圆锥曲线的统一定义(精)
三种圆锥曲线统一定义及动画演示
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做 抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线.
(2)与椭圆、双曲线不同， 抛物线只有一个焦点和一条准线
可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M ,有 MF=d（d为动点M到
直线L的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ离）
抛物线的定义：
▪ 平面内与一个定点F的距离和一条定直线l (F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫 做抛物线的准线
说明：(1)点F不能在直线l上， 否则其轨迹是过点F且与l垂直的直线
关于椭圆、双曲线、抛物线你了解多少? 在我们的实际生活中有这些曲线吗? 它们分别给我们什么印象?
椭圆？
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线 的形状像椭圆．
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
椭圆
双曲线
抛物线
椭圆的定义
平面内到两定点 F1 ，F2的距离之和 为常数(大于F1 F2 距离）的点的轨迹 叫椭圆，两个定点 叫椭圆的焦点，两 焦点的距离叫做椭 圆的焦距.
说明： 若动点M到的距离之和为2a ， | F1 F2| = 2c 则当a>c>0时，动点M的轨迹是椭圆; 当a = c>0时，动点M的轨迹是线段F1 F2 ； 当 0 < a < c时，动点M无轨迹
双曲线的定义 ：
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
2.5圆锥曲线的统一定义
—— 化“斜”为 “平” 普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修1-1)—tiger
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标准方程
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0) y 2 x2 2 1 2 a b ( a b 0)
Hale Waihona Puke 图形焦点坐标准线方程
(c, 0)
a2 x c
a2 y c a2 x c
2
应用 3 ——统一定义求焦点弦长
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x2 y2 例 4 若椭圆 ＋ ＝1 内有一点 P(1， －1)， 为右焦点， F 4 3 椭圆上一点 M，使得 MP+2MF 最小，则点 M 的坐标 为 ．
变式：求椭圆上一点 M，使得|MP－MF|最大．
(0, c) (c, 0)
x2 y2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
y2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
(0, c)
a2 y c
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例 1 准线方程为 x＋y＝1，相应焦点为(1，1)的等轴 双曲线的方程为 .
课外作业: • 《评价》单元测试
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应用 4 ——统一定义求最值
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上本作业：
3 1、抛物线 C：y2＝2px(p>0)上横坐标为 的点到焦点 F 的距离为 2． 2 （1）求抛物线方程； （2） 过抛物线 C 的焦点 F， 作相互垂直的两条弦 AB 和 CD， 求|AB|＋|CD| 的最小值． 2、长为 2a（a 是正常数）的线段 AB 的两端点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上 滑动，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程．
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
2 12丄2(X ∙ a)a y_ 2b2 2.22b丄 b2・・讨=X — Xa a圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲 线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、 四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e,则当O ：：： e ：：： 1时， 动点P 的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P 的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P 的轨迹是双曲线；若e = O ,我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值(非零)，则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为 焦点，L 为准线。
二、 四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们 把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P ,则P =L 。
