2021年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线学案理

2021年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线学案理[知识梳理]1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.( )(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )(4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与y 2b 2－x 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(选修A1－1P 53T 3)已知椭圆x 28＋y 25＝1和双曲线x 2m－y 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±36y B ．y ＝±36x C ．x ＝±22y D ．y ＝±22x 答案 D解析 由椭圆x 28＋y 25＝1和双曲线x 2m－y 2＝1有公共的焦点，得m ＋1＝8－5.所以m ＝2，所以双曲线方程为x 22－y 2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .故选D.(2)(选修A1－1P 51例3)已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为________．答案5解析 因为焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以a b ＝12，即b ＝2a .由c2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋4a 2＝5a 2，即c 2a 2＝5，所以e ＝ca＝ 5.3．小题热身(1)(xx·全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m答案 A解析 由题意知，双曲线的标准方程为x 23m －y 23＝1，其中a 2＝3m ，b 2＝3，故c ＝a 2＋b2＝3m ＋3，不妨设F 为双曲线的右焦点，故F (3m ＋3，0)．其中一条渐近线的方程为y ＝1m x ，即x －my ＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3·m ＋1|1＋(－m )2＝3，故选A. (2)(xx·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案 2解析 由已知得|AB |＝|CD |＝2b2a，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b2a＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去)．题型1 双曲线的定义及应用典例1 (xx·湖北武汉调研)若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|PA |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12利用双曲线定义得到|PF |＋|PA |＝2a ＋|PB |＋|PA |，再利用|PA |＋|PB |≥|AB |求出最小值．答案 B解析 由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|PA |＝4＋|PB |＋|PA |≥4＋|AB |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号． ∴|PF |＋|PA |的最小值为9.故选B.典例2(xx·河北邯郸模拟)设动圆C 与两圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝4，C 2：(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C 的轨迹方程为________．根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差，然后用定义法求解．答案x 24－y 2＝1解析 设圆C 的圆心C 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题设知r ＞2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r ＋2，|CC 2|＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r －2，|CC 2|＝r ＋2，∴||CC 1|－|CC 2||＝4＜25＝|C 1C 2|，即圆心C 的轨迹L 是以C 1，C 2为焦点，4为实轴长的双曲线，∴L 的方程为x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫422－y 2(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝1，即x 24－y 2＝1. 方法技巧应用双曲线定义需注意的问题1.在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F 1F 2|，否则轨迹是线段或不存在．2.求双曲线方程时，注意用标准形式．冲关针对训练1．(xx·衡水模拟)已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P的值等于( )A.45B.74C.54D.7答案 A解析 由x 216－y 29＝1得a ＝4，b ＝3，c ＝5.结合双曲线定义及正弦定理得|sin A －sin B |sin P ＝||PA |－|PB |||AB |＝2a 2c ＝45，故选A.2．已知双曲线x 216－y 29＝1上有一点P ，F 1，F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝π3，则△PF 1F 2的面积为________．答案 9 3解析 由题意，得|F 1F 2|＝216＋9＝10. 因为⎩⎪⎨⎪⎧||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3＝100，所以|PF 1|·|PF 2|＝36.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝9 3.题型2 双曲线的标准方程及应用典例 (xx·兰州检测)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 本题采用方程法．答案 D解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝22，①2x 0·2y 0＝2b ，②y 0＝b 2x 0，③由①③得x 20＝164＋b 2，④所以y 20＝b 24×164＋b 2＝4b24＋b2，⑤由②④⑤可得b 2＝12.所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.[条件探究1] 若将典例中条件变为“以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”，求双曲线的方程．解 因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43.又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1.[条件探究2] 若将典例中变为“双曲线过点(2,1)，且双曲线与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点”，求双曲线的方程．解 椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.方法技巧双曲线标准方程的求解方法1．定义法． 2．待定系数法．提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．冲关针对训练1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y25＝1 D.3x 25－3y220＝1 答案 A解析 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.故选A.2．(xx·福建漳州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 为双曲线C 右支上异于顶点的一点，△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(1,0)，且P 与点F 1关于直线y ＝－bx a对称，则双曲线的方程为________________．答案 x 2－y 24＝1解析 设点A (1,0)，因为△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(1,0)，则|PF 1|－|PF 2|＝|AF 1|－|AF 2|，所以2a ＝(c ＋1)－(c －1)，则a ＝1.因为点P 与点F 1关于直线y ＝－bx a对称，所以∠F 1PF 2＝π2，且|PF 1||PF 2|＝b a＝b ，结合|PF 1|－|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝4＋4b 2，可得b ＝2.所以双曲线的方程为x 2－y 24＝1.题型3 双曲线的几何性质角度1 与双曲线有关的范围问题(多维探究)典例 (xx·全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233根据已知MF 1→·MF 2→<0，列出y 0的不等式求解．答案 A解析 不妨令F 1为双曲线的左焦点，则F 2为右焦点，由题意可知a 2＝2，b 2＝1，∴c2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0)·(3－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝x 20＋y 20－3.