人教A版高中数学必修四 3.2.2《简单的三角恒等变换》(2)教案
人教版高一数学必修四3.2简单的三角恒等变换教案
三角恒等变换一、教学目标1：能够熟练运用两角之差及两角之和的正余弦、正切公式解决问题； 2：辅助角公式的应用；3：能够解决三角函数的图像与性质有关的综合应用问题。
二、教学重点与难点 与辅助角公式相关的三角函数综合问题三、教学过程1、复习•引入 两角和与差的正弦公式()sin αβ+=_________________________________()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_____________________ 反之,αα化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式（11cos 2αα+ （2）sin αα2、辅助角公式•推导对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？sin cos ))a b αααααβ++其中辅助角β由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
3、例题•反馈例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.（11cos 2αα- （2）ααcos sin +（3αα （4）ααcos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.（1）sin cos αα-（2）ααsin cos - （3）cos αα-例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。
例42)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
人教A版高中数学必修四河北省容城学教案简单的三角恒等变换
3.2简单的三角恒等变换（三）教学目标知识与技能目标熟练掌握三角公式及其变形公式．过程与能力目标抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题． 情感与态度目标培养学生观察、分析、解决问题的能力．教学重点和、差、倍角公式的灵活应用．教学难点如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明． 教学过程例1：教材P141面例4例1. 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.例2：把一段半径为R 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）解：（1）如图，设矩形长为l ，则面积224l R l S +=，所以,4)()4(22222222l R l l R l S +-=-=当且仅当,224222R R l == 即R l 2=时，2S 取得最大值44R ，此时S 取得最大值22R ，矩形的宽为R R R 2222=即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为θ，矩形长与宽分别为θsin 2R 、θcos 2R ，所以面积θθθ2sin 2sin 2cos 22R R R S =⨯=.而12sin ≤θ，所以22R S ≤，当且仅当12sin =θ时，S 取最大值22R ，所以当且仅当︒=902θ即︒=45θ时， S 取最大值，此时矩形为内接正方形.变式：已知半径为1的半圆，PQRS 是半圆的内接矩形如图，问P 点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．解：设,α=∠SOP 则,sin α==OS SP 故S 四边形PQRS ααsin cos 2sin =⨯=故α为︒45时，1max =SO课堂小结建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.课后作业1. 阅读教材P.139到P.142;2. 《习案》作业三十五.。
数学人教A版4课前引导3.2简单的三角恒等变换(二)含解析
3。
2 简单的三角恒等变换（二）课前导引问题导入某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径长为1 m,求割出的长方形桌面的最大面积（如右图）思路分析：如右图连OC ，设∠COB=θ，则0°＜θ＜45°，OC=1, ∵AB=OB—OA=cosθ—AD=cosθ-sinθ, ∴S 矩形ABCD =AB·BC=（cosθ—sinθ）·sinθ =-sin 2θ+sinθcosθ=—21（1—cos2θ）+21sin2θ=21(sin2θ+cos2θ）—21=22cos （2θ—4π）—21。
当2θ—4π=0，即θ=8π时,S max =212-（m 2). ∴割出的长方形桌面的最大面积为212-（m 2）。
知识预览1。
两角和（差)的余弦：cos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβ. 2.两角和(差）的正弦：sin （α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ. 3。
两角和（差）的正切：tan(α±β)=βαβαtan tan 1tan tan ±±。
4.二倍角余弦公式:cos2α=cos 2α—sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α。
常见变形：cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-。
5.二倍角正弦公式:sin2α=2sinαcosα.常见变形:sinα=ααcos 22sin ，cosα=ααsin 22sin 。
6.二倍角正切公式：tan2α=αα2tan 1tan 2-。
7.半角正弦公式：sin 2α=±2cos 1α-。
常见变形：sin 22α=2cos 1α-.前者用于求半角的正弦值，后者用于降幂使用. 半角余弦公式:cos 2α=±2cos 1α+. 常见变形：cos 22α=2cos 1α+.半角正切公式:tan 2α=±ααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 1-=+=+-。
人教版高中数学必修4-3.2《简单的三角恒等变换(第2课时)》教学设计
3.2.3简单的三角恒等变换（第2课时）杨峻峰一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，了解化简三角函数式及证明三角恒等式的要求，掌握化简三角函数式及证明三角恒等式的常规技巧和方法．从中体会、学习换元思想、方程思想及化归思想．（二）学习目标能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明．（三）学习重点有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．（四）学习难点认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，有从整体上把握变换过程的能力.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：（1）化简三角函数式：化简三角函数式的要求：①能求值的应求值；②使式子次数尽量低、项数尽量少；③使三角函数的种类尽量少；④尽量使分母及被开方数不含三角函数；⑤将高级运算表为低级运算.化简三角函数式的方法：一些常规技巧：“1”的代换，切割化弦，和积互化，化非特殊角为特殊角，异角化同角，异名函数化为同名三角函数，异次化为同次，切割化弦等．（2）三角恒等式的证明：三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．2.预习自测（1）化简：cos104sin 80sin10︒︒-=︒__________. 【知识点】两角差的正、余弦公式．【解题过程】cos104cos10sin10cos102sin 20cos104sin 80sin10sin10sin10︒︒︒-︒︒-︒︒-==︒︒︒()2sin 20cos 3020sin10︒-︒-︒====︒． 【思路点拨】将所求式子通分后化简，再逆用两角差的正、余弦公式．【答案】（2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=__________. 【知识点】两角和与差的余弦函数公式． 【解题过程】cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 4cos 2ααα+=， 两边平方，得()22cos sin 16cos 2ααα+=，即()21sin 2161sin 2αα+=-， 解得： 15sin 216α=或sin 21α=-， 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()20,απ∈，所以15sin 216α=． 【思路点拨】将已知式子左边利用两角和与差的余弦函数公式进行化简，右边利用同角三角函数基本关系进行变形．【答案】1516． （3）已知02πα<<，4sin 5α=，则cos 2sin 2παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为__________.。
2020-2021学年数学人教A版必修4学案：3.2 简单的三角恒等变换
3．2 简单的三角恒等变换[目标] 1.记住三角恒等变换常用公式． 2.能够利用三角函数公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明．[重点] 三角恒等变换常用公式． [难点] 三角恒等变换的化简与求值．知识点一 降幂公式与半角公式[填一填][答一答]1．半角公式中“±”号如何选取？ 提示：符号由α2所在象限决定．2．已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，则sin θ2＝－255，cos θ2＝－55，tan θ2＝2.解析：∵sin θ＝45，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35， ∵5π4<θ2<3π2， ∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255. cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55.tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2(或tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝451－35＝2)．知识点二 常见的三角恒等变换[填一填]1．a sin α＋b cos α ＝a 2＋b 2(sin α·a a 2＋b 2＋cos α·ba 2＋b2) ＝a 2＋b 2sin(α＋φ)．(其中令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b2)2．sin 2α＝1－cos2α2，cos 2α＝1＋cos2α2，sin αcos α＝12sin2α.[答一答]3．如何确定上述辅助角公式中的φ值？提示：可以由sin φ和cos φ的符号来确定φ所在的象限，由sin φ或cos φ的值确定角φ的大小．4．