八年级数学旋转对称图形的举例
第9讲 图形的旋转与中心对称八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第9讲图形的旋转与中心对称目标导航1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；2、掌握旋转对称图形、中心对称图形和中心对称的概念，理解他们的区别和联系，并会判别给出的图形是旋转对称图形还是中心对称图形；3、会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形以及会画已知图形关于已知点成中心对称的图形．知识精讲知识点01 生活中的旋转现象（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．（2）注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．【知识拓展1】（2021秋•建华区期末）时钟的时针从上午的8时到上午10时，时针旋转的旋转角为．【即学即练1】（2021秋•太原期中）几何图形由点、线、面组成，点动成线、线动成面、面动成体．下列现象中能反映“线动成面”的是（）A．流星划过夜空B．笔尖在纸上快速滑动C．汽车雨刷的转动D．旋转门的旋转【即学即练2】（2021春•凤翔县期末）下列运动形式属于旋转的是（）A．在空中上升的氢气球B．飞驰的火车C．时钟上钟摆的摆动D．运动员掷出的标枪知识点02 旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．【知识拓展2】（2021秋•泰山区期末）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（）A．15°或45°B．15°或45°或90°C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°【即学即练1】（2021秋•湖北期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则旋转角∠ACD的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【即学即练2】（2021秋•莆田期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，OC＝CD＝DE．若∠BDE＝81°，则∠AOB的度数是（）A．24°B．27°C．30°D．33°知识点03 旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．【知识拓展3】（2021秋•北仑区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．B．C．D．【即学即练1】（2021秋•荆门期末）把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（）A．36°B．72°C．90°D．108°【即学即练2】（2021秋•丰润区期末）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（）A．60°B．72°C．75°D．90°知识点04中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．【知识拓展4】（2021秋•淮南月考）如图，△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OC＝OC′B．∠ABC＝∠A'C'B'C．点B的对称点是B′D．BC∥B'C'【即学即练1】（2021秋•黄陂区期中）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（）A．点A B．点BC．线段AB的中点D．无法确定【即学即练2】（2021春•清苑区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′知识点05中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．【知识拓展5】（2021秋•交城县期末）下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A．向右和向左转弯B．靠左侧道路行驶C．禁止驶入D．环岛行驶【即学即练1】（2021秋•铅山县期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．知识点06关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．【知识拓展6】（2021秋•沙河口区期末）在平面直角坐标系中，点P、点Q关于原点对称，若点P的坐标是（2，3），则点Q的坐标是．【即学即练1】（2021秋•新吴区期末）若点P（a，2）点Q（﹣4，b）关于原点对称，则点M （a，b）在第象限．【即学即练2】（2021秋•开州区期末）平面直角坐标系中点P（7，﹣9）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣9，7）B．（﹣7，9）C．（7，9）D．（﹣7，﹣9）知识点07作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．【知识拓展7】（2021秋•南开区期末）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．（1）直接写出点D的坐标；（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为．【即学即练1】（2021秋•南沙区期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，若点D 恰好在CB的延长线上，则∠CDE等于（）A．αB．90°+C．90°﹣D．180°﹣2α【即学即练2】（2021秋•铅山县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）．（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；（2）求四边形AOA1B1的面积．例题1．（2020·浙江八年级期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点P 为AC 边上的一点，将线段AP 绕点A 顺时针方向旋转（点P 对应点'',P AP AP =）．当AP 旋转至AP AB'⊥时，点'B P P ,,恰好在同一直线上，此时作'⊥P E AC 于点E ．（1）求证：∠=∠CBP ABP ；（2）若4,8AB BC AC -==，求PBC 的面积；（3）在（2）的条件下，点N 为边BC 上一动点，点M 为边BP 上一个动点，连接MC MN ,，求MC MN +的最小值．能力拓展【变式1】（2021·河南郑州市·八年级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45︒的三角尺ADE 固定不动，将含30的三角尺ABC 绕顶点A 顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当角60CAE ∠=︒时，//BC DE ．求其它所有可能符合条件的角()0180CAE CAE ∠︒<∠<︒的度数，画出对应的图形并证明．【变式2】（2021·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）已知：如图1，AOB 和COD 都是等边三角形．（1）求证：①AC＝BD ；②∠APB＝60°；（2）如图2，在AOB 和COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB＝∠COD＝α，则AC 与BD 间的等量关系为 ，∠APB的大小为模块三、中心对称例题1．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 的顶点都在格点上．请回答下列问题：（1）作出△ABC 向左平移4个单位长度后得到111A B C △，并写出1A 的坐标；（2）作出△ABC 关于原点O 对称的222A B C △并写出22B C ，点的坐标．【变式1】（2021·山东济南市·八年级期末）如图网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是(3,2)A 、()1,3B ．（1）点A 关于点O 中心对称点的坐标为（_______，_______）；（2）△AOB 绕点O 顺时针旋转90︒后得到11AOB ，在方格纸中画出11AOB ，并写出点1B 的坐标（______，_______）；（3）在y 轴上找一点P ，使得PA PB +最小，请在图中标出点P 的位置，并求出这个最小值．【变式2】（2021·山东烟台市·八年级期末）如图所示，网格中每个小正方冠的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案．解答下列问题：（1）图①中的三个图案面积都是，且都具有一个共同特征：都是对称图形；（2）请在图②中设计出一个面积与图①阴影部分面积相同，且具备上述共同特征的图案，要求所画图案不能与图①中所给出的图案相同．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共8小题）1．（2021秋•澄海区期末）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB＝25°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．35°C．40°D．85°2．（2021秋•崆峒区期末）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奥会将隆重举行，如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片．旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转（）A．180°B．120°C．90°D．60°3．（2021秋•雨花区期末）如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不成立的是（）A．点A与点D是对应点B．BO＝EOC．∠ACB＝∠FED D．AB∥DE4．（2021秋•沙河口区期末）下列图案是一些电视台的台标，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2021秋•澄海区期末）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）和点B（m，2）关于原点对称，则m的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣16．（2021秋•铅山县期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠PDE的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°7．（2021秋•绥滨县期末）已知，如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm．将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D的长是（）A．1.5cm B．3cm C．5cm D．2.5cm8．（2021秋•澄海区期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC边上，且AB′＝CB′，若∠C＝20°，则△ABC旋转的角度为（）A．60°B．80°C．100°D．120°二．填空题（共1小题）9．（2021秋•杜尔伯特县期末）时针从数字“9”到“12”按时针方向旋转了90°．三．解答题（共9小题）10．（2021秋•大洼区期末）如图，将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°，在所给的直角坐标系中画出旋转后的Rt△A1B1O．11．（2021秋•昆明期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．（1）以x轴为对称轴画出△ABC的对称图形△A'B'C'；（2）画出△ABC绕点C按顺时针旋转90°后的△A″B″C；（3）直接写出A'、A″点的坐标．12．（2021秋•尧都区期末）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），将△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到△B1OC1，画出△B1OC1，并写出B、C两点的对应点B1、C1的坐标，13．（2021秋•富县期中）如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数，并指出旋转中心．14．（2021秋•新丰县期中）如图，在边长为1的小正方形格中，△AOB的顶点均在格点上．