a2 2如图1 ,将椭圆罕■笃=1(a b O)按向量(a,O )平移a b二椭圆的方程可写成 y 2 = 2 px ' (e 2 -1) χ2( O ：：: e ：：: 1 )2 2类似的，如图2，将双曲线 —--^2 -1(a - O, b - O)按向量(-a, O)平移得到a b得到2(X -a)2a2 2bb2…y = X ~ Xaa•••椭圆的半通径 b 2 IF I M I |= p =—，ab 2~ =1 —eT 双曲线的半通径IF 2M 2I = L , b y =e 2 一1a a∙°∙双曲线方程可写成y = 2 px ∙ (e? 一 1)χ2 (e . 1)对于抛物线y 2 =2px(x .0) P 为半通径，离心率e =1，它也可写成2 2 2y 2 px (e -1) X (e =1)对于圆心在(P ，0)，半径为P 的圆，其方程为(X- p)2 + y 2 = p2，它也可 写成『=2 px 亠(e T)x?(^= 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2 =2px (e 2 -1)x 2 ,其中P 是曲线的半通径长，当e=0，0 ::： e ::： 1， e =1,e . 1时分别表示圆、椭圆、 抛物线、双曲线。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义一、椭圆的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()01ce e a=<<时,这个点的轨迹是椭圆.一般称之为椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率. 2.推导过程:例1 点()M x y ,与定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数()0ca c a>>,求点M 的轨迹.解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭. 由此得222()x c y c aa x c-+=-. 将上式两边平方,并化简,得22222222()()a c x a y a a c -+=-. 设222a cb -=,就可化成22221(0)x y a b a b+=>>.这是椭圆的标准方程,所以点M 的轨迹是长轴长为2a ,短轴长为2b 的椭圆. 二、双曲线的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()1ce e a=>时,这个点的轨迹是双曲线圆.一般称之为双曲线的第二定义,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率. 2.推导过程:例2 点()M x y ,到定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数()0cc a a>>,求点M 的轨迹. 解:设d 是点M 到直线l 的距离.根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, 由此得222()x c y c aa x c-+=-,化简,得22222222()()c a x a y a c a --=-. 设222c a b -=,就可化为22221(00)x y a b a b-=>>,这是双曲线的标准方程,所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线(如图1).对于双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，,相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =,根据双曲线的对称性,相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-,所以双曲线有两条准线.三、几点说明:1.圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于常数e 的点的轨迹:0<e <1时, 它表示椭圆；e >1时, 它表示双曲线；e =1时, 它表示抛物线,这里e 为离心率, F 为焦点,l 为准线2.第二定义中的定直线是任意直线,定点也是任意的(不在定直线上),这样得到的圆锥曲线方程不一定是标准形式.3.应用圆锥的第二定义要把握两个关键点:①必须是点到焦点的距离与点到相应准线的距离的比；②必须是焦点距与对应准线距的比.四、第二定义的典型应用 1、直接应用与求焦点弦长.例 1 (1)椭圆22110064x y +=上有一点P ,它到椭圆的左准线的距离等于10,则点P 到它的右焦点的距离为 ；(2)过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,A x y B x y ,,,若126x x +=,则AB 的长为 .解:(1) 解:∵2210064a b ==，,∴22100646c a b =-=-=.∴63105c e a ===. 依椭圆的第二定义,设P 点到椭圆左焦点的距离为x ,则3105x =.∴6x =. ∴点P 到椭圆右焦点距离为210614⨯-=.(2)设AB 的中点为E,点A 、E 、B 在抛物线准线l :1x -=上的射影分别为G 、H 、M.由第二定义知:8)1(2x x 2|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |21=--+==+=+=. 2、求离心率及其取值范围.例2 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ,右准线为l 1,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离,求椭圆的离心率.解:如图,AB 是过F 1垂直于x 轴的弦,|C F |1为F 1到准线l 1的距离,AD ⊥l 1于D,则|AD|=|F 1C|,由题意知|AB |21|AF |1=.由椭圆的第二定义知:21|AB ||AB |21|C F ||AB |21|AD ||AF |e 11==== 例3 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>,12F F ,分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P ,使∠F 1PF 2=90°,求椭圆的离心率e 的取值范围.解:设点P(00y x ，),则由第二定义得0201ex a c a x e |PF |+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=,0022ex a x c a e |PF |-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 因为21F PF ∆为直角三角形,所以2212221|F F ||PF ||PF |=+.即222020c 4)c 2()ex a ()ex a (==-++解得2222e a c 2x -=,由椭圆方程中x 的范围知220a x 0≤≤.2222a e a c 20<-≤∴,解得1e 22<≤. 