第九章 假设检验

8 4 , , 0 k 0 k n n 8 当 落入此区域内时就拒绝 0 接受H1 ，以后称8 3、 4 H
式这类区域为H 0的拒绝域，记为 。 Z 不等式
0 k / n , 0 k 0 k2 ~ 2 n 2
i 1
n
3求临界值。
对给定的 0.05，查自由度为 5的 2分布表得 n
2 2 n 0025 5 12.833 2 2 n 0.975 5 0.831 1 2
这种检验方法称为 2检验法。
•
例4
某涤纶厂的生产的维尼纶的纤度（纤维的
粗细程度）在正常生产的条件下，服从正态分布 N(1.405 , 0.0482)，某日随机地抽取5根纤维，测得纤
度为
• 1.32 ，1.55 ，1.36 ，1.40 ，1.44
1提出假设。H 0 : 2 02 0.0482. • 问一天涤纶纤度总体ξ的均方差是否正常（α=0.05）? 2找统计量。 • 解
• 两类错误
• 第一类错误是：H0正确，但拒绝了它，这类错误也称为“弃真错误” • 第二类错误是：H0不正确，但接受了它，这类错误也称为“存伪错误”
• 假设检验的基本步骤
• （1）提出假设。 • （2）找统计量。 • （3）求临界值。（求接受域） • （4）算出观察值。 • （5）作出判断。
• 单个正态总体的参数假设检验 • 已知方差σ2，假设检验H0:μ＝ μ0 0 • (1)提出假设，H:μ＝ μ0. ~ N 0 , 1 u0 / n • (2)找统计量，确定样本函数的统计量 1，查 3求临界值，给定显著性 0 水平
5作出判断，若t1 t ，则接受H 0；若 t1
2
t ，则拒绝H 0 .
2
这种检验方法称为检验法。 t
• 例3 用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度，设测量 值ξ~N(μ,σ2)，今重复测量7次，测得温度(℃)如下： • 112.0，113.4，111.2，114.5，112.5，112.9，113.6 • 而用某种精确方法测量温度的真值μ0＝112.6，现问用热敏电 阻测温仪间接测量温度有无系统偏差？设显著性水平α＝0.05。 • 解 （1）提出假设，H0:μ＝μ0＝112.6
用来衡量原假设与实际情况差异是否明显的标准。
•
（小概率原理是：小概率事件在一次试验中是不大会发生 的），人们自然会产生这样的问题：概率小到什么程度才当 作“小概率事件”呢？这要据实际情况而定，例如即使下雨 的概率为10%，仍有人会因为它太小而不带雨具，但某航空 公司的事故率为1％，人们就会因为它太大而不敢乘坐该公司 的飞机，通常把概率不超过0.05 (或0.01)的事件当作“小概率 事件”。为此在假设检验时，必须先确定小概率即显著性的 值α (即不超过α的概率认为是小概率)。
即这一天涤纶纤度 的均方差可以认为不正 常。
2 未知期望，假设检验H 0 : 2 0
1提出假设。H 0 : 2 02 . 2找统计量。
2
1
2 0

n i 1
i
~ 2 n 1
2
3求临界值，对给定的显 著水平 0 1，由 2分布表 2 查得临界值 n 1和 2 n 1，使 1
310
310
由
310
12 / 10

320 310 2.64 1.96，所以我们有理由 12 / 10
不相信H 0是真的，于是拒绝 0，即认为估产 kg不正确。 H 310 在提出假设、选取统计 量的基础上，选定一个 小的正数
0＜＜1，使
0 P / n k 当样本观察值 满足


