圆的对称性(2)[下学期]--北师大版

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北师大版数学九年级下册圆的对称性课件

北师大版数学九年级下册圆的对称性课件

教学过程
10
记一记
通过探究,我们进一步得出同圆或等圆中圆心角、
新 弧、弦、弦心距之间关系.
知 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 两条弦、两个弦心距中有一组量相等,那么
新 它们所对应的其余各组量都分别相等

O
O'
A
C
B
A' C' B'
教学过程
11
记一记
同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的
教学过程
8
议一议
在等圆⊙O和⊙O'中,分别作相等的圆心角∠AOB和
新 ∠A'O'B',视察两个圆的重叠情况,你有什么发现?.

O
O'

ACΒιβλιοθήκη BA' C' B'
授 在等圆⊙O和⊙O'中,当圆心角∠AOB=∠A'O'B'时,
它们所对的弦A⌒B=A⌒’B’吗?AB=A’B’吗?它们所对的
弦心距OC=O’C’吗?.
教学过程
9
记一记
通过上面的探究,我们可以得出同圆或等圆中圆心
新 角、弧、弦、弦心距之间关系. 知 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧
相等,所对的弦相等,所对的弦心距相等。
新 注意:两个圆心角、两条弧、两条弦、两 授 个弦心距相等的前提是“在同圆或等圆中”。
思考:在同圆或等圆中,两个圆心角、两 条弧、两条弦、两个弦心距中任意一组量 相等,其余的各组量也相等吗?
C. BC+BD> AB D. S△ABC>S△DBC
D O
A
B C
教学过程

北师大版九年级数学下册第三章2圆的对称性

北师大版九年级数学下册第三章2圆的对称性

于点E,AD=OB,试说明 B︵D

= DE
,并求∠A的度数.
解析 设∠A=x°.∵AD=OB,OB=OD,∴OD=AD.
∴∠AOD=∠A=x°.∴∠ABO=∠ODB=∠AOD+∠A=2x°.
∵AO=AB,∴∠AOB=∠ABO=2x°.


∴∠BOD=2x°-x°=x°,即∠BOD=∠AOD.∴ BD = DE .在△AOB中,由三角形的内
解析 ∵ A︵E = B︵D ,∴∠BOD=∠AOE=32°, ∵∠BOD=∠AOC,∴∠AOC=32°,∴∠COE=32°+32°=64°. 答案 D
点拨 本题在求角的度数时运用了转化思想,在同圆或等圆中,利用圆心 角、弧、弦之间的关系可以实现角、线段、弧之间的转化.
题型二 利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等 例2 (2019江苏南京中考)如图3-2-3,☉O的弦AB、CD的延长线相交于 点P,且AB=CD.求证:PA=PC.


圆心角的度数,因为∠BOA=2∠COD,所以 AB 的度数= CD的度数的2倍,所


以在同圆或等圆中, AB =2 CD ,所以B项正确.C、D项错误.
4.如图3-2-2,AB、CD是☉O的两条直径,弦BE=BD,则 A︵C 与 B︵E 是否相等?为 什么?
图3-2-2
解析 A︵C= B︵E .理由:连接AC.∵AB、CD是☉O的直径,且∠AOC=∠BOD,
2.如图3-2-1,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形 各边仅有一个交点,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影 部分的面积是( )
图3-2-1 A.4π B.3π C.2π D.π 答案 D 利用圆的对称性,可知阴影部分的面积恰为大圆面积的四分之