填空：(1)sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. (2)3sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π6. (3)sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3.类型一 半角公式的应用[例1] (1)设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( ) A.1＋a 2 B ．1－a 2 C ．－1＋a 2D ．－1－a 2(2)若sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝________.[解析] (1)由题知，5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则54π<θ4<32π，则sin θ4＝－1－cos θ22＝－1－a2.故选D.(2)∵sin(π－α)＝－53，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π， ∴sin α＝－53，cos α＝－23，又∵α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－1＋cos α2＝－66.[★★答案★★](1)D(2)－66已知θ的某个三角函数值，求θ2的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可.[变式训练1]已知α∈(－π2，0)，cosα＝45，则tanα2＝(D) A．3B．－3C.13D．－13解析：因为α∈(－π2，0)，且cosα＝45，所以α2∈(－π4，0)，tanα2＝－1－cosα1＋cosα＝－1－451＋45＝－13，故选D.类型二三角恒等式的化简与证明[例2]已知π<α<3π2，化简：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.[解]原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sinα2＋cosα222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinα2＋⎝⎛⎭⎪⎫sinα2－cosα222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinα2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4. ∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.三角恒等变换是指依据三角函数的有关公式、定理，对三角函数式进行某种变形的过程，凡三角问题几乎都要通过三角恒等变换来解决.具体步骤如下：(1)发现差异——观察角、名、形三方面的差异；(2)寻找联系——根据式子的结构特征，找出差异间的联系； (3)合理转化——选取恰当的公式，进行恒等变形，促使差异转化. [变式训练2] 化简sin4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得( A )A ．sin2αB ．cos2αC ．sin αD ．cos α解析：∵4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos2α，∴原式＝sin4α4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin4α2cos2α＝2sin2αcos2α2cos2α＝sin2α. 类型三 三角恒等变换的应用命题视角1：三角恒等变换与三角函数性质的结合[例3] 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．[解析] 由题意知，f (x )＝12sin2x ＋12(1－cos2x )＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．[★★答案★★] π [3π8＋k π，7π8＋k π](k ∈Z )讨论三角函数的性质一般要把三角函数化为y ＝A sin (ωx ＋φ)，y ＝A cos (ωx ＋φ)，y ＝A tan (ωx ＋φ)的形式才能进行讨论.[变式训练3] 已知函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则函数的值域为[－1,1]，对称轴方程为x ＝56π＋k π(k ∈Z )．解析：f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin x －32cos x －12sin x＝12sin x －32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3则函数f (x )的值域是[－1,1]．令x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝56π＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝56π＋k π(k ∈Z)． 命题视角2：三角恒等变换与平面向量的结合[例4] 在平面直角坐标系xOy 中，点A (cos θ，2sin θ)，B (sin θ，0)，其中θ∈R .(1)当θ＝2π3时，求向量AB →的坐标； (2)当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求|AB →|的最大值．[解] (1)由题意得AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)，当θ＝2π3时，sin θ－cos θ＝sin 2π3－cos 2π3＝1＋32，－2sin θ＝－2sin 2π3＝－62，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－62. (2)因为AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)， 所以|AB →|2＝(sin θ－cos θ)2＋(－2sin θ)2 ＝1－sin2θ＋2sin 2θ＝1－sin2θ＋1－cos2θ ＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4.因为0≤θ≤π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4. 所以当2θ＋π4＝5π4时，|AB →|2取到最大值， |AB →|2＝2－2×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝3，即当θ＝π2时，|AB →|取到最大值 3.三角恒等变换与平面向量的坐标运算相结合是常见的题型，这种题型往往体现了三角恒等变换的工具性．[变式训练4] 已知A ，B ，C 是△ABC 三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m·n ＝1，则角A ＝( D )A.π2B.π6C.π4D.π3 解析：∵m·n ＝1，∴(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1，即3sin A －cos A ＝1，∴2⎝⎛⎭⎪⎫sin A ·32－cos A ·12＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6， ∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.命题视角3：三角恒等变换的实际应用[例5] 有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？[分析] 在△AOB 中利用∠AOB 表示OA ，AB 的长→ 表示矩形面积：2OA ·AB →得到面积与角间的函数关系→ 通过求函数的最值得到面积的最值 [解]画图如图所示，设∠AOB ＝θ(θ∈(0，π2))，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，即S ＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin2θ.∵θ∈(0，π2)，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2，此时，A ，D 距离O 点都为22a .解决实际问题应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解.求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决.[变式训练5] 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解：如图，连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12.当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2.1．已知cos α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( D ) A ．－105 B.105 C ．－155 D ．155 解析：∵π2<α<π，∴π4<α2<π2， ∵cos α＝－15，∴sin α2＝1－cos α2＝155.2．下列各式中，值为12的是( B ) A ．sin15°cos15°B ．cos 2π6－sin 2π6C.tan30°1－tan 230° D ．1＋cos60°2解析：A 中，原式＝12sin30°＝14； B 中，原式＝cos π3＝12；C 中，原式＝12×2tan30°1－tan 230°＝12tan60°＝32； D 中，原式＝cos30°＝32，故选B.3．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12.故函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12. 4．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos2α＝179.解析：∵(cos α＋sin α)2＝19，∴sin αcos α＝－49， 而sin α>0，∴cos α<0.∴cos α－sin α＝－(cos α＋sin α)2－4sin αcos α＝－173. ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－13×⎝⎛⎭⎪⎫－173＝179. 5．证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.证明：∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tanα21＋tan2α2＋1－tan2α21＋tan2α2＝tan2α2＋2tanα2＋11＋tan2α2＋2tanα2＋1－tan2α2＝⎝⎛⎭⎪⎫tanα2＋122tanα2＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫tanα2＋1＝12tanα2＋12＝右边．∴等式成立．——本课须掌握的三大问题1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tanφ＝ba(或sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2)．3．研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