又知x 202－y 20＝1，∴x 20＝2＋2y 20，∴MF 1→·MF 2→＝3y 20－1<0.∴－33<y 0<33，故选A.[条件探究] 将本例中条件“MF 1→·MF 2→<0”改为“MF 1→·MF 2→＝0”，求△MF 1F 2的面积． 解 由MF 1→·MF 2→＝0得MF 1⊥MF 2，知△MF 1F 2为直角三角形．设M 为双曲线右支上一点，则|MF 1|－|MF 2|＝22，|MF 1|2＋|MF 2|2＝(|MF 1|－|MF 2|)2＋2|MF 1|·|MF 2|＝12，得|MF 1|·|MF 2|＝2，所以S △MF 1F 2＝12·|MF 1|·|MF 2|＝1.角度2 与双曲线渐近线有关的问题典例 (xx·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．涉及曲线交点时，考虑用设而不求的方法．答案 y ＝±22x 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pb 2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 角度3 与双曲线离心率有关的问题典例 (xx·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2将等式sin ∠MF 2F 1＝13转化为关于a ，b ，c 的等式．答案 A解析 由MF 1⊥x 轴，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∴|MF 1|＝b 2a .由sin ∠MF 2F 1＝13，可得cos ∠MF 2F 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，又tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 22ac ，∴b 22ac ＝13223，∴b 2＝22ac ，∵c 2＝a 2＋b 2⇒b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－22ac ＝0⇒e 2－22e －1＝0，∴e ＝ 2.故选A. 方法技巧与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略1．双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.2．求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．3．求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程xa±yb＝0.冲关针对训练1．(xx·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2答案 D解析 设双曲线E 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则A (－a,0)，B (a,0)，不妨设点M 在第一象限内，则易得M (2a ，3a )，又M 点在双曲线E 上，于是(2a )2a 2－(3a )2b2＝1，可得b 2＝a 2，∴e ＝1＋b 2a2＝ 2.故选D.2．(xx·成都统考)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析 设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14，所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x ， 即x ±2y ＝0.故选A.题型4 直线与双曲线的综合问题典例1以P (1,8)为中点作双曲线为y 2－4x 2＝4的一条弦AB ，求直线AB 的方程． 本题采用“点差法”．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21－4x 21＝4，y 22－4x 22＝4，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)，∵弦AB 的中点是P (1,8)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝16. ∴16(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)， ∴直线AB 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝12， ∴直线AB 的方程为y －8＝12(x －1)，即直线AB 的方程为x －2y ＋15＝0.典例2 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．(2)直线与双曲线联立，用设而不求的方法，列出不等式，然后求解．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，于是a 2＋b 2＝22，b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2.由OA →·OB →>2，得x A x B ＋y A y B >2.x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，又∵k 2<1，∴13<k 2<1， 故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 方法技巧直线y ＝kx ＋m 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的位置关系的分析：1．代数法⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y2b2＝1，消去y ，得(b 2－a 2k 2)x 2－2kma 2x －a 2(m 2＋b 2)＝0.(1)二次项系数为0时，直线L ⎝⎛⎭⎪⎫k ＝±b a 与双曲线的渐近线平行或重合． 重合：无交点；平行：有一个交点．(2)二次项系数不为0时，上式为一元二次方程，Δ>0⇔直线与双曲线相交(两个交点)； Δ＝0⇔直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线相离．2．几何法：运用数形结合思想考查直线与渐近线的位置关系，转化为其斜率的大小关系．冲关针对训练若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*) ∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)＞0，即⎩⎨⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜ 2.故k 的取值范围是{k |1＜k ＜2}． (2)由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63， 整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1＜k ＜2，∴k ＝52，所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)， 得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(45m,8m )．∵点C 是双曲线上一点， ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14.1.(xx·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案 A解析 由题意可知：c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2，其中c 为半焦距， ∴2c ＝2×2|m |＝4，∴|m |＝1，∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0， ∴－m 2<n <3m 2，∴－1<n <3.故选A.2．(xx·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B解析 解法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k >0)，即x 24k －y 25k＝1，∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B. 解法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ，∴b a ＝52②，联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.3．(xx·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．答案233解析 如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，∴点A 到l 的距离d ＝aba 2＋b 2. 又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ，∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32MA ＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233. 4．(xx·兰州诊断)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋eb的最小值为________．答案263解析 由题意，可得k ＝b a ＝tan π3＝ 3.∴b ＝3a ，则a 2＝b 23，∴e ＝1＋b 2a2＝2.∴a 2＋e b ＝b 23＋2b ＝b 3＋2b≥2b 3×2b ＝263. 当且仅当b 2＝6，a 2＝2时取“＝”．[重点保分 两级优选练]一、选择题1．(xx·唐山统考)“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)<0，∴k <9或k >25，∴“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(xx·湖北黄冈二模)已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．