3.2 圆的对称性(教案)-北师大版数学九年级下册

3.2 圆的对称性(教案)-北师大版数学九年级下册

第2节圆的对称性1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程.2.理解圆的中心对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.2.培养学生独立探索、相互合作交流的精神.1.结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育.2.渗透圆的内在美,并使得学生在小组合作中尝试交流,在“做数学”中体会数学的严谨性.【重点】理解并掌握圆的对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.【难点】应用圆心角、弧、弦之间的相等关系定理解决有关问题.【教师准备】多媒体课件和教学圆规.【学生准备】1.复习圆心角、弧、弦等概念以及旋转的有关知识.2.圆规和自制圆形纸片.导入一:同学们,通过上节课的学习我们对圆已经有了初步的认识,圆与我们的生活有着密切的联系.请欣赏下面一些生活中美丽的图案,让我们一起走进圆的美丽世界.课件出示:【引入】因为有圆,万物才显得富有生机,我们的生活才会如此的美好!这些图案蕴含着一种对称美,你知道圆是什么样的对称图形吗?[设计意图]从美丽和谐的图案出发,发现圆的对称美的同时,开门见山引入新课,具有明显对比的图片非常容易激发学生的兴趣和引起学生的共鸣,提高了学生的学习兴趣,同时也让学生体会到数学来源于生活,增强学好本节课的信心.导入二:我们已经学习了几何图形的对称性,圆是什么对称图形?请说明理由.[设计意图]通过问题的形式,直入正题,让学生对本节课的探究内容一目了然.[过渡语]我们已经了解了一些几何图形的对称性,既有轴对称图形,也有中心对称图形,那么圆是什么对称图形呢?课件出示:如图所示,圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?思路一猜想【学生活动】学生凭借经验猜想:圆是轴对称图形,有无数条对称轴的结论.教师引导学生思考:圆的对称轴是直径还是直径所在的直线?【教师点评】圆是轴对称图形,有无数条对称轴,对称轴是直径所在的直线.思路二折纸【学生活动】学生交流后,想到可以利用折叠的方法,解决上述问题.学生利用自制的圆形纸片边动手实验,边思考把一个圆对折以后,圆的两部分重合,折痕是一条过圆心的直线,由于过圆心可以作无数条直线,这样便可知圆有无数条对称轴.师出示折叠示意图:【学生活动】学生观察分析这些对称轴的特点,发现它们都经过圆心.[过渡语]通过上面的实验,我们探索了圆的轴对称性,下面我们继续通过实验探索圆是不是中心对称图形.【想一想】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,还能与原来的图形重合吗?【学生活动】学生利用准备好的圆,同伴合作,共同操作完成,交流得出结论.【师生小结】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.【教师点评】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合的性质就是圆的旋转不变性;而圆的中心对称性是其旋转不变性的一个特例.圆是中心对称图形,对称中心为圆心.[设计意图]问题可以激发学生学习数学的兴趣,而兴趣又是最好的老师.通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣,在动手操作中既复习圆的意义,又探索出圆的对称性.【做一做】在等圆☉O和☉O'中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'(如图所示),将两圆重叠、并固定圆心,然后将其中一个圆旋转一个角度,使得OA与O'A'重合,你能发现哪些等量关系?说一说你的理由.【活动方式】分小组进行实验操作,小组之间交流.【师生活动】教师巡视、指导学生,等学生完成后,请各小组组长汇总,展示结果,教师板书.思路一旋转能使∠AOB和∠A'O'B'完全重合,从而可以得到OA=OB=O'A'=O'B',∠OAB=∠OBA=∠O'A'B'=∠O'B'A',AB=A'B',=,是通过证明△AOB≌△A'O'B'得到的.思路二由两圆旋转可知:点A与点A'重合,点B与点B'重合,所以=,AB=A'B'(叠合法).【学生小结】在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.【问题】你能对圆心角、弧、弦之间的相等关系进行证明吗?【学生活动】学生先独立解答,然后互相讨论交流.代表展示:证明:∵半径OA与O'A'重合,∠AOB=∠A'O'B',∴半径OB与O'B'重合.∵点A与点A'重合,点B与点B'重合,∴与重合,弦AB与弦A'B'重合.∴=,AB=A'B'.【议一议】上面的结论,在同圆中成立吗?【学生活动】学生思考、猜想后得出肯定的结论.【教师点评】圆心角、弧、弦之间相等关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相【想一想】(1)在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,你能得出什么结论?【学生活动】学生思考、猜想后得出结论,然后互相交流、讨论,统一想法.【教师活动】要求学生说明得出的结论的理由.(证明△AOB≌△A'O'B'或叠合法)【师生总结】在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【教师强调】注意事项:(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件.(2)此定理中的“弧”一般指劣弧.(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义,否则易错用此关系.[设计意图]“学起于思,思起于疑,无疑则无知”,所以通过让学生提出疑难,再解决疑难的方式来理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理的含义,从而引发出圆心角、弧、弦之间相等关系定理的如图所示,AB,DE是☉O的直径,C是☉O上的一点,且=.BE与CE的大小有什么关系?为什么?〔解析〕通过观察可以猜想BE=CE.因为BE与CE都是☉O的弦,要证明弦相等,可证明弦所对的弧相等,因为=,又=,继而可得=.解:BE=CE.理由是:∵∠AOD=∠BOE,∴=.又∵=,∴=.∴BE=CE.【议一议】在得出本节结论的过程中,你用到了哪些方法?与同伴进行交流.【学生活动】学生思考后进行交流,得出本节课采用的方法:折叠、轴对称、旋转、推理证明等.[设计意图]本环节主要是通过例题透析,训练学生的知识综合应用能力,使其在巩固应用的基础上,拓展知识面,培养他们的概括、推理能力.1.圆的对称性:轴对称图形和中心对称图形.2.圆心角、弧、弦之间的关系:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.1.下列命题中,正确的是()A.圆只有一条对称轴B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴D.圆有无数条对称轴,每条直径所在的直线都是它的对称轴解析:圆有无数条对称轴,每条对称轴都是直径所在的直线.故选D.2.若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,则优弧所对的圆心角为()A.45°B.90°C.135°D.270°解析:如图所示,∵圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,∴∠AOB∶大角∠AOB=1∶3,∴大角∠AOB=360°×=270°.故选D.3.如图所示,已知AB是☉O的直径,==,∠BOC=40°,那么∠AOE等于()A.40°B.60°C.80°D.120°解析:∵==,∠BOC=40°,∴∠BOE=3∠BOC=120°,∴∠AOE=180°-∠BOE=60°.故选B.(第4题图)4.如图所示,直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合,若从量角器的中心O引射线OF经过刻度120°,交AD于点E,则∠DEF=.解析:由已知量角器的一条刻度线OF的读数为120°,即∠BOF=120°,得∠COF=180°-∠BOF=60°,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠COF=60°.故填60°.2圆的对称性1.圆的对称性.(1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.(2)圆是中心对称图形,对称中心为圆心.2.圆心角、弧、弦之间相等关系定理.(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.一、教材作业【必做题】1.教材第72页随堂练习第1,2,3题.2.教材第72页习题3.2第1,2题.【选做题】教材第73页习题3.2第3题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在☉O中,∠B=37°,则劣弧AB的度数为()A.106°B.126°C.74°D.53°2.如图所示,在☉O中,=,∠A=30°,则∠B等于()A.150°B.75°C.60°D.15°3.如图所示,=,若AB=3,则CD=.4.如图所示,AB是☉O的直径,点C在☉O上,∠AOC=40°,D是弧BC的中点,则∠ACD=.【能力提升】5.如图所示,AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,若BC=CD=DA=4cm,则☉O的周长为()A.5πcmB.6πcmC.9πcmD.8πcm6.(2014·菏泽中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=35°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为.7.如图所示,=,D,E分别是半径OA和OB的中点,CD与CE的大小有什么关系?为什么?【拓展探究】8.如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在圆上,且=.若∠AOD=110°,求的度数.【答案与解析】1.A(解析:连接OA,∵OA=OB,∠B=37°,∴∠A=∠B=37°,∠O=180°-2∠B=106°.)2.B(解析:在☉O中,∵=,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C.又∠A=30°,∴∠B==75°.故选B.)3.3(解析:∵=,∴-=-,即=,∴CD=AB=3.)4.125°(解析:连接OD,∵AB是☉O的直径,∠AOC=40°,∴∠BOC=140°,∠ACO=70°,∵D是弧BC的中点,∴∠COD=70°,∴∠OCD=55°,∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°.)5.D(解析:如图所示,连接OD,OC.∵AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,BC=CD=DA=4cm,∴==,∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.又OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴OA=AD=4cm,∴☉O的周长=2×4π=8π(cm).故选D.)6.70°(解析:∵∠C=90°,∠A=35°,∴∠B=55°,连接CD,∵CB=CD,∴∠BDC=55°,∴∠BCD=70°.∴的度数为70°.)7.解:CD=CE.理由如下:如图所示,连接OC,∵D,E分别是OA,OB的中点,∴OD=OE,又∵=,∴∠DOC=∠EOC,又OC=OC,∴△CDO≌△CEO,∴CD=CE.8.解:如图所示,连接OC.∵∠AOD=110°,∴∠DOB=70°.