分布率: (2)。
1998考研数学真题+答案
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 41211lim20-=--++→xx x x . (2) 设1()()z f xy y x y xϕ=++，其中ϕ,f 具有二阶连续导数，则)('')(')(''2y x y y x xy yf yx z ++++=∂∂∂ϕϕ.(3) 设L 为椭圆13422=+y x ，其周长记为a ，则a ds y x xy L 12)432(22=++⎰.(4) 设A 为n 阶矩阵，*0,A A ≠为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则E A +2*)(必有特征值2()1Aλ+.(5) 设平面区域D 由曲线y =1x及直线20,1,y x x e ===所围成，二维随机变量(X,Y)在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为14.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设)(x f 连续，则=-⎰dt t x f t dxd x )(220 (A) (A) 2()x f x (B) 2()x f x - (C) 22()x f x (D) 2()x f x -(2) 函数23()(2)f x x x x x =---的不可导点的个数是 (B)(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (3) 已知函数()y f x =在任意点x 处的增量α,0,12时且当→∆++∆=∆x a xxy y 是x ∆的高阶无穷小量，(0)y π=，则(1)y 等于 (D)(A) 2π (B)π (C) 4e π(D) 4e ππ(4) 设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333222111c b a c b a c b a 是满秩的，则直线 213a a a x -- = 213b b b y --= 213c c c z --与直线321a a a x -- = 321b b b y --= 321c c c z -- (A)(A) 相交于一点 (B) 重合 (D) 平行但不重合 (D) 异面(5) 设A 、B 是随机事件,且0<P (A )<1,P (B )>0,)()(A B P A B P =,则必有 (C)(A) ()()P A B P A B = (B) ()()P A B P A B ≠ (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()()P AB P A P B ≠ 三、(本题满分5分) 求直线 11111:--==-z y x l 在平面012:=-+-z y x π上的投影直线0l 的方程，并0l 求绕y 轴旋转一周所成的方程.解一：设经过l 且垂直于平面π的平面方程为1:(1)(1)0A x By C z π-++-=， 则由条件可知20,0A B C A B C -+=+-=，由此解得::1:3:2A B C =-. 于是1π的方程为3210x y z --+=.……2分 从而0l 的方程为0l 210:3210x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩，……3分即02:1(1)2x y l z y =⎧⎪⎨=--⎪⎩. 于是0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程为222214(1)4x z y y +=+-，即2224174210x y z y -++-=.……5分解二：由于直线l 的方程可写为1010x y y z --=⎧⎨+-=⎩，所以过l 的平面方程可设为1(1)0x y y z λ--++-=，即(1)(1)0x y z λλλ+-+-+=.由它与平面π垂直，得1(1)20λλ--+=，解得2λ=-. 于是经过l 且垂直与π的平面方程为3210x y z --+=. ……2分 从而0l 的方程为0l 210:3210x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩.……3分(下同解法一)四、(本题满分6分)确定常数λ，使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()A x y xy x y i x x y jλλ=+-+ 为某二元函数(,)u x y 的梯度，并求(,)u x y .解：令422422(),()P xy x y Q x x y λλ=+=-+. 则(,)A x y在右半平面0x >上为某二元函数(,)u x y 的梯度的充要条件是Q Px y∂∂≡∂∂. ……1分 此即444()(1)0x x y λλ++=，解之得1λ=-. ……3分于是，在右半平面内任取一点，例如（1，0）作为积分路径的起点，则得(,)242(1,0)2(,)x y xydx x dy u x y C x y -=++⎛⎜⎠ ……4分242421020yxx dx x dyC x y x y⋅=-+++⎛⎛⎜⎜⎠⎠2arctan y C x =-+. ……6分（注：不加C 不扣分.）五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y （从海平面算起）与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m ，体积为B ，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k>0).试建立y 与v 所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v),解：取沉放在原点O ，OY 轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得22d ym mg B kv dt ρ=--，……1分 将22d y dy v dt dt =代入以消去t ，得v y 与之间的微分方程dy mv mg B kv dtρ=--， ……2分 即mv dy dv mg B kv ρ=--,积分得2()ln()m m mg B y v mg B kv C k kρρ-=----+. ……4分 由初始条件0|0y v ==定出2()ln()m mg B C mg B kρρ-=-，故所求的函数关系式为2()lnm m mg B mg B kvy v k k mg B ρρρ---=---. ……6分 六、(本题满分7分) 计算⎰⎰∑++++212222)()(z y x dxdy a z axdydz ，其中∑为下半球面222y x a z ---=的上侧，a 为大于零的常数．解一：212222()()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎛⎛⎜⎜⎠⎠21()axdydz z a dxdy a ∑=++⎰⎰. ……1分补一块有向曲面2220:,x y a z S -+≤=⎧⎨⎩，其法向量与z 轴正向相反，从而得到221[()()]S S I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a --∑+=++-++⎰⎰⎰⎰ ……2分 21(32)D a z dv a dxdy a Ω⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ ……4分其中Ω为S -∑+围成的空间区域，D 为0z =上的平面区域222x y a +≤. 于是22204440011222a a r I a zdv a a d rdr a a ππππθ-Ω⎡⎤⎡⎤=--+=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰32a π=-. ……7分 解二：21()I axdydz z a dxdy a ∑=++⎰⎰. ……1分记222112()yzD I axdydz a y z dydz a ∑==--+⎰⎰，其中yz D 为YOZ 平面上的半圆222,0y z a z +≤≤. 