（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）以原点O为对称中心，画出△AOB关于原点对称的△A1OB1．15．（2020秋•定南县期末）已知点P（2x+y，1）与点Q（﹣7，x﹣y）关于原点对称，求x，y的值．16．（2021春•绿园区期末）如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？17．（2021春•商河县校级期末）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）哪两个图形成中心对称？（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．18．（2020春•肇源县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C （4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是；（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．题组B 能力提升练一．选择题（共5小题）1．（2021秋•椒江区期末）如图，△DEC是由△ABC绕点C顺时针旋转30°所得，边DE，AC相交于点F．若∠A＝35°，则∠EFC的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．（2021秋•铜官区期末）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转α，得到△DEC，若点A恰好在DE的延长线上，则∠BAD的度数为（）A．α﹣30°B．180°﹣αC．90°D．3．（2021秋•句容市期末）如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN 长度的最小值是（）A．B．1C．2D．4．（2021秋•宜州区期末）如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，连接BB′，则∠ABB′的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．（2021秋•绵阳期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转角α，得到△A1BC1，此时点A，点B，点C1在一条直线上，若∠A1BC＝22°，则旋转角α＝（）A．79°B．80°C．78°D．81°二．填空题（共5小题）6．（2021秋•廉江市期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是．7．（2021秋•山亭区期末）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为．8．（2021秋•滨城区期末）已知A（2x+1，3），B（﹣5，3y﹣3）关于原点对称，则x+y ＝．9．（2021秋•海门市期末）点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是．10．（2015秋•天津期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为．三．解答题（共8小题）11．（2021秋•沙河口区期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1．将△ABC绕点P逆时针旋转90°后得到△A'B'C'，其中A和A'，B和B'，C和C'是对应点．（1）画出△A'B'C'；（2）在该网格中建立平面直角坐标系，点P，A坐标分别为P（0，1），A（1，1），直接写出该坐标系下A'，B'，C'的坐标．12．（2021秋•喀什地区期末）如图，在每个小正方形边长都是1的方格纸中，点O，A，B都在格点上．（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；（2）求线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积．13．（2021秋•芝罘区期末）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（2，2），C（5，2）．（1）将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转180°，请画出旋转后的△A1B1C1；（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A对应点A2坐标为（1，﹣2），请画出平移后的△A2B2C2，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P2的坐标是；（3）将△A1B1C1绕某一点M旋转可得到△A2B2C2，请画出点M的位置（保留痕迹），并直接写出点M的坐标．14．（2021秋•晋安区校级月考）如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB＝CD．线段AC上的两点E、F关于点O对称．求证：AE＝CF．15．（2021•鄂温克族自治旗二模）如图，△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；（2）已知AB＝5，AD+BF＝14，求四边形ABDF的面积S．16．（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．（1）直接写出图中所有相等的线段．（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．17．（2021秋•桓台县期末）如图，在直角坐标系内，已知点A（﹣1，0）．（1）图中点B的坐标是；（2）点B关于原点对称的点D的坐标是；点A关于y轴对称的点C的坐标是；（3）四边形ABCD的面积是；（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC．那么点F的坐标为．18．（2021秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．（1）求证：BE+CF＞EF；（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．题组C 培优拔尖练一．填空题（共5小题）1．（2021秋•新抚区期末）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，E在AC上且AE＝2，D是直线BC 上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF，AF，下列结论：①DF的最小值为；②AF的最小值是1+；③当CD＝1时，DE∥AB；④当DE∥AB时，DE＝1．正确结论的题号是．2．（2021秋•思明区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A、C的对应点分别为点A′、C′，连接AA′、CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．则DE的最小值为．3．（2021•西湖区校级三模）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝．在点D运动过程中，CE的最小值．4．（2021春•龙岗区期末）如图，等腰△ABC中，∠BAC＝150°，D是AB上一点，AD＝1，BD＝4，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转15°的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为．5．（2019春•市南区期中）如图，一“L”型纸片是由5个边长都是10cm的正方形拼接而成，过点I的直线分别与AE，JN交于点P，Q，且“L”型纸片被直线PQ分成面积相等的上下两部分，将该纸片沿BG，CH，DI，IJ折成一个无盖的正方体盒子后，点P，Q之间的距离为cm．二．解答题（共7小题）6．（2021秋•沙坪坝区校级期末）（1）如图1，在6×6正方形网格中，有一格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），其面积为7cm2，则这个方格纸的面积等于cm2；（2）若点M是图1中不同于点C的一个格点，且△ABC的面积与△ABM的面积相等，则满足条件的点M有个；（3）如图2，在12×12正方形网格中，每个小正方形的边长为1，给定了点D，E的位置，请先画一个△DEF，使DF，EF的长分别为，2，再画△DEF关于点O成中心对称的△D'E'F'．7．（2021秋•阳东区期中）直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对称，试求x+2y的值．8．（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．9．（2017•中原区校级三模）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．下面是小强的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围；（2）如表是y与x的几组对应值．x…﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 …y…﹣2 0 …﹣﹣﹣如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点的坐标为；②小文分析函数y＝的表达式发现：当x＜﹣1时，该函数的最大值为﹣2，则该函数图象在直线x＝﹣1左侧的最高点的坐标为；（3）小强补充了该函数图象上两个点（﹣，），（﹣，﹣），①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；②写出该函数的一条性质：．10．（2021秋•渝中区校级期末）已知，如图1，直线AB∥CD，E为直线AB上方一点，连接ED、BE，ED与AB交于P点．（1）若∠ABE＝110°，∠CDE＝70°，则∠E＝；（2）如图1所示，作∠CDE的平分线交AB于点F，点M为CD上一点，∠BFM的平分线交CD于点H，过点H作HG⊥FH交FM的延长线于点G，GF∥BE，且2∠E＝3∠DFH+20°，求∠EDF+∠G的度数．（3）如图2，在（2）的条件下，∠FDC＝25°，将△FHG绕点F顺时针旋转，速度为每秒钟3°，记旋转中的△FHG为△FH′G′，同时∠FDE绕着点D顺时针旋转，速度为每秒钟5°，记旋转中的∠FDE为∠F′DE′，当∠FDE旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t（秒），则当△FH′G′其中一条边与∠F′DE′的其中一条边互相垂直时，直接写出t的值．11．（2021秋•南川区期中）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转，得到△ADE．（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：FA平分∠DFC；（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值．12．（2019春•宁波期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．。
初中数学教案：图形的平移、旋转与对称
初中数学教案：图形的平移、旋转与对称一、引言数学是一门重要而有趣的学科，它涵盖了各种各样的概念和技巧。
图形的平移、旋转与对称是初中数学课程中重要的内容之一。
通过学习这些概念，学生们可以深入理解几何形状的特性，并在解决实际问题时应用所学知识。
二、平移1. 平移定义与特点平移是指沿着直线方向将一个图形完全保持大小、形状不变地移动到新位置上。
平移过程可以看作是将图形“滑动”到新位置，而不改变其朝向和大小。
2. 平移操作步骤及示例平移操作包括选择一个参考点和指定平移距离与方向三个步骤。
例如，将一个正方形沿x轴正方向平移3个单位长度，则只需求新每个顶点坐标分别增加3即可。
3. 平移属性与判断通过观察平移到的结果，我们可以认识到：(a)直线段保持与原来相等；(b)角度保持不变；(c)面积保持不变；(d)周长保持不变。
三、旋转1. 旋转定义与特点旋转是指以某一固定点为中心，将图形围绕这一中心点旋转一定角度，并保持其大小与形状的变换。
旋转可以使得一个图形在平面上发生朝向的改变。
2. 旋转操作步骤及示例旋转操作包括选择旋转中心、确定顺时针或逆时针方向、指定旋转角度三个步骤。
例如，围绕原点逆时针旋转30°可以通过将每个顶点坐标(x, y)修改为(x*cos(30°)-y*sin(30°), x*sin(30°)+y*cos(30°))来实现。
3. 旋转属性与判断通过观察旋转后的图形特性我们可以认识到：(a)长度和角度保持不变；(b)形状保持不变；(c)面积保持不变。
四、对称1. 对称定义与特点对称是指沿着某条直线或某点进行镜像操作，将图形完全重合并保持不变。
可以将对称看作一种“翻折”操作，使得图形呈现出左右对称或前后对称的效果。
2. 对称操作步骤及示例对称操作包括选择镜像轴与规定轴对称或中心对称两个步骤。
例如，以x轴为镜像轴进行对称，则只需沿x轴翻转每个顶点的y坐标(设原点对称后的点为(x, y)，则得到的新坐标为(x, -y))。