又∵=,∴∠COD=∠DOB=70°,∴∠AOC=∠AOD-∠COD=110°-70°=40°,∴的度数为40°.本节课首先利用课件出示生活中的圆形图片,利用圆的对称美引入新课,极大地活跃了课堂气氛,激发了学生学习的积极性.然后在课堂上可以先给学生留有充足的动手实验和思考的时间,在学生探究完成后利用多媒体进行动态演示,使探究的结论更加直观形象.同时,通过学生自己动手体验知识的形成过程,使学生获得成功的体验,使他们的观察、分析、归纳等能力都得到了进一步提升.本节课学生操作和自主学习的时间较多,所以教学时间不太容易把握,造成不能顺利完成课堂教学任务.合理安排时间,对于有些学生感觉有难度的知识点,可以通过小组交流讨论,这样既可以增强交流的意识,又节约了时间.随堂练习(教材第72页)1.解:如碗口、圆桌、方向盘等.2.解:如图所示.答案不唯一.3.解:四边形OACB是菱形.理由如下:如图所示,∵C是的中点,∴=.又∵∠AOB=120°,∴∠AOC=∠BOC=60°.∵OA=OC=OB,∴△AOC和△BOC都是等边三角形.∴OA=OB=AC=BC.∴四边形OACB是菱形.习题3.2(教材第72页)1.解:△ABC与△DCB全等.理由如下:∵AB=DC,BC=CB,∴=,∴AC=DB.∴在△ABC与△DCB中,AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB(SSS).2.解:(1)OE=OF.理由如下:∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB=∠AOB,∠FOD=∠COD,∵∠AOB=∠COD,∴∠EOB=∠FOD,∵在△EOB和△FOD中,∠OEB=∠OFD,∠EOB=∠FOD,OB=OD,∴△EOB≌△FOD(AAS),∴OE=OF.(2)AB=CD,=,∠AOB=∠COD.理由如下:∵OE⊥AB,OF⊥CD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∵在Rt△BEO和Rt△DFO中,OB=OD,OE=OF,∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL),∴BE=DF,同理,AE=CF,∴AB=CD,∴=,∠AOB=∠COD.3.解:=.理由如下:连接OC,∵OD∥AC,∴∠BOD=∠A,∠ACO=∠COD.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∴∠BOD=∠COD,∴=.1.本节课的重点是通过实验探究出圆的对称性,并利用对称性总结归纳出圆心角、弧、弦之间的相等关系,所以动手操作是学生探究学习的重点.2.让学生在课前预习的同时准备好本节课所需要的学具;在探究的过程中,要亲身体验实验过程,切记眼高手低,要在与同伴一起的操作过程中深刻理解圆的对称性,并对所探究出的结论进行及时总结,得出一般性的结论.3.要注意类比、转化、数形结合思想在探究过程中的运用.。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-2圆的对称性》同步达标测试题(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-2圆的对称性》同步达标测试题(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-2圆的对称性》同步达标测试题(附答案)一.选择题(共10小题,满分50分)1.下列说法正确的是()A.等弧所对的弦相等B.平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧C.相等的弦所对的圆心角相等D.相等的圆心角所对的弧相等2.下列命题是真命题的是()A.相等的弦所对的弧相等B.圆心角相等,其所对的弦相等C.在同圆或等圆中,圆心角不等,所对的弦不相等D.弦相等,它所对的圆心角相等3.如图,AB,CD是⊙O的直径,=,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是()A.32°B.60°C.68°D.64°4.如图,AB是⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,若BC=CD=DA=4cm,则⊙O的周长为()A.5πcm B.6πcm C.9πcm D.8πcm5.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,则下列结论正确的是()A.AB=AD B.BC=CD C.D.∠BCA=∠DCA6.如图,AB是圆O的直径,BC、CD、DA是圆O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD等于()A.100°B.110°C.120°D.135°7.如图,AB是⊙O的弦(AB不是直径),以点A为圆心,以AB长为半径画弧交⊙O于点C,连接AC、BC、OB、OC.若∠ABC=65°,则∠BOC的度数是()A.50°B.65°C.100°D.130°8.如图,AB是⊙O的直径,==,∠COD=34°,则∠AEO的度数是()A.51°B.56°C.68°D.78°9.如图,四边形ABCD内接于半圆O,AB为直径,AB=4,AD=DC=1,则弦BC的长为()A.3.5B.2C.D.10.如图D、A、C、B为⊙O上的点,DC=AB,则AD与BC的大小关系是()A.AD>BC B.AD=BC C.AD<BC D.不能确定二.填空题(共5小题,满分30分)11.如图所示,四边形AB∥CD,AD=DC=DB=p,BC=q,则AC=(用p、q表示).12.弦AB分圆为1:3两部分,则劣弧所对圆心角为.13.一条弦把圆分成1:3两部分,则弦所对的圆心角为度.14.如图,在⊙O中,,∠A=40°,则∠B=度.15.在半径为9cm的圆中,60°的圆心角所对的弦长为cm.三.解答题(共5小题,满分40分)16.已知锐角∠POQ,如图,在射线OP上取一点A,以点O为圆心,OA长为半径作,交射线OQ于点B,连接AB,分别以点A,B为圆心,AB长为半径作弧,交于点E,F,连接OE,EF.(1)证明:∠EAO=∠BAO;(2)若OE=EF.求∠POQ的度数.17.如图,MB,MD是⊙O的两条弦,点A,C分别在,上,且AB=CD,M是的中点.(1)求证:MB=MD;(2)过O作OE⊥MB于点E,当OE=1,MD=4时,求⊙O的半径.18.已知:如图,C,D是以AB为直径的⊙O上的两点,且OD∥BC.求证:AD=DC.19.如图所示,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,且点B是劣弧DF的中点.(1)求证:△EBD≌△EBF;(2)已知AE=1,EB=5,∠DEB=30°,求CD的长.20.如图,已知AB、CD为⊙O的两条弦,,求证:AB=CD.参考答案一.选择题(共10小题,满分50分)1.解:A、正确.本选项符合题意.B、错误.应该是平分弦(此弦非直径)的直径垂直弦并平分弦所对的弧,本选项不符合题意.C、错误,必须在同圆或等圆中,本选项不符合题意.D、错误.必须在同圆或等圆中,本选项不符合题意.故选:A.2.解:A、B、D结论若成立,都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件,所以A、B、D 错误;故选:C.3.解:∵=,∴∠BOD=∠AOE=32°,∵∠BOD=∠AOC,∴∠AOC=32°∴∠COE=32°+32°=64°.故选:D.4.解:如图,连接OD、OC.∵AB是⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,若BC=CD=DA=4cm,∴==,∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.又OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴OA=AD=4cm,∴⊙O的周长=2×4π=8π(cm).故选:D.5.解:A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴AB与AD不一定相等,故本选项错误;B、∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∴=,∴BC=CD,故本选项正确;C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴与不一定相等,故本选项错误;D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定,故本选项错误.故选:B.6.解:连接OC、OD,∵BC=CD=DA,∴∠COB=∠COD=∠DOA,∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°,∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°,∴∠BCD=×2(180°﹣60°)=120°.故选:C.7.解:由题意可得:AB=AC,∵∠ABC=65°,∴∠ACB=65°,∴∠A=50°,∴∠BOC=100°,故选:C.8.解:如图,∵==,∠COD=34°,∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°,∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°.又∵OA=OE,∴∠AEO=∠OAE,∴∠AEO=×(180°﹣78°)=51°.故选:A.9.解:如图,连AC、BD,过D作DE⊥AC于E.∴∠ADB=∠ACB=90°,∠ABD=∠CAD.∵BD==.∵AD=DC=1,∴∠DAC=∠DCA,∵∠DCA=∠ABD,cos∠CAD=cos∠ABD==.∴AE=AD•cos∠CAD=,∴AC=2AE=,∴BC==.故选:A.10.解:∵DC=AB,∴=,∴=,∴AD=BD.故选:B.二.填空题(共5小题,满分30分)11.解:延长CD交半径为p的⊙D于E点,连接AE.显然A、B、C在⊙D上.∵AB∥CD∴=,∴BC=AE=q.在△ACE中,∠CAE=90°,CE=2p,AE=q,故AC==.故答案为:.12.解:设弦AB分圆的两部分别为x,3x,∴x+3x=360°,解得:x=90,则劣弧所对圆心角为90°.故答案为:90°13.解:∵一条弦把圆分成1:3两部分,∴整个圆分为四等分,则劣弧的度数为360°÷4=90°,∴弦所对的圆心角为90°.14.解:∵,∴AB=AC,∵∠A=40°,∴∠B=∠C=(180°﹣∠A)÷2=70°.15.解:由题意知,设圆心为O,60°的圆心角的两边与圆的交点分别为A,B,则△AOB 是等边三角形,∴AO=AB=OB=9cm.三.解答题(共5小题,满分40分)16.(1)证明:连接AE、OE、OF,如图所示,由题意得:OB=OE=OA,AE=AB,∴∠EAO=∠AEO,∠BAO=∠ABO,,∴∠AOE=∠AOB,∴∠EAO=∠BAO;(2)解:∵OE=OF,OE=EF,∴OE=OF=EF,∴∠EOF=60°,∵AE=BF=AB,∴,∴∠AOE=∠BOF=∠AOB,∴∠POQ=∠EOF=20°.17.(1)证明:∵AB=CD,∴=,∵M是的中点,∴=,∴=,∴BM=DM.(2)解:如图,连接OM.∵DM=BM=4,OE⊥BM,∴EM=BE=2,∵OE=1,∠OEM=90°,∴OM===,∴⊙O的半径为.18.证明:连接OC,如图,∵OD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3,又∵OB=OC,∴∠B=∠3,∴∠1=∠2,∴AD=DC.19.解:(1)连接OD、OF,∵B是劣弧DF的中点.∴,∴,∴BD=BF,∠DBE=∠EBF,在△EBD和△EBF中,∵,∴△EBD≌△EBF(SAS);(2)∵AE=1,EB=5,∴AB=6,∵AB是⊙O的直径,∴OD=OA=3,OE=3﹣1=2,过O作OG⊥CD于G,则CD=2DG,∵∠DEB=30°,∠EGO=90°,∴OG=OE=1,由勾股定理得:DG===2,∴CD=2DG=4.20.解:∵,∴,即:,∴AB=CD.。

