(课标通用)甘肃省2019年中考数学复习：单元检测汇编(含答案)
甘肃省2019年中考[数学]考试真题与答案解析
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甘肃省2019年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．下列实数是无理数的是（ ）A．﹣2 B．C．D．【知识考点】算术平方根；无理数．【思路分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．【解题过程】解：＝3，则由无理数的定义可知，属于无理数的是．故选：D．2．若α＝70°，则α的补角的度数是（ ）A．130° B．110° C．30° D．20°【知识考点】余角和补角．【思路分析】根据补角的定义，两个角的和是180°即可求解．【解题过程】解：α的补角是：180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．故选：B．3．若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）A．2B．3 C．3D．4【知识考点】算术平方根．【思路分析】根据算术平方根的定义解答．【解题过程】解：∵正方形的面积是12，∴它的边长是＝2．故选：A．【总结归纳】本题考查了算术平方根，解题的关键是利用了正方形的性质和算术平方根的定义．4．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）A．B．C．D．【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】根据圆锥、圆柱、正方体、三棱柱的主视图、俯视图矩形判断即可．【解题过程】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此A不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此B不符合题意；正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此D不符合题意；故选：C．5．下列各式中计算结果为x6的是（ ）A．x2+x4B．x8﹣x2C．x2•x4D．x12÷x2【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．【思路分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．【解题过程】解：x2与x4不是同类项，不能合并计算，它是一个多项式，因此A 选项不符合题意；同理选项B不符合题意；x2•x4＝x2+4＝x6，因此选项C符合题意；x12÷x2＝x12﹣2＝x10，因此选项D不符合题意；故选：C．6．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）A．1.24米B．1.38米C．1.42米D．1.62米【知识考点】黄金分割．【思路分析】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．【解题过程】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴≈0.618，∵b为2米，∴a约为1.24米．故选：A．7．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（ ）A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0【知识考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解．【思路分析】首先把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0解方程可得m1＝2，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值．【解题过程】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：m﹣2+4﹣m2＝0，﹣m2+m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣1，故选：B．8．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（ ）A．90° B．100° C．120° D．150°【知识考点】全等图形；菱形的性质；解直角三角形的应用．【思路分析】连结AE，根据全等的性质可得AC＝20cm，根据菱形的性质和等边三角形的判定可得△ACB是等边三角形，再根据等边三角形和菱形的性质即可求解．【解题过程】解：连结AE，∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，∴AC＝20cm，∵菱形的边长AB＝20cm，∴AB＝BC＝20cm，∴AC＝AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠DAB＝120°．故选：C．9．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（ ）A．2B．C．2D．【知识考点】圆周角定理．【思路分析】先根据圆周角得：∠BAC＝∠D＝90°，根据勾股定理即可得结论．【解题过程】解：∵点D在⊙O上且平分，∴，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠D＝90°，∵AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝2，∵点D在⊙O上，且平分，∴DC＝BD．Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，∴2DC2＝20，∴DC＝，故选：D．10．如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P 从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（ ）A．4B．4 C．3D．2【知识考点】动点问题的函数图象．【思路分析】连接AE，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，AE ＝2，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解题过程】解：如图，连接AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，∵AE＝2，∴x2+（2x）2＝（2）2，解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），∴OA＝OD＝4，∴AB＝AD＝4，故选：A．二、填空题11．如果盈利100元记作+100元，那么亏损50元记作 元．【知识考点】正数和负数．【思路分析】根据盈利为正，亏损为负，可以将亏损50元表示出来，本题得以解决．【解题过程】解：∵盈利100元记作+100元，∴亏损50元记作﹣50元，故答案为：﹣50．12．分解因式：a2+a＝ ．【知识考点】因式分解﹣提公因式法．【思路分析】直接提取公因式分解因式得出即可．【解题过程】解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．【总结归纳】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．13．暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．原价： 元暑假八折优惠，现价：160元【知识考点】一元一次方程的应用．【思路分析】设广告牌上的原价为x元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解题过程】解：设广告牌上的原价为x元，依题意，得：0.8x＝160，解得：x＝200．故答案为：200．【总结归纳】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．14．要使分式有意义，x需满足的条件是 ．【知识考点】分式有意义的条件．【思路分析】当分式的分母不为零时，分式有意义，即x﹣1≠0．【解题过程】解：当x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1，故答案为x≠1．15．在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有 个．【知识考点】利用频率估计概率．【思路分析】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．【解题过程】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，∵假设有x个红球，∴＝0.85，解得：x＝17，经检验x＝17是分式方程的解，∴口袋中红球约有17个．故答案为：17．16．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（3，），（4，0）．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，），则点E的坐标为 ．【知识考点】坐标与图形变化﹣平移．【思路分析】利用平移的性质解决问题即可．【解题过程】解：∵A（3，），D（6，），∴点A向右平移3个单位得到D，∵B（4，0），∴点B向右平移3个单位得到E（7，0），故答案为（7，0）．17．若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm2，则这个扇形的弧长为 cm （结果保留π）．【知识考点】弧长的计算；扇形面积的计算．【思路分析】首先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积＝lR，即可得出弧长．【解题过程】解：设扇形的半径为R，弧长为l，根据扇形面积公式得；＝，解得：R＝1，∵扇形的面积＝lR＝，解得：l＝π．故答案为：．18．已知y＝﹣x+5，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是 ．【知识考点】规律型：数字的变化类；二次根式的性质与化简．【思路分析】直接把已知数据代入进而得出变化规律即可得出答案．【解题过程】解：当x＜4时，原式＝4﹣x﹣x+5＝﹣2x+9，当x＝1时，原式＝7；当x＝2时，原式＝5；当x＝3时，原式＝3；当x≥4时，原式＝x﹣4﹣x+5＝1，∴当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是：7+5+3+1+1+…+1＝15+1×2017＝2032．故答案为：2032．三、解答题（一）19．计算：（2﹣）（2+）+tan60°﹣（π﹣2）0．【知识考点】平方差公式；零指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．【思路分析】直接利用乘法公式以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解题过程】解：原式＝4﹣3+﹣1＝．【总结归纳】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．【知识考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集．【解题过程】解：解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：21．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【知识考点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．【思路分析】（1）根据尺规作基本图形的方法：①作∠ABC的角平分线交AD于点E即可；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可．（2）连接EF，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段EF 和AC的数量关系及位置关系．【解题过程】解：（1）如图，①BE即为所求；②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）∵BD＝BA，BE平分∠ABD，∴点E是AD的中点，∵点F是CD的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴线段EF和AC的数量关系为：EF＝AC，位置关系为：EF∥AC．22．图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝﹣﹣铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志．在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑．某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕“雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点B 到地面的高度为BA ，在测点C 用仪器测得点B 的仰角为α，前进一段距离到达测点E ，再用该仪器测得点B 的仰角为β，且点A ，B ，C ，D ，E ，F 均在同一竖直平面内，点A ，C ，E 在同一条直线上．α的度数β的度数CE 的长度仪器CD （EF ）的高度测量数据31°42°5米 1.5米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】在两个直角三角形中，用BG 表示DG 、FG ，进而用 DG ﹣FG ＝DF ＝5列方程求出BG 即可．【解题过程】解：如图，延长DF 与AB 交于点G ，设BG ＝x 米，在Rt △BFG 中，FG ＝＝，在Rt△BDG中，DG＝＝，由DG﹣FG＝DF得，﹣＝5，解得，x＝9，∴AB＝AG+BG＝1.5+9＝10.5（米），答：这座“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为10.5米．23．2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一．截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七彩丹霞景区．张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩．（1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？（2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．【知识考点】概率公式；列表法与树状图法．【思路分析】（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”只有1种，因此可求出概率；（2）列表法表示所有可能出现的结果，进而求出概率．【解题过程】解：（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”的概率是；（2）从A，B，C，D四个景区中任选两个景区所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中选择A、D两个景区的有2种，∴P（选择A、D）＝＝．四、解答题（二）24．习近平总书记于2019年8月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”．兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”．近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片．如图是根据兰州市环境保护局公布的2013～2019年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．请结合统计图解答下列问题：（1）2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了 天；（2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 天；（3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；（4）《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达80%以上．试计算2020年（共366天）兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标．【思路分析】（1）根据折线统计图可得2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加的天数；（2）先将这七年的全年空气质量优良天数从小到大排列，即可得中位数；（3）根据表格数据利用加权平均数公式即可求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；（4）用80%×366即可得兰州市空气质量能达标的优良天数．【解题过程】解：（1）∵296﹣270＝26，∴2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了26天；故答案为：26；（2）∵这七年的全年空气质量优良天数分别为：213，233，250，254，270，296，313，∴这七年的全年空气质量优良天数的中位数是254天；故答案为：254；（3）∵＝（213+233+250+254+270+296+313）≈261（天），则这七年的全年空气质量优良天数的平均天数为261天；（4）∵全年空气质量优良天数比率达80%以上．∴366×80%＝292.8≈293（天），则兰州市空气质量优良天数至少需要293天才能达标．25．通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：x…012345…y…632 1.5 1.21…（1）当x＝ 时，y＝1.5；（2）根据表中数值描点（x，y），并画出函数图象；（3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质： ．【知识考点】函数值；函数的图象；函数的表示方法．【思路分析】（1）观察函数的自变量x与函数值y的部分对应值表可得当x＝3时，y＝1.5；（2）根据表中数值描点（x，y），即可画出函数图象；（3）观察画出的图象，即可写出这个函数的一条性质．【解题过程】解：（1）当x＝3时，y＝1.5；故答案为：3；（2）函数图象如图所示：（3）观察画出的图象，这个函数的一条性质：函数值y随x的增大而减小．故答案为：函数值y随x的增大而减小．26．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB．（1）求∠ACB的度数；（2）若DE＝2，求⊙O的半径．【知识考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质．【思路分析】（1）连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，再由等腰三角形的性质得∠OAB＝∠ABE＝∠E，再由三角形内角和定理求得∠OAB，进而得∠AOB，最后由圆周角定理得∠ACB的度数；（2）设⊙O的半径为r，再根据含30°解的直角三角形的性质列出r的方程求解便可．【解题过程】解：（1）连接OA，∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E，∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE＝180°，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABO＝120°，∴∠ACB＝∠AOB＝60°；（2）设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r+2，∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，∴2OA＝OE，即2r＝r+2，∴r＝2，故⊙O的半径为2．27．（8分）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．（1）求证：△AEM≌△ANM．（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．【知识考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．【思路分析】（1）想办法证明∠MAE＝∠MAN＝45°，根据SAS证明三角形全等即可．（2）设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，在Rt△MCN中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解题过程】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAE＝∠MAN，∵MA＝MA，∴△AEM≌△ANM（SAS）．（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN，∵BE＝DN，∴MN＝BM+DN＝5，∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2+CN2，∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，解得，x＝6或﹣1（舍弃），∴正方形ABCD的边长为6．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）若PC∥AB，求点P的坐标；（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC ＝8OB，则OA＝4，OB＝，确定点A、B、C的坐标；即可求解；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；（3）△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA，即可求解．【解题过程】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；则y＝a（x+4）（x﹣）＝a（x2+x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（﹣，﹣2）；（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，设P（x，x2+﹣2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA＝×4×（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣2（x+2）2+8，∵﹣2＜0，∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．。
2019年甘肃省中考数学试卷含答案解析
2019年⽢肃省中考数学试卷含答案解析第 1 页⽢肃省2019年普通⾼中招⽣考试试卷数学⼀、选择题(本⼤题共10⼩题,每⼩题3分,共30分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的) 1.下列四个图案中,是中⼼对称图形的是( )ABC D2.在0,2,3-,12-这四个数中,最⼩的数是( )A .0B .2C .3-D .12- 3.使得式⼦4x-有意义的x 的取值范围是( )A .4x ≥B .4x ＞C .4x ≤D .4x ＜ 4.计算24(2)a a -g 的结果是( )A .64a -B .64aC .62a -D .84a -5.如图,将⼀块含有30?的直⾓三⾓板的顶点放在直尺的⼀边上,若148∠=?,那么2∠的度数是( )A .48?B .78?C .92?D .102?6.已知点2,24()P m m +-在x 轴上,则点P 的坐标是( )A .(4,0)B .(0,4)C .()4,0-D .(0,)4-7.若⼀元⼆次⽅程2220x kx k -+=的⼀根为1x =-,则k 的值为( )A .1-B .0C .1或1-D .2或08.如图,四边形ABCD 是菱形,O e 经过点A 、C 、D ,与BC 相交于点E ,连接AC 、AE .若80D ∠=?,则EAC ∠的度数为( )第 2 页A .54?B .64?C .27?D .37?9.甲,⼄两个班参加了学校组织的2019年“国学⼩名⼠”国学知识竞赛选拔赛,他们成绩的平均数、中位数、⽅差如下表所⽰,规定成绩⼤于等于95分为优异,则下列说法正确的是( )A .B .甲、⼄两班竞赛成绩的众数相同C .甲班的成绩⽐⼄班的成绩稳定D .甲班成绩优异的⼈数⽐⼄班多10.如图是⼆次函数2y ax bx c =++的图象,对于下列说法：①0ac ＞,②20a b +＞,③24ac b ＜,④0a b c ++＜,⑤当0x ＞时,y 随x 的增⼤⽽减⼩,其中正确的是( )A .①②③B .①②④C .②③④D .③④⑤⼆、填空题(本⼤题共8⼩题,每⼩题3分,共24分.只要求填写最后结果) 11.分解因式：34x y xy -= . 12.不等式组2021x x x -??-?≥＞的最⼩整数解是 .13.分式⽅程3512x x =++的解为 . 14.在ABC △中90C ∠=?,tan 3A =,则cos B = .第 3 页15.已知某⼏何体的三视图如图所⽰,其中俯视图为等边三⾓形,则该⼏何体的左视图的⾯积为 .主视图左视图俯视图16.如图,在Rt ABC △中,90C ∠=?,2AC BC ==,点D 是AB 的中点,以A 、B 为圆⼼,AD 、BD 长为半径画弧,分别交AC 、BC 于点E 、F ,则图中阴影部分的⾯积为 .17.如图,在矩形ABCD 中,10AB =,6AD =,E 为BC 上⼀点,把CDE △沿DE 折叠,使点C 落在AB 边上的F 处,则CE 的长为 .18.如图,每⼀图中有若⼲个⼤⼩不同的菱形,第1幅图中有1个菱形,第2幅图中有3个菱形,第3幅图中有5个菱形,如果第n 幅图中有2 019个菱形,则n = .第1幅第2幅第3幅第n 幅三、解答题(本⼤题共10⼩题,共66分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)19.(本⼩题满分4分) 计算：()0212019π3|2()|--+-?--.20.(本⼩题满分4分)如图,在ABC△中,点P是AC上⼀点,连接BP,求作⼀点M,使得点M到AB和AC两边的距离相等,并且到点B和点P的距离相等.(不写作法,保留作图痕迹) Array21.(本⼩题满分6分)中国古代⼈民很早就在⽣产⽣活中发现了许多有趣的数学问题,其中《孙⼦算经》中有个问题,原⽂：今有三⼈共车,⼆车空；⼆⼈共车,九⼈步,问⼈与车各⼏何？译⽂为：今有若⼲⼈乘车,每3⼈共乘⼀车,最终剩余2辆车,若每2⼈共乘⼀车,最终剩余9个⼈⽆车可乘,问共有多少⼈,多少辆车？22.(本⼩题满分6分)为了保证⼈们上下楼的安全,楼梯踏步的宽度和⾼度都要加以限制.中⼩学楼梯宽度的范围是260 mm～300 mm含(300 mm),⾼度的范围是120 mm～150 mm(含150 mm).如图是某中学的楼梯扶⼿的截⾯⽰意图,测量结果如下：AB,CD分别垂直平分踏步EF,GH,各踏步互相平⾏,AB CDAC=,=,900mm ∠=?,试问该中学楼梯踏步的宽度和⾼度是否符合规定.(结果精确到1 65ACDmm,参考数据：sin650.906≈)≈,cos650.423第4页23.(本⼩题满分6分)在甲⼄两个不透明的⼝袋中,分别有⼤⼩、材质完全相同的⼩球,其中甲⼝袋中的⼩球上分别标有数字1,2,3,4,⼄⼝袋中的⼩球上分别标有数字2,3,4,先从甲袋中任意摸出⼀个⼩球,记下数字为m,再从⼄袋中摸出⼀个⼩球,记下数字为n.(1)请⽤列表或画树状图的⽅法表⽰出所有(),m n可能的结果；(2)若m,n都是⽅程2560-+=的解时,则⼩明获胜；若m,n都不是⽅程x x2560x x-+=的解时,则⼩利获胜,问他们两⼈谁获胜的概率⼤？24.(本⼩题满分7分)良好的饮⾷对学⽣的⾝体、智⼒发育和健康起到了极其重要的作⽤,荤菜中蛋⽩质、钙、磷及脂溶性维⽣素优于素⾷,⽽素⾷中不饱和脂肪酸、维⽣素和纤维素⼜优于荤⾷,只有荤⾷与素⾷适当搭配,才能强化初中⽣的⾝体素质.某校为了了解学⽣的体质健康状况,以便⾷堂为学⽣提供合理膳⾷,对本校七年级、⼋年级学⽣的体质健康状况进⾏了调查,过程如下：收集数据：从七、⼋年级两个年级中各抽取15名学⽣,进⾏了体质健康测试,测试成绩(百分制)如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82⼋年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：(80第5页分)为及格,60分以下为不及格)分析数据：(1)根据上述数据,将表格补充完整；(2)可以推断出年级学⽣的体质健康状况更好⼀些,并说明理由；(3)若七年级共有300名学⽣,请估计七年级体质健康成绩优秀的学⽣⼈数.25.(本⼩题满分7分)如图,⼀次函数y kx b=+的图象与反⽐例函数myx=的图象相交于,()1A n-、1(2,)B-,两点,与y轴相交于点C.(1)求⼀次函数与反⽐例函数的解析式；(2)若点D与点C关于x轴对称,求ABD△的⾯积；(3)若11(),M x y、22(),N x y是反⽐例函数myx=上的两点,当12x x＜＜时,⽐较2y与1y的⼤⼩关系.26.(本⼩题满分8分)第6页第 7 页如图,在正⽅形ABCD 中,点E 是BC 的中点,连接DE ,过点A 作AG ED ⊥交DE 于点F ,交CD 于点G . (1)证明：ADG DCE △≌△；(2)连接BF ,证明：AB FB =.27.(本⼩题满分8分)如图,在Rt ABC △中,90C ∠=?,以BC 为直径的O e 交AB 于点D ,切线DE 交AC 于点E .(1)求证：A ADE ∠=∠； (2)若8AD =,5DE =,求BC 的长.28.(本⼩题满分10分)第 8 页如图,已知⼆次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ,与y 轴交于点C .(1)求⼆次函数的解析式；(2)若点P 为抛物线上的⼀点,点F 为对称轴上的⼀点,且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平⾏四边形,求点P 的坐标；(3)点E 是⼆次函数第四象限图象上⼀点,过点E 作x 轴的垂线,交直线BC 于点D ,求四边形AEBD ⾯积的最⼤值及此时点E 的坐标.⽢肃省2019年普通⾼中招⽣考试试卷数学答案解析⼀、选择题 1.【答案】A【解析】解：A .此图案是中⼼对称图形,符合题意；B .此图案不是中⼼对称图形,不合题意；C .此图案不是中⼼对称图形,不合题意；D .此图案不是中⼼对称图形,不合题意；故选：A . 【考点】中⼼对称图形的概念. 2.【答案】C【解析】解：根据实数⽐较⼤⼩的⽅法,可得13022--＜＜＜,所以最⼩的数是3-.故选：C .【考点】实数⼤⼩⽐较的⽅法. 3.【答案】D【解析】解：有意义,则：40x-＞,解得：4x＜,即x的取值范围是：4x＜.故选：D.【考点】⼆次根式有意义的条件.4.【答案】B【解析】解：2424624)4(a a a a a-==g g.故选：B.【考点】积的乘⽅运算,同底数幂的乘法运算.5.【答案】D【解析】解：∵将⼀块含有30?的直⾓三⾓板的顶点放在直尺的⼀边上,148∠=?,∴231804830102∠=∠=?-?-?=?.故选：D.【考点】平⾏线的性质.6.【答案】A【解析】解：∵点2,24()P m m+-在x轴上,∴240m-=,解得：2m=,∴24m+=,则点P的坐标是：(4,0).故选：A.【考点】点的坐标.7.【答案】A【解析】解：把1x=-代⼊⽅程得：1220k k++=,解得：1k=-,故选：A.【考点】⼀元⼆次⽅程的解.8.【答案】C【解析】解：∵126AOC∠=?,∴18054BOC AOC∠=?-∠=?,第9页第 10∵1272CDB BOC ∠=∠=?. 故选：C .【考点】圆周⾓定理. 9.【答案】A【解析】解：A 、甲、⼄两班的平均⽔平相同；正确；B 、甲、⼄两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C 、甲班的成绩⽐⼄班的成绩稳定；不正确；D 、甲班成绩优异的⼈数⽐⼄班多；不正确；故选：A . 【考点】平均数,众数,中位数,⽅差. 10.【答案】C【解析】解：①由图象可知：0a ＞,0c ＜, ∴0ac ＜,故①错误；②由于对称轴可知：12ba-＜, ∴20a b +＞,故②正确；③由于抛物线与x 轴有两个交点, ∴240b ac ?=-＞,故③正确；④由图象可知：1x =时,0y a b c =++＜, 故④正确；⑤当2bx a＞-时,y 随着x 的增⼤⽽增⼤,故⑤错误；故选：C .【考点】⼆次函数. ⼆、填空题11.【答案】()(2)2xy x x +- 【解析】解：34x y xy -,24()xy x =-,2()(2)xy x x =+-.【考点】解因式. 12.【答案】0【解析】解：不等式组整理得：21x x ??≤＞-,∴不等式组的解集为12x-＜≤,则最⼩的整数解为0,故答案为：0.【考点】⼀元⼀次不等式组的整数解.13.【答案】12【解析】解：去分母得：3655x x+=+,解得：12 x=,经检验12x=是分式⽅程的解.故答案为：1 2 .【考点】分式⽅程.14.【答案】1【解析】解：利⽤三⾓函数的定义及勾股定理求解.∵在Rt ABC△中,90C∠=?,tan A=,设a,3b x=,则c=,∴1 cos2aBc==.故答案为：1 2 .【考点】特殊⾓的三⾓函数值.15.【答案】2)18cm+【解析】解：该⼏何体是⼀个三棱柱,底⾯等边三⾓形边长为2 cm,cm,三棱柱的⾼为3,所以,其表⾯积为218cm2+=+.故答案为2)18cm+.【考点】三视图.16.【答案】π24-【解析】解：在Rt ABC△中,∵90ACB∠=?,2CA CB==,∴AB=,45A B∠=∠=?,第11第 12∵D 是AB 的中点,∴AD DB =∴1π2222224ABC ADE S S S =-=??-=-g △阴扇形, 故答案为：π24-.【考点】扇形的⾯积,等腰直⾓三⾓形的性质. 17.【答案】103 【解析】解：设CE x =,则6BE x =-由折叠性质可知,EF CE x ==,10DF CD AB ===, 在Rt DAF △中,6AD =,10DF =, ∴8AF =,, 故答案为103. 【考点】矩形的性质,勾股定理. 18.【答案】1 010【解析】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个. 第2幅图中有2213?-=个. 第3幅图中有2315?-=个. 第4幅图中有2417?-=个.…可以发现,每个图形都⽐前⼀个图形多2个. 故第n 幅图中共有(21)n -个. 当图中有2 019个菱形时,212019n -=, 1010n =,故答案为：1 010.【考点】规律型中的图形变化.第 13三、解答题19.【答案】解：原式413=+, 1=.【解析】解：原式413=+, 1=.【考点】实数运算.20.【答案】解：如图,点M 即为所求,【解析】解：如图,点M 即为所求,【考点】复杂作图,⾓平分线的性质,线段垂直平分线的性质. 21.【答案】解：设共有x ⼈, 根据题意得：9232x x -+=, 去分母得：212327x x +=-, 解得：39x =, ∴399152-=, 则共有39⼈,15辆车. 【解析】解：设共有x ⼈, 根据题意得：9232x x -+=, 去分母得：212327x x +=-, 解得：39x =,∴39915 2-=,则共有39⼈,15辆车.【考点】⼀元⼀次⽅程的应⽤. 22.【答案】解：连接BD,作DM AB ⊥于点M,∵AB CD=,AB,CD分别垂直平分踏步EF,GH,∴AB CD∥,AB CD=,∴四边形ABCD是平⾏四边形,∴C ABD∠=∠,AC BD=,∵65C∠=?,900AC=,∴65ABD∠=?,900BD=,=?=?≈g,sin659000.906815DM BD=?