吉林省长春市2018年高考数学仿真试卷(文科)Word版含解析

吉林省长春市2018年高考仿真试卷（文科数学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|x ﹣x 2＜0}，B={x||x|＜2}，则（∁R A ）∩B=（ ）A ．（﹣2，0]∪[1，2）B ．[0，1]C ．（﹣2，2）D ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）2．如果复数（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m+6）i 是纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或3D ．2或33．已知a ，b ∈R ，则“ab=4”是“直线2x+ay ﹣1=0与bx+2y+1=0平行”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中正确的是（ ）A ． =2B ．||=||C ．⊥D ．∥5．函数f （x ）=sin2x ﹣4sin 3xcosx 的最小正周期与奇偶性分别是（ ）A ．；奇函数B ．；奇函数C ．；偶函数D ．；偶函数6．数列{a n }满足a 1=2，a n+1a n =a n ﹣1，n ∈N *，S n 是其前n 项和，则S 100=（ ）A ．B ．C ．D ．7．（5分）（2016朝阳区一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．B ．C ．1D ．8．对两个变量y 与x 进行回归分析，得到一组样本数据：（x 1，y 1），（x 2，y 2）…，（x n ，y n ），则下列不正确的说法是（ ）A ．若求得相关系数r=﹣0.89，则y 与x 具备很强的线性相关关系，且为负相关B．同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E1=1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和E2=2.4，则模型1的拟合效果更好C．用相关指数R2来刻画回归效果，模型1的相关指数R12=0.48，模型2的相关指数R22=0.91，则模型1的拟合效果更好D．该回归分析只对被调查样本的总体适用9．在△ABC中，若=，sinC=2sinB，则tanA=（）A．B．1 C．D．210．（5分）（2015广州一模）若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）11．（5分）（2013南充二模）过双曲线﹣=1（m＞0，n＞0）上的点P（，﹣）作圆x2+y2=m的切线，切点为A，B，若=0，则该双曲线的离心率的值为（）A．2 B．3 C．4 D．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x2﹣4x）=a有六个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，）C．（1，2） D．（2，）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值组成的集合为．14．（5分）（2011顺义区二模）在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为 ．15．（5分）（2013哈尔滨一模）正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球表面积为 ．16．已知函数y=f （x ），x ∈D ，若存在常数C ，对∀x 1∈D ，∃唯一的x 2∈D ，使得=C ，则称常数C 是函数f （x ）在D 上的“倍几何平均数”．已知函数f （x ）=2﹣x ，x ∈[1，3]，则f （x ）在[1，3]上的“倍几何平均数”是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2014陕西一模）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =4a n ﹣3（n ∈N *）．（Ⅰ）证明：数列{a n }是等比数列；（Ⅱ）若数列{b n }满足b n+1=a n +b n （n ∈N *），且b 1=2，求数列{b n }的通项公式．18．（12分）（2015汕头一模）为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：[15，75]）的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表：（1）求月收入在[35，45）内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐标；（2）根据频率分布直方图估计这50人的平均月收入；（3）若从月收入（单位：百元）在[65，75]的被调查者中随机选取2人，求2人都不赞成的概率．19．（12分）（2015庆阳模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB=AC，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是正方形．（1）求证：A1B∥平面AC1D；（2）求证：CE⊥平面AC1D．20．（12分）（2016长春校级模拟）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k 2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21．（12分）（2016长春校级模拟）已知函数，a∈R．（Ⅰ）当 a=1时，求函数 f（x）的最小值；（Ⅱ）当a ＜0时，讨论函数 f （x ）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a ，对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立，若存在求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016鞍山一模）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD ．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）若tan ∠CED=，⊙O 的半径为3，求OA 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016长春校级模拟）坐标系与参数方程极坐标系中，已知圆心C，半径r=1．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016长春校级模拟）已知f （x ）=|x ﹣a|﹣a ，a ∈R（1）当a=﹣2时，解不等式：f （x ）＜﹣x+2；（2）若f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为9，求a 的值．