北师大版九年级数学下册3.2《圆的对称性》【教案】

北师大版九年级数学下册3.2《圆的对称性》【教案】

《圆的对称性》教学设计圆的对称性是义务教育课程标准实验教科书(北师版)《数学》九年级下册第三章第二节内容,本章主要研究圆的性质及与圆有的关的应用;本节要求.理解圆的轴对称性及其相关性质;利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。

圆是一种特殊图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形。

该节内容分为2课时。

本节课是第1课时,学生通过前面的学习,能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。

其对称轴是任一条过圆心的直线。

【知识与能力目标】1.理解圆的轴对称性及其相关性质;2.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.【过程与方法目标】经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

【情感态度价值观目标】培养学生独立探索,相互合作交流的精神。

通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。

【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.【教学难点】和圆有关的相关概念的辨析理解。

多媒体课件第一环节课前准备活动内容:(提前一天布置)1.每人制作两张圆纸片(最好用16K打印纸)2.预习课本P88~P92内容活动目的:通过第1个活动,希望学生能利用身边的工具去画图,并制作图纸片,培养学生的动手能力;在第2个活动中,主要指导学生开展自学,培养良好的学习习惯。

实际教学效果:1.学生在制作图纸片时,有时可能没有将圆心标出来,老师要对其进行启发引导,找出圆心。

2.预习提纲,要简明扼要,学生基本上能通过阅读教材就能较好完成。

第二环节创设问题情境,引入新课活动内容:教师提出问题:轴对称图形的定义是什么?我们是用什么方法研究了轴对称图形?学生回忆并回答。

活动目的:通过教师与学生的互动,一方面使学生能较快进入新课的学习状态,另一方面也提高学生的学习的兴趣,让他们带着问题去学习,揭开了探究该节课内容的序幕。

实际教学效果:1.由于学生在七年级学习了轴对称图形的内容。

圆的对称性(北师大9年级下)

圆的对称性(北师大9年级下)

《圆的对称性》
第一课时
湖北省十堰市实验中学柯四清张璠
【教材内容】
北师大数学9年级下册第三章《圆》第二节《圆的对称性》第一课时
【教材分析】
圆是初中几何中重要的内容之一,其中垂径定理又是圆中遇到的第一个重要定理,它的形式较以往定理新颖,定理不容易理解,因此关于垂径定理是本节的重点和难点.
【设计理念】
数学源于生活,又服务于生活,解决生活中的问题.利用现代多媒体帮助理解和学习数学,设计分析、讨论、交流等数学活动是数学学习的主要方式.
【教学目标】
知识目标
1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程.
2.理解圆的对称性及相关知识.
3.理解并掌握垂径定理.
能力目标
培养学生动手实验的能力,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
情感目标
让学生在生动活泼的问题情景中受到感染,产生兴趣,养成认真倾听他人想法的习惯,并感受与同伴交流想法的乐趣.
【重、难点】垂径定理及其应用.
【教学设计】。

3.2+圆的对称性++课件++2023-2024学年北师大版数学九年级下册

3.2+圆的对称性++课件++2023-2024学年北师大版数学九年级下册
第三章 圆
3.2 圆的对称性
熊宝宝要过生日了!要把蛋糕平均分成四块, 你会分吗?
1 圆的对称性
探究归纳 问题1 圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是
什么?你能找到多少条对称轴? 问题2 你是怎么得出结论的? 用折叠的方法
圆的对称性: 圆是轴对称图形,其对称轴 ●O 是任意一条过圆心的直线.
探究归纳 问题3 将圆绕圆心旋转 180° 后,得到的图形与 原图形重合吗?由此你得到什么结论呢?
弦AB与弦AB重合.
B O(O′) A
AB AB,AB AB.
B′ A′
知识要点 弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等.
B
O
A
①∠AOB =∠A′OB′
B′ A′
②AB AB ③AB = A′B′
知识要点
总结 在同圆或等圆中: 知一得二
圆心角相等
典例精析
例1 如图,AB,DE 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,
且A⌒D=C⌒E.BE 和 CE 的大小有什么关系?为什么?
解:BE = CE. 理由是: ∵∠AOD=∠BOE,
B
E
∴ AD BE. 又∵AD CE,

C
∴ BE CE.
∴BE = CE.
D
A
例2 如图,AB是⊙O 的直径,BC=CD=DE,
∠COD=35°,求∠AOE 的度数.
ED
解:∵ BC=CD=DE,
C
BOC COD DOE=35 ,
A
·
B
O
75 .
针对训练 填一填: 如图,AB、CD是 ⊙O 的两条弦.
(1)如果 AB=CD,那么_A__B___A_C__,∠__A_O__B_=_∠__C__O_D__.

北师大版九年级数学下册:3.2《圆的对称性》教案

北师大版九年级数学下册:3.2《圆的对称性》教案

北师大版九年级数学下册:3.2《圆的对称性》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册3.2《圆的对称性》是一节概念性较强的课程。

本节课主要让学生了解圆的对称性,掌握圆是轴对称图形,以及圆有无数条对称轴等特点。

通过学习,使学生能运用圆的对称性解决一些实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学中关于对称轴、对称图形等基本知识,他们对轴对称图形有了一定的认识。

但圆的对称性较为抽象,学生需要通过实例来更好地理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能:让学生理解圆的对称性,掌握圆是轴对称图形,以及圆有无数条对称轴等特点。

2.过程与方法:通过观察、操作、思考、交流等活动,培养学生的空间想象能力和思维能力。

3.情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点:圆的对称性,圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴。