=?≈g,∵3813127÷=,120127150＜＜,∴该中学楼梯踏步的⾼度符合规定,∵8153272÷≈,260272300＜＜,∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定,由上可得,该中学楼梯踏步的宽度和⾼度都符合规定.【解析】解：连接BD,作DM AB⊥于点M,∵AB CD=,AB,CD分别垂直平分踏步EF,GH,∴AB CD∥,AB CD=,∴四边形ABCD是平⾏四边形,∴C ABD∠=∠,AC BD=,∵65C∠=?,900AC=,∴65ABD∠=?,900BD=,∴cos659000.423381BM BDg,sin659000.906815DM BD=?=?≈g,∵3813127÷=,120127150＜＜,∴该中学楼梯踏步的⾼度符合规定,第14第 15∵8153272÷≈,260272300＜＜, ∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定,由上可得,该中学楼梯踏步的宽度和⾼度都符合规定.【考点】解直⾓三⾓形的应⽤. 23.【答案】解：(1)树状图如图所⽰：(2)∵m ,n 都是⽅程2560x x -+=的解, ∴2m =,3n =,或3m =,2n =,由树状图得：共有12个等可能的结果,m ,n 都是⽅程2560x x -+=的解的结果有2个,m ,n 都不是⽅程2560x x -+=的解的结果有2个,⼩明获胜的概率为21126=,⼩利获胜的概率为21126=, ∴⼩明、⼩利获胜的概率⼀样⼤. 【解析】解：(1)树状图如图所⽰：(2)∵m ,n 都是⽅程2560x x -+=的解, ∴2m =,3n =,或3m =,2n =,由树状图得：共有12个等可能的结果,m ,n 都是⽅程2560x x -+=的解的结果有2个,m ,n 都不是⽅程2560x x -+=的解的结果有2个,⼩明获胜的概率为21126=,⼩利获胜的概率为21126=, ∴⼩明、⼩利获胜的概率⼀样⼤.【考点】列表法与树状图法,⼀元⼆次⽅差的解法以及概率公式.第 1624.【答案】(1)76.8 81 (2)⼋(3)若七年级共有300名学⽣,则七年级体质健康成绩优秀的学⽣⼈数13002015=?=(⼈). 【解析】解：(1)七年级的平均数为748175767075757981707480911(15++++++++++++)698276.8++=, ⼋年级的众数为81；故答案为：76.8；81；(2)⼋年级学⽣的体质健康状况更好⼀些；理由如下：⼋年级学⽣的平均数、中位数以及众数均⾼于七年级,说明⼋年级学⽣的体质健康情况更好⼀些；故答案为：⼋；(3)若七年级共有300名学⽣,则七年级体质健康成绩优秀的学⽣⼈数13002015=?y x=经过点1(2,)B -, ∴2m =-, ∵点,()1A n -在2y x-=上, ∴2n =, ∴2()1,A -,把A ,B 坐标代⼊y kx b =+,则有221k b k b -+=??+=-?,解得11k b =-??=?, ∴⼀次函数的解析式为1y x =-+,反⽐例函数的解析式为2y x =-. (2)∵直线1y x =-+交y 轴于C , ∴()0,1C ,第 17∵D ,C 关于x 轴对称, ∴1(0,)D -,∵1(2,)B - ∴BD x ∥轴, ∴1 2332ABD S =??=△.(3)∵11(),M x y 、22(),N x y 是反⽐例函数2y x=-上的两点,且120x x ＜＜, ∴12y y ＜.【解析】解：(1)∵反⽐例函数my x=经过点1(2,)B -, ∴2m =-, ∵点,()1A n -在2y x-=上, ∴2n =, ∴2()1,A -,把A ,B 坐标代⼊y kx b =+,则有221k b k b -+=??+=-?,解得11k b =-??=?, ∴⼀次函数的解析式为1y x =-+,反⽐例函数的解析式为2y x =-. (2)∵直线1y x =-+交y 轴于C , ∴()0,1C ,∵D ,C 关于x 轴对称, ∴1(0,)D -,∵1(2,)B - ∴BD x ∥轴, ∴12332 ABD S =??=△.(3)∵11(),M x y 、22(),N x y 是反⽐例函数2y x【考点】反⽐例函数与⼀次函数的交点问题. 26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是正⽅形, ∴90ADG C ∠=∠=?,AD DC =,⼜∵AG DE⊥,∴90DAG ADF CDE ADF∠+∠=?=∠+∠,∴DAG CDE∠=∠,∴()ASAADG DCE△≌△；(2)如图所⽰,延长DE交AB的延长线于H,∵E是BC的中点,∴BE CE=,⼜∵90C HBE∠=∠=?,DEC HEB∠=∠,∴()ASADCE HBE△≌△,∴BH DC AB==,即B是AH的中点,⼜∵90AFH∠=?,∴Rt AFH△中,12BF AH AB【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正⽅形,∴90ADG C∠=∠=?,AD DC=,⼜∵AG DE⊥,∴90DAG ADF CDE ADF∠+∠=?=∠+∠,∴DAG CDE∠=∠,∴()ASAADG DCE△≌△；(2)如图所⽰,延长DE交AB的延长线于H,∵E是BC的中点,∴BE CE=,⼜∵90C HBE∠=∠=?,DEC HEB∠=∠,∴()ASADCE HBE△≌△,第18∴BH DC AB==,即B是AH的中点,⼜∵90AFH∠=?,∴Rt AFH△中,12BF AH AB==.【考点】正⽅形的性质,全等三⾓形的判定与性质.27.【答案】(1)证明：连接OD,∵DE是切线,∴90ODE∠=?,∴90ADE BDO∠+∠=?,∵90ACB∠=?,∴90A B∠+∠=?,∵OD OB=,∴B BDO∠=∠,∴ADE A∠=∠.(2)解：连接CD.∵ADE A∠=∠,∴AE DE=,∵BC是Oe的直径,90 ACB∠=?,∴EC是O e的切线,∴ED EC =,∴AE EC =,∵5DE=,∴210AC DE==,在Rt ADC △中,6DC=,第19。
2019年甘肃中考数学试卷及解析
2019年甘肃省白银市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项、1、（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A、B、C、D、2、（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（）A、0B、1C、2D、33、（3分）下列整数中，与最接近的整数是（）A、3B、4C、5D、64、（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米、数据0.000000007用科学记数法表示为（）A、7×10﹣7B、0.7×10﹣8C、7×10﹣8D、7×10﹣95、（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A、平移变换B、相似变换C、旋转变换D、对称变换6、（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A、180°B、360°C、540°D、720°7、（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A、x≤3B、x≤﹣3C、x≥3D、x≥﹣38、（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A、①B、②C、③D、④9、（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A、22.5°B、30°C、45°D、60°10、（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动、设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A、3B、4C、5D、6二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11、（4分）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱、如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点、12、（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证、下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数614040401000036000806403109204849791803139699出现“正面朝上”的次数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为（精确到0.1）、13、（4分）因式分解：xy2﹣4x＝、14、（4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为、15、（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为、16、（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于、17、（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”、若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝、18、（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是、三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分、解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19、（6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）020、（6分）小甘到文具超市去买文具、请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21、（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC、（1）求作：△ABC的外接圆、（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝、22、（8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°、CD可以绕点C上下调节一定的角度、使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳、现测得点D到桌面的距离为49.6cm、请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）、23、（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行、世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A、“解密世园会”、B、“爱我家，爱园艺”、C、“园艺小清新之旅”和D、“快速车览之旅”、李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同、（1）李欣选择线路C、“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率、四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分、解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤、24、（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动、为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛、现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77、八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41、整理数据：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：（1）由上表填空：a＝，b＝，c＝，d＝、（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由、25、（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N、若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围、26、（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E、（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径、27、（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN、求证：∠AMN＝60°、点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM、易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM ＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°、问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1、求证：∠A1M1N1＝90°、28、（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC、点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m、（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q、试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形、若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N、请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项、1、（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A、B、C、D、试题分析：分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可、试题解答解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为圆锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意、故选：C、点评：考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大、2、（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（）A、0B、1C、2D、3试题分析：直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案、试题解答解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，∴点B表示的数是：3、故选：D、点评：此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键、3、（3分）下列整数中，与最接近的整数是（）A、3B、4C、5D、6试题分析：由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案、试题解答解：∵32＝9，42＝16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3、故选：A、点评：本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题、4、（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米、数据0.000000007用科学记数法表示为（）A、7×10﹣7B、0.7×10﹣8C、7×10﹣8D、7×10﹣9试题分析：由科学记数法知0.000000007＝7×10﹣9；试题解答解：0.000000007＝7×10﹣9；故选：D、点评：本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键、5、（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A、平移变换B、相似变换C、旋转变换D、对称变换试题分析：根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案、试题解答解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换、故选：B、点评：本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出、6、（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A、180°B、360°C、540°D、720°试题分析：根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果、试题解答解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C、点评：本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式、7、（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A、x≤3B、x≤﹣3C、x≥3D、x≥﹣3试题分析：先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可、试题解答解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得﹣x≥﹣3系数化为1，得x≤3；故选：A、点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错、解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变、8、（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A、①B、②C、③D、④试题分析：直接利用分式的加减运算法则计算得出答案、试题解答解：﹣＝﹣＝＝、故从第②步开始出现错误、故选：B、点评：此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键、9、（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A、22.5°B、30°C、45°D、60°试题分析：设圆心为O，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数、试题解答解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°、故选：C、点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、10、（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动、设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A、3B、4C、5D、6试题分析：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解、试题解答解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3、∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12、当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7、则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB＝3，BC＝4、故选：B、点评：本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值、二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11、（4分）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱、如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点（﹣1，1）、试题分析：直接利用“帅”位于点（0，﹣2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标、试题解答解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）、故答案为：（﹣1，1）、点评：本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置、12、（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证、下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数614040401000036000806403109204849791803139699出现“正面朝上”的次数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5（精确到0.1）、试题分析：由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率、试题解答解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5、故答案为0.5、点评：本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率、用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确、13、（4分）因式分解：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）、试题分析：先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解、试题解答解：xy2﹣4x，＝x（y2﹣4），＝x（y+2）（y﹣2）、点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解、14、（4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为4、试题分析：要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数、试题解答解：由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0得m＝4故答案为4点评：此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根、上述结论反过来也成立、15、（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝（x﹣2）2+1、试题分析：利用配方法整理即可得解、试题解答解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，所以，y＝（x﹣2）2+1、故答案为：y＝（x﹣2）2+1、点评：本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）、16、（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于4﹣π、试题分析：恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积，依此列式计算即可、试题解答解：如图：新的正方形的边长为1+1＝2，∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π、故答案为4﹣π、点评：本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积、17、（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”、若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或、试题分析：可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数、从而可求解试题解答解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或点评：本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏、18、（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是13a+21b、试题分析：由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案、试题解答解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b、点评：本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律、三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分、解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19、（6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0试题分析：先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可、试题解答解：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0，＝4﹣（2﹣）﹣2×+1，＝4﹣2+﹣+1，＝3、点评：本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键、20、（6分）小甘到文具超市去买文具、请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？试题分析：根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案、试题解答解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元、点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键、21、（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC、（1）求作：△ABC的外接圆、（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝25π、试题分析：（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求、（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题、试题解答解：（1）如图⊙O即为所求、（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E、由题意OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△OBE中，OB＝＝5，∴S圆O＝π•52＝25π、故答案为25π、点评：本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型、22、（8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°、CD可以绕点C上下调节一定的角度、使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳、现测得点D到桌面的距离为49.6cm、请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）、试题分析：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F、解直角三角形求出∠DCF即可判断、试题解答解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F、∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），∴FH＝CE＝34.6（cm）∵DH＝49.6cm，∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳、点评：本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型、23、（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行、世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A、“解密世园会”、B、“爱我家，爱园艺”、C、“园艺小清新之旅”和D、“快速车览之旅”、李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同、（1）李欣选择线路C、“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率、试题分析：（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果、试题解答解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C、“园艺小清新之旅”的概率是；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为＝、点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率、列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件、用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比、四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分、解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤、24、（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动、为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛、现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77、八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41、整理数据：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：（1）由上表填空：a＝11，b＝10，c＝78，d＝81、（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由、试题分析：（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可、试题解答解：（1）由题意知a＝11，b＝10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c＝＝78，八年级成绩的众数d＝81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×＝90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）、点评：本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键、25、（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N、若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围、试题分析：（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解、试题解答解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3＝，3＝﹣1+b，∴k＝3，b＝4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN、点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键、26、（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E、（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径、试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC ＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论、试题解答（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2、点评：本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键、27、（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN、求证：∠AMN＝60°、点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM、易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM ＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°、问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1、求证：∠A1M1N1＝90°、试题分析：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，证出∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1＝EM1，∠1＝∠2，得出EM1＝M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出结论、试题解答解：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1＝90°+45°＝135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1＝EM1，∠1＝∠2，∵A1M1＝M1N1，∴EM1＝M1N1，∴∠3＝∠4，∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠1＝∠2＝∠5，∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠A1M1N1＝180°﹣90°＝90°、点评：此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键、28、（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC、点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m、（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q、试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形、若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N、请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？试题分析：（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可；（3）由PN＝PQ sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）即可求解、试题解答解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，设直线AC的中点为K（﹣，2），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3）；②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，。