3、求点的坐标例4 双曲线2213y x -=的右支上一点P ,到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2:1,求点P 的坐标.解:设点P(00y x ，)(0x 0>),双曲线的左准线为l 1:21x -=,右准线为l 2:21x =,则点P 到l 1、l 2的距离分别为21x d 21x d 0201-=+=，.所以,1221x 21x d d PF PF 002121=-+==,解得23x 0=. 将其代入原方程,得215y 0±=.因此,点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±21523，. 4、求最值例5 已知点()23A -，,设点F 为椭圆2211612x y +=的右焦点,点M 为椭圆上一动点,求2MA MF +的最小值,并求此时点M 的坐标.解:如图,过点A 作右准线l 的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M.∵椭圆的离心率21e =∴由第二定义得|MN ||MF |2= ∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长,且1082|AN |=+=∴|MF |2|AM |+的最小值为10,此时点M 的坐标为(32,3).巩固练习:1.椭圆222214x y b b+=上一点到右准线的距离是23b ,则该点到椭圆左焦点的距离为 .解:设该椭圆的的左右焦点分别是12,F F ,该椭圆的离心率为3e =,由圆锥曲线的统一定义可知,23232332PF e b b b =⋅=⨯=所以,12443PF b PF b b b =-=-=即该点到椭圆左焦点的距离为b .2.点P 在椭圆225x +29y =1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 的横坐标是_____.12253.椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2PF 等于 .27解法一:(如下图)设椭圆的右焦点为F 1,左焦点为F 2,过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1,∴a =2,b =1,c =3.∴F 1(3,0).设P (3,y P )代入42x +y 2=1,得y P =21,∴P (3,21),|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4,∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二:椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23,∴|PF 2|=27. 解法三:由解法一得P (3,21),又F 2(－3,0),∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.4.如果双曲线264x －236y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么P 到它的右准线距离是 .532解析:利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=532. 5.点M 与点()4,0F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程为 . 解:可知原条件⇔M 点到(4,0)F 和到4x =-距离相等,由抛物线的定义,点M 的轨迹是以(4,0)F 为焦点,4x =-为准线的抛物线.∴8=p ∴所求方程是x y 162=.6.已知P 为抛物线24y x =上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定点A (4,5),则PA d +的最小值为 .134-7.已知点()()3220A F ，,，,在双曲线2213y x -=上求一点P ,使12PA PF +的值最小.解:∵1a b ==，∴2c =,∴2e =.设点P 到与焦点(20)F ，相应的准线的距离为d ,则2PFd=, ∴12PF d =.∴12PA PF PA d +=+,该问题就转化为在双曲线上求点P ,使点P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小,即直线PA 垂直于准线时符合题意,∴23P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.8.定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动,设点M 为线段AB 的中点,求点M 到y 轴的最小距离. 解:抛物线焦点1(,0)4F ,准线l :14x =-, 设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ,设点00(,)M x y , 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥,又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥, 又101|4MM x =+,||3AB =,∴01342x +≥,所以054x ≥,即0x 的最小值是54.∴点M 到y 轴的最小距离是54,当且仅当AB 过点F 是取得最小距离.9.已知双曲线22x a -22y b=1的离心率e >12+,左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l ,能否在双曲线的左支上找一点P ,使得212PF PF d =⋅(其中d 是P 到l 的距离)?解:设在左支上存在P 点,使|PF 1|2=|PF 2|·d ,由双曲线的第二定义知d PF ||1=||||12PF PF =e ,即|PF 2|=e |PF 1|. ①再由双曲线的第一定义,得|PF 2|－|PF 1|=2a . ②由①②,解得|PF 1|=12-e a ,|PF 2|=12-e ae ,∵|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,∴12-e a +12-e ae≥2c . ③ 利用e =ac,由③得e 2－2e －1≤0,解得1－2≤e ≤1+2.∵e >1, ∴1<e ≤1+2与已知e >1+2矛盾.∴在双曲线的左支上找不到点P ,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项.10.已知点P 在双曲线221169x y -=上,并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰好是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,求P 点的横坐标.M1M。
