【推荐】湘教版数学九年级下册2.5《直线与圆的位置关系》课件4.ppt
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2.5.1直线与圆的位置关系 课件【可编辑图片版】【共40张PPT】
题型三 有关圆的弦长问题 例 2 求直线 l：3x＋y－6＝0 被圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 截得 的弦长．
分析：弦心距、半弦长与半径构成的直角三角形求解．
解析：法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0 可化为x2＋(y－1)2＝5， 其圆心坐标为(0,1)，半径r＝ 5. 点(0,1)到直线l的距离为d＝|3×03＋2＋11－2 6|＝ 210， l＝2 r2－d2＝ 10，所以截得的弦长为 10. 法二：设直线l与圆C交于A、B两点．
所成的切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为
|0＋0－8| 2
－
1＝(4 2－1) km.
即DE的最短距离为(4 2－1) km.
[方法技巧] 求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤
1．认真审题，明确题意． 2．建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际 问题中建立直线与圆的方程． 3．利用直线与圆的方程的有关知识求解问题． 4．把代数结果还原为实际问题的解释．
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝ 51， ∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 51(m)．
答案：(1)B (2)2 51
易错辨析 忽略了圆的一个隐含条件 例 4 已知圆的方程为 x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点 A(1,2)， 要使过定点 A(1,2)作圆的切线有两条，则 a 的取值范围为________．
5，则弦长＝2
r2－d2＝4
5.
答案：4 5
题型一 直线与圆位置关系的判断
1．直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝
初三下数学课件(湘教版)-直线与圆的位置关系
解：过 O 作 OD⊥AC 于 D，在 Rt△AOD 中，∠A＝60°，OA＝m，∴AD＝
12m，OD＝ 23m.(1)⊙O 与 AC 相离，OD＞12，即：m＞ 33时，⊙O 与 AC 相 离； (2)当⊙O 与 AC 相切时，OD＝12，即 m＝ 33；
(3)当⊙O
与
AC
相交时，OD＜12，即
(1)解：当⊙P 在移动中与 AB 相切时，设切点为 M，连接 PM，则∠AMP ＝90°，∴△APM∽△ABC，∴AABP＝PBMC .∵AP＝t，AB＝ AC2＋BC2＝5， ∴5t ＝13，∴t＝53；
(2)证明：∵BC⊥AC，PD⊥AC，∴BC∥DP.当 t＝156 s 时，AP＝156，∴PC
【规范解答】 根据题意画图如下，过 C 作 CD⊥AB 于 D，
在 Rt△ABC 中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝ 62＋82＝10，∵21CD·AB＝12 BC·CA，∴CD＝BCA·BCA＝4180＝254cm. (1)当 r＝4 cm 时，r＜CD，∴直线 AB 与⊙C 相离； (2)当 r＝4.8 cm 时，r＝CD，∴直线 AB 与⊙C 相切； (3)当 r＝8 cm 时，r＞CD，∴直线 AB 与⊙C 相交．
12．如图，在直角梯形 ABCD 中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E 为 AB 上 一点，DE 平分∠ADC，CE 平分∠BCD.试判断以 AB 为直径的圆与 CD 的 位置关系．
解：过 E 作 EF⊥CD 于点 F，则有∠DFE＝∠CFE＝90°
，∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE＝∠FCE.∵∠CFE＝90°＝∠B，CE＝CE， ∴△BCE≌△FCE，∴EF＝BE.同理△ADE≌△FDE，EF＝AE，∴E 是 AB 的中点．∴以 AB 为直径的圆的圆心为 E，且 EA、EB、EF 是半径．∵EF ⊥CD，∴以 AB 为直径的圆与 CD 是相切关系．
初三下数学课件(湘教版)-直线与圆的位置关系
16．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，⊙O 与 AB、AC 分 别相切于 D、E 两点，连接 BO 并延长交 AC 于点 P，且 AP＝2，求⊙O 的 半径．
解：连接 OE、OD，则 OE⊥AC，OD⊥AB，BC＝ AB2－AC2＝ 102－82＝ 6，PC＝AC－AP＝8－2＝6，∴PC＝BC，∴△BCP 为等腰直角三角形，令 OE＝r，则 PE＝r，AE＝AD＝r＋2，OP＝ 2r，OB＝6 2－ 2r；BD＝10 －(r＋2)＝8－r，在 Rt△BOD 中，OB2＝BD2＋OD2，∴(6 2－ 2r)2＝(8－ r)2＋r2，解得 r＝1，∴⊙O 的半径为 1.