2019年甘肃省中考数学试卷
2019年甘肃省中考数学试卷祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。
《老子·五十八章》 涵亚学校 陈冠宇上大附中 何小龙一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）（2019•甘肃）下列四个图案中，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ． 2．（3分）（2019•甘肃）在0，2，3-，12-这四个数中，最小的数是( )A ．0B ．2C ．3-D ．12- 3．（3分）（2019•4x -有意义的x 的取值范围是( )A ．4xB ．4x >C ．4xD ．4x <4．（3分）（2019•甘肃）计算24(2)a a -的结果是( ) A ．64a - B ．64a C ．62a - D ．84a -5．（3分）（2019•甘肃）如图，将一块含有30︒的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若148∠=︒，那么2∠的度数( )A．48︒B．78︒C．92︒D．102︒6．（3分）（2019•甘肃）已知点(2,24)P m m+-在x轴上，则点的坐标是()A．(4,0)B．(0,4)C．(4,0)-D．7．（3分）（2019•肃）若一元二次方程2220x kx k-+=的一根为错误!未找到引用源。
，则k的值为()A．1-B．0 ．1或1-D．2或08．（3分）（2019•甘肃）如图，AB是O的直径，点C、D是圆上两点，且错误!未找到引用源。
，则(CDB∠=)A．54︒B．64︒C．27︒D．37︒9．（3分）（2019•甘肃）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是()参加人数平均数中位数方差甲459493 5.3 乙4594 95 4.8 A ．甲、乙两班的平均水平相同B ．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C ．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D ．甲班成绩优异的人数比乙班多 10．（3分）（2019•甘肃）如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，对于下列说法：①0ac >，②20a b +>，③24ac b <，④0a b c ++<，⑤当0x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）（2019•甘肃）分解因式：34x y xy -= ．12．（3分）（2019•甘肃）不等式组2021x x x -⎧⎨>-⎩的最小整数解是 ．13．（3分）（2019•甘肃）分式方程3512x x =++的解为 ．14．（3分）（2019•甘肃）在ABC ∆中90C ∠=︒，3tan 3A =，则cos B = ．15．（3分）（2019•甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为 ．16．（3分）（2019•甘肃）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，点D 是AB 的中点，以A 、B 为圆心，AD 、BD 长为半径画弧，分别交AC 、BC 于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为 ．17．（3分）（2019•甘肃）如图，在矩形ABCD 中，10AB =，6AD =，E 为BC 上一点，把CDE ∆沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的F 处，则CE 的长为 ．18．（3分）（2019•甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n = ．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）（2019•甘肃）计算：2013()(2019)tan 60|3|23π--+--︒--． 20．（4分）（2019•甘肃）如图，在ABC ∆中，点P 是AC 上一点，连接BP ，求作一点M ，使得点M 到AB 和AC 两边的距离相等，并且到点B 和点P 的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）21．（6分）（2019•甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？22．（6分）（2019•甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260~300mm mm 含(300)mm ，高度的范围是120~150mm mm （含150)mm ．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB CD =，900AC mm =，65ACD ∠=︒，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm ，参考数据：sin650.906︒≈，cos650.423)︒≈23．（6分）（2019•甘肃）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n ．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有(,)m n 可能的结果；（2）若m ，n 都是方程2560x x -+=的解时，则小明获胜；若m ，n 都不是方程2560x x -+=的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）（2019•甘肃）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82 八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50 整理数据：x<x<8090608010 45 8（说明：90分及以上为优秀，80~90分（不含90分）为良好，60~80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．25．（7分）（2019•甘肃）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象相交于(1,)A n -、(2,1)B -两点，与y 轴相交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求ABD ∆的面积；（3）若1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 是反比例函数m y x=上的两点，当120x x <<时，比较2y 与1y 的大小关系．26．（8分）（2019•甘肃）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ED ⊥交DE 于点F ，交CD 于点G ．（1）证明：ADG DCE ∆≅∆；（2）连接BF ，证明：AB FB =．27．（8分）（2019•甘肃）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：A ADE∠=∠；（2）若8DE=，求BC的长．AD=，528．（10分）（2019•甘肃）如图，已知二次函数2=++的y x bx c图象与x轴交于点(1,0)A、(3,0)B，与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E 的坐标．2019年甘肃省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．【考点】中心对称图形【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．此图案是中心对称图形，符合题意；B．此图案不是中心对称图形，不合题意；C．此图案不是中心对称图形，不合题意；D．此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．2．（3分）在0，2，3-，1-这四个数中，最小的数是()2A．0 B．2 C．3-D．1-2【考点】有理数大小比较【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得13022-<-<<，所以最小的数是3-． 故选：C ． 3．（3分）使得式子4x x-有意义的x 的取值范围是( )A ．4xB ．4x >C ．4xD ．4x <【考点】二次根式有意义的条件【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：使得式子4x x-有意义，则：40x ->，解得：4x <，即x 的取值范围是：4x <． 故选：D ． 4．（3分）计算24(2)a a -的结果是()A ．64a -B ．64aC ．62a -D ．84a -【考点】单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：24246(2)44a a a a a -==．故选：B ．5．（3分）如图，将一块含有30︒的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若148∠=︒，那么2∠的度数是( )A．48︒B．78︒C．92︒D．102︒【考点】平行线的性质【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．【解答】解：将一块含有30︒的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，148∠=︒，∴∠=∠=︒-︒-︒=︒．231804830102故选：D．6．（3分）已知点(2,24)+-在x轴上，则点P的坐标是(P m m)A．(4,0)B．(0,4)C．(4,0)-D．(0,4)-【考点】点的坐标【分析】直接利用关于x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．【解答】解：点(2,24)+-在x轴上，P m m∴-=，m240解得：2m=，∴+=，24m则点P的坐标是：(4,0)．故选：A．7．（3分）若一元二次方程2220x kx k -+=的一根为1x =-，则k 的值为( )A ．1-B ．0C ．1或1-D ．2或0【考点】一元二次方程的解【分析】把1x =-代入方程计算即可求出k 的值． 【解答】解：把1x =-代入方程得：2120k k ++=， 解得：1k =-， 故选：A ．8．（3分）如图，AB 是O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且126AOC ∠=︒，则(CDB ∠=)A ．54︒B ．64︒C ．27︒D ．37︒【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理【分析】由126AOC ∠=︒，可求得BOC ∠的度数，然后由圆周角定理，求得CDB ∠的度数．【解答】解：126AOC ∠=︒，18054BOC AOC ∴∠=︒-∠=︒，1272CDB BOC ∠=∠=︒．故选：C ．9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是()A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多【考点】众数；算术平均数；中位数；方差【分析】由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义得出选项B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．【解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：A．10．（3分）如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，对于下列说法：①0ac >，②20a b +>，③24ac b <，④0a b c ++<，⑤当0x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是()A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】解：①由图象可知：0a >，0c <，0ac ∴<，故①错误；②由于对称轴可知：12ba-<， 20a b ∴+>，故②正确；③由于抛物线与x 轴有两个交点，∴△240b ac =->，故③正确；④由图象可知：1x =时，0y a b c =++<， 故④正确； ⑤当2b x a>-时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误；故选：C ．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 11．（3分）分解因式：34x y xy -=(2)(2)xy x x +-．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式xy ，再利用平方差公式对因式24x -进行分解．【解答】解：34x y xy -，2(4)xy x =-， (2)(2)xy x x =+-．12．（3分）不等式组2021x x x -⎧⎨>-⎩的最小整数解是 0 ．【考点】一元一次不等式组的整数解【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可． 【解答】解：不等式组整理得：21x x ⎧⎨>-⎩， ∴不等式组的解集为12x -<，则最小的整数解为0， 故答案为：0 13．（3分）分式方程3512x x =++的解为 12 ．【考点】解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3655x x +=+， 解得：12x =，经检验12x =是分式方程的解． 故答案为：12．14．（3分）在ABC ∆中90C ∠=︒，3tan 3A =，则cosB =12．【考点】特殊角的三角函数值【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解． 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3tan 3A =，设3a x =，3b x =，则23c x =，1cos 2a B c ∴==． 故答案为：12．15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为2(1823)cm +．【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体 【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm ，高为3cm ，三棱柱的高为3，所以，其表面积为213232231823()2cm ⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故答案为2(1823)cm +．16．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，点D 是AB 的中点，以A 、B 为圆心，AD 、BD 长为半径画弧，分别交AC 、BC 于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为 24π-．【考点】等腰直角三角形；扇形面积的计算 【分析】根据2ABC ADE S S S ∆=-⋅阴扇形，计算即可． 【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2CA CB ==，22AB ∴=，45A B ∠=∠=︒，D 是AB 的中点，2AD DB ∴==，245(2)12222223604ABC ADES S S ππ∆⋅⋅∴=-⋅=⨯⨯-⨯=-阴扇形，故答案为：24π-17．（3分）如图，在矩形ABCD 中，10AB =，6AD =，E 为BC 上一点，把CDE ∆沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的F 处，则CE 的长为103．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】设CE x =，则6BE x =-由折叠性质可知，EF CE x ==，10DF CD AB ===，所以8AF =，1082BF AB AF =-=-=，在Rt BEF ∆中，222BE BF EF +=，即222(6)2x x -+=，解得103x =． 【解答】解：设CE x =，则6BE x =-由折叠性质可知，EF CE x ==，10DF CD AB ===，在Rt DAF ∆中，6AD =，10DF =，8AF ∴=，1082BF AB AF ∴=-=-=，在Rt BEF ∆中，222BE BF EF +=， 即222(6)2x x -+=， 解得103x =，故答案为103．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n = 1010 ．【考点】规律型：图形的变化类【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2213⨯-=个，第3幅图中有2315⨯-=个，⋯，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2213⨯-=个． 第3幅图中有2315⨯-=个． 第4幅图中有2417⨯-=个．⋯．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n 幅图中共有(21)n -个． 当图中有2019个菱形时，212019n -=， 1010n =，故答案为：1010．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：201()(2019)60|3|2π--+-︒--． 【考点】负整数指数幂；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式413=+-， 1=．20．（4分）如图，在ABC ∆中，点P 是AC 上一点，连接BP ，求作一点M ，使得点M 到AB 和AC 两边的距离相等，并且到点B 和点P 的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【考点】线段垂直平分线的性质；作图-复杂作图；角平分线的性质【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．【解答】解：如图，点M 即为所求，21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【考点】一元一次方程的应用【分析】设共有x 人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设共有x 人， 根据题意得：9232x x -+=，去分母得：212327x x +=-，解得：39x =，∴399152-=， 则共有39人，15辆车．22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260~300mm mm 含(300)mm ，高度的范围是120~150mm mm （含150)mm ．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB CD =，900AC mm =，65ACD ∠=︒，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm ，参考数据：sin650.906︒≈，cos650.423)︒≈【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；线段垂直平分线的性质【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM 和DM 的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．【解答】解：连接BD ，作DM AB ⊥于点M ，AB CD =，AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ， //AB CD ∴，AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，C ABD ∴∠=∠，AC BD =， 65C ∠=︒，900AC =， 65ABD ∴∠=︒，900BD =，cos659000.423381BM BD ∴=︒=⨯≈，sin659000.906815DM BD =︒=⨯≈， 3813127÷=，120127150<<，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，8153272÷≈，260272300<<，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n ．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有(,)m n 可能的结果；（2）若m ，n 都是方程2560x x -+=的解时，则小明获胜；若m ，n 都不是方程2560x x -+=的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【考点】列表法与树状图法；解一元二次方程-因式分解法 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）树状图如图所示： （2）m ，n 都是方程2560x x -+=的解，2m ∴=，3n =，或3m =，2n =，由树状图得：共有12个等可能的结果，m ，n 都是方程2560x x -+=的解的结果有2个，m，n 都不是方程2560x x -+=的解的结果有2个，小明获胜的概率为21126=，小利获胜的概率为21126=， ∴小明、小利获胜的概率一样大．四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82 八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50 整理数据：x<6080x<809010 45 8（说明：90分及以上为优秀，80~90分（不含90分）为良好，60~80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．【考点】算术平均数；用样本估计总体；中位数；频数（率)分布表；众数【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果； （2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．【解答】解：（1）七年级的平均数为1(748175767075757981707480916982)76.815++++++++++++++=， 八年级的众数为81； 故答案为：76.8；81；（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下： 八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数13002015=⨯=（人)．25．（7分）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于(1,)A n -、(2,1)B -两点，与y 轴相交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求ABD ∆的面积； （3）若1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 是反比例函数m y x=上的两点，当120x x <<时，比较2y 与1y 的大小关系．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．（2）根据对称性求出点D 坐标，发现//BD x 轴，利用三角形的面积公式计算即可．（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可． 【解答】解：（1）反比例函数m yx=经过点(2,1)B -，2m ∴=-，点(1,)A n -在2y x-=上，2n ∴=，(1,2)A ∴-，把A ，B 坐标代入y kx b =+，则有221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为1y x =-+，反比例函数的解析式为2y x=-．（2）直线1y x =-+交y 轴于C ，(0,1)C ∴，D ，C 关于x 轴对称，(0,1)D ∴-，(2,1)B - //BD x ∴轴，12332ABD S ∆∴=⨯⨯=．（3）1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 是反比例函数2y x=-上的两点，且120x x <<，12y y ∴<．26．（8分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ED ⊥交DE 于点F ，交CD 于点G ．（1）证明：ADG DCE ∆≅∆； （2）连接BF ，证明：AB FB =．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到90ADG C ∠=∠=︒，AD DC =，DAG CDE ∠=∠，即可得出ADG DCE ∆≅∆；（2）延长DE 交AB 的延长线于H ，根据DCE HBE ∆≅∆，即可得出B 是AH 的中点，进而得到AB FB =．【解答】解：（1）四边形ABCD 是正方形，90ADG C ∴∠=∠=︒，AD DC =，又AG DE ⊥，90DAG ADF CDE ADF ∴∠+∠=︒=∠+∠， DAG CDE ∴∠=∠，()ADG DCE ASA ∴∆≅∆；（2）如图所示，延长DE 交AB 的延长线于H ，E 是BC 的中点，BE CE ∴=，又90C HBE ∠=∠=︒，DEC HEB ∠=∠，()DCE HBE ASA ∴∆≅∆， BH DC AB ∴==，即B 是AH 的中点， 又90AFH ∠=︒，Rt AFH ∴∆中，12BF AH AB ==．27．（8分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：A ADE ∠=∠；（2）若8AD =，5DE =，求BC 的长．【考点】圆周角定理；切线的性质【分析】（1）只要证明90A B ∠+∠=︒，90ADE B ∠+∠=︒即可解决问题；（2）首先证明210AC DE ==，在Rt ADC ∆中，6DC =，设BD x =，在Rt BDC ∆中，2226BC x =+，在Rt ABC ∆中，222(8)10BC x =+-，可得22226(8)10x x +=+-，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD ，DE 是切线，90ODE ∴∠=︒， 90ADE BDO ∴∠+∠=︒， 90ACB ∠=︒， 90A B ∴∠+∠=︒， OD OB =， B BDO ∴∠=∠，ADE A ∴∠=∠．（2）解：连接CD ．ADE A ∠=∠， AE DE ∴=，BC 是O 的直径，90ACB ∠=︒，EC ∴是O 的切线，ED EC ∴=，AE EC ∴=，5DE =，210AC DE ∴==，在Rt ADC ∆中，6DC =，设BD x =，在Rt BDC ∆中，2226BC x =+，在Rt ABC ∆中，222(8)10BC x =+-，22226(8)10x x ∴+=+-， 解得92x =， 229156()22BC ∴=+=．28．（10分）如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A 、(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E的坐标．【考点】二次函数综合题【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB 为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用()12D E AEBD S AB y y =-四边形，即可求解． 【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：2(1)(3)43y x x x x =--=-+；故二次函数表达式为：243y x x =-+；（2）①当AB 为平行四边形一条边时，如图1，则2AB PE ==，则点P 坐标为(4,3)，当点P 在对称轴左侧时，即点C 的位置，点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，故：点(4,3)P 或(0,3)；②当AB 是四边形的对角线时，如图2，AB 中点坐标为(2,0)设点P 的横坐标为m ，点F 的横坐标为2，其中点坐标为：22m +， 即：222m +=，解得：2m =， 故点(2,1)P -；故：点(4,3)P 或(0,3)或(2,1)-；（3）直线BC 的表达式为：3y x =-+，设点E 坐标为2(,43)x x x -+，则点(,3)D x x -+，()22134332D E AEBD S AB y y x x x x x =-=-+-+-=-+四边形， 10-<，故四边形AEBD 面积有最大值，当32x =，其最大值为94，此时点3(2E ，3)4-．1、人生只有创造才能前进；只有适应才能生存。
(课标通用)甘肃省2019年中考数学总复习优化设计模拟测试1及参考答案