利用极坐标计算，得222310223I d a r rdr a ππθπ=--=-⎰⎰，……4分22222211()[()]xyD I z a dxdy a a x y dxdy a a ∑=+=-+⎰⎰⎰⎰222223001(22)6a d a a a r r rdr a a ππθ=--=⎰⎰，其中xy D 为XOY 平面上的圆域222x y a +≤. 因此3122I I I a π=+=-.……7分七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim 1112n n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦ . 解：2sinsinsin12sin sin sin 1112n n n n n n n n n n n n nππππππ⎛⎫+++<+++ ⎪+⎝⎭++11sinni i n nπ==∑ ……2分而10112lim sin sin n n i i xdx n n πππ→∞===∑⎰.……3分又2sinsinsin 12sin sin sin 11112n n n n n n n n n ππππππ⎛⎫+++>+++ ⎪++⎝⎭++11sin1ni n i n n nπ==⋅+∑ ……5分 而10112lim sin sin 1n n i n i xdx n n n πππ→∞=⋅==+∑⎰.故由夹逼定理知2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫ ⎪+++= ⎪+ ⎪++⎝⎭ . ……6分八、(本题满分5分)设正项数列}{n a 单减，且级数∑∞=-1)1(n n na 发散，试问级数nn n a ∑∞=+1)11(是否收敛？并说明理由.解： 级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛.……1分理由：由于正项数列{}n a 单调减少有下界，故lim n n a →∞存在，记这个极限值为a ，则0a ≥. ……2分若0a =，则由莱布尼兹定理知1(1)nn n a ∞=-∑收敛，与题设矛盾，故0a >.……3分于是11111n a a <<++，从而1111nnn a a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.而111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑是公比为111a <+的几 何级数，故收敛.因此由比较判别法知原级数收敛.……5分（注：(1) 若未说明0a >，本题至多给2分，(2) 本题也可用根植判别法）九、(本题满分6分)设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数(1) 试证：存在0(0,1)x ∈，使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积，等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积；(2) 又设)(x f 在区间(0,1)内可导，且2()()f x f x x '>-，证明(1)中的0x 是唯一的.证一：(1) 设1()()xF x xf t dt =⎰，……2分则(0)(1)0F F ==，且1()()()x F x f td t x f x '=-⎰. 对()F x 在区间[0，1]上应用罗尔定理知，存在一点0(0,1)x ∈使0()0F x '=，因而0100()()0x f t dt x f x -=⎰. 即矩形面积00()x f x 等于曲边梯形面积1()x f x dx ⎰.……4分 (2) 设1()()()xx f t dt xf x ϕ=-⎰，……5分则当(0,1)x ∈时，有()()()()0x f x f x xf x ϕ''=---<.所以()x ϕ在区间(0,1)内单调减 少，故此时(1)中的0x 是唯一的.……6分（注：在证明（1）时，若对所设辅助函数利用闭区间上连续函数的介值定理仅得出0[0,1]x ∈，但未排除端点，或者排除端点的理由不充分，则只给1分.）十、(本题满分6分) 已知二次曲面方程2222224x ay zbxy xz yz +++++=可以经过正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ζηξP z y x 化为椭圆柱面方程4422=+ζη，求,a b 的值和正交矩阵P .解：由111111b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与014⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭相似得11111114b b a λλλλλλ------=-----……1分 解之得到3,1a b ==.……2分对应于特征值10λ=的单位特征向量为122Tx =；对应于特征值21λ=的单位特征向量为2333Tx =；对应于特征值34λ=的单位特征向量为3666T x =； ……5分因此P =236036236⎛⎝. ……6分十一、(本题满分4分)设A 是n 阶矩阵，若存在正整数k ，使线性方程组0k A x =有解向量α，且10k A α-≠， 证明：向量组1,,,k A A ααα- 是线性无关的.解：设有常数12,,,k λλλ ，使得1120k k AA λαλαλα-+++= ，则有1112()0k k k A AA λαλαλα--+++= ， ……2分 从而有110k A λα-=.由于10k A α-≠，所以10λ=. 类似可证得230k λλλ==== ，因此向量组1,,,k A A ααα- 线性无关.……4分十二、(本题满分5分)已知线性方程组()I 1111221,222112222,221122,2200n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的一个基础解系为 11121,2(,,,)T n b b b ，21222,2(,,,)T n b b b ，…，12,2(,,,)T n n n n b b b试写出线性方程组 1111221,222112222,221122,2200()0n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎪+++=⎪II ⎨⎪⎪+++=⎩的通解，并说明理由.解：（II ）的通解为11112122212222122(,,,,(,,,,(,,,,T T Tn n n n n n n y c a a a c a a a c a a a =+++)))其中12,,,n c c c 为任意常数.……2分理由：方程组（I ）、（II ）的系数矩阵分别记为,A B ，则由（I ）的已知基础解系可知0T AB =，于是()0T T T BA AB ==，因此可知A 的n 个行向量的转置向量为（II ）的n 个解向量.……3分由于B 的秩为n ，故（II ）的解空间维数为2n n n -=.又A 的秩为2n 与（I ）的解空间 维数之差，即为n ，故A 的n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（II ）的一个基 础解系，于是得到（II)的上述通解.……5分十三、(本题满分6分)设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0、方差为21的正态分布，求随机变量Y X -的方差.解：令Z X Y =-.由于22(0,(),(0,(),22X N Y N ~~且X Y 和相互独立，故(0,1)Z N ~.……2分 因为2222(||)()(||)[(||)]()[(||)]D X Y D Z E Z E Z E Z E Z -==-=-， ……3分而22()()()101E Z D Z EZ =+=+=，22222(||)||22z z E Z z dz zedz πππ+∞+∞---∞===⎛⎜⎠，所以2(||)1D X Y π-=-.