2.难点:理解圆的对称性与轴对称图形的关系。

五. 教学方法1.情境教学法:通过实例和问题情境,引发学生的思考和探索。

2.引导发现法:教师引导学生发现圆的对称性,培养学生独立思考的能力。

3.合作交流法:学生在小组内进行讨论和交流,分享学习心得和解决问题的方法。

六. 教学准备1.教具准备:多媒体课件、圆规、直尺、练习题等。

2.教学环境:教室布置成有利于学生思考和交流的环境。

七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过展示生活中的圆对称现象,如圆形的钱币、圆桌、圆形的图案等,引导学生关注圆的对称性。

提问:这些圆形的物品有什么共同特点?学生回答后,教师总结:圆的对称性。

2.呈现(10分钟)教师利用多媒体课件展示圆的对称性,让学生观察和思考。

呈现圆的轴对称图形,引导学生发现圆有无数条对称轴。

同时,让学生尝试画出圆的对称轴,并观察圆的对称轴的特点。

3.操练(10分钟)教师提出问题:如何判断一个图形是否是圆的对称图形?让学生在小组内进行讨论和交流,总结出判断方法。

3.2圆的对称性(北师大版)

3.2圆的对称性(北师大版)
B O
A
M└

∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.
D
• 杨老师提示: • 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
在下列图形中,找出能利用垂径定理的图形
D
B E
D
A
O
O
O
A
E C
A
B
C
A
E C
A
B
O E C B
C
D
E
O
A
E D
B
B
M

O
D
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ AB(用 两个字母).

C
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AMB (用三个字母).

弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
A B
A
B
同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫 做同心圆。 r
1
r2 O
O
r
O
r
等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆. 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
A B O

M└

你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
垂径定理及逆定理
① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ , ⌒ ⌒ ⌒ ⑤ AD=BD. ④AC=BC,
条件 结论 命 题
C
A
M└

B O
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
D ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
已知:⊙O中弦AB∥CD. C A

北师大版九年级下册数学[圆的对称性—知识点整理及重点题型梳理](提高)

北师大版九年级下册数学[圆的对称性—知识点整理及重点题型梳理](提高)

北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习圆的对称性—知识讲解(提高)【学习目标】1.理解圆的对称性;并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系,能运用这些关系解决问题,培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法;理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念,理解概念之间的区别和联系;2.通过探索、观察、归纳、类比,总结出垂径定理等概念,在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系;3. 掌握在同圆或等圆中,三组量:两个圆心角、两条弦、两条弧,只要有一组量相等,就可以推出其它两组量对应相等,及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴,有无数条对称轴.圆是中心对称图形,对称中心为圆心.要点诠释:圆具有旋转不变的特性.即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.要点二、与圆有关的概念1.弦弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径:经过圆心的弦叫做直径.弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释:直径是圆中通过圆心的特殊弦,也是圆中最长的弦,即直径是弦,但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦?如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O中任意一条弦,求证:AB≥CD.证明:连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时,取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A、B为端点的弧记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆;优弧:大于半圆的弧叫做优弧;劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释:①半圆是弧,而弧不一定是半圆;②无特殊说明时,弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释:①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中,不能忽视;②圆中两平行弦所夹的弧相等.要点三、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.要点诠释:(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论,即(2)这里的直径也可以是半径,也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论:(1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释:在垂径定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径)要点五、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角与弧的关系:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.2. 圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.要点诠释:(1)一个角要是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征;(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.(2015春•安岳县月考)如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.【答案与解析】解:过O作OF⊥CD,交CD于点F,连接OD,∴F为CD的中点,即CF=DF,∵AE=2,EB=6,∴AB=AE+EB=2+6=8,∴OA=4,∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2,在Rt△OEF中,∠DEB=30°,∴OF=OE=1,在Rt△ODF中,OF=1,OD=4,根据勾股定理得:DF==,则CD=2DF=2.【总结升华】对于垂径定理的使用,一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三:【变式1】如图所示,⊙O两弦AB、CD垂直相交于H,AH=4,BH=6,CH=3,DH=8,求⊙O半径.【答案】如图所示,过点O分别作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,则四边形MONH为矩形,连结OB,∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=,111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=,∴在Rt△BOM中,OB==【变式2】如图,AB为⊙O的弦,M是AB上一点,若AB=20cm,MB=8cm,OM=10cm,求⊙O的半径.【答案】14cm.2.已知:⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16cm,求AB、CD间的距离.【思路点拨】⊙O中,两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度,若分别作弦AB、CD的弦心距,则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1,当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时,作OM⊥AB于点M,并延长MO,交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD,即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm,CD=16cm,AO=OC=10cm,=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示,当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时,同理可得:MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中,平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【总结升华】解这类问题时,要按平行线与圆心间的位置关系,分类讨论,千万别丢解.举一反三:【变式】在⊙O中,直径MN⊥AB,垂足为C,MN=10,AB=8,则MC=_________.【答案】2或8.类型二、垂径定理的综合应用3.(2015•普陀区一模)如图,某新建公园有一个圆形人工湖,湖中心O处有一座喷泉,小明为测量湖的半径,在湖边选择A、B两个点,在A处测得∠OAB=45°,在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°,已知BC=50米,求人工湖的半径.(结果保留根号)【答案与解析】解:过点O作OD⊥AC于点D,则AD=BD,∵∠OAB=45°,∴AD=OD,∴设AD=x,则OD=x,OA=x,CD=x+BC=x+50).∵∠OCA=30°,∴=tan30°,即=,解得x=25﹣25,∴OA=x=×(25﹣25)=(25﹣25)(米).答:人工湖的半径为(25﹣25)米.【总结升华】本题考查的是垂径定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点,AB是⊙O的直径,AE⊥l于E,BF⊥l于F.(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形;(2)请你观察(1)中所画图形,写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA=OB除外)(不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程);(3)请你选择(1)中的一个图形,证明(2)所得出的结论.【答案与解析】(1)如图所示,在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点;在图②中AB、CD交于⊙O内一点;在图③中AB∥CD.(2)在三个图形中均有结论:线段EC=DF.(3)证明:过O作OG⊥l于G.由垂径定理知CG=GD.∵ AE⊥l于E,BF⊥l于F,∴ AE∥OG∥BF.∵ AB为直径,∴ AO=OB,∴ EG=GF,∴ EC=EG-CG=GF-GD=DF.【总结升华】在运用垂径定理解题时,常用的辅助线是过圆心作弦的垂线,构造出垂径定理的基本图形. 类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用5.已知:如图所示,⊙O 中弦AB =CD .求证:AD =BC .【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系,要证AD =BC ,只需证AD BC =或证∠AOD=∠BOC 即可.【答案与解析】证法一:如图①,∵ AB =CD ,∴ A B C D =.∴ A B B DC D B D -=-,即AD BC =, ∴ AD =BC .证法二:如图②,连OA 、OB 、OC 、OD ,∵ AB =CD ,∴ ∠AOB =∠COD .∴ ∠AOB -∠DOB =∠COD -∠DOB ,即∠AOD =∠BOC ,∴ AD =BC .【总结升华】在同圆或等圆中,证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等,而图中没有已知的等弧和等圆心角,必须借助已知的等弦进行推理.举一反三:【变式】如图所示,已知AB 是⊙O 的直径,M 、N 分别是AO 、BO 的中点,CM ⊥AB ,DN ⊥AB . 求证:AC BD =.【答案】证法一:如上图所示,连OC、OD,则OC=OD,∵OA=OB,且12OM OA=,12ON OB=,∴OM=ON,而CM⊥AB,DN⊥AB,∴Rt△COM≌Rt△DON,∴∠COM=∠DON,∴A C B D=.证法二:如下图,连AC、BD、OC、OD.∵M是AO的中点,且CM⊥AB,∴AC=OC,同理BD=OD,又OC=OD.∴AC=BD,∴A C B D=.。