2019年中考模拟测试(一)(考试用时:90分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项)1.8的倒数是()A.-8B.8C.-D.答案D解析8的倒数是,故选D.2.下列运算正确的是()A.a2·a3=a6B.a2-a=aC.(a2)3=a6D.a8÷a2=a4答案C解析A.a2·a3=a5,故A选项错误;B.a2与a1不是同类项,不能合并,故B选项错误;C.(a2)3=a6,故C选项正确;D.a8÷a2=a6,故D选项错误,故选C.3.如图所示,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOD=160°,则∠BOC的大小为()A.20°B.60°C.70°D.160°答案D解析∵∠AOD=160°,∴∠BOC=∠AOD=160°,故选D.4.已知(a≠0,b≠0),下列变形错误的是()A. B.2a=3b C. D.3a=2b答案B解析由得3a=2b,A.由原式可得3a=2b,正确;B.由原式可得2a=3b,错误;C.由原式可得3a=2b,正确;D.由原式可得3a=2b,正确;故选B.5.方程的解为()A.x=-1B.x=0C.x=D.x=1答案D解析去分母得x+3=4x,解得x=1,经检验x=1是分式方程的解.故选D.6.若关于x的一元二次方程x2-2x-k+1=0有两个相等的实数根,则k的值是()A.-1B.0C.1D.2答案B解析根据题意得Δ=(-2)2-4(-k+1)=0,解得k=0.故选B.7.如图,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若∠BOC=40°,则∠D的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°答案B解析∵∠BOC=40°,∴∠AOC=180°-40°=140°,∴∠D=×(360°-140°)=110°,故选B.8.下列说法中,正确的是()A.要了解某大洋的海水污染质量情况,宜采用全面调查方式B.要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法,适合用抽样调查C.在抽样调查过程中,样本容量越大,对总体的估计就越准确D.“打开电视,它正在播广告”是必然事件答案C9.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,P是BC边上的一个动点(点P与点B,C都不重合),现将△PCD 沿直线PD折叠,使点C落到点F处;过点P作∠BPF的平分线交AB于点E.设BP=x,BE=y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()答案C10.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C对称轴为直线x=1.直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C,D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,则下列结论: ①2a+b+c>0;②a-b+c<0;③x(ax+b)≤a+b;④a<-1.其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个答案A解析∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∵抛物线的对称轴为直线x=-=1,∴b=-2a,∴2a+b+c=2a-2a+c=c>0,所以①正确;∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)左侧,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)右侧,∴当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,所以②正确;∵x=1时,二次函数有最大值,∴ax2+bx+c≤a+b+c,∴ax2+bx≤a+b,所以③正确;∵直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C,D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,∴x=3时,一次函数值比二次函数值大,即9a+3b+c<-3+c,而b=-2a,∴9a-6a<-3,解得a<-1,所以④正确.故选A.二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分,请把答案填在横线上)11.计算:-|2-2|+2tan 45°=.答案4解析原式=2-(2-2)+2×1=2-2+2+2=4.12.若分式的值不存在,则x的值为.答案-1解析若分式的值不存在,则x+1=0,解得x=-1.13.一个正多边形的每个外角为60°,那么这个正多边形的内角和是.答案720°解析这个正多边形的边数为=6,所以这个正多边形的内角和=(6-2)×180°=720°.14.三棱柱的三视图如图所示,已知△EFG中,EF=8 cm,EG=12 cm,∠EFG=45°.则AB的长为cm.答案4解析过点E作EQ⊥FG于点Q,由题意可得EQ=AB,∵EF=8cm,∠EFG=45°,∴EQ=AB=×8=4(cm).15.若实数m,n满足|m-2|+=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是.答案10解析由题意得m-2=0,n-4=0,∴m=2,n=4,又∵m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,①若腰为2,底为4,此时不能构成三角形,舍去,②若腰为4,底为2,则周长为:4+4+2=10.16.如图,点A为函数y=(x>0)图象上一点,连接OA,交函数y=(x>0)的图象于点B,点C是x轴上一点,且AO=AC,则△ABC的面积为.答案617.如图,8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD,点O,A,B,C,D均在格点上.若用扇形OAB 围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为r1;若用扇形OCD围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥的底面半径为r 2,则的值为.答案解析∵2πr1=,2πr2=,∴r1=,r2=,∴.18.在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时,张红发现:从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍,于是她假设:S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①,然后在①式的两边都乘3,得3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②,②-①得3S―S=39-1,即2S=39-1,∴S=.得出答案后,爱动脑筋的张红想:如果把“3”换成字母m(m≠0且m≠1),能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2 016的值?如能求出,其正确答案是.答案解析设S=1+m+m2+m3+m4+…+m2016,①在①式的两边都乘m,得mS=m+m2+m3+m4+…+m2016+m2017,②②-①得mS―S=m2017-1.∴S=.三、解答题(一)(本大题共5小题,满分38分,写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19.(6分)化简:÷+1解÷+1===.20.(7分)在一次课题学习中,老师让同学们合作编题,某学习小组受赵爽弦图的启发,编写了下面这道题,请你来解一解:如图,将矩形ABCD的四边BA,CB,DC,AD分别延长至E,F,G,H,使得AE=CG,BF=DH,连接EF,FG,GH,HE.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形,且∠FEB=45°,tan∠AEH=2,求AE的长.(1)证明在矩形ABCD中,AD=BC,∠BAD=∠BCD=90°.∵BF=DH,∴AD+DH=BC+BF,即AH=CF.在Rt△AEH中,EH=.在Rt△CFG中,FG=.∵AE=CG,∴EH=FG.同理得EF=HG.∴四边形EFGH为平行四边形.(2)解在正方形ABCD中,AB=AD=1.设AE=x,则BE=x+1.在Rt△BEF中,∵∠FEB=45°,∴BE=BF.∵BF=DH,∴DH=BE=x+1.∴AH=AD+DH=x+2.∵tan∠AEH=2,∴AH=2AE.∴2+x=2x,∴x=2.即AE=2.21.(8分)某中学要为学校科技活动小组提供实验器材,计划购买A型、B型两种型号的放大镜.若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元;若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元.(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元;(2)某中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个,总费用不超过1 180元,那么最多可以购买多少个A型放大镜?解(1)设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元,y元,可得解得答:每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元,12元;(2)设购买A型放大镜a个,根据题意可得20a+12×(75-a)≤1180,解得a≤35,答:最多可以购买35个A型放大镜.22.(8分)小亮在某桥附近试飞无人机,如图,为了测量无人机飞行的高度AD,小亮通过操控器指令无人机测得桥头B,C的俯角分别为∠EAB=60°,∠EAC=30°,且D,B,C在同一水平线上.已知桥BC=30米,求无人机飞行的高度AD.(精确到0.01米.参考数据:≈1.414,≈1.732)解∵∠EAB=60°,∠EAC=30°,∴∠CAD=60°,∠BAD=30°,∴CD=AD·tan∠CAD=AD,BD=AD·tan∠BAD=AD,∴BC=CD-BD=AD=30,∴AD=15≈25.98(米).23.(9分)不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同),其中白球有2个,黄球有1个,现从中任意摸出一个是白球的概率为.(1)试求袋中蓝球的个数;(2)第一次任意摸一个球(不放回),第二次再摸一个球,请用画树状图或列表格法,求两次摸到都是白球的概率.解(1)设袋中蓝球的个数为x,∵从中任意摸出一个是白球的概率为,∴,解得x=1,∴袋中蓝球的个数为1;(2)画树状图:∵共有12种等可能的结果,两次都是摸到白球的有2种情况,∴两次都是摸到白球的概率为:.四、解答题(二)(本大题共5小题,满分50分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)24.(9分)为响应党的“文化自信”号召,某校开展了古诗词诵读大赛活动,现随机抽取部分同学的成绩进行统计,并绘制成如下的两个不完整的统计图,请结合图中提供的信息,解答下列问题:(1)直接写出a的值,a=,并把频数分布直方图补充完整.(2)求扇形B的圆心角度数.(3)如果全校有2 000名学生参加这次活动,90分以上(含90分)为优秀,那么估计获得优秀奖的学生有多少人?解(1)∵被调查的总人数为10÷=50,∴D等级人数所占百分比a%=×100%=30%,即a=30,C等级人数为50-(5+7+15+10)=13,补全图形如下:故答案为:30;(2)扇形B的圆心角度数为360°×=50.4°;(3)估计获得优秀奖的学生有2000×=400人.25.(9分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于第二、四象限A,B两点,过点A作AD⊥x轴于D,AD=4,sin∠AOD=,且点B的坐标为(n,-2).(1)求一次函数与反比例函效的解析式;(2)E是y轴上一点,且△AOE是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的E点坐标.解(1)∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=图象交于A与B,且AD⊥x轴,∴∠ADO=90°,在Rt△ADO中,AD=4,sin∠AOD=,∴,即AO=5,根据勾股定理得DO==3,∴A(-3,4),代入反比例解析式得m=-12,即y=-,把B坐标代入得n=6,即B(6,-2),代入一次函数解析式得解得即y=-x+2;(2)当OE3=OE2=AO=5,即E2(0,-5),E3(0,5);当OA=AE1=5时,得到OE1=2AD=8,即E1(0,8);当AE4=OE4时,由A(-3,4),O(0,0),得到直线AO解析式为y=-x,中点坐标为(-1.5,2), ∴AO垂直平分线方程为y-2=x+,令x=0,得到y=,即E40,,综上,当点E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或0,时,△AOE是等腰三角形.26.(10分)如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于点F.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.(1)证明∵AD∥BC,AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形,∵∠BAC=90°,E是BC的中点,∴AE=CE=BC,∴四边形AECD是菱形;(2)解过A作AH⊥BC于点H,∵∠BAC=90°,AB=6,BC=10,∴AC==8,∵S△ABC=BC·AH=AB·AC,∴AH=,∵点E是BC的中点,BC=10,四边形AECD是菱形,∴CD=CE=5,∵S▱AECD=CE·AH=CD·EF,∴EF=AH=.27.(10分)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB是☉O的直径,点P在CA的延长线上,∠CAD=45°.(1)若AB=4,求的长;(2)若,AD=AP,求证:PD是☉O的切线.(1)解连接OC,OD,∵∠COD=2∠CAD,∠CAD=45°,∴∠COD=90°,∵AB=4,∴OC=AB=2,∴的长==π.(2)证明∵,∴∠BOC=∠AOD,∵∠COD=90°,∴∠AOD==45°.∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°,∴∠ODA==67.5°.∵AD=AP,∴∠ADP=∠APD,∵∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°,∴∠ADP=∠CAD=22.5°,∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°,∵OD是半径,∴PD是☉O的切线.28.(12分)已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.解(1)∵抛物线过点B(6,0),C(-2,0),∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2),将点A(0,6)代入,得-12a=6,解得a=-,∴抛物线解析式为y=-(x-6)(x+2)=-x2+2x+6;(2)如图1,过点P作PM⊥OB于点M,交AB于点N,作AG⊥PM于点G,图1设直线AB解析式为y=kx+b,将点A(0,6),B(6,0)代入,得解得则直线AB解析式为y=-x+6,设P t,-t2+2t+6其中0<t<6,则N(t,-t+6),∴PN=PM-MN=-t2+2t+6-(-t+6)=-t2+2t+6+t-6=-t2+3t, ∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN·AG+PN·BM=PN·(AG+BM)=PN·OB=×-t2+3t×6=-t2+9t=-(t-3)2+,∴当t=3时,△PAB的面积有最大值;(3)如图2,图2∵PH⊥OB于点H,∴∠DHB=∠AOB=90°,∴DH∥AO,∵OA=OB=6,∴∠BDH=∠BAO=45°,∵PE∥x轴、PD⊥x轴,∴∠DPE=90°,若△PDE为等腰直角三角形,则∠EDP=45°,∴∠EDP与∠BDH互为对顶角,即点E与点A重合, 则当y=6时,-x2+2x+6=6,解得x=0(舍去)或x=4,即点P(4,6).。
2019年甘肃省中考数学试卷(word版,含答案解析)
2019年甘肃省中考数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个图案中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.在0，2，−3，−1这四个数中，最小的数是()2A. 0B. 2C. −3D. −123.使得式子x有意义的x的取值范围是()√4−xA. x≥4B. x>4C. x≤4D. x<44.计算(−2a)2⋅a4的结果是()A. −4a6B. 4a6C. −2a6D. −4a85.如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，那么∠2的度数是()A. 48°B. 78°C. 92°D. 102°6.已知点P(m+2,2m−4)在x轴上，则点P的坐标是()A. (4,0)B. (0,4)C. (−4,0)D. (0,−4)7.若一元二次方程x2−2kx+k2=0的一根为x=−1，则k的值为()A. −1B. 0C. 1或−1D. 2或08.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=()A. 54°B. 64°C. 27°D. 37°9.甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是()参加人数平均数中位数方差甲459493 5.3乙459495 4.8A. 甲、乙两班的平均水平相同B. 甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定D. 甲班成绩优异的人数比乙班多10.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac>0，②2a+b>0，③4ac<b2，④a+b+c<0，⑤当x>0时，y随x的增大而减小，其中正确的是()A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ③④⑤二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.分解因式：x3y−4xy=______．12.不等式组{2−x≥02x>x−1的最小整数解是______．13.分式方程3x+1=5x+2的解为______．14.在△ABC中∠C=90°，tanA=√33，则cosB=______．15.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的表面积为______．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为______．17.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为______．18. 如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n =______．三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）19. 计算：(−12)−2+(2019−π)0−√33tan60°−|−3|．四、解答题（本大题共9小题，共62.0分）20. 如图，在△ABC 中，点P 是AC 上一点，连接BP ，求作一点M ，使得点M 到AB 和AC 两边的距离相等，并且到点B 和点P 的距离相等．(不写作法，保留作图痕迹)21. 中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？22. 为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm ～300mm 含(300mm)，高度的范围是120mm ～150mm(含150mm).如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB =CD ，AC =900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423)23.在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m,n)可能的结果；(2)若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？24.良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩(百分制)如下：七年级：74，81，75，76，70，75，75，79，81，70，74，80，91，69，82八年级：81，94，83，77，83，80，81，70，81，73，78，82，80，70，50整理数据：80906080及格，60分以下为不及格)分析数据：得出结论：(1)根据上述数据，将表格补充完整；(2)可以推断出______年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；(3)若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．25.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m的图象相交于A(−1,n)、xB(2,−1)两点，与y轴相交于点C．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；(3)若M(x1,y1)、N(x2,y2)是反比例函数y=m上的两点，当x1<x2<0时，比较y2x与y1的大小关系．26.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．(1)证明：△ADG≌△DCE；(2)连接BF，证明：AB=FB．27.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．(1)求证：∠A=∠ADE；(2)若AD=8，DE=5，求BC的长．28.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.此图案是中心对称图形，符合题意；B.此图案不是中心对称图形，不合题意；C.此图案不是中心对称图形，不合题意；D.此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：根据实数比较大小的方法，可得<0<2，−3<−12所以最小的数是−3．故选：C．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．3.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使得式子有意义，则：4−x≥0，且4−x≠0，√4−x解得：x<4，即x的取值范围是：x<4．故选D．4.【答案】B【解析】解：(−2a)2⋅a4=4a2⋅a4=4a6．故选：B．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.【答案】D【解析】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1=48°，∴∠2=∠3=180°−48°−30°=102°．故选：D．直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．6.【答案】A【解析】解：∵点P(m+2,2m−4)在x轴上，∴2m−4=0，解得：m=2，∴m+2=4，则点P的坐标是：(4,0)．故选：A．直接利用关于x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．7.【答案】A【解析】解：把x=−1代入方程得：1+2k+k2=0，解得：k=−1，故选：A．把x=−1代入方程计算即可求出k的值．此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．8.【答案】C【解析】【分析】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．由∠AOC=126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【解答】解：∵∠AOC=126°，∴∠BOC=180°−∠AOC=54°，∵∠CDB=1∠BOC=27°．2故选：C．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义无法得出选项B，即B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．【解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；A正确；B、题干所给的信息无法得到甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；B不正确；C、甲班的方差大于乙班的方差，所以乙班的成绩比甲班的成绩稳定；C不正确；D、乙班的中位数等于95大于甲班的中位数，甲班成绩优异的人数比乙班少；D不正确；故选A．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】解：①由图象可知：a >0，c <0， ∴ac <0，故①错误； ②由于对称轴可知：−b2a <1，∴2a +b >0，故②正确；③由于抛物线与x 轴有两个交点， ∴△=b 2−4ac >0，故③正确；④由图象可知：x =1时，y =a +b +c <0， 故④正确；⑤当x >−b2a 时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误； 故选：C ．11.【答案】xy(x +2)(x −2)【解析】解：x 3y −4xy ， =xy(x 2−4)，=xy(x +2)(x −2)．先提取公因式xy ，再利用平方差公式对因式x 2−4进行分解．本题是考查学生对分解因式的掌握情况．因式分解有两步，第一步提取公因式xy ，第二步再利用平方差公式对因式x 2−4进行分解，得到结果xy(x +2)(x −2)，在作答试题时，许多学生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式． 12.【答案】0【解析】解：不等式组整理得：{x ≤2x >−1，∴不等式组的解集为−1<x ≤2， 则最小的整数解为0， 故答案为：0求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13.【答案】12【解析】解：去分母得：3x +6=5x +5， 解得：x =12，经检验x =12是分式方程的解． 故答案为：12．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14.【答案】12【解析】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=√33，设a=√3x，b=3x，则c=2√3x，∴cosB=ac =12．故答案为：12．本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值．15.【答案】(18+2√3)cm2【解析】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为√3cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×12×2×√3=18+2√3(cm2).故答案为(18+2√3)cm2．由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．16.【答案】【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，CA=CB=2，∴AB=2√2，∠A=∠B=45°，∵D是AB的中点，∴AD=DB=√2，，故答案为：．根据S阴影=S△ABC−2⋅S扇形ADE，计算即可．本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．17.【答案】103【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，翻折问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．设CE=x，则BE=6−x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=10，所以AF=8，BF=AB−AF=10−8=2，在Rt△BEF中利用勾股定理列式求出x的值即可求解．【解答】解：设CE=x，则BE=6−x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=10，在Rt△DAF中，AD=6，DF=10，由勾股定理得AF=8，∴BF=AB−AF=10−8=2，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即(6−x)2+22=x2，，解得x=103．故答案为10318.【答案】1010【解析】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2−1=3个．第3幅图中有2×3−1=5个．第4幅图中有2×4−1=7个．….可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有(2n−1)个．当图中有2019个菱形时，2n−1=2019，n=1010，故答案为：1010．根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2−1=3个，第3幅图中有2×3−1=5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．19.【答案】解：原式=4+1−√3×√3−3，3=1．【解析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：如图，点M即为所求．【解析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．21.【答案】解：设共有x人，根据题意得：x3+2=x−92，去分母得：2x+12=3x−27，解得：x=39，∴39−92=15，答：共有39人，15辆车．【解析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解决本题的关键．设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．22.【答案】解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB//CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD⋅cos65°=900×0.423≈381，DM=BD⋅sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120<127<150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260<272<300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．23.【答案】解：(1)树状图如图所示：(2)方程x2−5x+6=0的解为x=2或者3，若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，则m=2，n=2，或m=3，n=3，或m=2，n=3，或m=3，n=2若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，则m=1，n=4，或m=4，n=4；由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2−5x+6=0的解的结果有4个，m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果有2个，小明获胜的概率为412=13，小利获胜的概率为212=16，∴小明获胜的概率大．【解析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出m ，n 都是方程x 2−5x +6=0的解和m ，n 都不是方程x 2−5x +6=0的解的结果数，然后根据概率公式求解． 24.【答案】(1)76.8 81；(2) 八；(3)若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数=300×115=20(人)．【解析】解：(1)七年级的平均数为115(74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82)=76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；(2)八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；(3)见答案．【分析】(1)由平均数和众数的定义即可得出结果；(2)从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；(3)由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． 25.【答案】解：(1)∵反比例函数y =m x 经过点B(2,−1)，∴m =−2，∵点A(−1,n)在y =−2x 上，∴n =2，∴A(−1,2)，把A ，B 坐标代入y =kx +b ，则有{−k +b =22k +b =−1， 解得{k =−1b =1， ∴一次函数的解析式为y =−x +1，反比例函数的解析式为y =−2x ．(2)∵直线y =−x +1交y 轴于C ，∴C(0,1)，∵D ，C 关于x 轴对称，∴D(0,−1)，∵B(2,−1)∴BD//x 轴，∴S△ABD=1×2×3=3．2(3)∵M(x1,y1)、N(x2,y2)是反比例函数y=−2上的两点，且x1<x2<0，此时y随xx的增大而增大，∴y1<y2．【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用反比例函数的性质，比较函数值的大小．(1)利用待定系数法即可解决求问题．(2)先求出C点，再根据对称性求出点D坐标，发现BD//x轴，利用三角形的面积公式计算即可．(3)利用反比例函数图象的性质即可解决问题．26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG=∠C=90°，AD=DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF，∴∠DAG=∠CDE，∴△ADG≌△DCE(ASA)；(2)如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE=CE，又∵∠C=∠HBE=90°，∠DEC=∠HEB，∴△DCE≌△HBE(ASA)，∴BH=DC=AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH=90°，AH=AB．∴Rt△AFH中，BF=12【解析】(1)依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC，∠DAG=∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；(2)延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB=FB．本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及直角三角形斜边上中线的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．27.【答案】(1)证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．(2)解：连接CD．∵∠ADE=∠A，∴AE =DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB =90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED =EC ，∴AE =EC ，∵DE =5，∴AC =2DE =10，在Rt △ADC 中，DC =6，设BD =x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+62，在Rt △ABC 中，BC 2=(x +8)2−102， ∴x 2+62=(x +8)2−102，解得x =92，∴BC =√62+(92)2=152．【解析】(1)只要证明∠A +∠B =90°，∠ADE +∠B =90°即可解决问题；(2)首先证明AC =2DE =10，在Rt △ADC 中，DC =6，设BD =x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+62，在Rt △ABC 中，BC 2=(x +8)2−102，可得x 2+62=(x +8)2−102，解方程即可解决问题．本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28.【答案】解：(1)用交点式函数表达式得：y =(x −1)(x −3)=x 2−4x +3； 故二次函数表达式为：y =x 2−4x +3；(2)①当AB 为平行四边形一条边时，如图1，则AB =PE =2，则点P 坐标为(4,3)，当点P 在对称轴左侧时，即点C 的位置，点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形， 故：点P(4,3)或(0,3)；②当AB 是四边形的对角线时，如图2，AB 中点坐标为(2,0)设点P 的横坐标为m ，点F 的横坐标为2，其中点坐标为：m+22，即：m+22=2，解得：m =2，故点P(2,−1)；故：点P(4,3)或(0,3)或(2,−1)； (3)直线BC 的表达式为：y =−x +3，设点E 坐标为(x,x 2−4x +3)，则点D(x,−x +3)，S 四边形AEBD =12AB(y D −y E )=−x +3−x 2+4x −3=−x 2+3x ， ∵−1<0，故四边形AEBD 面积有最大值，当x =32，其最大值为94，此时点E(32,−34).【解析】(1)用交点式函数表达式，即可求解；(2)分当AB 为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；(3)利用S 四边形AEBD =12AB(y D −y E )，即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
甘肃省兰州市2019年中考复习数学试卷(含答案解析)