高中数学必修四人教A版 教案3-2简单的三角恒等变换 精
3.2 简单的三角恒等变换1.知识与技能(1)利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.(2)通过三角恒等变形将形如a sin x+b cos x 的函数转化为y=A sin(x+φ)的函数. 2.过程与方法经历半角公式、积化和差公式、和差化积公式的推导过程,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促进学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.3.情感、态度与价值观引导学生以已有的公式为依据,以推导半角公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力.三角函数的和积互化(1)三角函数的积化和差公式及推导sin αcos β=,cos αsin β=,cos αcos β=,sin αsin β=-.下面对这组公式进行推导:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,(S(α+β))sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,(S(α-β))cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,(C(α+β))cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,(C(α-β))(S(α+β))+(S(α-β)),(S(α+β))-(S(α-β)),(C(α+β))+(C(α-β)),(C(α+β))-(C(α-β)),得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,sin(α+β)-sin(α-β)=2cos αsin β,cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β,cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin αsin β,即sin αcos β=,①cos αsin β=,②cos αcos β=,③sin αsin β=-,④公式①、②、③、④叫做积化和差公式.(2)三角函数的和差化积公式sin α+sin β=2sin·cos,sin α-sin β=2cos·sin,cos α+cos β=2cos·cos,cos α-cos β=-2sin·sin.下面给出这组公式的推导:在积化和差的公式中,如果“从右往左”看,实质上就是和差化积.为了用起来方便,在积化和差的公式中,如果令α+β=θ,α-β=φ,则α=,β=.把这些值代入积化和差的公式①中,就有sin·cos==(sin θ+sin φ).∴sin θ+sin φ=2sin·cos.同样可得:sin θ-sin φ=2cos·sin,cos θ+cos φ=2cos·cos,cos θ-cos φ=-2sin·sin.这四个公式叫做和差化积公式.。
人教A版高中数学必修四 3.2《简单的三角恒等变换》教学设计
3.2《简单的三角恒等变换》教学设计【教学目标】1会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），2使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】 习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2T α先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α.既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 新授课阶段半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan21cos cos 2ααααα-==+． 点评：⑴以上结果还可以表示为：sin 2cos2αα==tan2α=并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2 求证： （１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系. 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３ 求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.解： 1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．课堂小结用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业课本p143 习题3.2 A 组1、（1）（5） 3 、5 拓展提升1．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ） A ．－32B ．－31C ．31D ．32 2．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C ，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3π C ．3π D ．3π2 4．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ） A ．－32B ．－31C ．31D ．32 5．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形6．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3π C ．3πD ．3π2 7．已知sin （α+β）sin （β－α）=m ，则cos 2α－cos 2β等于（ ） A ．－mB ．mC ．－4mD ．4m二、填空题8．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________． 9．已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________． 三、解答题10．已知f （x ）=－21+2sin 225sin xx ，x ∈（0，π）． （1）将f （x ）表示成cos x 的多项式； （2）求f （x ）的最小值．12．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A +C =2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值．13． 已知sin A +sin3A +sin5A =a ，cos A +cos3A +cos5A =b ， 求证：（2cos2A +1）2=a 2+b 2．14．求证：cos2x+cos2（x+α）－2cos x cosαcos（x+α）=sin2α．15．求函数y=cos3x·cos x的最值．参考答案一、选择题：1．C 2． B 3． D 4．C 5． B 6． D 7． B 二、填空题：8．41 9．－97 三、解答题10．解：（1）f （x ）=2cos 23cos 22sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx x x xxx x x ==-=cos2x +cos x =2cos 2x +cos x －1．（2）∵f （x ）=2（cos x +41）2－89，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x =－41时，f （x ）取得最小值－89． 11 分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力． 解：由题设条件知B =60°，A +C =120°， ∵－︒60cos 2=－22，∴CA cos 1cos 1+=－22． 将上式化简为cos A +cos C =－22cos A cos C ， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos 2CA -=－2［cos （A +C ）+cos （A －C ）］， 将cos2C A +=cos60°=21，cos （A +C ）=cos120°=－21代入上式得cos 2CA -=22－2cos（A －C ），将cos （A －C ）=2cos 2（2C A -）－1代入上式并整理得42cos 2（2C A -）+2cos 2C A -－32=0，即［2cos2C A -－2］［22cos 2CA -+3］=0． ∵22cos2C A -+3≠0，∴2cos 2CA -－2=0． ∴cos2C A -=22．12．证明：由已知得⎩⎨⎧=+=+，，b A A A a A A A 3cos 2cos 3cos 23sin 2cos 3sin 2 ∴⎩⎨⎧=+=+.)12cos 2(3cos )12cos 2(3sin b A A a A A ，两式平方相加得（2cos2A +1）2=a 2+b 2． 13．证明：左边=21（1+cos2x ）+21［1+cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+21［cos2x +cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+cos （2x +α）cos α－cos α［cos （2x +α）+cos α］ =1+cos （2x +α）cos α－cos αcos （2x +α）－cos 2α =1－cos 2α=sin 2α =右边，∴原不等式成立． 14．解：y =cos3x ·cos x =21（cos4x +cos2x ） =21（2cos 22x －1+cos2x ） =cos 22x +21cos2x －21 =（cos2x +41）2－169． ∵cos2x ∈［－1，1］， ∴当cos2x =－41时，y 取得最小值－169； 当cos2x =1时，y 取得最大值1．。
高中数学必修四(人教新A版)教案28简单的三角恒等变换
（１）、 ；
（２）、 ．
证明：（１）因为 和 是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
； ．
两式相加得 ；
即 ；
（２）由（１）得
①；
设 ，
那么
．
把 的值代入①式中得
．
思考：在例２证明中用到哪些数学思想？
2
高中数学必修四课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．
课后
反思
3
例1、试以 表示 ．
解：我们可以通过二倍角 和 来做此题．
因为 ，可以得到 ；①
因为 ，可以得到 ．②
将①②两个等式的左右两边分别相除，即得
1
高中数学必修四课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
高中数学必修四课时教案
备课人
授课时间
课题
§3.2简单的三角恒等变换（1）
课标要求
三角恒等变换在数学中的应用．
教
学
目
标
知识目标
会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换