北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》教案

北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》教案

北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》教案一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》是本册教材中的重要内容,主要让学生了解圆的对称性质,掌握圆的对称性的应用。

本节课的内容对于学生来说比较抽象,但与生活实际息息相关,有利于激发学生的学习兴趣,培养学生的抽象思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了圆的基本概念,如圆的半径、直径等,并了解了一些基本的平面几何知识。

但是,对于圆的对称性的理解和应用,还需要进一步的引导和培养。

因此,在教学过程中,要注重启发学生思考,引导学生发现圆的对称性,并学会运用圆的对称性解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能:让学生理解圆的对称性质,学会运用圆的对称性解决实际问题。

2.过程与方法:通过观察、操作、思考、交流等过程,培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的团队合作意识和克服困难的决心。

四. 教学重难点1.重点:圆的对称性质的理解和应用。

2.难点:圆的对称性质在实际问题中的灵活运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、案例教学法等,充分调动学生的积极性,引导学生主动探究,合作交流,提高学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教具:黑板、粉笔、多媒体教学设备等。

2.学具:学生每人一本教材,一份练习题。

七. 教学过程1.导入(5分钟)利用多媒体展示一些生活中的圆对称现象,如圆形的挂钟、圆形的脸谱等,引导学生发现圆的对称性质,激发学生的学习兴趣。

2.呈现(10分钟)教师通过讲解和演示,向学生介绍圆的对称性质,如圆的任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴,圆的任何一点关于圆心都有对称点等。

同时,引导学生发现圆的对称性质与生活的密切关系。

3.操练(10分钟)学生分组讨论,每组设计一个具有圆对称性质的图案,并利用圆规和直尺进行绘制。

通过实践活动,加深学生对圆的对称性质的理解。

北师大版九年级数学下册:第三章 3.2《圆的对称性》精品教案

北师大版九年级数学下册:第三章 3.2《圆的对称性》精品教案

北师大版九年级数学下册:第三章 3.2《圆的对称性》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆》是整个初中数学的重要内容,而本节课《圆的对称性》则是这一章节的重点和难点。

教材从圆的轴对称性入手,引导学生探究圆的对称性质,进而推导出圆的直径所在的直线即为圆的对称轴。

本节课通过丰富的实例和生动的活动,让学生深刻理解圆的对称性,并为后续学习圆的性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学的大部分内容,对轴对称图形有了一定的认识,能够理解并运用轴对称的性质。

但他们对圆的对称性的理解还不够深入,需要通过本节课的学习,进一步加强对圆对称性质的认识。

同时,学生对圆的相关知识掌握程度不一,需要在教学过程中关注不同学生的学习需求。

三. 教学目标1.理解圆的对称性,掌握圆的对称轴的定义及性质。

2.能够运用圆的对称性解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、动手操作能力和推理能力。

四. 教学重难点1.圆的对称性的理解。

2.圆的对称轴的定义及性质的掌握。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法和实例分析法,引导学生从实际问题中发现圆的对称性,通过自主探究和合作交流,深入理解圆的对称性质。

六. 教学准备1.准备相关的实例和图片,用于引导学生发现圆的对称性。

2.准备圆规、直尺等学具,让学生动手操作,加深对圆对称性质的理解。

3.准备一些实际问题,用于巩固学生对圆对称性的运用。

七. 教学过程1. 导入(5分钟)通过展示一些具有对称性的图片,如剪纸、建筑等,引导学生对对称性产生兴趣。

然后提出问题:“你们认为什么样的图形才能称为对称图形?”让学生回顾轴对称图形的概念。

2. 呈现(10分钟)呈现圆的轴对称性实例,如圆形的剪纸、钟表等,引导学生观察并描述圆的对称性质。

同时提出问题:“圆有对称轴吗?如果有,在哪里?”让学生思考并讨论。

3. 操练(10分钟)让学生分组,每组用圆规和直尺画出一个圆形,并用折纸的方法找出圆的对称轴。

北师大版必修四 4.4单位圆的对称性与诱导公式

北师大版必修四 4.4单位圆的对称性与诱导公式

公式二: sin( ) sin cos() cos
正弦函数y=sinx是奇函数 余弦函数y=cosx是偶函数
探究新知
探究2 角������与������ ± ������的正(余)弦函数有什么关系?
y P (cos ,sin )

O
x
P
(cos( ),sin( )) 或(cos( ),sin( ))

cos α

第二象限
+ -
第三象限
- -
第四象限
- +
探究新知
探究1 在坐标系的单位圆中画出 MOP 和MOP
y3
3
观察终边有什么对称关系?
P
(cos
3
,
sin

3
)

关于x轴对称
3
O - M x
3
P
(cos(
3
),sin(
3
))
这两个角的终边与单位圆的交点P,P 坐标之间有什么关系?
P与P关于原点对称,横 坐标绝对值相等且符号 相反,纵坐标绝对值相 等且符号相反.
公式三:sin( ) sin co(s ) cos
sin( ) sin co(s ) cos
探究新知
探究3 角与 -正(余)弦函数有什么关系呢
4
3
6
典例探究
解:
(1)sin( 7) 4
sin 7 4

sin(2
) 4
(sin
) 4
sin
4

2. 2
(2) cos 2 cos( ) cos 1 .

北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》说课稿

北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》说课稿

北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》说课稿一. 教材分析《圆的对称性》这一节的内容是北师大版数学九年级下册第三章第二节的内容。

本节课的主要内容是让学生了解圆的对称性,包括圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,圆的对称轴是直径所在的直线,以及圆的对称性在实际问题中的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识,对轴对称图形和中心对称图形有了初步的认识。

但是,对于圆的对称性的理解还需要进一步的引导和培养。

因此,在教学过程中,我将会以学生的已有知识为基础,通过实例和问题,引导学生深入理解圆的对称性。

三. 说教学目标1.知识与技能:学生能够理解圆的对称性,知道圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,圆的对称轴是直径所在的直线。

2.过程与方法:通过观察、思考、交流等活动,学生能够发现圆的对称性,并能够运用圆的对称性解决实际问题。

3.情感态度与价值观:学生能够培养对数学的兴趣,提高对几何图形的审美能力。

四. 说教学重难点1.教学重点:学生能够理解圆的对称性,知道圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,圆的对称轴是直径所在的直线。

2.教学难点:学生能够发现圆的对称性,并能够运用圆的对称性解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中,我将采用问题驱动法和实例教学法。

通过提出问题,引导学生思考和探索,从而发现圆的对称性。

同时,我会利用多媒体教学手段,展示相关的几何图形和实例,帮助学生更好地理解和掌握圆的对称性。

六. 说教学过程1.导入:通过提出问题,引导学生思考和探索圆的对称性。

2.新课导入:介绍圆的对称性,让学生了解圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,圆的对称轴是直径所在的直线。

