高中数学 函数性质、做题规律总结 新人教A版必修1
高中数学人教A版必修第一册知识点总结
高中数学人教A版必修第一册知识点总结本册教材是高中数学人教版A版(2024)的必修第一册，总共包括了四个单元：集合与常用逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法、几何与向量。
接下来将对这四个单元的知识点进行总结。
一.集合与常用逻辑1.集合与元素-集合的表示方法：列举法、描述法、条件法-集合之间的关系：相等、含于、相交、并集、交集、互补集2.集合的运算-并集、交集、差集、补集-嵌套集合的化简-运算律：交换律、结合律、分配律3.常用逻辑关系-全称量词、存在量词-逻辑运算：与、或、非-条件命题、充分条件、必要条件4.命题及命题的逻辑运算-命题的分类：命题主体、命题联结词、命题陈述、命题基础-命题的逻辑运算：否定、合取、析取、蕴含、等价二.函数与方程1.函数的概念-自变量、因变量、函数值-射影函数、指示函数2.函数的表示方法-函数的解析式-函数的图像3.函数的性质-定义域、值域、对应法则、单调性、奇偶性、周期性-奇函数、偶函数-反函数4.一次函数-一次函数的解析式及图像-平移变换、伸缩变换5.二次函数-二次函数的解析式及图像-平移变换、伸缩变换-最值、对称轴、零点及判别式三.数列与数学归纳法1.数列的概念-有限数列、无限数列、数列的一般表示2.等差数列-等差数列的概念及公式-等差数列前n项和公式-通项公式的推导3.等比数列-等比数列的概念及公比-等比数列前n项和公式-通项公式及其推导4.递推数列-递推数列的概念及表示-递推公式5.数学归纳法-数学归纳法三个步骤：证明基础、证明步骤、加强归纳前提四.几何与向量1.向量的概念-向量的定义、表示方法、相等与运算-向量的数量表示-零向量、单位向量2.向量的线性运算-加法、减法、数乘-加减法运算律、数乘运算律3.向量的坐标表示-坐标运算、线性变换4.向量的数量积-向量的点乘、模长及其性质-向量的夹角及性质5.平面向量的应用-共线向量、垂直向量、平行向量-向量在直角坐标系中的投影-多边形面积与向量运算-向量与几何问题的应用以上是《高中数学人教A版(2024)必修第一册》的知识点总结。
新教材人教A版高一数学必修一知识点总结与经典例题 第三章函数的概念与性质
新教材人教A版高一数学必修一知识点总结第三章函数的概念与性质【考纲要求】序号考点课标要求1函数的概念在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
了解了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域了解在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。
了解通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
理解2函数的性质借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，最大值，最小值，理解它们的作用和实际意义理解结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义了解3幂函数通过具体实例，结合，，,，，的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。
了解4函数的应用（一）理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。
掌握3.1 函数的概念及其表示知识点总结3.1.1 函数的概念一、函数的概念1.一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任何一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。
其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值。
函数值的集合叫做函数的值域。
（1）判断一个对应关系是不是函数：①两个集合均为非空数集；②对集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应。
注意：可以一对一，多对一，不可一对多。
（2）判断一个图形是不是函数的图象作垂直于轴的直线，在定义域内左右平移直线，根据直线与图形是不是仅有一个公共点来判断，若是，则为函数图象，反之不是。
2.函数的三要素：定义域，值域，对应关系。
3.相等函数：如果两个函数的定义域相同且对应关系完全一致，则这两个函数相等。
二、区间的概念及函数定义域的求法1.区间的表示方法2.函数的定义域求法（1）具体函数的定义域①如果是整式，则定义域为；②如果是分式，则定义域是使分母不为的实数集合；③如果是偶次根式，其定义域是使根式内的式子不小于的实数集合；④如果是由以上几部分数学式子组成，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（2）抽象函数和复合函数的定义域①已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范围为，求的取值范围。
高一数学必修一中的函数图像与性质总结
高一数学必修一中的函数图像与性质总结在高一数学必修一中，函数是一个非常重要的概念，而函数的图像与性质则是理解和掌握函数的关键。
通过对函数图像的观察和分析，我们能够更直观地了解函数的特点和变化规律，从而更好地解决与函数相关的问题。
接下来，让我们一起对高一数学必修一中常见的函数图像与性质进行总结。
一、一次函数一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）。
其图像是一条直线。
当 k ＞ 0 时，函数图像从左到右上升，y 随 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，函数图像从左到右下降，y 随 x 的增大而减小。
b 的值决定了直线与 y 轴的交点坐标。
当 b ＞ 0 时，直线与 y 轴交于正半轴；当 b ＜ 0 时，直线与 y 轴交于负半轴；当 b ＝ 0 时，直线经过原点。
例如，函数 y ＝ 2x ＋ 1，k ＝ 2 ＞ 0，图像从左到右上升，b ＝ 1 ＞ 0，与 y 轴交于点（0，1）。
二、二次函数二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。
其图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。
抛物线的对称轴为 x ＝ b ／（2a）。
顶点坐标为（b ／（2a），（4ac b²）／（4a））。
例如，函数 y ＝ x² 2x 3，其中 a ＝ 1 ＞ 0，抛物线开口向上。
对称轴为 x ＝（－2) ／（2×1）＝ 1，顶点坐标为（1，－4）。
三、幂函数幂函数的一般形式为 y ＝x^α（α 为常数）。
常见的幂函数有 y ＝ x，y ＝ x²，y ＝ x³，y ＝ x^（1/2) 等等。
当α ＞ 0 时，函数在第一象限内单调递增；当α ＜ 0 时，函数在第一象限内单调递减。
例如，y ＝ x²在（0，＋∞）上单调递增，y ＝ x^（－1) 在（0，＋∞）上单调递减。
高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1
高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中数学中，函数是一个非常重要的概念，是数学的基础。
函数不仅在数学上有很多应用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
函数的图像和性质是我们学习函数的重要内容之一。
下面我将详细介绍高中数学中的14种函数图像和性质。
一、常数函数图像和性质：常数函数是指对于任何定义域内的自变量，其函数值都是一个固定的常数。
常数函数的图像是一个平行于x轴的直线，也可以看作是y轴上的一个点。
常数函数的性质包括：定义域是全体实数，值域是{常数}，奇偶性是偶函数。
二、一次函数图像和性质：一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k和b是常数。
一次函数的图像是一条直线，具有斜率k，截距b。
一次函数的性质包括：定义域是全体实数，值域是全体实数，当且仅当k=0时，为常数函数，奇偶性是奇函数。
三、二次函数图像和性质：二次函数是指函数的表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的抛物线。
二次函数的性质包括：定义域是全体实数，值域受a的正负号和抛物线的开口方向影响，奇偶性当且仅当a=0时，为一次函数。
四、基本初等函数图像和性质：基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
它们都有各自的图像和性质。
1. 幂函数图像和性质：幂函数是指函数的表达式为y=xⁿ，其中n是一个实数，且n≠0。
幂函数的图像随着n的不同而变化，当n>0时，函数的图像是递增的曲线，当n<0时，函数的图像是递减的曲线。
幂函数的性质包括：定义域是正实数或负实数，值域受n的正负号影响，奇偶性当且仅当n为偶数时，函数关于y轴对称。
2. 指数函数图像和性质：指数函数是指函数的表达式为y=aⁿ，其中a是一个正实数，且a≠1，n是一个实数。
指数函数的图像随着a和n的取值不同而变化，当0<a<1时，函数的图像是递减的曲线，当a>1时，函数的图像是递增的曲线。
高中数学 第三章函数的概念与性质函数的概念讲义 新人教A版必修一第一册
3.1.1 函数的概念最新课程标准：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．知识点一函数的概念1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．显然，值域是集合B的子集．状元随笔对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二区间的概念1．区间的几何表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．3．无穷大的几何表示定义 符号 数轴表示{x |x ≥a } [a ，＋∞) {x |x >a } (a ，＋∞) {x |x ≤b } (－∞，b ] {x |x <b }(－∞，b )状元随笔 关于无穷大的2点说明 (1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号． 知识点三 同一函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． [教材解难]1．教材P 60思考根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h 运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到t 的变化范围．2．教材P 63思考反比例函数y ＝kx(k ≠0)的定义域为{x |x ≠0}，对应关系为“倒数的k 倍”，值域为{y |y ≠0}．反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集A ＝{x |x ≠0}中的任意一个x 值，按照对应关系f “倒数的k (k ≠0)倍”，在集合B ＝{y |y ≠0}中都有唯一确定的数k x和它对应，那么此时f ：A →B 就是集合A 到集合B 的一个函数，记作f (x )＝k x(k ≠0)，x ∈A .3．教材P 66思考初中所学习的函数传统定义与高中的近代定义之间的异同点如下：不同点：传统定义从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系；而近代定义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系．相同点：两种对应关系满足的条件是相同的，“变量x 的每一个值”以及“集合A 中的每一个数”，都有唯一一个“y 值”与之对应．[基础自测]1．下列从集合A 到集合B 的对应关系f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝{平行四边形}，B ＝R ，f ：求A 中平行四边形的面积解析：对B ，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数的定义；对C ，集合A 中的元素0取倒数没有意义，在集合B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D ，A 集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A 2．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2) D ．[1,2)∪(2，＋∞) 解析：使函数f (x )＝x －1x －2有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1，且x ≠2.所以函数的定义域为{x |x ≥1且x ≠2}．故选D. 答案：D3．下列各组函数表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝x ＋1，x ∈Z 与y ＝x －1，x ∈Z解析：A 中两函数定义域不同；B 中两函数值域不同；D 中两函数对应法则不同． 答案：C4．用区间表示下列集合：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12≤x <5＝________； (2){x |x <1或2<x ≤3}＝________.解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x |－12≤x <5}＝[－12，5)． (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x |x <1或2<x ≤3}＝(－∞，1)∪(2,3]．答案：(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2,3]题型一 函数的定义[经典例题]例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A 到集合B 的函数： (1)A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8； (2)A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，对应关系如图所示；(3)A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝|x |；(4)A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1，n 为偶数时，f (n )＝1. 【解析】 对于集合A 中的任意一个值，在集合B 中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f 是从集合A 到集合B 的一个函数．(2)集合A 中的元素3在集合B 中没有对应元素，且集合A 中的元素2在集合B 中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A 到集合B 的函数．(3)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A 到集合B 的函数. 1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A ，但值域不一定是非空数集B ，也可以是集合B 的子集．2．判断从集合A 到集合B 的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A 中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．方法归纳(1)判断一个集合A 到集合B 的对应关系是不是函数关系的方法：①A ，B 必须都是非空数集；②A 中任意一个数在B 中必须有并且是唯一的实数和它对应．[注意] A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1 (1)设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 (2)下列对应是否是函数？ ①x →3x，x ≠0，x ∈R ；②x →y ，其中y 2＝x ，x ∈R ，y ∈R . 解析：(1)图号 正误 原因① × x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性② √ 同时满足任意性与唯一性③ × x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性 ④ ×x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性(1)①x∈[0，1]取不到[1，2]. ③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围.④可取一个x 值，y 有2个对应，不符合题意.(2)①是函数．因为任取一个非零实数x ，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x ＝1时，y ＝±1，即一个非零自然数x ，对应两个y 的值，不符合函数的概念．答案：(2)①是函数②不是函数 (2)关键是否符合函数定义．题型二 求函数的定义域 [经典例题] 例2 (1)函数f (x )＝x ＋1x －1的定义域是( ) A.[－1,1)B ．[－1,1)∪(1，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．(1，＋∞)(2)求下列函数的定义域． ①y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；②y ＝(x －1)0|x |＋x.【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，解得x ≥－1，且x ≠1.所以所求函数的定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)． 【答案】 (1)B(1)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列不等式组求定义域． 【解析】(2)①要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x 2－x －6≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，得x >－2且x ≠3.所以所求函数的定义域为(－2,3)∪(3，＋∞)． ②要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，|x |＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x >0，所以x >0且x ≠1，所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 【答案】(2)见解析(2)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0,0的0次幂没有意义，列不等式组求定义域．方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝6x 2－3x ＋2；(2)f (x )＝(x ＋1)|x |－x；(3)f (x )＝2x ＋3－12－x＋1x.解析：(1)要使函数有意义，只需x 2－3x ＋2≠0， 即x ≠1且x ≠2，故函数的定义域为{x |x ≠1且x ≠2}．(2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，解得x <0且x ≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)． (3)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0,2)． (1)分母不为0(2)⎩⎪⎨⎪⎧偶次根式被开方数≥0(x ＋1)0底数不为0(3)⎩⎪⎨⎪⎧偶次根式被开方数≥0分母不为0题型三 同一函数[教材P 66例3]例3 下列函数中哪个与函数y ＝x 是同一个函数？ (1)y ＝(x )2;(2)u ＝3v 3；(3)y ＝x 2； (4)m ＝n 2n.【解析】 (1)y ＝(x )2＝x (x ∈{x |x ≥0})，它与函数y ＝x (x ∈R )虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )不是同一个函数．