甘肃省兰州市2019年中考复习数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.的绝对值是A. B. C. 2018 D.【答案】C【解析】【分析】根据数a的绝对值是指数轴表示数a的点到原点的距离进行解答即可得.【详解】数轴上表示数-2018的点到原点的距离是2018，所以-2018的绝对值是2018，故选C.【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键.2.如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，观察即可得答案．【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，如图所示，故选A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是明确从正面看得到的视图是主视图．3.据中国电子商务研究中心发布年度中国共享经济发展报告显示，截止2017年12月，共有190家共享经济平台获得亿元投资，数据亿元用科学记数法可表示为A. 元B. 元C. 元D. 元【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】亿=115956000000，所以亿用科学记数法表示为1.15956×1011，故选C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.下列二次根式中，是最简二次根式的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】A.不是最简二次根式，错误；B.是最简二次根式，正确；C.不是最简二次根式，错误；D.不是最简二次根式，错误，故选B．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．5.如图，，，，则的度数是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2的度数．【详解】，，，，=180°-∠ACD-∠CAD=，故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，正确得出的度数是解题关键．6.下列计算正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单项式乘法法则、同底数幂的乘法、积的乘方、整式的混合运算的法则逐项进行计算即可得. 【详解】A.，故A选项错误；B.，故B选项错误；C.，故C选项错误；D. a2+a2=2a2，故D选项正确，故选D．【点睛】本题考查了单项式乘以单项式、积的乘方、和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．7.如图，边长为4的等边中，D.E分别为AB，AC的中点，则的面积是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE和△ABC相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC的面积．【详解】等边的边长为4，，点D，E分别是的边AB，AC的中点，是的中位线，，，，，即，∽，相似比为，故：：4，即，故选A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．8.如图，矩形ABCD中，，，且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图，过点D作，垂足为G，则，首先证明≌，由全等三角形的性质可得到，设，则，在中依据勾股定理列方程求解即可．【详解】如图所示：过点D作，垂足为G，则，，，，≌，，设，则，在中，，，解得：，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质，依据题意列出关于x的方程是解题的关键．9.如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若，，则为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果．【详解】，，由折叠可得，，又，，又，中，，，故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键．10.关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是A. B. C. 且 D. 且【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．【详解】分式方程去分母得：，即，因为分式方程解为负数，所以，且，解得：且，故选D．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0．11.如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论；；；；的实数其中正确结论的有A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．【详解】对称轴在y轴的右侧，，由图象可知：，，故不正确；当时，，，故正确；由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确；，，，，，故不正确；当时，y的值最大此时，，而当时，，所以，故，即，故正确，故正确，故选B．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．12.如图，抛物线与x轴交于点A.B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B.D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出的解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案.【详解】抛物线与x轴交于点A.B，∴=0，∴x1=5，x2=9，，抛物线向左平移4个单位长度后的解析式，当直线过B点，有2个交点，，，当直线与抛物线相切时，有2个交点，，，相切，，，如图，若直线与、共有3个不同的交点，--，故选C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键.二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】先提公因式y，然后再利用平方差公式进行分解即可.【详解】==，故答案为：.【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14.不等式组的解集为______【答案】【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】，解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”找出不等式组的解集是解此题的关键．15.如图，的外接圆O的半径为3，，则劣弧的长是______结果保留【答案】【解析】【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求，根据弧长公式可求劣弧的长．【详解】，，，根据弧长公式的长，故答案为：.【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式等，熟练掌握弧长公式是解题的关键.16.如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足，连接AC交BN于点E，连接DE交AM 于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是______．【答案】【解析】【分析】先判断出≌，得出，进而判断出≌，得出，即可判断出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．【详解】如图，在正方形ABCD中，，，，在和中，，≌，，在和中，，≌，，，，，，取AD的中点O，连接OF、OC，则，在中，，根据三角形的三边关系，，当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出CF最小时点F的位置是解题关键．三、解答题17.算：【答案】．【解析】【分析】按顺序依次进行负指数幂的运算、0指数幂的运算、绝对值的化简、代入特殊角的三角函数值，然后再按顺序进行计算即可得.【详解】45°=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了负指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.18.解方程：．【答案】，.【解析】【分析】先找出a，b，c，再求出b2-4ac=28，根据求根公式即可求出答案．【详解】a=3，b=-2，c=-2，b2-4ac=（-2）2-4×3×（-2）=28>0，∴x==，，.【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键.19.先化简，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的除法运算，最后把x的值代入进行计算即可得. 【详解】，，，，，当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键. 20.某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月按30天计算，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x 天且x为整数的销售量为y件．直接写出y与x的函数关系式；设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？【答案】；第20天的利润最大，最大利润是3200元．【解析】【分析】(1)根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；(2)根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，即可得出结论．【详解】由题意可知；根据题意可得：，，，，函数有最大值，当时，w有最大值为3200元，第20天的利润最大，最大利润是3200元．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用和二次函数的应用，弄清题意，找到关键描述语，找准等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．21.如图，在中．利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离的长等于PC的长；利用尺规作图，作出中的线段PD．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑【答案】作图见解析；（2）作图见解析.【解析】【分析】由点P到AB的距离的长等于PC的长知点P在平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得（以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与AC.AB分别交于一点，然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点A及这个交点作射线交BC于点P，P即为要求的点）；根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得（以点P为圆心，以大于点P到AB的距离为半径画弧，与AB交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离一半长为半径画弧，两弧在AB的一侧交于一点，过这点以及点P作直线与AB交于点D，PD即为所求）．【详解】如图，点P即为所求；如图，线段PD即为所求．【点睛】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题．22.学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表借阅图书的次0次1次2次3次4次及以上数人数7 13 a 10 3请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：______，______．该调查统计数据的中位数是______，众数是______．请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．【答案】17.20；2次、2次；；人．【解析】【分析】(1)先由借阅1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；(2)根据中位数和众数的定义求解；(3)用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；(4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．【详解】被调查的总人数为人，，，即，故答案为：17.20；由于共有50个数据，其中位数为第25.26个数据的平均数，而第25.26个数据均为2次，所以中位数为2次，出现次数最多的是2次，所以众数为2次，故答案为：2次、2次；扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为；估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为人．【点睛】本题考查了统计表、扇形统计图、众数、中位数等，读懂统计图、统计表，从中得到必要的信息是解决问题的关键.注意众数与中位数的求解方法.23.在一个不透明的布袋里装有4个标有1.2.3.4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标画树状图列表，写出点M所有可能的坐标；求点在函数的图象上的概率．【答案】见解析；．【解析】【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；(2)找出点(x，y)在函数y=x+1的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案．【详解】画树状图得：共有12种等可能的结果、、、、、、、、、、、；在所有12种等可能结果中，在函数的图象上的有、、这3种结果，点在函数的图象上的概率为．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．24.如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为，，求CD的高度结果保留根号【答案】CD的高度是米．【解析】【分析】作于点F，设米，在直角中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角中表示出CE的长，然后根据即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．【详解】如图，作于点F，设米，在中，，则，在直角中，米，在直角中，，则米，，即，解得：，则米，答：CD的高度是米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度是解题的关键.25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．求一次函数和反比例函数的表达式；请直接写出时，x的取值范围；过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．【答案】反比例函数的解析式为，一次函数解析式为：；当或时，；当点C的坐标为或时，．【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出k，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)利用数形结合思想，观察直线在双曲线上方的情况即可进行解答；(3)根据直角三角形的性质得到∠DAC=30°，根据正切的定义求出CD，分点C在点D的左侧、点C在点D的右侧两种情况解答．【详解】点在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为，点在反比例函数的图象上，，则点B的坐标为，由题意得，，解得，，则一次函数解析式为：；由函数图象可知，当或时，；，，，由题意得，，在中，，即，解得，，当点C在点D的左侧时，点C的坐标为，当点C在点D的右侧时，点C的坐标为，当点C的坐标为或时，．【点睛】本题考查不一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键．26.如图，在中，过点C作，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．若，，，求AB的长．【答案】证明见解析；．【解析】【分析】由E是AC的中点知，由知，据此根据“AAS”即可证≌，从而得，结合即可得证；证∽得，据此求得，由及可得答案．【详解】是AC的中点，，，，在和中，，≌，，又，即，四边形AFCD是平行四边形；，∽，，即，解得：，四边形AFCD是平行四边形，，．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.27.如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，．求证：DC为的切线；线段DF分别交AC，BC于点E，F且，的半径为5，，求CF的长．【答案】证明见解析；．【解析】【分析】根据圆周角定理得：，根据同圆的半径相等和已知相等的角代换可得：，可得结论；先根据三角函数计算，，证明∽，得，设，，利用勾股定理列方程可得x的值，证明∽，列比例式可得CF的长．【详解】（1）如图，连接OC，为的直径，，，，，，，即，为的切线；中，，，，，，，∽，，设，，中，，，舍或，，，，设，，，，，∽，，，，．【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等，正确添加辅助线、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.28.如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．求抛物线的表达式；求证：AB平分；抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】抛物线的解析式为；证明见解析；点M的坐标为或．【解析】【分析】将，代入抛物线的解析式得到关于A.b的方程组，从而可求得A.b的值；先求得AC的长，然后取，则，连接BD，接下来，证明，然后依据SSS可证明≌，接下来，依据全等三角形的性质可得到；作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作，作，分别交抛物线的对称轴与、M，依据点A和点B的坐标可得到，从而可得到或，从而可得到FM和的长，故此可得到点和点M的坐标．【详解】将，代入得：，解得：，，抛物线的解析式为；，，，取，则，由两点间的距离公式可知，，，，，在和中，，，，≌，，平分；如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．抛物线的对称轴为，则．，，，，，，，同理：，又，，，点M的坐标为或．【点睛】本题考查的是二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义等，熟练掌握相关知识、正确添加辅助线、运用分类讨论思想与数形结合思想是解题的关键.。
甘肃 2019年中考数学 真题(含答案)
甘肃2019年中考数学一、选择题1.在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是()A．0B．2C．﹣3D．﹣2.下列四个图案中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．3.使得式子有意义的x的取值范围是()A．x≥4B．x＞4C．x≤4D．x＜44.已知点P(m+2，2m﹣4)在x轴上，则点P的坐标是()A．(4，0)B．(0，4)C．(﹣4，0)D．(0，﹣4)5.计算(﹣2a)2•a4的结果是()A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a86.如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，那么∠2的度数是()A．48°B．78°C．92°D．102°7.若一元二次方程x2﹣2kx+k2=0的一根为x=﹣1，则k的值为()A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或08.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=()A．54°B．64°C．27°D．37°9.甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是()A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多10.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象.对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小.其中正确的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤二、填空题11.分解因式：x3y﹣4xy=．12.不等式组的最小整数解是．13.分式方程=的解为．14.在△ABC中∠C=90°，tanA=，则cosB=．15.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．17.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB 边上的F处，则CE的长为．18.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=．三、计算题19.计算：(﹣)﹣2+(2019﹣π)0﹣tan60°﹣|﹣3|．四、作图题20.如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．(不写作法，保留作图痕迹)五、解答题21.经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？22.为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含(300mm)，高度的范围是120mm～150mm(含150mm)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423)23.在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能的结果；(2)若m，n都是方程x2﹣5x+6=0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6=0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？24.良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩(百分制)如下：整理数据：(说明：90分及以上为优秀，80～90分为良好，60～80分为及格，60分以下为不及格)分析数据：得出结论：(1)根据上述数据，将表格补充完整；(2)可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；(3)若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．25.如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=的图象相交于A(﹣1，n)、B(2，﹣1)两点，与y 轴相交于点C．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积；(3)若M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)是反比例函数y=上的两点，当x 1＜x 2＜0时，比较y 2与y 1的大小关系．26.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE，过点A 作AG⊥ED 交DE 于点F，交CD 于点G．(1)证明：△ADG≌△DCE；(2)连接BF，证明：AB=FB．27.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D，切线DE 交AC 于点E．(1)求证：∠A=∠ADE；(2)若AD=8，DE=5，求BC 的长．六、综合题28.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．参考答案1.答案为：C.2.答案为：A.3.答案为：D.4.答案为：A.5.答案为：B.6.答案为：D.7.答案为：A.8.答案为：C.9.答案为：A.10.答案为：C.11.答案为：xy(x+2)(x﹣2)．12.答案为：013.答案为：．14.答案为：．15.答案为：(18+2)cm2．16.答案为：2﹣17.答案为：．18.答案为：1010．解析：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1=3个．第3幅图中有2×3﹣1=5个．第4幅图中有2×4﹣1=7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有(2n﹣1)个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1=2019，n=1010，故答案为：1010．19.原式=1．20.解：如图，点M即为所求，21.解：设共有x人，根据题意得：+2=，去分母得：2x+12=3x﹣27，解得：x=39，∴=15，则共有39人，15辆车．22.解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．23.解：(1)树状图如图所示：(2)∵m，n都是方程x2﹣5x+6=0的解，∴m=2，n=3，或m=3，n=2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6=0的解的结果有2个，m，n都不是方程x2﹣5x+6=0的解的结果有2个，小明获胜的概率为=，小利获胜的概率为=，∴小明、小利获胜的概率一样大．24.解：(1)七年级的平均数为(74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82)=76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；(2)八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；(3)若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数=300×=20(人)．25.解：(1)∵反比例函数y=经过点B(2，﹣1)，∴m=﹣2，∵点A(﹣1，n)在y=上，∴n=2，∴A(﹣1，2)，把A，B 坐标代入y=kx+b，则有，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1，反比例函数的解析式为y=﹣．(2)∵直线y=﹣x+1交y 轴于C，∴C(0，1)，∵D，C 关于x 轴对称，∴D(0，﹣1)，∵B(2，﹣1)∴BD∥x 轴，∴S △ABD =×2×3=3．(3)∵M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)是反比例函数y=﹣上的两点，且x 1＜x 2＜0，∴y 1＜y 2．26.解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADG=∠C=90°，AD=DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF，∴∠DAG=∠CDE，∴△ADG≌△DCE(ASA)；(2)如图所示，延长DE 交AB 的延长线于H，∵E 是BC 的中点，∴BE=CE，又∵∠C=∠HBE=90°，∠DEC=∠HEB，∴△DCE≌△HBE(ASA)，∴BH=DC=AB，即B 是AH 的中点，又∵∠AFH=90°，∴Rt△AFH 中，BF=AH=AB．27.(1)证明：连接OD，∵DE 是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．(2)解：连接CD．∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB=90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=5，∴AC=2DE=10，在Rt△ADC中，DC=6，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+62，在Rt△ABC中，BC2=(x+8)2﹣102，∴x2+62=(x+8)2﹣102，解得x=，∴BC==．28.解：(1)用交点式函数表达式得：y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y=x2﹣4x+3；(2)①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB=PE=2，则点P坐标为(4，3)，当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P(4，3)或(0，3)；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为(2，0)设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：=2，解得：m=2，故点P(2，﹣1)；故：点P(4，3)或(0，3)或(2，﹣1)；(3)直线BC的表达式为：y=﹣x+3，设点E坐标为(x，x2﹣4x+3)，则点D(x，﹣x+3)，S四边形AEBD=AB(yD﹣yE)=﹣x+3﹣x2+4x﹣3=﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x=，其最大值为，此时点E(，﹣)．第11页共11页。
(课标通用)甘肃省2019年中考数学总复习优化设计模拟测试2及参考答案
2019年中考模拟测试(二)(考试用时:90分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项)1.在下列四个实数中,最大的数是()A.-3B.0C.D.答案C解析根据题意得-3<0<,则最大的数是.故选C.2.地球与月球之间的平均距离大约为384 000 km,384 000用科学记数法可表示为()A.3.84×103B.3.84×104C.3.84×105D.3.84×106答案C解析384000=3.84×105.故选C.3.在学习《图形变化的简单应用》这一节时,老师要求同学们利用图形变化设计图案.下列设计的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()答案C解析A.是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;B.是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项错误;C.不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确;D.是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项错误.故选C.4.下列等式正确的是()A.()2=3B.=-3C.=3D.(-)2=-3答案A解析()2=3,A正确;=3,B错误;=3,C错误;(-)2=3,D错误;故选A.5.六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其俯视图是()答案B解析俯视图从左到右分别是2,1,2个正方形.故选B.6.如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为()A. B.C. D.答案B解析设AC=x,在Rt△ABC中,AB=.在Rt△ACD中,AD=,则,故选B.7.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为()A.6B.5C.4D.3答案B解析∵a=1,b=2,c=m-2,关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有实数根∴Δ=b2-4ac=22-4(m-2)=12-4m≥0,∴m≤3.∵m为正整数,且该方程的根都是整数,∴m=2或3.∴2+3=5.故选B.8.如图,▱ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为()A.15B.18C.21D.24答案A解析∵平行四边形ABCD的周长为36,∴BC+CD=18,∵OD=OB,DE=EC,∴OE+DE=(BC+CD)=9,∵BD=12,∴OD=BD=6,∴△DOE的周长为9+6=15,故选A.9.如图,在☉O中,AE是直径,半径OC垂直于弦AB于D,连接BE,若AB=2,CD=1,则BE的长是 () A.5 B.6C.7D.8答案B解析∵半径OC垂直于弦AB,∴AD=DB=AB=,在Rt△AOD中,OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+()2,解得OA=4.∴OD=OC-CD=3,∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6,故选B.10.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(-1,0),B(2,-6)两点,P为反比例函数y=图象上的一个动点,O为坐标原点,过P作y轴的垂线,垂足为C,则△PCO的面积为()A.2B.4C.8D.不确定答案A解析如图,把点A(-1,0),B(2,-6)代入y=kx+b(k≠0)得y=-2x-2,即k=-2,b=-2.所以反比例函数表达式为y=.设P(m,n),则mn=4,故△PCO的面积为OC·PC=mn=2.二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分,请把答案填在横线上)11.分解因式:x3-4xy2=.答案x(x+2y)(x-2y)解析原式=x(x2-4y2)=x(x+2y)(x-2y).12.化简代数式:÷=.答案2x+4解析原式==3(x+1)-(x-1)=2x+4.13.如图,△ABC是一块直角三角板,∠BAC=90°,∠B=30°,现将三角板叠放在一把直尺上,使得点A 落在直尺的一边上,AB与直尺的另一边交于点D,BC与直尺的两边分别交于点E,F.若∠CAF=20°,则∠BED的度数为°.答案80解析∵DE∥AF,∴∠BED=∠BFA,又∵∠CAF=20°,∠C=60°,∴∠BFA=20°+60°=80°,∴∠BED=80°.14.在平面直角坐标系中,将点(3,-2)先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,则所得的点的坐标是.解析∵点(3,-2)先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,∴所得的点的坐标为:(5,1).15.若关于x的一元一次不等式组有2个负整数解,则a的取值范围是.答案-3≤a<-2解析∵解不等式①得x>a,解不等式②得x<2,又∵关于x的一元一次不等式组有2个负整数解,∴-3≤a<-2.16.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3 cm,AC=5 cm,将△ABC折叠,使点C与A重合,得折痕DE,则△ABE的周长等于cm.答案7解析在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3cm,AC=5cm,由勾股定理,得BC==4.由翻折的性质,得CE=AE.△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7.17.我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,译文为:“现有几个人共同购买一个物品,每人出8元,则多3元;每人出7元,则差4元.问这个物品的价格是多少元?”该物品的价格是元.答案53解析设该商品的价格是x元,共同购买该物品的有y人,根据题意得解得18.已知:2+=22×,3+=32×,4+=42×,5+=52×,…,若10+=102×符合前面式子的规律,则a+b=.解析根据题中材料可知,∵10+=102×,∴b=10,a=99,a+b=109.三、解答题(一)(本大题共5小题,满分38分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19.