人教A版高中数学必修四3.2《简单的三角恒等变换》教案1
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？ 例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()s i n y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P - 14T T -《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
人教A版高中数学必修四简单的三角恒等变换教案二
3.2简单的三角恒等变换（二）一、教学目标1、通过三角恒等变形，形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(ϕ+=x A y 的函数；2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。
二、教学重点与难点重点：三角恒等变形的应用。
难点：三角恒等变形。
三、教学过程（一）复习：二倍角公式。
（二）典型例题分析例1：.54sin ,20=<<απα已知 的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；的值求)45tan()2(πα-． 解：（1）由,54sin ,20=<<απα得,53cos =α .201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++∴αααααααα （2）.71tan 11tan )45tan(,34cos sin tan =+-=-==ααπαααα 例2．.10tan 3150sin ）（利用三角公式化简︒+︒ 解：）（原式︒︒+︒=10cos 10sin 3150sin ︒︒+︒⋅︒=10cos )10sin 2310cos 21(250sin ︒︒︒+︒︒⋅︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2 ︒︒⋅︒=10cos 40sin 40cos 2 110cos 10cos 10cos 80sin =︒︒=︒︒=. 例３．已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1） 求)(x f 的最小正周期，（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4．若函数]20[cos 22sin 3)(2π，m x x x f 在区间++=上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当R x ∈时的最小值及取得最小值时x 的集合。
人教课标版高中数学必修四《简单的三角恒等变换(第2课时)》教案-新版
3.2.3简单的三角恒等变换（第2课时）一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，了解化简三角函数式及证明三角恒等式的要求，掌握化简三角函数式及证明三角恒等式的常规技巧和方法．从中体会、学习换元思想、方程思想及化归思想．（二）学习目标能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明．（三）学习重点有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．（四）学习难点认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，有从整体上把握变换过程的能力.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：（1）化简三角函数式：化简三角函数式的要求：①能求值的应求值；②使式子次数尽量低、项数尽量少；③使三角函数的种类尽量少；④尽量使分母及被开方数不含三角函数；⑤将高级运算表为低级运算.化简三角函数式的方法：一些常规技巧：“1”的代换，切割化弦，和积互化，化非特殊角为特殊角，异角化同角，异名函数化为同名三角函数，异次化为同次，切割化弦等．（2）三角恒等式的证明：三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．2.预习自测（1）化简：cos104sin 80sin10︒︒-=︒__________. 【知识点】两角差的正、余弦公式．【解题过程】cos104cos10sin10cos102sin 20cos104sin 80sin10sin10sin10︒︒︒-︒︒-︒︒-==︒︒︒()2sin 20cos 3020sin10︒-︒-︒====︒． 【思路点拨】将所求式子通分后化简，再逆用两角差的正、余弦公式．【答案】（2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=__________. 【知识点】两角和与差的余弦函数公式． 【解题过程】cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 4cos 2ααα+=， 两边平方，得()22cos sin 16cos 2ααα+=，即()21sin 2161sin 2αα+=-， 解得： 15sin 216α=或sin 21α=-， 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()20,απ∈，所以15sin 216α=． 【思路点拨】将已知式子左边利用两角和与差的余弦函数公式进行化简，右边利用同角三角函数基本关系进行变形．【答案】1516．（3）已知02πα<<，4sin 5α=，则cos 2sin 2παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为__________. 【知识点】同角三角函数的基本关系，二倍角公式，诱导公式．【数学思想】【解题过程】 因为02πα<<，4sin 5α=，所以3cos 5α=． 23238cos 2sin 12sin cos 1225525παααα⎛⎫++=-+=-+= ⎪⎝⎭． 【思路点拨】利用同角三角函数的基本关系可求cos α，再利用二倍角公式及诱导公式对所求式子进行化简． 【答案】825． (二)课堂设计1．知识回顾（1）半角公式：①sin 2α=；②cos 2α=；③sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+（有理形式），tan 2α=（无理形式）. （2）积化和差与和差化积公式：①积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； ()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦； ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； ()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦. ②和差化积公式： sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=； sin sin 2cos sin 22θϕθϕθϕ+--=；cos cos 2cos cos 22θϕθϕθϕ+-+=； cos cos 2sin sin 22θϕθϕθϕ+--=-. ②辅助角公式：()sin cos a x b x x ϕ+=+，其中tan b a ϕ=. 2．问题探究探究一 三角函数的化简●活动①例1 已知α为第四象限角，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-. 【知识点】三角函数的有理化．【数学思想】【解题过程】因为α为第四象限角，所以原式cos sin =+ 1sin 1cos cos sin cos sin αααααα--=+- ()1sin 1cos cos sin αααα=---=-．【思路点拨】根式形式的三角函数式化简常采用有理化或升幂公式．【答案】cos sin αα-． 同类训练已知 360270<<α，化简α2cos 21212121++． 【知识点】升幂公式．【数学思想】【解题过程】因为270360α<<，所以cos 0,cos 02αα><．原式====cos 2α=-． 【思路点拨】根式形式的三角函数式化简常采用有理化或升幂公式．【答案】cos 2α-．●活动②例2 已知0απ<<. 【知识点】弦切互化，半角有理式的应用．【数学思想】化归思想【解题过程】因为sin tan 21cos ααα=+，所以()tan 1cos sin 2ααα⋅+=.因为3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，21cos 2sin 2αα-=.所以原式==因为0απ<<，所以022απ<<，所以sin 02α>．原式2α=-． 【思路点拨】涉及半角的正切式与弦函数的积时，应考虑半角的有理式的应用．【答案】2α-． 同类训练 化简42212cos 2cos 22tan sin 44x x x x ππ-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【知识点】弦切互化、诱导公式、倍角公式．【数学思想】化归思想【解题过程】原式()()4222214cos 4cos 12cos 12sin 4sin cos 4442cos 4cos 4x x x x x x x x πππππ-+-==⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭22cos 2cos 21cos 22cos 222sin 22x x x x x π===⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【思路点拨】分子提取12配方，分母利用诱导公式将sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭变形为cos 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【答案】1cos 22x ． 探究二 三角恒等式的证明●活动①例3 求证：32sin tan tan 22cos cos 2x x x x x-=+. 【知识点】弦切互化，积化和差、和差化积公式． 【数学思想】化归思想【解题过程】 方法一：333sinsin sin cos cos sin 3222222tan tan 3322cos cos cos cos 2222x x x x x x x x x x x x --=-= 3sin sin 2sin 223333cos cos cos cos cos cos 22222222x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos cos 2x x x=+． 方法二：2sin 2sin 33cos cos 2cos cos 2222x x x x x x x x =+⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3332sin cos cos sin sin sin 222222332cos cos cos cos 2222x x x x x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-3tan tan 22x x =-． 【思路点拨】从左往右证，可利用同角三角函数基本关系式切化弦，再利用积化和差进行转化即可．【答案】见解答过程．同类训练证明：()xx x x 4cos 14cos 32cot tan 22-+=+． 