……6分十四、(本题满分4分)从正态总体)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4 ) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？附表：标准正态分布表 dt e z t z2221)(-∞-⎰=Φπ解：以X 3.4(0,1)6X n N -~， ……1分从而有{1.4 5.4}{2 3.42}{| 3.4|2}P X P X P X <<=-<-<=-<| 3.4|2{}6X n P n -=<2(10.95n=Φ-≥.……2分故(0.975n Φ≥ 1.96n ≥，即2(1.963)34.57n ≥⨯≈，所以n 至少应取35.……4分十五、(本题满分4分)设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.附表：t 分布表 p n t n t P p =≤})()({z1.28 1.645 1.962.33 )(z Φ0.9000.9500.9750.990解：设该次考试的考生成绩为X ，则2(,)X N μσ~. 把从X 中抽取的容量为n 的样本 均值记为X ，样本标准差记为S .本题是在显著性水平0.05α=下检验假设01:70;:70H H μμ=≠，……1分 拒绝域为12||70||-1)x t n t n s α--=≥(. 由0.97536,66.5,15,(361) 2.0301n x s t ===-=，算得|66.570|36|| 1.4 2.030115t -==<，……3分 所以接受假设0:70H μ=，即在显著性水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. ……4分数 学（试卷二）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学一 第一、（1）题 】(2) 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A=3712(3)2lnsin cot lnsin cot sin xdx x x x x C x =---+⎰.(4) 设)(x f 连续，则=-⎰dt t x f t dxd x )(2202()x f x . (5) 曲线)1ln(xe x y +=(0)x >的渐近线方程为1y x e -=+.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设数列n x 与n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下类断言正确的是 （A ）(A) 若n x 发散，则n y 必发散 (B) 若n x 无界，则n y 必有界 (C) 若n x 有界，则n y 必为无穷小(D) 若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小 (2) 【 同数学一 第二、（2）题 】 （选项的排列顺序不同） (3) 【 同数学一 第二、（3）题 】 （选项的排列顺序不同）(4) 设函数()f x 在x a =的某个领域内连续，且()f a 为极大值，则存在0δ>,当(,)x a a δδ∈-+时，必有 （A ）(A) 0)]()()[(≥--a f x f a x . (B) 0)]()()[(≤--a f x f a x .(C) )(0)()()(lim 2a x x t x f t f a t ≠≥--→. (D) )(0)()()(lim 2a x x t x f t f a t ≠≤--→. (5) 设A 是任一)3(≥n n 阶方阵，A *是其伴随矩阵，又k 为常数，且1,0±≠k ，则必有(kA)*= (B) (A) kA * (B) k n-1A * (C) k n A * (D) k -1A 三、(本题满分5分)求函数)4tan()1()(π-+=x xx x f 在区间)2,0(π内的间断点，并判断其类型.解：()f x 在(0,2)π内的间断点为357,,,4444x ππππ=. ……1分在4x π=处，(0)4f π+=+∞，在54x π=处，5(0)4f π+=+∞， 故5,44x ππ=为第二类（或无穷）间断点； ……3分在34x π=处，34lim ()1x f x π→=，在74x π=处，74lim ()1x f x π→=，故37,44x ππ=为第一类（或可去）间断点； ……5分四、(本题满分5分)确定常数c b a ,,的值，使)0()1ln(sin lim20≠=+-⎰→c c dt tt xax x b x . 解：由于0x →时，sin 0ax x -→，且极限c 不为0，所以当0x →时，3ln(1)0xbt dt t +→⎛⎜⎠，故必有0b =.……1分又因为3330000sin cos (cos )lim lim lim ln(1)ln(1)ln(1)x x x x ax x a x x a x x x t dtx t →→→---==+++⎛⎜⎠ 3200(cos )cos lim lim (0)x x x a x a x c c x x →→--===≠. ……3分 故必有1a =，从而12c =.……5分五、(本题满分6分) 利用代换x e x y x y x y xuy =+-''=cos 3sin '2cos cos 将方程化简，并求出原方程的通解.解一：由cos u y x =两端对x 求导，得cos sin u y x y x ''=-，cos 2sin cos u y x y x y x '''''=--.……2分 于是原方程化为4xu u e ''+=，……3分其通解为12cos 2sin 25xe u C x C x =++，从而原方程的通解为12cos 22sin cos 5cos xx e y C C x x x=++. ……5分解二：sec y u x =，sec sec tan y u x u x x ''=+，23sec 2sec tan sec tan sec y u x u x x u x x u x '''''=+++，……2分代入原方程得4xu u e ''+=. ……3分以下同解法一.六、(本题满分6分) 计算积分⎰-232121dx x x .解：注意到被积函数内有绝对值且1x =是其无穷间断点，故31222112x x x x=--⎛⎜⎜⎠⎠原式 ……1分而1121212211()42x xx =---⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠112arcsin(21)arcsin12x π=-==， ……3分3322221111()24x xx =---⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠3221111ln ()()ln(23)224x x ⎡⎤=-+--=+⎢⎥⎣⎦.……5分因此3221ln(23)2x xπ=++-⎛⎜⎠. ……6分七、(本题满分6分)【 同数学一 第五题 】 八、(本题满分6分)【 同数学一 第九题 】 九、(本题满分8分) 设有曲线1-=x y ，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.解：设切点为00(1)x x -，则过原点的切线方程为021y x x =-. 再以点00(1)x x -代入，解得0002,11x y x ==-=，则切线方程为12y x =. ……3分 由曲线1(12)y x x =-≤≤绕x 轴一周所得到的旋转面的面积221112143(551)6S y dx x dx πππ'=+=-=⎰⎰；……6分由直线段1(12)2y x x =≤≤绕x 轴一周所得到的旋转面的面积 22015252S ππ=⋅=⎰.因此，所求旋转体的表面积为12(1151)6S S S π=+=.……8分十、(本题满分8分)设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x,y)处的曲率为211y '+，且此曲线上的点(0,1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值.