高中数学选修2-2 北师大版 复数的有关概念 作业(含答案)
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。
2.复数就像向量，有大小和方向。
3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。
4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。
改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。
一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。
②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。
③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。
其中类比得到的结论正确的是：A。
①③B。
②④C。
②③D。
①④2.删除明显有问题的段落。
3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。
14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。
4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。
0)和(2.+∞)。
2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。
又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）AB ．2 CD ．5 2．复数(34)i i +的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i3．已知i 是虚数单位，复数1i1i -+（ ）． A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．对于复数z a bi =+（,,a b R ∈i 为虚数单位），定义||||z a b =+‖‖，给出下列命题：①对任何复数z ，都有0z ≥‖‖，等号成立的充要条件是0z =；②z z =‖‖‖‖：③若12z z =，则12=±z z ：④对任何复数1z 、2z 、3z ，不等式131223z z z z z z -≤-+-恒成立，其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（ ） A ．33i -+ B ．33i +C ．13i -D ．13i --6．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线8．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段9．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z = A ．2B．CD10．已知a ∈R ，复数12i z a =+，212i z =-，若12z z 为纯虚数，则复数12z z 的虚部为( ) A ．1B ．iC ．25D ．011．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 14．已知,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，则zw 的最大值为______.15．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 16．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 17．若复数23z i =+，则1iz+=__________． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．20．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是__________三、解答题21．（1）在复数范围内解方程：23||()2iz z z i i-++=+（i 为虚数单位）； （2）设系数为整数的一元二次方程20ax bx c ++=的两根恰为（l ）中方程的解，求||||||a b c ++的最小值；22．已知关于x 的实系数方程20x px q -+=，其中p q 、为实数. (1)若12x i =+是该方程的根，求p q +的值； (2)若22p q +=，求该方程两根之积的最大值.23．在复数范围内分解因式：42625x x -+= ________. 24．已知是复数，和均为实数（为虚数单位）.(1)求复数； (2)求的模.25．证明：在复数范围内，方程()()255112iz i z i z i-+--+=+（为虚数单位）无解． 26．已知z 是复数，i z 2+、iz -2均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】 ∵i （3+4i ）=-4+3i ， ∴i （3+4i ）的虚部为3． 故选A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．D解析：D 【解析】()()()()1i 1i 1i 12i 12ii 1i 1i 1i 112------====-++-+，故选D. 4．C解析：C 【分析】在①中，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0；在②中，z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，从而‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |；在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，不成立；④由绝对值的性质得到‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立． 【详解】由复数z ＝a +bi （a 、b ∈R ，i 为虚数单位），定义‖z ‖＝|a |+|b |，知： 在①中，对任何复数，都有‖z ‖≥0，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0， ∴等号成立的充要条件是z ＝0，故①成立；在②中，∵z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，∴‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |，故②成立； 在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，‖z 1‖＝‖z 2‖，但z 1≠±z 2，故③错误； ④对任何复数z 1，z 2，z 3，设z 1＝a 1+b 1i ，z 2＝a 2+b 2i ，z 3＝a 3+b 3i ， 则‖z 1﹣z 3‖＝|a 1﹣a 3|+|b 1﹣b 3|，‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖＝|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|， |a 1﹣a 3|≤|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|， |b 1﹣b 3|≤|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|，∴‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立．故④成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意绝对值性质、复数概念及性质的合理运用．5．C解析：C 【解析】 【分析】实部与虚部的差为242x x -+。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测题(含答案解析)(3)
一、选择题1．若i 为虚数单位，则复数311i i-+的模是（ ） A ．22B ．5C ．5D ．22．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（ ） A ．-1B ．1C ．3D ．43．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（ ） A ．101-B ．21-C ．101+D ．21+4．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．25．已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( ) A ．15-B ．25-C ．45D ．356．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知复数3412iz i+=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55B ．221C ．5D ．58．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i10．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆 B ．两条直线C ．圆D ．一条直线11．已知复数33iz i --=，则z 的虚部为（ ） A ．3-B ．3C ．3iD ．3i -12．已知复数z 满足(1-i)z=2+i ，则z 的共轭复数为（ ） A ．3322i + B ．1322i - C ．3322i - D ．1322i + 二、填空题13．已知复数z 满足|2|1z i +-=，则|21|z -的取值范围是________. 14．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________． 15．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 16．213i(3i)-+化简后的结果为_________． 17．已知i 是虚数单位，则满足()1z i i +=的复数z 的共轭复数为_______________ 18．设a R ∈，若复数3a i z i-=+(i 是虚数单位)的实部为12，则 a = __________．19．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.20．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．三、解答题21．（Ⅰ）已知m R ∈，复数()()2245215z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数z 满足方程()20z z i +-=，求z 及2z i +的值． 22．已知复数w 满足()432(w w i i -=-为虚数单位）． （1）求w ；（2）设z C ∈，在复平面内求满足不等式12z w ≤-≤的点Z 构成的图形面积． 23．已知复数，， ， 求：（1）求的值； （2）若,且,求的值．24．已知复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点分别在（1）虚轴上；（2）第三象限．试求以上实数m 的值或取值范围． 25．已知1z i =+．（1）设23(1)4z i ω=+--，求ω；（2）如果2211z az bi z z ++=--+，求实数,a b 的值． 26．