(2)u ＝3v 3＝v (v ∈R )，它与函数y ＝x (x ∈R )不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )是同一个函数．(3)y ＝x2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x <0，x ，x ≥0，它与函数y ＝x (x ∈R )的定义域都是实数集R ，但是当x <0时，它的对应关系与函数y ＝x (x ∈R )不相同．所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )不是同一个函数．(4)m ＝n 2n＝n (n ∈{n |n ≠0})，它与函数y ＝x (x ∈R )的对应关系相同但定义域不相同．所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )不是同一个函数．教材反思判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3 试判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；(2)f (x )＝x x ，g (x )＝x x； (3)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (4)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2. 解析：应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型四 求函数的值域[经典例题] 例4 求下列函数的值域． (1)y ＝3－4x ，x ∈(－1,3]． (2)y ＝2xx ＋1. (3)y ＝x 2－4x ＋5，x ∈{1,2,3}． (4)y ＝x 2－4x ＋5.【解析】 (1)因为－1<x ≤3，所以－12≤－4x <4，所以－9≤3－4x <7， 所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1,3]的值域是[－9,7)． (2)因为y ＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1≠2， 所以函数y ＝2xx ＋1的值域为{y |y ∈R 且y ≠2}． (3)函数的定义域为{1,2,3}， 当x ＝1时，y ＝12－4×1＋5＝2，当x ＝2时，y ＝22－4×2＋5＝1，当x ＝3时，y ＝32－4×3＋5＝2， 所以这个函数的值域为{1,2}，(4)因为y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1，x ∈R 时，(x －2)2＋1≥1， 所以这个函数的值域为[1，＋∞)．状元随笔 (1)用不等式的性质先由x∈(－1,3]求－4x 的取值范围，再求3－4x 的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域． (3)将自变量x ＝1,2,3代入解析式求值，即可得值域． (4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域.方法归纳求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． (2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且ac ≠0)型的函数常用换元法．(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．跟踪训练4 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1； (3)y ＝1－x21＋x2；(4)y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x ≤－2)．解析：(1)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1，计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}． (2)因为x ≥0，所以x ＋1≥1， 即所求函数的值域为[1，＋∞)． (3)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，所以函数的定义域为R ， 因为x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]． (4)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4. 因为－5≤x ≤－2， 所以－4≤x ＋1≤－1. 所以1≤(x ＋1)2≤16. 所以－12≤4－(x ＋1)2≤3. 所以所求函数的值域为[－12,3]． (3)先分离再求值域 (4)配方法求值域一、选择题1．下列各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )解析：对于1个x 有无数个y 与其对应，故不是y 的函数．答案：A2．函数f (x )＝x ＋3＋(2x ＋3)3－2x 的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－32解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，3－2x >0，2x ＋3≠0，解得－3≤x <32且x ≠－32，故选B.答案：B3．已知函数f (x )＝－1，则f (2)的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．不确定解析：因为函数f (x )＝－1，所以不论x 取何值其函数值都等于－1，故f (2)＝－1.故选B.答案：B4．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x ＋1和y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 2和y ＝(x )2C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2解析：只有D是相同的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同．答案：D二、填空题5. 用区间表示下列数集．(1){x|x≥2}＝________；(2){x|3<x≤4}＝________；(3){x|x>1且x≠2}＝________.解析：由区间表示法知：(1)[2，＋∞)；(2)(3,4]；(3)(1,2)∪(2，＋∞)．答案：(1)[2，＋∞)(2)(3,4] (3)(1,2)∪(2，＋∞)6．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．解析：由f(x)的图象可知－5≤x≤5，－2≤y≤3.答案：[－5,5] [－2,3]7．若A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝________.解析：由A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，得A＝[－1，＋∞)，B＝[1，＋∞)，∴A∩B＝[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)三、解答题8．(1)求下列函数的定义域：①y＝4－x；②y＝1|x|－x；③y＝5－x＋x－1－1x2－9；(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．解析：(1)①4－x≥0，即x≤4，故函数的定义域为{x|x≤4}．②分母|x|－x≠0, 即|x|≠x，所以x<0.故函数的定义域为{x|x<0}．③解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5，且x ≠3}．(2)设矩形一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )， 所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧ x >012(a －2x )>0⇒0<x <a 2，定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2. 9．求下列各函数的值域：(1)y ＝x ＋1，x ∈{2,3,4,5,6}；(2)y ＝x 2－4x ＋6；(3)y ＝x ＋2x －1. 解析：(1)因为当x 分别取2,3,4,5,6时，y ＝x ＋1分别取3,4,5,6,7， 所以函数的值域为{3,4,5,6,7}．(2)函数的定义域为R .因为y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2，所以该函数的值域为[2，＋∞)．(3)设t ＝2x －1，则x ＝t 2＋12，且t ≥0. 问题转化为求y ＝1＋t 22＋t (t ≥0)的值域． 因为y ＝1＋t 22＋t ＝12(t ＋1)2(t ≥0)， 所以y 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 故该函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [尖子生题库]10．(1)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，求函数f (x －5)的定义域；(2)已知函数f (x －1)的定义域是[0,3]，求函数f (x )的定义域．解析：(1)由－1≤x －5≤5，得4≤x ≤10，所以函数f (x －5)的定义域是[4,10]．(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．。
人教版高中数学必修一函数及其性质题型总结及解题方法
(每日一练)人教版高中数学必修一函数及其性质题型总结及解题方法单选题1、函数y =sin2x ln |2x |的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．答案：A解析： 先求出函数定义域，由函数奇偶性的概念，得到y =sin2x ln |2x |是奇函数，排除CD 选项，再根据0<x <12时，函数的正负，即可得出结果.由y =sin2x ln |2x |得|2x |≠1，即x ≠±12，所以函数y =sin2x ln |2x |的定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)，关于原点对称，又sin (−2x )ln |−2x |=−sin2x ln |2x |，所以函数y =sin2x ln |2x |是奇函数，图像关于原点对称，排除CD ，又当0<x <12时，0<2x <1，所以sin2x >0，ln2x <0，因此y =sin2x ln |2x |<0，图像应在x 轴下方，故B 错，A正确.故选：A小提示：本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性，以及对数函数的性质即可，属于常考题型.2、已知函数f(2x)的定义域是[0,2]，则函数y =f(x −1)+f(x +1)的定义域是（ ）A ．{1}B ．[1,2]C ．[1,3]D ．[2,3]答案：C解析：由复合函数的定义域可得函数f(x)的定义域，再解不等式组即可得解.因为函数f(2x)的定义域是[0,2]，所以函数f(x)的定义域为[0,4]，若要使y =f(x −1)+f(x +1)有意义，则{0≤x −1≤40≤x +1≤4，解得x ∈[1,3]. 所以函数y =f(x −1)+f(x +1)的定义域是[1,3].故选：C.3、已知f (x )是一次函数，2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，则f (x )=（ ）A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −3答案：B解析：设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，根据题意列出方程组，求得k,b 的值，即可求解.由题意，设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，因为2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，可得{k −b =5k +b =1，解得k =3,b =−2， 所以f (x )=3x −2.故选：B. 填空题4、若f(x)={(7−a)x−3,x≤7x2−(a+9)x+15a,x>7是R上的增函数，则实数a的取值范围是__________．答案：[4,5]解析：根据分段函数的单调性，得到不等式组，解得即可；因为f(x)={(7−a)x−3,x≤7x2−(a+9)x+15a,x>7是定义在R上的增函数，所以{7−a>0 a+92≤77(7−a)−3≤49−7(a+9)+15a ，即{a<7a≤5a≥4，解得4≤a≤5，所以答案是：[4,5]5、函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=a x(a>1)．若对任意的x∈[0,2t+1]，均有f(x+t)≥[f(x)]3，则实数t的取值范围是________．答案：[−12,−49].解析：根据函数f(x)为偶函数，且在[0,+∞)单调递增，转化为|x+t|≥|3x|对任意x∈[0,2t+1]恒成立，进而可得结果.∵f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=a x(a>1)，∴f(x)=a|x| (a>1)，则[f(x)]3=(a|x|)3=a|3x|=f(3x)，则f(x+t)≥[f(x)]3等价于f(x+t)≥f(3x)，当x≥0时f(x)为增函数，则|x+t|≥|3x|，即8x2−2tx−t2≤0对任意x∈[0,2t+1]恒成立，设g(x)=8x2−2tx−t2，则{g(0)≤0g(2t+1)≤0⇔{−t2≤027t2+30t+8≤0，解得−23≤t≤−49，又2t+1≥0，所以−12≤t≤−49.所以答案是：[−12,−49].小提示：关键点点睛：本题的关键点是：依题意将问题转化为|x+t|≥|3x|对任意x∈[0,2t+1]恒成立.。
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结 第四章指数函数与对数函数
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结第四章指数函数与对数函数【考纲要求】序号考点课标要求1指数函数①通过对有理数指数幂且为整数，且，实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。
了解②通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念了解③能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
掌握2对数函数①理解对数的概念，及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数和常用对数理解②通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点掌握③知道对数函数与指数函数互为反函数.了解3二分法与求方程近似解①结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系了解②结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性。
掌握4函数与数学模型①理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。
在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。
理解②结合现实情境中的具体问题，利用计算公具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义。
理解③收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义。
了解4.1 指数知识点总结4.1.1 次方根与分数指数幂一、次方根的概念与性质1.次方根（1）定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且。
（2）次方根的性质①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数。
这时，的次方根用符号表示。
例如：，，。
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数。
这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示。
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第三章 函数概念与性质 知识点考点汇总及解题方法规律提炼
第三章函数概念与性质3.1.1.1函数的概念 (1)3.1.1.2函数概念的应用 (6)3.1.2.1函数的表示法 (10)3.1.2.2分段函数 (14)3.2.1.1函数的单调性 (21)3.2.1.2函数的最大(小)值 (25)3.2.2.1函数奇偶性的概念 (30)3.2.2.2函数奇偶性的应用 (35)3.3幂函数 (37)3.4函数的应用(一) (41)3.1.1.1函数的概念要点整理1．函数的概念(1)函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示对应关系的方法，引进符号f统一表示对应关系．温馨提示：(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间概念(a，b为实数，且a<b)3.其他区间的表示题型一函数关系的判断【典例1】(1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是( )[思路导引] 在“非空数集”A中“任取x”，在对应关系“f”作用下，B中“有唯一”的“数f(x)”与之“对应”，称f：A→B为集合A到集合B的一个函数．[解析](1)①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A 中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．[答案](1)见解析(2)C(1)判断对应关系是否为函数的2个条件①A、B必须是非空数集．②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．(2)根据图形判断对应是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l.②在定义域内平行移动直线l.③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．题型二用区间表示数集【典例2】把下列数集用区间表示，并在数轴上表示出来．(1){x|x≥3}；(2){x|x<－5}；(3){x|－4≤x<2或3<x≤5}．[思路导引] 用区间表示数集的关键是确定开、闭区间，含“或”的数集用符号“∪”连接区间．[解](1){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如图．(2){x|x<－5}用区间表示为(－∞，－5)，用数轴表示如图．(3){x|－4≤x<2或3<x≤5}用区间表示为[－4,2)∪(3,5]，用数轴表示如图．应用区间时的3个注意点(1)区间是数集，区间的左端点小于右端点．(2)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(3)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．[针对训练]3．已知全集U＝R，A＝{x|－1<x≤5}，则∁U A用区间表示为__________________．[解析]∁U A＝{x|x≤－1或x>5}＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)．[答案](－∞，－1]∪(5，＋∞)4．用区间表示不等式{x|x2－x－6≥0}的解集为______________________．[解析]不等式x2－x－6＝(x－3)(x＋2)≥0，解得x≥3或x≤－2，所以不等式的解集为{x|x≤－2或x≥3}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)．