六盘山高级中学2016届高三上学期数学(理)试题
【全国百强校】宁夏六盘山高级中学2016届高三第四次模拟考试理数试题(原卷版)
宁夏六盘山高级中学2016届高三第四次模拟考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合}{1,0,1,2,3A =-，{|2}B x x =<，则A B ⋂=（ ）A ．}{1,0,1- B. }{0,1 C. }{2,1,0,1,2-- D. }{1,0,1,2- 2．已知复数i z -=21，i a z 22+=（i 为虚数单位，R a ∈），若R z z ∈⋅21，则=a （ ）A ．1B ．4C ．1-D ．4-3．已知31sin =α，则=α2cos （ ） A ． 167 B ．167- C ．97 D ．97-4. 二项式()()*∈+N n x n1的展开式中2x 项的系数为15，则=n （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 5. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=48S S （ ） A ．21 B ．1617 C ．2 D ．17 6．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A=｛两次的点数均为奇数｝，B=｛两次的点数之和为4｝，则P （B ∣A ）=（ ）A ．121B ．41C ．32D ．927．命题:,sin()cos p R απαα∃∈-=；命题:"04"q a <<是”关于x 的不等式210ax ax ++>的解集 是实数集"R 的充分必要条件，则下面结论正确的是（ ）A. p 是假命题B. q 是真命题C. ""p q ∧是假命题D. ""p q ∨是假命题 8．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（ ）A ．33B ．17C ．41D ．429. 将向量()1,1=OA 绕原点O 逆时针方向旋转 60得到OB ,则=OB （ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-231,231 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+231,231 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---231,231 D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-231,231 10．已知圆的方程为()2214x y +-=，若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于A,B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为（ ）A ．0324=--y xB ．022=-+y xC ．0324=-+y xD ．220x y -+=11．已知变量,x y 满足0324=--y x 约束条件230,330,10,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若目标函数z ax y =+ (其中0a >)仅在点(1，1)处取得最大值，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,2)B ．1(0,)2C ．1(0,)3D ．11(,)3212.已知数列满足，21,121==a a ，且()[]()[]*+∈=--+--+N n a a nn n n ,01122132，记n T 2为数列{}n a 的前n 2项和，数列{}n b 是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式1112<⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+nnn b b T 成立的最小整 数n 为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．当2=x 时，右面的程序运行的结果是 .14．在四面体ABCD 中，AD AC AB ,,两两垂直，且3=AB ，2=AD ，5=AC ，则该四面体的外 接球的表面积为.15．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，双曲线2213y x -=的一条渐近线与椭圆C 交于,A B 两 点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为 _____.16. 对于函数()f x 给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程 ()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个 三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点” 就是对称中心.给定函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究的结果，计算 1232016()()()()2017201720172017f f f f ++++= . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图像如图所示. (Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）在ABC ∆中，()3,2,1AB AC f A ===,求B sin .18.（本小题满分12分）某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下： 甲运动员得分：30,27,9,14,33,25,21,12,36,23,乙运动员得分：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39（Ⅰ）根据两组数据完成甲乙运动员得分的茎叶图，并通过茎叶图比较两名运动员成绩的平均值及稳定程 度；（不要求计算出具体数值，给出结论即可）（Ⅱ）若从甲运动员的十次比赛的得分中选出2个得分，记选出的得分超过23分的个数为ξ，求ξ的分布 列和数学期望．19．(本小题满分12分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12,,AC CC AB BC ===D 是1BA 上的一点， 且AD ⊥平面1.A BC(Ⅰ)求证：BC ⊥平面11;ABB A（Ⅱ）在1BB 棱上是否存在一点E ，使平面AEC 与平面的11ABB A 夹角等于60？若存在，试确定E 点的位 置；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分12分）动点P 在抛物线2=2x y 上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设2PM PQ =. （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设点(4,4)N -,过点(4,5)H 的直线交轨迹E 于,A B （不同于点N ）两点，设直线,NA NB 的斜率 分别为12,k k ，求12||k k -的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>. （Ⅰ）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性； （Ⅱ）若()1kf x x >+恒成立, 求整数k 的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4－1: 几何证明选讲如图,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形,AB 是圆O 的直径，BC CD =，AD 的延长线与BC 的延长 线交于点E ,过C 作CF AE ⊥，垂足为点F . (Ⅰ)证明: CF 是圆O 的切线； (Ⅱ)若4BC =，9AE =，求CF 的长.BA23.（本小题满分10分）选修4－4: 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数).以点O 为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin(ρθ+)4π=(Ⅰ)将曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；(Ⅱ)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值.24.（本小题满分10分）选修4－5: 不等式选讲 已知函数()2()log 12f x x x a =++--. (Ⅰ)当7a =时，求函数()f x 的定义域；f x≥3的解集是R，求实数a的最大值．(Ⅱ)若关于x的不等式()：。
宁夏六盘山高级中学高三数学上学期第一次月考试题理
宁夏六盘山高级中学2016—2017学年度第一学期高三第一次月考数学(理)试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}{}22,0,2,4,|230A B x x x =-=--<，则AB =（ ）A. {}0B. {}2C. {}0,2D.{}0,2,4 2.下列命题中真命题的个数是（ ）①42,x R x x ∀∈>；②若p q ∧ 为假命题，则,p q 均为假命题③若“32,10x R x x ∀∈-+≤ ”的否定是“32,10x R x x ∃∈-+>”④ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.设2:log 0,:20x p x q <≥，则p 是q ⌝的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数2211f x x x x⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ ，则()3f = （ ） A.11 B. 9 C. 10 D.85.已知函数()()22,0log 6,0x x f x x x -⎧<⎪=⎨+≥⎪⎩ ，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦ （ ）A. 2B. 2log 5C. 21log 7-+D.3 6.已知10.30.7544,8,3a b c === ，则这三个数的大小关系为（ ）A. b a c <<B. c a b <<C. a b c <<D.c b a << 7.下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞ 上单调递减的函数是（ ） A. 2y x =- B. 2xy -= C. 1y x=D.lg y x = 8. 若函数()y g x = 与函数()2xf x = 的图象关于直线y x = 对称，则12g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）1 C.12D. 1- 9.已知偶函数()f x 对任意x R ∈ 满足()()22f x f x +=- ，且当30x -≤≤ 时，()()3l o g 2f x x =- ，则()2015f 的值为（ ） A. 1- B. 1 C. 0 D.201510. 已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，且()30f -=，则不等式()()20x f x -< 的解集是（ ） A. ()(),32,3-∞- B. ()()3,23,--+∞ C. ()3,3- D. ()2,3-11.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()3log 1,0,0x x f x g x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()8g f -=⎡⎤⎣⎦（ ） A.2- B. 1- C. 1 D.2 12.已知函数())20162016log 20162x x f x x -=+-+ ，则关于x 的不等式()()314f x f x ++> 的解集为（ ） A. (),0-∞ B. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C. ()0,+∞ D.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知集合{}{}|0,|10A x x m B x mx =-==-= ，若A B B =，则m 等于 .14. 函数log 3x y -=的定义域为 .15.已知23112log log a a+= ，则a = . 16.定义在R上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x ，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“Z 函数”，则下列函数，①21y x =-+ ②32sin 2cos y x x x =-- ③ln ,00,0x x y x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩ ④224,0,0x x x y x x x ⎧+≥⎪=⎨-+>⎪⎩ 其中是“Z函数”的序号为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)设命题:p “对任意的2,2x R x x a ∈-> ”，命题:q “存在x R ∈，使2220x ax a ++-=”如果命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，求实数a 的取值范围。
宁夏六盘山高级中学2016届高三数学上学期期末考试试题 文(扫描版)
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宁夏六盘山高级中学 2016 届高三数学上学期期末考试试题 文（扫描版）
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宁夏六盘山高级中学2016届高三数学第三次模拟考试试题 理
宁夏六盘山高级中学2016届高三年级第三次模拟考试试卷理科数学分值：150分时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.设集合，R为实数集，则集合中元素是整数的有【】个A 1B 2C 3D 无数2.复数，则复数z的实部，虚部依次是【】A BC D3.已知向量若，则实数t的值是【】A 0 或1B 1或-2C -1或1D 或14.一四棱锥的三视图如图所示（单位：cm）则它的体积是【】A BC D5.设函数,若，则的值是【】A -1B -2C -3D -46. 设为平面，m,n为直线,则的一个充分不必要的条件是【】A BC D7.如图示程序框图，若输入m=3600,n=54,俯视图正视图则输出P的值是【】A 12B 18C 10800D 72008.函数，的图象及x轴所围成封闭图形的面积是【】A BC D9.函数的图象可由函数的图象怎样变换得到【】A 向右平移个单位B 向左平移个单位C 向右平移个单位D 向左平移个单位10.为了解学生对新《中学生守则》学习情况，学校调查部门对某班5名学生进行问卷调查，这5人的得分如下：6，7，8，9，10，把这5名学生的得分看成一个总体，用简单随机抽样的方法从这5名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率是【】A B C D11.抛物线的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒后，恰与抛物线第一次相切，则t等于【】A 3B 4C 5D 612.已知函数是定义在R上的减函数，函数的图象关于点对称.若动点（x,y）满足不等式，则xy的最大值是【】A BC 1 D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.计算14.已知实数x、y满足条件，则的取值区间为_______________.15.以过坐标原点的圆的切线为渐近线，且过该圆的圆心的双曲线的方程是________________________________.16.设x>0,,满足：则当取得最小值时的x的取值是________________.三解答题17.（本小题满分12分）设数列的前n项和(1)求数列的通项；(2)记，求数列的前n项和.18.（本小题满分12分）某中学号召学生在今年为宣传奥运要至少参加一次社会公益活动，该校宣讲团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示:(1)从宣讲团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率； (2)从宣讲团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值， 求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.19.（本小题满分12分）在直三棱柱，，∠BAC = ,D 是BC 的中点，E 是的中点(1)画出过E 及AD 的该三棱柱的截面α（不写画法），并指出它的形状； (2)求平面与截面α所在平面所成锐二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点，右焦点F （1，0），M 为椭圆上的点，, 直线与C 交于另一点N ，.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点E （2，0）的直线m 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若，求直线m 的方程. 21.（本小题满分12分） 设函数(1)若a =0，求的单调增区间；(2)若时，有 成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2016届宁夏六盘山高级中学高三第一次模拟考试数学(理)试题(word版)
