[精品]2019八年级数学上册 第10讲 线段的垂直平分线培优(无答案)(新版)湘教版

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第10讲 线段的垂直平分线

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一、知识点

1.垂直平分线的定义：把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线

如图所示：直线CD 既垂直于线段AB ，又平分线段AB ，因此直线CD 是线段AB 的垂直平分线 注意：（1）直线CD 是线段AB 的垂直平分线，则CD ⊥AB ，OA=OB ； （2）若CD ⊥AB ，OA=OB ，那么直线CD 是线段AB

的垂直平分线. 2.线段的垂直平分线的性质与判定：

（1）性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. （2）判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上. 如图所示：若点P 在线段AB 的垂直平分线上，则PA=PB ；

反过来，若PA=PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上. 3.线段的垂直平分线的作法

如图，已知线段AB ，作线段AB 的垂直平分线. 作法：

（1） 分别以A 点和B 点为圆心，以大于

1

2

AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C 和点D ；.

（2）作直线CD ，直线

CD

就是线段AB 的垂直平分线. 二、典型例题

【例1】如图，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ， 交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.

变式练习：如图，DE 是△ABC 中AC 边上的垂直平分线，如果BC=9cm ，AB=11cm ，求△EBC 的周长.

【例2】如图，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.

(1) 求∠EAN 的度数. (2) 求△AEN 的周长.

(3) 判断△AEN 的形状.

变式练习：1. 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ，求证：BM =MN =NC ．

2. 如图，△ABC 中, ∠BAC =70°, BC=12,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. 求:∠EAN 的度数.

【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，求∠DBC 度数．

变式练习：如图，等腰△ABC 中，AB=AC ， AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，∠DBC=15°，则∠A 的度数是 度．

三、课堂练习

1. 在联谊会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在

他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC 的（ ） A ．三边中线的交点 B ．三条角平分线的交点 C ．三边垂直平分线的交点 D ．三边上高的交点

2．在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，DE 是AB 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连

D

C

O

B

A

P

D

C O

B

A

D

C

B

A

B

C

A

E D

A

B

C

D

E

M

N

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接BE ．下列结论①BE 平分∠ABC ；②AE=BE=BC；③△BEC 周长等于AC+BC ；④E 点是AC 的中点． 其中正确的结论有 （填序号）

3.在△ABC 中，AB=AC ，AH ⊥BC 于点H ，M 是AH 上一点，CD ⊥BM 的延长线于点D ，比较BM 和CD 的大小关系.

4.如图所示，长方形纸片ABCD ，AB=2，点E 在BC 上，若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在 AC 上的点F 处，若∠ACB=30°，求AC 的长.

5.如图，四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是CD 的中点，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， 求证：AB=AD.

6.如图所示，∠1=∠2，DE ∥AC ，EF ⊥AD 交BC 的延长线于点F ，求证：∠3=∠B.

7.如图所示，已知点P 是∠AOB 内一点，点P 关于OA ，

OB 的对称点分别为P 1，P 2，连接 ，P 1P 2，分别交OA 、OB 于点M 和N ，若，P 1P 2=5cm ，求△PMN 的周长

.

8.如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点M ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ， 若MN=4，△AMN 的周长为16，求BC 的长.

9．如图所示，在△ABC 中，AC=5，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，则AP+BP 的最小值是 ．

四、课外作业

1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，则∠DBC= 度．

2．如图，DE 是△ABC 中AC 边上的垂直平分线，如果BC=9cm ，AB=11cm ，求△EBC 的周长.

3.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=54°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF （E 在 BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，求∠OEC 大小.

M H D

C

B A F E D

C B

A F E D

C B A

3

21F

E D C B A P 2

P 1P

B O A E

D

A