[答案](－∞，－2]∪[3，＋∞)题型三求函数的定义域【典例3】求下列函数的定义域．(1)y＝2＋3x－2；(2)y＝(x－1)0＋2x＋1；(3)y ＝3－x ·x －1； (4)y ＝(x ＋1)2x ＋1－－x 2－x ＋6.[思路导引] 函数定义域即是使自变量x 有意义的取值范围．[解] (1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1，且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎨⎧x ＋1≠0，－x 2－x ＋6≥0，即⎩⎨⎧x ≠－1，x 2＋x －6≤0，即⎩⎨⎧x ≠－1，(x ＋3)(x －2)≤0，解得－3≤x ≤2且x ≠－1，即函数定义域为{x |－3≤x ≤2且x ≠－1}．[变式] (1)将本例(3)中“y ＝3－x ·x －1”改为“y ＝(3－x )(x －1)”，则其定义域是什么？(2)将本例(3)中“y ＝3－x ·x －1”改为“y ＝3－xx －1”，则其定义域是什么？[解] (1)要使函数有意义，只需(3－x )(x －1)≥0，解得1≤x ≤3，即定义域为{x |1≤x ≤3}．(2)要使函数有意义，则⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1>0，解得1<x ≤3，即定义域为{x |1<x ≤3}．求函数定义域的几种类型(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R.(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．3.1.1.2函数概念的应用要点整理1．常见函数的定义域和值域2.函数的三要素由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．3．相同函数值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域和对应关系相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们不是相同的函数．题型一同一函数的判断【典例1】下列各组式子是否表示同一函数？为什么？(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2；(2)y＝x2，y＝(x)2；(3)y＝1＋x·1－x，u＝1－v2；(4)y＝(3－x)2，y＝x－3.[思路导引] 两个函数表示同一函数的关键条件是定义域相同，对应关系一致．[解](1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝t2＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．(2)y＝x2的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝x2与y＝(x)2不是同一函数．(3)y＝1＋x·1－x的定义域为{x|－1≤x≤1}，u＝1－v2的定义域为{v|－1≤v≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝1＋x·1－x＝1－x2，∴两函数的对应关系也相同．故y＝1＋x·1－x与u＝1－v2是同一函数．(4)∵y＝(3－x)2＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝(3－x)2与y＝x－3不是同一函数．判断两个函数为同一函数的方法判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．题型二求函数值和值域【典例2】(1)已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．①求f(2)、g(2)的值；②求f[g(3)]的值．(2)求下列函数的值域：①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③y ＝2x ＋1x －3； ④y ＝2x －x －1.[思路导引] (1)代入法求值；(2)结合解析式的特征选择适当的方法求值域． [解] (1)①∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. ②g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112. (2)①(观察法)∵x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 由x ∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)． ③(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3， 显然7x －3≠0，∴y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． ④(换元法)设x －1＝t ， 则t ≥0，且x ＝t 2＋1.∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t 2－t ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158.∵t ≥0，∴y ≥158. 故函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.(1)函数求值的方法①已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． ②求f [g (a )]的值应遵循由里往外的原则． (2)求函数值域常用的4种方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．题型三求抽象函数的定义域【典例3】 已知函数f (x )的定义域为[1,3]，求函数f (2x ＋1)的定义域． [思路导引] 定义域是x 的取值范围，f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1是相对应的．[解] 因为函数f (x )的定义域为[1,3]，即x ∈[1,3]，函数f (2x ＋1)中2x ＋1的范围与函数f (x )中x 的范围相同，所以2x ＋1∈[1,3]，所以x ∈[0,1]，即函数f (2x ＋1)的定义域是[0,1]．[变式] (1)若将本例条件改为“函数f (2x ＋1)的定义域为[1,3]”，求函数f (x )的定义域．(2)若将本例条件改为“函数f (1－x )的定义域为[1,3]”，其他不变，如何求解？[解] (1)因为x ∈[1,3]，所以2x ＋1∈[3,7]，即函数f (x )的定义域是[3,7]． (2)因为函数f (1－x )的定义域为[1,3]， 所以x ∈[1,3]，所以1－x ∈[－2,0]， 所以函数f (x )的定义域为[－2,0]． 由2x ＋1∈[－2,0]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12，所以f (2x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12.两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f[g(x)]的定义域．(2)已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域：若f[g(x)]的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域．3.1.2.1函数的表示法要点整理温馨提示：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．题型一函数的表示法【典例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x 与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[思路导引] 把自变量与函数值的对应关系分别用表格、图象和数学表达式加以刻画．[解]①列表法③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．理解函数的表示法的3个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．题型二函数的图象【典例2】作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．[思路导引] 通过“列表→描点→连线”作出函数图象，借助图象求出函数值域．[解](1)列表：画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝2x的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．(2)列表：(图2)．由图可得函数的值域是[－1,8]．描点法作函数图象的3个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象． (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．题型三函数解析式的求法【典例3】 (1)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式；(2)已知函数f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1，求f (x )的解析式； (3)已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式．[思路导引] 求函数解析式，就是寻找函数三要素中的对应关系，即在已知自变量和函数值的条件下求对应关系的表达式．[解] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝1，∴c ＝1.∴f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b . 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴⎩⎨⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)解法一：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)2， ∴f (x )＝x 2.又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2(x ≥1)． 解法二：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2. 由于x ≥0，所以t ≥1.代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＋1＝t 2， 所以f (x )＝x 2(x ≥1)． (3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①∴将x 用1x替换，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，解得f (x )＝2x －1x(x ≠0)，即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1x(x ≠0)．[变式] (1)若将本例(2)中条件“f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1”变为“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝1x2－1”，则f (x )的解析式是什么？(2)若将本例(3)中条件“2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ”变为“f (x )－2f (－x )＝9x ＋2”，则f (x )的解析式是什么？[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1，所以f (x )＝x 2－2x .因为1x ≠0，所以1x＋1≠1，所以f (x )＝x 2－2x (x ≠1)．(2)由条件知，f (－x )－2f (x )＝－9x ＋2， 则⎩⎨⎧f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，f (－x )－2f (x )＝－9x ＋2，解得f (x )＝3x －2.求函数解析式的3种常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．如典例3(1)．(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f [g (x )]的解析式求f (x )的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f [g (x )]中求出f (t )，从而求出f (x )．如典例3(2)．(3)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．如典例3(3)．3.1.2.2分段函数要点整理1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎨⎧1，－2≤x ≤0，x ，0<x ≤3，其“段”是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画． 题型一分段函数求值【典例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x，x >1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x <－1.(1)求f (f (f (－2)))的值； (2)若f (a )＝32，求a .[思路导引] 根据自变量取值范围代入对应解析式求值． [解] (1)∵－2<－1，∴f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1， ∴f [f (－2)]＝f (－1)＝2， ∴f (f (f (－2)))＝f (2)＝1＋12＝32.(2)当a >1时，f (a )＝1＋1a ＝32，∴a ＝2>1；当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝32，∴a ＝±22∈[－1,1]； 当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝32，∴a ＝－34>－1(舍去)．综上，a ＝2或a ＝±22.(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f ”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f ”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．题型二分段函数的图象【典例2】 (1)作出下列分段函数的图象：①y ＝⎩⎨⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1；②y ＝|x ＋1|.(2)如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动路程为x ，△ABP 的面积为y ，求：①y 与x 之间的函数关系式； ②画出y ＝f (x )的图象．[思路导引] (1)利用描点法分段作图；(2)先依据x 的变化范围求出关系式． [解] (1)①函数图象如图1所示．②y ＝|x ＋1|＝⎩⎨⎧－x －1，x <－1，x ＋1，x ≥－1，其图象如图2所示．(2)①y ＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.②分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．题型三分段函数的综合问题【典例3】 已知函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|. (1)求f (x )的值域； (2)解不等式：f (x )>0；(3)若直线y ＝a 与f (x )的图象无交点，求实数a 的取值范围． [思路导引] 去掉绝对值符号，化简f (x )，再分段求解． [解] 若x ≤－1，则x －3<0，x ＋1≤0，f (x )＝－(x －3)＋(x ＋1)＝4； 若－1<x ≤3，则x －3≤0，x ＋1>0，f (x )＝－(x －3)－(x ＋1)＝－2x ＋2； 若x >3，则x －3>0，x ＋1>0，f (x )＝(x －3)－(x ＋1)＝－4.∴f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≤－1，－2x ＋2，－1<x ≤3，－4，x >3.(1)－1<x ≤3时，－4≤－2x ＋2<4.∴f (x )的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]． (2)f (x )>0，即⎩⎨⎧x ≤－1，4>0，①或⎩⎨⎧－1<x ≤3，－2x ＋2>0，②或⎩⎨⎧x >3，－4>0，③解①得x ≤－1，解②得－1<x <1，解③得x ∈∅.所以f (x )>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1)． (3)f (x )的图象如图：由图可知，当a ∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y ＝a 与f (x )的图象无交点．[变式] 若a ∈R ，试探究方程f (x )＝a 解的个数．[解] 由例3(3)知y ＝f (x )的图象，作出直线y ＝a ，可以看出：当a ＝±4时，y ＝a 与y ＝f (x )有无数个交点；当－4<a <4时，y ＝a 与y ＝f (x )有且仅有一个交点；当a <－4或a >4时，y ＝a 与y ＝f (x )没有交点．综上可知：当a ＝±4时，方程f (x )＝a 有无数个解． 当－4<a <4时，方程f (x )＝a 有一个解． 当a <－4或a >4时，方程f (x )＝a 无解．研究分段函数要牢牢抓住的2个要点(1)分段研究．在每一段上研究函数．(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体．题型四分段函数在实际问题中的应用【典例4】 某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y (℃)随时间x (h)变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线y ＝k x的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？[思路导引] 利用待定系数法求出x 在每一段上的解析式，再分段研究． [解] (1)设线段AD 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)， 将点A (2,20)，D (0,10)代入， 得⎩⎨⎧2m ＋n ＝20n ＝10，解得⎩⎨⎧m ＝5n ＝10，∴线段AD 的解析式为y ＝5x ＋10(0≤x ≤2)． ∵双曲线y ＝k x经过B (12,20)， ∴20＝k 12，解得k ＝240，∴BC 段的解析式为y ＝240x(12≤x ≤24)．综上所述，y 与x 的函数解析式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋10(0≤x ≤2)20(2<x <12)240x (12≤x ≤24).(2)当x ＝18时，y ＝24018＝403，由于403<15，∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长． (3)令y ＝15，当0≤x ≤2时，解5x ＋10＝15，得x ＝1， 当12≤x ≤24时，解240x＝15，得x ＝16.由于16－1＝15(小时)，∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．对于应用题，要在分析题意基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．3.2.1.1函数的单调性要点整理1．函数的单调性温馨提示：定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质．