2016届宁夏六盘山高级中学高三第一次模拟考试数学（理）试题（word 版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ⋂等于（ ） A ．{}2,1-- B ．{}2- C ．{}1,0,1- D ．{}0,12.已知复数34z i =+，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．20z > B ．0z z > C ．25z = D ．34z i =-+4.函数3tan cos (0,)22y x x x x ππ=≤<≠的图像是（ ） A ． B ． C ．D ．5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，则数列{}n a 的公差为d 是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．66.如图是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆a 千克，则共需油漆的总量为（ ）A ．(4836)a π+千克B ．(3924)a π+千克C ．(3636)a π+千克D ．(3630)a π+千克 7.已知{}(,)|01,01x y x y Ω=≤≤≤≤，A 是由直线0,(01)y x a a ==<≤，和曲线3y x =围成的曲边三角形区域，若向区域Ω上随机投一点，点落在区域A 内的概率为164，则a 的值是（ ） A ．164B ．18C ．14D ．128.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>以及双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线将第一象限三等分，则双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为（ ）A ．2BC ．2D 9.下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果S 表示（ ）A ．0123a a a a +++的值B ．233201000a a x a x a x +++的值 C ．230102030a a x a x a x +++的值 D ．以上都不对 10.三名同学去参加甲、乙、丙、丁四个不同的兴趣小组，去那个兴趣小组可以自由选择，但甲小组至少有一人参加，则不同的选择方案共有（ ） A ．16种 B ．18种 C ．37种 D ．48种11.一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ ） A ．2 B ．3 CD12.设定义在(0,)+∞上的单调函数()f x 对任意的(0,)x ∈+∞都有3(()log )4f f x x -=，则不等式2(2)4f a a +>的解集为（ ）A ．{}|31a a a <->或B ．{}|1a a >C ．{}|31a x -<<D ．{}|3a a <-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．13.已知点F 是抛物线2y x =的焦点，AB 为过点F 的直线且与抛物线交于,A B 两点，3AB =，则线段AB 的中点M 的横坐标为________．14.若实数,x y 满足条件1021x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2Z x y =+的最大值为________．15.已知点O 为ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=则:ABC BOC S S ∆∆=________． 16.已知数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=，则na n的最小值为_________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22sin 3cos()0A B C ++=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积S a ==b c +的值． 18.（本题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[]25,55岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的人群称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．现对容量为n 的样本数据进行整理，得到如下各年龄段人数的频率分布直方图和统计表：（1）补全频率分布直方图并求,,n a p 的值 ；（2）从[)40,50岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取9人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[)40,45岁的人数为X ，求X 的分布列和期望()E X ． 19.(本小题满分12分)已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1,2AB AC PA AC AB ⊥==，N 为AB 上一点，4AB AN =，,M S 分别为,PB BC 的中点． （1）证明：CM SN ⊥；（2）求SN 与平面CMN 所成角的大小．20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率2e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为1l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆C 交于相异两点,A B ，且3AP PB =．（1）求椭圆C 的方程； （2）求m 的取值范围． 21.（本小题满分12分） 已知函数()ln f x ax x =-．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在(,())e f e （e 为自然对数的底）处的切线方程； （2）当(]0,x e ∈时，是否存在实数a ，使得()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）已知AB 为半圆O 的直径，4,AB C =为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过A 点作AD CD ⊥于D ，交半圆于点E ，1DE =．（1）证明：AC 平分BAD ∠；（2）求BC 的长． 23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(2,6)P ，且倾斜角为34π，在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为20sin()cos()4242πθπθρ=--． （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 与直线l 交于点,A B ，求PA PB +． 24.（本小题满分10分）函数()f x =．（1）若5a =，求函数()f x 的定义域A ；（2）设{}|12B x x =-<<，当实数,()R a b B C A ∈⋂时，证明：124a b ab+<+．参考答案一．选择题(共12小题，每小题5分)二、填空题（共4小题，每小题5分） 13． 1.5 14．4 15．3：1 16．636三、解答题（1）由22sin 3cos()0A C B ++=，得22cos 3cos 2A A +-，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，（2）由11sin 222S bc A bc ==⨯= 得20bc =，又2222cos 21a b c bc A =+-=， 所以9b c +=．18．解：（1）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=， 所以高为0.30.065=．频率直方图如下：第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==．第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==． 第三组的频率为0.0350.15⨯=，第四组的人数为10000.15150⨯=． 所以1500.460a =⨯=．（2）因为[)40,45岁年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以分层抽样法抽取9人，[)40,45岁中有6人，[)45,50岁中有3人，随机变量X 服从超几何分布．33391(0)84C P X C ===，21363918(1)84C C P X C ===，12363945(1)84C C P X C ===，363920(3)84C P X C ===， 所以随机变量X 的分布列为∴数学期望184520168012328484848484X E =⨯+⨯+⨯+⨯== 19．证明：设1PA =，以A 为原点，射线,,AB AC AP 分别为,,x y z 轴正向建立空间直角坐标系．则111(0,0,1),(0,1,0),(2,0,0),(1,0,),(,0,0),(1,,0)222P C B M N S ． （1）111(1,1,),(,,0)222CM SN =-=--， 因为110022CM SN =-++= ， 所以CM SN ⊥． （2）1(,1,0)2NC =-， 设(,,)a x y z =为平面CMN 的一个法向量102102x y z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取(2,1,2)a =-，因为cos ,2a SN ==， 所以SN 与平面CMN 所成角为4π． 20．解：（1）设2222:1(0)y x C a b a b+=>>，设2220,c c a b >=-，由条件知1,22c a c e a -=-==解得1,a b c ===，故C 的方程为：22112x y +=． （2）当直线斜率不存在时：12m =±， 当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为1122(,),(,)A x y B x y ， ∴2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(2)2(1)0k x kmx m +++-= ∴22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∆-+-=-+>，（*）212122221,22km m x x x x k k --+==++∵3AP PB =，∴123x x -=，∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩， 消去2x ，得212123()40x x x x ++=，∴2222213()4022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立：214m ≠时，2222241m k m -=-， ∴22222041m k m -=≥-时，∴112m -≤<-或112m <≤，把2222241m k m -=-代入（*）得112m -<<-或112m <<，∴112m -<<-或112m <<． 综上m 的取值范围为112m -≤<-或112m <≤． 21．解：（1）当1a =时1()1f x x'=-，所以1(),()1e k f e f e e e-'===-， 所以切线方程为1(1)()e y e x e e---=-， 即1e y x e-=． （2）假设存在实数a ，使得(]()ln ,0,f x ax x x e =-∈的最小值为3，11()ax f x a x x-'=-= ①当0a ≤时，因为(]0,x e ∈，所以()0f x '<所以()f x 在(]0,e 上单调递减，min ()()13f x f e ae ==-=得4a e=（舍去） （2）当10e a <<，即1a e >时，()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，min 1()()1ln 3f x f a a ==+=得2a e =满足．（3）当1e a ≥，即10a e<≤时，因为(]0,x e ∈，所以()0f x '≤，所以()f x 在(]0,e 上单调递减，min ()()13f x f e ae ==-=，得4a e=（舍去）综上，存在实数2a e =满足题意．22．解：（1）连接OC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠， ∵CD 为半圆的切线，∴AD CD ⊥，∴//OC AD ，∴OCA CAD ∠=∠，∴OAC CAD ∠=∠， ∴AC 平面BAD ∠．（2）连接CE ，由∴OCA CAD ∠=∠知BC CE =， 所以A B C E 、、、四点共圆，∴cos cos B CED ∠=∠， ∴DE CBCE AB=，∴2BC =．23．解：（1）因为直线l 过点(2,6)P ，且倾斜角为34π， 所以直线l的参数方程为226x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 由20sin()cos()4242πθπθρ=--得10cos ρθ=， 所以曲线C 的直角坐标方程为22100x y x +-=．（2）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22(3)(6)2522t --++=，2200t ++=，820∆=>，可设是12,t t上述方程得两个实根，则有121220t t t t ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩ 又直线l 过点(2,6)P，所以1212PA PB t t t t +=+=+=24．解：（1）由1250x x +++-≥，得{}|41A x x x =≤-≥或；（2）∵(1,1)R B C A =- ， 又12424a bab a b ab +<+⇔+<+， 而2222222222222224()(4)4(2)(168)4416(4)4(4)(4)(4)a b ab a ab b ab a b a b a b a b b b a +-+=++-++=+--=-+-=--，∵,(1,1)a b ∈-，∴22(4)(4)0b a --<，∴224()(4)a b ab +<+， ∴124a b ab +<+。
【全国百强校】宁夏六盘山高级中学2016届高三上学期第二次月考理数试题(原卷版)
宁夏六盘山高级中学2016届高三上学期第二次月考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知复数121,1,z i z i =-=+则12z z i等于（ ） A 、2i B 、2i - C 、2i + D 、2i -+ 2、设全集U R =，{}{}02,1A x x B x x =<<=<，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A 、{}1x x ≥B 、{}12x x ≤<C 、{}01x x <≤D 、{}1x x ≤3、用数学归纳法证明“111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++”时，由n k =的假设证明1n k =+时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ）A 、1111221k k k +++++ B 、1111122122k k k k +++++++ C 、1112221k k k +++++ D 、11122122k k k ++++++ 4、设l m 、表示两条不同的直线，αβ、表示两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ）A 、若l α⊂，m ∥α，则l ∥m .B 、若l α⊂，l ∥m ，则m ∥α.C 、若m ∥α，m β⊥，则αβ⊥.D 、若m ∥α，αβ⊥，则m ∥β.5、数列{}n a 是首项14a =的等比数列，且1534,,2a a a -成等差数列，则其公比为（ ）A 、1或-1B 、-1C 、1 D6、在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =（ ） A 、18 B 、19 C 、164 D 、1277、设,x y 满足约束条件()0,230,,,230.x x y a y m x x y ≥⎧⎪+-≥=+⎨⎪+-≤⎩()1,2b =，且a ∥b ，则m 的最小值为（ ）A 、1B 、2C 、12D 、138、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A 、1603B 、160 C、64+ D、88+9、已知数列{}{},n n a b 满足*2log ,n n b a n N =∈，其中{}n b 是等差数列，且8200814a a ⋅=，则1232015b b b b ++++=（ ）A 、-2015B 、2015C 、2log 2015D 、100810、若函数()sin ,0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点，且0OM ON ⋅=，（O 为坐标原点），则A ω⋅=（ ）A 、6π BCD11、在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===，底面ABC 是正三角形，侧棱与底面ABC 所成的角为60︒，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A 、πB 、3πC 、4πD 、43π 12、已知两条直线1:l y m =和24:(0)1l y m m =>+，1l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于,C D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，b a的最小值为（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、()40sin cos x a x dx π-=⎰，则实数a =__________. 14、设12a =，函数,0,()log ,0,x a a x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，则211()(log )46f f +的值等于__________. 