下列方程至少有一个实根，求实数t 的值与相应方程的根.（1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=； （2）2(21)(3)0x i x t i --+-=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈ 【详解】()()()()2231131331241211112i i i i i i ii i i i i -----++====+++--，31121i i i-∴=+==+ 故选：B . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.2．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-， 1,2,1ab a b ∴==∴-=-.故选：A . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.3．A解析：A 【分析】由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解. 【详解】 因为21z i -=，所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上， 因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径，即min 111z i ++==， 故选：A 【点睛】本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.4．D解析：D 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值. 【详解】()()()()12i i 212i z a a a =++=-++为纯虚数， 20120a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选D. 【点睛】本题主要考查的是复数的乘法运算以及纯虚数的定义，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.5．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出241255i z i i i -=+=-++，由此能求出复数z 的虚部． 【详解】∵复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，∴()()()122412121255i i i z i i i i i i ---=+=+=-+++-． ∴复数z 的虚部等于45，故选C. 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．6．B【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为7．C解析：C 【解析】分析：利用复数模的性质直接求解． 详解：∵3412iz i+=-， ∴2222343434512121(2)i i z z i i +++=====--+- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为22z a b =+1212z z z z =，1122z z z z =． 8．B解析：B 【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。
高中数学选修2-2 北师大版 简单复合函数的求导法则 作业(含答案)
课时跟踪训练(九) 简单复合函数的求导法则1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x＋1 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4 2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫2－1x 2的导数为( ) A ．2⎝⎛⎭⎫2－1x B ．2⎝⎛⎭⎫2－1x 2 C ．2⎝⎛⎭⎫2－1x ·1x 2 D ．2⎝⎛⎭⎫1x －2·1x 2 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x4．某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可近似地表示为y ＝f (t )＝10t ，则在时刻t ＝40 min 的降雨强度为( )A ．20 mmB ．400 mm C.12mm/min D.14 mm/min 5．若f (x )＝e x ＋e －x 2，则f ′(0)＝________. 6．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．7．设f (x )＝a e x ＋b ln x 2，且f ′(1)＝e ＋1，f ′(－1)＝1e－1，求实数a ，b 的值．8．求下列函数的导数．(1)y ＝(2x 2－x ＋1)4；(2)y ＝11－2x 2；(3)y ＝x ln(1－x )．答 案1．选A A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．选C y ′＝2⎝⎛⎭⎫2－1x ⎝⎛⎭⎫2－1x ′＝2⎝⎛⎭⎫2－1x ·1x 2. 3．选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．选D f ′(t )＝1210t ·10＝510t， ∴f ′(40)＝5400＝14. 5．解析：∵f ′(x )＝12(e x －e －x )，∴f ′(0)＝0. 答案：06．解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )． ①对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a ，则1x 0＋a ＝1， 即x 0＋a ＝1. ②②代入①可得x 0＝－1，所以a ＝2.答案：27．解：f ′(x )＝a e x ＋2b x ，。
高中数学北师大版选修2-2课时作业5.1.2 复数的几何意义 Word版含解析
选修第五章§课时作业一、选择题．若<<，则复数＝(－)＋(－)在复平面上对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限解析：∵<<，∴－>－<.∴复数＝(－)＋(－)在复平面上对应的点位于第四象限．答案：．已知复数＝＋(∈)在复平面内对应的点位于第二象限，且＝，则复数等于( ) ．－＋．＋．－＋或＋．－＋解析：因为在复平面内对应的点位于第二象限，所以<.由＝知，＝，解得＝±.故＝－，所以＝－＋.答案：．复平面内，向量表示的复数为＋，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点′对应的复数分别为()．＋＋．＋＋．＋＋．＋＋解析：∵表示复数＋，∴点()，将向右平移一个单位，将对应＋，′()，∴点′对应复数＋.故选.答案：．已知<<，复数的实部为，虚部为，则的取值范围是( )．(，) ．(，)．() ．()解析：∵＝，∈()，∴∈(，)．故选.答案：二、填空题．在复平面内，为坐标原点，向量对应的复数为－，如果点关于原点的对称点为，点关于虚轴的对称点为，则向量对应的复数为．解析：∵点的坐标为(，－)，∴点的坐标为(－)．∴点的坐标为()．∴向量对应的复数为＋.答案：＋．复数＝＋α＋α(π<α<π)的模的取值范围为．解析：＝＝，∵π<α<π，∴－<α<.∴<＋α<.∴∈()．答案：()．复数＝＋，＝－＋，＝－－，＝－，，，，在复平面内的对应点分别是，，，，则∠＋∠＝.解析：＝＝＝＝，所以点，，，应在以原点为圆心，为半径的圆上，由于圆内接四边形对角互补，所以∠＋∠＝°.答案：°三、解答题．实数取什么值时，复平面内表示复数＝＋－＋(－＋)的点：()位于第二象限；()位于直线＝上．解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数＝＋－＋(－＋)的点就是点(＋－，－＋)．()由点位于第二象限得(\\(＋－<，－＋>，))解得－<<.故满足条件的实数的取值范围为(－)．()由点位于直线＝上得＋－＝－＋，解得＝.故满足条件的实数的值为.．已知∈，＝(－＋)－(－＋)所对应的点在第几象限？复数对应的点的轨迹是什么？解：解题时，应先判断－＋与－(－＋)的符号，设出＝＋(，∈)，利用复数相等的充要条件转化为动点(，)关于的参数方程．由－＋＝(－)＋≥，－(－＋)＝－(－)－≤－，∴复数的实部为正数，虚部为负数．。
(北师大版)上海市高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(含答案解析)
一、选择题1．设复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值为（ ）A 1B ．2C 1D ．22．若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 3．复数34i z i -=，|z |＝（ ）A B ．3 C ．4 D ．5 4．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34± B ．43 C ．34- D ．43- 5．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是A ．3iB ．3i -C ．3D ．-3 6．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知0)z a a =>且||2z =，则z =( )A．1B ．1C ．2D ．3+ 8．已知复数33i z i --=，则z 的虚部为（ ） A ．3- B ．3 C ．3i D ．3i -9．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z =A ．2B ．CD 10．已知复数122i z i +=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．i11．设i 是虚数单位，则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标为 ( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)二、填空题13．设221i z i-=+，则z =_____________． 14．在复数集中分解因式：2364x x -+=________.15．已知复数zi =，i 为虚数单位，则z =____________16．设12,z z 为复数，21z =，则21121z z z z -=-___________. 17．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_____（米）．18．已知复数z 满足21z i i=++，则z 的共轭复数z=__________. 19．已知复数z 满足(1)i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为_________． 20．下列四个命题中正确的有_______（填上所有正确命题的序号）①若实数,,a b c 满足3a b c ++=，则,,a b c 中至少有一个不小于1②若z 为复数，且z =1，则z i -的最大值等于2③(0,),sin x x x ∈+∞>任意都有④204π=三、解答题21．已知复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+（1）当m 为何值时 , Z 为纯虚数 ?（2） 当m 为何值时 , Z 对应的点在y x =上?22．