【知识点】弦切互化、三角函数基本关系式、倍角公式． 【解题过程】 ()2222222442222222sin cos 2sin cos sin cos sin cos tan cot 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x x x x x x x x x +-++=+== ()()22421cos 423cos 484sin 244cos 21cos 41cos 41cos 41cos 4x x x x x x x x+++-+====----． 【思路点拨】左边切化弦再通分，利用基本关系式、倍角公式推导．【答案】见解答过程．●活动②例4 证明:334422cos sin cos sin sin cos 4422ππααααααα⎛⎫⎛⎫++-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【知识点】左右归一．【解题过程】左边()()()()()2222cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin αααααααααααα=+-++++-()()cos sin 1cos sin cos sin αααααα=+-+-()()()cos sin 1cos 1sin αααα=++-右边1cos 1cos 2cos cos sin sin 4422παππααα⎛⎫-- ⎪+⎫⎝⎭=+⋅⋅⎪⎭()()()cos sin 1cos 1sin αααα=++-所以左边＝右边，等式成立．【思路点拨】等式两边结构都较为复杂，可左右同时化简，采用左右归一的途径．【答案】见解答过程．同类训练若2tan 3tan αβ=，求证：()sin 2tan 5cos 2βαββ-=-． 【知识点】“消元法”、两角差的正切公式、倍角公式．【数学思想】【解题过程】∵2tan 3tan αβ=，即3tan tan 2αβ=， ∴()223tan tan tan tan tan 2tan 31tan tan 23tan 1tan 2ββαββαβαβββ---===+⋅++ 又∵βββββββββββ2222222tan 32tan )tan 1()tan 1(5tan 2tan 1tan 15)tan 1(tan 2cos 52sin +=--+=+--+=- ∴()sin 2tan 5cos 2βαββ-=-． 【思路点拨】等式左边式子包含两个角，右边只有一个，考虑消去一个角，都用角β进行表示．【答案】见解题过程．●活动③例5 在△ABC 中，223sin cos sin cos sin 222C A A C B ⋅+⋅=，求证：sin sin 2sin A C B +=. 【知识点】降幂公式、两角和正弦函数公式．【解题过程】 因为223sin cos sin cos sin 222C A A C B ⋅+⋅=， 所以1cos 1cos 3sin sin sin 222C A A C B ++⋅+⋅=. 即sin sin sin cos sin cos 3sin A C A C C A B +++=.所以()sinsin sin 3sin A C A C B +++=， 所以sin sin 2sin A C B +=.【思路点拨】由降幂公式化简已知等式，然后利用两角和的正弦函数公式．【答案】见解题过程．同类训练在△ABC 中，若2222sin sin sin cos 2222A B C B ++=，求证：1tan tan 223A C ⋅=． 【知识点】降次公式、和差化积、三角形内角和定理．【解题过程】∵sin 22A +sin 22B +sin 22C =cos 22B ， ∴2sin 212cos 12cos 12B C A -=-+-． ∴2sin 22B =21(cos A +cos C ) 又∵sin 2B =cos 2C A +， ∴2cos 22C A + =cos 2C A +·cos 2A C -， ∴2cos 2C A +=cos 2C A -． ∴2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos2C A C A C A C A +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-． ∴3sin sin cos cos .2222A C A C ⋅=⋅故1tan tan 223A C ⋅=． 【思路点拨】因结论等式中不含B ．故需设法消去已知等式中的B 角，可考虑使用三角形内角和定理．【答案】见解题过程．3.课堂总结（1）化简三角函数式的要求：①能求值的应求值；②使式子次数尽量低、项数尽量少；③使三角函数的种类尽量少；④尽量使分母及被开方数不含三角函数；⑤将高级运算表为低级运算.（2）化简三角函数式的技巧：①变角：通过观察不同三角函数式所包含的角的差异，借助于“拆凑角”（如用特殊角表示一般角，用已知角表示所求角等）、“消角”（如异角化同角，复角化单角等）来减少角的个数，消除角与角之间的差异 .②变名（即式子中不同函数之间的变换）：通过观察角的三角函数种类的差异，借助于“切化弦”、“弦切互化”等进行函数名称的变换.③变式（即式子的结构形式的变换）：通过观察不同的三角函数结构形式的差异，借助于一下几种途径进行变换：1）常值代换，如将“1”代换为“22sin cos αα+”或“tan 45︒”；2）升降幂公式，如21cos 2cos 2αα+=； 3）配方与平方，如()24224cos 4cos 12cos 1x x x -+=-；等（3）三角恒等式的证明证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等； 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．（三）课后作业基础型 自主突破1．已知2sin 23A =，()0,A π∈，则sin cos A A +=（ ）A B ． C ．53 D ．53-【知识点】倍角公式．【数学思想】【解题过程】因为()25sin cos 1sin 23A A A +=+=，所以sin cos A A +=． 又因为2sin 22sin cos 03A A A ==>，所以sin A 、cos A 同号．因为()0,A π∈，所以sin cos 0A A +>，故选A ．【思路点拨】运用倍角公式，注意分析sin cos A A +的正负．【答案】A ．2)sin sin cos cos αββα+=-，α、()0,βπ∈，则αβ-=（ ）A ．23π-B ．3π-C ．3πD ．23π 【知识点】和差化积． 【数学思想】【解题过程】由已知等式得cos2sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，因为sin02αβ+≠，所以tan2αβ-=，所以23αβπ-=，所以23παβ-=． 【思路点拨】利用和差化积变形等式，算出tan 2αβ-的值．【答案】D ． 3． 若()2tan 5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．1813 B ．223C ．1213 D ．183【知识点】两角差的正切函数公式． 【数学思想】【解题过程】因为()2tan 5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()tan tan 44a ππαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()tan tan 4=1tan tan 4a a πββπββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 213542122154-==+⨯． 【思路点拨】把4πα+变为()4a πββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭，再利用两角差的正切函数公式．【答案】B ．4．已知()()1cos cos 3αβαβ+⋅-=，则22cos cos αβ-的值为（ ）A ．23-B ．13-C ．13D ．23【知识点】积化和差公式、倍角公式． 【数学思想】【解题过程】因为()()()11cos cos cos 2cos 223αβαβαβ+⋅-=+=， 所以()22cos 211cos 211cos cos cos 2cos 22223αβαβαβ+--=-=+=．【思路点拨】利用积化和差和倍角公式，化出()1cos 2cos 22αβ+．【答案】C ．5．若6παβ+=，且α、β满足关系式：)tan tan 2tan 3tan 0a αβαβ⋅+++=则tan α的值为（ ）A )1a +B )1a -C )1a +D ．)1a - 【知识点】两角和的正切函数公式． 【数学思想】【解题过程】由题()tan tan6παβ+=，即tan tan 1tan tan αβαβ+=-，又因为)tan tan 2tan 3tan 0a αβαβ⋅+++=，所以)tan 1a α=+．【思路点拨】由两角和的正切函数公式得tan tan 1tan tan αβαβ+=-，联立已知条件即得． 【答案】A ．6．化简22cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝________．【知识点】诱导公式、同角三角函数的平方关系． 【数学思想】【解题过程】因为442πππαα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2222cos cos cos sin 14444ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用诱导公式，结合同角三角函数的平方关系即得．【答案】1．能力型 师生共研7．若2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=--，则3cos 2sin 2θθ+=______________．【知识点】弦切互化、倍角公式．【数学思想】【解题过程】由2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=--，得2tan 15tan 3θθ+=--，解得tan =2θ．2222223cos 3sin 2sin cos 33tan 2tan 3cos 2sin 21sin cos tan 1θθθθθθθθθθθ-+-++===-++ 【思路点拨】利用弦切互化、倍角公式转化成关于tan θ的式子． 【答案】1-．8．求证：43cos 44cos 28sin ααα+-=．【知识点】降幂公式、倍角公式．【数学思想】【解题过程】()()24428sin24sin 21cos 2212cos 2cos 2ααααα=⨯=-=-+，224cos 22cos 224cos 21cos 43cos 44cos 2αααααα=-+=-++=+-．所以等式成立． 【思路点拨】从右边入手，根据降幂公式，再利用倍角公式得到左式．【答案】见解答过程．探究型 多维突破 9．求证：)22tan tan 2sin cos 2sin 2tan 2tan 3ααπααααα⎛⎫+-=- ⎪-⎝⎭．【知识点】弦切互化、两角差的正弦公式、倍角公式． 【数学思想】【解题过程】)22sin sin 2tan tan 2cos cos 2sin cos 2sin 2sin tan 2tan cos 2cos ααααααααααααααα⋅-=---，()sin sin 2sin sin 222sin 22sin 2cos cos 2sin sin 2αααααααααααααα==-=---2sin 23πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【思路点拨】从左边入手，先切化弦，再利用两角差的正弦公式．