15、我们把形如()()x y f x ϕ=的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：即在函数解析式两边求对数得：()ln ln ()()ln ()x y f x x f x ϕϕ==，两边对x 求导数，得''()'()ln ()()()y f x x f x x y f x ϕϕ=+，于是()'()'()'()ln ()()()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，运用此方法可以求得函数(0)x y x x =>在(1,1)处的切线方程是___________.16、如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，底面ABC 是等腰直角三角形且ACBC ==侧棱1CC =点D 是11A B的中点，则异面直线1B C 与AD 所成的角的余弦值是________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17、（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1A B ∥平面1ADC ；（2）若AB AC =，12BC AA ==，求点C 到平面1ADC 的距离.18、（本小题满分12分） 设函数24()cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最大值，并写出使()f x 取最大值时x 的集合；（2）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2f B C +=，2b c +=，求a 的最小值.19、（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为()1q q ≠，且2212b S +=，22S q b =. （1）求n a 与n b ；（2）证明：121111233n S S S ≤+++<.20、（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，2,1AB AD ==，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --.21、（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(),()a g x a R x +=-∈. （1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（3）若在[]1,( 2.718)e e =上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围.22、（本小题满分10分）平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程2x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为224x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；（2）求直线l 和圆C 的交点的极坐标（要求极角[)0,2θπ∈）.高考一轮复习：。
2016届宁夏六盘山高级中学高三上学期第二次月考数学(理)试题
宁夏六盘山高级中学2016届高三数学第二次月考试卷学科：理科数学 测试时间：120分钟 满分：150分命题人：连彦萍 审题人：陈宗善、李波一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数11z i =-，21z i =+，则12z z i等于（ ） A ．2i B ．2i - C ．2i + D ．2i -+ 2．设全集U R =，{|02}A x x =<<，{|1}B x x =<，则右图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{|1}x x ≥ B ．{|12}x x ≤< C ．{|01}x x <≤ D ．{|1}x x ≤3．用数学归纳法证明“111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++ ”时，由n k =的假设证明1n k =+时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ）A ．1111221k k k +++++ B ．1111122122k k k k +++++++ C ．1112221k k k +++++ D ．11122122k k k ++++++ 4．设l 、m 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ）A ．若,l m αα⊂ ，则l m ．B ．若,l l m α⊂ ，则m α ．C ．若,m m αβ⊥ ，则αβ⊥．D ．若,m ααβ⊥ ，则m β ．5．数列{}n a 是首项14a =的等比数列，且1534,,2a a a -成等差数列，则其公比为（ ）A ．1或-1B ．-1C ．1 D6．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到如下类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =（ ）A ．18B ．19C ．164D ．127 7．设,x y 满足约束条件0,230,230,x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩(,)a y m x =+ ，(1,2)b = ，且a b ，则m 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．138．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．1603B ．160 C．64+ D．88+9．已知数列{},{}n n a b 满足2l o g ,n n b a n N *=∈，其中{}n b 是等差数列，且8200814a a ⋅=，则1232015b b b b ++++= （ ）A ．2015-B ．2015C ．2log 2015D ．100810．若函数sin()y A x ωϕ=+，(0,0,)2A πωϕ>><在一个周期内的图象如图所示，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点，且0OM ON ⋅= ，（O 为坐标原点）则A ω⋅=（ ）A ．6π B．12 C．6 D．311．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===，底面ABC 是正三角形，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A ．π B ．3π C ．4π D ．43π 12．已知两条直线1:l y m =和24:(0)1l y m m =>+，1l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于点,C D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，b a的最小值为（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 4正（主）视图侧（左）视图 俯视图。
2016届宁夏六盘山高级中学高三第五次模拟考试数学(理)试题【word】
宁夏六盘山高级中学2016届高三第五次模拟考试数学（理）试题【word 】理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,}A x x x R =≤∈，2,}B x Z =≤∈，则A B = （ ）A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{0,1,2}D ．{0,2} 2.已知2()2a i i -=-，其中i 是虚数单位，则实数a =（ ） A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-23.用数学归纳法证明22222222(21)12(1)(1)213n n n n n ++++-++-+++= 时，由n k =时的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是（ ）A ．22(1)2k k ++ B ．22(1)k k ++ C ．2(1)k + D ．21(1)[2(1)1]3k k +++4. 20sin 501sin10+的值等于（ ）A ．12 B ．14C ．1D ．2 5.同时具有性质①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在[,]63ππ-上是增函数的一个函数为（ ） A ．sin()26x y π=+B ．cos(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos()26x y π=- 6.若,x y 满足不等式组22010360x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩）A ．2 BCD7.执行如图的程序框图，若输出i 的值为12，则①、②处可填入的条件分别为（ ）A ．384,1S i i >=+B ．384,2S i i ≥=+C ．3840,1S i i >=+D ．3840,2S i i ≥=+8.如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（ ）A ．2B ．6C ．D ．2+9.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，11()()2x f x -=，则不等式2()0f x x -≥的解集是（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,1- C ．[]1,+∞ D ．(,1][1,)-∞+∞10.已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于,P Q 两点，且点P 的横坐标为2，则1PFQ ∆的周长为（ ）A ．BC ． D11.如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体'A BCD ，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．2πB ．3πC D12.已知定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意x R ∈，有(2)2()f x f x +=；②当[]1,1x ∈-，有()f x =若函数,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则函数()()y f x g x =-在区间(4,5)-上的零点个数是（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.如图，在正方形ABCD 中，4AD =，E 为DC 上一点，且3DE EC = ，则AB AE ∙=__________.14.已知两圆的方程分别为2240x y x +-=和2240x y y +-=，则这两圆公共弦的长等于__________. 15.如图，点A 的坐标为(1,0)，函数2y ax =过点(2,4)C ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于__________.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，c =3C π=，则ABC ∆周长的取值范围是_________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4232S S =+，22n n a a =， （1）求等差数列{}n a 的通项公式n a . （2）令2221(1)n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对任意*n N ∈，都有31164n T ≤<. 18.（本小题满分12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：（1）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （2）已知员工年薪收入y 与工作所限x 成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪如下表： 预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程y bx a =+ 中系数计算公式和参考数据分别为：^121()()()niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑， a y bx =- ，其中,x y 为样本均值，421()5i i x x =-=∑，41()()7i ii x x y y =--=∑，（1,2,3,4i =） 19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且060ABC ∠=，2,AB PC PA PB ====,（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）设H 是PB 上的动点，求CH 与平面PAB 所成最大角的正切值； （3）求二面角P AC B --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，且过点.（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线:(0)l y kx m k =+≠，与该椭圆交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率依次为12,k k ，满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是请说明理由. 21.（本小题满分12分） 设函数21()ln (0)2f x x x mx m =+-> （1）求()f x 的单调区间；（2）证明：曲线()y f x =不存在经过原点的切线.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC 为O 的直径，D 为 BC的中点，E 为BC 的中点. （1）求证：//DE AB ；（2）求证：2AC BC AD CD ∙=∙23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.宁夏六盘山高级中学2016届高三第五次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：.1-6.CABACB 7-12.DCBDDA二、填空题：.13. 12 14. 15.51216.三、解答题：.17.解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由4232S S =+，22n n a a =得222222221111111111[1][1]422334(1)4(1)n T n n n =-+-+-++-=-++ .因为1n ≥，*n N ∈，所以31164n T ≤<. 18.解：（1）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；ξ取值为0，1，2 242102(0)15C P C ξ===,11462108(1)15C C P C ξ===,162101(2)3C P C ξ===,∴ξ的分布列为∴()012151535E ξ=⨯+⨯+⨯=. （2）设,i i x y (1,2,3,4)i =分别表示工作年限及相应年薪，则 2.5,5x y ==，421()5ii x x =-=∑，41()()7i i i x x y y =--=∑，^121()()7 1.45()niii nii x x y y b x x ==--===-∑∑， 5 1.4 2.5 1.5a y bx =-=-⨯= ， 由线性回归方程为 1.4 1.5y x =+，可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元.19.解：（1）证明：取AB 中点O ，连结,PO CO ，由PA PB ==，2AB =，知PAB ∆为等腰直角三角形，∴1PO =，PO AB ⊥，由2AB BC ==，060ABC ∠=，知ABC ∆为等边三角形，∴CO =，由2PC =得222PO CO PC +=，∴PO CO ⊥又AB CO O = ，∴PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD （2）解法1：如图，连结OH ，由（1）知CO PO ⊥，CO AB ⊥ ∴CO ⊥平面PAB ，CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角，在Rt COH ∆中，∵tan OC CHO OH ∠==要CHO ∠最大时，只需OH 取最小值，而OH 的最小值即点O 到PB 的距离，这时OH PB ⊥，OH =，故当CHO ∠最大时，tan CHO ∠=CH 与平面PAB ，解法2：由（1）知PO ⊥平面ABC ，CO AB ⊥，如图所示，以O 为原点，,,OC OB OP 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则C ，(0,1,0)B ，(0,0,1)P ，设点H 的坐标为(0,,)m n ，BH BP λ=，则(0,1,)(0,1,1)m n λ-=-，∴1,m n λλ=-=，即(0,1,)H λλ-,则1,)HC λλ=-- ，OC =为平面PAB 的法向量，设CH 与平面PAB 所成的角为θ，则sin cos ,OC HC OC HC OC HCθ∙==∙==当12λ=时，sin θ取最大值，()max sin θ=(0,]2πθ∈，此时θ最大，tan θ= 即CH 与平面PAB.（3）二面角P AC B --.20.解：（1）依题意可得222221b c aa b c ⎧⎝⎭=⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪⎩解得2,1a b ==.所以椭圆C 的方程是2214x y +=. （2）当k 变化时，2m 为定值，证明如下：由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，222(14)84(1)0k x kmx m +++-=.设11(,)P x y ，22(,)P x y ，则122814kmx x k+=-+，21224(1)14m x x k -=+ （*） ∵直线,OP OQ 的斜率依次为12,k k ，且124k k k =+， ∴121212124y y kx m kx mk x x x x ++=+=+，得12122()kx x m x x =+， 将（*）代入得：212m =， 经检验满足0∆> 21.