吉林省长春市2018年高考数学仿真试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）A）∩B=（）1．已知集合A={x|x﹣x2＜0}，B={x||x|＜2}，则（∁RA．（﹣2，0]∪[1，2）B．[0，1] C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【分析】通过解一元二次不等式和绝对值不等式便可解出集合A，B，然后进行补集，交集的运算即可．【解答】解：解x﹣x2＜0得，x＜0，或x＞1；解|x|＜2得，﹣2＜x＜2；∴A={x|x＜0，或x＞1}，B={x|﹣2＜x＜2}；A={x|0≤x≤1}；∴∁RA）∩B=[0，1]．∴（∁R故选B．【点评】考查描述法表示集合的概念及形式，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，以及补集、交集的运算．2．如果复数（m2﹣3m）+（m2﹣5m+6）i是纯虚数，则实数m的值为（）A．0 B．2 C．0或3 D．2或3【分析】直接由复数的实部等于0且虚部不等于0求解m的值．【解答】解：∵复数（m2﹣3m）+（m2﹣5m+6）i是纯虚数，∴，解得：m=0．故选：A．【点评】本题考查了复数的基本概念，是基础的会考题型．3．已知a，b∈R，则“ab=4”是“直线2x+ay﹣1=0与bx+2y+1=0平行”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．【解答】解：若直线2x+ay ﹣1=0与bx+2y+1=0平行，则ab ﹣2×2=0，即ab=4，当a=﹣2，b=﹣2时，两直线方程为2x ﹣2y ﹣1=0，﹣2x+2y+1=0，此时两直线重合，故“ab=4”是“直线2x+ay ﹣1=0与bx+2y+1=0平行”的必要不充分条件，故选：C ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用直线平行的条件是解决本题的关键．4．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中正确的是（ ）A ． =2B ．||=||C ．⊥D ．∥【分析】直接利用向量的数量积以及向量的模，向量是否共线判断即可．【解答】解：向量=（2，0），=（1，1），=2×1+0×1=2．∴A 正确，C 不正确．||=2，||=，∴B 不正确，∥，显然不正确．故选：A ．【点评】本题考查向量的数量积，向量的平行以及向量的模的求法，基本知识的考查．5．函数f （x ）=sin2x ﹣4sin 3xcosx 的最小正周期与奇偶性分别是（ ）A ．；奇函数B ．；奇函数C ．；偶函数D ．；偶函数 【分析】先利用二倍角正弦降幂，提取sin2x ，再由二倍角余弦降幂，最后由二倍角正弦化简得f （x ）=，则答案可求．【解答】解：∵f （x ）=sin2x ﹣4sin 3xcosx=sin2x ﹣2sin2xsin 2x=sin2x （1﹣2sin 2x ）=sin2xcos2x=．∴T=，∵f （﹣x ）=， ∴f （x ）为奇函数．故选：A ．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数周期的求法及奇偶性的判断方法，是基础题．6．数列{a n }满足a 1=2，a n+1a n =a n ﹣1，n ∈N *，S n 是其前n 项和，则S 100=（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】a 1=2，a n+1a n =a n ﹣1，n ∈N *，可得：a n+1=1﹣，于是a n+3=a n ．即可得出． 【解答】解：∵a 1=2，a n+1a n =a n ﹣1，n ∈N *，∴a n+1=1﹣，可得a 2=，a 3=﹣1，a 4=2，…，∴a n+3=a n ．∴S 100=33×（﹣1）+2=．故选：B ．【点评】本题考查了递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2016朝阳区一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．B ．C ．1D ．【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB ⊥侧面PAB ．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB ⊥侧面PAB ．该几何体的体积V=××1=．故选：A ．【点评】本题考查了三视图的有关知识、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．对两个变量y 与x 进行回归分析，得到一组样本数据：（x 1，y 1），（x 2，y 2）…，（x n ，y n ），则下列不正确的说法是（ ）A ．若求得相关系数r=﹣0.89，则y 与x 具备很强的线性相关关系，且为负相关B ．同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E 1=1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和E 2=2.4，则模型1的拟合效果更好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，模型1的相关指数R 12=0.48，模型2的相关指数R 22=0.91，则模型1的拟合效果更好D ．该回归分析只对被调查样本的总体适用【分析】根据r ＜0则y 与x 具备很强的线性相关关系，且为负相关；线性回归方程一定过样本中心点；在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强；相关指数R 2用来衡量两个变量之间线性关系的强弱R 2越接近于1，说明相关性越强，相反，相关性越小，命题可做判断．【解答】解：对于A ，r ＜0则y 与x 具备很强的线性相关关系，且为负相关，正确；对于B ，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确；对于C ，相关指数R 2用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，R 2越接近于1，说明相关性越强，相反，相关性越小，因此R 2越大拟合效果越好，故不正确；对于D ，回归分析只对被调查样本的总体适用，正确；故选：C ．【点评】本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．属于基础题．9．在△ABC 中，若=，sinC=2sinB ，则tanA=（ ）A．B．1 C．D．2【分析】由=，sinC=2sinB，化为a2﹣b2=bc，c=2b，再利用余弦定理可得A．【解答】解：在△ABC中，∵ =，sinC=2sinB，∴a2﹣b2=bc，c=2b，∴a2=b2+=7b2．