由于亩产量 ~ N , 122 ，两个假设： H 0 : u0 310 , H1 : 310


• 解
122 ~ N 310 , 10 310 u ~ N 0 , 1 12 / 10 这里应该有 k，如果 k，就要 12 / 10 12 / 10 拒绝H 0 , 而接受H1。 取 0.05，查表得k 1.96。
8 13
4求观察值，根据所给的 样本算出统计量的观察 12。 值
•
2 2 5作出判断。若 1 n 1 2 n 1 , 则接受H 0；若 例5 2 2 2 12 n 1或12＜ 2 n 1，则拒绝H 0。
制作者 范彩云
目录
假
• 例1
设
检
验
• 假设检验的思想方法
某地早稻收割前根据长 势估计平均亩产量 为310kg，收割时，随机地抽取 10块地，测得 了 每块地的实际亩量为 1 , 2 , , 10 , 计算出 1 10 i 320kg，如果已知 早稻产量服从 10 i 1 正态分布N , 122 ，试问所估产量是否正 确？
2＝
1
3求临界值，对给定的显 著性水平 0＜＜1， 由 2分布表查得临界值 n 与 2 n ，使 2 1
2 2
0
i 2 ~ 2 n 2
i 1
n
2 2 2 2 P n , P n 2 2 1 2 2
•
（2）找统计量。
t
0
S/ n
~ t n 1
3求临界值。
对给定的 0.05，查自由度为n 1 7 1 6的t 分布表得t t0.05 2.447.
4求观察值。
1 112.0 113.4 113.6 112.8 7 1 7 i 2 S2 7 1 i 1 1 2 2 112.0 112.8 113.6 112.8 6 1.1362
2 2
2 2 2 2 P n 1 , P n 1 2 2 8 12 1 2 2 即 2 2 2 P n 1 n 1 1 1 2 2
2 2 n 1 0.025 4 11.143 2 2 n 1 0.975 4 0.484 1 2
8 7
• 例2 某砖厂生产的砖其抗拉强度ξ服从正态分布N(μ, 1.21)， 今从该厂产品中随机抽取6块，测得抗拉强度如下： • 32.56，29.66，31.64 ，30.00 ，31.87 ，31.03 • 检验这批砖的平均抗拉强度为32.50是否成立，取显著性水平 σ=0.05。 • 解一 （1）提出假设. H0:μ＝ μ0＝32.50.
8 10
即 2 2 2 P n n 1 8 11 1 2 2 4求观察值，根据所给的 样本算出统计量 2 的观察值 。
2 5作出判断，若12 n 12 n ，则接 2 受H 0 ; 若12 n 或12＜ 2 n ，则拒绝H 0。 2 1 2 2 2 2 1
• 未知方差σ2，假设检验H来代替 2，找出统计量 以不能用u检验法，这里用 2 0:μ＝ μ0 S
t
1提出假设。H 0 : 0 . 2找统计量。因为 2未知，这时u已不是统计量，所
0
~ t n 1
S/ n 3求临界值，对给定的显 著水平 0 1，由t分布 表查得临界值，使 8 9 P t t 2 4求观察值，根据所给的 样本算出统计量 的观察值t1。 t
2


112.8 112.6 0.4657 S/ n 1.136/ 7 5作出判断，因为t 0.4657 2.447，所以接受H 0 , t 即用热敏电阻测温仪间 接测量温度可以认为无 系统偏差。
0
2 已知期望，假设检验H 0 : 2 0
1提出假设。H 0 : 2 02 . 2找统计量，确定样本函 数的统计量
8 5 8 6
确定了关于 的另一个区域
这类区域为接受域，记 Z。8－5式称为临界值 为 • 形式的接受域，8为原假设(或零假设)，称H1域。 定义2 称H0 6 式称为区间形式的接受 为备择假
当 落入此区域内时，就接 H 0 拒绝H1 ，以后称 受
设(或备选假设，对立假设) • • 定义3 定义4 称值α为显著性水平(或检验水平)，它是 称值k为临界值。
4求观察值。
1 1.32 1.4052 1.55 1.4052 1.44 1.4052 0.0482 13.683
2
2


5作出判断。
2 2 因为 2 13.683 n 0.025 5 12.833 ，所以拒绝H 0， 2
2
则拒绝H 0。 这种检验方法通常称为 检验法。 u
绝域Z 为 , 0 u 0＋u , n n 2 2 接受域为 Z 0 u , 0 u n n 2 2
• （2）找统计量
0 u ~ N 0 , 1 / n
3求临界值。
对给定的 0.05，查正态分布表得到满 足 P u u 0.05的临界值u 1.96. 2 2 4求观察值 1 计算出 32.56 31.03 31.13 6 0 31.13 32.50 u 3.05 / n 1.1 / 6 5作出判断，因为u 3.05 1.96，所以拒绝H 0 , 即认为这批产品的平均 抗拉强度为 .50不能成立。 32
正态分布表求出临界值 ，使 u
2
P u u 2
即