新人教版初中数学——图形的轴对称、平移与旋转-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——图形的轴对称、平移与旋转知识点归纳及中考典型题解析一、轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴性质对应线段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤（1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；（2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤（1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；（2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．二、图形的平移1．定义在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质（1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；（3）平移前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．三、图形的旋转1．定义在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．四、中心对称图形与中心对称中心对称图形中心对称图形定义如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称性质对应点点A与点C，点B与点D点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′对应线段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′区别中心对称图形是指具有某种特性的一个图形中心对称是指两个图形的关系联系把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．考向一轴对称轴对称图形与轴对称的区别与联系区别：轴对称图形是针对一个图形而言，它是指一个图形所具有的对称性质，而轴对称则是针对两个图形而言的，它描述的是两个图形的一种位置关系，轴对称图形沿对称轴对折后，其自身的一部分与另一部分重合，而成轴对称的两个图形沿对称轴对折后，一个图形与另一个图形重合.联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体时，它就成了一个轴对称图形．典例1第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，全国上下掀起喜迎冬奥热潮，下列四个汉字中是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】A【解析】A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选A．1．下列图形中不是轴对称图形的是A．B．C．D．考向二平移1．平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行（或共线）且相等．2．平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行或一条边共线，方向相同．3．平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两图形全等．典例2下列运动中：①荡秋千；②钟摆的摆动；③拉抽屉时的抽屉；④工厂里的输送带上的物品，不属于平移的有A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】①荡秋千，是旋转，不是平移；②钟摆的摆动，是旋转，不是平移；③拉抽屉时抽屉的运动，是平移；④工厂里的输送带上的物品运动，是平移；故选C．2．下列四组图形都含有两个可以重合的三角形，其中可以通过平移其中一个三角形得到另一个三角形的是A．B．C．D．3．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则A．乙比甲先到B．甲比乙先到C．甲和乙同时到D．无法确定考向三旋转通过旋转，图形中的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．在旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．典例3 如图，在ABC △中，65BAC ∠=︒，以点A 为旋转中心，将ABC △绕点A 逆时针旋转，得AB C ''△，连接BB '，若BB'AC ∥，则BAC '∠的大小是A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．45︒【答案】A【解析】∵△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置， ∴AB ′=AB ，∠B ′AC ′=∠BAC =65︒， ∴∠AB ′B =∠ABB ′， ∵BB ′∥AC ，∴∠ABB ′=∠CAB =65°， ∴∠AB ′B =∠ABB ′=65°， ∴∠BAB ′=180°–2×65°=50°，∴∠BAC ′=∠B ′AC ′–∠BAB ′=65°–50°=15°， 故选A ．4．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是A ．36°B ．60°C ．72°D ．90°5．如图将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AED ，若点B 、D 、E 在同一条直线上，∠BAC =20°，则∠ADB的度数为A．55°B．60°C．65°D．70°考向四中心对称识别轴对称图形与中心对称图形：①识别轴对称图形：轴对称图形是一类具有特殊形状的图形，若把一个图形沿某条直线对称，直线两旁的部分能完全重合，则称该图形为轴对称图形．这条直线为它的一条对称轴．轴对称图形有一条或几条对称轴．②中心对称图形识别：看是否存在一点，把图形绕该点旋转180°后能与原图形重合．典例4下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】B【解析】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误，故选B．6．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是A．B．C．D．1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是A．B．C．D．2．已知点A的坐标为（3，–2），则点A向右平移3个单位后的坐标为A．（0，–2）B．（6，–2）C．（3，1）D．（3，–5）3．下列说法中正确的有①旋转中心到对应点的距离相等；②对称中心是对称点所连线段的中点；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角；④任意一个等边三角形都是中心对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是A．把△ABC向右平移6格B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格C．把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格D．把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格5．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（–2，–2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为A．（1，–1）B．（–1，–1）C．（1，1）D．（–1，1）6．在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为__________．7．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1=110°，则∠2=__________°．8．如图所示，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的____．9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°<α<90°）．若∠1=112°，则∠α=__________°．10．△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为__________； （2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为__________； （3）画出△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°得到的△A 3B 3C 3，并求点C 走过的路径长．11．如图，在ABC △中，D 为BC 上任一点，DE AC ∥交AB 于点E DF AB ，∥交AC 于点F ，求证：点E F ，关于AD 的中点对称．12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3），点B坐标为（2，1）；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出点C'的坐标；（3）判断△ABC的形状．并说明理由．13．如图，已知∠BAC=40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合，连接CE．（1）△ABC旋转了多少度？（2）连接CE，试判断△AEC的形状．（3）若∠ACE=20°，求∠AEC的度数．1．下列四个图形中，可以由下图通过平移得到的是A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，–1），平移线段AB，使点A落在点A1（–2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为A．（–1，–1）B．（1，0）C．（–1，0）D．（3，0）4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为A．30°B．90°C．120°D．180°5．如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．216．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于A．2 B．3 C．4 D．3 27．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为A．4 B．25C．6 D．268．如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB 绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是__________．9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10 cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6 cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为__________cm．10．如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为__________．11．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG=CH，直线GH绕点O 逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α=90°，AB=9，AD=3，求AE的长．13．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α=60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．变式拓展1．【答案】A【解析】A．不是轴对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A．2．【答案】D【解析】A、可以通过轴对称得到，故此选项错误；B、可以通过旋转得到，故此选项错误；C、可以通过轴对称得到，故此选项错误；D、可通过平移得到，故此选项正确；故选D．3．【答案】C【解析】由平移的性质可知，甲、乙两只蚂蚁的行走的路程相同，且两只蚂蚁的速度相同，所以两只蚂蚁同时到达，故选C．4．【答案】C【解析】根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5=72°或72°的倍数．故选C．5．