∴cosA===，A∈（0，π），∴A=则tanA=．故选：A．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2015广州一模）若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线y=3x与x+y+4=0确定交点（﹣1，﹣3），则由条件确定m的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由，解得，即交点坐标A（﹣1，﹣3），要使直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则A在区域内，如图所示．可得m≥﹣1，∴实数m的取值范围是[﹣1，+∞）．故选：A【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．11．（5分）（2013南充二模）过双曲线﹣=1（m ＞0，n ＞0）上的点P （，﹣）作圆x 2+y 2=m的切线，切点为A ，B ，若=0，则该双曲线的离心率的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．【分析】如图，根据向量的数量积=0得出∠APB=90°，又PA=PB ，PA ，PB 是圆的切线，从而四边形OAPB 是正方形，利用OA=OP 求出m 的值，又因为双曲线﹣=1（m ＞0，n ＞0）上的点P （，﹣），求出n 的值，从而得出该双曲线的离心率的值．【解答】解：如图，∵ =0， ∴∠APB=90°，又PA=PB ，PA ，PB 是圆的切线，∴四边形OAPB 是正方形，∴OA=OP=×2=2，即=2，∴m=4，又因为双曲线﹣=1（m ＞0，n ＞0）上的点P （，﹣），∴，∴n=12，则该双曲线的离心率的值是e===2．故选A．【点评】本小题主要考查双曲线的简单性质、直线与圆的位置关系、双曲线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x2﹣4x）=a有六个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，）C．（1，2） D．（2，）【分析】作函数f（x）=的图象，从而由题意可得x2﹣4x=m有两个解，f（x）=a有三个都大于﹣4的解，从而解得．【解答】解：作函数f（x）=的图象如右图，∵x2﹣4x=m最多有两个解，f（x）=a最多有三个解，∴当x2﹣4x=m有两个解，f（x）=a有三个解时，方程f（x2﹣4x）=a有6个不同的实根；若使f（x）=a有三个解，则2＜a；若使x2﹣4x=m有两个解，则m＞﹣4；故f（x）=a的三个解都大于﹣4；故x ＞﹣4，故﹣x+＜，可得a，故实数a 的取值范围是：（2，）． 故选：D ．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了函数与方程的关系应用．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值组成的集合为 {0，1，3} ．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值，并输出．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．依题意得，或，或，解得x=0，或x=1，x=3．故答案为：{0，1，3}．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大，此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误，属于基础题．14．（5分）（2011顺义区二模）在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两数之和共有的情况，可以通过列举得到结果，这些情况发生的可能性相等，满足条件的事件可以从列举出的表格中看出有6种，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两数之和共有如下图所示36种情况．其中和为5的从表中可以看出有6种情况，∴所求事件的概率为．故答案为：【点评】本题是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的主要解题方法．15．（5分）（2013哈尔滨一模）正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球表面积为 ．【分析】三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．【解答】解：根据题意可知三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的中，底面边长为1，棱柱的高为，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心， ∴正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O ，外接球的半径为r ，表面积为：4πr 2．球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：××1=，所以球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr 2=π 故答案为：π． 【点评】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．16．已知函数y=f （x ），x ∈D ，若存在常数C ，对∀x 1∈D ，∃唯一的x 2∈D ，使得=C ，则称常数C 是函数f （x ）在D 上的“倍几何平均数”．已知函数f （x ）=2﹣x ，x ∈[1，3]，则f （x ）在[1，3]上的“倍几何平均数”是 ．【分析】根据题意可得到对∀x 1∈[1，3]，∃唯一的x 2=4﹣x 1，且x 2∈[1，3]，使得x 1+x 2=4，从而得出，这样便可得出f （x ）在[1，3]上的“倍几何平均数”．【解答】解：∵x ∈[1，3]；∴对∀x 1∈[1，3]，∃唯一的x 2=4﹣x 1，且x 2∈[1，3]，使，x 1+x 2=4；∴=；∴f （x ）在[1，3]上的“倍几何平均数”是． 故答案为：．【点评】考查对“倍几何平均数”的理解，由x ∈[1，3]可以得到对∀x 1∈[1，3]，∃唯一的x 2∈[1，3]，使得x 1+x 2=4，以及指数式的运算法则．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2014陕西一模）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =4a n ﹣3（n ∈N *）．（Ⅰ）证明：数列{a n }是等比数列；（Ⅱ）若数列{b n }满足b n+1=a n +b n （n ∈N *），且b 1=2，求数列{b n }的通项公式．