解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2'11()x mx f x x m x x-+=+-=.令'()0f x =，得210x mx -+=，当240m ∆=-≤，即02m <≤时，'()0f x ≥，∴()f x 在(0,)+∞内单调递增， 当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得1x =，2x =120x x <<，在区间()10,x 及()2,x +∞内，'()0f x >，在12(,)x x 内，'()0f x <，∴()f x 在区间()10,x 及()2,x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减. （2）假设曲线()y f x =在点(,())x f x (0)x >处的切线经过原点，则有'()()f x f x x=，即21ln 12x x mxx m x x +-=+-， 化简得：21ln 10(0)2x x x -+=> （*）记21()ln 12g x x x =-+(0)x >，则2'11()x g x x x x -=-=，令'()0g x =，解得1x =.当01x <<时，'()0g x <，当1x >时，'()0g x >，∴3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122x x -+≥. 由此说明方程(*)无解，∴曲线()y f x =没有经过原点的切线.22.证明：（1）连接OE ，因为D 为 BC的中点，E 为BC 的中点，所以OED 三点共线，因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，所以//OE AB ，故//DE AB .（2）因为D 为 BC的中点，所以BAD DAC ∠=∠，又BAD DCB ∠=∠DAC DCB ⇒∠=∠. 又因为AD DC ⊥，DE CE ⊥⇒DAC ∆∽ECD ∆.222AC AD AD CD AC CE AD CD AC CE AD CD AC BC CD CE⇒=⇒∙=∙⇒∙=∙⇒∙=∙23.解：（1）圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）设11(,)P ρθ，则由2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得111,3πρθ== 设22(,)Q ρθ，则由(sin )3ρθθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得223,3πρθ== 所以2PQ =.24.解：（1）72,()341,27,x f x x x x -⎧⎪=-+-=⎨⎪-⎩3344x x x <≤≤>， 作函数()y f x =的图象，它与直线2y =交点的横坐标为52和92，由图象知 不等式()2f x ≤的解集为59,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）函数1y ax =-的图象是过点(0,1)-的直线.当且仅当函数()y f x =与直线1y ax =-有公共点时，存在题设的x . 由图象知，a 取值范围为1(,2)[,)2-∞-+∞ ..。
宁夏六盘山高级中学2016届高三第一次模拟考试理数试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ⋂等于（ ） A ．{}2,1-- B ．{}2- C ．{}1,0,1- D ．{}0,1 【答案】A 【解析】试题分析：{}1->=x x A ，所以{}1-≤=x x A C R ，所以有{}21--=⋂，B A C R ，故本题正确选项为A.考点：集合的运算及集合的关系.2.已知复数34z i =+，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．20z > B ．0z z > C ．25z = D ．34z i =-+ 【答案】B考点：复数的运算，共轭复数的概念.3.已知,sin 2cos 0R ααα∈+=则tan 2α=（ ） A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 【答案】A 【解析】试题分析：由已知条件可得2cos sin tan -==ααα，由二倍角公式得34)2(1)2(2tan 1tan 22tan 22=---⨯=-=ααα，故本题的正确选项为A. 考点：同角的三角函数关系，三角恒等变换. 4.函数3tan cos (0,)22y x x x x ππ=≤<≠的图像是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D考点：三角函数的图象.【方法点睛】已知函数的解析式，求函数的大致图象，主要通过函数的单调性，奇偶性（对称性），在区间上函数值的符号（即正负），以及一些特殊点来进行描绘，对于定义域不包含某点的情形，可优先用来排除选项；本题主要利用了函数在],2(ππ与)23,[ππ时函数值的符号来进行排除错误选项.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，则数列{}n a 的公差为d 是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 【答案】B 【解析】试题分析：等差数列的前n 项和为d n n na S n )1(211-+=，所以有d n a n S n )1(211-+=，代入32132S S -=中，即d d a d a S S 21])12(21[-)13(212-31123=-+-+=，所以有2=d ，故本题的正确选项为B.考点：等差数列的前n 项和.6.如图是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆a 千克，则共需油漆的总量为（ ）A ．(4836)a π+千克B ．(3924)a π+千克C ．(3636)a π+千克D ．(3630)a π+千克 【答案】B考点：空间几何体的表面积.7.已知{}(,)|01,01x y x y Ω=≤≤≤≤，A 是由直线0,(01)y x a a ==<≤，和曲线3y x =围成的曲边三角形区域，若向区域Ω上随机投一点，点落在区域A 内的概率为164，则a 的值是（ ） A ．164B ．18C ．14D ．12【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，Ω为边长为1的正方形，其面积为1=ΩS ，A 的面积可由定积分dxx a⎰3来求得，可知A 的面积为441a S A =，则向区域Ω上随机投一点，点落在区域A 内的概率为441a S S P A ==Ω，所以有21416414=⇒=a a ，故本题的正确选项为D. 考点：几何概型的概率.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>以及双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线将第一象限三等分，则双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为（ ）A ．2BC ．2 【答案】A考点：双曲线的渐近线，离心率.9.下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果S 表示（ ）A ．0123a a a a +++的值B ．233201000a a x a x a x +++的值 C ．230102030a a x a x a x +++的值 D ．以上都不对【答案】C考点：程序框图.10.三名同学去参加甲、乙、丙、丁四个不同的兴趣小组，去那个兴趣小组可以自由选择，但甲小组至少有一人参加，则不同的选择方案共有（ ） A ．16种 B ．18种 C ．37种 D ．48种 【答案】C 【解析】试题分析：三名同学去参加四个不同的兴趣小组，总共有64444=⨯⨯种选择方法，又甲小组必须得有人参加，可先求出没有人参加甲小组的选法，即三人选三个兴趣小组，有27333=⨯⨯种选法；则至少有一人参加甲小组的选法有3727-64=种，故本题的正确选项为C.考点：组合与组合的运用.11.一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ ）A ．2B ．3C 【答案】D考点：正四面体的体积，内接球与内接正方体.【思路点睛】正方体绕某一点O 任意转动，所需要的最小空间为以O 到正方体顶点的最大距离为半径的球体，当空间已知时，可求得半径最大的内切球体（此圆不一定与所有的面都相切），而在固定球体中，当可任意旋转的正方体的体心与球心重合时，且内接于球体有最大的棱长.所以本题关键是求得四面体的内切球体.12.设定义在(0,)+∞上的单调函数()f x 对任意的(0,)x ∈+∞都有3(()log )4f f x x -=，则不等式2(2)4f a a +>的解集为（ ）A ．{}|31a a a <->或B ．{}|1a a >C ．{}|31a x -<<D ．{}|3a a <- 【答案】A 【解析】试题分析：根据3(()log )4f f x x -=可假设4)(=b f ，则有对任意的(0,)x ∈+∞，b x x f =-3log )(恒成立，再将4)(,==b f b x 代入前式，可得4log 3=+b b ，可求得3=b ，则x x f 3log 3)(+=，4)3(=f ，可见)(x 为单调增函数，所以2(2)4f a a +>的解集应该为不等式422>+a a 的解，为{}|31a a a <->或，故本题的正确选项为A.考点：函数的解析式，单调性.【思路点睛】函数解析式未知，首先要根据已知条件3(()log )4f f x x -=来求出函数的具体解析式（或者求函数的单调性），其次因为函数是单调的，在确定了函数的单调性后，要确定函数值为4时所对应的自变量，然后将有关函数的不等式转化为a 的一元二次不等式，这样便可求得a 的范围.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知点F 是抛物线2y x =的焦点，AB 为过点F 的直线且与抛物线交于,A B 两点，3AB =，则线段AB 的中点M 的横坐标为________． 【答案】45【解析】试题分析：由抛物线方程可知)0,41(F ，假设B A ,横坐标为21,x x ，由抛物线的准线的性质可知25341412121=+⇒=+++=x x x x AB ，AB 的中点M 的横坐标为45)(2121=+x x .考点：抛物线准线的运用.14.若实数,x y 满足条件1021x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2Z x y =+的最大值为________．【答案】4考点：线性约束条件.15.已知点O 为ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=则:ABC BOC S S ∆∆=________．【答案】13： 【解析】 试题分析：如图330OA OB OC OA OA AB OA AC OA AB AC OA AD ++=++++=++=+=，即3AO AD =，又12AE AD =，所以有21,33AO AE OE AE ==即，则:ABC BOC S S ∆∆=3:1AE OE =:.考点：向量的运算.【思路点睛】因为BOC ABC ∆∆,有相同的底边BC ，所以只要分别求得顶点BC O A 到,的距离或者其比值便可求得BOC ABC ∆∆与面积之比，显然求比值较容易，由三角形相似的性质可知顶点BC O A 到,的距离之比等于与的比值，所以要结合0OA OB OC ++=利用向量的运算求得与的比值.16.已知数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=，则na n的最小值为_________． 【答案】636考点：等差数列，数列的最值.【思路点睛】解答本题首先要根据递推公式n a a n n 2-1=+，结合迭代法来求得数列{}n a 的通项公式，进而可求得na n的表达式，即133-+=n n n a n ，因为数列是特殊的函数，所以可先将数列转化为函数，通过函数求得最小值，并求得此时的自变量1x ，因为数列中自变量为自然数，所以取与1x 最接近的两个自然数，然后na n的值，取最小的即可. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22sin 3cos()0A B C ++=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积S a ==b c +的值． 【答案】（1）3π；（2）9.考点：余弦定理的运用. 18.（本题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[]25,55岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的人群称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．现对容量为n 的样本数据进行整理，得到如下各年龄段人数的频率分布直方图和统计表：（1）补全频率分布直方图并求,,n a p 的值；（2）从[)40,50岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取9人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[)40,45岁的人数为X ，求X 的分布列和期望()E X ．【答案】（1）65.0,60,1000===p a n ；（2）分布列见解析，期望为2．第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n==．考点：频率分布直方图的运用，分层抽样，组合，数学期望.19.(本小题满分12分)已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1,2AB AC PA AC AB ⊥==，N 为AB 上一点，4AB AN =，,M S 分别为,PB BC 的中点．（1）证明：CM SN ⊥；（2）求SN 与平面CMN 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）4π. 【解析】试题分析：（1）由PA ⊥平面ABC ，可知AB PA AC PA ⊥⊥,，又AB AC ⊥，可知PA AB AC ,,互相垂直，可建立空间坐标系，利用向量法来证明CM SN ⊥；(2）SN 与平面CMN 所成角，首先求得平面CMN 的法向量，再求法向量与的夹角.考点：线面垂直的性质，线面角，空间向量的建立与运用. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率2e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为12-，直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆C 交于相异两点,A B ，且3AP PB =． （1）求椭圆C 的方程； （2）求m 的取值范围．【答案】（1）22112x y +=；（2）112m -≤<-或112m <≤．（2）当直线斜率不存在时：12m =±， 当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为1122(,),(,)A x y B x y ， ∴2221y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得222(2)2(1)0k x kmx m +++-= ∴22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∆-+-=-+>，（*）212122221,22km m x x x x k k --+==++∵3AP PB =，∴123x x -=，∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩， 消去2x ，得212123()40x x x x ++=，∴2222213()4022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立：214m ≠时，2222241m k m -=-，∴22222041m k m -=≥-时，∴112m -≤<-或112m <≤，把2222241m k m -=-代入（*）得112m -<<-或112m <<， ∴112m -<<-或112m <<． 综上m 的取值范围为112m -≤<-或112m <≤． 考点：椭圆的焦点，离心率，两点间距离. 21.（本小题满分12分） 已知函数()ln f x ax x =-．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在(,())e f e （e 为自然对数的底）处的切线方程； （2）当(]0,x e ∈时，是否存在实数a ，使得()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说 明理由． 【答案】（1）1e y x e-=；（2）存在，2a e =.考点：函数的最值与导数的运用.【方法点睛】求函数在某一点的切线，可以先求得函数的导函数，因为函数在该点处的导数就是切线的斜率，再求得该点坐标，即可利用点斜式求得切线方程；对于含参函数的最值问题，首先要确定函数的单调区间，即利用导函数的性质来求得函数的单调区间，进一步求得最小值的代数式，从而列方程求解.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）已知AB 为半圆O 的直径，4,AB C =为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过A 点作AD CD ⊥于D ，交半圆于点E ，1DE =．（1）证明：AC 平分BAD ∠； （2）求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【解析】试题分析：（1）由切线的性质可知CD OC ⊥，结合AD CD ⊥可证得AD OC //，从而有OCA OAC ∠=∠，在等腰OAC ∆中，DAC OAC ∠=∠，进一步可证明AC 平分BAD ∠；（2）由AC 平分BAD ∠可知BC CE =，则有DEC B AEC B ∠=∠=∠+∠即,π，所以有cos cos B CED ∠=∠，再由三角形相似的性质便可求得BC 的长.考点：切线的性质，相似三角形的性质. 23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(2,6)P ，且倾斜角为34π，在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为20sin()cos()4242πθπθρ=--．（1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 与直线l 交于点,A B ，求PA PB +．【答案】（1）2262x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，22100x y x +-=；（2）29. 【解析】试题分析：（1）将πθ43),62(=，P 代入直线的标准参数方程00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩，便可求得参数方程，利用二倍角公式对20sin()cos()4242πθπθρ=--进行化简，并利用⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2222cos y x x y x θρ求得直角坐标方程；（2）由直线参数方程代入直角坐标方程得关于t 的一元二次方程，利用B A t t PB PA +=+求出PA PB +.考点：直角坐标与极坐标的转换，点到直线的距离.【思路点睛】直角坐标系与极坐标系转化时满足关系式⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y y x θρtan 222，即⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，代入直角坐标方程，进行化简可求极坐标方程；对于三角形的最大面积，因为底边已知，所以只要求得底边上的高线的最大值，即可求得最大面积，在求圆上点到直线的距离时，可以用公式法求，即圆心到直线的距离再加上半径，也可以用参数法，距离关于θ的函数的最值. 24.（本小题满分10分）函数()f x =（1）若5a =，求函数()f x 的定义域A ；（2）设{}|12B x x =-<<，当实数,()R a b B C A ∈⋂时，证明：124a b ab+<+． 【答案】（1）{}|41A x x x =≤-≥或；（2）证明见解析. 【解析】考点：（求解）证明含有绝对值的不等式.。