【答案】C【解析】∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，∴∠BAC=∠DAE=20°，AB=AE，∠BAE=90°，∴∠BEA=45°，∵∠BDA=∠BEA+∠DAE=45°+20°，∴∠BDA=65°.故选C．6．【答案】A【解析】A、是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是旋转变换图形，故本选项错误；D、是旋转变换图形，故本选项错误．1．【答案】C【解析】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选C．2．【答案】B【解析】∵将点A（3，–2）向右平移3个单位所得点的坐标为（6，–2），∴正确答案是B选项.故选B．3．【答案】C【解析】①旋转中心到对应点的距离相等，正确；②对称中心是对称点所连线段的中点，正确；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角，正确；④任意一个等边三角形都是中心对称图形，错误．说法正确的有3个，故选C．4．【答案】D【解析】根据图象，△ABC 绕着点A 逆时针方向90°旋转与△DEF 形状相同，向右平移6格就可以与△DEF 重合．故选D ． 5．【答案】C【解析】菱形OABC 的顶点O （0，0），B （–2，–2）， 得D 点坐标为（022-，022-），即（–1，–1）． 每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360°=7.5周， OD 旋转了7周半，菱形的对角线交点D 的坐标为（1，1）； 故选C ． 6．【答案】23-【解析】如图，作AH ⊥CD 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°， ∴AB ∥CD ，∴∠D +∠BAD =180°， ∴∠D =60°， ∵AD =AB =2，∴AH =AD ·sin60°3= ∵B ，B ′关于EF 对称， ∴BE =EB ′，当BE 的值最小时，AE 的值最大，根据垂线段最短可知，当EB ′3AH ==时，BE 的值最小， ∴AE 的最大值=23， 故答案为：23． 7．【答案】55【解析】∵1110∠=︒，纸条的两边互相平行，∴3180118011070.∠=︒-∠=︒-︒=︒根据翻折的性质，()()1121803180705522∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒．故答案为：55． 8．【答案】14【解析】根据中心对称图形的性质，得AOE COF △≌△，则阴影部分的面积等于BOC △的面积，为平行四边形ABCD 面积的14．故答案为：14． 9．【答案】22【解析】如图，∵21112∠=∠=︒（对顶角相等），∴336090211268.∠=-⨯︒-=︒︒︒ ∴'906822BAB ∠=-=︒︒︒，∴旋转角'22.BAB α∠=∠=︒故答案为：22．10．【解析】（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为（2，–3）．（2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为（3，1）． （3）将△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°，则点C 走过的路径长=90π2180=π．11．【解析】如图，连接EF 交AD 于点O ．DE AC ∥交AB 于E DF AB ，∥交AC 于F ，∴四边形AEDF 是平行四边形， ∴点E F ，关于AD 的中点对称．12．【解析】（1）如图所示：（2）如图所示：'''A B C △即为所求：C '的坐标为()55-，； （3）2221454162091625AB AC BC =+==+==+=，，，∴222AB AC BC +=， ∴ABC △是直角三角形．13．【解析】（1）∵∠BAC =40°，∴∠BAD =140°，∴△ABC 旋转了140°．（2）由旋转的性质可知AC =AE ，∴△AEC 是等腰三角形． （3）由旋转的性质可知，∠CAE =∠BAD =140°，又AC =AE ， ∴∠AEC =（180°–140°）÷2=20°．1．【答案】D【解析】∵只有D 的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到； 故选D ． 2．【答案】B【解析】将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标横坐标增加3，即（5，1）．故选B ． 3．【答案】【解析】由点A （2，1）平移后所得的点A 1的坐标为（–2，2），可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，∴点B 的对应点B 1的坐标为（–1，0）．故选C ． 4．【答案】C【解析】∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C ． 5．【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD =∠ACE =90°，∴∠BAC =90°， 又∵∠B =60°，∴∠ACB =30°，∴BC =2AB =6，∴AD =6，直通中考由折叠可得，∠E =∠D =∠B =60°，∴∠DAE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选C ． 6．【答案】B【解析】∵S △ABC =16.S △A ′EF =9，且AD 为BC 边的中线，∴S △A ′DE =12S △A ′EF =92，S △ABD =12S △ABC =8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '，∴A ′E ∥AB ，∴△DA ′E ∽△DAB ， 则2()A'DE ABD S A'D AD S =△△，即299()1816A'D A'D ==+，解得A ′D =3或A ′D =﹣37（舍），故选B ． 7．【答案】D【解析】∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于20，∴AD =DC =2，∵DE =2，∴Rt △ADE 中，AE =22AD DE +=26，故选D ．8．【答案】（﹣2，﹣23） 【解析】作BH ⊥y 轴于H ，如图，∵△OAB 为等边三角形，∴OH =AH =2，∠BOA =60°，∴BH =3OH =23，∴B 点坐标为（2，23）， ∵等边△AOB 绕点O 顺时针旋转180°得到△A ′OB ′， ∴点B ′的坐标是（﹣2，﹣23）． 故答案为：（﹣2，﹣23）． 9．【答案】10–26【解析】如图，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，由旋转知：AD =AE ，∠DAE =90°，∠CAE =∠BAD =15°，∴∠AED =∠ADG =45°，在△AEF 中，∠AFD =∠AED +∠CAE =60°，在Rt △ADG 中，AG =DG =2AD =32， 在Rt △AFG 中，GF =3AG =6，AF =2FG =26，∴CF =AC –AF =10–26， 故答案为：10–26．10．【答案】23–2【解析】根据旋转过程可知：∠CAD =30°=∠CAB ，AC =AD =4．∴∠BCA =∠ACD =∠ADC =75°．∴∠ECD =180°–2×75°=30°．∴∠E =75°–30°=45°．过点C 作CH ⊥AE 于H 点，在Rt △ACH 中，CH =12AC =2，AH =23． ∴HD =AD –AH =4–23．在Rt △CHE 中，∵∠E =45°，∴EH =CH =2．∴DE =EH –HD =2–（4–23）=23–2．故答案为3–2．11．【解析】（1）如下图所示，点A 1的坐标是（–4，1）；（2）如下图所示，点A 2的坐标是（1，–4）；（3）∵点A （4，1），∴OA 221417+=∴线段OA 290(17)⨯π⨯=174π．12．【解析】（1）∵对角线AC的中点为O，∴AO=CO，且AG=CH，∴GO=HO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，CD=AB，CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB，且CO=AO，∠FOC=∠EOA，∴△COF≌△AOE（ASA），∴FO=EO，且GO=HO，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接CE，∵∠α=90°，∴EF⊥AC，且AO=CO，∴EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2，∴AE2=（9–AE）2+9，∴AE=5．13．【解析】（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=12（180°–30°）=75°，∴∠ADE=90°–75°=15°；（2）如图2，∵点F是边AC中点，∴BF=12 AC，∵∠ACB=30°，∴AB=12AC，∴BF=AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，∴DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE=CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF=BC，∴DF=BE，而BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形．。
苏科版八年级下册第九章 中心对称图形章节知识点§9.1~9.5
§9.1 图形的旋转【知识点总结】1、生活中的旋转例1：下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动;④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动;⑥荡秋千运动．属于旋转的有（）A。
2个 B.3个C。
4个 D.5个2、旋转的概念将图形绕一个顶点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心,旋转的角度称为旋转角。
图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形上点的位置. 例2：如图所示，ΔABC绕顶点C顺时针方向旋转某一角度后，得到ΔA′B′C′.请回答下列问题:（1）旋转中心是哪一点?（2）旋转角是哪个角？（3）经过旋转,点A、B分别移动到什么位置？（4）找出图形中所有相等的角和线段。
例2图3、旋转的性质一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.例3:四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB延长线上的点，且DE=BF,连接AE、AF、EF （1）求证:△ADE≌△ABF；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心点,按顺时针方向旋转度得到；（3)若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．4、画旋转后的图形利用图形的旋转的性质，可以画出一个图形绕某点按照一定的方向旋转一定角度后的图形。
基本画法：将图形上的一些特殊点与旋转中心连接，以旋转中心为圆心,连线段长为半径画图，按照旋转的角度来找出对应点，再画出所有的对应线段。
例4:如图，O为ΔABC外的一点，求作：ΔABC绕点O按顺时针方向旋转60°后所得的ΔA′B′C′。
题型一确定图形的旋转角度例1：如图所示,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A。
30°B。
45°C。
90°D。
135°题型二确定图形的旋转中心.O例2：如图，O为正方形ABCD的边CD的中点，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合,那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共个。
初中八年级数学教案利用图形的平移旋转和轴对称设计图案