【分析】（Ⅰ）要证明数列为等比数列，只需证明数列的后一项比前一项为常数即可，先根据当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，求出数列{a n }的递推关系式，再求，得道常数，即可证明．（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求数列{a n }的递推公式，代入b n+1=a n +b n （n ∈N *），可得数列{b n }的递推公式，再用迭代法，即可求出数列{b n }的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）证明：由S n =4a n ﹣3，n=1时，a 1=4a 1﹣3，解得a 1=1．因为S n =4a n ﹣3，则S n ﹣1=4a n ﹣1﹣3（n ≥2），所以当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=4a n ﹣4a n ﹣1，整理得．又a 1=1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解：因为，由b n+1=a n +b n （n ∈N *），得．可得b n =b 1+（b 2﹣b ′1）+（b 3﹣b 2）+…+（b n ﹣b n ﹣1）=，（n≥2）．当n=1时上式也满足条件．}的通项公式为．所以数列{bn【点评】本题考查了利用数列前n项和与通项关系求通项公式，以及迭代法求通项公式．18．（12分）（2015汕头一模）为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：[15，75]）的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表：（1）求月收入在[35，45）内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐标；（2）根据频率分布直方图估计这50人的平均月收入；（3）若从月收入（单位：百元）在[65，75]的被调查者中随机选取2人，求2人都不赞成的概率．【分析】（1）根据频率的定义，以及频率直方图的画法，补全即可．（2）根据平均数的定义，求出平均数，并用样本估计总体即可，（3）根据古典概型概率公式，分别列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，计算即可．【解答】解：（1）1﹣0.01×10×3﹣0.02×10×2=0.3（2）20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.2+60×0.1+70×0.1=43（百元）即这50人的平均月收入估计为4300元．（3）[65，75]的人数为5人，其中2人赞成，3人不赞成．记赞成的人为a ，b ，不赞成的人为x ，y ，z任取2人的情况分别是：ab ，ax ，ay ，az ，bx ，by ，bz ，xy ，xz ，yz 共10种情况．其中2人都不赞成的是：xy ，yz ，xz 共3种情况．∴2人都不赞成的概率是P=【点评】本题考查了频率分布直方图和古典概率的问题，属于基础题．19．（12分）（2015庆阳模拟）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，AB=AC ，D ，E 分别为BC ，BB 1的中点，四边形B 1BCC 1是正方形．（1）求证：A 1B ∥平面AC 1D ；（2）求证：CE ⊥平面AC 1D ．【分析】（1）设A 1C∩AC 1=0，根据O 、D 分别为CA 1、CB 的中点，可得OD ∥A 1B ．再利用直线和平面平行的判定定理证得A 1B ∥平面AC 1D ．（2）由题意可得三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱，利用平面和平面垂直的性质可得AD ⊥平面BCC 1B 1，可得AD ⊥CE ．再根据B 1BCC 1是正方形，D 、E 分别为BC 、BB 1的中点，证得C 1D ⊥CE ．从而利用直线和平面垂直的判定定理证得CE ⊥平面AC 1D ．【解答】（1）证明：设A 1C∩AC 1=0，则由三棱柱的性质可得O 、D 分别为CA 1、CB 的中点，∴OD ∥A 1B ．∵A 1B ⊄平面AC 1D ，OD ⊂平面AC 1D ，∴A 1B ∥平面AC 1D ．（2）证明：由BB 1⊥平面ABC ，可得三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱，∵AB=AC ，∴AD ⊥BC ．由平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，AD ⊂平面BCC 1B 1，平面ABC∩平面BCC 1B 1=BC ，可得AD ⊥平面BCC 1B 1． 又CE ⊂平面BCC 1B 1，故有AD ⊥CE ．∵B 1BCC 1是正方形，D 、E 分别为BC 、BB 1的中点，故有C 1D ⊥CE ．这样，CE 垂直于平面AC 1D 内的两条相交直线AD 、C 1E ，∴CE ⊥平面AC 1D ．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理的应用，平面和平面垂直的性质，属于基础题．20．（12分）（2016长春校级模拟）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l ：y=kx+m （k ≠0），与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1、k 2，满足4k=k 1+k 2，试问：当k 变化时，m 2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程．（2）联立直线与椭圆方程，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．利用韦达定理，通过直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1，k 2，且4k=k 1+k 2，求解即可．【解答】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1所以椭圆C 的方程是…（4分）（2）当k 变化时，m 2为定值，证明如下：由得，（1+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣1）=0．…（6分）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．则x 1+x 2=，x 1x 2=…（） …（7分）∵直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1，k 2，且4k=k 1+k 2，∴4k==，得2kx 1x 2=m （x 1+x 2），…（9分）将（）代入得：m 2=，…（11分）经检验满足△＞0．