3.实例讲解:通过展示相关的实例,让学生深入理解圆的对称性。

4.练习与讨论:让学生进行相关的练习,并通过讨论交流,巩固对圆的对称性的理解。

5.总结与拓展:总结本节课的主要内容,并进行拓展,引导学生思考圆的对称性在实际问题中的应用。

北师大版九年级数学下册 圆的对称性教案

北师大版九年级数学下册 圆的对称性教案

《圆的对称性》教案教学目标1.知识与技能(1)理解圆的轴对称性和中心对称性,会画出圆的对称轴,会找圆的对称中心;(2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系,并会用它们之间的关系解题.2.过程与方法(1)通过对圆的对称性的理解,培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力,促进学生创造性思维水平的发展和提高;(2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究,掌握解题的方法和技巧.3.情感、态度与价值观经过观察、总结和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性与创造性,体验发现的乐趣.教学重难点重点:对圆心角、弧和弦之间的关系的理解.难点:能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题,会用圆心角、弧和弦之间的关系解题.教学过程一、创设情境,导入新课问:前面我们已探讨过轴对称图形,哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?(如果一个图形沿着某一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴).问:我们是用什么方法来研究轴对称图形?生:折叠.今天我们继续来探究圆的对称性.问题1:前面我们已经认识了圆,你还记得确定圆的两个元素吗?生:圆心和半径.问题2:你还记得学习圆中的哪些概念吗?忆一忆:1.圆:平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆,其中______为圆心,定长为________.2.弧:圆上_____叫做圆弧,简称弧,圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做圆的半径.__________称为优弧,_____________称为劣弧.3.___________叫做等圆,_________叫做等弧.4.圆心角:顶点在_____的角叫做圆心角.二、探究交流,获取新知知识点一:圆的对称性1.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?2.大家交流一下:你是用什么方法来解决这个问题的呢?动手操作:请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠:看折痕经不经过圆心?学生讨论得出结论:我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形,经过圆心的一条直线是圆的对称轴,圆的对称轴有无数条.知识点二:圆的中心对称性.问:一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,还能与原来的图形重合吗?让学生得出结论:一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合,我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性.圆是中心对称图形,对称中心为圆心.做一做:在等圆⊙O 和⊙O ' 中,分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠(如图3-8),将两圆重叠,并固定圆心,然后把其中的一个圆旋转一个角度,得OA 与OA '重合.你能发现哪些等量关系吗?说一说你的理由.小红认为''=AB A B ,''=AB A B ,她是这样想的:∵半径OA 重合,'''∠∠=AOB A O B ,∴半径OB 与OB '重合,∵点A 与点A '重合,点B 与点B '重合,∴AB 与A B ''重合,弦AB 与弦A B ''重合,∴AB =A B '',AB =A B ''.生:小红的想法正确吗?同学们交流自己想法,然后得出结论,教师点拨.结论:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.知识点三:圆心角、弧、弦之间的关系.问:在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?你是怎么想的?学生之间交流,谈谈各自想法,教师点拨.结论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三、例题讲解例:如图3-9,AB ,DE 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,且=AD CE ,BE 与CE 的大小有什么关系?为什么?解:BE =CE ,理由是:∵∠AOD =∠BOE ,∴=AD BE ,又∵=ADBE CE,∴=∴BE=CE.议一议在得出本结论的过程中,你用到了哪些方法?与同伴进行交流.四、随堂练习1.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关,试举几例.2.利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案:(1)是轴对称图形但不是中心对称图形;(2)是中心对称图形但不是轴对称图形;(3)既是轴对称图形又是中心对称图形.3.已知,A,B是⊙O上的两点,∠AOB=120°,C是AB的中点,试确定四边形OACB 的形状,并说明理由.五、知识拓展如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,以点C为圆心,AC为半径的圆交AB于点D,求AD所对的圆心角的度数.六、自我小结,获取感悟1.对自己说,你在本节课中学习了哪些知识点?有何收获?2.对同学说,你有哪些学习感悟和温馨提示?3.对老师说,你还有哪些困惑?七、布置作业P习题1-3题.-7273。

北师大版六年级下册课堂笔记《圆的认识(一)》

北师大版六年级下册课堂笔记《圆的认识(一)》

北师大版六年级下册《圆的认识(一)》课堂笔记一、课程目标1. 知识与技能:(1)理解圆的定义,掌握圆的基本性质;(2)学会用圆规和直尺画圆;(3)能够应用圆的知识解决实际问题。

2. 过程与方法:(1)通过观察、操作、思考、交流等活动,培养学生的空间观念和几何思维;(2)学会用数学语言描述圆的组成和特点;(3)培养学生合作学习的能力。

3. 情感态度与价值观:(1)感受数学与生活的紧密联系,培养学生的学习兴趣;(2)培养学生勇于探索、积极思考的精神;(3)培养学生珍惜时间、注重效率的观念。

二、课程内容1. 圆的定义(1)圆是平面上所有点到一个固定点(圆心)距离相等的点的集合。

(2)圆心:圆的中心点,用字母O表示。

(3)半径:从圆心到圆上任意一点的线段,用字母r表示。

2. 圆的基本性质(1)圆的对称性:圆沿任意一条直径对折,两侧图形完全重合。

(2)圆的周长:圆一周的长度,用字母C表示,公式为C=2πr。

(3)圆的面积:圆内部的所有点组成的区域,用字母S表示,公式为S=πr²。

3. 用圆规和直尺画圆(1)圆规:一种测量和画圆的工具,由两脚和一支笔组成。

(2)画圆的方法:① 将圆规的一脚固定在圆心,另一脚放在所需位置,调整圆规长度至所需半径;② 保持圆规长度不变,将笔放在圆规的另一脚,沿圆规脚画圆。

4. 实际问题(1)求一个圆的周长和面积;(2)计算圆形草坪的面积,确定草坪的边界;(3)解决生活中的圆形问题,如圆桌摆放、圆形花坛设计等。

三、课堂讲解1. 圆的定义与基本性质(1)引导学生观察生活中的圆形物体,如硬币、车轮等,让学生感受到圆形的普遍存在;(2)通过实际操作,让学生理解圆的定义,掌握圆心、半径等基本概念;(3)讲解圆的对称性,让学生学会判断图形是否为圆。

2. 用圆规和直尺画圆(1)演示圆的画法,让学生跟随操作,熟练掌握圆规和直尺的使用方法;(2)让学生自己尝试画圆,并互相评价,提高画圆的准确性。

九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.2《圆的对称性》课件

九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.2《圆的对称性》课件
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,你能得出什么 结论?
归纳
知2-导
1.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
(来自教材)
知2-讲
例2 下列命题中,正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角;
形、圆、等腰三角形,这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
知1-练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形,又是 中心对称图形的是( D )
知2-导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等,那 么它们所对的弦相等 吗?这两个圆心角相等吗?你是怎 么想的?
②相等的圆心角所对的弧也相等;
③在等圆中,圆心角不等,所对的弦也不等.
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.①②③
知2-讲
导引:①根据圆心角的定义知,顶点在圆心的角是圆心角, 故正确;②缺少条件,必须是在同圆或等圆中,相等 的圆心角所对的弧才相等,故错误;③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理,可知在等圆中,若圆心角相 等,则所对的弦相等,若圆心角不等,则所对的弦也 不等,故正确.
总结
知2-讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解,对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答.特别要注 意:看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件.
知2-练
1 下面四个图形中的角,是圆心角的是( D )
知2-练
2 如图,AB为⊙O的弦,∠A=40°,则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A.40° B.80° C.100° D.120°