(6分)计算:2sin 30°-(π-)0+|-1|+-1解原式=2×-1+-1+2=1+.20.(7分)先化简,再求值:(x+y)(x-y)+y(x+2y)-(x-y)2,其中x=2+,y=2-.解(x+y)(x-y)+y(x+2y)-(x-y)2=x2-y2+xy+2y2-x2+2xy-y2=3xy,当x=2+,y=2-时,原式=3×(2+)(2-)=3.21.(8分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状,并说明理由.解(1)如图,△A1B1C1即为所求;(2)如图,△A2B2C2即为所求;(3)连接OA1,OB,A1B,三角形的形状为等腰直角三角形.∵OB=,OA1=,A1B=,OB=OA1,OB2+O=A1B2.∴△OA1B为等腰直角三角形.22.(8分)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=2x-2与双曲线y2=交于A,C两点,AB⊥OA交x轴于点B,且OA=AB.(1)求双曲线的解析式;(2)求点C的坐标,并直接写出y1<y2时x的取值范围.解(1)∵点A在直线y1=2x-2上,∴设A(x,2x-2),过A作AC⊥OB于C,∵AB⊥OA,且OA=AB,∴OC=BC,∴AC=OB=OC,∴x=2x-2,∴x=2,∴A(2,2),∴k=2×2=4,∴y2=;(2)∵解得∴C(-1,-4),由图象得y1<y2时x的取值范围是x<-1或0<x<2.23.(9分)如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图,她在A处时的风筝线(整个过程中风筝线近似地看作直线)与水平线构成30°角,线段AA1表示小红身高1.5米.(1)当风筝的水平距离AC=18米时,求此时风筝线AD的长度;(2)当她从点A跑动9米到达点B处时,风筝线与水平线构成45°角,此时风筝到达点E处,风筝的水平移动距离CF=10米,这一过程中风筝线的长度保持不变,求风筝原来的高度C1D.解(1)∵在Rt△ACD中,cos∠CAD=,AC=18,∠CAD=30°,∴AD==12(米),答:此时风筝线AD的长度为12米;(2)设AF=x米,则BF=AB+AF=(9+x)(米),在Rt△BEF中,BE==(18+x)(米),由题意知AD=BE=(18+x)(米),∵CF=10,∴AC=AF+CF=10+x,由cos∠CAD=可得,解得x=3+2,则AD=18+(3+2)=24+3,∴CD=AD sin∠CAD=(24+3)×,则C1D=CD+C1C=,答:风筝原来的高度C1D为米.四、解答题(二)(本大题共5小题,满分50分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)24.(9分)“每天锻炼一小时,健康生活一辈子”.为了选拔“阳光大课间”领操员,学校组织初中三个年级推选出来的15名领操员进行比赛,成绩如下表:成7 8910绩/分人2 544数(1)这组数据的众数是,中位数是.(2)已知获得10分的选手中,七、八、九年级分别有1人、2人、1人,学校准备从中随机抽取两人领操,求恰好抽到八年级两名领操员的概率.解(1)由于8分出现次数最多,所以众数为8分,中位数为第8个数,即中位数为9分, 故答案为:8分、9分;(2)画树状图如下:由树状图可知,共有12种等可能结果,其中恰好抽到八年级两名领操员的有2种结果,所以恰好抽到八年级两名领操员的概率为.25.(9分)初三上学期期末考试后,数学老师把一班的数学成绩制成如图所示不完整的统计图(满分120分,每组含最低分,不含最高分),并给出如下信息:①第二组频率是0.12;②第二、三组的频率和是0.48;③自左至右第三,四,五组的频数比为9∶8∶3;请你结合统计图解答下列问题:(1)全班学生共有人;(2)补全统计图;(3)如果成绩不少于90分为优秀,那么全年级700人中成绩达到优秀的大约多少人?(4)若不少于100分的学生可以获得学校颁发的奖状,且每班选派两名代表在学校新学期开学式中领奖,则该班得到108分的小强同学能被选中领奖的概率是多少?解(1)全班学生人数为6÷0.12=50人,故答案为:50;(2)第二、三组频数之和为50×0.48=24,则第三组频数为24-6=18,∵自左至右第三,四,五组的频数比为9∶8∶3,∴第四组频数为16.第五组频数为6,则第六组频数为50-(1+6+18+16+6)=3,补全图形如下:(3)全年级700人中成绩达到优秀的大约有700×=350(人);(4)小强同学能被选中领奖的概率是.26.(10分)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH 交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF.(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.(1)证明∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,∵BH⊥AE,∴∠BHE=90°,∴∠AEB+∠EBH=90°,∴∠BAE=∠EBH,在△ABE和△BCF中,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF;(2)解∵AB=BC=5,由(1)得△ABE≌△BCF,∴CF=BE=2,∴DF=5-2=3,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=5,∠ADF=90°,由勾股定理得AF=.27.(10分)如图,已知AB是☉O的直径,点C在☉O上,CD是☉O的切线,AD⊥CD于点D,E是AB延长线上的一点,CE交☉O于点F,连接OC,AC.(1)求证:AC平分∠DAO.(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.①求∠OCE的度数.②若☉O的半径为2,求线段EF的长.(1)证明∵直线CD与☉O相切,∴OC⊥CD.∵AD⊥CD,∴AD∥OC,∴∠DAC=∠OCA.∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OAC.即AC平分∠DAO.(2)解①∵AD∥OC,∠DAO=105°,∴∠EOC=∠DAO=105°.∵∠E=30°,∴∠OCE=45°.②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG,∵OC=2,∠OCE=45°.∴CG=OG=2,∴FG=2.∵在Rt△OGE中,∠E=30°,∴GE=2,∴EF=GE-FG=2-2.28.(12分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,-3).(1)求这个二次函数的表达式;(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,连接PC.①求线段PM的最大值;②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时,求点P的坐标.解(1)将A,B,C代入函数解析式,得解得这个二次函数的表达式y=x2-2x-3;(2)①设BC的解析式为y=kx+b,将B,C的坐标代入函数解析式,得解得BC的解析式为y=x-3,设M(n,n-3),P(n,n2-2n-3),PM=(n-3)-(n2-2n-3)=-n2+3n=-n-2+,当n=时,PM最大=;②当PM=PC时,(-n2+3n)2=n2+(n2-2n-3+3)2,解得n1=0(不符合题意,舍去),n2=-(不符合题意,舍去),n3=,n2-2n-3=2-2-3=-2-1,P(,-2-1).当PM=MC时,(-n2+3n)2=n2+(n-3+3)2,解得n1=0(不符合题意,舍去),n2=-7(不符合题意,舍去),n3=1, n2-2n-3=1-2-3=-4,P(1,-4);综上所述:P点坐标为(1,-4)或(,-2-1).。
2019年甘肃省中考数学真题试卷及答案
2019年中考数学一、选择题：本大题共15个小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()230x y y =?，则下面结论成立的是( ) A.32x y = B.23x y = C.23x y = D.23x y=2.如图所示，该几何体的左视图是( )[来%*源:中^@教网&]A B C D3.如图，一个斜坡长130m ，坡顶离水平地面的距离为50m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )[来源:*~&中%^教网]A.513 B.1213 C.512 D.13124.如图，在O ⊙中，AB BC =，点D 在O ⊙上，25CDB =∠°，则AOB =∠( )[中国教育出版^&@网*#]A.45°B.50°C.55°D.60°5.下表是一组二次函数235y x x =+-的自变量x 与函数值y 的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y 1- 0.49- 0.04 0.59 1.16 那么方程2350x x +-=的一个近似根是( )[ww~w.z@%zs*tep.c&om]A.1B.1.1C.1.2D.1.3[中^国教育出版&#网~@]6.如果一元二次方程2230x x m ++=有两个相等的实数根，那么是实数m 的取值为( )[w~ww.z#zs^te%p@.com] A.98m > B.89m > C.98m = D.89m =7.一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n 为( )A.20B.24C.28D.308.如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点D ，30ADB =∠°，4AB =，则OC =( )[来#%源&:~中教^网]A.5B.4C.3.5D.39.抛物线233y x =-向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为( )A.()2333y x =--B.23y x =C.()2332y x =+-D.236y x =-10.王叔叔从市场上买一块长80cm ，宽70cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长cm x 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为23000cm 的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为( )A.()()80703000x x --=B.2807043000x ?=C.()()8027023000x x --=D.()28070470803000x x ?-+=11.如图，反比例函数()0ky x x =<与一次函数4y x =+的图像交于A 、B 两点的横坐标分别为3-、1-，则关于x 的不等式()40kx x x <+<的解集为( )A.3x <-B.31x -<<-C.10x -<<D.3x <-或10x -<<12.如图，正方形ABCD 内接于半径为2的O ⊙，则图中阴影部分的面积为( )A.1p +B.2p +C.1p -D.2p -13.如图，小明为了测量一凉亭的高度AB (顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE (0.5DE BC ==米，,,A B C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得15CG =米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得3CG =米，小明身高 1.6EF =米，则凉亭的高度AB 约为( )A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米14.如图，在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，点G 在CD 上，2DE =，将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转60°，得到正方形'''DE F G ，此时点'G 在AC 上，连接'CE ，则''CE CG +=( )[来源:@中国%#教*育~出版网][来源:#*中教&网%~]A.26+B.31+C.32+D.36+15.如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB BC →方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE AE ^，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC y =，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是25，则矩形ABCD 的面积是( )图1 图2A.235 B.5 C.6 D.254二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）16.若反比例函数ky x =的图象过点()1,2-，则k = ．17.如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，位似中心点是O ，35OEOA =，则FGBC =.[来源:中国^%@教育出版~网&]18.如图，若抛物线2y ax bx c =++上的()4,0P ，Q 两点关于它的对称轴1x =对称，则Q 点的坐标为 .19.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件。
2019年甘肃省中考数学试卷 解析版
2019年甘肃省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．此图案是中心对称图形，符合题意；B．此图案不是中心对称图形，不合题意；C．此图案不是中心对称图形，不合题意；D．此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（）A．0B．2C．﹣3D．﹣【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣3＜﹣＜0＜2，所以最小的数是﹣3．故选：C．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．3．（3分）使得式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥4B．x＞4C．x≤4D．x＜4【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，解得：x＜4，即x的取值范围是：x＜4．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．4．（3分）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a8【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6．故选：B．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）【分析】直接利用关于x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，∴2m﹣4＝0，解得：m＝2，∴m+2＝4，则点P的坐标是：（4，0）．故选：A．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．7．（3分）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或0【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°【分析】由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）参加人数平均数中位数方差甲459493 5.3乙459495 4.8A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多【分析】由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义得出选项B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．【解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：A．【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x3y﹣4xy＝xy（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式xy，再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解．【解答】解：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．【点评】本题是考查学生对分解因式的掌握情况．因式分解有两步，第一步提取公因式xy，第二步再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解，得到结果xy（x+2）（x﹣2），在作答试题时，许多学生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式．12．（3分）不等式组的最小整数解是0．【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．【解答】解：不等式组整理得：，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则最小的整数解为0，故答案为：0【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（3分）分式方程＝的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x+6＝5x+5，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故答案为：．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14．（3分）在△ABC中∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，设a＝x，b＝3x，则c＝2x，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为（18+2）cm2．【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×＝18+2（cm2）．故答案为（18+2）cm2．【点评】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B 为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为2﹣．【分析】根据S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE，计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，∴AB＝2，∠A＝∠B＝45°，∵D是AB的中点，∴AD＝DB＝，∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE＝×2×2﹣2×＝2﹣，故答案为：2﹣【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE 折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．【分析】设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，所以AF＝8，BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝．【解答】解：设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，∴AF＝8，∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝，故答案为．【点评】本题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝1010．【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1＝2019，n＝1010，故答案为：1010．【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（﹣）﹣2+（2019﹣π）0﹣tan60°﹣|﹣3|．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝4+1﹣，＝1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．【解答】解：如图，点M即为所求，【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设共有x人，根据题意得：+2＝，去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，∴＝15，则共有39人，15辆车．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．【解答】解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，∵∠C＝65°，AC＝900，∴∠ABD＝65°，BD＝900，∴BM＝BD•cos65°＝900×0.423≈381，DM＝BD•sin65°＝900×0.906≈815，∵381÷3＝127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）树状图如图所示：（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为＝，小利获胜的概率为＝，∴小明、小利获胜的概率一样大．【点评】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方差的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：年级x＜6060≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100七年级01041八年级1581（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：年级平均数中位数众数七年级76.87575八年级77.58081得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出八年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．【解答】解：（1）七年级的平均数为（74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82）＝76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×＝20（人）．【点评】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．（2）根据对称性求出点D坐标，发现BD∥x轴，利用三角形的面积公式计算即可．（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，∵点A（﹣1，n）在y＝上，∴n＝2，∴A（﹣1，2），把A，B坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣．（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）∴BD∥x轴，∴S△ABD＝×2×3＝3．（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小．26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED 交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴BC＝＝．【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E），即可求解．【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2019年甘肃省中考数学试卷--(附解析答案)
2019年甘肃省中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（）A．0B．2C．﹣3D．﹣3．（3分）使得式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥4B．x＞4C．x≤4D．x＜44．（3分）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a85．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）7．（3分）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或08．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）参加人数平均数中位数方差甲459493 5.3乙459495 4.8A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x3y﹣4xy＝．12．（3分）不等式组的最小整数解是．13．（3分）分式方程＝的解为．14．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B 为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE 折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（﹣）﹣2+（2019﹣π）0﹣tan60°﹣|﹣3|．20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：年级x＜6060≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100七年级01041八年级1581（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：年级平均数中位数众数七年级7575八年级77.580得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED 交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．2019年甘肃省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．此图案是中心对称图形，符合题意；B．此图案不是中心对称图形，不合题意；C．此图案不是中心对称图形，不合题意；D．此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（）A．0B．2C．﹣3D．﹣【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣3＜﹣＜0＜2，所以最小的数是﹣3．故选：C．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．3．（3分）使得式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥4B．x＞4C．x≤4D．x＜4【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，解得：x＜4，即x的取值范围是：x＜4．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．4．（3分）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a8【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6．故选：B．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）【分析】直接利用关于x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，∴2m﹣4＝0，解得：m＝2，∴m+2＝4，则点P的坐标是：（4，0）．故选：A．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．7．（3分）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或0【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°【分析】由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）参加人数平均数中位数方差甲459493 5.3乙459495 4.8A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多【分析】由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义得出选项B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．【解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：A．【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x3y﹣4xy＝xy（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式xy，再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解．【解答】解：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．【点评】本题是考查学生对分解因式的掌握情况．因式分解有两步，第一步提取公因式xy，第二步再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解，得到结果xy（x+2）（x﹣2），在作答试题时，许多学生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式．12．（3分）不等式组的最小整数解是0．【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．【解答】解：不等式组整理得：，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则最小的整数解为0，故答案为：0【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（3分）分式方程＝的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x+6＝5x+5，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故答案为：．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．【分析】法一：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解；法二：利用正切求出∠A＝30°，∠B＝60°，再求cos B的值．【解答】解：法一：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，设a＝x，b＝3x，则c＝2x，∴cos B＝＝．法二：利用特殊角的三角函数值求解．∵tan A＝∴∠A＝30°，∵∠C＝90°∴∠B＝60°，∴cos B＝cos60°＝．故答案为：．【点评】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值；也可利用特殊角的三角函数值求解．15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为3cm2．【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以，其左视图的面积为3×＝3（cm2），故答案为3cm2．【点评】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B 为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为2﹣．【分析】根据S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE，计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，∴AB＝2，∠A＝∠B＝45°，∵D是AB的中点，∴AD＝DB＝，∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE＝×2×2﹣2×＝2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．【分析】设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，所以AF＝8，BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝．【解答】解：设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，∴AF＝8，∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝，故答案为．【点评】本题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝1010．【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1＝2019，n＝1010，故答案为：1010．【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（﹣）﹣2+（2019﹣π）0﹣tan60°﹣|﹣3|．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝4+1﹣，＝1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．【解答】解：如图，点M即为所求，【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设共有x人，根据题意得：+2＝，去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，∴＝15，则共有39人，15辆车．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．【解答】解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，∵∠C＝65°，AC＝900，∴∠ABD＝65°，BD＝900，∴BM＝BD•cos65°＝900×0.423≈381，DM＝BD•sin65°＝900×0.906≈815，∵381÷3＝127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）树状图如图所示：（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为＝，小利获胜的概率为＝，∴小明、小利获胜的概率一样大．【点评】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方差的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：年级x＜6060≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100七年级01041八年级1581（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：年级平均数中位数众数七年级76.87575八年级77.58081得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出八年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．【解答】解：（1）七年级的平均数为（74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82）＝76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×＝20（人）．【点评】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．（2）根据对称性求出点D坐标，发现BD∥x轴，利用三角形的面积公式计算即可．（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，∵点A（﹣1，n）在y＝上，∴n＝2，∴A（﹣1，2），把A，B坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣．（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）∴BD∥x轴，∴S△ABD＝×2×3＝3．（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小．26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED 交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴BC＝＝．【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E），即可求解．【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