实数m 取什么数值时，复数()2212z m m m i =-+--分别是： （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z 的点在复平面的第四象限？23．已知z 是复数，121z z ==，12z z +=12z z -.24．复数2(21)(1),z a a a i a R =--+-∈.（1）若z 为实数，求a 的值；（2）若z 为纯虚数，求a 的值；（3）若93z i =-，求a 的值.25．方程21(4)02x m x m --+=的两根为α，β，且||||αβ+=m 的值.26．若关于x 的方程22470x zx i -++=有实根，求复数z 的模的最小值和此时z 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】 如图所示，复数满足1z =时轨迹方程为复平面内的单位圆， 而()11z i z i -+=--表示z 与复数1i -所对应的点在复平面内的距离，结合圆的性质可知，1z i -+的最大值为()2211121+-+=+.本题选择C 选项. 2．A解析：A 【分析】设z x yi =+，得到()()22221x y ++-=，化简得到()()221212z i x y --=-+-根据其几何意义计算得到答案.【详解】设z x yi =+，则()()()()222222221z i x y i x y +-=++-=++-=， 即()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆. ()()()()22121212z i x y i x y --=-+-=-+-，表示点(),x y 和()1,2之间的距离，故()()min 12122z i r --=---=.故选：A.【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 3．D解析：D【分析】根据复数的除法运算先把z 化成(),z a bi a b R =+∈的形式，再根据公式z =求模.【详解】 ()()()2234343443i i i i i z i i i i i----+====----，5z ∴==.故选：D .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，属于基础题.4．C解析：C【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果.【详解】 若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠， 所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-， 所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-． 故选C ．【点睛】 本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.5．C解析：C【分析】本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案.【详解】设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =,故选C.【点睛】本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.6．B解析：B【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。
(完整版)数学选修2-2练习题及答案
目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
高中数学选修2-2 北师大版 复数的加法与减法 同步训练(含答案)
§2 复数的四则运算2．1 复数的加法与减法双基达标 (限时20分钟)1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )．A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i 解析 由z 1＋z 2＝0，得⎩⎨⎧ 2＋a ＝0，b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1.故选D. 答案 D2．设向量OP →、PQ →、OQ →对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么 ( )． A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0 解析 ∵OP→＋PQ →－OQ →＝OQ →－OQ →＝0. ∴z 1＋z 2－z 3＝0.答案 D3．在复平面内，O 是原点，OA→，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1 ＋5i ，则BC→表示的复数为 ( )．A ．2＋8iB ．－6－6iC ．4－4iD ．－4＋2i 解析 BC→＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝(3,2)－(1,5)－(－2,1)＝(4，－4)． 答案 C4．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝______.解析 ∵z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i(a ∈R )，由|z |＝4得a 2＋4＝16，∴a 2＝12，∴a ＝±23，∴z ＝±23－2i.答案 ±23－2i5．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，z 1、z 2在复平面上所对应的点分别为Z 1、Z 2，则这两点之间的距离为__________．解析 由复平面内两点间的距离公式可得．答案 6126．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ，∈R )，设z＝z 1－z 2且z ＝13－2i ，求z 1，z 2.解 z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又z ＝13－2i ，且x ，y ∈R .∴⎩⎨⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i. 综合提高 (限时25分钟)7．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→ 对应的复数是( )．A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i 解析 OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是5－4i ＋(－5＋4i)＝0. 答案 C8．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应 的点在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析 cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π，θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＜0，cos θ＋sin θ＜0，sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，θ－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12π，π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＞0，sin θ－cos θ＞0. ∴复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在第二象限． 答案 B9．已知z 1＝m 2－3m ＋m 2i ，z 2＝4＋(5m ＋6)i ，其中m 为实数，若z 1－z 2＝0，则m ＝________.解析 z 1－z 2＝(m 2－3m ＋m 2i)－[4＋(5m ＋6)i]＝(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i.∵z 1－z 2＝0.∴⎩⎨⎧m 2－3m －4＝0，m 2－5m －6＝0，∴m ＝－1. 答案 －110．已知f (z ＋i)＝3z －2i(z ∈C )，则f (i)＝______.解析 令z ＝0，则f (z ＋i)＝f (i)＝－2i.答案 －2i11．已知复数z 1＝a 2－3＋(a ＋5)i ，z 2＝a －1＋(a 2＋2a －1)i(a ∈R )分别对应向量OZ 1→，OZ 2→(O 为原点)，若向量Z 1Z 2→对应的复数为纯虚数，求a 的值．解 Z 1Z 2→对应的复数为z 2－z 1，则z 2－z 1＝a －1＋(a 2＋2a －1)i －[a 2－3＋(a＋5)i]＝(a －a 2＋2)＋(a 2＋a －6)i.由题意得z 2－z 1是纯虚数，所以⎩⎨⎧a －a 2＋2＝0，a 2＋a －6≠0. 解得a ＝－1.12．(创新拓展)已知关于t 的一元二次方程t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i ＝0(x ，y ∈R )．(1)当方程有实根时，求动点(x ，y )的轨迹方程；(2)若方程有实根，求方程的实根的取值范围．解 (1)设方程的一个实根为t 0，则t 20＋(2＋i)t 0＋2xy ＋(x －y )i ＝0，即(t 20＋2t 0＋2xy )＋(t 0＋x －y )i ＝0，根据复数相等的充要条件得⎩⎨⎧t 20＋2t 0＋2xy ＝0，①t 0＋x －y ＝0.②由②得t 0＝y －x ，代入①得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2③，所以所求的点的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.轨迹是以(1，－1)为圆。
(北师大版)北京市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(答案解析)
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
5．D
解析：D
【解析】
根据微积分定理， ， ， ，所以 ，故选择D。
6．B
解析：B
【解析】
设底面边长为 ，依据题设可得棱锥的高 ，底面中心到顶点的距离 ，由勾股定理可得 ，解之得 ，所以正四棱锥的体积 ，故应选答案B．
11．B
解析：B
【解析】
试题分析：由题意得，因为幂函数 图像过点 ，所以 ，解得 ，所以幂函数 ，则阴影部分的面积为 ，故选B.
考点：幂函数的解析式；定积分的应用.
12．D
解析：D
【解析】
∵（x2﹣2x）′=2x﹣2，
∴若 =t2﹣2t=8，又t＞0，解得t=4．选D.
二、填空题
13．108m【分析】令速度为0求出t的值0和6求出速度函数在上的定积分即可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为：108m【点睛】本题主要考查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题
【解析】
试题分析：解：因为
＝ ＝ ，所以 ，所以， 故选A.
考点：定积分.
4．D
解析：D
【解析】
(-sinx+cosx)dx (sinx-cosx)dx=2 (cosx－sinx)dx,选D.
点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
解析：108m.
【分析】
令速度为0求出t的值0和6，求出速度函数在 上的定积分即可.