利用图形地平移,旋转与轴对称设计图案教学目的1,能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后地图形.2,欣赏现实生活中地轴对称图形,能利用轴对称进行一些图案设计.3,体会轴对称在现实生活中地广泛应用与丰富地文化价值.教学重点点A关于l地轴对称点地画法,补全有关轴对称图形地操作技能,设计轴对称图形.教学难点掌握有关画图地技能及设计轴对称图形.分析本课时学习内容是在学生已经关注到生活中地轴对称现象与对轴对称性质有一定认识基础上展开地.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后地图形,利用轴对称设计图案是本课时地较高要求.发现身边地轴对称图案,体会轴对称地应用价值与增强学生审美情趣,是本课时任务之一.前两项目的属于知识与技能层次,要很好地掌握,后者引导学生认真体会,渗透理念.教学建议本课时提前布置学生搜集身边地轴对称图案标志等,使学生在搜集地过程中体会轴对称在现实生活中地广泛应用与丰富地文化价值,增强学生审美情趣.采用激情导入可以使学生感受数学与日常生活地密切联系,体会数学地应用价值,从而激发学生地求知欲与学习地热情,教学时教师可再收集一些贴近学生实际生活地图案,如商标,会徽,车标等以丰富感知.作简单平面图形经过轴对称后地图形,其关键就在于把握图形特殊点,将问题转化为找点关于对称轴地对称点地问题.另外,在我们已知线段地一条对称轴是线段地垂直平分线地地基础上,很容易知道线段地两个端点关于线段地垂直平分线对称,由此得到画点关于对称轴地对称点地方法.在布置预习任务时,可突出体现转化思想,例如:让学生思考补全轴对称图形地关键是什么？想一想如何画出点A关于l地对称点等问题.鼓励学生采用扎眼,印墨迹,折叠,剪纸,画图等不同方法参与图案设计.对于创意独特地优秀作品进行展示,激发学生学数学用数学地兴趣.教学过程一,引入新课下列标志分别是绿色食品标志,中国环境标志,国家免检产品标志,请同学们观察,欣赏它们,尝试说出这些标志地意义,并判断它们是否是轴对称图形.它们是怎样设计地？二,明确目的本节课我们就来尝试补全轴对称图形与设计一些创意独特地轴对称图案,再次领略轴对称地神奇魅力.三,完成目的小组设计一名优秀作品进行班级展示.(鼓励学生大胆想象,采用多种形式进行轴对称图案地设计)四,知识升华完成练习,习题.课堂小结这节课妳有什么收获？。
八上数学第3章 中心对称图形(一)第1课时 图形的旋转
八年级数学(上)第三章中心对称图形(一)（附答案）第1课时图形的旋转1．如图，线段AO绕点O顺时针旋转得到线段BO，存这个旋转过程中，旋转中心是_______，旋转角是_________．2．如图，将左边的矩形绕点B旋转一定角度后，位置如右边的矩形，则∠ABC=__________．3．如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P′AC，则∠PAP′=__________．4．如图，在网格图(每小格均是边长为1的正方形)中完成下列各题：(1)作出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1 C 1．(2)作出△A 1 B 1 C 1绕点B 1顺时针方向旋转90°后的△A2B1C2．(3)求△A2B1C2的周长．5．如图，把△ABC顺时针旋转60°后能与△A′BC′重合．(1)找出旋转中心．(2)指出对应顶点和对应边．(3)指出旋转角．(4)连接AA′、CC′，则△ABA′和△CBC′是什么三角形?为什么?6．下列运动属于旋转的是( ) A．篮球的运动B．气球升空的运动C．钟表钟摆的摆动D．一个图形沿某直线对折的过程7．如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是( )8．下列说法正确的是( ) A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小B．平移和旋转的共同点是改变图形的位置C．图形可以沿某方向平移一定的距离，也可以沿某方向旋转一定的距离D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行9．如图，正方形A1B1C1D1是正方形ABCD按顺时针方向旋转一定的角度而形成的，其中∠CBC1=40°，则旋转中心是_________，旋转角的度数为_________．10．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A 逆时针旋转后与△ACP′重合．如果AP=3，那么线段PP′的长为_______．11．如图，四边形ABCD是正方形，△DAE旋转后能与△DCF重合．(1)旋转中心是哪一点?(2)旋转了多少度?(3)连接EF，则△DEF是怎样的三角形?(4)若BC=7，CF=4，求BE的长．12．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC绕点P顺时针旋转180°，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点C′顺时针旋转90°，得到△A″B″C′，请你画出△A′B′C′和△A″B″C′(不要求写画法)．13．如图，当半径为30 cm的转动轮转过90°时，传送带上的物体甲平移的距离是多少?转过120°呢?参考答案1．点O ∠AOB 2．90°3．60°4．(1)略(2)略(3)4+5．略6．C 7．C8．B 9．点B 40°10．11．(1)点D (2)90°(3)△DEF是等腰直角三角形(4)3 12．略13．15πcm 20πcm。
八年级数学《图形的平移、旋转(中心对称)》【同步+复习+名师课堂=通用课件】
金鱼图向（
）平移了（
）格
①
①
金鱼图向（
）平移了（
）格
②
②
金鱼图向（
）平移了（
）格
③
③
金鱼图向（
）平移了（
）格
① ② ③ ③
① ②
金鱼图向（左）平移了（ 7 ）格
火箭图向（上 ）平移了（ 4 ）格
小房图向（ 下 ）平移了（ 5 ）格
• 1.认识图形的平移 • 2.探索平移的性质 • 3.平移的性质的应用
平移的方向和平移的距离
3.平移的性质：
1 .图形平移后，对应点之间的连线平行（或在同一 条直线上）且相等。 2.经过平移所得的图形与平移前的图形全等 图形平移后，图形的大小、形状都不变。
如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其 中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离，就 得到此图形，求阴影部分面积(单位：厘米).
14m 18m
12m 16m
2m
求出图中绿地的面积 将绿地平移在一起即可求得
还有其它的平移方案吗?
18m
2m
16m 12m
14m
30m
4m
4m
20m
22m
能否用平移的方法求出绿地的面积?
如图所示的矩形，水平方向边 长为a，竖直方向边长为b，将线段 A1A2向右平移一个单位得到B1B2， 得到封闭图形A1A2 B2B1（即阴影部 分），求除去阴影部分后剩余部分 的面积？
C (C`)
A（A`）
B (B`)
L(L`)
（3）由此你发现将⊿ABC移动到⊿A`B`C`的位置是由 哪些因素确定的？
平移的两要素： L` 图形平移后的位置由平移的方向与平移 的距离确定。 L(L`) C`
八年级数学上册 16.5 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案 中国环境保护徽图案设计及使用说明素材
中国环境保护徽图案设计及使用说明
（１）中国环境保护徽是中国环境保护的标志，象征地球，说明地球只有一个，这是我们全人类赖以生存的大环境，人们要共同保护它。
（２）徽标上端图案基本结构与组合同联合国环境保护徽相近，说明环境保护事业是全球性的，它为全世界所关注。
在当今时代，日益恶化的环境告诫人们：环境保护事业与全人类生存休戚相关。
（３）上端图案绿色橄榄枝，既代表和平、安宁，又代表一切植物和生态环境，象征绿色在召唤，人们应当知道：绿色的消失，就会使生态失去平衡，就是对人类生存的严重威胁。
（４）图形的蓝色块，代表蓝天与碧水，泛指大气与水体，太阳代表宇宙空间，山与水借用中国象形文字并使之图案化，从形象上增强中国特色。
说明我们环境保护工作者的任务，就是要通过对污染的监督与治理，使天长蓝、水长清、山长绿，让人们永远生活在美好环境中。
图案基本色调采用明快，洁白的颜色，代表洁净，无污染的大气。
（５）下端ZHB为Zhong Guo Huan Bao(中国环保)的缩写，标明这是环境保护徽。
（６）中国环境保护徽可在中央及地方各级环境保护机构的建筑物上悬挂；可在各级环境监测站、各级环境科研单位及有关环境保护单位使用；可在各类环境保护会议上悬挂；可在各种环境保护报刊的报头、杂志的封面上使用，亦可喷涂于环境监测车、船及飞机上。
专题 图形的轴对称、平移与旋转 中考数学
专题 图形的轴对称、平移与旋转目录一、考情分析二、知识建构考点图形的轴对称、平移与旋转题型01 图形的识别题型02 与图形变化有关的作图问题题型03 几何图形的平移变化题型04 与函数图象有关的平移变化题型05 几何图形的折叠问题题型06 与函数图象有关的轴对称变化题型07 几何图形的旋转变化题型08 与函数图象有关的旋转变化题型09 利用平移、轴对称、旋转的性质解决多结论问题题型10 与图形变化有关的最值问题【核心提炼·查漏补缺】【好题必刷·强化落实】考点图形的轴对称、平移与旋转题型01 图形的识别平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形.在判断一个图形是否为轴对称图形、中心对称图形时，要明确以下两点:1）如果能找到一条直线(对称轴)把一个图形分成两部分，且直线两旁的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形;2）把一个平面图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能和原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形.1．（2023·湖南郴州·中考真题）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（ ）A．B．C．D．2．（2023·黑龙江大庆·中考真题）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2023·湖北荆州·中考真题）观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（ ）A．主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形B．左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形C．俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形D．主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形4．（2022·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（）A．平移B．轴对称C．旋转D．位似题型02与图形变化有关的作图问题解决图形变化有关的作图问题方法：1）平移与旋转作图都应抓住两个要点:一是平移、旋转的方向；二是平移的距离及旋转的角度.2）基本的作图方法是先选取已知图形的几个关键点，再根据平移或旋转的性质作它们的对应点，然后以“局部带动整体”的思想方法作变换后的图形.3）无论是平移、轴对称与旋转，都不改变图形的大小和形状.1．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,−1),B (1,−2)，C(3,−3)．(1)将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．(3)将△A2B2C2着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．2．（2023·四川达州·中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；(3)在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．3．（2022·广西河池·中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B （2，3），C（1，2）．(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2:1，并写出点B2的坐标．题型03 几何图形的平移变化平移变换问题:分几何图形平移变换和函数图像平移变换. 平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置.在图形的变化过程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据具体图形变换的特点确定其变化.1．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为(−2,0)，∠AOC=60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形OA′B′C′，其中点B′的坐标为（）A．(−2,3−1)B．(−2,1)C．(−3,1)D．(−3,3−1)2．（2023·河南·中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M(4,0)的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1 C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC 绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．(2)探究迁移：如图2，▱ABCD中，∠BAD=α(0°<α<90°)，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：①若∠PAP2=β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；②若AD=m，求P，P3两点间的距离．