(2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调．如f(x)＝x2等．(3)并非所有的函数都具有单调性，如f (x )＝ ⎩⎨⎧1，x 是偶数0，x 是奇数，它的定义域是N ，但不具有单调性．题型一函数单调性的判断与证明【典例1】 证明函数f (x )＝x ＋4x在(－∞，－2)上是增函数．[思路导引] 设出∀x 1<x 2<－2，判定f (x 1)与f (x 2)的大小关系． [证明] ∀x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x 2.∵x 1<x 2<－2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )＝x ＋4x在(－∞，－2)上是增函数．证明或判断函数单调性的方法步骤题型二求函数的单调区间【典例2】 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝1x －1； (2)f (x )＝|x 2－3x ＋2|.[思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2)作出函数y ＝x 2－3x ＋2的图象，再将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，结合图象写出f (x )的单调区间．[解] (1)函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∀x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1). 因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． (2)f (x )＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎨⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－(x 2－3x ＋2)，1<x <2.作出函数的图象，如图所示． 根据图象，可知，单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.(1)求函数单调区间的2种方法①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． ②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． (2)求函数单调区间的注意点一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．题型三函数单调性的应用【典例3】 (1)已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在[4，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．(2)已知y ＝f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．[思路导引] 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定，与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关系．[解] (1)∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的增区间是[1－a ，＋∞)． 又∵已知f (x )在[4，＋∞)上是增函数， ∴1－a ≤4，即a ≥－3.∴所求实数a 的取值范围是[－3，＋∞)．(2)∵f (x )在R 上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)， ∴1－a >2a －1，得a <23，∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23.[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？(2)若本例(2)中“定义域(－∞，＋∞)”改为“定义域(－1,1)”，其他条件不变，如何求解？[解] (1)∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的递增区间为[1－a ，＋∞)． ∴1－a ＝4，得a ＝－3. (2)由题意可知⎩⎨⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1.解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)， ∴1－a >2a －1，即a <23.②由①②可知，0<a <23，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.函数单调性的3个应用要点(1)二次函数的单调性由于只与对称轴及开口方向有关，因此处理起来较容易，只需结合图象即可获解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围．(3)需注意若一函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．3.2.1.2函数的最大(小)值要点整理 1．最大值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最大值是图象最高点的纵坐标． 2．最小值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最小值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最小值是图象最低点的纵坐标．温馨提示：(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)并不是每一个函数都有最值，如函数y ＝1x，既没有最大值，也没有最小值．(3)最值是函数的整体性质，即在函数的整个定义域内研究其最值． 题型一图象法求函数的最大(小)值【典例1】(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.求f (x )的最大值、最小值；(2)画出函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．[思路导引] 作出函数f (x )的图象，结合图象求解． [解] (1)作出函数f (x )的图象(如图1)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1；当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0.(2)f(x)的图象如图2所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.图象法求最大(小)值的步骤题型二利用单调性求函数的最大(小)值【典例2】已知函数f(x)＝x＋1 x .(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；(2)求f(x)在[2,4]上的最值．[解](1)证明：设∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2.则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x 2－1x2＝(x1－x2)·⎝⎛⎭⎪⎫1－1x1x2＝(x1－x2)(x1x2－1)x1x2.∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0，故(x1－x2)·(x1x2－1)x1x2<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．∴当x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．又f(2)＝2＋12＝52，f(4)＝4＋14＝174，∴f(x)在[2,4]上的最大值为174，最小值为52.函数的最值与单调性的关系(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．题型三求二次函数的最大(小)值【典例3】(1)已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．[思路导引] 找出f(x)的对称轴，分析对称轴与给定区间的关系，结合单调性求最值．[解] (1)函数f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min ＝f(2)＝－7.(2)∵函数图象的对称轴是x＝a，∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.∴f (x )min＝⎩⎨⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.[变式] 本例(2)条件变为，若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．[解] 在[2,4]内，f (x )≤a 恒成立， 即a ≥x 2－2ax ＋2在[2,4]内恒成立， 即a ≥f (x )max ，x ∈[2,4]． 又f (x )max ＝⎩⎨⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.①当a ≤3时，a ≥18－8a ，解得a ≥2，此时有2≤a ≤3. ②当a >3时，a ≥6－4a ，解得a ≥65，此时有a >3.综上有实数a 的取值范围是[2，＋∞)．求解二次函数最值问题的顺序(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图． (2)在图象上标出定义域的位置． (3)观察单调性写出最值．题型四实际应用中的最值【典例4】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为关于月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[思路导引] 先将利润表示成关于x 的函数，再利用函数的单调性求最值． [解] (1)月产量为x 台，则总成本为(20000＋100x )元，从而f (x )＝⎩⎨⎧－12x 2＋300x －20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25000，当x ＝300时，f (x )max ＝25000；当x >400时，f (x )＝60000－100x 是减函数，f (x )<60000－100×400＝20000<25000.∴当x ＝300时，f (x )max ＝25000.即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元．求解函数最大(小)值的实际问题应注意的2点(1)解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决．3.2.2.1函数奇偶性的概念要点整理 函数的奇偶性温馨提示：(1)奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域(对照函数的单调性是函数的局部性质，以加深理解)．(2)奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．题型一函数奇偶性的判断【典例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2－|x |；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝x x －1；(4)f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x >0，－2x ＋1，x <0.[思路导引] 借助奇函数、偶函数的定义判断． [解] (1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(2)∵函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．判断函数奇偶性的2种方法(1)定义法(2)图象法题型二奇函数、偶函数的图象【典例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象．(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[思路导引] 根据奇函数图象特征作出函数图象，再求解．[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．[变式] 若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，试画出在区间[－5,0]上的图象．[解] 因为函数f(x)是偶函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于y轴对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．题型三利用函数的奇偶性求值【典例3】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；。
高中数学最全必修一函数性质详解与知识点总结与题型详解
.(经典 )高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：（1）对映射定义的理解。
（2）判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射集合 A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射 f:(x,y) →(x 2+y 2,xy) ，求象 (5， 2)的原象 .13. 已知集合 A 到集合 B ＝｛0，1，2，3｝的映射 f:x → x 1，则集合 A 中的元素最多有几个 ?写出元素最多时的集合 A.2、函数。
构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是（）A 、 f ( x)lg x 2, g(x)2 lg xB 、 f (x) lgx1, g (x) lg( x 1) lg( x1)x 1C 、 f (u)1 u , g( v) 1 v D 、f （ x ） =x ， f (x)x21 u 1 v2、 M { x | 0x 2}, N{ y | 0 y3} 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合 N 的函数关系的有（）A 、 0个B 、 1个C 、 2个D 、3个y yy y32 2 2 2 1111O1 2 xO1 2 xO1 2 xO1 2 x二、函数的解析式与定义域 函数解析式的七种求法待定系数法： 在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例 1 设 f (x) 是一次函数，且 f [ f ( x)] 4 x 3 ，求 f (x).配凑法：已知复合函数 f [ g (x)] 的表达式，求 f (x) 的解析式， f [ g( x)] 的表达式容易配成g ( x) 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数 f (x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g( x) 的值域。
例 2 已知f (x1) x21( x0) ，求 f ( x) 的解析式x x2三、换元法：已知复合函数 f [ g (x)] 的表达式时，还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。
【知识点总结】高中数学人教A版必修第一册知识点总结
高中数学新教材人教A版必修第一册知识点总结专题01 集合与常用的逻辑用语 (3)知识点一集合的概念 (3)知识点二集合间的关系 (4)知识点三集合的基本运算 (5)知识点四充分条件与必要条件 (5)知识点五全称量词与存在量词 (6)专题02 一元二次方程、函数与不等式 (7)知识点一不等式的性质 (7)知识点二基本不等式 (7)知识点三二次函数与一元二次方程、不等式 (8)专题03 函数的概念与性质 (9)知识点一函数的概念与分段函数 (9)知识点二函数的三要素 (10)知识点三函数的单调性 (12)知识点四函数的奇偶性 (14)知识点六幂函数 (16)专题04指数函数与对数函数的概念、简单性质 (17)知识点一指数运算、对数运算与幂运算 (17)知识点二指数函数与对数函数的概念及图像 (18)知识点三比较大小（常与0、1、-1作比较） (18)知识点四函数的零点 (19)专题05 指数型与对数型复合函数的性质 (20)知识点一复合函数简单的单调性与奇偶性问题 (20)知识点二复合函数的单调性 (20)知识点三复合函数的最大值与最小值 (21)知识点四最值问题（含有参数） (22)知识点五恒成立问题 (22)专题06 三角函数的图像与性质 (23)知识点一任意角和弧度制 (23)知识点二常用的角的集合表示方法 (23)知识点三弧度与弧度制 (24)知识点四三角函数定义 (25)知识点五三角函数在各象限的符号 (26)知识点六特殊角的三角函数值： (26)知识点七同角三角函数的关系与诱导公式 (26)知识点八两角和与差公式的基本应用 (27)知识点九辅助角公式 (27)知识点十二倍角公式 (27)知识点十一降幂公式 (27)知识点十二基本三角函数的图像与性质（正弦、余弦与正切） (28)知识点十三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像 (29)知识点十四三角函数的实际应用 (30)专题07 三角函数的综合运用 (30)专题01 集合与常用的逻辑用语知识点一集合的概念1．集合的有关概念(1)集合的描述：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.元素通常用小写字母a,b,c,⋯表示，集合通常用大写字母A,B,C,⋯表示.(2)集合元素的特性：确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个元素可以判断该元素在或者不在该集合中。
新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质 重点难点归纳总结