会进行与三角形内切圆有关的计算或证明 【例 2】如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，⊙O 是△ABC 的内切圆，现将 矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG.点 F、 G 分别在边 AD、BC 上，连结 OG、DG.若 OG⊥DG，且⊙O 的半径长为 1， 则下列结论不成立的是( A ) A．CD＋DF＝4 B．CD－DF＝2 3－3 C．BC＋AB＝2 3＋4 D．BC－AB＝2
13．如图，△ABC 的内心在 x 轴上，点 B 的坐标是(2,0)，点 C 的坐标是(0， －2)，点 A 的坐标是(－3，b)，反比例函数 y＝xk(x＜0)的图象经过点 A，则 k＝ －15 .
14．如图，点 P 为△ABC 的内心，延长 AP 交△ABC 的外接圆⊙O 于 D， 在 AC 延长线上有一点 E，满足 AD2＝AB·AE，求证：DE 是⊙O 的切线．
(2)解：连接 OF，则 OF⊥BC，∴Rt△BOF∽Rt△BCO，∴BBOF＝BBOC，∵在 Rt△BOC 中，BO＝6cm，CO＝8cm，∴BC＝ 62＋82＝10cm，∴B6F＝160， ∴BF＝3.6cm，∵AB、BC、CD 分别与⊙O 相切于 E、F、G，∴BE＝BF ＝3.6cm，CG＝CF.∵CF＝BC－BF＝10－3.6＝6.4cm，∴CG＝CF＝6.4 cm.
【最新】湘教版九年级数学下册第二章《直线与圆的位置关系》优质公开课课件
直线与圆的位置关系
●
O
●
●
O
O
(地平线)
●
●
O
O a(地平线)
一、直线与圆的位置关系 （用公共点的个数来区分）
特点： 直线和圆没有公共点，
C
叫直线和圆相离
特点：直线和圆有惟一的公共点，
..
.B
叫做直线和圆相切。
AA
这时的直线叫切线
惟一的公共点叫切点。 特点：直线和圆有两个公共点，
叫做直线和圆相交。
根据三角形的面积公式有:
1 2
CD
AB
1 2
AC
BC
D
CD AC BC 3 4 2.4cm
AB
5
即圆心C到AB的距离d=2.4cm.
（1）当r =2cm时 ∵d>r ，因此⊙C和直线AB相离 （，2）当r =2.4cm时，∵d=r ，因此⊙C和直线AB相切
（3）当r =3cm时 ∵d<r ，因此⊙C和直线AB相交 ，
d = r;
d > r;
练习：
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离 为d ：
1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有__2__个公共点.
2)若d=6.5cm ,则直线与圆__相__切__,
直线与圆有__1__个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆__相__离__,
公共点个数 圆心到直线距离 d与半径r的关系 公共点名称 直线名称
rd
2 d<r 交点 割线
相切
r d
1 d=r 切点 切线
相离
r d
0 d>r 无 无
在寻求真理的长河中，唯有学习， 不断地学习，勤奋地学习，才能越重 山跨峻岭。
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几何应用：∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B ∴PA=PB ∠APO=∠BPO OP⊥AB OP平分AB
归纳
知识点一 切线长定义
过圆外一点作圆的切线，这点和 的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
知识点二 切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等；这一点和圆心的连线
平分
，垂直平分切点所成的 ，平分切点所成的两 .
A E
P
Hale Waihona Puke QOF B
例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相 切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm,CA=13cm, 求AF、BD、CE的长.
A
E F
O
B
DC
例3 如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上
一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与
AC相切于点D.求证：DE∥OC.
图1
图2
图3
图4
首页
C
D
A
EO
B
课堂小结
归纳：在解决有关圆的切线长问题时， 往往需要构建基本图形. 常见的做法有：
（1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和两切线交点.
首页
随堂训练
1.如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，∠APB＝30°，则∠ACB＝（
）
A．60° B．75° C．105°
2.5.3 切线长定理
情景引入
有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能 测出这个锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲 试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?