(3)拓展应用：在（2）的条件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，连接P2P3．当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长．3．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形其中判定的依据是__________．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB<BC，FG≤BC），其中AB=EF，∠B=∠FEH，将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N．求证：▱EFMN是菱形．【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，且EF始终在边BC 上．当MD =MG 时，延长CD ，HG 交于点P ，得到图③．若四边形ECPH 的周长为40，sin ∠EFG =45（∠EFG 为锐角），则四边形ECPH 的面积为_________．4．（2023·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，菱形ABCD 的顶点A(3,0),B(0,1),D(23,1)，矩形EFGH 的顶点E 0,−3,0,(1)填空：如图①，点C 的坐标为________，点G 的坐标为________；(2)将矩形EFGH 沿水平方向向右平移，得到矩形E ′F ′G ′H ′，点E ，F ，G ，H 的对应点分别为E ′，F ′，G ′，H ′．设EE ′=t ，矩形E ′F ′G ′H ′与菱形ABCD 重叠部分的面积为S ．①如图②，当边E ′F ′与AB 相交于点M 、边G ′H ′与BC 相交于点N ，且矩形E ′F ′G ′H ′与菱形ABCD 重叠部分为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当233≤t ≤1134时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．题型04 与函数图象有关的平移变化1．（2023·湖南益阳·中考真题）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y =2x 的图象向上平移1个单位得到y =2x +1的图象；将二次函数y =x 2+1的图象向左平移2个单位得到y =(x +2)2+1的图象．若将反比例函数y =6x 的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ．2．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y 轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．(1)求抛物线的表达式；(2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m(m>0)个单位，得到一条新S1，求m的值．抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=35x2+bx−4的图像与x轴相交于点A(−2,0)、B，其顶点是3．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数y=12C．(1)b=_______；(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=5；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过2点D，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．4．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(−6,0)，B(−2,0)，C(0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD有最大值，最大值是多少？PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+12题型05 几何图形的折叠问题【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F.【活动猜想】（1）如图2，当点B′与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？答：_________.【问题解决】（2）如图3，当AB=4，AD=8，BF=3时，求证：点A′，B′，C在同一条直线上.【深入探究】（3）如图4，当AB与BC满足什么关系时，始终有A′B′与对角线AC平行？请说明理由.（4）在（3）的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，B′D，EF之间满足的等量关系，并说明理由.2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图1，在▱ABCD纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将▱ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C′、D′，射线C′E与射线AD交于点F．(1)求证：AF=EF；(2)如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______ ；(3)如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM交C′D′于点N，连接AN、EN，求△ANE的面积．3．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．4．（2022·河南·中考真题）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．题型06 与函数图象有关的轴对称变化1．（2022·四川巴中·中考真题）函数y=|ax2+bx+c|(a>0,b2−4ac>0)的图象是由函数y=ax2+bx+c (a>0,b2−4ac>0)的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b=0；②c=3；③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．A．①②B．①③C．②③④D．①③④2．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过=25．求点F的坐标．点F作FG⊥CH于点G，若DFHG3．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=−ax2+5ax+2(a>0)交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．(1)求点C，D的坐标；(2)当a=1时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线上3一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点P的坐标；(3)坐标平面内有两点+1,F(5,a+1)，以线段EF为边向上作正方形EFGH．①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为5时，求a的值．24．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx−3经过点B(6,0)和点D(4,−3)与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．(1)①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD的函数表达式．(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF 的面积记为S2，当S1=2S2时，求点E的坐标；(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为C1，点C的对应点C′，点G的对应点G′，将曲线C1，沿y轴向下平移n个单位长度（0<n<6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出P的坐标．题型07几何图形的旋转变化旋转变换问题:分为几何图形旋转变换和与函数图象有关的旋转变化.在实际解题中，若我们能恰当地运用图形的旋转变换，往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果，图形的旋转变换，既要借助于推理，但更要借助于直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更敏锐，使这种观察更具眼力. 1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN 始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM=∠CNH；【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．连接AC 的值．交BD于点O，求EFNM2．（2023·湖南·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平行线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ,PQ交AC于F．(1)证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ=120°．(2)当AP为何值时，△AQF是直角三角形？DP3．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD 绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．(1)判断线段BD 与CE 的数量关系并给出证明；(2)延长ED 交直线BC 于点F ．①如图2，当点F 与点B 重合时，直接用等式表示线段AE ，BE 和CE 的数量关系为_______；②如图3，当点F 为线段BC 中点，且ED ＝EC 时，猜想∠BAD 的度数，并说明理由．题型08 与函数图象有关的旋转变化1．（2021·青海西宁·中考真题）如图，正比例函数y =12x 与反比例函数y =k x (x >0)的图象交于点A ，AB ⊥x 轴于点B ，延长AB 至点C ，连接OC ．若cos ∠BOC =23，OC =3．（1）求OB 的长和反比例函数的解析式；（2）将△AOB 绕点О旋转90°，请直接写出旋转后点A 的对应点A '的坐标．2．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x 轴交于点B(−1,0)．(1)求二次函数的表达式；(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．x2+bx+c的图象经过点A(0,2)，3．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=13与x轴的交点为点B(3,0)和点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)点E，G在y轴正半轴上，OG=2OE，点D在线段OC上，OD=3OE．以线段OD，OE为邻边作矩形ODFE，连接GD，设OE=a．①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值；②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，FG，将△GFH绕点F 按顺时针方向旋转α(0°<α≤180°)后得到△G′FH′，点G，H的对应点分别为G′、H′，连接DE．当△G′FH′的边与线段DE垂直时，请直接写出点H′4．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在平而直角坐标系中，二次函数y=−3x2+23x的图象与x轴分别交于点O,A，顶点为B．连接OB,AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D,E分别在线段OB,BC上，连接AD,DE,EA,DE与AB交于点F,∠DEA=60°．(1)求点A,B的坐标；(2)随着点E在线段BC上运动．①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE 的面积为 ．题型09 利用平移、轴对称、旋转的性质解决多结论问题1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB 于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是（ ）A ．