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示 (1)3.1.1函数的概念 (1)第一课时函数的概念(一） (1)第二课时函数的概念(二) (5)3.1.2函数的表示法 (12)第一课时函数的表示法 (12)第二课时分段函数 (16)3.2函数的基本性质 (23)3.2.1单调性与最大(小)值 (23)第一课时函数的单调性 (23)第二课时函数的最大(小)值 (29)3.2.2奇偶性 (33)第一课时奇偶性的概念 (33)第二课时函数奇偶性的应用 (37)3.3幂函数 (40)3.4函数的应用(一) (47)3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念第一课时函数的概念(一）知识点函数的概念对函数概念的再理解(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数；(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．1．在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？提示：确定．2．对应关系f必须是一个解析式的形式吗？提示：不一定．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．()(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．()(3)定义域中的每一个x可以对应着不同的y.()(4)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．答案：①②④3．函数f(x)＝14－x的定义域是________．解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．答案：{x|x<4}4．已知f(x)＝x2＋1，则f(－1)＝________．解析：∵f(x)＝x2＋1，∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2.答案：2题型一函数关系的判断[例1](1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A．0B．1C．2 D．3(2)(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有()A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍[解析](1)①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B.(2)A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系，故选A、D.[答案](1)B(2)AD1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集；(2)A中的任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应．2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．[注意] 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．[例2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝x －1·1－x ； (2)y ＝(x －1)0＋2x ＋1. [解] (1)由题意得，⎩⎨⎧x －1≥0，1－x ≥0⇒x ＝1，∴函数的定义域为{1}．(2)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1，且x ≠1，∴函数的定义域为{x |x >－1，且x ≠1}．求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．[例3]已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．[解析]∵f(x)＝11＋x，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17.[答案]1317求函数值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a))的值应遵循由里向外的原则．第二课时函数的概念(二)知识点一区间的概念1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2．特殊区间的表示用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2＜x≤3}＝________；(3){x|x＞－1且x≠2}＝________；(4)R＝________；(5){x|x≤－1}∩{x|－5≤x＜2}＝________；(6){x|x＜9}∪{x|9＜x＜20}＝________．答案：(1)[1，＋∞)(2)(2，3](3)(－1，2)∪(2，＋∞)(4)(－∞，＋∞)(5)[－5，－1](6)(－∞，9)∪(9，20)知识点二同一个函数定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)f(x)＝x2x与g(x)＝x是同一个函数．()(2)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．()答案：(1)×(2)√2．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z答案：C题型一区间的应用[例1]将下列集合用区间以及数轴表示出来：(1){x|x<2}；(2){x|－1<x<0或1≤x≤5}；(3){x|2≤x≤8且x≠5}；(4){x|3<x<5}．[解](1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如图①.(2){x|－1<x<0或1≤x≤5}可以用区间表示为(－1，0)∪[1，5]，用数轴表示如图②.(3){x|2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，用数轴表示如图③.(4){x|3<x<5}用区间表示为(3，5)，用数轴表示如图④.用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．[例2](多选)下列式子表示同一个函数的是()A．f(x)＝|x|，φ(t)＝t2B．y＝x2，y＝(x)2C．y＝1＋x·1－x，y＝1－x2D．y＝（3－x）2，y＝x－3[解析]A：f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝t2＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一个函数；B：y＝x2的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝x2与y＝(x)2不是同一个函数；C：y＝1＋x·1－x的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝1－x2的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝1＋x·1－x＝1－x2，∴两函数的对应关系也相同．故y＝1＋x·1－x与y＝1－x2是同一个函数；D：∵y＝（3－x）2＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝（3－x）2与y＝x－3不是同一个函数．[答案]AC判断两个函数是否为同一个函数的步骤题型三求函数的值域[例3]求下列函数的值域：(1)y＝x－1；(2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}；(3)y＝3x－1 x＋1；(4)y＝2x＋41－x.[解](1)(直接法)∵x≥0，∴x－1≥－1，∴y＝x－1的值域为[－1，＋∞)．(2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}．(3)(分离常数法)y＝3x－1x＋1＝3x＋3－4x＋1＝3－4x＋1.∵4x＋1≠0，∴y≠3，∴y＝3x－1x＋1的值域为{y|y∈R，且y≠3}．(4)(换元法)令t＝1－x(t≥0)，则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，结合图象(图略)可得函数的值域为(－∞，4]．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋cx＋d(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．抽象函数与复合函数的定义域一、概念1．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．2．复合函数的概念若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C ⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数．[说明]由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域．二、结论理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围；(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；(4)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；(5)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x 的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．[迁移应用]1．已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域[例1] 已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，则函数f (3x －2)的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，53 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，53 C ．[－3，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 [思路点拨] 解题的关键是求出函数y ＝f (x )中x 的范围，这个范围即为3x －2的范围，建立不等式求出自变量x 的范围即可．[解析] 由－x 2＋2x ＋3≥0， 解得－1≤x ≤3，即函数f (x )的定义域为[－1，3]． 由－1≤3x －2≤3，解得13≤x ≤53， 则函数f (3x －2)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，53.[答案] A2．已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域[例2] 已知f (x 2－1)定义域为[0，3]，则f (x )的定义域为________． [思路点拨] 定义域是指自变量的取值范围，则f (x 2－1)中x ∈[0，3]，求出x 2－1的范围，这个范围即为f (x )的定义域．[解析] 根据f (x 2－1)定义域为[0，3]，得x ∈[0，3]， ∴x 2∈[0，9]，∴x 2－1∈[－1，8]． 故f (x )的定义域为[－1，8]． [答案] [－1，8]3．已知f (g (x ))的定义域，求f (h (x ))的定义域[例3] 若函数f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则函数f (x －1)的定义域为________．[思路点拨] 由f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，即－12≤x ≤2，可求得12≤x ＋1≤3，也就是f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，由此可推出12≤x －1≤3，进而求出x 的范围即为f (x －1)的定义域．[解析] 由题意知－12≤x ≤2，则12≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∴12≤x －1≤3，解得32≤x ≤4.故f (x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，43.1.2 函数的表示法第一课时 函数的表示法知识点 函数的表示方法函数三种表示法的优缺点比较1．函数y ＝f (x )的关系如下表，则f (11)＝( )x 0<x <5 5≤x <10 10≤x <15 15≤x ≤20y23 45A ．2B ．3C．4 D．5答案：C2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝()A．2 B．4C．0 D．3答案：C3．若反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)的解析式为________．答案：f(x)＝－18x题型一函数的表示法[例1](链接教科书第67页例4)某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系y＝f(x)．[解](1)用列表法可将函数y＝f(x)表示为x 01234 5y 50403020100(2)用图象法可将函数y＝f(x)表示为(3)用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}．1．函数的三种表示法的选择解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．2．用三种表示法表示函数时的注意点 (1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．题型二函数图象的作法及应用[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0，2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)．[解] (1)当x ∈[0，2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分，如图①，观察图象可知，其值域为[1，5]．(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x 的一部分，如图②，观察图象可知其值域为(0，1]．描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．[注意] 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．题型三函数解析式的求法角度一用待定系数法求函数解析式[例3]已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．[解]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，∴{2a＝2，2b＝－4，2a＋2c＝0，∴{a＝1，b＝－2，c＝－1，∴f(x)＝x2－2x－1.待定系数法求函数解析式已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．角度二用换元法(配凑法)求函数解析式[例4]求下列函数的解析式：(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)．[解](1)法一(换元法)：令t＝x＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1.因为x＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴f(x)＝2x－1.换元法、配凑法求函数解析式已知f (g (x ))＝h (x )，求f (x )，有两种方法：(1)换元法，即令t ＝g (x )，解出x ，代入h (x )中，得到一个含t 的解析式，再用x 替换t ，便得到f (x )的解析式．利用换元法解题时，换元后要确定新元t 的取值范围，即函数f (x )的定义域； (2)配凑法，即从f (g (x ))的解析式中配凑出g (x )，用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可．角度三 用方程组法求函数解析式[例5] 已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，求f (x )的解析式．[解] 在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代换x ，可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ， 则⎩⎨⎧f （x ）－2f （－x ）＝1＋2x ， f （－x ）－2f （x ）＝1－2x ， 消去f (－x )，可得f (x )＝23x －1.方程组法求函数的解析式方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f (－x )，f (x )的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f (－x )，f (x )的方程，联立解出f (x )．第二课时 分段函数知识点 分段函数 1．分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．2．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．对分段函数的再理解(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝{x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( )(3)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．( )(4)分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.则f (－2)＝________．答案：23．函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x ＞0，－2，x ＜0的定义域为________________，值域为____________．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)4．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是________(填序号)．答案：④[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52.[解] 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (1)＝3×1＋5＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋5＝12.[母题探究]1．(变设问)本例条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值．解：当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去；当－2<a <2时，f (a )＝3a ＋5＝3，即a ＝－23∈(－2，2)，符合题意；当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，即a ＝2∈[2，＋∞)，符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a 的值为－23或2.2．(变设问)本例条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围．解：当x ≤－2时，f (x )>2x 可化为x ＋1>2x ，即x <1，所以x ≤－2； 当－2<x <2时，f (x )>2x 可化为3x ＋5>2x ，即x >－5，所以－2<x <2； 当x ≥2时，f (x )>2x 可化为2x －1>2x ，则x ∈∅. 综上可得，x 的取值范围是{x |x <2}．1．求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．。
新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质 知识点易错点解题方法提炼汇总