2016届宁夏六盘山高中高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)
2016届宁夏六盘山高中高三上学期第二次月考数学（理）试题及解析一、选择题1．已知复数121,1,z i z i =-=+则12z z i等于（ ）A 、2iB 、2i -C 、2i +D 、2i -+【答案】B【解析】试题分析：由题意，得i ii i i i z z 22)1)(1(21-==+-=；故选B ． 【考点】复数的运算．2．设全集U R =，{}{}02,1A x x B x x =<<=<，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A 、{}1x x ≥ B 、{}12x x ≤< C 、{}01x x <≤ D 、{}1x x ≤ 【答案】B【解析】试题分析：由题意，得阴影部分用集合表示为A B C U )(，即{}{}{}21|20|1|)(<≤=<<≥=x x x x x x A B C U ；故选B ．【考点】1．集合的表示；2．集合的运算．3．用数学归纳法证明“111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++ ”时，由n k =的假设证明1n k =+时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ）A 、1111221k k k +++++B 、1111122122k k k k +++++++C 、1112221k k k +++++ D 、11122122k k k ++++++ 【答案】D【解析】试题分析：当1+=k n 时，等式的右边为)1(211213121++++⋅⋅⋅++++k k k k ；故选D ．【考点】数学归纳法．4．设l m 、表示两条不同的直线，αβ、表示两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ）A 、若l α⊂，m ∥α，则l ∥mB 、若l α⊂，l ∥m ，则m ∥αC 、若m ∥α，m β⊥，则αβ⊥D 、若m ∥α，αβ⊥，则m ∥β 【答案】C【解析】试题分析：若l α⊂，m ∥α，则m l ,可能平行或异面，故A 错误；若l α⊂，l ∥m ，则m ∥α或α⊂m ，故B 错误；若m ∥α，则存在直线n ，使n m n //,α⊂，因为m β⊥，所以β⊥n ，所以αβ⊥即C 正确；若m ∥α，αβ⊥，则β//m 或β⊂m ，故D 错误；故选C ． 【考点】空间中线面的位置关系． 5．数列{}n a 是首项14a =的等比数列，且1534,,2a a a -成等差数列，则其公比为（ ）A 、1或-1B 、-1C 、1 D【答案】A【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，则14-=n n q a ，因为1534,,2a a a -成等差数列，所以315242a a a -=，即248168q q -=，即0224=-+q q ，解得12=q 或22-=q ，即1=q 或1-=q ；故选A ．【考点】1．等差数列；2．等比数列．6．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =（ ）A 、18 B 、19 C 、164 D 、127【答案】D【解析】试题分析：正三角形的外心与内心重合于正三角形的中心，由重心定理，得2121=r r ，即1214S S =，由此类比，正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合，且在正四面体的高上（如图所示），且PH r PH r 43,4121==， 则3121=r r ，则271323121==r r V V ；故选D ．【考点】1．类比推理；2．球的体积公式．【方法点睛】本题考查类比推理，属于基础题；类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法三种情况，在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理性问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．7．设,x y 满足约束条件()0,230,,,230.x x y a y m x x y ≥⎧⎪+-≥=+⎨⎪+-≤⎩()1,2b = ，且a ∥b ，则m 的最小值为（ ） A 、1 B 、2 C 、12 D 、13【答案】A【解析】试题分析：因为)2,1//(),(x m y +，所以x m y +=2，即y x m 2+-=，将y x m 2+-=化为221mx y +=，作出可行域和目标函数基准直线x y 21=(如图所示），当直线221m x y +=向左上方平移时，直线221mx y +=在y 轴上的截距2m 增大，即m增大，由图象，得当直线221mx y +=过点A 时，m 取得最小值，联立⎩⎨⎧=-+=-+032032y x y x ，得)1,1(A ，即121min =+-=m ；故选A ．【考点】1．平面向量平行的判定；2．简单的线性规划．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A 、1603B 、160C 、64+、88+【答案】C【解析】试题分析：由三视图，可知该几何体的直观图如图所示，侧面CDFE 是边长为4,8的矩形，面积为32；侧面ADF 是腰长为4的等腰直角三角形，面积为8；面A B C D 是直角梯形，两底长为4和8，直角腰长为4，面积为()2448421=⨯+⨯；面BCE 是直角腰长为4和244422=+的直角三角形，面积为28；所以该几何体的表面积为28642882432+=+++；故选C ．【考点】1．三视图；2．几何体的表面积．9．已知数列{}{},n n a b 满足*2l o g ,n n b a n N =∈，其中{}n b 是等差数列，且8200814a a ⋅=，则1232015b b b b ++++ =（ ） A 、-2015 B 、2015 C 、2log 2015 D 、1008【答案】A【解析】试题分析：4120088=⋅a a ，41log )(log 2200882=⋅∴a a ，即2l o g l o g 2008282-=+a a ，即220088-=+b b ，则120158200812320152015(b )2015(b )201522b b b b b b ++++++===- ；故选A ．【考点】1．对数的运算；2．等差数列的性质；3．等差数列的前n 项和． 10．若函数()sin ,0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点，且0OM ON ⋅=，（O 为坐标原点），则A ω⋅=（ ）A 、6π B C D 【答案】C【解析】试题分析：由图象，得πππωπ=-⨯==)123(42T ，即2=ω，则),127(),,12(A N A M -ππ，0OM ON ⋅= ，0144722=-∴A π，解得127π=A ，则67πω=⋅A ；故选C ． 【考点】1．三角函数的图象与性质；2．平面向量垂直的判定．11．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===ABC 是正三角形，侧棱与底面ABC 所成的角为60︒，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A 、π B 、3π C 、4π D 、43π【答案】D【解析】试题分析：作ABC PH 面⊥，垂足H 是底面正三角形的中心，连接AH ，则PAH ∠是侧棱PA 与底面ABC 所成的角，即060=∠PAH ，且三棱锥外接球的球心O在PH 上，设外接球的半径为R ；在PAHRt ∆中，2360sin 3,2360cos 3,300=====PH AH PA ，在O A H Rt ∆中，R OH R OA -==23,，则 432322=⎪⎭⎫ ⎝⎛--R R ，解得1=R ，则该三棱锥外接球的体积为34343==R V π；故选D ．【考点】1．三棱锥与球的组合体；2．直线与平面所成的角；3．球的体积公式． 【方法点睛】本题考查三棱锥与球的组合问题，属于中档题；解决本题的关键是正确确定三棱锥的外接球的球心位置，因为H 是ABC ∆的中心，则H 到C B A ,,的距离相等，所以PH 上的点到C B A ,,的距离相等，即外接球的球心在PH 上，再设出外接球的球心，进而利用直角三角形的勾股定理和正三棱锥的高进行求解． 12．已知两条直线1:l y m =和24:(0)1l y m m =>+，1l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于点,A B ，2l与函数2log y x =的图象从左至右相交于,C D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，ba的最小值为（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 【答案】B【解析】试题分析：令m x =|log |2，得mB m A x x 2,2==-；令14|log |2+=m x ，得14142,2++-==m D m C x x ；则14141422|22||22|+++--⋅-=-=m m m m m ma ，|22|14+-=m mb ，则8222223114)1(1414=≥==⋅=-++++++m m m m m m ab （当 且仅当141+=+m m ，即1=m 时，取等号）；故选B ． 【考点】1．函数图象的交点；2．基本不等式．【方法点睛】本题考查函数图象的交点、指数的运算性质以及基本不等式的应用，属于中档题；利用基本不等式求函数的最值，要注意“一正、二定、三等”，尤其是“定值”的条件，当所给题意中无定和或定积时，常使用“陪凑法”设法出现定和或定积，如本题中114)1(14-+++=++m m m m 和)]21(2[21)21(2222x x x x -=-． 二、填空题 13．()40sin cos 2x a x dx π-=-⎰，则实数a =__________． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意，得()44022si n c o s o s i n )|22x ax d x a a ππ-=--=-+=-⎰，解得2=a ；故填2．【考点】微积分基本定理．14．设12a =，函数,0,()log ,0,x a a x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，则211()(log )46f f +的值等于__________．【答案】8【解析】试题分析：由题意，得241log )41(21==f ，62)21()61(log 6log 61log 222===f ，所以211()(log )846f f +=；故填8． 【考点】1．分段函数；2．对数恒等式；3．换底公式． 15．我们把形如()()x y f x ϕ=的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：即在函数解析式两边求对数得：()ln ln ()()ln ()x y f x x f x ϕϕ==，两边对x 求导数，得''()'()l n ()()()y f xx f x xyf x ϕϕ=+，于是()'()'()'()ln ()()()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，运用此方法可以求得函数(0)xy x x =>在(1,1)处的切线方程是___________． 【答案】0=-y x【解析】试题分析：xx y = ，x x x y xln ln ln ==∴，xx x x y y ln 1ln '⋅+=∴，)1(ln 2'xx x x y x ⋅+=∴，由导数的几何意义，得函数(0)x y x x =>在(1,1)处的切线的斜率1=k ，且1)1(=f ，所以函数(0)xy x x =>在(1,1)处的切线方程为11-=-x y ，即0=-y x ；故填0=-y x ．【考点】1．导数的几何意义；2．演绎推理．【易错点睛】本题考查导数的几何意义、导数的运算，属于中档题；要处理曲线的切线时，要注意区分“曲线在某点处的切线”与“曲线过某点的切线”，曲线在某点处的切线，该点在曲线上，且该点是切点，且满足条件的切线只有一条；曲线过某点的切线，该点不一定在曲线上，且该点也不一定是切点，且满足题意的切线也不一定只有一条． 16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形且AC BC ==1CC D 是11A B 的中点，则异面直线1B C 与AD 所成的角的余弦值是________．【答案】552 【解析】试题分析：由题意，得BC AB BC CC AB CC ⊥⊥⊥,,11，所以建立空间坐标系（如图所示）， 则)3,0,2(1B ，)0,0,0(C ，)0,2,0(A ，)3,22,22(D ，则AD = ,1(BC = ，则异面直线1B C 与AD 所成的角的余弦值为11||5||||B C AD B C AD ⋅=⋅；故填552．【考点】1．异面直线所成的角；2．空间向量在立体几何中的应用．【方法点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角，属于解答题；在立体几何中求三种空间角（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角）或空间距离（点到平面的距离、直线到平面的距离）时，倾向于空间向量法，即利用题意中的垂直关系建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量进行求解． 三、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点．（1）求证：1A B ∥平面1ADC ；（2）若AB AC =，12BC AA ==，求点C 到平面1ADC 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】试题分析：（1）利用三角形的中位线证明线线平行，再利用线面平行的判定定理得到线面平行；（2）利用等腰三角形的三线合一得到线线垂直，再证得线面垂直和面面垂直，作出线线垂直，利用面面垂直的判定证得线面垂直，再利用直角三角形求点到平面的距离． 试题解析：（1）连接1AC ，交1AC 于点E ，则点E 是1AC 及1AC 的中点．连接DE ，则DE ∥1A B ．因为DE ⊂平面1ADC ，所以1A B ∥平面1ADC ．（2）因为AB AC =，点D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，又1AD A A ⊥，所以AD ⊥平面11BCC B ，平面1ADC ⊥平面11BCC B ．作于1CF DC ⊥于F ，则CF ⊥平面1ADC ，CF 即为所求距离．在1Rt DCC ∆中，115DC CC CF DC ⨯==． 所以1A 到与平面1ADC的距离为5．【考点】1．空间中平行关系的转化；2．空间中垂直关系的转化；3．点到平面的距离． 18．设函数24()cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最大值，并写出使()f x 取最大值时x 的集合；（2）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2f B C +=，2b c +=，求a 的最小值．【答案】（1）2，,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（2）1． 【解析】试题分析：（1）先利用两角差的余弦公式和二倍角公式将()f x 化为1)32cos(++πx ，再利用三角函数的性质求其最值及取得最值时自变量的集合；（2）由（1）以及角A 的范围解得角A,再利用余弦定理和基本不等式进行求解．试题解析：（1）()2444()cos 22cos cos 2cos sin 2sin 1cos 2333f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos 221cos 213x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ ()f x 的最大值为2．