…（12分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．21．（12分）（2016长春校级模拟）已知函数，a ∈R ． （Ⅰ）当 a=1时，求函数 f （x ）的最小值；（Ⅱ）当a ＜0时，讨论函数 f （x ）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a ，对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立，若存在求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求导后解出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判出在各区间段内的单调性，从而的导函数的最小值；（Ⅱ）求出函数的导函数，根据a 的不同取值对函数定义域分段，由函数导函数的符号判断原函数在各区间段内的单调性；（Ⅲ）在假设存在实数a 使得对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立的前提下，把问题转化为（x 2）﹣ax 2＞f （x 1）﹣ax 1恒成立，然后构造函数g （x ）=f （x ）﹣ax ，利用导函数求出使函数g （x ）在（0，+∞）上为增函数的a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），由，当a=1时，，．∴当x ∈（0，2）时，f'（x ）＜0，f （x ）为减函数；当x ∈（2，+∞），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数．∴f （x ）在x=2时取得最小值，其最小值为f （2）=﹣2ln2．（Ⅱ）∵，∴（1）当﹣2＜a ＜0时，若x ∈（0，﹣a ），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数；若x ∈（﹣a ，2），f'（x ）＜0，f （x ）为减函数；若x ∈（2，+∞），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数．（2）当a=﹣2时，在（0，+∞）上f ′（x ）≥0，f （x ）为增函数；（3）当a ＜﹣2时，若x ∈（0，2），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数；若x ∈（2，﹣a ），f'（x ）＜0，f （x ）为减函数；若x ∈（﹣a ，+∞），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数．（Ⅲ）假设存在实数a 使得对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立，不妨设0＜x 1＜x 2，只要，即：f （x 2）﹣ax 2＞f （x 1）﹣ax 1．令g （x ）=f （x ）﹣ax ，只要 g （x ）在（0，+∞）为增函数即可．又函数．考查函数要使g'（x ）≥0在（0，+∞）恒成立，只要﹣1﹣2a ≥0，即a，故存在实数a ，对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值最小值中的应用，考查了数学转化思想和分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法求参数的取值范围，属难题．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016鞍山一模）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD ．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）若tan ∠CED=，⊙O 的半径为3，求OA 的长．【分析】（1）要想证AB 是⊙O 的切线，只要连接OC ，求证∠ACO=90°即可；（2）先由三角形判定定理可知，△BCD ∽△BEC ，得BD 与BC 的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA 的长．【解答】解：（1）如图，连接OC ，∵OA=OB ，CA=CB ，∴OC ⊥AB ．∴AB 是⊙O 的切线；（2）∵BC 是圆O 切线，且BE 是圆O 割线，∴BC 2=BDBE ，∵tan ∠CED=，∴．∵△BCD ∽△BEC ，∴，设BD=x ，BC=2x ．又BC 2=BDBE ，∴（2x ）2=x （x+6），解得x 1=0，x 2=2，∵BD=x ＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）．【点评】本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质，以及切割线定理的综合运用，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016长春校级模拟）坐标系与参数方程极坐标系中，已知圆心C，半径r=1．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．【分析】（1）由圆心C ，可得圆心，即，半径r=1，即可得到圆的标准方程．（2）把直线代入圆的方程化为：．可得根与系数的关系．利用|AB|=|t 1﹣t 2|=即可得出．【解答】解：（1）由圆心C ，可得圆心，即，半径r=1，∴圆的方程为．即．（2）直线与x 轴相交于点P （﹣1，0）．把此方程代入圆的方程化为：．∴，．∴|AB|=|t 1﹣t 2|===．∴．【点评】本题考查了把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程、利用参数方程解决弦长问题，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016长春校级模拟）已知f （x ）=|x ﹣a|﹣a ，a ∈R（1）当a=﹣2时，解不等式：f （x ）＜﹣x+2；（2）若f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为9，求a 的值．【分析】（1）当a=﹣2时，利用绝对值不等式的解法进行求解即可．（2）根据绝对值的应用转化为f （x ）=0有两个根，求出方程的根，利用三角形的面积公式建立方程进行求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣2时，由f （x ）＜﹣x+2，得|x+2|+2＜﹣x+2，即|x+2|＜﹣x ，所以：即x ＜x+2＜﹣x ，则，得，解得：﹣4＜x ＜﹣，所以原不等式的解集为：（﹣4，﹣）．（2）由f （x ）图象与x 轴有公共点，则f （x ）=0有两个根，即|x ﹣a|=a ，有两个根，所以：a ＞0；两个根分别为：x 1=0，x 2=2a ，而f （x ）的图象与x 轴围成的图形为等腰直角三角形。