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示............................................................................................. - 1 -3.1.1函数的概念.................................................................................................. - 1 -3.1.2函数的表示法(1) ......................................................................................... - 7 -3.1.2函数的表示法(2) ....................................................................................... - 13 -3.2函数的基本性质................................................................................................... - 18 -3.2.1单调性与最大(小)值(1) ............................................................................. - 18 -3.2.1单调性与最大(小)值(2) ............................................................................. - 22 -3.2.2奇偶性 ....................................................................................................... - 29 -3.3幂函数 .................................................................................................................. - 35 -3.4函数的应用(一) .................................................................................................... - 40 - 3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念知识点一函数的概念y＝x中x与y的对应关系，和y＝x2x中x与y的对应关系相同吗？知识梳理(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．值域是由定义域和对应关系决定的．(3)相同函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．知识点二区间的概念知识梳理(1)一般区间的表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间定义区间数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x＜b}(－∞，b)R(－∞，＋∞)解题方法探究探究一函数关系的判断[例1](1)下列集合A到集合B的对应f是函数的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值[解析]按照函数定义，选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C，元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义中集合A中的任意元素都对应唯一函数值的要求，只有选项A符合函数定义．[答案] A(2)下列图形中，不能确定y是x的函数的是()[解析]任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．[答案] D1．判断一个对应是否是函数的方法2．根据图形判断对应是否为函数的步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．如图所示：探究二求函数的定义域[例2](1)函数y＝21－1－x的定义域为()A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．[1，＋∞)(2)已知函数y ＝f (x )与函数y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，则函数y ＝f (x )的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，1](3)函数y ＝(x ＋1)0|x |－x 的定义域是( )A ．{x |x ＞0}B ．{x |x ＜0}C ．{x |x ＜0，且x ≠－1}D ．{x |x ≠0，且x ≠－1}(4)已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为________．[解析] (1)由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0解得⎩⎨⎧x ≤1，x ≠0.故选B.(2)由于y ＝f (x )与y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，故二者定义域相同，所以y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤1}．写成区间形式为[－3,1]．故选A.(3)∵⎩⎨⎧ x ＋1≠0，|x |－x ＞0，∴⎩⎨⎧ x ≠－1，|x |＞x ，∴⎩⎨⎧x ≠－1，x ＜0.故选C.(4)由题意知0＜y ＜10，即0＜10－2x ＜10，解得0＜x ＜5.又底边长y 与腰长x 应满足2x ＞y ，即4x ＞10，x ＞52.综上，52＜x ＜5.[答案] (1)B (2)A (3)C (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全．(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式． (3)一般地，形如y ＝f (x )，则f (x )≥0， 形如y ＝1f (x )，则f (x )≠0，形如y ＝(f (x ))0，则f (x )≠0.探究三 求函数值问题 [例3] [教材P 65例2拓展探究] (1)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，求f (f (－3))的值． [解析] ∵f (－3)＝－1. ∴f (f (－3))＝f (－1)＝－1＋3＋1－1＋2＝2＋1. (2)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，求f (x －1)的定义域． [解析] 法一：f (x －1)＝x －1＋3＋1x －1＋2＝x ＋2＋1x ＋1∴⎩⎨⎧ x ＋2≥0，x ＋1≠0， ∴⎩⎨⎧x ≥－2，x ≠－1.定义域为[－2，－1)∪(－1，＋∞)．法二：∵f (x )的定义域为{x |x ≥－3且x ≠－2}， ∴f (x －1)的定义域为x －1≥－3且x －1≠－2. 即{x |x ≥－2且x ≠－1}． (3)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，设g (x )＝x 2－3，求f [g (x )]． [解析] 首先g (x )≥－3，且g (x )≠－2， 即x 2－3≥－3且x 2－3≠－2， ∴x ≠±1.∴f [g (x )]＝g (x )＋3＋1g (x )＋2＝x 2＋1x 2－1＝|x |＋1x 2－1.∴f [g (x )]＝|x |＋1x 2－1(x ≠±1)．函数求值的方法及关注点(1)方法：①求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．易错点归纳一、抽象函数有“据”可依——抽象函数的定义域问题、求值问题所谓抽象函数，是指明显、具体的给出x与y之间的关系，只是借用函数符号来表达，指明了一些性质的函数．1．定义域问题求抽象函数定义域的原则及方法(1)原则：同在对应法则f下的范围相同，即f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)的范围相同．(2)方法：①已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)∈A，求x的范围；②已知f(g(x))的定义域为A，求f(x)的定义域，其实质是已知x∈A，求g(x)的范围，此范围就是f(x)的定义域．[典例](1)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2＋1)的定义域；(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，求f(1－3x)的定义域．[解析](1)因为函数f(x2＋1)中的x2＋1相当于函数f(x)中的x，所以0≤x2＋1≤1，即－1≤x2≤0，所以x＝0，故f(x2＋1)的定义域为{x|x＝0}．(2)因为f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x＜1，所以－1≤2x－1＜1.故f(x)的定义域为[－1,1)，所以－1≤1－3x＜1.解得0＜x≤23，所以f(1－3x)的定义域为⎝⎛⎦⎥⎤0，23.2．求值问题充分利用所给函数的性质或者特征，结合已知值，采用赋值法．[典例]定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f (－3)等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] f (1)＝f (1＋0)＝f (1)＋f (0)＋2×1×0＝f (1)＋f (0)，得f (0)＝0；又f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1＝f (－1)＋2－2＝f (－1)，得f (－1)＝0；f (－2)＝f (－1－1)＝2f (－1)＋2×(－1)2＝2×0＋2＝2；f (－3)＝f (－2－1)＝f (－2)＋f (－1)＋2×(－2)×(－1)＝2＋0＋4＝6. [答案] C点评 求解此类问题时要灵活选择赋值量，反复运用已知关系式． 二、求定义域时盲目化简[典例] 求函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．[解析] 要使函数有意义，须⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，得x ≤1且x ≠－1定义域为(－∞，－1)∪(－1,1]．纠错心得 从表达式特征上看，似乎将函数式化简为y ＝x ＋1－1－x ，求定义域更简单.1－x ≥0得x ≤1.这已经破坏了函数的概念．求定义域务必是针对原函数而求，化简也是定义域内保持等价才可以．3.1.2 函数的表示法(1)知识点 函数的三种表示方法比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？知识梳理 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系． 这三种方法是常用的函数表示法．解题方法探究探究一列表法表示函数[例1](1)某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：(2)下表表示函数y＝f(x)，则f(x)＞x的整数解的集合是________.(3)如表：则方程g(f(x))＝x[解析](1)观察表格可知，自变量(行进的站数)为7时函数的值为1.5，所以此人乘车的票价应为1.5元．(2)当0＜x＜5时，f(x)＞x的整数解为{1,2,3}．当5≤x＜10时，f(x)＞x的整数解为{5}．当10≤x＜15时，f(x)＞x的整数解为∅.当15≤x＜20时，f(x)＞x的整数解为∅.综上所述，f(x)＞x的整数解的集合是{1,2,3,5}．(3)当x＝1时，f(x)＝2，g(f(x))＝2，不符合题意；当x＝2时，f(x)＝3，g(f(x))＝1，不符合题意；当x＝3时，f(x)＝1，g(f(x))＝3，符合题意，综上，方程g(f(x))＝x的解集为{3}．[答案](1)1.5(2){1,2,3,5}(3){3}列表法表示函数的相关问题的解法解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．探究二函数的图象及应用[例2](1)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳[解析]2016年8月到9月，10月到11月等是逐月下降的，故A错．[答案] A(2)已知二次函数y＝－x2＋4x－3.①指出该函数图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、与坐标轴的交点的坐标，并画出函数图象的草图．②说明其图象由y＝－x2的图象经过怎样平移得来的．③当定义域为[0,3]时，结合该二次函数图象求该函数的值域．[解析]①y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，图象的开口向下，对称轴方程为x ＝2，顶点坐标为(2,1)．令y＝0解得，x＝1或x＝3，所以此函数图象与x轴相交于点(1,0)和(3,0)，令x＝0解得，y＝－3，所以此函数图象与y轴相交于点(0，－3)，画出此函数的图象，如图所示：②由y＝－x2的图象向右平移2个单位长度，得函数y＝－(x－2)2的图象，再向上平移1个单位长度，得函数y＝－(x－2)2＋1的图象．③画出函数y＝－x2＋4x－3，x∈[0,3]的图象，如图所示，观察图象可知该函数的值域为[－3,1]．作函数图象的基本步骤利用图象认识函数左右看范围→函数的定义域上下看范围→函数的值域左右看变化→函数值随x的变化情况探究三求函数解析式[例3](1)(待定系数法)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)．[解析]设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，∴k2x＋kb＋b＝16x－25.∴⎩⎨⎧k 2＝16，kb ＋b ＝－25， ∴⎩⎨⎧k ＝4，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝253.∴f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253.(2)换元法(或配凑法)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．[解析] 法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二(配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1. 因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (3)(方程组法)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )． [解析] ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，① ∴将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .② ∴由①②得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x .求函数解析式的方法易错点归纳一、一“图”胜万言——函数图象的应用[典例] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则b 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)[解析] 法一：由f (x )的图象知点(0,0)，(1,0)，(2,0)在图象上，得⎩⎨⎧d ＝0，a ＋b ＋c ＝0，8a ＋4b ＋2c ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝－3a ，c ＝2a ，d ＝0.∴f (x )＝ax 3－3ax 2＋2ax . 又由图象知f (－1)＜0，∴－a －3a －2a ＜0⇒a ＞0，则b ＝－3a ＜0. 故选A.法二：由三次函数f (x )的图象过(0,0)，(1,0)，(2,0)点，可设f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax .又∵f (3)＞0，得6a ＞0⇒a ＞0， ∴b ＝－3a ＜0.故选A. [答案] A二、忽视新元的范围 [典例] 已知f (x 2＋1)＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式． [解析] 设t ＝x 2＋1， ∴t ≥1， ∴x 2＝t －1，∴f (t )＝t －1＋1t ， ∴f (x )＝x ＋1x －1(x ≥1)．纠错心得 此题用换元法或配凑法求出f (x )后，易丢定义域的证明(x ≥1)．3.1.2 函数的表示法(2)知识点 分段函数 预习教材，思考问题函数y ＝|x |在x ≥0与x ＜0时的解析式相同吗？知识梳理 如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．解题方法探究探究一 分段函数的定义域、值域及求值问题 [例1] [教材P 68例6拓展探究](1)若已知函数M (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ≤－1，x ＋1，－1＜x ≤0，(x ＋1)2，x ＞0.求①M (－3)，②M (2)，③M [M (0)]，④f [M (－3)]，⑤F [M (a )]． [解析] ①当x ＝－3时，M (－3)＝(－3＋1)2＝4. ②当x ＝2时，M (2)＝(2＋1)2＝9. ③∵M (0)＝1，∴M [M (0)]＝M (1)＝(1＋1)2＝4. ④∵f (x )＝x ＋1，∴f [M (－3)]＝f (4)＝4＋1＝5. ⑤当a ≤－1时，M (a )＝(a ＋1)2， ∴f [M (a )]＝(a ＋1)2＋1.当－1＜a ≤0时，M (a )＝a ＋1， ∴f [M (a )]＝(a ＋1)＋1＝a ＋2. 当a ＞0时，M (a )＝(a ＋1)2， ∴f [M (a )]＝(a ＋1)2＋1.综上，f [M (a )]＝⎩⎨⎧(a ＋1)2＋1， a ≤－1，a ＋2， －1＜a ≤0，(a ＋1)2＋1， a ＞0.(2)∀x ∈R ，用m (x )表示f (x )、g (x )中的较小者，记为m (x )＝min {}f (x )，g (x ).求m (x )的解析式，并求m (x )的值域．[解析] 由(x ＋1)2＝x ＋1得x ＝－1或x ＝0，即函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象相交于两点(－1,0)和(0,1)． 结合f (x )与g (x )的图象得出 m (x )的解析式为m (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－1，(x ＋1)2，－1＜x ≤0，x ＋1， x ＞0，如图，值域为R .1．分段函数定义域、值域的求法(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集． (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集．2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决． 3．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．探究二 求分段函数解析式[例2] 如图①，在边长为6的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y .求：(1)y 与x 之间的函数关系式；(2)画出y ＝f (x )的图象．[解析] (1)按照题意，根据x 的变化，写出分段函数的解析式． 当点P 在线段BC 上移动时，即0＜x ≤6，BP ＝x ， 于是S △APB ＝12AB ·BP ＝12×6×x ＝3x ；当点P 在线段CD 上移动时，即6＜x ≤12，S △APB ＝12AB ·BC ＝12×6×6＝18； 当点P 在线段DA 上移动时，即12＜x ＜18，S △APB ＝12AB ·P A ＝12×6×(18－x )＝54－3x .于是y ＝⎩⎨⎧3x ，0＜x ≤6，18，6＜x ≤12，54－3x ，12＜x ＜18.(2)画出y ＝f (x )的图象，如图②所示．求分段函数解析式的关键点(1)明确自变量x 的分段区间及分段点．(2)明确每一段上的函数类型用待定系数法求.探究三 分段函数与方程、不等式[例3] (1)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x ＞2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.[解析] 当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)． 当x 0＞2时，f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 综上，x 0＝－6或x 0＝4. [答案] －6或4(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜43x ，x ≥4，，若f (a )＜－3，则a 的取值范围是________．[解析] 当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)； 当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3，此时不等式无解． 所以a 的取值范围是(－∞，－3)． [答案] (－∞，－3)由分段函数的函数值求自变量的方法已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．