（2）由题意，()3()cos 2132f B C B C π⎡⎤+=+++=⎢⎥⎣⎦，化简得 1cos 232A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ()50,,2,333A A ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭，只有2,333A A πππ-==． 在ABC ∆中，由余弦定理，()22222cos33a b c bc b c bc π=+-=+-．由2b c +=知212b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，即21a ≥，当1b c ==时a 取最小值1．【考点】1．三角恒等变换；2．三角函数的图象与性质；3．余弦定理；4．基本不等式． 19．在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为()1q q ≠，且2212b S +=，22S q b =．（1）求n a 与n b ；（2）证明：121111233n S S S ≤+++< ． 【答案】（1）33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为d ，利用222212,,b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得到关于q d ,的方程组进行求解；（2）先利用等差数列的求和公式求出n S ，再利用裂项抵消法求和，在利用数列的单调性进行证明． 试题解析：（1）设{}n a 的公差为d ，因为222212,,b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩所以612,6.q d dq q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩ 解得 3q =或4q =-（舍），3d =．故33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=．（2）因为()332n n n S +=， 所以()122113331n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． 故121112111111113223341n S S S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21131n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 因为1n ≥，所以11012n <≤+，于是111121n ≤-<+，所以121213313n ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭，即121111233n S S S ≤+++< ． 【考点】1．等差数列；2．等比数列；3．裂项抵消法；4．数列的单调性．20．如图，已知长方形ABCD 中，2,1AB AD ==，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦【答案】（1）证明见解析；（2）E 为BD 的中点． 【解析】试题分析：（1）先利用面面垂直的性质和等腰三角形的三线合一证得线面垂直，建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量的数量积为0进行证明；（2）利用点E 是线段DB 上的一动点，设出DE DB λ=，再求两个平面的法向量，进行求解．试题解析：（1）因为平面AMD ⊥平面ABCM ，2,1AB AD ==，M 为DC 的中点，AD DM ∴=，取AM 的中点O ，连结OD ，则DO ⊥平面ABCM ，取AB 的中点N ，连结ON ，则ON AM ⊥，以O 为原点如图建立空间直角坐标系，根据已知条件，得,,,0,0,2222A B M D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则AD ⎛= ⎝⎭，()BM =，所以0AD BM ⋅= ，故AD BM ⊥． （2）设DE DB λ= ，因为平面AMD 的一个法向量()0,1,0n =，ME MD DB λ⎫=+=⎪⎪⎝⎭，()AM =．设平面AME 的一个法向量为(),,m x y z =，)010y z λ=+-=， 取1y =，得20,1,1x y z λλ===-，所以20,1,1m λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ，因为cos ,m n m n m n⋅==⋅求得12λ=，所以E 为BD 的中点．【考点】1．空间中垂直关系的转化；2．二面角；3．空间向量在立体几何的应用． 【方法点睛】本题考查折叠问题、空间中的垂直关系的转化、利用空间向量求二面角，属于中档题；处理立体几何中的折叠问题的关键是，正确弄清折叠前后的位置关系和度量的哪些量发生变化，哪些量没有发生变化，有哪些垂直或平行关系，有哪些可以度量，再考虑如何和建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解． 21．已知函数()ln f x x a x =-，1(),()ag x a R x+=-∈． （1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； （3）若在[]1,( 2.718)e e = 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，求a的取值范围．【答案】（1）1；（2）当1a >-时，()h x 在()0,1a +上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增；当1a ≤-时，函数()h x 在()0,+∞上单调递增；（3）211e a e +>-或2a <-．【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，求导，利用导数的符号研究函数的单调性确定函数的极值；（2）求导，对导函数分解因式，讨论1+a 的符号求其单调区间；（3）作差，将问题转化为函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零，再利用导数研究函数的最小值．试题解析：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， 当1a =时，()ln f x x x =-，11'()1x f x-=-=，所以()f x 在1x =处取得极小值为1． （2）1()ln ah x x a x x+=+-， []2222(1)(1)1(1)'()1x x a a a x ax a h x x x x x+-++--+=--== 当10a +>时，即1a >-时，在()0,1a +上'()0h x <，在()1,a ++∞上'()0h x >． 所以()h x 在()0,1a +上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增； 当10a +≤，即1a ≤-时，在()0,+∞上'()0h x >， 所以，函数()h x 在()0,+∞上单调递增． （3）在[]1,e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零． 由（2）可知即1a e +≥，即1a e ≥-，()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为()h e ，由1()0ah e e a e +=+-<可得211e a e +>-， 因为2111e e e +>--，所以211e a e +>-； 当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 的最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； 当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<， 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+> 此时，(1)0h a +<不成立．综上讨论可得所求a 的范围是：211e a e +>-或2a <-．【考点】1．函数的极值；2．函数的单调性．【易错点睛】本题考查函数的极值、单调性和不等式有解的判定，属于难题；本题的易错点是将“若在[]1,( 2.718)e e = 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立”转化为“)()(x g x f -在[]e ,1的最小值小于0”，而学生往往转化为“)()(x g x f -在[]e ,1的最大值小于0”要区分该问题与“)()(x g x f <在[]e ,1恒成立”的区别．22．平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程2x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为224x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；（2）求直线l 和圆C 的交点的极坐标（要求极角[)0,2θπ∈）． 【答案】（1）cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ρ=；（2）(2,0)，22,3π⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）先消去参数t ，先得到直线l 的普通方程，再利用cos ,sin x y ρθρθ==进行求解，得到直线l 和圆C 的极坐标方程；（2）联立直线l 和圆C 的极坐标方程，得到关于θρ,的方程进行求解． 试题解析：（1）直线l的普通方程为20x -=，将cos ,sin x y ρθρθ==带入（），得cos sin 20ρθθ-=， 化简得直线l 的方程为cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 圆C 的极坐标方程为2ρ=．（2）联立方程组2cos 13ρπρθ=⎧⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩，消去ρ得1cos 32πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为[)0,2θπ∈，所以5333πππθ-≤-<， 所以33ππθ-=-或33ππθ-=，所以直线l 和圆C 的交点的极坐标为(2,0)，22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【考点】1．曲线的参数方程、极坐标与普通方程的互化；2．直线与圆的交点．。
宁夏六盘山高级中学高三上学期期中考试数学试题
2016-2017学年宁夏六盘山高级中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共12题1．已知集合,则A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查集合的基本运算.,,所以2．下列函数中,满足“对任意的,当时,都有”的是A. B.C. D.【答案】A【解析】本题主要考查函数的单调性.因为对任意的,当时,都有，所以函数在上是减函数，由幂函数的性质可知，在上是减函数；由指数函数与对数函数的性质可知在上是增函数；易求在上是增函数，故答案为 A.3．若,则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查对数函数与三角函数，考查了逻辑推理能力.因为,所以由对数函数的性质可得,所以4．已知,则A.-1B.C.D.1【答案】A【解析】本题主要考查同角三角函数关系式、二倍角公式.将两边平方可得，所以，又,所以,则, 则.5．对任意的实数,若表示不超过的最大整数,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题主要考查新定义问题、充分条件与必要条件，考查了逻辑推理能力.由题意，当时，则,则，即必要性成立；令x=0.5，y=1.2，则，成立，但是，则，即充分性不成立，因此答案为 B.6．已知角的顶点与原点重合,始边与轴正半轴重合,终边在直线上,则的值是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查任意角的三角函数、二倍角公式，考查了分析问题与解决问题的能力.因为角的顶点与原点重合,始边与轴正半轴重合,终边在直线上,所以，则7．在中,,则A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理，考查了计算能力.由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=5,则,由正弦定理可得,求解可得8．已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)= A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】C【解析】本题主要考查函数的解析式、奇偶性和求函数的值,考查转化思想和方程思想.求解得出f(x)+g(x)=-x3+x2+1. 用“-x”代替“x”，此题的关键是用“-x”得f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-代替“x”，x)2+1,化简得f(x)+g(x)=-x3+x2+1,令x=1,得f(1)+g(1)=1,故选 C.9．已知命题,若是真命题,则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的真假判断，考查了逻辑推理能力.因为命题,所以是真命题，则,故答案为 A.10．如图曲线和直线所围成的图形(如图所示)的面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查定积分、曲多边形的面积，考查了计算能力.由题意可得阴影部分的面积S=11．若在是减函数,则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查导数与函数的性质，考查了恒成立问题与转化思想.在上恒成立，即在上恒成立，又因为,所以，故答案为 C.12．对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上【答案】A【解析】本题主要考查二次函数的零点、极值等,意在考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.由A知a-b+c=0;由B知f'(x)=2ax+b,2a+b=0;由C知f'(x)=2ax+b,令f'(x)=0可得x=-,则f(-)=3,则=3;由D知4a+2b+c=8.假设A选项错误,则,得,满足题意,故A结论错误.同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意,故选 A.二、填空题：共4题13．如图,勘探队员朝一座山行进,在前后两处观察山顶的仰角是30度和45度,两个观察点之间的距离是,则此山的高度为 (用根式表示).【答案】【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理，考查了分析问题与解决问题的能力.由题意可得,，求解可得h=14．已知指数函数,对数函数和幂函数的图形都过,如果,那么 .【答案】【解析】本题主要考查指数函数、对数函数与幂函数以及求值.设,和,因为这三个函数的图像都过点，求解可得,和,因为,所以，所以15．将函数的图象向左平移个单位后,得到的图象对应的函数为奇函数,则的最小值为 .【答案】【解析】本题主要考查三角函数的图像与性质，考查了逻辑推理能力与计算能力.由题意可得,是奇函数，所以,则,因为，所以当k=0时，取得最小值为16．已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为满足:对任意,两个点关于点对称,且恒成立,则实数的若是关于的“对称函数”，取值范围是 .【答案】【解析】本题主要考查新定义问题、函数的性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了逻辑推理能力与数形结合思想.根据“对称函数”的定义可知，,即,若恒成立，则等价于,即恒成立，设,作出两个函数的图像如图所示，直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=,|b|-,-10..=2,即=2,-10.,所以=2,-10.或=-2,-10.(舍去),即要使恒成立，则>2,-10.即,实数b的取值范围是.三、解答题：共7题17．已知函数.(1)求函数的最小正周期.(2)求函数在区间上的最大值及取得最大值时相应x的值.【答案】(1),所以(2)当,即时,【解析】本题主要考查两角和与差公式、二倍角公式、三角函数的性质，考查了转化思想与计算能力.(1)化简,由三角函数的性质求解即可；(2)由题意可得，结合正弦函数的性质求解即可.18．在中,角所对的边分别是,已知.(1)求角的大小.(2)若,求的取值范围.【答案】(1)由已知得:,即有..又又.(2)由余弦定理:,又,即:.【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、两角和与差公式，考查了转化思想与逻辑推理能力.(1)由,展开化简可得，由，再化简，即可求得结果；(2)利用余弦定理，结合,可得,又，则结论易得.19．已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.【答案】(Ⅰ)f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f '(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f'(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)(e x-).令f'(x)=0得,x=-ln 2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f '(x)>0;当x∈(-2,-ln 2)时,f '(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞）单调递增,在(-2,-ln 2)单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).【解析】本题主要考查导数的基本知识,利用导数判断函数单调性、求极值.第(Ⅰ)问求a,b两个未知量,需要列两个方程,注意到点(0,f(0))既在函数f(x)的图象上,又在切线上,切线的斜率就是导函数在切点处的值,可列两个方程.第(Ⅱ)问在第(Ⅰ)问的基础上求导,判断导函数的正负,然后求解.本题是常规题,求导正确是基础.【备注】【易错点拨】利用导数求极值或最值问题,书写要规范,解答要清楚.20．函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,为图象与x轴的交点,且为正三角形.(1)求函数的值域及的值.(2)若,且,求的值.【答案】(1)由已知可得所以函数的值域为.因为正三角形的高为,所以,则函数的周期,所以.(2),由(1)有:又,则故【解析】本题主要考查两角和与差公式、三角函数的性质与求值，考查了转化思想与逻辑推理能力.(1)化简，易得函数的值域，由为正三角形，可得了周期，即可求得值；(2)由题意可得，结合的取值范围求出，整理，再利用两角和与差公式展开求解即可.21．已知函数.(1)证明:当时,;(2)证明:当时,存在,使得对任意的,恒有.【答案】(1)令,则有当时,,所以在上单调递减,故当时,,即当时.(2)令,则有当时,,故在单调递增,,故对任意正实数均满足题意当时,令,得,取,对任意,有,从而在单调递增,所以,即.综上,当时,总存在,使得对任意,恒有.【解析】本题主要考查导数与函数的性质，考查了转化思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1) 令,求导并判断函数的单调性，求出函数的最大值，即可证明结论；(2) 令，,求导，分、两种情况讨论函数的单调性，即可证明结论.22．已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为,(为参数).(1)求直线与曲线的直角坐标方程.(2)设曲线经过伸缩变换得到曲线,设曲线C′上任一点为,求的最小值.【答案】(1)直线的方程为:,曲线的直角坐标方程为:(2)因为,所以,代入得设椭圆的参数方程为,(为参数),则.所以得最小值为 4.【解析】本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化、图像变换、三角函数.(1)消去参数t可得直线l的普通方程；利用公式化简可得曲线C的直角坐标方程；(2)由图像变换可得曲线，化为参数方程,(为参数), 由题意可得，化简易得结论.23．已知函数,不等式的解集为.(1)求的值.(2)实数满足,求证:.【答案】(1)由函数、方程、不等式的关系可知和是方程的根,所以,解得:(2)由(1)知,,所以所以:.【解析】本题主要考查含绝对值不等式的解法、柯西不等式的应用，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)利用绝对值的几何意义求解即可；(2)化简，再利用柯西不等式证明即可.。