解：因曲线向上凸，故0y ''<()32211y y ''='+'+， ……2分即211y y ''=-'+. 令,p y p y ''''==则，从而上述方程化为211p p '=-+，分离变量得21dpdx p =-+，解之得1arctan p C x =-.……4分因为()y y x =在点(0,1)处切线方程为1y x =+，所以00||1x x p y =='==，代入上式得14C π=，故tan()4y x π'=-.积分得2ln |cos()|4y x C π=-+.……6分因为曲线过点(0,1)，所以0|1x y ==，代入上式得211ln 22C =+，故所求曲线的方程为13ln |cos()|1ln 2,(,)4244y x x πππ=-++∈-.……7分因为cos()14x π-≤且当4x π=时，cos()14x π-=，所以当4x π=时函数取得极大值11ln 22y =+.……8分十一、(本题满分8分) 设(0,1)x ∈，证明：(1) 22)1(ln )1(x x x <++； (2)211)1ln(112ln 1<-+<-x x . 证：(1) 令22()(1)ln (1)x x x x ϕ=++-，则有(0)0ϕ=，……1分22()ln (1)2ln(1)2,(0)0x x x x ϕϕ''=+++-=.因为当(0,1)x ∈时，2()[ln(1)]01x x x xϕ''=+-<+， 所以()0x ϕ'<，从而()0x ϕ<，即22(1)ln (1)x x x ++<.……3分 (2) 令11(),(0,1]ln(1)f x x x x=-∈+，则有2222(1)ln (1)()(1)ln (1)x x x f x x x x ++-'=++. ……4分由（1）知，()0f x '<（当(0,1)x ∈）.于是在(0,1)内()f x 单调减少.又()f x 在区间(0,1]上连续，且1(1)1ln 2f =-， 故当(0,1)x ∈时，111()1ln(1)ln 2f x x x =->-+.……6分又20000ln(1)ln(1)1lim ()lim lim lim ln(1)2(1)2x x x x x x x x x f x x x x x x ++++→→→→-+-+====++， 故当(0,1)x ∈时，111()ln(1)2f x x x =-<+.……8分十二、(本题满分5分)设11(2)T E C B A C ---=，其中E 是4阶单位矩阵，TA 是4阶矩阵A 的转置矩阵，B =1232012300120001--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪⎝⎭，C =1201012000120001⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，求A .解： 由题设得1(2)T C E C B A E --=，即(2)T C B A E -=.……1分由于12340123001200012C B ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭-，|2|10C B -=≠，故2C B -可逆. 于是11[(2)][(2)]T T A C B C B --=-=-……3分110001000210021003210121043210121-⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=. ……5分十三、(本题满分8分)[],]4,,10,3[,],1,1,0[,]3,1,7,2[,2,0,4,1321T T T T b a a a a =-===β问：(1) b a ,取何值时, β不能由321,,ααα 线性表示?(2) b a ,取何值时, β可由321,,ααα线性表示? 并写出此表示式.解： 因120312031203471100112011201101100102340120002b b a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ……2分故 (1) 当2b ≠时，线性方程组123(,,)x αααβ=无解，此时β不能由123,,ααα线性表出；……4分(2) 当2,1b a =≠时，线性方程组123(,,)x αααβ=有唯一解：123(,,)(1,2,0)T T x x x x ==-，于是β可唯一表示为122βαα=-+；……6分当2,1b a ==时，线性方程组123(,,)x αααβ=有无穷多个解：123(,,)(2,1,1)(1,2,0)T T T x x x x k ==-+-，其中k 为任意常数，这时β可由123,,ααα线性表示为123(21)(2)k k k βααα=-++++. ……8分数 学（试卷三）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设曲线()nf x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为,0n ξ()，则1lim ()n n f e ξ-→∞=.(2)⎰=-dx x x 21ln 1ln x c x-+.(3) 差分方程121050t t y y t ++-=的通解为51(5)()126t t y C t =-+-.(4) 设矩阵,A B 满足*28A BA BA E =-，其中A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100020001，E 为单位矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10020001，则B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20040002. (5) 设4321,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，243221)43()2(X X b X X a X -+-=，则当11,20100a b ==时，统计量X 服从2χ分布,其自由度为 2二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设()f x 为可导函数，且满足条件12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为 (D) (A)21 (B) 0(C) 1-(D) 2-(2) 设函数nn x xx f 211lim)(++=∞→，讨论函数f (x) 的间断点,其结论为 (B)(A) 不存在间断点. (B) 存在间断点x = 1 (C) 存在间断点x = 0 (D) 存在间断点x = -1(3) 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵B ≠0，使得AB = 0，则 (C) (A) 02=-=B 且λ (B) 02≠-=B 且λ (C) 01==B 且λ (D) 01≠=B 且λ (4) 设(3)n n ≥阶矩阵A=1111aaa a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ ，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为 (B)(A) 1 (B)n-11(C) 1- (D) 11-n(5) 设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使)()(21x bF x aF x F -=）（ 是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 (A ) (A )52,53-==b a ；(B )32,32==b a ；(C )23,21=-=b a ；(D ) 23,21-==b a三、(本题满分5分)设arctan22yxz x y e -=+（）,dz 与2.zx y ∂∂∂解：arctan arctan arctan 2222212()()()(2)1y y yx x xz y xe x y e x y e y x x x---∂=-+-=+∂+，……1分arctan arctan arctan 2222112()()()(2)1y y yx x xz ye x y e y x e y y x x---∂=-+=-∂+. ……2分所以arctan[(2)(2)]y xdz ex y dx y x dy -=++-.