易错点归纳一、形分而神不分——分段函数问题的求解方法分段函数只是在自变量不同的范围下，有不同的解析式，但在定义域内，它还是一个函数，而不是多个函数，解决问题时，要“分段处理”，然后结果要合为一体．[典例] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ＞1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[解析] 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－a －1， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2. 因为f (1－a )＝f (1＋a )， 所以－1－a ＝3a ＋2， 所以a ＝－34.当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1 所以a ＝－32(舍去)． 综上所述，a ＝－34.[答案] －34 二、不分类讨论致错[典例] 若函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，－1≤x ≤2，x －3，2＜x ≤5，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4[解析] 当－1≤x ≤2时，由f (x )＝1得， 3－x 2＝1，所以x ＝2或x ＝－2(舍去)． 当2＜x ≤5时，由f (x )＝1得，x －3＝1，所以x ＝4. 综上，f (x )＝1的解是x ＝2或x ＝4.[答案] C纠错心得解决分段函数求值问题，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x范围的并集，求值时要重视x的取值范围．如本例当－1≤x≤2时，求出x＝2或x＝－2，通过检验应舍去x＝－ 2.3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值(1)知识点函数的单调递增、单调递减对于函数f(x)＝x2，如何用符号语言描述？知识梳理(1)定义域为I的函数f(x)的增减性(2)①特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function)．②特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing function)．③如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．解题方法探究探究一 由函数图象求函数的单调区间[例1] 作出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并指出它的单调区间． [解析] 根据绝对值的意义，y ＝－x 2＋2|x |＋3 ＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ＋3，x ≥0－x 2－2x ＋3，x <0＝⎩⎨⎧－(x －1)2＋4，x ≥0－(x ＋1)2＋4，x <0. 作出函数图象如图所示，根据图象可知，函数在区间(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在区间(－1,0)，(1，＋∞)上是减函数．一般来说，求函数单调区间可以根据函数的图象．在某区间内，由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调减区间．探究二 函数单调性的证明或判断 [例2] [教材P 79例3拓展探究]根据定义证明y ＝x ＋1x 在(0,1)上是单调递减． [证明] ∀x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2，有 y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)．由于0＜x 1＜1,0＜x 2＜1.∴0＜x 1x 2＜1. ∴x 1x 2－1＜0. 又由x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0， ∴x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)＞0，∴y 1＞y 2，∴函数y ＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：探究三 利用单调性求参数[例3] 已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上单调递减，求a 的取值范围． [解析] 当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1在(－∞，2)上单调递减，符合题意； 当a ≠0时，要使f (x )在(－∞，2)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－－12a ≥2，解得0＜a ≤14.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.根据函数的单调性求参数取值范围的方法(1)利用单调性的定义：设单调区间内x 1＜x 2，由f (x 1)－f (x 2)＜0(或f (x 1)－f (x 2)＞0)恒成立求参数范围．(2)利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数．需注意：若一函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．易错点归纳一、单调性定义的拓展及规律1.f(x1)－f(x2)x1－x2＞0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)是增函数．2.f(x1)－f(x2)x1－x2＜0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)是减函数．3．f(x)在区间A上是单调函数，则k＞0时，kf(x)的单调性不变；k＜0时，则相反．4．f(x)，g(x)在区间A上同单调，则f(x)＋g(x)的单调性不变．5．若f(x)在区间A上是单调函数，则1f(x)的单调性相反，2nf(x)(f(x)＞0)、2n－1f(x)(n∈N*)的单调性相同．6．图象关于轴(与x轴垂直)对称的函数在它们的对称区间上的单调性相反，图象关于中心对称的函数在它们的对称区间上的单调性相同．[典例] 1.判定函数y＝x2－2x＋x－1的单调性，并求单调区间．[解析]定义域为x≥1，函数y1＝x2－2x，y2＝x－1均为增函数，则y＝x2－2x＋x－1也为增函数，则y＝x2－2x＋x－1的增区间为[1，＋∞)．2．定义在R上的函数f(x)，对任意的x1，x2∈R，(x1≠x2)有f(x2)－f(x1)x2－x1＜0，若a＋b≤0，则有()A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)[解析]由题意知，f(x)在R上为减函数．由题意知，a≤－b，b≤－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故选D.[答案] D二、对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误[典例]若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，求实数a 的取值范围．[解析]函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.因为函数的单调递减区间是(－∞，4]，所以1－a＝4，解得a＝－3.故实数a的取值范围是{－3}．纠错心得单调区间是一个整体概念，例如函数的单调减区间是I，指的是函数递减的最大范围是区间I，而函数在某一区间上的单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．3.2.1单调性与最大(小)值(2)知识点函数的最值(1)函数f(x)＝x2图象的最低点的纵坐标是多少？(2)函数f(x)＝－x2图象的最高点的纵坐标是多少？知识梳理几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标解题方法探究探究一利用图象法求函数的最值[例1]已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－x(0≤x≤2)，2x－1(x＞2)，求函数f(x)的最大值、最小值．[解析]作出f(x)的图象如图：由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝12时，f(x)取最小值为－14.所以f(x)的最大值为2，最小值为－14.用图象法求最值的三个步骤探究二利用单调性求最值[例2]求函数f(x)＝x2＋9－x，x∈[－4,0]的最大值和最小值．[解析]设x1，x2是[－4,0]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x21＋9－x1－x22＋9＋x2＝(x1－x2)(x1＋x2)x21＋9＋x22＋9＋x2－x1.∵－4≤x1＜x2≤0，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜0，x2－x1＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[－4,0]上是减函数．∴f(x)min＝f(0)＝3，f(x)max＝f(－4)＝9.利用单调性求最值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．探究三二次函数的最值问题[例3][教材P80例4拓展探究](1)已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.①当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值；②当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值；③当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．[解析]f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．①当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是单调递减的，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.②当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.又|－2－1|＞|3－1|，所以f(x)的最大值为f(－2)＝11.③a.当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.b ．当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时， f (x )在区间[t ，t ＋1]上先递减后递增，故当x ＝1时，f (x )取得最小值，此时g (t )＝f (1)＝2. c ．当t ＋1＜1，即t ＜0时，f (t )在[t ，t ＋1]上单调递减， 所以当x ＝t ＋1时，f (x )取得最小值， 此时g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋2，综上得，g (t )＝⎩⎨⎧t 2－2t ＋3，t ＞1，2，0≤t ≤1，t 2＋2，t ＜0.(2)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值． [解析] f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a . ①当a <0时，由图可知，f (x )min ＝f (0)＝－1， f (x )max ＝f (2)＝3－4a .②当0≤a ＜1时，由图可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2， f (x )max ＝f (2)＝3－4a .③当1≤a ≤2时，由图可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1. ④当a >2时，由图可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ， f (x )max ＝f (0)＝－1.(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.探究四 利用单调性比较大小、解不等式[例4] (1)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，对任意实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )．试比较f (1)，f (2)，f (4)的大小．[解析] 由题意知，f (x )的对称轴为x ＝2， 故f (1)＝f (3)． ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ，∴f (x )在[2，＋∞)上为增函数． ∴f (2)＜f (3)＜f (4)， 即f (2)＜f (1)＜f (4)．(2)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，求a 的取值范围．[解析] 由题意可得⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜2a －1＜1，解得0＜a ＜1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，∴1－a ＞2a －1，即a ＜23.② 由①②可知，0＜a ＜23， 即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.1．利用单调性比较大小的方法(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，即已知f (x )在区间D 上为增函数，则对x 1，x 2∈D ，x 1＜x 2⇔f (x 1)＜f (x 2)．(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x 的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去．2．利用函数单调性解不等式 与函数单调性有关的结论(1)正向结论：若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)；当x 1＞x 2时，f (x 1)＞f (x 2)；(2)逆向结论：若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当f (x 1)＜f (x 2)时，x 1＜x 2；当f (x 1)＞f (x 2)时，x 1＞x 2.当y ＝f (x )在给定区间上是减函数时，也有相应的结论．易错点归纳一、抽象函数单调性及最值的求解抽象函数一般由方程(不等式)确定，这类函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要注意运用好所给条件，判断出函数值之间的关系，常见思路是：先在所证区间上设出任意x 1，x 2(x 1＜x 2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题．注意：若给出的是和型[f (x ＋y )＝…]抽象函数，判定符号时的变形为f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)，f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)－f [(x 1－x 2)＋x 2]；若给出的是积型[f (xy )＝…]抽象函数，判定符号时的变形为f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)．[典例] 已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值与最小值．[解析] (1)证明：令x ＝y ＝0，得f (0)＋f (0)＝f (0)， ∴f (0)＝0.又令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝f (x －x )＝f (0)＝0， ∴f (－x )＝－f (x )．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)． ∵x 2－x 1＞0，依题设x ＞0时，有f (x )＜0， ∴f (x 2－x 1)＜0，即f (x 2)－f (x 1)＜0， ∴f (x 2)＜f (x 1)．∴y ＝f (x )在R 上是减函数．(2)∵[－3,3]⊆R ，故f (x )max ＝f (－3)，f (x )min ＝f (3)． 由(1)可知f (－3)＝－f (3)，又∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1＋1)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2， ∴f (－3)＝－f (3)＝2，∴f (x )max ＝f (－3)＝2，f (x )min ＝f (3)＝－2. 二、忽视参数对最值的影响[典例] 函数y ＝ax ＋1在区间[－1,3]上的最大值为4，求a 的值． [解析] 当a ＞0时，y ＝ax ＋1为增函数． ∴当x ＝3时，∴y max ＝3a ＋1＝4.∴a ＝1. 当a ＜0时，y ＝ax ＋1为减函数．∴当x ＝－1时，y max ＝－a ＋1＝4.∴a ＝－3. 综上，a ＝1或a ＝－3.纠错心得 忽视对a ，即对函数单调性的讨论，直接认为y ＝ax ＋b 为增函数，只有一个解，当函数的单调性受参数影响时，要根据题意进行讨论．3.2.2 奇偶性知识点 函数奇偶性的定义(1)函数f (x )＝x 2的图象有什么对称性？ (2)函数f (x )＝1x 的图象有什么对称性？知识梳理 (1)一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数(even function)．偶函数的图象关于y 轴对称，反之成立．(2)一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数(odd function)．奇函数的图象关于原点对称，反之成立．解题方法探究探究一 函数奇偶性的判断 [例1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 4＋2x 2； (2)f (x )＝x 3＋1x ；(3)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (4)f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x 2＋1(x ＞0)，x 3＋3x 2－1(x ＜0)；(5)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2.[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )4＋2(－x )2＝x 4＋2x 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(2)∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，它关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )3＋1－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)∵f (x )的定义域为{－1,1}， 是两个具体数，但它关于原点对称， 又f (－1)＝f (1)＝0， f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )＝x 2－1＋1－x 2既是奇函数，又是偶函数．(4)函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ①当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )3＋3(－x )2－1＝－x 3＋3x 2－1 ＝－(x 3－3x 2＋1)＝－f (x )． ②当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝(－x )3－3(－x )2＋1＝－x 3－3x 2＋1 ＝－(x 3＋3x 2－1)＝－f (x )．