【答案】见解答过程．10．在△ABC 中，设tan tan 2tan A CB +=，求证：()45cos 2cos 54cos 2CB C A C++-=+．【知识点】三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正切公式变形、倍角公式．【数学思想】转化的思想．【解题过程】C C B A tan )tan()tan(-=-=+πC BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+∴C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++⇒由条件得B C B A tan 3tan tan tan =++∴C B A B tan tan tan tan 3⋅⋅=∴而0tan ,0tan ≠≠C B ，CA tan 3tan =∴，A A A A C B 22tan 1tan 12cos )cos(+--=-=-+ C C C C 2222tan 9tan 91tan 31tan 3+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=而C C 2cos 452cos 54++C C C C C C 222222tan 9tan 9tan 1tan 145tan 1tan 154+-=+-⋅++-⋅+= ∴ cos(B+C-A)=CC2cos 452cos 54++．【思路点拨】等式两边形式都较复杂，可考虑“左右归一”．左边利用两角和的正切公式，结合已知条件化为含tan C 的式子，右边利用弦化切化为含tan C 的式子．【答案】见解答过程．自助餐1．化简：tan()tan tan tan tan()αβαβααβ+--⋅+的结果是（ ）A ．tan αB ．tan βC ．tan()αβ+D ．tan()αβ-【知识点】两角和的正切公式． 【数学思想】【解题过程】因为()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，所以()()tan 1tan tan tan tan αβαβαβ+-=+， 即()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+--=+， 所以tan()tan tan tan tan tan()αβαββααβ+--=⋅+．【思路点拨】利用两角和的正切公式变形可得．【答案】B ．2．已知23αβπ+=，则22cos cos y αβ=+的最大值为（ ）A ．12B ．32C D ．【知识点】二倍角公式，三角函数最值． 【数学思想】【解题过程】221cos 21cos 2cos 2cos 2cos cos 1222y αβαβαβ+++=+=+=+()()()()cos 21cos cos 1cos cos 132αβαβαβπαβ-=++-=+-=-所以当()cos 1αβ-=-时，函数取得最大值32． 【思路点拨】利用二倍角公式与和差化积进行转化，再带入已知条件化简函数．【答案】B ．3．若322πθπ<<+ ）A ．2sin2θB ．2sin2θ-C ．2cos2θD ．2cos2θ-【知识点】倍角公式． 【数学思想】【解题过程】=+sincoscossin2222θθθθ=++-，由322πθπ<<，得342πθπ<<，所以，sincoscossinsincossincos2cos222222222θθθθθθθθθ++-=--+-=-．【思路点拨】利用倍角公式，结合θ的范围．【答案】D ．4．已知tan θ==______________．【知识点】两角和正弦公式、倍角公式、弦切互化、特殊角的三角函数值．【数学思想】==，cos sin 1tan 3cos sin 1tan θθθθθθ--===++．【思路点拨】所求式子的分子一、三项结合，利用倍角公式化简，分母用两角和的正弦公式及特殊角的三角函数值化简，最后同时除以cos θ．【答案】3．5．求证：2cos 1sin 214tan 2tan 2αααα=-．【知识点】切化弦、半角公式、倍角公式逆用． 【数学思想】【解题过程】222cos cos cos sin 1cos 11cos 2cos tan 2sin sin tan 2ααααααααααα==+---11sin cos sin 224ααα==． 【思路点拨】利用半角公式变化分母，通分，逆用倍角公式即得．【答案】见解答过程．6．在△ABC 中，sin A 、sin B 、sin C 成等差数列，求证：5cos 4cos cos 5cos 4A A C C -⋅+=．【知识点】和差化积、积化和差． 【数学思想】【解题过程】由条件:2sin B =sin A +sin C ⇒2sin(A +C )=sin A +sin C⇒2·2sin2C A +·cos 2C A + =2·sin 2C A +cos 2CA - ⇒2cos 2C A +=cos 2CA -,展开得:2cos 2A cos 2C －2sin 2A sin 2C =cos 2A cos 2C +sin 2A sin 2C即cos 2A cos 2C =3sin 2A sin 2C ,∴tan 2A ·tan 2C =31.令x =tan 2A ,y =tan 2C 则x ·y =31.故⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∙⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+÷⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-=∙++2tan 12tan 12tan 12tan 112tan 12tan 12tan 12tan 1cos cos 1cos cos 22222222C C A A C C A A C A C A =5491191111111*********222222222=+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++-y x y x y y x x y y x x ， ∴5(cos A +cos C )=4(1+cos A ·cos C )，即5cos A －4cos A ·cos C +5cos C =4． 【思路点拨】熟练运用和差化积、积化和差进行证明．【答案】见解答过程．。
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换3.2.1倍角公式导学案新人教A版必修4【精选】.doc
13.2.1二倍角公式教学目标： 12能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明教学重点：二倍角公式的推导 教学过程sin15cos15×o o 的求值问题？一、复习引入复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：),(,sin cos cos sin )sin(R R ∈∈+=+βαβαβαβα )(βα+S=+)sin(αα),(,sin sin cos cos )cos(R R ∈∈-=+βαβαβαβα )(βα+C =+)cos(αα ),2,,(,tan tan 1tan tan )tan(Z k k ∈+≠+-+=+ππβαβαβαβαβα)(βα+T=+)tan(αα二、讲解新课(一) 二倍角公式的推导在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，得到相应的一组公式： sin 2________________α= 简记为_____________.cos 2________________α=简记为_____________又可写成________________.________________.=⎧⎨=⎩tan 2________________α= 简记为_____________.（二）公式的变形应用21sin 2_______________(_________).α±==1cos 2_______;1cos 2_______.αα+=-= 22sin _______.cos _______.αα⇒==（三）相对2倍角(倍角的相对性)sin 2________________α=cos 2________________α=sin α= cos α= （利用2α表示） cos4α= __________________ cos3_________.α=（利用32α表示）. sin2α=__________________ （22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用）例1不查表．求下列各式的值(公式的逆用) （１） 15cos 15sin ； （２）8sin 8cos 22ππ-；（３）5.22tan 15.22tan 22-； （４）75sin 212-． （5）22cos 112π-= （6）求cos 20cos 40cos60cos80o o o o 的值例2求值（１）)125cos 125)(sin 125cos 125(sin ππππ-+（２）2sin 2cos 44αα- （３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+例3若tan θ = 3，求sin2θ- cos2θ的值三、课后提升1、已知12cos13α=，)2,0(πα∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值 ?2、已知5tan12α=，3(,)2παπ∈，求tan2α的值。
高中数学：3.2 简单的三角恒等变换(2)教案
3.2 简单的三角恒等变换（2）一、教学目标：知识与技能：1、加深对和差角、二倍角公式的记忆，推导降幂公式及其它变形形式。
2、理解三角恒等变换的基本思想，培养的定向思考和逆向思维能力，理解化归思想。
3、能独立分析和解决一些三角问题。