圆锥曲线的统一定义解读
圆锥曲线的统一定义解读江苏王冬琴圆锥曲线的统一定义揭示了椭圆、双曲线、抛物线三种曲线的内在关系，使我们充分感受数学的内在的、和谐的美，有了发现美、欣赏美的意识；统一定义的推导需要娴熟的代数恒等变形的技能，整个推导过程渗透了特殊到一般，具体到抽象的数学思想.一、圆锥曲线的统一定义1．定义平面内到一定点F 与到一条定直线l ( 点F 不在直线l 上)的距离之比为常数e 的点的轨迹叫圆锥曲线.①当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆；②当e= 1 时, 点的轨迹是抛物线；③当e>1 时, 点的轨迹是双曲线，其中常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l就是该圆锥曲线的准线.2．焦半径：圆锥曲线上的点与焦点的连线段叫做焦半径.运用圆锥曲线的统一定义，可以推导出曲线上一点到焦点的距离就是焦半径，一般用点的坐标和离心率表示.3．注意事项（1）统一定义是充分必要条件，即满足条件的点一定在圆锥曲线上，反之，圆锥曲线上的任意一点也满足条件.（2）焦点与准线要对应，对于椭圆或双曲线，其上的一点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于它的离心率。
这里的“相应”指的是：“左焦点对应左准线”、“右焦点对应右准线”；特别地，对于焦点在x 轴上的双曲线来说，右支上任意一点到左焦点的距离与这点到左准线的距离之比也等于离心率.（3）准线与圆锥曲线一定没公共点.（4）当点F在直线l上时，设平面内动点M到直线l的距离是d，且MFed=，若1e>，则动点M的轨迹是过F点与直线l成等锐角的两条相交直线；若1e=，则动点M的轨迹是过F点与直线l成等直角的一条直线；若1e<，则动点M的轨迹不存在.二、圆锥曲线的几何性质说明：通径是过圆锥曲线的一个焦点与对称轴垂直的弦叫做通径，焦准距是焦点到对应准线的距离.三、直线与圆锥曲线的位置关系利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程有几个根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系；涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便.1．直线:l y kx b =+与圆锥曲线C ：(,)0f x y =交于点111(,)P x y ，222(,)P x y , 由20(0)(,)0y kx bAx Bx C A f x y =+⎧⇒++=≠⎨=⎩。
圆锥曲线统一定义的应用
圆锥曲线统一定义的应用一、圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线，在解题过程中，我们经常用到它们的统一定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当01e <<时，轨迹是椭圆；当1e >时，轨迹是双曲线；当1e =时，轨迹是抛物线．其中，点F 是曲线的焦点，直线l 是对应于焦点F 的曲线的准线，e 为离心率．圆锥曲线的统一定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系起来，在解相关的题目时，巧妙运用统一定义，能起到化繁为简的作用，使问题简洁明快的得以解决．二、圆锥曲线统一定义的应用1．求距离问题例1 椭圆22110036x y +=上一点P 到左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离是多少？解：由第一定义，点P 到右焦点的距离为2614a -=，再由统一定义，得14810e d ==， ∴352d =，所以点P 到右准线的距离为352． 2．求最值问题例2 已知椭圆方程为2211612x y +=，右焦点为F ，(21)A ，为其内部一点，P 为椭圆上一动点，求P 点坐标，使2PA PF +最小．解：如图，由题意得4a =，b =，∴2c =，12c e a ==，由统一定义知2PF 即为P 到右准线的距离， 因此，要使2PA PF +最小，P 点除了应在y 轴的右侧外，还要使AP 与过P 点且与准线垂直的线共线即可，由22111612y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，，解得P 点坐标为13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，． 3．求轨迹方程例3 点M 与点(02)F -，的距离比它到直线:30l y -=的距离小1，求点M 的轨迹方程．解：由题意可知，点M 与点(02)F -，的距离和它到直线2y =的距离相等，根据定义知，轨迹是抛物线．因此22p =，∴28p =，故点M 的轨迹方程是28x y =-．4．求参数范围问题例4 在平面直角坐标系中，若方程222(21)(23)m x y y x y +++=-+表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为（ ）． Ａ．(01)， Ｂ．(1)+∞，Ｃ．(05)， Ｄ．(5)+∞，=，此式可看成点()x y ，到定点(01)-，的距离与到直线230x y -+=由统一定义<，所以51m>，故答案为Ｄ．。
高二数学圆锥曲线的统一定义PPT优秀课件
| PF2 | e d
所以d=
1
e |PF2|=24
例1已知双曲线 x2 y上2一点1P到左焦点的
64 36
距离为14，求P点到右准线的距离.
分 析 :两 准 线 间 距 离 为 2a2 c
法二:设点P到左准线的距离为d
a8,b6,c10,14e c 5
d
a4
d 14456 又 2a2 26464
课堂小结
1.圆锥曲线的统一定义 2.求点的轨迹的方法 3.数形结合的思想
作业
<<创新设计>>
练一练
1.动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1)的距离 之比为0.5,则点P的轨迹是 双曲线
1 2
x4
2.