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测题(有答案解析)2
一、选择题1．若341i z iz i +=+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．32 B ．2 C ．52 D ．32．已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线3．若202031i i z i+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2 5．化简 31i i-++＝（ ） A ．12i -+ B ．12i - C ．12i + D ．12i -- 6．已知复数3412i z i +=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55 B ． 2215 C ．5D ．57．复数 z 与复数 ()i 2i -互为共轭复数（其中 i 为虚数单位），则 z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i --8．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ） A ．22i + B ．22i - C ．2i -+ D ．2i -- 9．设复数z 满足1i 2z --=z 的最大值为（ ）． A 2B ．2 C ．22D ．410．若复数z 满足()2117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i --11．已知复数3z a i =+，其中a R ∈.若4z R z+∈，则a = A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．012．在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C .若C 为线段AB 的中点，则点B 对应的复数是( )A ．24i +B ．82i +C ．82i --D ．10i -+二、填空题13．若复数z 满足||1z i -=（i 是虚数单位），则z 的模的取值范围是________. 14．复数z 满足114z z -++=则复数z 对应点表示的曲线是 _____________.15．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________．16．下列四个命题中，正确命题的个数是___________.①0比i 小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==④如果实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应17．已知i 为虚数单位，设2391z i i i i =+++++，则z =______．18．若实数,x y 满足()()3235x y x y i i -++=+，则x y += __________．19．下列说法正确的是_______．（填上所有正确答案的序号）①3265->-；② 任何集合都有子集；③ 实数没有共轭复数；④ 命题“正三角形的三条边全相等．”的逆否命题是“如果一个三角形的三条边全不相等，那么这个三角形不是正三角形．”20．设复数1=-i z i，则z =_____________． 三、解答题21．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？22．已知复数2(1)36z i i =-++.(1)求z 及z ，（2）若2820z az b i ++=-+，求实数,a b 的值．23．已知复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点分别在 （1）虚轴上；（2）第三象限．试求以上实数m 的值或取值范围．24．已知复数（1）m 取什么值时，z 是实数？（2）m 取什么值时，z 是纯虚数？25．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，(其中i 为虚数单位)（1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.26．已知复数z 满足(2)z i a i -=+()a R ∈．（1）求复数z ；（2）a 为何值时，复数2z 对应点在第一象限．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可．【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此52z ==,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．2．B解析：B【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】因为复数z 满|12||2|z i z i ---++=（i 是虚数单位），在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3．A解析：A【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.4．D解析：D【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值.【详解】()()()()12i i 212i z a a a =++=-++为纯虚数，20120a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选D. 【点睛】本题主要考查的是复数的乘法运算以及纯虚数的定义，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.5．A解析：A【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则有：()()()()31324121112i i i i i i i i -+--+-+===-+++-. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．C解析：C【解析】分析：利用复数模的性质直接求解．详解：∵3412i z i+=-，∴34341212i i z z i i ++=====-- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为z =1212z z z z =，1122z z z z =． 7．A解析：A【解析】分析：利用复数代数形式的乘法运算化简i(2i)-，再用共轭复数的概念得到答案, 详解：因为(2)12i i i -=+，又复数z 与复数i(2i)-互为共轭复数，所以12z i =-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及的知识点有复数的乘法运算以及复数的共轭复数，属于基础题目.8．A解析：A【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可.详解：由题意可得：122,z i z i =-=-， 则：()1222212i i z i i z i i --===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C【分析】通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案.【详解】复数z 对应复平面上的点是以()1,1z的最大值即为圆的直径故选C【点睛】本题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键.10．B解析：B【分析】根据复数的运算，求得35z i =+，再根据共轭复数的概念，即可曲解．【详解】由复数z 满足()2117z i i -=+，即()()()()11721171525352225i i i i z i i i i ++++====+--+， 所以35z i =-，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 11．C解析：C【解析】【分析】 首先求解4z z+，然后得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】由题意可得： 4z a z +=++()243a a a =++22441133a i a a ⎛⎫⎫=+- ⎪⎪++⎝⎭⎭， 若4z R z +∈，则24103a -=+，解得：a =1或1-. 本题选择C 选项.【点睛】复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.12．D解析：D【解析】分析：根据两个复数对应的点的坐标分别为(6,5)A ，(2,3)C -，由C 为线段AB 的中点即可确定中点B 的坐标，从而可得答案．详解：∵复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C∴(6,5)A ，(2,3)C -∵C 为线段AB 的中点∴(10,1)B -∴点C 对应的复数是10i -+故选D.点睛：本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式．求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化，复数(,)x yi x y R +∈与复平面内(,)x y 一一对应.二、填空题13．【分析】由题意画出图形数形结合可得答案【详解】解：由可得在复平面内对应点在以为圆心以1为半径的圆上如图则圆上的点到原点的距离的最小值为最大值为根据复数的模的几何意义可得复数的模的取值范围是故答案为： 解析：[0,2]【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案．【详解】解：由||1z i -=，可得z 在复平面内对应点在以(0,1)为圆心，以1为半径的圆上， 如图，则圆上的点到原点的距离的最小值为0，最大值为2，根据复数的模的几何意义可得，复数z 的模的取值范围是[0,2]，故答案为：[0,2]．【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．14．椭圆【分析】设利用复数摸的公式化简等式再由椭圆的定义即可判断【详解】设代入可得所以式子的几何意义是：点到点与点的距离之和为定值4又所以复数对应点表示的曲线为以点与点为焦点的椭圆故答案为：椭圆【点睛】 解析：椭圆【分析】设z x yi =+，利用复数摸的公式化简等式，再由椭圆的定义即可判断.【详解】设z x yi =+，代入114z z -++=可得114-++++=x yi x yi ， ()()2222114x y x y -+++=，式子的几何意义是：点(),z x y 到点1,0A 与点()1,0B -的距离之和为定值4，又24=<AB ，所以复数z 对应点表示的曲线为以点1,0A 与点()1,0B -为焦点的椭圆.故答案为：椭圆【点睛】本题主要考查复数模的公式，解题的关键是对椭圆定义的理解，属于中档题.15．【分析】根据复数的运算可得再利用模的计算公式即可求解【详解】由题意复数满足则则的模为【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解答的关键着重考 解析：【分析】 根据复数的运算可得11i z i i +==-，再利用模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(1)1z i i -=+，则()()()()11121112i i i i z i i i i +++====--+， 则z 的模为1z i ==.【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 16．0【分析】根据复数相关概念逐一判断【详解】比不可比较大小；两个复数互为共轭复数则它们的和为实数反之不成立如2与3；当为实数时的充要条件为；因为当时所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题即正确 解析：0【分析】根据复数相关概念逐一判断.【详解】0比i 不可比较大小；两个复数互为共轭复数，则它们的和为实数，反之不成立，如2与3；当x y ，为实数时1x yi i +=+的充要条件为1x y ==；因为当0a =时0,ai =所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题，即正确命题的个数是0.【点睛】本题考查复数相关概念，考查基本分析判断能力，属基本题.17．【分析】由于是以4为周期的数列所以相连的四项和为0由此求得【详解】由于所以即=所以填【点睛】记住以下结论可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)；(3)；(4)－b ＋ai ＝i(a ＋bi)；(【分析】由于n i 是以4为周期的数列，所以相连的四项和为0，由此求得1z i =+．【详解】由于4414243i 1,i i,i 1,i i n n n n +++===-=-，所以44142430n n n n i i i i ++++++=，即2391z i i i i =+++++=1i +,所以|2|z =，填2． 【点睛】记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)11i i i +=-；(3)11+i i i-=-；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．18．1【解析】因为实数满足所以解得故答案为解析：1【解析】因为实数,x y 满足()()3235x y x y i i -++=+，所以35{231x y x y -=+= 解得2{1x y ==- ， 1x y +=，故答案为1 .19．①②【解析】试题分析：①通过两边平方可证明是正确的；②一个集合的自己包括空集和它本身所以是正确的；③实数的共轭复数是还是实数；④逆否命题应该为如果一个三角形的三条边不全相等那么这个三角形不是正三角形解析：①②【解析】试题分析：①通过两边平方可证明是正确的；②一个集合的自己包括空集和它本身，所以是正确的；③实数的共轭复数是还是实数；④逆否命题应该为如果一个三角形的三条边不全相等，那么这个三角形不是正三角形考点：命题子集复数分析法证明20．【解析】试题分析：因为所以故应填考点：复数的基本概念及其运算 解析：． 【解析】试题分析：因为1iz i=-，所以z =，故应填． 考点：复数的基本概念及其运算．三、解答题21．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =-【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值；（2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值.【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0，所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数. 【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.22．(1) 34,5z i z =+=.(2) 1,2a b =-=.【分析】()1利用复数代数形式的运算进行化简求得z ，根据求模公式可得z()2由()1把z 代入等式，利用复数相等的充要条件可得方程组，解出即可得到答案【详解】（1）解：（1）依题意得，（2）解得：【点睛】 本题主要考查了复数代数形式的运算和求模公式，复数相等的充要条件23．（1）0m =;（2）02m <<.【分析】（1）由题()()2226z m m m m i =-++-在虚轴上，则为纯虚数，即满足()0,,0a z a bi ab R b =⎧=+∈⎨≠⎩，建立关于m 的方程组，即可得结果；（2）由()()2226z m m m m i =-++-在复平面上对应的点位于第三象限，即要实部小于零，虚部小于零，可得关于m 的不等式组，建立不等式组可解出.【详解】（1）由，解得m=0．∴若复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点在虚轴上，m=0； （2）由复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点在第三象限， 得；，解得；0＜m ＜2．【点睛】 本题主要考查复数的几何意义，考查了虚轴的定义，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.24．（1）；（2）3 【解析】试题分析：本题考查了复数的基本概念，明确实数的条件是复数的虚部是0，且分式的分母有意义第二问明确复数是纯虚数的条件是虚部不为0而实部为0．试题（1）解当时，z 为实数 （2）解：当时，z 为纯虚数考点：复数是实数，纯虚数的条件．25．（1）,（2）()1,2m ∈ 【详解】（1）由题意有时， 解得， 即时，复数为纯虚数.（2）由题意有：222320{320m m m m --<-+<，解得：12{212m m -<<<<，所以当()1,2m ∈时，复数z 对应的点在第三象限 考点：纯虚数概念26．（1）3z ai =-（2）30a -<<【详解】（1）由已知得21a i z ai i+-==-，∴3z ai =-． （2）由（1）得2296z a ai =--，∵复数2z 对应点在第一象限，∴290{60a a ->->，解得30a -<<．。