……3分 222arctan arctan arctan 222211(2)()()1y y y x x x z y xy x e x y e e y x y x x y x---∂-+=-+=∂∂++. ……5分四、(本题满分5分)设22{(,)}D x y x y x =+≤，求.Dxdxdy解一：22{(,)|01,}D x y x x x y x x =≤≤-≤-，所以220x x x x Dxdxdy xdx --=⎰……2分 121x xdx =-⎰……3分1351220081(1)43515t t x t t t dt ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰.……5分解二：cos 202cos Dxdxdy d r rdr πθπθθ-=⎰⎰……2分 13cos 2222cos d r dr πθπθθ-=⎰⎰……3分 3204cos 5d πθθ=⎰ ……4分 815=. ……5分五、(本题满分6分)设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定0t =)就售出，总收入为0R (元)，如果窖藏起来，待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为250t R R e=.假定银行的年利率为r ，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求0.06r =时的t 值..解：根据连续复利公式，这批酒在窖藏t 年未售出总收入R 的现值为()Re rt A t -=， 而250t R R e=，所以250()t rt A t R e=. ……2分令25005t rtdA R e r dtt ⎫=-=⎪⎭，得唯一驻点02125t r =. ……3分 又2225023510t rt d A R r dt t t -⎡⎤⎫=-⎢⎪⎭⎢⎣，则有0123250212.50r t t d A R e r dt =⎡⎤=-<⎣⎦. 于是，02125t r =是极大值点即最大值点， 故窖藏2125t r =（年）售出，总收入的现值最大. ……5分当0.06r =时，100119t =≈（年）.……6分 六、(本题满分6分)设函数)(x f 在[b a ,]上连续,在(b a ,)内可导, 且0)('≠x f ，试证： 存在,(,),a b ξη∈使得'()'()b a f e e e f b aηξη--=-.证：令()x g x e =，则()()g x f x 与在[,]a b 上满足柯西中值定理条件，故由柯西中值定理， 存在(,)a b η∈，使得()()()b af b f a f e e eηη'-=-， ……2分 即()()()()b a f b f a e e e f b a b aηη---'=⋅--.……3分 又()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件，故由拉格朗日中值定理，存在(,)a b ξ∈，使得()()()f b f a f b aξ-'=-.……5分 由题设()0f x '≠知()0f η'≠，从而()()()b a f e e e f b aηξη-'-=⋅'-.……6分七、(本题满分6分)设有两条抛物线11)1(122+++=+=n x n y n nx y 和, 记它们交点的横坐标的绝对值为n a . （1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积n S ；（2）求级数∑∞=1n nn a S 的和.解：由2211(1)1y nx y n x n n =+=+++与得(1)n a n n =+. ……2分因图形关于y 轴对称，所以220112[(1)]1n a n S nx n x dx n n =+-+-+⎰2012[](1)3(1)(1)n a x dx n n n n n n =-=+++⎰.……4分 因此414113(1)31n n S a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，……5分 从而11414lim lim 1313nn k n n n k n k S S a a n ∞→∞→∞==⎡⎤⎛⎫==-= ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦∑∑. ……6分八、(本题满分7分)设函数)(x f 在 [)+∞,1上连续，若由曲线)(x f y =)，直线)1(,1>==t t x x 与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为)]1()([3)(2f t f t t v -=π,试求)(x f y =所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 922==x y 的解.解：依题意得221()()[()(1)]3tV t f x dx t f t f ππ==-⎰，即2213()()(1)tf x dx t f t f =-⎰.……2分 两边对t 求导，得223()2()()f t tf t t f t '=+.……3分将上式改写为2232x y y xy '=-，即232dy y y dx x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭（*）令y u x =，则有3(1)du x u u dx=-， ……4分 当0u ≠时，1u ≠时，由3(1)du dx u u x =-两边积分得31u cx u-=.……5分 从而（*）式的通解为3()y x cx y C -=为任意常数.……6分 由已知条件，求得1c =-，从而所求的解为33()1x y x x yy x-=-=+或. ……7分九、(本题满分9分)设向量1212(,,,),(,,,)T T n n a a a b b b αβ== 都是非零向量，且满足条件0=βT a ，记n 阶矩阵T a A β=，求：(1) 2A ； (2) 矩阵A 的特征值和特征向量. 解：(1) 由T a A β=和0=βT a ，有2()()()()T T T T T T A AA αβαβαβαββααβ====……1分 即2A 为n 阶零矩阵.……3分(2) 设λ为A 的任一特征值，A 的属于特征值λ的特征向量为(0)x x ≠，则λ=Ax x ，于是22λλ==A x Ax x .……4分 因为2=A x O ，所以2λ=x O .而≠x O ，故0λ=，即矩阵A 的特征值全为零.……5分不妨设向量,αβ中分量110,0a b ≠≠，对齐次线性方程组(0)-=E A O 的系数矩阵施以初等行变换：11121122122212000000n n n n n n n a b a b a b b b b a b a b a b a b a b a b ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪--- ⎪⎪-=→ ⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭A……6分由此可得该方程组的基础解系为：32121111,1,0,,0,,0,1,,0,,,0,0,,1T T Tn n b b b b b b ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， ……8分于是，A 的属于特征值0λ=的全部特征向量为112211n n c c c ααα--+++ ，（121,,,n cc c - 是不全为0的任意常数.）