中心在原点,准线方程为x
x2 y2
4,离心率为
1 2
1
的椭圆方程是 4 3
3. 动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线
y
D
O
P A
x
F
拓展延伸
1.已知P为双曲线x2 16
y2 9
1右支上的一点,F1, F2
分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3:2，试求点
P(x0, y0)的坐标。
2.已知双曲线x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2 3
1左、右焦点分别为F1, F2，
双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且
d,PF1,PF2成等比数列，试求点P(x0, y0)的坐标.
2
练一练
1 2
x4
1.
中心在原点,准线方程为x4,离心率为
x2 y2 1
1 2
的椭圆方程是 4 3
圆锥曲线的统一定义复习
圆锥曲线的统一定义班级： 姓名： 组内评价： 教师评价： 【学习目标】1、掌握圆锥曲线的统一定义，并能进行简单应用2、会写出圆锥曲线的准线方程．【重难点】圆锥曲线统一定义的应用 【自主预习案】 知识梳理：1、圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于e 的点的轨迹， 当10<<e 时，它表示椭圆； 当1>e 时，它表示双曲线； 当1=e 时，它表示抛物线．2、对于椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 和双曲线)00(2222>>=-b a by a x ，中，与)0,(c F 对应的准线方程是l ：c a x 2=，与)0,(c F -')对应的准线方程是l '：ca x 2-=；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为：ca y 2±=3、圆锥曲线的焦半径定义：连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径 ①椭圆：点P 到右焦点2F 焦半径：a cx c aPF e d PF =-==222⇒ex a PF -=2，],[a a x -∈⇒],[2c a c a PF +-∈ 点P 到右焦点1F 焦半径：a ccax PF e d PF =+==211⇒ex a PF +=2，],[a a x -∈⇒],[1c a c a PF +-∈②双曲线：点),(y x P 在右支上：a ca caPF e d PF =-==222⇒a ex PF -=2，）+∞∈,[a x ⇒）+∞-∈,[2a c PF【合作探究案】探究问题一：圆锥曲线统一定义求基本量1、中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为12的椭圆的标准方程是_______．2、双曲线x 215－y 2＝1的准线方程为________．3、焦点坐标为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则准线方程为x ＝±52的椭圆的标准方程为______.4、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，右准线为x ＝12，则右焦点的坐标为________．探究问题二：利用圆锥曲线的统一定义求距离问题1、已知抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为2、已知双曲线252x －92y =1的左支上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜等于 （ ）A ．4B ．2C ．1D ．32 3、椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若PF 1＝3PF 2，则P 点到左准线的距离是________．4、椭圆x 225＋y 29＝1上点P 到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________．5、已知椭圆192522=+y x 上一点到左准线的距离为5，则它到左焦点的距离为 6、已知双曲线14922=-y x 上一点P 到右焦点距离为3，则P 到左准线的距离为 探究问题三：利用圆锥曲线统一定义转换求最值1、已知P 为双曲线2213x y -=右支上的一个动点，F 为双曲线的右焦点，若点A 的坐标为(3,1)，则2|||PA PF 的最小值是__2、已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点．(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值；(2)求MB ＋54MA 的最小值及此时点M 的坐标．3、已知双曲线x 24－y 212＝1和点A (4,1)，F 是双曲线的右焦点，P 是双曲线上任意一点，求P A ＋12PF 的最小值．探究问题四：利用圆锥曲线的统一定义求离心率1、已知椭圆)0(2222>>=+b a by a x 的焦点到相应准线距离等于a ，则椭圆的离心率为2、已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的一条准线方程为x ＝32，则a ＝______，该双曲线的离心率为______．3、椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是4、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该离心率e 的取值范围是 ．