【高中数学选修2-2】3.1复数的概念
z=a+bi Z(a,b)
a b
o
一一对应
x
复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b)
这是复数的一种几何意义
五.复数的几何意义
复数z=a+bi
一一对应
平面向量 OZ
这是复数的另一种几何意义
y 为方便起见，我们常 把复数z=a+bi说成点 Z 或者说成向量 OZ ，并 且规定，相等的向量表 示同一个复数.
当b=0时，a+bi就是实数，
当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为
纯虚数。
二.复数集
实数集就是复数集的一个子集。
它们的关系如下：
复数a bi ( a, b R )
整数 有理数 实数(b 0) 分数 无理数(无限不循环小数) 纯虚数(a 0) 虚数(b=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
六.巩固练习
3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应 的点位于第二象限，求实数m的取值范围。
四.例题讲解
例1.实数 m 取什么数值时，复数z=m +1+(m－1)i是：
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解：复数z=m+1+(m－1)i 中，因为m∈R，所以 m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部， ∴ （1）m=1时，z是实数； （2）m≠1时，z是虚数；
m 1 0 （3）当 m 1 0
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）A ．2B ．2C ．5D ．52．已知i 是虚数单位，则复数1012ii-的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知复数z x yi =+，x ∈R ，y R ∈，满足114z z ++-=，则点()x y ，的轨迹是（ ） A ．线段 B ．圆 C ．双曲线 D ．椭圆 4．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是A ．3iB ．3i -C ．3D ．-35．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知(,)z x yi x y R =+∈且1z =，则3x y 的最大值（ ） A ．13B ．2C ．1D 37．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）①若z 是虚数，则20z ；②若复数2z 满足2z ∈R ，则z R ∈；③若复数11z i =+，2z t i =+，且12z z ⋅对应的复数位于第四象限，则实数t 的取值范围是()1,1-；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0B ．1C ．2D ．38．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ） A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --9．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1B ．iC ．1-D ．i -10．已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +11．复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第________象限 A ．一B ．二C ．三D ．四12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( )A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．复数z 满足114z z -++=则复数z 对应点表示的曲线是 _____________.14．计算10251(12)()1i i i i+-⋅+=-__.15．若复数z 满足221(1)2i z i ⎛⋅=+ ⎝⎭，则z =_______________. 16．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z =________． 17．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 18．已知复数z=i （2+i ），则|z|=___．19．已知复数()()13i z m m m R =-+-∈对应的点在x 轴上方，则m 的取值范围是_______．20．复平面内，已知复数13z x i =-所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是__________．三、解答题21．已知复数0z 满足00|215|10|z z ++， （1）求证：0||z 为定值； （2）设12i x +=，0n n z z x =，若1||n n n a z z -=-，*n N ∈，求12lim()n n a a a →∞++⋯+． 22．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是： （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？23．（1）设复数z 和它的共轭复数z 满足：42i z z +=，求复数z ； （2）设复数z 满足：228z z ++-=，求复数z 对应的点的轨迹方程. 24．已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．25．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z ．26．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i }，P ＝{－1，1，4i }，若M P P =，求实数m的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．C解析：C 【分析】 先计算出104212ii i=-+-，求出其共轭复数，即得解. 【详解】由题得1010(12)20104212(12)(12)5i i i ii i i i +-+===-+--+， 所以1012ii-的共轭复数为42i --，它对应的点为(4,2)--，在第三象限. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的除法和共轭复数，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．D解析：D 【分析】根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z 对应的点在某一椭圆上． 【详解】复平面上，复数z 满足114z z ++-=， 则z 对应的点M 到点()11,0F -，点()21,0F 的距离和为4， 即12124,24MF MF F F +==<， ∴复数z 对应的点M 在以12,FF 为焦点，长轴长为4的椭圆上．故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问题，是基础题．4．C解析：C 【分析】本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案. 【详解】设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++ 结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =, 故选C. 【点睛】本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.5．B解析：B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为6．B解析：B 【解析】分析：由1z =可得221x y +=，可设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈，可得32sin()6x πθ+=+，进而利用正弦函数的性质求出答案．详解：∵(),z x yi x y R =+∈且1z = ∴221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈. ∴3cos 32sin()6x πθθθ+=+=+∴x 的最大值是2 故选B.点睛：本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质，解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值．7．B解析：B 【解析】分析：利用复数的知识对每一个命题逐一分析判断.详解：对于①,举例z=1+i ,但是22z i =，但是不能说2i≥0，因为虚数和实数不能比较大小.所以①不正确.对于②，举例z=i ，所以21,z R =-∈但是i R ∉,所以②不正确. 对于③，12z z ⋅=(1)()1(1),i t i t t i +-=++-所以10,1 1.10t t t +>⎧∴-<<⎨-<⎩所以③正确.对于④，若()()2212230z z z z -+-=，举例1232,1,1,z z z i ===-但是123z z z ==不成立.所以④不正确. 故答案为B点睛：（1）本题主要考查复数的基础知识，意在考查学生对复数的基础知识的掌握能力.(2)判断命题的真假时，要灵活，可以证明，也可以举反例.8．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-，则：()1222212i i z i i z i i --===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 10．A【解析】 【分析】由复数的运算法则，化简复数1z i =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数满足2(1)=1i i z，即221(1)2=11111i i i iz i i ii i，所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】将复数化简为a bi +的形式，得到(,)a b ，就可以得到答案． 【详解】 ∵复数12(12)(34)5101234(34)(34)2555i i i i i i i i -----===--++- ∴复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第三象限 故选C. 【点睛】复数化简为a bi +的形式，是解题关键，a b 、的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．基础题目．12．D解析：D 【详解】因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ， 又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝34-. 故选：D.二、填空题13．椭圆【分析】设利用复数摸的公式化简等式再由椭圆的定义即可判断【详解】设代入可得所以式子的几何意义是：点到点与点的距离之和为定值4又所以复数对应点表示的曲线为以点与点为焦点的椭圆故答案为：椭圆【点睛】解析：椭圆设z x yi =+，利用复数摸的公式化简等式，再由椭圆的定义即可判断. 【详解】设z x yi =+，代入114z z -++=可得114-++++=x yi x yi ，4=，式子的几何意义是：点(),z x y 到点1,0A 与点()1,0B -的距离之和为定值4，又24=<AB ，所以复数z 对应点表示的曲线为以点1,0A 与点()1,0B -为焦点的椭圆.故答案为：椭圆 【点睛】本题主要考查复数模的公式，解题的关键是对椭圆定义的理解，属于中档题.14．【分析】由复数的除法和乘法化简再求即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算属于中档题 解析：13i -+【分析】由复数的除法和乘法化简11i i+-，102i ，再求10251(12)()1i i i i +-⋅+-即可. 【详解】221(1)121(1)(1)2i i i i i i i i ++++===-+-，()51102251(1)1i i ==-=- 102551(12)()1212131i i i i i i i i i+∴-⋅+=-++=-++=-+-故答案为：13i -+ 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题.15．【分析】利用复数的四则运算得出结合共轭复数的定义即可得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义属于中档题 i【分析】利用复数的四则运算得出z i ，结合共轭复数的定义，即可得出答案.【详解】()2222112(1)12i i i z i i ⎛⎫⎫+- ⎪⎪⎫+==⎪⎪⎛⎝⎭+ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭=⎝z i ∴=i 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义，属于中档题.16．【解析】【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可【详解】【点睛】本题主要考查复数的除法运算属于基础题解析：1i +. 【解析】 【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可. 【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-. 