过程与方法：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.情感、态度与价值观通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力. 二．重点难点重点：三角恒等变换的模式难点：降次、化为一个角的三角函数三、教材与学情分析本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）导入新课前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.（二）新知探究、提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k ∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2kπ（k ∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是kπ（k ∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1].函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin b a b x b a a+++cosx ）, ∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++b a b b a a ba b b a aϕ从而可令φ, 则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcosφ+cosxsinφ）=22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tanφ=ab .在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sinx ，y=cosx 的周期是2kπ（k ∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1.②—③(略)见活动.（三）应用示例例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题.解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin (2x-6π).故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0, 3π],[65π,π]. 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识. 变式训练1.已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x ∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值.解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π), 所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x ∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π]. 当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22, 当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1.所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2.例2. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(43π,0)对称,且在区间[0,2π]上是单调函数,求φ和ω的值.活动：提醒学生在解此题时,对f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图象关于M(43π,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在R 上的函数y=f(x)对定义域内任意x 满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练. 解：由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx对任意x 都成立.又ω>0,所以,得cosφ=0.依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π. 由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x).取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0. ∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0.又ω>0,得43ωπ=2π+kπ,k=0,1,2,…. ∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,….当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数; 当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数; 当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数.所以,综合得ω=32或ω=2. 点评：利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.例3. 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S=AB·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系;(2)由得出的函数关系,求S 的最大值.解:在Rt △OBC 中,BC=cosα,BC=sinα,在Rt △OAD 中,OADA =tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sinα.所以AB=OB-OA=c osα33-sinα.设矩形ABCD 的面积为S,则S=AB·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63. 由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63. 因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63. 点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠COP=α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.变式训练2. 已知如图2的Rt △ABC 中,∠A=90°,a 为斜边,∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE的长分别为m 、n,且a 2=2mn.问:是否能在区间(π,2π］中找到角θ,恰使等式cosθ-sinθ=4(cos2C B +-cos 2C B -)成立?若能,找出这样的角θ;若不能,请说明理由. 解:在Rt △BAD 中,m AB =cos 2B ,在Rt △BAC 中,a AB =sinC,∴mcos 2B =asinC.图2同理,ncos2C =asinB.∴mncos 2B cos 2C =a 2sinBsinC.而a 2=2mn, ∴cos 2B cos 2C =2sinBsinC=8sin 2B ·cos 2B cos 2C sin 2C .∴sin 2B sin 2C =81. 积化和差,得4(cos 2C B +-cos 2C B -)=-1, 若存在θ使等式cosθ-sinθ=4(cos 2C B +-cos 2C B -)成立,则2cos(θ+4π)=-1, ∴cos(θ+4π)=22.而π<θ≤2π,∴45π<θ+4π≤29π.∴这样的θ不存在.点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证出现矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,即假设成立.这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.例4. 已知tan(α-β)=21，tanβ=71-，且α,β∈(0,π)，求2α-β的值. 解：∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=21，∴tan2(α-β)=)(tan 1)tan(22βαβα---=34. 从而tan(2α-β)=tan ［2(α-β)+β］=713417134tan )(2tan 1tan )(2tan ⨯+-=--+-ββαββα=121252125=. 又∵tanα=tan ［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1.且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π. 又tanβ=71-<0，且β∈(0,π)，∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cosα;若α∈(2π-,2π)，则求sinα等.变式训练3.若α,β为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π.证明：已知两个等式可化为3sin 2α=cos2β， ①3sinαcosα=sin2β， ② ①÷②，得a a cos sin =ββ2sin 2cos ，即cosαcos2β-sinαsin2β=0， ∴cos(α+2β)=0.∵0<α<2π，0<β<2π，∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π. 六、课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.七、课后作业1.课时练与测八、教学反思。
人教A版高中数学必修4第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换教案(4)
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容． 例1、试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 作业：157158P P - 14T T -《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明： 二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
人教A版高中数学必修四3.2《简单的三角恒等变换》教案1
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容． 例1、试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 作业：157158P P - 14T T -《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明： 二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