BO
教师引导学生发现A、PB分A别为⊙O与PA、PB的切点， 连结OB,OA,则四边形OBAP是正方形,所以，圆的半径为A点 或B点的刻度，PA=PB.
D．120°
2.如图2，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与⊙O的切线，分别相交于C、D，已知
PA＝7cm，则△PCD的周长等于
.
3.如图3，边长为a的正三角形的内切圆半径是
.
4.如图4，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是
.
O
A
B
P
C
P
A C
O DB
A
B
B
C
A D OE
FC
知识点三 三角形的内切圆
1.与三角形
叫做三角形的内切圆.
2.三角形的 交点.
叫三角形的内心.三角形的内心是三角形三条 的
3.内心性质：三角形的内心到三角形 的距离相等.
首页
例题学习
例1 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， Q为A⌒B上一点，过点Q作⊙O 的切线，交PA、 PB点E、F，已知PA ＝12cm,∠P＝70°. 求：（1）△PEF的周长；（2）∠EOF的度数.
2.画一画，再折一折
（1）过⊙O外一点P画⊙O的切线，你能画几条？
（2）画好后，沿直线OP对折，你能发现什么？
证明你的发现，并用一句话概括出来.
（3）连接AB，OP与AB有怎样的关系？你又能得出什么结论？
首页
A
P O
B 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的两弧.
首页
合作探究
探究切线长的概念与切线长定理
（一）问题导学
1.如图，AB切⊙O于B，AO⊥BC，∠A＝30° ，则：
（1）∠ABO＝
°，∠BOE＝
°
（2）B⌒D＝
,B⌒E＝ EC,∠BOC＝∠
＝
B
A
O ED
°
C
概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长.如：线段AB的长就叫点A到⊙O的切线长.
归纳
知识点一 切线长定义
过圆外一点作圆的切线，这点和 的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
知识点二 切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等；这一点和圆心的连线
平分
，垂直平分切点所成的 ，平分切点所成的两 .
A E
P
Hale Waihona Puke QOF B
例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相 切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm,CA=13cm, 求AF、BD、CE的长.
A
E F
O
B
DC
例3 如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上
一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与
AC相切于点D.求证：DE∥OC.
图1
图2
图3
图4
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C
D
A
EO
B
课堂小结
归纳：在解决有关圆的切线长问题时， 往往需要构建基本图形. 常见的做法有：
（1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和两切线交点.
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随堂训练
1.如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，∠APB＝30°，则∠ACB＝（
）
A．60° B．75° C．105°
2.5.3 切线长定理
情景引入
有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能 测出这个锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲 试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?
BO
教师引导学生发现A、PB分A别为⊙O与PA、PB的切点， 连结OB,OA,则四边形OBAP是正方形,所以，圆的半径为A点 或B点的刻度，PA=PB.
D．120°
2.如图2，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与⊙O的切线，分别相交于C、D，已知
PA＝7cm，则△PCD的周长等于
.
3.如图3，边长为a的正三角形的内切圆半径是
.
4.如图4，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是
.
O
A
B
P
C
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A C
O DB
A
B
B
C
A D OE
FC
知识点三 三角形的内切圆
1.与三角形
叫做三角形的内切圆.
2.三角形的 交点.
叫三角形的内心.三角形的内心是三角形三条 的
3.内心性质：三角形的内心到三角形 的距离相等.
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例题学习
例1 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， Q为A⌒B上一点，过点Q作⊙O 的切线，交PA、 PB点E、F，已知PA ＝12cm,∠P＝70°. 求：（1）△PEF的周长；（2）∠EOF的度数.
2.画一画，再折一折
（1）过⊙O外一点P画⊙O的切线，你能画几条？
（2）画好后，沿直线OP对折，你能发现什么？
证明你的发现，并用一句话概括出来.
（3）连接AB，OP与AB有怎样的关系？你又能得出什么结论？
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P O
B 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的两弧.
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合作探究
探究切线长的概念与切线长定理
（一）问题导学
1.如图，AB切⊙O于B，AO⊥BC，∠A＝30° ，则：
（1）∠ABO＝
°，∠BOE＝
°
（2）B⌒D＝
,B⌒E＝ EC,∠BOC＝∠
＝
B
A
O ED
°
C
概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长.如：线段AB的长就叫点A到⊙O的切线长.