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，属于基础题.17．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解. 详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi18．【解析】分析：先计算复数再根据复数的模的定义求结果详解：点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的【解析】分析：先计算复数，再根据复数的模的定义求结果.详解：(2)21z i i i z =+=-∴==点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi19．【解析】分析：首先根据复数在复平面内对应的点的坐标为之后根据坐标系中各个象限内的点的横纵坐标的符号结合题中要求点落在轴上方要求其纵坐标大于零从而确定出所满足的不等关系式最后求得结果详解：复数在复平面解析：3m <. 【解析】分析：首先根据复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,3)m m +-，之后根据坐标系中各个象限内的点的横纵坐标的符号，结合题中要求点落在x 轴上方，要求其纵坐标大于零，从而确定出m 所满足的不等关系式，最后求得结果.详解：复数()()13,z m m i m R =-+-∈在复平面上对应的点的坐标为(1,3)m m --， 如果该点落在x 轴上方，则有30m ->，解得3m <.点睛：该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的坐标的问题，应用实部是横坐标，虚部是纵坐标，结合题中的要求，列出式子，求得结果.20．【详解】∵z 对应的点z(x －)都在单位圆内∴|z|<1即<1∴x2+<1∴x2<∴－ 解析：222233x -<<【详解】 ∵z 对应的点z (x ,－)都在单位圆内， ∴|z|<1,即<1.∴x 2+<1.∴x 2<. ∴－.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）356 【分析】（1）设0(,)z x yi x y R =+∈，利用00|215|310|z z +=+，可得2275x y +=，即可证明：0||z 为定值；（2）12||532nn n n a z z -⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，再求极限．【详解】（1）证明：设0(,)z x yi x y R =+∈，则00|215|10|z z ++，|2152|10|x yi x yi ∴+++-，2222(215)(2)3(10)3x y x y ∴++=++， 2275x y ∴+=，0||z ∴= （2）解：12ix +=，0n n z z x =， 12||32nnn n a z z-⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，121nn a a a ⎫⎪-⎪⎝⎭∴++⋯+=∴121lim()nnn n a a a →∞⎫⎪-⎪⎝⎭++⋯+===．【点睛】本题考查复数模的计算，考查极限的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =- 【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值； （2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值. 【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0， 所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数.【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.23．（1）1i 2z =+；（2）2211612x y +=【解析】分析：（1）设(),z x yi x y R =+∈，由题意结合复数的运算法则可得62x yi i +=，则12x y ==，12z i =+. （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由题意可得()884=>，则其轨迹是椭圆，轨迹方程为：2211612x y +=. 详解：（1）设(),z x yi x y R =+∈，则4262z z x yi +=+，由42z z i +=可得：62x yi i +=，所以12x y ==，12z i ∴= （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由228z z ++-=得：()884=>，其轨迹是椭圆，此时28,4a a ==，24,2c c ==，212b =，所求的轨迹方程为：2211612x y +=. 点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．24．（1）4m =-；（2）1m =.【解析】试题分析：（1）利用实部与虚部相等列方程求解即可；（2）利用实部为零列方程，验证虚部不为零即可得结果.试题（1）复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，∴ 2234224m m m m +-=--，解得 4m =-.（2）复数z 为纯虚数，∴ 22340{2240m m m m +-=--≠ 41{46m m m m =-=≠-≠或且 解得 1m =. 25．242z i =+【解析】解：1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-（4分）设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-， （12分） ∵12z z R ∈，∴242z i =+（12分）26．m ＝1或m ＝2.【分析】先由M P P =，知M 是P 的子集，再依据集合中元素的互异性得复数22(2)(2)m m m m i -++-的取值，最后根据复数相等的定义即可解出m ．【详解】由MP P =，知M 是P 的子集，从而可知22(2)(2)1m m m m i -++-=-或4i ． 由22(2)(2)1m m m m i -++-=-，得222120m m m m ⎧-=-⎨+-=⎩，解之得：1m =， 由22(2)(2)4m m m m i i -++-=，得222024m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解之得：2m =， 综上可知：1m =或2m =．【点睛】本题主要考查了并集及运算、复数的基本概念，是一道复数与集合交汇的题目，属于基础题.。
高中数学选修2-2 北师大版 最大值、最小值问题(二) 课后练习(含答案)
2.2 最大值、最小值问题(二)一、基础过关1． 炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是 ( )A ．8 B.203 C ．－1 D ．－82． 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为( ) A.3VB.32VC.34V D ．23V3． 从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( ) A ．24 cm 3B ．72 cm 3C ．144 cm 3D ．288 cm 34． 用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )A ．120 000 cm 3B ．128 000 cm 3C ．150 000 cm 3D ．158 000 cm 35． 要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为( ) A.2033cm B ．100 cm C ．20 cm D.203cm6. 如图所示，某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一 边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为______．二、能力提升7． 某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．8. 为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱如图，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ＝________，b ＝________时，经沉淀后流出的水 中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)．9. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？10．某商场预计2010年从1月份起前x 个月，顾客对某种商品的需求总量p (x )件与月份x的近似关系是p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)． 该商品的进价q (x )元与月份x 的近似关系是q (x )＝150＋2x (x ∈N *，且x ≤12)，(1)写出今年第x 月的需求量f (x )件与月份x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？11．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？三、探究与拓展12．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r .。
北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A.－1B.1C.－2D.2【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.【答案】B2.已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵z＝11＋i＝1－i2，∴z＝12＋12i，∴z·i＝－12＋1 2i.【答案】B3.观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2<211，……，对于任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是()A.a＋b＝22B.a＋b＝21C.ab＝20D.ab＝21【解析】由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.【答案】B4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝()A.－eB.－1C.1D.e【解析】∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.【答案】B5.由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图像是一条直线；③一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A.②①③B.③②①C.①②③D.③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图像是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图像是一条直线(结论).【答案】D6.已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图1所示，则( )图1A.函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B.函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C.函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D.函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点【解析】 根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值.由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点. 【答案】 A7.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2 B.2e 2C.e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1，0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22.【答案】 D8.已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( ) A.a k ＋a k ＋1＋…＋a 2k B.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1 C.a k －1＋a k ＋…＋a 2k D.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2【解析】 由归纳推理可知，第k 项的第一个数为a k －1，且共有k 项.故选D. 【答案】 D9.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1C.a <2D.a ≤13 【解析】 由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A10.设a ＝⎠⎛10x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( ) A .a>b>c B.b>a>c C .a>c>b D.b>c>a【解析】 由题意可得a ＝⎠⎛01x －13dx ＝32x 23⎪⎪⎪10＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12dx ＝1－23x 32⎪⎪⎪10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3dx ＝x 44⎪⎪⎪1＝14.综上，a >b >c . 【答案】 A11.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A.1B.2k ＋1C.2k －1D.2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项.【答案】 D12.已知函数f (x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b ≠0)，则f （a ）＋f （b ）a ＋b的值为( )A.恒正B.恒等于0C.恒负D.不确定【解析】 可知函数f (x )＋f (－x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )＋(－x )3－ln (x 2＋1＋x )＝0，所以函数为奇函数，同时， f ′(x )＝3x 2＋1x 2＋1>0，f (x )是递增函数，f （a ）＋f （b ）a ＋b＝f （a ）－f （－b ）a －（－b ），所以f （a ）＋f （b ）a ＋b>0，所以选A .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.复数3＋ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________. 