甘肃省中考数学真题试题(含解析)
2019年甘肃省中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（）A．0 B．2 C．﹣3 D．﹣3．（3分）使得式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜44．（3分）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a85．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）7．（3分）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或08．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac ＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x3y﹣4xy＝．12．（3分）不等式组的最小整数解是．13．（3分）分式方程＝的解为．14．（3分）在△ABC中∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（﹣）﹣2+（2019﹣π）0﹣tan60°﹣|﹣3|．20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB 和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE 于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．2019年甘肃省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．此图案是中心对称图形，符合题意；B．此图案不是中心对称图形，不合题意；C．此图案不是中心对称图形，不合题意；D．此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（）A．0 B．2 C．﹣3 D．﹣【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣3＜﹣＜0＜2，所以最小的数是﹣3．故选：C．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．3．（3分）使得式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，解得：x＜4，即x的取值范围是：x＜4．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．4．（3分）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a8【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6．故选：B．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）【分析】直接利用关于x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，∴2m﹣4＝0，解得：m＝2，∴m+2＝4，则点P的坐标是：（4，0）．故选：A．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．7．（3分）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°【分析】由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多【分析】由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义得出选项B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．【解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：A．【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac ＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x3y﹣4xy＝xy（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式xy，再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解．【解答】解：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．【点评】本题是考查学生对分解因式的掌握情况．因式分解有两步，第一步提取公因式xy，第二步再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解，得到结果xy（x+2）（x﹣2），在作答试题时，许多学生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式．12．（3分）不等式组的最小整数解是0 ．【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．【解答】解：不等式组整理得：，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则最小的整数解为0，故答案为：0【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（3分）分式方程＝的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x+6＝5x+5，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故答案为：．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14．（3分）在△ABC中∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，设a＝x，b＝3x，则c＝2x，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为（18+2）cm2．【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×＝18+2（cm2）．故答案为（18+2）cm2．【点评】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为2﹣．【分析】根据S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE，计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，∴AB＝2，∠A＝∠B＝45°，∵D是AB的中点，∴AD＝DB＝，∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE＝×2×2﹣2×＝2﹣，故答案为：2﹣【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．【分析】设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，所以AF＝8，BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝．【解答】解：设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，∴AF＝8，∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝，故答案为．【点评】本题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝1010 ．【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1＝2019，n＝1010，故答案为：1010．【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（﹣）﹣2+（2019﹣π）0﹣tan60°﹣|﹣3|．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝4+1﹣，＝1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB 和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．【解答】解：如图，点M即为所求，【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设共有x人，根据题意得：+2＝，去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，∴＝15，则共有39人，15辆车．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．【解答】解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，∵∠C＝65°，AC＝900，∴∠ABD＝65°，BD＝900，∴BM＝BD•cos65°＝900×0.423≈381，DM＝BD•sin65°＝900×0.906≈815，∵381÷3＝127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）树状图如图所示：（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为＝，小利获胜的概率为＝，∴小明、小利获胜的概率一样大．【点评】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方差的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出八年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．【解答】解：（1）七年级的平均数为（74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82）＝76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×＝20（人）．【点评】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．（2）根据对称性求出点D坐标，发现BD∥x轴，利用三角形的面积公式计算即可．（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，∵点A（﹣1，n）在y＝上，∴n＝2，∴A（﹣1，2），把A，B坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣．（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）∴BD∥x轴，∴S△ABD＝×2×3＝3．（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小．26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE 于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴BC＝＝．【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E），即可求解．【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
课标通用甘肃省2019年中考数学总复习优化设计单元检测六圆(有答案)
单元检测(六) 圆(考试用时:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.已知☉O1的半径为3 cm,☉O2的半径为2 cm,圆心距O1O2=4 cm,则☉O1与☉O2的位置关系是()A.外离B.外切C.相交D.内切☉O1的半径为3cm,☉O2的半径为2cm,圆心距O1O2为4cm,又∵2+3=5,3-2=1,1<4<5,∴☉O1与☉O2的位置关系是相交.2.如图,点A,B,C在☉O上,∠AOB=72°,则∠ACB等于()A.28°B.54°C.18°D.36°,∠AOB=2∠ACB=72°,即∠ACB=36°.故选D.⏜的长为() 3.如图,☉O的半径为3,四边形ABCD内接于☉O,连接OB、OD,若∠BOD=∠BCD,则BBπ C.2π D.3πA.πB.32四边形ABCD内接于☉O,∴∠BCD+∠A=180°,∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠BCD,∴2∠A+∠A=180°,解得∠A=60°,=2π.∴∠BOD=120°,∴BB⏜的长=120B×31804.如图,直线AB是☉O的切线,C为切点,OD∥AB交☉O于点D,点E在☉O上,连接OC,EC,ED,则∠CED的度数为()A.30°B.35°C.40°D.45°直线AB是☉O的切线,C为切点,∴∠OCB=90°,∵OD∥AB,∴∠COD=90°,∴∠CED=1∠COD=45°.25.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ACD=30°,则∠BAD为()A.30°B.50°C.60°D.70°BD,∵∠ACD=30°,∴∠ABD=30°,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-∠ABD=60°.6.(2018浙江杭州)如图,☉O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交☉O于B、C点,则BC=()A.6√3B.6√2C.3√3D.3√2OA 与BC 相交于D 点.∵AB=OA=OB=6∴△OAB 是等边三角形.又根据垂径定理可得,OA 平分BC ,利用勾股定理可得BD=√62-32=3√3. 所以BC=6√3.7.一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为( ) A.120° B.180° C.240° D.300°r ,侧面展开扇形的半径为R ,扇形的圆心角为n 度.由题意得S 底面面积=πr 2,l 底面周长=2πr ,S 扇形=3S 底面面积=3πr 2,l 扇形弧长=l 底面周长=2πr.由S 扇形=12l 扇形弧长×R 得3πr 2=12×2πr ×R ,故R=3r.由l 扇形弧长=B πB 180得:2πr=B π×3B 180解得n=120°.8.(2018山东威海)如图是某圆锥的主视图和左视图,该圆锥的侧面积是( )A.25πB.24πC.20πD.15π,圆锥的底面直径为8,高为3,∴圆锥的底面周长为8π,圆锥的母线长为√32+42=5,∴圆锥的侧面积=12×8π×5=20π.9.以坐标原点O 为圆心,作半径为2的圆,若直线y=-x+b 与☉O 相交,则b 的取值范围是( ) A.0≤b<2√2 B.-2√2≤b ≤2√2 C.-2√3<b<2√3 D.-2√2<b<2√2y=-x+b 与圆相切,且函数经过一、二、四象限时,如图.在y=-x+b 中,令x=0时,y=b ,则与y 轴的交点是(0,b ), 当y=0时,x=b ,则A 的交点是(b ,0),则OA=OB ,即△OAB 是等腰直角三角形.连接圆心O 和切点C.则OC=2. 则OB=√2OC=2√2.即b=2√2;同理,当直线y=-x+b与圆相切,且函数经过二、三、四象限时,b=-2√2.则若直线y=-x+b与☉O相交,则b的取值范围是-2√2<b<2√2.10.如图,☉O是△ABC的外接圆,BC=2,∠BAC=30°,则劣弧BB⏜的长等于()A.2π3B.π3C.2√3π3D.√3π3,连接OB,OC,∵∠BAC=30°,∴∠BOC=2∠BAC=60°,又OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴BC=OB=OC=2,∴劣弧BB⏜的长为60π×2180=2π3.二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)11.如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为.-1,-2)CB,作CB的垂直平分线,如图所示:在CB的垂直平分线上找到一点D,CD=DB=DA=√32+12=√10,所以D是过A,B,C三点的圆的圆心,即D的坐标为(-1,-2).12.如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC=.√3BD,∵AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,∴∠ABC=∠DAB=30°.AB.在Rt△ABD中,AB2=BD2+AD2,∴在Rt△ABC和Rt△ABD中,BD=AC=12BB)2+62,即AB2=(12∴AB=4√3,∴AC=2√3.13.(2018江苏南京)如图,在△ABC中,用直尺和圆规作AB,AC的垂直平分线,分别交AB,AC于点D,E,连接DE.若BC=10 cm,则DE=cm.用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线,∴D为AB的中点,E为AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=1BC=5cm.214.(2018湖北恩施)在Rt △ABC 中,AB=1,∠A=60°,∠ABC=90°,如图所示将Rt △ABC 沿直线l 无滑动地滚动至Rt △DEF ,则点B 所经过的路径与直线l 所围成的封闭图形的面积为 .(结果不取近似值)Rt △ABC 中,∠A=60°,∠ABC=90°,∴∠ACB=30°,BC=√3,将Rt △ABC 沿直线l 无滑动地滚动至Rt △DEF ,点B 路径分两部分:第一部分为以直角三角形30°的角顶点为圆心,√3为半径,圆心角为150°的弧长;第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心,1为半径,圆心角为120°的弧长;∴点B 所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积=150·π·(√3)2360+120·π·12360=19π12.15.(2017海南)如图,AB 是☉O 的弦,AB=5,点C 是☉O 上的一个动点,且∠ACB=45°,若点M ,N 分别是AB ,AC 的中点,则MN 长的最大值是 .,∵点M ,N 分别是AB ,AC 的中点,∴MN=12BC ,∴当BC 取得最大值时,MN 就取得最大值,当BC 是直径时,BC 最大,连接BO 并延长交☉O 于点C',连接AC',∵BC'是☉O 的直径,∴∠BAC'=90°. ∵∠ACB=45°,AB=5,∴∠AC'B=45°, ∴BC'=BBsin45°=√22=5√2,∴MN长的最大值是5√22.16.(2018江苏连云港)如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点,☉O经过A,B两点,已知AB=2,则BB的值为.-√22由图形可知:△OAB是等腰直角三角形,OA=OB.∵AB=2,OA2+OB2=AB2,∴OA=OB=√2.∴A点坐标是(√2,0),B点坐标是(0,√2).∵一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A,B两点,∴将A,B两点坐标代入y=kx+b,得k=-1,b=√2.∴BB =-√22.17.(2018四川内江)已知,A,B,C,D是反比例函数y=8B(x>0)图象上的四个整数点(横、纵坐标均为整数),分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段,以垂线段所在的正方形(如图)的边长为半径作四分之一圆周的两条弧,组成四个橄榄形(阴影部分),则这四个橄榄形的面积总和是(用含π的代数式表示).π-10A,B,C,D是反比例函数y=8B(x>0)图象上四个整数点,∴x=1,y=8;x=2,y=4;x=4,y=2;x=8,y=1;∴一个顶点是A,D的正方形的边长为1,橄榄形的面积为:2πB24−B22=2π-24r2=π-22;一个顶点是B,C的正方形的边长为2,橄榄形的面积为:π-22r2=2(π-2);∴这四个橄榄形的面积总和:(π-2)+2×2(π-2)=5π-10.18.(2018山东威海)如图,在平面直角坐标系中,点A1的坐标为(1,2),以点O为圆心,以OA1长为半x于点B1.过B1点作B1A2∥y轴,交直线y=2x于点A2,以O为圆心,以OA2长为半径径画弧,交直线y=12x于点B2;过点B2作B2A3∥y轴,交直线y=2x于点A3,以点O为圆心,以OA3长为半径画弧,交直线y=12x于点B3;过B3点作B3A4∥y轴,交直线y=2x于点A4,以点O为圆心,以OA4长为半径画弧,交直线y=12x于点B4,…按照如此规律进行下去,点B2 018的坐标为.画弧,交直线y=122 018,22 017)a),,点A1的坐标为(1,2),设点B1的坐标为(a,12√B2+(1B)2=√12+22,解得,a=2,2∴点B1的坐标为(2,1),同理可得,点A2的坐标为(2,4),点B2的坐标为(4,2),点A3的坐标为(4,8),点B3的坐标为(8,4),……∴点B2018的坐标为(22018,22017).三、解答题(本大题共6小题,共58分)19.(8分)(2018广东)作图题:(尺规作图,要求保留作图痕迹,不写作法.)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°,(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)条件下,连接BF,求∠DBF的度数.如图所示,直线EF即为所求;(2)∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠DBC=1∠ABC=75°,DC∥AB,∠A=∠C.2∴∠ABC=150°,∠ABC+∠C=180°,∴∠C=∠A=30°,∵EF垂直平分线段AB,∴AF=FB,∴∠A=∠FBA=30°,∴∠DBF=∠ABD-∠FBE=45°.20.(8分)(2018浙江湖州)如图,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求BB⏜的长.AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,∴AE=ED;OC⊥AD,∴BB⏜,⏜=BB∴∠ABC=∠CBD=36°,∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,=2π.∴BB⏜的长=72π×518021.(10分)(2018湖北宜昌)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.(1)求证:四边形ABFC是菱形;(2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积.AB是直径,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴BE=CE,∵AE=EF,∴四边形ABFC是平行四边形,∵AC=AB,∴四边形ABFC是菱形.CD=x.连接B D.∵AB是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°,∴AB2-AD2=CB2-CD2,∴(7+x)2-72=42-x2,解得x=1或-8(舍弃),∴AC=8,BD=√82-72=√15,∴S菱形ABFC=8√15.22.(10分)(2018贵州铜仁)如图,在三角形ABC中,AB=6,AC=BC=5,以BC为直径作☉O交AB于点D,交AC于点G,直线DF是☉O的切线,D为切点,交CB的延长线于点E.(1)求证:DF⊥AC;(2)求tan∠E的值.,连接OD,CD,∵BC是☉O的直径,∴∠BDC=90°,∴CD⊥AB,∵AC=BC,∴AD=BD,∵OB=OC,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DF为☉O的切线,∴OD⊥DF,∴DF⊥AC;,连接BG,∵BC是☉O的直径,∴∠BGC=90°,∵∠EFC=90°=∠BGC,∴EF∥BG,∴∠CBG=∠E,Rt△BDC中,∵BD=3,BC=5,∴CD=4,S △ABC =12AB ·CD=12AC ·BG ,6×4=5BG ,BG=245,由勾股定理得CG=√52-(245) 2=75, ∴tan ∠CBG=tan ∠E=BB BB =75245=724.23.(10分)(2018江苏淮安)如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,切点为A ,BC 交☉O 于点D ,点E 是AC 的中点.(1)试判断直线DE 与☉O 的位置关系,并说明理由;(2)若☉O 的半径为2,∠B=50°,AC=4.8,求图中阴影部分的面积.直线DE 与☉O 相切.理由如下:连接OE ,OD ,如图,∵AC 是☉O 的切线,∴AB ⊥AC ,∴∠OAC=90°,∵点E 是AC 的中点,O 点为AB 的中点,∴OE ∥BC ,∴∠1=∠B ,∠2=∠3,∵OB=OD ,∴∠B=∠3,∴∠1=∠2,在△AOE 和△DOE 中{BB =BB ,∠1=∠2,BB =BB ,∴△AOE ≌△DOE ,∴∠ODE=∠OAE=90°,∴OD ⊥DE ,∴DE 为☉O 的切线;(2)∵点E 是AC 的中点,∴AE=12AC=2.4, ∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°,∴图中阴影部分的面积=2·12×2×2.4-100·π·22360=4.8-109π. 24.(12分)(2018山东济宁)如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)经过点A (3,0),B (-1,0),C (0,-3).(1)求该抛物线的解析式;(2)若以点A 为圆心的圆与直线BC 相切于点M ,求切点M 的坐标;(3)若点Q 在x 轴上,点P 在抛物线上,是否存在以点B ,C ,Q ,P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.把A (3,0),B (-1,0),C (0,-3)代入抛物线解析式得{9B +3B +B =0,B -B +B =0,B =−3,解得{B =1,B =−2,B =−3,则该抛物线解析式为y=x 2-2x-3;(2)设直线BC 解析式为y=kx-3,把B (-1,0)代入得-k-3=0,即k=-3,∴直线BC 解析式为y=-3x-3,∴直线AM 解析式为y=13x+n ,把A (3,0)代入得1+n=0,即n=-1, ∴直线AM 解析式为y=13x-1,联立得{B =−3B -3,B =13B -1,解得{B =−35,B =−65. 则M -35,-65;(3)存在以点B ,C ,Q ,P 为顶点的四边形是平行四边形,分两种情况考虑:设Q (x ,0),P (m ,m 2-2m-3),第一种:当四边形BCQP 为平行四边形时,由B (-1,0),C (0,-3),根据平移规律得-1+x=0+m ,0+0=-3+m 2-2m-3,解得m=1±√7,x=2±√7,当m=1+√7时,m 2-2m-3=8+2√7-2-2√7-3=3,即P (1+√7,2);当m=1-√7时,m 2-2m-3=8-2√7-2+2√7-3=3,即P (1-√7,2);第二种:当四边形BCPQ 为平行四边形时,由B (-1,0),C (0,-3),根据平移规律得:-1+m=0+x ,0+m 2-2m-3=-3+0,解得m=0或2,当m=0时,P (0,-3)(舍去);当m=2时,P (2,-3),综上,存在以点B ,C ,Q ,P 为顶点的四边形是平行四边形,点P 的坐标为(1+√7,2)或(1-√7,2)或(2,-3).。
甘肃省中考数学真题试题(含解析)