2017人教a版高中数学必修四 第三章简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求： 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，和三角恒等变换在数学中的应用．二、编写用意与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题进程中如何选择公式，如何按照问题的条件进行公式变形，和变换进程中表现的换元、逆向利用公式等数学思想方式的熟悉，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题进程中如何选择公式，如何按照问题的条件进行公式变形，和变换进程中表现的换元、逆向利用公式等数学思想方式的熟悉，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为大体训练，学习三角变换的内容、思路和方式，在与代数变换相较较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：熟悉三角变换的特点，并能运用数学思想方式指导变换进程的设计，不断提高从整体上把握变换进程的能力．五、学法与教学用具学法：教学式教学六、教学假想：学习和（差）公式，倍角公式以后，咱们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方式加倍丰硕，这为咱们的推理、运算能力提供了新的平台．下面咱们以习题课的形式讲解本节内容．例一、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：咱们能够通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，能够取得21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，能够取得21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 试探：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的不同，而且还会有所包括的角，和这些角的三角函数种类方面的不同，因此三角恒等变换常常第一寻觅式子所包括的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是咱们所学习过的知识，因此咱们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．试探：在例２证明顶用到哪些数学思想？ 例２ 证明顶用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin 3y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin 3y x x =这种形式咱们在前面见过，13sin 32sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究取得延伸，表现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 小结：此节虽只安排一到两个课时的时刻，但也是超级重要的内容，咱们要对变换进程中表现的换元、逆向利用公式等数学思想方式加深熟悉，学会灵活运用．作业：157158P P -14T T -。
人教A版高中数学必修4第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换教案(2)
2019-2020年高考数学一轮复习 6.2 简单的三角恒等变换教案 新课标【知识点精讲】三角恒等变形的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形三角恒等变形包括三角函数的求值、化简与证明题；三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次三角恒等式的常用证明方法：（1）化繁到简法；（2）左右归一法；（3）变更命题法 注意点：灵活角的变形和公式的变形重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论【例题选讲】例1．（1）计算的值。
解：原式=)60cos 60sin 10cos 10sin (40sin 00000- == （2）求值：2sin20°+cos10°+tan20°sin10°的值。
练习:（全国高考）求值tan20°+4sin20°； 解：tan20°+4sin20°==000020cos 40sin 10cos 30sin 2+= =例2；（1）已知，化简：解：原式=====（2）化简：βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222⋅-⋅+⋅ 解答：见《走向高考》p51例3例３ 已知sin x ＋sin y ＝ ，求sin x －cos 2y 的最大、最小值．解答：见《走向高考》p49例1例4：若()2cos 2sin 333xx x f x =-．（1），求的值域； （2）在△A BC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若，且，求．解：（1）21cos 22223()2cos 12sin()1323336x f x x x x x π-=-⋅=+-=+-2225[0,][0,][,]333666x x x πππππ∈⇒∈⇒+∈ 212sin()[,1]2sin()[1,2][0,1]36236x x y ππ+∈⇒+∈⇒∈ （2）2()2sin()1136f C C π=+-=22sin()1363622C C C ππππ⇒+=⇒+=⇒= 因为22sin sin sin sin b ac B A C A =⇒==，所以222sin cos sin 1sin sin sin B A A A A A ==⇒-=⇒=练习已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋ 2sin ωx cos ωx ＋ 1 (x ∈R，ω>0)的最小正周期是 .(1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．解答：见《走向高考》p51例4【课堂小结】三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形1．三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
高中数学必修四(人教新A版)教案29简单的三角恒等变换
所以 当且仅当
即 时， 取得最大值 ，此时S取得最大值 ，矩形的宽为
即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.
2
高中数学必修四课时教案
教
学过Βιβλιοθήκη 程及方法
问题与情境及教师活动
学生活动
（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为 ，矩形长与宽分别为
、 ，所以面积 .
而 ，所以 ，当且仅当 时，S取最大值 ，所以当且仅当 即 时，S取最大值，此时矩形为内接正方形.
高中数学必修四课时教案
备课人
授课时间
课题
§3.2简单的三角恒等变换(2)
课标要求
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
教
学
目
标
知识目标
熟练掌握三角公式及其变形公式
技能目标
抓住角、函数式特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题．
情感态度价值观
培养学生观察、分析、解决问题的能力
重点
和、差、倍角公式的灵活应用
难点
如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
一、复习
1、（用提问的方式复习前面学过的十一个公式）
两角和与差的余弦、正弦、正切公式：
二倍角的正弦、余弦、正切公式
2、已知sin（α+β）= ，sin（α-β）= ，求 的值。
变式：已知半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．
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高中数学 3.2.2简单的三角恒等变换(2)教案新人教A版必修4 备课人授课时间
课题§3.2 简单的三角恒等变换(2)
课标要求
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
教学目标
知识目标熟练掌握三角公式及其变形公式
技能目标抓住角、函数式特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题．情感态度价值观培养学生观察、分析、解决问题的能力
重点和、差、倍角公式的灵活应用
难点如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明
教学过程及方法
问题与情境及教师活动学生活动
一、复习
1、（用提问的方式复习前面学过的十一个公式）
两角和与差的余弦、正弦、正切公式：
β
α
β
α
β
αsin
sin
cos
cos
)
cos(+
=
-
β
α
β
α
β
αsin
sin
cos
cos
)
cos(-
=
+
β
α
β
α
β
αsin
cos
cos
sin
)
sin(-
=
-
β
α
β
α
β
αsin
cos
cos
sin
)
sin(+
=
+
β
α
β
α
β
α
tan
tan
1
tan
tan
)
tan(
+
-
=
-
β
α
β
α
β
α
tan
tan
1
tan
tan
)
tan(
-
+
=
+
二倍角的正弦、余弦、正切公式
β
α
αcos
sin
2
2
sin=β
α
α2
2cos
sin
2
cos-
=
α
α
α
2
tan
1
tan
2
2
tan
-
=
α
α
α
α
2
2
sin
2
1
2
cos
1
cos
2
2
cos
-
=
-
=
2、已知sin（α+β）=
3
2
，sin（α-β）=
5
1
，求
β
α
tan
tan
的值。
1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教学过程及方法
问题与情境及教师活动学生活动3、设α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求
证：α+2β=
2
π。
二、新课
例1．已知OPQ是半径为1，圆心角为
3
π
的扇形，C是扇形上的动点，
ABCD是扇形的内接矩形。
记α
=
∠COP，求角α取何值时，矩形ABCD
的面积最大？并求出这个最大面积。
分析：同例3一样是个通过恒等变形得函数
性质的问题，不过多了要求学生自己求出函数表
达式，为了让学生感受建立函数模型的过程，可
以采取引导的方式让学生自己建立函数模型。
在求当α取何值时,矩形ABCD的面积S
最大 ,可分二步进行:
(1)找出S与α之间的函数关系;
(2)由得出的函数关系,求S的最大值.
例2：把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使
横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）
解：（1）如图，设矩形长为l，则面积
2
2
4l
R
l
S+
=，
所以,
4
)
(
)
4(22
2
2
2
2
2
2l
R
l
l
R
l
S+
-
=
-
=当且仅
当,
2
2
42
2
2R
R
l=
=
即R
l2
=时，2S取得最大值4
4R，此时S取得最大值2
2R，矩形的
宽为
R
R
R
2
2
22
=即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.
2
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
O A B
D C
Q
P
α
θ
教学过程及方法
问题与情境及教师活动学生活动（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为θ，矩形长与宽分别
为
θ
sin
2R、θ
cos
2R，所以面积θ
θ
θ2
sin
2
sin
2
cos
22R
R
R
S=
⨯
=.
而1
2
sin≤
θ，所以2
2R
S≤，当且仅当1
2
sin=
θ时，S取最大值2
2R，
所以当且仅当︒
=90
2θ即︒
=45
θ时，S取最大值，此时矩形为内接正
方形.
变式：已知半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．
解：设,
α
=
∠SOP则,
cos
,
sinα
α=
=OS
SP
故S四边形PQRSα
α
α2
sin
cos
2
sin=
⨯
=
故α为︒
45时，1
max
=
S
教
学
小
结
建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.
课
后
反
思
3 P
Q
R S
O。