宁夏六盘山高中2016届高三上学期期末数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年宁夏六盘山高中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合U=｛1，2,3,4,5}，A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩（∁U B)=()A．{1，2，3，5｝B．{2，4}C．{1,3｝D．｛2，5}2．复数z=（i是虚数单位），则|z｜=（）A．1 B．C．D．23．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，84．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α,β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m,n平行于同一平面，则m与n平行C．若α,β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面5．有下列说法：①一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12人；②采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动,学号为5，27，38，49的同学均选中,则该班学生的人数为60人；③废品率x％和每吨生铁成本y（元）之间的回归直线方程为，这表明废品率每增加1％，生铁成本大约增加258元;④为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防作用”，利用2×2列联表计算得K2的观测值k≈3.918，经查对临界值表知P（K2≥3。
841)≈0。
05，由此，得出以下判断：在犯错误的概率不超过0。
05的前提下认为“这种血清能起到预防的作用"．正确的有(）A．①④B．②③C．①③D．②④6．垂直于直线x﹣2y+2=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（)A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．或C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．或7．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是(）A．i＜4 B．i＞4 C．i＜5 D．i＞58．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣39．已知函数f（x)=sinωx+cosωx（ω＞0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位,得到函数g（x）的图象．关于函数g（x）,下列说法正确的是(）A．在［，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[，π］时,函数g（x）的值域是[﹣2,1]10．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．π C．π D．20π11．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈(﹣∞,0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立若a=(20。
宁夏六盘山高级中学2016届高三上学期第二次月考理数试题 含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知复数121,1,z i z i =-=+则12z z i等于（ ）A 、2iB 、2i -C 、2i +D 、2i -+【答案】B 【解析】试题分析：由题意,得i ii i i izz 22)1)(1(21-==+-=；故选B ．考点:复数的运算．2、设全集U R =,{}{}02,1A x x B x x =<<=<,则右图中阴影部分表示的集合为( )A 、{}1x x ≥B 、{}12x x ≤<C 、{}01x x <≤D 、{}1x x ≤【答案】B考点：1。
集合的表示;2。
集合的运算．3、用数学归纳法证明“111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++”时,由n k =的假设证明1n k =+时，如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( ） A 、1111221k k k +++++ B 、1111122122k k k k +++++++ C 、1112221k k k +++++ D 、11122122k k k ++++++ 【答案】D考点：数学归纳法．4、设l m 、表示两条不同的直线，αβ、表示两个不同的平面,下列命题中真命题是（ )A 、若l α⊂，m ∥α，则l ∥m .B 、若l α⊂，l ∥m ，则m ∥α。
C 、若m ∥α，m β⊥,则αβ⊥.D 、若m ∥α，αβ⊥，则m ∥β. 【答案】C 【解析】试题分析:若l α⊂,m ∥α，则m l ,可能平行或异面，故A 错误;若l α⊂,l ∥m ,则m ∥α或α⊂m ，故B 错误；若m ∥α，则存在直线n ,使n m n //,α⊂,因为m β⊥，所以β⊥n ，所以αβ⊥即C 正确；若m ∥α，αβ⊥，则β//m 或β⊂m ，故D 错误；故选C ． 考点：空间中线面的位置关系． 5、数列{}na 是首项14a=的等比数列，且1534,,2a a a -成等差数列，则其公比为（ ）A 、1或-1B 、—1C 、1D 2【答案】A 【解析】试题分析:设等比数列的公比为q ，则14-=n nq a ，因为1534,,2a a a -成等差数列，所以315242a a a-=，即248168q q -=,即0224=-+q q ,解得12=q 或22-=q ，即1=q 或1-=q ；故选A ．考点:1。
2016届宁夏六盘山高级中学高三第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2016届宁夏六盘山高级中学高三第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ⋂等于（ ） A ．{}2,1-- B ．{}2- C ．{}1,0,1- D ．{}0,1 【答案】A【解析】试题分析：{}1->=x x A ，所以{}1-≤=x x A C R ，所以有{}21--=⋂，B A C R ，故本题正确选项为A.【考点】集合的运算及集合的关系.2．已知复数34z i =+，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．20z > B ．0z z ⋅> C ．25z = D ．34z i =-+【答案】B【解析】试题分析：2222343(4)24924z i i i i =+=-+=-+（），34z i =-，(34)(34)25z z i i ⋅=+-=，54322=+=z ，可见只有选项B 正确，故本题的正确选项为B.【考点】复数的运算，共轭复数的概念.3．已知,sin 2cos 0R ααα∈+=则tan 2α=（ ） A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 【答案】A【解析】试题分析：由已知条件可得2cos sin tan -==ααα，由二倍角公式得34)2(1)2(2tan 1tan 22tan 22=---⨯=-=ααα，故本题的正确选项为A. 【考点】同角的三角函数关系，三角恒等变换. 4．函数3tan cos (0,)22y x x x x ππ=≤<≠的图像是（ ）【答案】D【解析】试题分析：当0sin cos tan )2,0[≥=⋅=∈x x x y x 时，π恒成立，排除选项B ，C ；当0sin cos tan ],2(≤-=⋅-=∈x x x y x 时，ππ恒成立，排除选项A ，C ，当0sin cos tan )23,[≤=⋅=∈x x x y x 时，ππ恒成立，综上所述，本题的正确选项为D. 【考点】三角函数的图象.【方法点睛】已知函数的解析式，求函数的大致图象，主要通过函数的单调性，奇偶性（对称性），在区间上函数值的符号（即正负），以及一些特殊点来进行描绘，对于定义域不包含某点的情形，可优先用来排除选项；本题主要利用了函数在],2(ππ与)23,[ππ时函数值的符号来进行排除错误选项.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，则数列{}n a 的公差为d 是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】B【解析】试题分析：等差数列的前n 项和为d n n na S n )1(211-+=，所以有dn a n S n )1(211-+=，代入32132S S -=中，即d d a d a S S 21])12(21[-)13(212-31123=-+-+=，所以有2=d ，故本题的正确选项为B.【考点】等差数列的前n 项和.6．如图是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆a 千克，则共需油漆的总量为（ ）A ．(4836)a π+千克B ．(3924)a π+千克C ．(3636)a π+千克D ．(3630)a π+千克 【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知可间房由底部长宽高分别为4,3,3的长方体与底面半径.母线长分别为5,3圆锥体组合而成，所以其可刷漆的表面积为πππ243933-35323423422+=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，则需要漆的总量为(3924)a π+千克，故正确选项为B.【考点】空间几何体的表面积.7．已知{}(,)|01,01x y x y Ω=≤≤≤≤，A 是由直线0,(01)y x a a ==<≤，和曲线3y x =围成的曲边三角形区域，若向区域Ω上随机投一点，点落在区域A 内的概率为164，则a 的值是（ ） A ．164B ．18C ．14D ．12【答案】D【解析】试题分析：根据题意，Ω为边长为1的正方形，其面积为1=ΩS ，A 的面积可由定积分dx x a⎰3来求得，可知A 的面积为441a S A =，则向区域Ω上随机投一点，点落在区域A 内的概率为441a S S P A ==Ω，所以有21416414=⇒=a a ，故本题的正确选项为D.【考点】几何概型的概率.8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>以及双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线将第一象限三等分，则双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为（ ）A ．2或3 B 或3C ．2 【答案】A【解析】试题分析：双曲线12222=-b y a x 一条的渐近线为x aby =，双曲线12222=-b x a y 一条的渐近线为x bay =，由于这两条渐近线将第一象限三等分，即这两直线与横轴正半轴的夹角分别为36ππ，，也即3tan π=b a ，所以b a 3=，或6tan π=b a ，即b a 33=，当b a 3=时可求得222=+=a b a e ，当b a 33=时可求得33222=+=a b a e ，故本题的正确选项为A.【考点】双曲线的渐近线，离心率.9．下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果S 表示（ ）A ．0123a a a a +++的值B ．233201000a a x a x a x +++的值 C ．230102030a a x a x a x +++的值 D ．以上都不对 【答案】C【解析】试题分析：首先执行第一次判断，03>=k ，所以有21=-=k k ，032x a a S *+=；执行第二次判断，02>=k ，所以有11=-=k k ，20302100321)(x a x a a x x a a a S ++=**++=；执行第三次判断，01>=k ，所以有01=-=k k ，30320201002030210)(x a x a x a a x x a x a a a S +++=+++=；执行第四次判断，0=k ，输出303202010x a x a x a a S +++=；所以本题的正确选项为C. 【考点】程序框图.10．三名同学去参加甲、乙、丙、丁四个不同的兴趣小组，去那个兴趣小组可以自由选择，但甲小组至少有一人参加，则不同的选择方案共有（ ） A ．16种 B ．18种 C ．37种 D ．48种 【答案】C【解析】试题分析：三名同学去参加四个不同的兴趣小组，总共有64444=⨯⨯种选择方法，又甲小组必须得有人参加，可先求出没有人参加甲小组的选法，即三人选三个兴趣小组，有27333=⨯⨯种选法；则至少有一人参加甲小组的选法有3727-64=种，故本题的正确选项为C.【考点】组合与组合的运用.11．一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ ）A ．2B ．3C 32【答案】D【解析】试题分析：正方体在正面体内可任意旋转，可知此正方体最大时为正四面体内接球的内接正方体，所以首先要求得内接球，根据h S V ⋅⋅=31结合正三角形的性质可求得218,39==V S ，假设内接球的半径为r ，则正四面体的面积也可写为Sr V 314⨯=，可求得26=r ，而球的内接正方体的体对角线为球的直径，假设正方体棱长a ，则有2243r a =，可求得2=a ，故本题的正确选项为D.【考点】正四面体的体积，内接球与内接正方体.【思路点睛】正方体绕某一点O 任意转动，所需要的最小空间为以O 到正方体顶点的最大距离为半径的球体，当空间已知时，可求得半径最大的内切球体（此圆不一定与所有的面都相切），而在固定球体中，当可任意旋转的正方体的体心与球心重合时，且内接于球体有最大的棱长.所以本题关键是求得四面体的内切球体.12．设定义在(0,)+∞上的单调函数()f x 对任意的(0,)x ∈+∞都有3(()log )4f f x x -=，则不等式2(2)4f a a +>的解集为（ ）A ．{}|31a a a <->或B ．{}|1a a >C ．{}|31a x -<<D ．{}|3a a <- 【答案】A【解析】试题分析：根据3(()log )4f f x x -=可假设4)(=b f ，则有对任意的(0,)x ∈+∞，b x x f =-3log )(恒成立，再将4)(,==b f b x 代入前式，可得4log 3=+b b ，可求得3=b ，则x x f 3log 3)(+=，4)3(=f ，可见)(x 为单调增函数，所以2(2)4f a a +>的解集应该为不等式422>+a a 的解，为{}|31a a a <->或，故本题的正确选项为A.【考点】函数的解析式，单调性.【思路点睛】函数解析式未知，首先要根据已知条件3(()log )4f f x x -=来求出函数的具体解析式（或者求函数的单调性），其次因为函数是单调的，在确定了函数的单调性后，要确定函数值为4时所对应的自变量，然后将有关函数的不等式转化为a 的一元二次不等式，这样便可求得a 的范围.二、填空题13．已知点F 是抛物线2y x =的焦点，AB 为过点F 的直线且与抛物线交于,A B 两点，3AB =，则线段AB 的中点M 的横坐标为________．【答案】45【解析】试题分析：由抛物线方程可知)0,41(F ，假设B A ,横坐标为21,x x ，由抛物线的准线的性质可知25341412121=+⇒=+++=x x x x AB ，AB 的中点M 的横坐标为45)(2121=+x x . 【考点】抛物线准线的运用.14．若实数,x y 满足条件1021x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2Z x y =+的最大值为________．