【解析】 ∵3＋ii 2＝－3－i ，∴其实部为－3.【答案】 －314.观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________.【解析】 第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21215.曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________.【解析】 由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为⎠⎜⎛π65π6⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －12x ⎪⎪⎪⎪5π6π6＝3－π3.【答案】3－π316.已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.【解析】 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x . ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝e x －1＋x . ∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1， ∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为 y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.【答案】 2x －y ＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝（3－i ）（2－i ）5＝5－5i5＝1－i .因为z 2＋az ＋b ＝(1－i )2＋a (1－i )＋b ＝－2i ＋a －ai ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－（2＋a ）＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围. 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数.(2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0， 所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.19.(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即 S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3，S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由.【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2，2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列； 当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0， S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列.综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.20.(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数， 所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0， 所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0，1，2. 而m ＝0，2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时， f (x )＝x 4是偶函数， 所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根. 为使g (x )仅在x ＝0处有极值， 必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2，2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2，2].21.(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， 因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋).证明：①当n ＝1时， a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时， a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， 所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立. 则①②知，n ∈N ＋，a n ＝n －n －1.22.(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b ex －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bx e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x ).所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e . 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.章末综合测评(一) 推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下面四个推理不是合情推理的是()A.由圆的性质类比推出球的有关性质B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C.某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理.【答案】C2.用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线.则正确的序号顺序为()A.①②③B.③①②C.①③②D.②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】B3.下列推理是归纳推理的是()A.A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】B4.用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是()A.假设a，b，c都小于0B.假设a，b，c都大于0C.假设a，b，c中都不大于0D.假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立.而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】C5.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为()A.(5k－2k)＋4·5k－2kB.5(5k－2k)＋3·2kC.(5－2)(5k－2k)D.2(5k－2k)－3·5k【解析】5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.【答案】B6.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n＋2＋1n＋4＋…＋12n时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立.()A.k＋1B.k＋2C.2k＋2D.2(k＋2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.【答案】B7.已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A.a1a2a3…a9＝29B.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C.a1a2a3…a9＝2×9D.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】D8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机.③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上，选B.【答案】 B9.在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19且n ∈N ＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 11＝1，则有( )A.b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 19－nB.b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 21－nC.b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 19－nD.b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 21－n 【解析】 令n ＝10时，验证即知选B. 【答案】 B10.将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5，9，14，20，…为“梯形数”.根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝( )图1 A.2 018×2 014 B.2 018×2 013 C .1 010×2 012 D.1 011×2 013【解析】 a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个.∴a n －5＝（n －1）（n ＋6）2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011. 【答案】 D11.在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A.1 006B.1 007C.1 008D.1 009【解析】 依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.【答案】 C12.记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104|a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )A.710＋9102＋8103＋4104B.510＋5102＋7103＋2104C.510＋5102＋7103＋3104D.710＋9102＋9103＋1104【解析】 因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104 ＝1104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________.【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.【答案】 经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14.观察下列等式： 13＝1， 13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100， ……照此规律，第n 个等式可为__________.【解析】 依题意，注意到13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×1×（1＋1）2，13＋23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2×（2＋1）2＝9，13＋23＋33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3×（3＋1）2＝36，……，照此规律，第n 个等式可为13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n （n ＋1）2. 【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n （n ＋1）2 15.当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________.【解析】 根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N＋时，左边第二个因式可知为a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n，那么对应的表达式为(a －b)·(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋1.【答案】(a－b)(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋116.如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋n（n－3）2＝n（n＋1）2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋n（n－3）2·(n－2)＝n（n－1）（n－2）2.【答案】n（n＋1）212n（n－1）（n－2）2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b>0，则lg a＋b2≥lg a＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】(1)当a，b>0时，有a＋b2≥ab，∴lg a＋b2≥lg ab，∴lg a＋b2≥12lg ab＝lg a＋lg b2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立.18.(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝3 4，sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.【解】 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋ 32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34.19.(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.【解】 (1)证明：因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM ∩PN ＝P ， 所以BB 1⊥平面PMN ，所以BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2S BCC 1B 1S ACC 1A 1cos α. 其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角. 