2019年甘肃省中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（）A．03．（3分）使得式子A．x≥4B．2C．﹣3D．﹣有意义的x的取值范围是（）B．x＞424C．x≤4D．x＜44．（3分）计算（﹣2a）•a的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a85．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）22C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）7．（3分）若一元二次方程x﹣2kx+k＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或08．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）甲乙参加人数平均数中位数方差4545949493955.34.8A ．甲、乙两班的平均水平相同B ．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C ．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D ．甲班成绩优异的人数比乙班多10．（3分）如图是二次函数y ＝ax +bx +c 的图象，对于下列说法：①ac ＞0，②2a +b ＞0，③4ac ＜b ，④a +b +c ＜0，⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（）22A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x y ﹣4xy ＝．12．（3分）不等式组13．（3分）分式方程＝的最小整数解是．的解为．，则cos B ＝．314．（3分）在△ABC 中∠C ＝90°，tan A ＝15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（﹣）+（2019﹣π）﹣﹣20tan60°﹣|﹣3|．20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB 和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm ～300mm 含（300mm ），高度的范围是120mm ～150mm （含150mm ）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB ＝CD ，AC ＝900mm ，∠ACD ＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm ，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n ．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m ，n ）可能的结果；（2）若m ，n 都是方程x ﹣5x +6＝0的解时，则小明获胜；若m ，n 都不是方程x ﹣5x +6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：22收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：年级七年级八年级x ＜600160≤x ＜8010580≤x ＜904890≤x ≤10011（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：年级七年级八年级得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．25．（7分）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象相交于A （﹣1，n ）、平均数77.5中位数7580众数75B （2，﹣1）两点，与y 轴相交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积；（3）若M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y ＝上的两点，当x 1＜x 2＜0时，比较y 2与y 1的大小关系．26．（8分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ⊥ED 交DE 于点F ，交CD 于点G ．（1）证明：△ADG ≌△DCE ；（2）连接BF ，证明：AB ＝FB ．27．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A ＝∠ADE ；（2）若AD ＝8，DE ＝5，求BC 的长．28．（10分）如图，已知二次函数y ＝x +bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．22019年甘肃省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．此图案是中心对称图形，符合题意；B．此图案不是中心对称图形，不合题意；C．此图案不是中心对称图形，不合题意；D．此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（）A．0B．2C．﹣3D．﹣【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣3＜﹣＜0＜2，所以最小的数是﹣3．故选：C．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．3．（3分）使得式子A．x≥4有意义的x的取值范围是（）B．x＞4C．x≤4D．x＜4【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使得式子解得：x ＜4，即x 的取值范围是：x ＜4．故选：D ．有意义，则：4﹣x ＞0，【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．4．（3分）计算（﹣2a ）•a 的结果是（）A ．﹣4a 624B ．4a 6C ．﹣2a 6D ．﹣4a 8【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣2a ）•a ＝4a •a ＝4a ．故选：B ．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）24246A ．48°B ．78°C ．92°D ．102°【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D ．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．6．（3分）已知点P （m +2，2m ﹣4）在x 轴上，则点P 的坐标是（）A ．（4，0）B ．（0，4）C ．（﹣4，0）D ．（0，﹣4）【分析】直接利用关于x 轴上点的坐标特点得出m 的值，进而得出答案．【解答】解：∵点P （m +2，2m ﹣4）在x 轴上，∴2m ﹣4＝0，解得：m ＝2，∴m +2＝4，则点P 的坐标是：（4，0）．故选：A ．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出m 的值是解题关键．7．（3分）若一元二次方程x ﹣2kx +k ＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（）A ．﹣1B ．0C ．1或﹣1D ．2或022【分析】把x ＝﹣1代入方程计算即可求出k 的值．【解答】解：把x ＝﹣1代入方程得：1+2k +k ＝0，解得：k ＝﹣1，故选：A ．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．8．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC ＝126°，则∠CDB ＝（）2A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°【分析】由∠AOC ＝126°，可求得∠BOC 的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB 的度数．【解答】解：∵∠AOC ＝126°，∴∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝54°，∵∠CDB ＝∠BOC ＝27°．故选：C ．【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）甲乙参加人数平均数中位数方差4545949493955.34.8A ．甲、乙两班的平均水平相同B ．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C ．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D ．甲班成绩优异的人数比乙班多【分析】由两个班的平均数相同得出选项A 正确；由众数的定义得出选项B 不正确；由方差的性质得出选项C 不正确；由两个班的中位数得出选项D 不正确；即可得出结论．【解答】解：A 、甲、乙两班的平均水平相同；正确；B 、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C 、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；D 、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：A ．【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．10．（3分）如图是二次函数y ＝ax +bx +c 的图象，对于下列说法：①ac ＞0，②2a +b ＞0，③4ac ＜b ，④a +b +c ＜0，⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（）22A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，故①错误；②由于对称轴可知：∴2a +b ＞0，故②正确；＜1，③由于抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b ﹣4ac ＞0，故③正确；④由图象可知：x ＝1时，y ＝a +b +c ＜0，故④正确；⑤当x ＞故选：C ．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x y ﹣4xy ＝xy （x +2）（x ﹣2）．【分析】先提取公因式xy ，再利用平方差公式对因式x ﹣4进行分解．【解答】解：x y ﹣4xy ，＝xy （x ﹣4），＝xy （x +2）（x ﹣2）．【点评】本题是考查学生对分解因式的掌握情况．因式分解有两步，第一步提取公因式23232时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误；xy ，第二步再利用平方差公式对因式x 2﹣4进行分解，得到结果xy （x +2）（x ﹣2），在作答试题时，许多学生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式．12．（3分）不等式组的最小整数解是0．【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．【解答】解：不等式组整理得：∴不等式组的解集为﹣1＜x ≤2，则最小的整数解为0，故答案为：0【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（3分）分式方程＝的解为．，【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x +6＝5x +5，解得：x ＝，经检验x ＝是分式方程的解．故答案为：．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14．（3分）在△ABC 中∠C ＝90°，tan A ＝，则cos B ＝．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝设a ＝，x ，b ＝3x ，则c ＝2x ，∴cos B ＝＝．故答案为：．【点评】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为（18+2）cm ．2【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm ，高为的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×故答案为（18+2）cm ．2cm ，三棱柱＝18+2（cm ）．2【点评】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，点D 是AB 的中点，以A 、B 为圆心，AD 、BD 长为半径画弧，分别交AC 、BC 于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为2﹣．【分析】根据S 阴＝S △ABC ﹣2•S 扇形ADE ，计算即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝2，∴AB ＝2，∠A ＝∠B ＝45°，∵D 是AB 的中点，∴AD ＝DB ＝，＝2﹣，∴S 阴＝S △ABC ﹣2•S 扇形ADE ＝×2×2﹣2×故答案为：2﹣【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．17．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 为BC 上一点，把△CDE 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的F 处，则CE 的长为．【分析】设CE ＝x ，则BE ＝6﹣x 由折叠性质可知，EF ＝CE ＝x ，DF ＝CD ＝AB ＝10，所以AF ＝8，BF ＝AB ﹣AF ＝10﹣8＝2，在Rt △BEF 中，BE 2+BF 2＝EF 2，即（6﹣x ）2+22＝x 2，解得x ＝．【解答】解：设CE ＝x ，则BE ＝6﹣x 由折叠性质可知，EF ＝CE ＝x ，DF ＝CD ＝AB ＝10，在Rt △DAF 中，AD ＝6，DF ＝10，∴AF ＝8，∴BF ＝AB ﹣AF ＝10﹣8＝2，在Rt △BEF 中，BE +BF ＝EF ，即（6﹣x ）+2＝x ，解得x ＝故答案为，．222222【点评】本题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n ＝1010．【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n 幅图中共有（2n ﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n ﹣1＝2019，n ＝1010，故答案为：1010．【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（﹣）+（2019﹣π）﹣﹣20tan60°﹣|﹣3|．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝4+1﹣＝1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（4分）如图，在△ABC 中，点P 是AC 上一点，连接BP ，求作一点M ，使得点M 到AB 和AC 两边的距离相等，并且到点B 和点P 的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹），【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．【解答】解：如图，点M 即为所求，【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设共有x人，根据题意得：+2＝，去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，∴＝15，则共有39人，15辆车．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．【解答】解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，∵∠C＝65°，AC＝900，∴∠ABD ＝65°，BD ＝900，∴BM ＝BD •cos65°＝900×0.423≈381，DM ＝BD •sin65°＝900×0.906≈815，∵381÷3＝127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n ．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m ，n ）可能的结果；（2）若m ，n 都是方程x ﹣5x +6＝0的解时，则小明获胜；若m ，n 都不是方程x ﹣5x +6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）树状图如图所示：（2）∵m ，n 都是方程x ﹣5x +6＝0的解，∴m ＝2，n ＝3，或m ＝3，n ＝2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m ，n 都是方程x ﹣5x +6＝0的解的结果有2个，2222m ，n 都不是方程x 2﹣5x +6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为＝，小利获胜的概率为＝，∴小明、小利获胜的概率一样大．【点评】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方差的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：年级七年级八年级x ＜600160≤x ＜8010580≤x ＜904890≤x ≤10011（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：年级七年级八年级得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出八年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；平均数76.877.5中位数7580众数7581（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．【解答】解：（1）七年级的平均数为（74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82）＝76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×（人）．【点评】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．25．（7分）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象相交于A （﹣1，n ）、＝20B （2，﹣1）两点，与y 轴相交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积；（3）若M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y ＝上的两点，当x 1＜x 2＜0时，比较y 2与y 1的大小关系．【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．（2）根据对称性求出点D坐标，发现BD∥x轴，利用三角形的面积公式计算即可．（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，∵点A（﹣1，n）在y＝∴n＝2，∴A（﹣1，2），把A，B坐标代入y＝kx+b，则有解得，，上，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣．（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）∴BD∥x轴，∴S△ABD＝×2×3＝3．（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小．26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE 于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC＝2 x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD ．∵∠ADE ＝∠A ，∴AE ＝DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED ＝EC ，∴AE ＝EC ，∵DE ＝5，∴AC ＝2DE ＝10，在Rt △ADC 中，DC ＝6，设BD ＝x ，在Rt △BDC 中，BC ＝x +6，在Rt △ABC 中，BC ＝（x +8）﹣10，∴x +6＝（x +8）﹣10，解得x ＝，∴BC ＝＝．2222222222【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28．（10分）如图，已知二次函数y ＝x +bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．2【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB 为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S 四边形AEBD ＝AB （y D ﹣y E ），即可求解．【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y ＝（x ﹣1）（x ﹣3）＝x ﹣4x +3；故二次函数表达式为：y ＝x ﹣4x +3；（2）①当AB 为平行四边形一条边时，如图1，22则AB ＝PE ＝2，则点P 坐标为（4，3），当点P 在对称轴左侧时，即点C 的位置，点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，故：点P （4，3）或（0，3）；②当AB 是四边形的对角线时，如图2，AB 中点坐标为（2，0）设点P 的横坐标为m ，点F 的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m ＝2，故点P （2，﹣1）；故：点P （4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +3，设点E 坐标为（x ，x ﹣4x +3），则点D （x ，﹣x +3），2S 四边形AEBD ＝AB （y D ﹣y E ）＝﹣x +3﹣x 2+4x ﹣3＝﹣x 2+3x ，∵﹣1＜0，故四边形AEBD 面积有最大值，当x ＝，其最大值为，此时点E （，﹣）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
甘肃省年中考数学真题试题(含解析)
2019年甘肃省中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（）A．0 B．2 C．﹣3 D．﹣3．（3分）使得式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜44．（3分）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a85．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）7．（3分）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或08．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac ＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x3y﹣4xy＝．12．（3分）不等式组的最小整数解是．13．（3分）分式方程＝的解为．14．（3分）在△ABC中∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（﹣）﹣2+（2019﹣π）0﹣tan60°﹣|﹣3|．20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB 和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE 于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．2019年甘肃省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．此图案是中心对称图形，符合题意；B．此图案不是中心对称图形，不合题意；C．此图案不是中心对称图形，不合题意；D．此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（）A．0 B．2 C．﹣3 D．﹣【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣3＜﹣＜0＜2，所以最小的数是﹣3．故选：C．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．3．（3分）使得式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，解得：x＜4，即x的取值范围是：x＜4．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．4．（3分）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a8【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6．故选：B．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）【分析】直接利用关于x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，∴2m﹣4＝0，解得：m＝2，∴m+2＝4，则点P的坐标是：（4，0）．故选：A．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．7．（3分）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°【分析】由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多【分析】由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义得出选项B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．【解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：A．【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac ＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x3y﹣4xy＝xy（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式xy，再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解．【解答】解：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．【点评】本题是考查学生对分解因式的掌握情况．因式分解有两步，第一步提取公因式xy，第二步再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解，得到结果xy（x+2）（x﹣2），在作答试题时，许多学生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式．12．（3分）不等式组的最小整数解是0 ．【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．【解答】解：不等式组整理得：，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则最小的整数解为0，故答案为：0【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（3分）分式方程＝的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x+6＝5x+5，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故答案为：．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14．（3分）在△ABC中∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，设a＝x，b＝3x，则c＝2x，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为（18+2）cm2．【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×＝18+2（cm2）．故答案为（18+2）cm2．【点评】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为2﹣．【分析】根据S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE，计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，∴AB＝2，∠A＝∠B＝45°，∵D是AB的中点，∴AD＝DB＝，∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE＝×2×2﹣2×＝2﹣，故答案为：2﹣【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．【分析】设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，所以AF＝8，BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝．【解答】解：设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，∴AF＝8，∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝，故答案为．【点评】本题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝1010 ．【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1＝2019，n＝1010，故答案为：1010．【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（﹣）﹣2+（2019﹣π）0﹣tan60°﹣|﹣3|．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝4+1﹣，＝1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB 和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．【解答】解：如图，点M即为所求，【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设共有x人，根据题意得：+2＝，去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，∴＝15，则共有39人，15辆车．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．【解答】解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，∵∠C＝65°，AC＝900，∴∠ABD＝65°，BD＝900，∴BM＝BD•cos65°＝900×0.423≈381，DM＝BD•sin65°＝900×0.906≈815，∵381÷3＝127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）树状图如图所示：（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为＝，小利获胜的概率为＝，∴小明、小利获胜的概率一样大．【点评】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方差的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出八年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．【解答】解：（1）七年级的平均数为（74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82）＝76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×＝20（人）．【点评】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．（2）根据对称性求出点D坐标，发现BD∥x轴，利用三角形的面积公式计算即可．（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，∵点A（﹣1，n）在y＝上，∴n＝2，∴A（﹣1，2），把A，B坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣．（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）∴BD∥x轴，∴S△ABD＝×2×3＝3．（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小．26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE 于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴BC＝＝．【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E），即可求解．【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
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15.(2018 浙江金华)对于两个非零实数 x、y,定义一种新的运算:x*y=
(-2)*2 的值是
.
答案-1
.若 1*(-1)=2,则
解析∵1*(-1)=2,∴ =2,即 a-b=2,∴原式= =- (a-b)=-1.
D.9
解析根据题意得 x2-4x+4+
=0,所以 x2-4x+4=0,
=0,
即(x-2)2=0,2x-y-3=0,所以 x=2,y=1,所以 x+y=3.
10.已 知 x+ =3,则 下 列 三 个 等式 :① x2+ =7,② x-
,③ 2x2-6x=-2 中 ,正 确 的 个 数 有
A.0 个
() B.1 个
（课标通用）甘肃省 2019 年中考数学复习 单元检测汇编
目录
单元检测(一) 数与式............................................................................. 1 单元检测(二) 方程(组)与不等式......................................................... 6 单元检测(三) 函数............................................................................... 13 单元检测(四) 图形初步与三角形.......................................................24 单元检测(五) 四边形........................................................................... 37 单元检测(六) 圆................................................................................... 49 单元检测(七) 图形与变换................................................................... 62 单元检测(八) 统计与概率................................................................... 78
2.计算
的结果为( )
A.1 答案 A
B.a
C.a+1
D.
解析根据同分母的分式相加减的法则可得,原式= =1,故选 A.
3.实数 a,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a|+
的结果是( )
A.-2a+b
B.2a-b
C.-b
D.b
答案 A
解析由图可知:a<0,a-b<0,则|a|+
=-a-(a-b)=-2a+b.
A.
B.1
C.
D.
答案 D 解析∵5x=3,5y=2,∴52x=32=9,53y=23=8,
∴52x-3y=
.
7.(2018 重庆)估计(2
)· 的值应在
A.1 和 2 之间 C.3 和 4 之间 答案 B
B.2 和 3 之间 D.4 和 5 之间
()
解析(2
)× =2
之间,所以 2 -2 在 2 到 3 之间.
该病毒直径是
.
答案 2.51×10-5 米
解析科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看
把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对
值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数.
2.51×104×10-9 米=2.51×10-5 米.
B.(-a2)3=-a6
C.3a2-6a2=3a2
D.(a-2)2=a2-4
答案 B
解析 A.a2·a2=a4,故 A 选项错误;B.(-a2)3=-a6,故 B 选项正确;C.3a2-6a2=-3a2,故 C 选项错
1
误;D.(a-2)2=a2-4a+4,故 D 选项错误. 6.(2018 山东威海)已知 5x=3,5y=2,则 52x-3y=( )
C.2 个
D.3 个
2
答案 C 解析∵x+ =3,∴(x+ )2=9,整理得 x2+ =7,故①正确.x- =±
=± ,故②错误.
方程 2x2-6x=-2 两边同时除以 2x 得 x-3=- ,整理得 x+ =3,故③正确.故正确的有 2 个.
二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)
11.9 的平方根是
.
答案±3
解析 9 的平方根是±3.
12.(2018 贵州铜仁)分解因式:a3-ab2=
.
答案 a(a+b)(a-b)
解析原式=a3-ab2=a(a2-b2)=a(a+b)(a-b).
13.(2018 广西玉林)已知 ab=a+b+1,则(a-1)(b-1)=
.
答案 2
解析当 ab=a+b+1 时,原式=ab-a-b+1=a+b+1-a-b+1=2. 14.长度单位 1 纳米=10-9 米,目前发现一种新型病毒直径为 25 100 纳米,用科学记数法表示
单元检测(一) 数与式
(考试用时:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)
1.若
+1 在实数范围内有意义,则 x 满足的条件是( )
A.xx≠
解析若使
有意义,则 x≥ ;若使
有意义,则 x≤ ,要使二者同时成立,则 x= .
4.a2=1,b 是 2 的相反数,则 a+b 的值为( )
A.-3
B.-1
C.-1 或-3
D.1 或-3
答案 C
解析∵a2=1,b 是 2 的相反数,∴a=±1,b=-2,
①当 a=-1,b=-2 时,a+b=-3;②当 a=1,b=-2 时,a+b=-1.
5.下列计算正确的是( )
A.a2·a2=2a4
=2 -2,而 2
8.若 a2-ab=0(b≠0),则 =( )
在4到5
A.0
B.
C.0 或
答案 C 解析∵a2-ab=0(b≠0),∴a=0 或 a=b,
D.1 或 2
当 a=0 时,
=0.当 a=b 时,
.
9.若 x2-4x+4 与
A.3 答案 A
互为相反数,则 x+y 的值为( )
B.4
C.6