九年级数学下册教材目录(北师大版)

九年级数学下册教材目录(北师大版)

九年级数学下册教材目录(北师大版)第一章直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
2 30°,45°,60°角的三角函数值
3 三角函数的计算
4 解直角三角形
5 三角函数的应用
6 利用三角函数测高
回顾与思考
复习题
第二章二次函数
1 二次函数
2 二次函数的图象与性质
3 确定二次函数的表达式
4 二次函数的应用
5 二次函数与一元二次方程
回顾与思考
复习题
第三章圆
1 圆
2 圆的对称性
*3 垂径定理
4 圆周角和圆心角的关系
5 确定圆的条件
6 直线和圆的位置关系*
7 切线长定理
8 圆内接正多边形
9 弧长及扇形的面积
回顾与思考
复习题。

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妻情分都别讲!”那壹次,李淑清没什么像以往壹贯の那样大哭大闹、胡搅蛮缠,而是掷地有声、句句在理地将他那些替水清开脱の话驳斥咯壹各体无完肤,将王爷说得哑口无言。 特别是那最后壹句,更是将淑清の彻骨寒心淋漓尽致地发泄咯出来,将他责问得羞愧难当、无地自容。他确实曾经深深地爱过淑清,但是现在,他确实也是壹各无情の负心人。在爱 上婉然,继而爱上水清之后,就将她忘在咯脑后,忘记咯他们曾经の恩爱时光,忘记咯他们曾经の夫妻情分,所以,他即使别是始乱终弃,也是移情别恋,是各别折别扣、当之无愧 の无情の负心人!此刻,左手边站立の是壹脸悲愤、情绪激动の淑清,右手边站立の是满脸惭愧、壹心求罚の水清,壹各旧爱,壹各新宠,清官难断家务案,更何况两各都是他付出 咯真心真爱の诸人!此刻他所受の内心煎熬以及痛苦折磨,壹点儿也别比下午时候の水清少。水清别过是在坚持自己の理想还是襄助王爷の大业之间进行痛苦而艰难の抉择,那是追 求理想与向现实妥协の选择。而王爷此时则是完完全全地陷入咯感情の漩涡之中,苦苦挣扎,情关难逃。第壹卷 第700章 旧爱淑清是他人生中第壹各付出真情、真心、真爱の诸人, 是他情窦初开の爱之初体验,是真正の同甘共苦、荣辱与共。他们相濡以沫地走过咯二十年の时光,二十年,他怎么能够说忘就忘?更何况,他们相亲相爱の时候,他无官无爵,别 过就是壹各皇子小格,连自己の府邸都没什么,而是寄居在皇宫中の小格所里,而她更别可能妻凭夫贵,在名份上别过就是他の壹各低阶侍妾而已。古训所言,大丈夫理当“贫贱别 能移、富贵别能淫、威武别能屈”。他们以前贫贱の时候能够共苦,现在富贵の时候却别能同甘吗?确实,现在の她随着年龄の增长,容貌、才情、智慧统统都别及豆蔻年华の水清, 从自然规律来讲,她现在是该给新人让位の时候咯。可是,对于壹各诸人来讲,那种被迫让位又是壹件多么残忍无情の事情。人老珠黄,色衰爱驰,难道他别过就是壹各贪恋美色の 无耻之徒吗?而反观水清呢?别管从前他们の关系如何,她嫁给他の时候,他早就加官进爵成为亲王,水清别但坐享其成,直接享受着王府の荣华富贵,而且还被皇上钦点册封咯亲 王侧福晋の身份,完全就是无功受禄,壹切荣华富贵の得来都是那么の轻而易举,仿佛就是天经地义の事情。可以说,除咯他の爱,水清没什么费吹灰之力,就将壹各诸人穷其壹生 所梦寐以求の壹切全都轻轻松松地得到咯。而淑清却是熬咯将近二十年,为他生育咯四各儿女,才通过他の请封而获得咯侧福晋の名份,却还要排在水清の后面。假设单从那各角度 来讲,确实是非常别公平,淑清确实有理由发泄她の强烈别满。可是从另外壹各角度来讲,水清确实又是受之无愧。别管他们是否相爱,即使是他误会她、厌恶她、羞辱她の时候, 她却从来都是以壹颗善良之心,尽职尽责地当好他の侧福晋。他永远也忘别咯,在塞外草原の时候,当他斥责水清向八小格通风报信の时候,她还会别计前嫌地与那木泰巧妙周旋, 处处维护他和婉然。如此那般以德报怨の行为,他の心灵怎么可能别被深深地触动?他也曾经炽烈地深爱过淑清。即使现在爱情越来越少,但是亲情却是永远也别可能湮灭,他别能, 也别愿做出任何令她伤心难过の壹举壹动。他现在更是深深地爱恋着水清。虽然今天の他终于看到咯她对他爱の回应,可是那仅仅只是壹各开端而已,他们未来の爱情之路仍是前途 未卜、扑朔迷离,他别想,也别敢做出任何令她伤心难过の壹举壹动。现在借琴の事情还没什么理出头绪,他又陷入咯感情纠葛の泥潭,再询问下去,别但问别出任何结果,更是要 闹得王府后院纷争四起の恶果。但是别咯咯之也别是他の处事原则,他别是糊涂昏庸之人,用逃避の方式の处理问题,只能是问题越积攒越多,矛盾越积攒越深,正所谓千里之堤毁 于蚁穴。第壹卷 第701章 下策水清和淑清,两各都是他付出过真心真情の诸人,哪壹各他都别想伤害,被逼到绝境の王爷,最终只得拿出咯
九年级 下册
第三章 圆
2、圆的对称性(2)
白峰中学
Hale Waihona Puke 一个圆绕它的圆心 旋转任意一个角度 都能与原来图形重合
圆是中心对称图形
圆心是它对称中心
顶点 在圆 心的 角叫 圆心 A 角
B
O 若∠AOB=∠AOB
在同圆 或等圆 B 中,相 等的圆 心角所 对的弧 相等, A 所对的 弦相等。
则AB=AB
AB=AB
若AB=AB B
B AB与AB 相等吗? ∠AOB与 ∠AOB相 等吗? 若AB=AB A
A
O
AB与AB 相等吗?
∠AOB与∠AOB相等吗?
如果∠AOB=∠COD
B
那么OE=OF吗? D 如果OE=OF 吗?
E A O 圆心到弦的距离 叫做弦心距
F
那么 ∠AOB= ∠COD吗? C
在同圆或等圆中
B
D E A O F
两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦的弦 心距 有一组量相等 C 它们所对应的 其余各组量都 分别相等
B
E
A
P
O F D
例:如图,P是 C ⊙O外一点,射 线PAB,PCD分 别交⊙O于A、B 和C、D,已知 AB=CD,
求证:PO平分∠BPD
B
E
O
若把上题改为:P C 是⊙O内一点, 直线APB,CPD A 分别交⊙O于A、 P B和C、D,已知 AB=CD , F 结论还成立吗?
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