圆锥曲线的统一定义班级： 姓名： 组内评价： 教师评价： 【学习目标】1、掌握圆锥曲线的统一定义，并能进行简单应用2、会写出圆锥曲线的准线方程．【重难点】圆锥曲线统一定义的应用 【自主预习案】 知识梳理：1、圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于e 的点的轨迹， 当10<<e 时，它表示椭圆； 当1>e 时，它表示双曲线； 当1=e 时，它表示抛物线．2、对于椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 和双曲线)00(2222>>=-b a by a x ，中，与)0,(c F 对应的准线方程是l ：c a x 2=，与)0,(c F -')对应的准线方程是l '：ca x 2-=；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为：ca y 2±=3、圆锥曲线的焦半径定义：连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径 ①椭圆：点P 到右焦点2F 焦半径：a cx c aPF e d PF =-==222⇒ex a PF -=2，],[a a x -∈⇒],[2c a c a PF +-∈ 点P 到右焦点1F 焦半径：a ccax PF e d PF =+==211⇒ex a PF +=2，],[a a x -∈⇒],[1c a c a PF +-∈②双曲线：点),(y x P 在右支上：a ca caPF e d PF =-==222⇒a ex PF -=2，）+∞∈,[a x ⇒）+∞-∈,[2a c PF【合作探究案】探究问题一：圆锥曲线统一定义求基本量1、中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为12的椭圆的标准方程是_______．x 23＋y 24＝12、双曲线x 215－y 2＝1的准线方程为________．解 易知a 2＝15，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝16，即c ＝4，则双曲线的准线方程为x ＝±154.3、焦点坐标为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则准线方程为x ＝±52的椭圆的标准方程为______.解由题意知c ＝2，则a 2c ＝a 22＝52，故a 2＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆的方程为x 25＋y 2＝1.4、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，右准线为x ＝12，则右焦点的坐标为________．解据题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2c ＝12，解得a ＝1，c ＝2，则右焦点的坐标为(2,0)．探究问题二：利用圆锥曲线的统一定义求距离问题1、已知抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为 22、已知双曲线252x －92y =1的左支上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜等于 （ A ）A ．4B ．2C ．1D ．32 3、椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若PF 1＝3PF 2，则P 点到左准线的距离是________．解析 a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴准线x ＝a 2c ＝41＝4，两准线间距离为8，设P 到左准线的距离为d 1，P 到右准线的距离为d 2. ∵PF 1∶PF 2＝3∶1.又∵PF 1d 1＝e ，PF 2d 2＝e ，∴d 1∶d 2＝3∶1.又d 1＋d 2＝8，∴d 1＝8×34＝6.4、椭圆x 225＋y 29＝1上点P 到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________．9,1解析 由PFa2c－x 0＝e 推得PF ＝a －ex 0，又－a ≤x 0≤a ，故PF 最大值为a ＋c ，最小值为a －c .5、已知椭圆192522=+y x 上一点到左准线的距离为5，则它到左焦点的距离为 4 6、已知双曲线14922=-y x 上一点P 到右焦点距离为3，则P 到左准线的距离为 131327探究问题三：利用圆锥曲线统一定义转换求最值1、已知P 为双曲线2213x y -=右支上的一个动点，F 为双曲线的右焦点，若点A 的坐标为(3,1)，则2|||PA PF 的最小值是__32、已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点．(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值；(2)求MB ＋54MA 的最小值及此时点M 的坐标．解： (1)如图所示，由x 225＋y 29＝1，得a ＝5，b ＝3，c ＝4. 所以A (4,0)为椭圆的右焦点，F (－4，0)为椭圆的左焦点． 因为MA ＋MF ＝2a ＝10， 所以MA ＋MB ＝10－MF ＋MB .因为|MB －MF |≤BF ＝(－4－2)2＋(0－2)2＝210， 所以－210≤MB －MF ≤210. 故10－210≤MA ＋MB ≤10＋210，即MA ＋MB 的最大值为10＋210，最小值为10－210.(2)由题意得，椭圆的右准线l 的方程为x ＝254.