……9分十、(本题满分7分)设矩阵A =101020101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵2）（A kE B +=，其中k 为实数，E 为单位阵，求对角矩Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵.解：由2||(2)E A λλλ-=-，可得A 的特征值为1232,0λλλ===. ……2分记对角矩阵200020000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，使得TP AP D =. ……4分所以11()T T A P DP PDP --==.于是22()()[()][()]T T T T B kE A kPP PDP P kE D P P kE D P =+=+=++2()T P kE D P =+222(2)(2)Tk P k P k ⎛⎫+⎪=+⎪ ⎪⎝⎭， ……5分可见222(2)(2)k k k ⎛⎫+ ⎪Λ=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ……6分因此，当2k ≠-，且0k ≠时B 的全部特征值均为正数，这时B 为正定矩阵.……7分注：考生也可直接由A 的特征值得到矩阵kE A +的特征值为2k +（二重）和k （4分）. 进而得到B 的特征值为2(2)k +（二重）和2k （5分），并得到实对称矩阵B ~Λ（6分）.十一、(本题满分10分)一商店经销某种商品，每周进货的数量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.解：设Z 表示商品每周所得的利润，则1000,,1000500()500(),Y Y X Z X Y X X Y Y X≤⎧=⎨+-=+>⎩ ……3分 由于X 与Y 的联合概率密度为：1,1020,1020,(,)1000,x y x y ϕ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.……5分所以12111000500()100100D D EZ y dxdy x y dxdy =⨯++⨯⎰⎰⎰⎰ ……7分 202020101010105()yydy ydx dy x y dx =++⎰⎰⎰⎰……8分 202021010310(20)5(1050)2y y dy y y dy =-+--⎰⎰……9分 200005150014166.673=+⨯≈（元）.……10分十二、(本题满分9分)设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率p ；(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q . 解：设i H ＝｛报名表是第i 区考生的｝（1,2,3,i ＝）j A ＝｛第j 次抽到的报名表是男生的｝（1,2j ＝）， 则1231()()()3P H P H P H ===；1112137820(|),(|),(|)101525P A H P A H P A H ===； ……1分(1) 3111137529()()(|)()310152590i i i P P A P H P A H ====++=∑.……3分 (2) 由全概率公式得2122237820(|),(|),(|)101525P A H P A H P A H ===. ……4分 121122123785(|),(|),(|)303030P A A H P A A H P A A H ===.……5分32211782061()()(|)()310152590i i i P A P H P A H ===++=∑. ……6分 31212117852()()(|)()33030309i i i P A A P H P A A H ===++=∑.……7分 因此，12122()20(|)()61P A A q P A A P A ===.……9分数 学（试卷四）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学三 第一、（1）题 】 (2) 【 同数学三 第一、（2）题 】 (3) 【 同数学三 第一、（4）题 】(4) 设A ，B 均为n 阶矩阵，21*122,3,23n A B A B--==-=-则.(5) 设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p =12时，成功次数的标准差的值最大；其最大值为 5 .二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学三 第二、（1）题 】 (2) 【 同数学三 第二、（2）题 】(3) 若向量组 γβα，，线性无关；δβα，，线性相关，则 (C)(A)α 必可由δγβ,,线性表示 (B) β 必不可由δγα,,线性表示(C) δ 必可由γβα,,线性表示 (D) δ 必不可由γβα,,线性表示(4) 设A ，B ，C 是三个相互独立的随机事件，且0 < P （C ）<1，则在下列给定的四对事件 中不相互独立的是 (B) (A) C B A 与+ (B) C AC 与 (C) C B A 与- (D) C AB 与. (5) 【 同数学三 第二、（5）题 】三、(本题满分6分) 求21lim(tan )n n n n→∞(n 为自然数).解：因为32tan 1tan 00tan tan lim lim 1x xxx x xx x x x x x x x ++--→→⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ……2分其中23200tan sec 11lim lim 33x x x x x x x ++→→--==，……4分故21130tan lim x x x e x +→⎛⎫= ⎪⎝⎭. ……5分取1x n=，则原式13e =.……6分（注：对数列极限直接用洛必达法则，扣2分.）四、(本题满分6分)【 同数学三 第三题 分值不同】 五、(本题满分5分)【 同数学三 第四题 】 六、(本题满分6分)【 同数学三 第五题 】 七、(本题满分6分)设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(b a ,)内可导,且()()1f a f b ==,试证存在,(,)a b ξη∈，使得[]1)()(='+-ηηξηf f e .证：令()()x F x e f x =，则()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件，故存在(,)a b η∈，使得()()[()()]b a e f b e f a e f f b aηηη-'=+-.……3分 由条件()()1f a f b ==，得[()()]b ae e ef f b aηηη-'=+-. （1）……4分 再令()xx e ϕ=，则()x ϕ在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件，故存在(,)a b ξ∈，使得b ae e e b a ξ-=-. (2) ……5分 综合（1）、（2）两式，有[()()]1ef f ηξηη-'+=.……6分八、(本题满分9分)设直线y ax =与抛物线2y x =所围成图形的面积为1S ，它们与直线1X =所围成的图形面积为2S ，并且1a <.(1) 试确定a 的值，使12S S +达到最小，并求出最小值；(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：(1) 当01a <<时，（如图一）122120()()a aS S S ax x dx x ax dx =+=-+-⎰⎰123323012332323aa ax x x ax a a ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……2分令2102S a '=-=，得2a =.又(202S ''=>，则(2S 是极小值，即最小值.