由①②知，当x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时， 都有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(5)由题设得：⎩⎨⎧1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，∴函数f (x )定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且x ＋2>0，∴|x ＋2|＝x ＋2，∴f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，∴f (－x )＝1－(－x )2－x ＝－1－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．函数奇偶性的判定方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的对称区域，再判断f (－x )是否等于±f (x )，或判断f (x )±f (－x )是否等于零，或判断f (x )f (－x )是否等于±1等． 用定义判断函数奇偶性的一般步骤：①求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称． ②用－x 代x ，验证是否有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )， 若f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数； 若f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数；若f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数； 若f (－x )≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，则f (x )为非奇非偶函数． (2)图象法：奇(偶)函数的等价条件是它的图象关于原点(y 轴)对称．探究二 已知函数奇偶性求函数解析式 [例2] [教材P 86第11题拓展探究](1)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，求f (x )在R 上的解析式．[解析] 设x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x . 又y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2＋2x (x <0)． ∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0.(2)若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (2－x )，求函数f (x )的解析式．[解析] ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0.当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝－x (2＋x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x (x ＋2)．故f (x )＝⎩⎨⎧x (x ＋2)(x ＞0)，0(x ＝0)，x (2－x )(x ＜0).(3)设函数y ＝F (x )的定义域为[－m ，m ](m ＞0)．试探究y ＝F (x )可否写为奇函数f (x )，与偶函数g (x )的和的形式，若能，求出f (x )与g (x )．[解析] 设f (x )＋g (x )＝F (x )， ① x ∈[－m ，m ]．∴f (－x )＋g (－x )＝F (－x )． 又∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数， ∴－f (x )＋g (x )＝F (－x )． ② ①＋②得，2g (x )＝F (x )＋F (－x )， ∴g (x )＝12[F (x )＋F (－x )]．①－②得，2f (x )＝F (x )－F (－x )， ∴f (x )＝12[F (x )－F (－x )]． 故F (x )可写为f (x )＋g (x )的形式． f (x )＝12[F (x )－F (－x )]， g (x )＝12[F (x )＋F (－x )]．利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x )．探究三 已知奇偶性求值或参数[例3] (1)若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. (2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x ＞0为奇函数，则a ＋b ＝________.(3)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ＋b ，则f (－1)＝________.(4)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．[解析] (1)∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )， 即(x ＋a )(x －4)＝(－x ＋a )(－x －4)， 整理得，2a ＝8，∴a ＝4. (2)由题意知⎩⎨⎧f (2)＝－f (－2)，f (1)＝－f (－1)，则⎩⎨⎧4a ＋2b ＝－2，a ＋b ＝0， ∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1. 当a ＝－1，b ＝1时，经检验知f (x )为奇函数，故a ＋b ＝0. (3)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝b ＝0， ∴f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，∴f (－1)＝－f (1)＝－(1＋2)＝－3. (4)⎩⎨⎧f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4两式相加得g (1)＝3. [答案] (1)4 (2)0 (3)－3 (4)3利用函数奇偶性求参数值的方法(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决．(2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x 的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x 的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数．(3)利用奇偶性求参数值时，应根据x ∈R 等式恒成立的特征求参数．易错点归纳一、单调性与奇偶性珠联璧合的妙用(1)将函数的奇偶性与单调性相结合，可知： ①奇函数在(－b ，－a )和(a ，b )上有相同的单调性． ②偶函数在(－b ，－a )和(a ，b )上有相反的单调性． 这里，区间(－b ，－a )和(a ，b )都在函数定义域内．因此，若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图象等问题，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得．(2)研究函数的单调性、奇偶性必须在定义域上进行，如果没有给出定义域，则需先求出．[典例] 设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )＜f (m )，求实数m 的取值范围．[解析] 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数， 所以f (x )在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f (1－m )＜f (m )等价于⎩⎨⎧1－m ＞m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m ＜12.二、由奇偶性的对称特点拓展的图象对称性 1．函数图象的轴对称2.函数图象的中心对称[典例] 若函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，则下列结论正确的是( )A ．f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72[解析] ∵y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (1)＝f (3)． 又f (x )在(0,2)上为增函数，∴f (x )在(2,4)上为减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. [答案] B3.3 幂函数知识点一 幂函数的定义函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2、f (x )＝1x ，以前叫什么函数，它们有什么共同特征？ 知识梳理 (1)一般地，函数y ＝x α叫做幂函数(power function)，其中x 是自变量，α是常数．(2)幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数；。
函数的基本性质(知识精讲)2019-2020高一数学(人教A版必修第一册)(解析版)
专题八函数的基本性质知识精讲一知识结构图二.学法指导1.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象．2. 利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2.(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号.(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性.3．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．4.判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图象法：5.利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解.6.利用函数奇偶性求解析式的方法1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.2要利用已知区间的解析式进行代入.3利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).7、解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.,由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解.三.知识点贯通知识点1 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．例1.求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f (x )＝－1x ；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.【解析】(1)函数f (x )＝－1x 的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．(3)因为f (x )＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f (x )的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)． f (x )在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数． 知识点二 函数单调性的判断与证明1.增函数与减函数的定义例题2：试用函数单调性的定义证明：f(x)＝2xx－1在(1，＋∞)上是减函数．【证明】f(x)＝2＋2x－1，设x1>x2>1，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2(x2－x1)(x1－1)(x2－1)，因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．知识点三函数单调性应用1.∀x1，x2∈D，f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.∀x1，x2∈D，f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1>x2.例题3 .(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．【答案】(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)【解析】(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．知识点四 利用函数的单调性求最值(值域) 1.函数最大值与最小值的定义例题4．已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．【解析】(1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)， 因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增，所以f (x )的最小值为f (2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f (4)＝2×4＋14＋1＝95.知识点五 函数奇偶性的判断 1.函数的奇偶性的定义例题5.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x ；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <0，0，x ＝0，x ＋1，x >0.【解析】 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称．又f (－x )＝(－x )3＋(－x )＝－(x 3＋x )＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0得x 2＝1，即x ＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－x <0，0，－x ＝0，－x ＋1，－x >0，即f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－(x －1)，x <0.于是有f (－x )＝－f (x )．所以f (x )为奇函数． 知识点六 奇偶性应用1.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。
人教版高中数学必修一函数及其性质解题技巧总结
(每日一练)人教版高中数学必修一函数及其性质解题技巧总结单选题1、已知f(x)是一次函数，且f(x −1)=3x −5，则f(x)=（ ）A ．3x −2B ．2x +3C ．3x +2D ．2x −3答案：A解析：设一次函数y =ax +b(a ≠0)，代入已知式，由恒等式知识求解．设一次函数y =ax +b(a ≠0)，则f(x −1)=a(x −1)+b =ax −a +b ，由f(x −1)=3x −5得ax −a +b =3x −5，即{a =3b −a =−5 ，解得{a =3b =−2，∴f(x)=3x −2. 故选：A ．2、已知函数f(2x)的定义域是[0,2]，则函数y =f(x −1)+f(x +1)的定义域是（ ）A ．{1}B ．[1,2]C ．[1,3]D ．[2,3]答案：C解析：由复合函数的定义域可得函数f(x)的定义域，再解不等式组即可得解.因为函数f(2x)的定义域是[0,2]，所以函数f(x)的定义域为[0,4]，若要使y =f(x −1)+f(x +1)有意义，则{0≤x −1≤40≤x +1≤4，解得x ∈[1,3]. 所以函数y =f(x −1)+f(x +1)的定义域是[1,3].故选：C.3、购买某种饮料x 听,所需钱数为y 元,若每听2元,用解析法将y 表示成x(x ∈{1,2,3,4})的函数为A ．y=2xB ．y=2x(x ∈R)C ．y=2x(x ∈{1,2,3,…})D ．y=2x(x ∈{1,2,3,4})答案：D解析：各选项的解析式都一样，由题可得函数的定义域，从而能选出正确答案.题中已给出自变量的取值范围,x ∈{1,2,3,4},故选D.小提示：本题主要考查用解析式来表示函数关系，注意别弄错函数的定义域.填空题4、函数y =(x+2)12(1−x )34的定义域为__________．答案：[−2,1)解析：将函数表示为根式的形式，利用偶次根式被开方数非负以及分母不为零可得出关于x 的不等式组，由此可解得原函数的定义域.函数解析式为y =(x+2)12(1−x )34=√x+2√(1−x )34，则{x +2≥01−x >0，解得−2≤x <1. 因此，函数y =(x+2)12(1−x )34的定义域为[−2,1).所以答案是：[−2,1).小提示：本题考查函数定义域的求解，在涉及分数指数幂型函数定义域的求解时，一般将分数指数幂转化为根式的形式，考查计算能力，属于基础题.5、将函数f(x)=x3的图象向右平移2个单位后，得到函数g(x)的图象，则g(2)=__________.答案：0解析：根据图像平移关系，求出g(x)，即可求解.将函数f(x)=x3的图象向右平移2个单位后，得到函数g(x)的图象，g(x)=f(x−2)=(x−2)3,∴g(2)=0；故答案为:0.小提示：本题考查函数左右平移关系，掌握函数解析式平移前后“左加右减”原则，或者利用平移前后点的关系直接求解，属于基础题.。
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函数的规律总结
集合：
空集的特殊性
1.空集是任何集合的子集
2.空集是任何非空集合的真子集
求函数的定义域
(1)给出函数解析式的：
①关键是列出使函数有意义的条件，解出各条件中自变量取值范围，并结合数轴求得它们的交集，从而得到函数的定义域；
②若函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数y＝f[g(x)]的定义域是不等式a≤g(x)≤b 的解集；
③函数的定义域应写成区间或集合的形式．
④对于已知函数定义域求字母参数，可转化为恒成立问题求解
(2)实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
(3)复合函数：已知f(x)定义域求f(g(x))定义域或已知f(g(x))定义域求f(x)定义域问题，关键抓住一条：同一对应关系符号里面式子范围相同，即f(g(x))中g(x)相当于f(x)中的x.
4．求函数解析式的题型有：
(1)已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
(2)已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；
(3)已知函数图像，求函数解析式；
(4)f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另外一个等式：解方程组法；
(5)应用题中求函数解析式常用方法有待定系数法等．
5．解决分段函数问题既要紧扣“分段”这个特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化，还要注意每一区间端点的取值情况．
函数的奇偶性
1．判定函数的奇偶性
①要检验其定义域是否关于原点对称
②按照奇偶性的定义经过化简、整理
③再将f(－x)与f(x)比较，得出结论．
△分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其奇偶性！
2．利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径．
3．函数的奇偶性常与函数的其他性质及不等式结合出题，运用函数的奇偶性就是运用函数图像的对称性．
4．要善于发现函数特征，图像特征，运用数形结合，定向转化，分类讨论的思想，整体代换的手段，从而简化解决问题的程序，既快又准．
用心爱心专心 1。