由图可知，点M 到右准线的距离为MM ′， 由圆锥曲线的统一定义，得MA MM ′＝e ＝45，所以54MA ＝MM ′. 所以MB ＋54MA ＝MB ＋MM ′.由图可知，当B ，M ，M ′三点共线时，MB ＋MM ′最小， 即BM ′＝254－2＝174.当y ＝2时，有x 225＋229＝1，解得x ＝553(舍去负值)， 即点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫553，2. 故MB ＋54MA 的最小值为174，此时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫553，2.3、已知双曲线x 24－y 212＝1和点A (4,1)，F 是双曲线的右焦点，P 是双曲线上任意一点，求P A ＋12PF 的最小值．【解】 由双曲线的方程，知a ＝2，b ＝23，∴c ＝4，离心率e ＝ca ＝2，右准线的方程为x ＝1，设点P 到右准线的距离为d ，由圆锥曲线的定义，有PF d ＝2，即12PF ＝d ，如图所示，过P 作右准线的垂线，垂足为D ，则P A ＋12PF ＝P A ＋d ＝P A ＋PD ，所以当P ，A ，D 三点共线时，P A ＋PD 的值最小，为4－1＝3.探究问题四：利用圆锥曲线的统一定义求离心率1、已知椭圆)0(2222>>=+babyax的焦点到相应准线距离等于a，则椭圆的离心率为215-2、已知双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的一条准线方程为x＝32，则a＝______，该双曲线的离心率为______．3233解析由已知得a2a2＋1＝32，化简得4a4－9a2－9＝0，解得a2＝3.又∵a>0，∴a＝3，离心率e＝ca＝3＋13＝233.3、椭圆22221()x ya ba b+=>>0的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝22a bcc c-=， |PF|∈[a－c,a＋c] 于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c21112cac ca a⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或，又e∈(0,1) 故e∈1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭4、已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF=，则该离心率e的取值范围是．)1,12[-。
高中数学-圆锥曲线的统一定义
高中数学 圆锥曲线的统一定义教材：苏教版《选修2-1》2.5〔Page 51 —52〕XX 省XX 中学 宋健一． 教材分析：《圆锥曲线的统一定义》是选修2-1〔苏教版〕2.5节的内容。
教材对本章总体设计思路是“总—分—总〞，即先从整体上认识圆锥曲线的概念,了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系，再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。
最后在学生对直线、圆与圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问题。
本节从抛物线的定义出发，创设问题情境，提出类比、猜想，得到圆锥曲线的统一定义，从更高的形式上揭示圆锥曲线之间内在的关系，使学生充分感受数学的内在的、和谐的美，并且通过对研究过程的反思，培养欣赏美、发现美的能力和意识，提高数学审美意识。
二．目标分析：鉴于以上对教材的分析与学生的实际情况，确定如下几个方面为本课的教学目标： 〔一〕知识和技能：通过本节的学习，了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以与圆锥曲线的统一定义的简单应用。
〔二〕过程与方法通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，让学生观察、类比、归纳自主总结得出圆锥曲线的统一定义，并能初步运用； 〔三〕情感与价值观通过本节的学习，培养学生观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。
三．教法分析：教学重点：圆锥曲线统一定义的推导 教学难点：如何设出定直线方程〔准线方程〕 教学手段：多媒体辅助教学教学方法：设置适当情景，观察发现、探究合作、启发引导四．过程实录：F 的距离和到一条定直线(l F 不在l 上)的距离的比等于常数1的动点P 的轨迹是抛物线． 边说边在黑板上画出定点和定直线〔如图〕.〔等待1分钟〕设计意图：由一个简单问题引出话题，激发学生学习兴趣，同时逐步解决本节的学习障碍。
生: (多名同学合作)PF d 常数11. 若定点F在定直线l上，轨迹会是什么呢？2. 平面内到两个定点F1、F2的距离相等的点的轨迹会是什么呢？3. 平面内到两条定直线l1、l2的距离相等的点的轨迹会是什么呢？4. 平面内到一个定点F和一条定直线l的(F不在l上)距离不相等的点的轨迹会是什么呢？师：这些问题都挺有研究价值. 我们还可以提出其他一些问题，比如，将条件中的“在平面内〞去掉，点的轨迹会是什么呢？这些问题请同学们课后研究一下，并与你的同伴互相交流各自的探究结果.1的常数时，动点P的轨迹是什么曲线？.师生合作：学生说常数的数值，老师用几何画板画出对应的图像.〔学生有点想法了〕师：让常数自由变化，学生观察轨迹的变化〔一分钟〕.师：通过刚才的观察，你看出了些什么？常数与对应的图形有什么样的关联？生：可以看到当这个常数在〔0,1〕之间时，轨迹像椭圆，当这个常数大于1时，轨迹像双曲线。
湘教版高中数学选修4-1几何证明选讲：圆锥曲线的统一定义
c＝ a2＋b2＝
－m2 －m1 ＝ －m3 .