其值为122(326222S -=+=. ……4分当0a ≤时，（如图二）122120()()aS S S ax x dx x ax dx =+=-+-⎰⎰31623a a =--+.因2211(1)0222a S a '=--=-+<，S 单调减少，故0a =时，S 取得最小值，此时13S =.综上所述，当2a =，(2S 为所求最小值，最小值为226-. ……6分(2) 1244220211())22x V x x dx x x dx ππ=-+-⎰11552331021121655630x x x x πππ⎛⎛=-+-=⎝⎝. ……9分九、(本题满分9分)【 同数学三 第九题 】 十、(本题满分9分)已知下列非齐次线性方程组 )(I 和)(II124123412326():4133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪I ---=⎨⎪--=⎩ ， 1234234345():21121x mx x x nx x x x x t +--=-⎧⎪II --=-⎨⎪-=-+⎩(1) 求解方程组()I ，用其导出组的基础解系表示通解.(2) 当方程组()II 中的参数,,m n t 为何值时，方程组()I 与()II 同解.解：(1) 设方程组()I 的系数矩阵为1A ，增广矩阵为1A ，对1A 作初等行变换，得1110261001241111010143110300125A ⎛--⎫⎛--⎫⎪ ⎪=---→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭.由于秩(1A )＝秩(1A )34=<，所以方程组有无穷多解，其通解为21415201X k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k 为任意常数）. ……3分(2) 将通解X 代入()II 的第一个方程，得(2)(4)(52)5k m k k k -++-+--+-=-，解得2m =.将通解X 代入()II 的第二个方程，得(4)(52)211n k k k -+--+-=-，解得4n =. 将通解X 代入()II 的第三个方程，得(52)21k k t -+-=-+，解得6t =. 因此，方程组()II 的参数为2m =，4n =，6t =.……5分即当2m =，4n =，6t =时，方程组()I 的全部解都是方程组()II 的解.这时，方程组()II 化为()II 12342343425,4211,25,x x x x x x x x x +--=-⎧⎪--=-⎨⎪-=-⎩.又设方程组()II 的系数矩阵为2A ，增广矩阵为2A ，对2A 施以初等行变换，得21211510012041211010140012500125A ⎛---⎫⎛--⎫⎪ ⎪=---→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭……6分于是方程组()II 的通解为21415201X k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k 为任意常数）.显然，方程组()I 与()II 的解完全相同. 即方程组()I 与()II 同解.……7分十一、(本题满分7分)求某种商品每周的需求量X 是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元，为使商品所获利润期望值不小于9280元，试确定最少进货量.解：设进货数量为α，则利润为500()300,30,500()100,10X a a X M X a X X a αα+-<≤⎧=⎨--≤≤⎩300200,30,600100,10X a a X X a X a +<≤⎧=⎨-≤≤⎩……3分期望利润30301010111(600100)(300200)202020a aEM M dx x a dx x a dx αα=⋅=-++⎰⎰⎰ 3022210116001003002007.53505250202202aax x ax ax a a ⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……6分 依题意，有27.535052509280a a -++≥，……7分 即27.535040300a a -+≤，解得220263a ≤≤. ……8分 故期望利润不少于9280元的最少进货量为21单位.……9分十二、(本题满分7分)某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件、10件和10件，现在从中随机抽取一件，记)3,2,1(01=⎩⎨⎧=i i X i 他其等品若抽到，试求：(1) 随机变量X 1与X 2的联合分布； (2) 随机变量X 1与X 2的相关系数ρ.解：(1) 设事件i A =“抽到i 等品”123i （＝，，）. 由题意知123,,A A A 两两互不相容.123()0.8,()()0.1P A P A P A ===.……1分易见123{0,0}()0.1P X X P A ====，122{0,1}()0.1P X X P A ====；121{1,0}()0.8P X X P A ====，12{1,1}()0P X X P φ====.……3分故随机变量X 1与X 2的联合分布为2X1X0 1 0 0．1 0．8 10．1(2) 120.8,0.1EX EX ==.120.80.20.16,0.10.90.09DX DX =⨯==⨯=. ……4分 12000.1010.1100.81100EX X =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. ……5分 121212(,)00.80.10.08Cov X X EX X EX EX =-⋅=-⨯=-.……6分 1212230.160.09DX DX ρ===-⋅⨯.……7分。
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yx , 且当 x 0 时 , 是 x 的 1 x2
(C) e
4
(D) e 4
(4)设矩阵
a1 a 2 a3
是满秩的,则直线 (A)相交于一点 (C)平行但不重合
b1 b2 b3
c1 c2 c3
x a3 y b3 z c3 x a1 y b1 z c1 与直线 a1 a2 b1 b2 c1 c2 a2 a3 b2 b3 c2 c3
P{t ( n ) t p ( n)} p
0.95 35 36 1.6896 1.6883 0.975 2.0301 2.0281
(Ⅰ)
a21 x1 a22 x2 a2,2 n x2 n 0 an1 x1 an 2 x2 an ,2 n x2 n 0
的一个基础解析为 (b11 , b12 , , b1,2 n ) , (b21 , b22 , , b2,2 n ) , , (bn1 , bn 2 , , bn ,2 n ) . 试写出线 性方程组
(B)重合 (D)异面
(5)设 A, B 是两个随机事件,且 0 P ( A) 1, P ( B ) 0, P ( B | A) P ( B | A), 则必有 (A) P ( A | B ) P ( A | B ) (C) P ( AB ) P ( A) P ( B ) (B) P ( A | B ) P ( A | B ) (D) P ( AB ) P ( A) P ( B )
八、 （本题满分 5 分） 设正向数列 {an } 单调减少,且 理由. 九、 （本题满分 6 分） 设 y f ( x ) 是区间 [0,1] 上的任一非负连续函数. (1) 试证存在 x0 (0,1), 使得在区间 [0, x0 ] 上以 f ( x0 ) 为高的矩形面积 , 等于在区间
1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)
(1) lim
x 0
1 x 1 x 2 =_____________. x2
(2)设 z
2 z 1 =_____________. f ( xy ) y ( x y ), f , 具有二阶连续导数,则 xy x
4 2 4 2 2
为某二元函数 u ( x, y ) 的梯度,并求 u ( x, y ).