①②③B ．②④C ．①③④D ．①②③④2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD =CE ；②∠DAC =∠CED ；③若BD =2CD ，则CF AF =45；④在△ABC 内存在唯一一点P ，使得PA +PB +PC 的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则CE =2+3．其中含所有正确结论的选项是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④3．（2022·四川眉山·中考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，将△EDC 绕点C 逆时针旋转90°至△HBC ，点D ，B ，H 在同一直线上，HE 与AB 交于点G ，延长HE 与CD 的延长线交于点F ，HB =2，HG =3．以下结论：①∠EDC =135°；②EC 2=CD ⋅CF ；③HG =EF ；④sin ∠CED =23．其中正确结论的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；；④BM+MN+ND的最小值是20．其中所②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2时，S△MPE=9625有正确结论的序号是．题型10 与图形变化有关的最值问题1．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=10，AD=42，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC．点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，ME ∥DN，则AM+ME的最小值是（）A．23B．3C．32D．422．（2023·湖北十堰·中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC(∠A=90°)硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为，最大值为．3．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是．4．（2023·四川自贡·中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB 的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．5．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′，由PC =P ′C ，∠PCP ′=60°，可知△PCP ′为 ① 三角形，故PP ′=PC ，又P ′A ′=PA ，故PA +PB +PC =PA ′+PB +PP ′≥A ′B ，由 ② 可知，当B ，P ，P ′，A 在同一条直线上时，PA +PB +PC 取最小值，如图2，最小值为A ′B ，此时的P 点为该三角形的“费马点”，且有∠APC =∠BPC =∠APB = ③ ；已知当△ABC 有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC ≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．(2)如图4，在△ABC 中，三个内角均小于120°，且AC =3，BC =4，∠ACB =30°，已知点P 为△ABC 的“费马点”，求PA +PB +PC 的值；(3)如图5，设村庄A ，B ，C 的连线构成一个三角形，且已知AC =4km ，BC =23km ，∠ACB =60°．现欲建一中转站P 沿直线向A ，B ，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A ，B ，C 的铺设成本分别为a 元/km ，a 元/km ，2a 元/km ，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a 的式子表示）轴对称与轴对称图形定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.区别1）轴对称是指两个图形折叠重合.2）轴对称对称点在两个图形上.3）轴对称只有一条对称轴.1）轴对称图形是指本身折叠重合.2）轴对称图形对称点在一个图形上.3）轴对称图形至少有一条对称轴.联系1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合.2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.性质1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.判定1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线.常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等.这个点叫做它的对称中心.区别中心对称是指两个图形的关系中心对称图形是指具有某种特性的一个图形联系两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称.中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；2）中心对称的两个图形是全等图形.找对称中心的方法和步骤：方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离．平移的性质：1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等.2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等.3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离.旋转的三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．旋转的性质：1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3）旋转前后的图形全等．1. 图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.2. 旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点.3. 对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径.4. 旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．一、单选题1．（2023·山西吕梁·模拟预测）在我国“福禄寿喜”一般是指对人的祝福，代表健康长命幸福快活和吉祥如。
初二数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析
初二数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标（，）；（2）将△ABC的三个顶点的横、纵坐标都乘以－1，分别得到对应点A2、B2、C2，画出△A2B2C2，则△ABC和△A2B2C2关于对称；（3）将△ABC在网格中平移，使点B的对应点B3坐标为（－6，1），画出△A3B3C3.【答案】(1) 5，﹣3; (2)画图见解析，原点；（3）画图见解析.【解析】（1）根据题意得出各对应点坐标进而求出即可；（2）利用已知得出各对应点坐标进而求出即可；（3）利用平移规律得出各对应点平移距离，进而求出即可．试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为；（5，﹣3）；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求，△ABC和△A2B2C2关于原点对称；（3）如图所示：△A3B3C3即为所求．【考点】1.作图-旋转变换；2.作图-轴对称变换；3.作图-平移变换．2.如图，有四块全等的直角三角形纸片，直角边长分别是1，2，请利用这四块纸片按下列要求在6×6方格纸中各拼一个图形（四块纸片都要用上，无缝隙且无重叠部分），直角顶点在格点上．（1）图甲中作出是轴对称图形而不是中心对称图形；（2）图乙中作出是中心对称图形而不是轴对称图形；（3）图丙中作出既是轴对称图形又是中心对称图形．【答案】【解析】理解轴对称中心对称的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称 .根据其特征画出相应图形即可.【考点】1.轴对称；2.中心对称3.在图中，画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1，写出△ABC关于轴对称的△A2B2C2的各点坐标.【答案】画图见解析，A2（-3，-2），B2（-4，3），C2（-1，1）．【解析】利用轴对称性质，作出A、B、C关于x轴的对称点，顺次连接各点，即得到关于y轴对称的△A1B1C1；利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接各点，即得到关于x轴对称的△A2B2C2；然后根据图形写出坐标即可．试题解析：△ABC的各顶点的坐标分别为：A（-3，2），B（-4，-3），C（-1，-1）；所画图形如下所示，其中△A2B2C2的各点坐标分别为：A2（-3，-2），B2（-4，3），C2（-1，1）．【考点】作图-轴对称变换．4.如图所示，已知O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN=5cm，则△OEF的周长为 .【答案】5cm．【解析】∵O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，∴OE=ME，OF=NF，∵MN=5cm，∴△OEF的周长为：OE+EF+OF=ME+EF+NF=MN=5（cm）．故答案为：5cm．【考点】轴对称的性质．5.在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？【答案】（1）作图见试题解析；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质结合图形解答．试题解析：（1）△A1B1C1如图所示；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．【考点】1．作图-轴对称变换；2．作图-平移变换．6.下列图形是四家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（）【答案】C.【解析】根据轴对称图形的定义，沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，选项A、B、D中的图形无论怎么折叠，都不能使左右两部重合，只有选项C符合题意，选项C可左右对折或上下对折都能使直线两旁的部分重合，故选C.【考点】轴对称图形的定义.7.一个汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码___________.【答案】【解析】本题是轴对称中的镜面对称问题，水面相当于一个平面镜，因为镜面对称的性质是在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称。
中心对称八年级数学下学期重要考点精讲精练