因为 －－m2m3 ＝1，且 m<0，所以 m＝－43. (2)符合抛物线定义．
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 圆锥曲线统一定义的应用 问题1 通过圆锥曲线的统一定义可以得到曲线上的点到焦点
与准线的什么关系？ 答案 设曲线上的点为M，焦点为F，M到准线的距离设 为d，则MdF＝e，∴MF＝de. 问题2 圆锥曲线的共同特征体现了一种什么数学思想？ 答案 转化思想，曲线上的点到准线的距离和到焦点的 距离可以相互转化．
圆锥曲线的统一定义
【学习要求】 1．通过例子，归纳出圆锥曲线的统一定义． 2．理解并掌握圆锥曲线的统一定义，感受圆锥曲线在解决实际
问题的作用，进一步体会数形结合的思想和变化统一观点． 【学法指导】
通过圆锥曲线的统一定义看三种圆锥曲线的联系，从变化的 观点看待圆锥曲线，利用它们的统一定义解决一些与焦点准 线有关的问题.
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问题3 若将例1中的条件“a>c>0”改为“c>a>0”，其他 条件不变，M的轨迹方程又是什么？ 答案 ax22－by22＝1 (其中b2＝c2－a2)
问题4 三种圆锥曲线有什么共同特征？ 答案 它们可以统一定义为：平面内到一定点F和到一 条定直线(F不在l上)的距离之比为常数e的点的轨迹． 0<e<1时，表示椭圆； e>1时，表示双曲线； e＝1时，表示抛物线； e是离心率，F是焦点，l是准线．
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跟踪训练2
已知椭圆
x2 4b2
＋
y2 b2
＝1上一点P到右焦点F2的距离
圆锥曲线知识点
高中数学选修圆锥曲线知识点圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。
当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。
椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）1．到两定点F1F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a} 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.图形方程标准方程12222=+byax(ba>>0) 12222=-byax(a>0,b>0) pxy22=参数方程为离心角）参数θθθ(sincos⎩⎨⎧==byax为离心角）参数θθθ(tansec⎩⎨⎧==byax⎩⎨⎧==ptyptx222(t为参数) 范围─a≤x≤a，─b≤y≤b |x| ≥ a，y∈R x≥0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0), (-a,0) (0,0)【备注1】双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .（2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222by a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . （3）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby ax .椭圆的常用结论： 1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF1F2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即22y a x b K AB-=。
圆锥曲线的统一定义PPT教学课件
俾斯麦主张采用什么方式 统一德国？
武力，战争
三次王朝战争
普鲁士
1864 丹 麦 1866 奥地利
1870 法 国
王朝战争是战争的一种形式，因参与者是王 国与王国或发起国是君主制国家帝国宪法》（1871年）
德意志帝国的建立（1871，凡尔赛）
x=-5的距离小2,则动点P的轨迹方程是 y2 12x
练一练
1.已知椭圆短轴长是2,长轴长是短轴长的2倍,则
其中心到准线距离是
.
2. 设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等
分,则此双曲线的离心率为
.
法国国旗
第10课：欧洲大陆的政体改革
课标要求：知道法兰西第三共
和国宪法的主要内容，比较德意志 帝国君主立宪制和法国共和制的异 同。
他在你心目中 的地位如何呢？
巴黎塞纳河畔的拿破仑墓
法国民主共和政体建立的曲折过程
法兰西王国
843—1792.8
法兰西第一共和国
1792.9 —1804
法兰西第一帝 国1804 —1814
波旁王朝复辟
1815 —1830
七月王朝
1830 —1848
法兰西第二共和国
1848 —1852
法兰西第二帝国
| PF2 | e d
所以d=
1
e|PF2|=24
例1已知双曲线 x2 y上2一点1P到左焦点的
64 36
距离为14，求P点到右准线的距离.
分析 : 两准线间距离为 2a2 c
法二 : 设点P到左准线的距离为d
a 8,b 6, c 10,14 e c 5
d
a4
d 14 4 56 又 2a2 2 64 64