五、(本题满分 6 分) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y ( 从海平面算起) 与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉 过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 m, 体积为 B, 海水密度为 , 仪器所受的阻 力与下沉速度成正比,比例系数为 k ( k 0). 试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出函数关 系式 y y (v ).
* 2
(5)设平面区域 D 由曲线 y
1 2 及直线 y 0, x 1, x e 所围成, 二维随机变量 ( X , Y ) x
在 区 域 D 上 服 从 均 匀 分 布 , 则 ( X ,Y ) 关 于 X 的 边 缘 概 率 密 度 在 x 2 处 的 值 为 _____________. 二、 选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 f ( x ) 连续,则 (A) xf ( x ) (C) 2 xf ( x )
(3)设 l 为椭圆
x2 y2 1, 其周长记为 a, 则 (2 xy 3 x 2 4 y 2 )ds =_____________. 4 3 L
*
(4)设 A 为 n 阶矩阵 , A 0, A 为 A 的伴随矩阵 , E 为 n 阶单位矩阵.若 A 有特征值 , 则 ( A ) E 必有特征值_____________.
十一、 （本题满分 4 分） 设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k , 使线性方程组 A k x 0 有解向量 α, 且 A k 1α 0. 证明:向量组 α, Aα, , A
k 1
α 是线性无关的.
十二、 （本题满分 5 分） 已知方程组
a11 x1 a12 x2 a1,2 n x2 n 0
T
T
T
b11 y1 b12 y2 b1,2 n y2 n 0
(Ⅱ)
b21 y1 b22 y2 b2,2 n y2 n 0 bn1 y1 bn 2 y2 bn ,2 n y2 n 0
的通解,并说明理由. 十三、 （本题满分 6 分） 设两个随机变量 X , Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为
三、(本题满分 5 分) 求直线 l :
x 1 y z 1 在平面 : x y 2 z 1 0 上的投影直线 l0 的方程 , 并求 l0 1 1 1
绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程. 四、(本题满分 6 分) 确定常数 , 使在右半平面 x 0 上的向量 A ( x, y ) 2 xy ( x y ) i x ( x y ) j
六、(本题满分 7 分) 计算
axdydz ( z a) 2 dxdy , 其中 为下半平面 z a 2 x 2 y 2 的上侧 , a 为大 2 2 2 12 ( x y z )
于零的常数. 七、(本题满分 6 分)
2 sin sin sin n n 求 lim . x 1 1 n 1 n n n 2
1 的正态分布,求随机变量 2
X Y 的方差.
十四、 （本题满分 4 分） 从正态总体 N (3.4, 6 ) 中抽取容量为 n 的样本,如果要求其样本均值位于区间 (1.4, 5.4) 内的概率不小于0.95,问样本容量 n 至少应取多大? 附:标准正态分布表
2
( x)
z
1.28 0.900
十、 （本题满分 6 分） 已知二次曲面方程 x ay z 2bxy 2 xz 2 yz 4 可以经过正交变换
2 2 2
x y P 化为椭圆柱面方程 2 4 2 4, 求 a, b 的值和正交矩阵 P. z
(1)n an 发散,试问级数 (
n 1
n 1
1 n ) 是否收敛?并说明 an 1
[ x0 ,1] 上以 y f ( x) 为曲边的曲边梯形面积.
(2)又设 f ( x ) 在区间 (0,1) 内可导,且 f ( x)
2 f ( x) , 证明(1)中的 x0 是唯一的. x
z
1 t2 e dt 2
1.96 0.975 2.33 0.990
2
1.645 0.950
( x)
十五、 （本题满分 4 分） 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为 66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分?并给出检验过程. 附: t 分布表
2 2
d x tf ( x 2 t 2 ) dt = 0 dx
(B) xf ( x )
2
(D) 2 xf ( x )
2
x 3 x 不可导点的个数是 (A)3 (C)1 (3)已知函数 y y ( x ) 在任意点 x 处的增量 y 高阶无穷小, y (0) ,则 y (1) 等于 (A) 2 (B) (B)2 (D)0