2答案 B解析 由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∵F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B.3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1B.x 24－y 23＝1C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 D解析 设双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，①x 22a 2－y 22b 2＝1.②①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∴1＝b 2a 2·－23－53，∴5a 2＝2b 2.又a 2＋b 2＝7，∴a 2＝2，b 2＝5，故选D.4．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x 2－y 22＝1，得y ＝±2，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k 2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2，|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k216(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4， 解得k ＝±22，故这样的直线有3条．故选C. 5．(xx·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案 A解析 在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m.在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n.因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.由n >0，m >1可得m >n ，且m 2－2>0.从而e 21·e 22＝(m 2－1)(n 2＋1)m 2·n 2＝(m 2－1)2m 2·(m 2－2)，则e 21e 22－1＝(m 2－1)2m 2(m 2－2)－1＝1m 2(m 2－2)>0，即e 1e 2>1.故选A. 6．(xx·福建龙岩二模)已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4答案 B解析 由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.7．(xx·湖南十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线与直线x ＝a 2c分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB ＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，2)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c，－ab c ，∵60°＜∠AFB ＜90°，∴33＜k FB ＜1，∴33＜abc c －a 2c＜1，∴33＜a b ＜1，∴13＜a 2c 2－a2＜1，∴1＜e 2－1＜3，∴2＜e ＜2.故选B.8．(xx·福建漳州八校联考)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为( )A.52 B ．4 C.92 D ．9答案 C解析 由题意设焦距为2c ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，①由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③ ①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22，④ 将④代入③，得a 21＋a 22＝2c 2，∴4e 21＋e 22＝4c2a 21＋c 2a 22＝4(a 21＋a 22)2a 21＋a 21＋a 222a 22＝52＋2a 22a 21＋a 212a 22≥52＋22a 22a 21·a 212a 22＝92，当且仅当2a 22a 21＝a 212a 22，即a 21＝2a 22时，取等号．故选C. 9．(xx·青州市模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ D ．(0，＋∞)答案 A解析 设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )， 由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10， 即有m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1， 由双曲线的定义可得m －n ＝2a 2， 即有a 1＝5＋c ，a 2＝5－c (c <5)，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c ＋2c >10， 可得c >52，即有52<c <5.由离心率公式可得e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝c 225－c 2＝125c 2－1， 由于1<25c 2<4，则有125c2－1>13.则e 1·e 2的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.故选A. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 答案 D解析 ∵椭圆的离心率为32， ∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.故选D.二、填空题11．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．答案 10解析 依题意得，点F 1(－5,0)，F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|(|PF 2|＋1)－(|PF 1|－1)|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10.12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________．答案102解析 圆x 2＋y 2＝a 24的半径为a 2，由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP 的中点，设F ′(c,0)，由于O 是FF ′的中点，所以OE ⊥PF ，|OE |＝12|PF ′|⇒|PF ′|＝2|OE |＝a .由双曲线定义，|FP |＝3a ，因为FP 是圆的切线，切点为E ，所以FP ⊥OE ，从而∠FPF ′＝90°.由勾股定理，得|FP |2＋|F ′P |2＝|FF ′|2⇒9a 2＋a 2＝4c 2⇒e ＝102. 13．(xx·安徽江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为________．答案 2解析 由题意取F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2.14．(xx·贵州六校联考)我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________．答案3解析 设椭圆的半长轴为a 1，椭圆的离心率为e 1， 则e 1＝ca 1，a 1＝c e 1.设双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ，e ＝c a ，a ＝c e. |PF 1|＝x ，|PF 2|＝y (x >y >0)，则由余弦定理得4c 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ， 当点P 看作是椭圆上的点时， 有4c 2＝(x ＋y )2－3xy ＝4a 21－3xy ，① 当点P 看作是双曲线上的点时， 有4c 2＝(x －y )2＋xy ＝4a 2＋xy ，② ①②联立消去xy ，得4c 2＝a 21＋3a 2， 即4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫c e2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝4，又因为1e 1＝e ，所以e 2＋3e2＝4，整理得e 4－4e 2＋3＝0，解得e 2＝3，所以e ＝3， 即双曲线的离心率为 3. 三、解答题15．已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)．(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2 ＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0.所以OA →·OB →>2.综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2.16．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0， 解得－2<k <2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|. 所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8， 解得k ＝0或k ＝±62，又因为－2<k <2， 且k ≠±1，所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.。