3.3中心对称题型1：中心对称1.（2022春•江都区月考）最近北京2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩”成为了互联网的“顶流”，他呆萌的形象受到了人们的青睐，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和如图的图片成中心对称的是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2021秋•黄陂区期中）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（）A．点A B．点BC．线段AB的中点D．无法确定【变式1-2】（2021•集美区模拟）下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（）A．B．C．D．题型2：中心对称的性质2.（2020秋•饶平县校级期末）如图，已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（）A．∠ABC＝∠A'B'C'B．∠AOB＝∠A'OB'C．AB＝A'B'D．OA＝OB'【变式2-1】（2021春•清苑区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′（2021秋•淮南月考）如图，△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）【变式2-2】A．OC＝OC′B．∠ABC＝∠A'C'B'C．点B的对称点是B′D．BC∥B'C'题型3：中心对称作图3.如图，△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到△ABC和线段BC的对应线段B'C'，请你帮该同学找到对称中心O，且补全△A'B'C'．【变式3-1】18．如图所示，已知线AB和点P，求作平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．【变式3-2】如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点O 成中心对称题型4：中心对称图形4.（2022•石家庄模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【变式4-1】（2022•齐齐哈尔模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.题型5：关于原点对称的点的坐标5.（2021秋•开封期末）已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则该点关于原点对称点的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）【变式5-1】（2021秋•韶关期末）已知点P（4，﹣3）和点Q（x，y）关于原点对称，则x+y＝．题型6：坐标系中的对称图形及作图6.（2021秋•桓台县期末）如图，在直角坐标系内，已知点A（﹣1，0）．（1）图中点B的坐标是；（2）点B关于原点对称的点D的坐标是；点A关于y轴对称的点C的坐标是；（3）四边形ABCD的面积是；（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC．那么点F的坐标为．【变式6-1】（2021秋•济宁期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．题型7：中心对称与平分几何图形面积7.如图是由两个矩形组成的组合图形，能否在图形中找到一点P，沿过点P的某一条直线折叠该图形，能将该图形分成面积相等的两部分？若能，请你在图中做出点P，并说明点P的位置；若不能，请说明理由．【变式7-1】如图．AF∥ED∥BC，AB∥EF∥DC，用一条直线平分图面积．简单描述作法．【变式7-2】如图，在矩形中挖去一个正方形．并用无刻度的直尺（即直尺只具有连线的功能），准确作出直线l，将剩下图形的面积平分．（保留作图痕迹）题型8：构造中心对称图形在计算中的应用8.（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．【变式8-1】（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D 成中心对称．（1）直接写出图中所有相等的线段．（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．题型9：中心对称的综合应用9.（2021秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．（1）求证：BE+CF＞EF；（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．【变式9-1】（2021秋•晋安区校级月考）如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB＝CD．线段AC 上的两点E、F关于点O对称．求证：AE＝CF．【变式9-2】（2021•鄂温克族自治旗二模）如图，△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；（2）已知AB＝5，AD+BF＝14，求四边形ABDF的面积S．。
八年级数学上册 16.5 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案 轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换
轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换变换是极为重要的数学思维方法，利用几何变换解题在数学竞赛中经常用到，本文介绍几何变换中的根本变换：轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换。
一、轴对称变换把一个图形F沿着一直线l折过来，如果它能够与另一个图形F'重合，我们就说图形F 和F'关于这条直线l对称。
两个图形中的对应点叫做关于这条直线l的对称点，这条直线l叫做对称轴，如右图。
轴对称图形有以下两条性质：1.对应点的连线被对称轴垂直平分；2.对应点到对称轴上任一点的距离相等。
例1凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA＞OC，OB＞OD，求证：BC+AD ＞AB+CD。
分析：题中条件比拟分散，故考虑“通过反射使条件相对集中〞，注意到AC⊥BD，于是以BD(AC)为对称轴，将BC(AD)反射到BC'(AD')，把有关线段集中到△ABO内，利用三角形中两边之和大于第三边易证得结果。
证明：∵AC⊥BD，且OA＞OC，OB＞OD，于是以BD为对称轴，作C点关于直线BD为对称点C'，以AC为对称轴作D点关于AC的对称点D'。
连结BC'，AD'相交于E点，那么BC=BC'，AD=AD'，CD=C'D'。
∴BE＋AE＞AB①EC'＋ED'＞C'D'②①＋②，得BC'＋AD'＞AB＋C'D'。
∴BC＋AD＞AB+CD。
注：(1)此题的结论对于凹四边形仍然成立；(2)还可将四边形推广成2n边形，也有类似结论。
其证明思路也完全相同，读者试自证。
二、中心对称变换如果平面上使任意一对对应点A，A'的连线段都通过一个点O，且被这一点所平分，那么这个变换叫做中心对称变换(亦称点反射或点对称)，点O叫对称中心，点A和A'叫做关于对称中心的对称点，如果一个图形F在中心对称变换下保持不变(还是自身)，那么这个图形F叫做中心对称图形。
旋转对称图形的举例
自然界
工程领域
自然界中存在着大量的旋转对称现象，如 雪花、花朵等，这些自然形态的美丽和和 谐都与旋转对称有关。
在机械工程、航空航天等领域中，旋转对 称图形的应用也十分广泛，如各种旋转机 械零件、飞机和火箭的旋翼等。
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抛物线形
总结词
抛物线形是一种特殊的曲线，它具有旋转对称性。
详细描述
抛物线形关于其对称轴具有旋转对称性。例如，将抛物线形绕其对称轴旋转180 度，能与原图形完全重合。
03
旋转对称图形的性质
对称轴的性质
对称轴唯一性
旋转对称图形只有一条对称轴，该对称轴是固定不动的。
对称轴稳定性
对称轴是旋转对称图形稳定性的基础，任何微小的旋转都会 导致图形的不变。
在自然界中，许多物体和现象都具有旋转对称的特性，例 如行星、卫星、花朵、雪花等。
旋转对称的特性在自然界中广泛存在，因为这种特性有助 于物体在空间中保持平衡和稳定，同时也有助于自然界的 美观和和谐。
05
结论
总结旋转对称图形的特点和性质
旋转对称图形的定义
旋转对称图形的性质
旋转对称图形是指通过旋转一定的角 度后，能够与自身重合的图形。
在自然界和日常生活中，许多物体都 具有旋转对称性，如花朵、行星等， 这种特性使得它们在视觉上更加美观 和和谐。
02
常见的旋转对称图形
正方形
总结词
正方形是一个四边等长且四个角 都是直角的平面图形，它具有旋 转对称性。
详细描述
正方形无论从哪个角度旋转，都 能与自身重合。例如，将正方形 绕其中心点旋转90度、180度或 270度，都能与原图形完全重合 。
图形变换不变性
在旋转对称图形进行旋转时， 其形状和大小不会发生改变。
《平移旋转和轴对称——图形的平移》数学教学PPT课件(2篇)
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平移、旋转和轴对称 认识图形的平移
2.哪个三角形向右平移10格得到红色三角形？ 另一个三角形平移多少格得到红色三角形？
绿色三角形向右平移16格得到红色三角形。 黄色三角形向右平移10格得到红色三角形。
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平移、旋转和轴对称 认识图形的平移
3.
（1）房子图向（ 上 ）平移了（ 5 ）格。 （2）汽车图向（ 左 ）平移了（ 8 ）格。 （3）蘑菇图向（ 下 ）平移了（ 5 ）格。
知识梳理
【小练习】如图所示，房子图向（上 ）平移了（ 5 ）格。
【解析】可以抓住房子三角形的三个顶点和长方形 的两个点，也可以抓住房子的一条边或者一个部分。
知识梳理
知识点2： 把一个物体沿不同方向各平移一次。
【例】如图所示，小帆船先向（右）平移了（9 ）格，再向（下） 平移了（ 6 ）格。
知识梳理
平苏移教、版旋转数和学轴对四称年认级识图下形册的平移
1 平移、旋转和轴对称
图形的平移
情境导入
探究新知
课堂练习
课堂小结
课后作业
平移、旋转和轴对称 认识图形的平移
情境导入
下面的小船图和金鱼图分别是怎样运动的？它们 的运动有什么相同点和不同点？
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探究新知
下面的不同点？
【解析】可以用不同的方法，最常用的方法是确定四个顶点向右平移4厘米后的位置，再将 这4个点连接起来。
课后习题
6．把如图1-1-12所示的平行四边形中的三角形向（左 ）平移 （ 8 ）厘米，可以将平行四边形转化成长方形。
【解析】平移几厘米是这题的难点，可以以平行四边形最右边的点作为关键点。 思考：这个点从最右边平移到最左边经过了几厘米，即是三角形向左平移了几厘米。
初中数学 轴对称图形和旋转有什么关系
初中数学轴对称图形和旋转有什么关系轴对称图形和旋转在数学中有密切的关系。
旋转是指以某个点为中心，按照一定的角度将图形绕着这个点旋转。
下面是轴对称图形和旋转之间的关系：1. 旋转不改变轴对称图形的对称性质：旋转操作不改变图形的形状、大小和方向，因此它也不会改变轴对称图形的对称性质。
如果一个图形是轴对称的，那么它的旋转后仍然是轴对称的。
这意味着，如果我们对一个轴对称图形进行旋转操作，它的对称轴位置和方向会随着旋转而改变。
2. 旋转改变轴对称图形的方向：通过旋转操作，我们可以改变轴对称图形的方向。
旋转可以使轴对称图形沿着旋转中心旋转一定的角度，从而改变图形的方向。
旋转的角度和方向决定了轴对称图形旋转后的新位置和相对关系。
3. 旋转构造新的轴对称图形：通过旋转操作，我们可以构造出新的轴对称图形。
例如，如果一个图形是轴对称的，那么对它进行旋转操作后，旋转后的图形也是轴对称的，但它的对称轴方向和位置发生了变化。
通过不同的旋转操作，我们可以得到各种不同方向的轴对称图形。
4. 旋转可以帮助解决轴对称图形的问题：在解决与轴对称图形相关的问题时，我们经常使用旋转操作来帮助我们更好地理解和解决问题。
通过旋转，我们可以改变轴对称图形的方向和位置，从而更好地研究和分析问题。
旋转操作还可以帮助我们发现图形的对称性质和规律。
总之，轴对称图形和旋转之间有密切的关系。
旋转操作不改变轴对称图形的形状、大小和对称性质，但可以改变图形的方向和位置。
通过旋转操作，我们可以构造新的轴对称图形，并且可以利用旋转操作帮助解决轴对称图形的问题。
希望以上内容能够帮助你理解轴对称图形和旋转之间的关系。
如果你还有其他问题，请随时提问。
16.5利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案1
.教学过程：一、创设情境，导入新课（1）（2）（3）（4）（5）（6）师：在生活中，我们经常见到一些美丽的图案，这六个图案漂亮吗？生：漂亮.师：图案漂亮的秘密在哪呢？生：都应用了对称、平移或旋转的方法.师：你能用平移、旋转或轴对称分析图中各个图案的形成过程吗？你是怎样分析的？与同伴交流.（生交流讨论）生1：图（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）都可以看作是由“基本图案”通过旋转适合角度形成.师：你能说说每个旋转的角度、旋转的次数及旋转中心的位置吗？生：（略）生2：图（1）、（2）、（3）、（5）可以看作是由“基本图案”通过轴对称变换形成.师：请分别指出它们的对轴对称及对称轴的条数.生：（略）生3：图（2）可以看作是由“基本图案”通过平移形成.(设计意图：培养学生的读图能力和语言表达能力，并通过亲身体验归纳总结三种图形变换的不同特点及特征；进一步深化学生对轴对称、平移、旋转的理解；为下面图案的设计作好理论准备。
让学生自己探索出图形变化的过程，为后面分析较复杂图案所运用的几何变换的规律和特征奠定了基础.）过渡语：图案美丽吗？你想自己设计吗？今天我们就来学习“简单的图案设计”，让我们都成为小设计师！（板书课题）二、探究新知欣赏图案，并分析这个图案形的过程.师：基本图案是什么？有几个？生：这个图案是由三个“基本图案”组成的，它们分别是三种不同颜色的“爬虫”（绿、白、黑）.师：还有补充的吗？生：它们的形状、大小完全相同.师：谁能告诉我同色“爬虫”、异色“爬虫”之间都有什么关系？生1：同色的“爬虫”之间是平移关系，所有同色的“爬虫”可以通过其中一只经过平移而得到.生2：所有同色的“爬虫”可以通过其中一只经过平移而得到；相邻的不同色的“爬虫”之间可以通过旋转而得到.。