【答案】4【解析】试题分析：本题主要考察线性约束条件下的最值问题，32z x y =-的最大值就是直线223zx y -=纵截距的最小值，必在可行域的端点（即围成可行域的几条直线的交点）处取得，由不等式组可知端点为））（，）（（2,22-00,0，直线223zx y -=过））（）（（2,20,10,0时所对应的纵截距依次为240,12,22,02321321===-=--=-=-z z z z zz ，，即，所以32z x y =-的最大值为4.【考点】线性约束条件.15．已知点O 为ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=则:ABC BOC S S ∆∆=________．【答案】13： 【解析】试题分析：如图330OA OB OC OA OA AB OA AC OA AB AC OA AD ++=++++=++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即3AO AD =u u u r u u u r ，又12AE AD =u u u r u u u r ，所以有21,33AO AE OE AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r即，则:ABC BOC S S ∆∆=3:1AE OE =u u u r u u u r:.【考点】向量的运算.【思路点睛】因为BOC ABC ∆∆,有相同的底边BC ，所以只要分别求得顶点BC O A 到,的距离或者其比值便可求得BOC ABC ∆∆与面积之比，显然求比值较容易，由三角形相似的性质可知顶点BC O A 到,的距离之比等于与的比值，所以要结合0OA OB OC ++=利用向量的运算求得OE AE 与的比值.16．已知数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=，则na n的最小值为_________． 【答案】636【解析】试题分析：1133,2n n a a a n +=-=，由累加法可求得33)1......321(221+-=-++++=n n n a a n ，即332+-=n n a n ，则133-+=n n n a n ，令x x x f 33)(+=，可知33233)(≥+=xx x f ，当且仅当33=x 时取等号，因为n 是自然数，所以可取与33相邻的两个自然数6,5，分别求得55355=a ，66366=a ，显然最小值应该为636，此时6=n . 【考点】等差数列，数列的最值.【思路点睛】解答本题首先要根据递推公式n a a n n 2-1=+，结合迭代法来求得数列{}n a 的通项公式，进而可求得n a n 的表达式，即133-+=nn n a n ，因为数列是特殊的函数，所以可先将数列转化为函数，通过函数求得最小值，并求得此时的自变量1x ，因为数列中自变量为自然数，所以取与1x 最接近的两个自然数，然后na n的值，取最小的即可.三、解答题17．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22sin 3cos()0A B C ++=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积S a =，求b c +的值． 【答案】（1）3π；（2）9. 【解析】试题分析：（1）ABC ∆中，A C B -=+π，结合已知条件22sin 3cos()0A B C ++=可求得A cos ，从而求得A ；（2）由面积公式A cb S sin 21=可求得c b 的值，再利用余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，便可求得22c b +，进而可求得b c +.试题解析：（1）由22sin 3cos()0A C B ++=，得22cos 3cos 2A A +-，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去） 又0A π<<，所以3A π=．（2）由113sin 5322S bc A bc ==⨯=， 得20bc =，又2222cos 21a b c bc A =+-=， 所以9b c +=．【考点】余弦定理的运用.18．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[]25,55岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的人群称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．现对容量为n 的样本数据进行整理，得到如下各年龄段人数的频率分布直方图和统计表：（1）补全频率分布直方图并求,,n a p 的值；（2）从[)40,50岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取9人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[)40,45岁的人数为X ，求X 的分布列和期望()E X ．【答案】（1）65.0,60,1000===p a n ；（2）分布列见解析，期望为2．【解析】试题分析：首先根据频率分布直方图求出第二组的频率，再由频率求得其高，这样便能补全频率分布直方图，再由第一组数据求得第一组的总人数，进而求得六组的总人数，再利用直方图求第四组的人数，进而求得该组低碳人数；可先求得所抽取9人中，在[)40,45岁年龄段与[)45,50年龄段各有多少人，然后利用组合法求对应事件的概率，进一步求得数学期望．试题解析：（1）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==． 第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==．第三组的频率为0.0350.15⨯=，第四组的人数为10000.15150⨯=． 所以1500.460a =⨯=．（2）因为[)40,45岁年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以分层抽样法抽取9人，[)40,45岁中有6人，[)45,50岁中有3人，随机变量X 服从超几何分布．33391(0)84C P X C ===，21363918(1)84C C P X C ===，12363945(1)84C C P X C ===，363920(3)84C P X C ===， 所以随机变量X 的分布列为∴数学期望1184520168012328484848484X E =⨯+⨯+⨯+⨯== 【考点】频率分布直方图的运用，分层抽样，组合，数学期望. 19．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1,2AB AC PA AC AB ⊥==，N 为AB 上一点， 4AB AN =，,M S 分别为,PB BC 的中点．（1）证明：CM SN ⊥；（2）求SN 与平面CMN 所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）4π. 【解析】试题分析：（1）由PA ⊥平面ABC ，可知AB PA AC PA ⊥⊥,，又AB AC ⊥，可知PA AB AC ,,互相垂直，可建立空间坐标系，利用向量法来证明CM SN ⊥；(2）SN 与平面CMN 所成角，首先求得平面CMN 的法向量，再求法向量与的夹角. 试题解析：设1PA =，以A 为原点，射线,,AB AC AP 分别为,,x y z 轴正向建立空间直角坐标系．则111(0,0,1),(0,1,0),(2,0,0),(1,0,),(,0,0),(1,,0)222P C B M N S ．（1）111(1,1,),(,,0)222CM SN =-=--，因为110022CM SN ⋅=-++=，所以CM SN ⊥．（2）1(,1,0)2NC =-，设(,,)a x y z =为平面CMN 的一个法向量102102x y z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取(2,1,2)a =-， 因为1122cos ,2232a SN --==⨯， 所以SN 与平面CMN 所成角为4π． 【考点】线面垂直的性质，线面角，空间向量的建立与运用. 20．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率22e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为1，直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆C 交于相异两点,A B ，且3AP PB =．（1）求椭圆C 的方程； （2）求m 的取值范围．【答案】（1）22112x y +=；（2）112m -≤<-或112m <≤． 【解析】试题分析：（1）假设椭圆的方程为2222:1(0)y x C a b a b +=>>，由离心率可得22=a c，由椭圆上的点到焦点的最短距离为12-可列等式221-=-c a ，结合222b a c -=可求得b a ,，从而得到椭圆的标准方程；（2）因为直线l 的斜率未知，所以需要分类讨论，当斜率不存在时，3AP =PB u u u r u u u r可求得m 的取值；当斜率存在时，可假设直线为m kx y +=，与椭圆方程联立可求得,A B 的坐标，结合3AP =PB u u u r u u u r以及Rk ∈来求m 的取值范围.试题解析：（1）设2222:1(0)y x C a b a b +=>>，设2220,c c a b >=-，由条件知122c a c e a -=-==，解得1,2a b c ===C 的方程为：22112x y +=． （2）当直线斜率不存在时：12m =±， 当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为1122(,),(,)A x y B x y ，∴2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(2)2(1)0k x kmx m +++-= ∴22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∆-+-=-+>，（）212122221,22km m x x x x k k --+==++∵3AP PB =，∴123x x -=，∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩， 消去2x ，得212123()40x x x x ++=，∴2222213()4022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立：214m ≠时，2222241m k m -=-， ∴22222041m k m -=≥-时，∴112m -≤<-或112m <≤， 把2222241m k m -=-代入（）得112m -<<-或112m <<， ∴112m -<<-或112m <<． 综上m 的取值范围为112m -≤<-或112m <≤． 【考点】椭圆的焦点，离心率，两点间距离. 21．已知函数()ln f x ax x =-．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在(,())e f e （e 为自然对数的底）处的切线方程； （2）当(]0,x e ∈时，是否存在实数a ，使得()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1e y x e-=；（2）存在，2a e =. 【解析】试题分析：（1）x x x f ln )(-=，可求其导函数xx f 11)(-='，可求得1)(,11)(-=-='=e e f ee f k ，利用点斜式求切线；（2）x a x f 1)(-='，对a 进行分类讨论，由导函数求德原函数在(]0,x e ∈上的单调区间，再求最小值，令最小值等于，便可求得a 的值.试题解析：（1）当1a =时1()1f x x'=-， 所以1(),()1e k f e f e e e-'===-， 所以切线方程为1(1)()e y e x e e---=-，即1e y x e-=．（2）假设存在实数a ，使得(]()ln ,0,f x ax x x e =-∈的最小值为3，11()ax f x a x x-'=-=①当0a ≤时，因为(]0,x e ∈，所以()0f x '<所以()f x 在(]0,e 上单调递减，min ()()13f x f e ae ==-=得4a e=（舍去） ①当10e a <<，即1a e >时，()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，min 1()()1ln 3f x f a a==+=得2a e =满足．①当1e a ≥，即10a e<≤时，因为(]0,x e ∈，所以()0f x '≤，所以()f x 在(]0,e 上单调递减，min ()()13f x f e ae ==-=，得4a e=（舍去）综上，存在实数2a e =满足题意．【考点】函数的最值与导数的运用.【方法点睛】求函数在某一点的切线，可以先求得函数的导函数，因为函数在该点处的导数就是切线的斜率，再求得该点坐标，即可利用点斜式求得切线方程；对于含参函数的最值问题，首先要确定函数的单调区间，即利用导函数的性质来求得函数的单调区间，进一步求得最小值的代数式，从而列方程求解.22．已知AB 为半圆O 的直径，4,AB C =为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过A 点作AD CD ⊥于D ，交半圆于点E ，1DE =．（1）证明：AC 平分BAD ∠； （2）求BC 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【解析】试题分析：（1）由切线的性质可知CD OC ⊥，结合AD CD ⊥可证得AD OC //，从而有OCA OAC ∠=∠，在等腰OAC ∆中，DAC OAC ∠=∠，进一步可证明AC 平分BAD ∠；（2）由AC 平分BAD ∠可知BC CE =，则有DEC B AEC B ∠=∠=∠+∠即,π，所以有cos cos B CED ∠=∠，再由三角形相似的性质便可求得BC 的长. 试题解析：（1）连接OC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠， ∵CD 为半圆的切线，∴AD CD ⊥，∴//OC AD ，∴OCA CAD ∠=∠，∴OAC CAD ∠=∠， ∴AC 平分BAD ∠．（2）连接CE ，由OCA CAD ∠=∠知BC CE =， 所以A B C E 、、、四点共圆，cos cos B CED ∠=∠， ∴DE CBCE AB=，∴2BC =． 【考点】切线的性质，相似三角形的性质.23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(2,6)P ，且倾斜角为34π，在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为20sin()cos()4242πθπθρ=--． （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 与直线l 交于点,A B ，求PA PB +．【答案】（1）2262x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，22100x y x +-=；（2）29.【解析】试题分析：（1）将πθ43),62(=，P 代入直线的标准参数方程00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩，便可求得参数方程，利用二倍角公式对20sin()cos()4242πθπθρ=--进行化简，并利用⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2222cos y x x y x θρ求得直角坐标方程；（2）由直线参数方程代入直角坐标方程得关于t 的一元二次方程，利用B A t t PB PA +=+求出PA PB +. 试题解析：（1）因为直线l 过点(2,6)P ，且倾斜角为34π， 所以直线l的参数方程为262x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 由20sin()cos()4242πθπθρ=--得10cos ρθ=， 所以曲线C 的直角坐标方程为22100x y x +-=．（2）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22(3)(6)25-+=，2200t ++=，820∆=>，可设12,t t上述方程得两个实根，则有121220t t t t ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩又直线l 过点(2,6)P，所以1212PA PB t t t t +=+=+=． 【考点】直角坐标与极坐标的转换，点到直线的距离.【思路点睛】直角坐标系与极坐标系转化时满足关系式⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y y x θρtan 222，即⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，代入直角坐标方程，进行化简可求极坐标方程；对于三角形的最大面积，因为底边已知，所以只要求得底边上的高线的最大值，即可求得最大面积，在求圆上点到直线的距离时，可以用公式法求，即圆心到直线的距离再加上半径，也可以用参数法，距离关于θ的函数的最值. 24．函数()f x =．（1）若5a =，求函数()f x 的定义域A ；（2）设{}|12B x x =-<<，当实数,()R a b B C A ∈⋂时，证明：124a b ab+<+． 【答案】（1）{}|41A x x x =≤-≥或；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）521)(-+++=x x x f 根据0521≥-+++x x ，分类讨论，可求得{}|41A x x x =≤-≥或；（2）根据集合的运算先求得(1,1)R B C A =-I ,要征得124a b ab+<+，首先要证得ab b a +<+42，两边平方并化简得016442222>+--a a b a ，即0)4)(4-(22>-b a ，显然成立.试题解析：（1）由1250x x +++-≥，得{}|41A x x x =≤-≥或； （2）∵(1,1)R B C A =-I ， ∵,(1,1)a b ∈- ∴0)4)(4-(22>-b a ∴224()(4)a b ab +<+∴124a b ab+<+【考点】（求解）证明含有绝对值的不等式.。