证明如下：因为CC 1⊥平面PMN ，所以上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，因为PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN · MN cos ∠MNP ，所以PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ，由于S BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，所以S 2 ABB 1A 1＝S 2 BCC 1B 1＋S 2 ACC 1A 1－2S BCC 1B 1·S ACC 1A 1·cos α.20.(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点.已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：图4(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⊆/平面DEF ，DE 平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC . 因为AC ∩EF ＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 又DE 平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .21.(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝（n －1）a n n －a n(n ≥2).(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1， 求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋.下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1，2，3，4时，结论成立， ②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝（k －1）a kk －a k＝（k －1）×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1（3k ＋1）（k －1）＝13k ＋1＝13（k ＋1）－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立.(2)证明：b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1＝13n ＋1＋3n －2＝13(3n ＋1－3n －2)，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)] ＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n ＋1⇔0<23n (显然成立)，所以对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.22.(本小题满分12分)记U ＝{1，2，…，100}，对数列{a n }(n ∈N ＋)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N ＋)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1，2，…，k }，求证：S T <a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D .【解】 (1)由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N ＋.于是当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N ＋.(2)证明：因为T ⊆{1，2，…，k }，a n ＝3n －1>0，n ∈N ＋，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k .因此，S T <a k ＋1.(3)证明：下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ， 则E ≠∅，F ≠∅，E ∩F ＝∅.于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D 得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l . 由(2)知，S E <a k ＋1.于是3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k ， 所以l －1<k ，即l ≤k . 又k ≠l ，故l ≤k －1.从而S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1， 即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1. 综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D .章末综合测评(二) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f (x )＝－2x 2＋1，那么该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( )A.－4B.－5C.－6D.－7【解析】Δy Δx ＝f （2）－f （1）2－1＝（－2×22＋1）－（－2×12＋1）1＝－6.【答案】 C2.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A.1B.12C.－12 D.－1【解析】 y ′＝2ax ，于是切线斜率k ＝f ′(1)＝2a ，由题意知2a ＝2，∴a ＝1. 【答案】 A3.下列各式正确的是( ) A.(sin α)′＝cos α(α为常数) B.(cos x )′＝sin xC.(sin x)′＝cos xD.(x－5)′＝－15x－6【解析】由导数公式知选项A中(sin α)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x －5)′＝－5x－6.【答案】C4.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a等于()【解析】令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－1x＋1.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2.∴a＝3.【答案】D5.已知二次函数f(x)的图像如图1所示，则其导函数f′(x)的图像大致形状是()图1A B C D【解析】由图像知f(x)＝ax2＋c(a<0)，∴f′(x)＝2ax(a<0)，故选B.【答案】B6.已知函数y＝x－1，则它的导函数是()A.y′＝12x－1 B.y′＝x－12（x－1）C.y′＝2x－1x－1 D.y′＝－x－12（x－1）【解析】u＝x－1，y′＝(u)′·u′＝12u＝12x－1＝x－12（x－1）.【答案】B7.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A.4x－y－3＝0B.x＋4y－5＝0C.4x－y＋3＝0D.x＋4y＋3＝0【解析】切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x30＝4，∴x0＝1，∴切点为(1，1)，即y－1＝4(x－1)，∴4x－y－3＝0.【答案】A8.设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和是( )A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 【解析】 ∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f （n ）＝1n 2＋n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.故选A.【答案】 A9.如图2，下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )图2A.－13B.13C.73D.－13或73【解析】 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)＝[x ＋(a －1)][x ＋(a ＋1)].显然(2)(4)不符合，若(1)是f ′(x )的图像，则有a ＝0，与已知矛盾，故(3)是f ′(x )的图像，∴a ＝－1.∴f (－1)＝－13－1＋1＝－13.【答案】 A10.过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A.2x ＋y ＋2＝0 B.3x －y ＋3＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)， 则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0，1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0. 【答案】 D11.点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2)B.22(1＋ln 2) C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋ln 2D.12(1＋ln 2)【解析】 y ′＝2x －1x ＝－1⇒x ＝12⇒y ＝14＋ln 2，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2，切点到直线的距离就是两平行线间的距离，由点到直线的距离公式求得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋ln 2＋142＋42＝22(1＋ln 2)，故选B.【答案】 B12.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】 因为y ＝4e x＋1， 所以y ′＝－4e x（e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1e x≥2，所以y ′∈[－1，0)，所以tan α∈[－1，0).又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.设函数y ＝f (x )是一次函数，若f (1)＝－1，且f ′(2)＝－4，则f (x )＝________. 【解析】 ∵y ＝f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b ， ∴f ′(x )＝a ，则f (1)＝a ＋b ＝－1，又f ′(2)＝a ＝－4.即a ＝－4，b ＝3，∴f (x )＝－4x ＋3. 【答案】 －4x ＋314.若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.【解析】 ∵y ′＝2x －1， ∴当x ＝－2时，y ′＝－5. 又P (－2，6＋c )， ∴6＋c －2＝－5，∴c ＝4. 【答案】 415.设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′（a ）＋bf ′（b ）＋cf ′（c ）＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )·(x －c )＋(x －a )·(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )， 同理f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )，代入原式中得值为0. 【答案】 016.设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝____. 【解析】 f ′(x )＝－sin (3x ＋φ)·(3x ＋φ)′＝－3sin (3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3，当f (x )＋f ′(x )为奇函数时，φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π6.【答案】 π6三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)求下列函数的导数. (1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝tan x x ；(3)y ＝x 2－2x ＋5x 3.【解】 (1)y ′＝(3x 2)′＋(x cos x )′ ＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x .(2)法一：y ′＝（tan x ）′·x －tan xx 2＝xcos 2x －tan x x 2＝x －cos 2x ·tan x x 2cos 2x ＝x －sin x cos x x 2cos 2x .法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x cos x ′＝（sin x ）′x cos x －sin x （x cos x ）′x 2cos 2x＝x cos 2x －sin x （cos x －x sin x ）x 2cos 2x＝x －sin x cos x x 2cos 2x .(3)∵y ＝1x －2x 2＋5x 3＝x －1－2x －2＋5x －3，∴y ′＝－x －2－2×(－2)x －3＋5×(－3)x －4＝－1x 2＋4x 3－15x 4.18.(本小题满分12分)已知曲线y ＝f (x )＝x 3－8x ＋2. (1)求曲线在点(0，2)处的切线方程；(2)过原点作曲线的切线l ：y ＝kx ，求切线l 的方程.【解】 (1)∵f (x )＝x 3－8x ＋2，∴f ′(x )＝3x 2－8，则f ′(0)＝－8，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y －2＝－8(x －0)，即8x ＋y －2＝0.(2)设切点为P (a ，a 3－8a ＋2)，切线斜率k ＝3a 2－8，则切线方程y －(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(x －a )，又因为切线过原点，所以0－(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(0－a )，即2a 3－2＝0，所以a ＝1，即切线l 斜率为k ＝－5，切线l 方程为y ＝－5x ，即5x ＋y ＝0.19.(本小题满分12分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程.【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4).(2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14， 因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.20.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求过点(2，f (2))且与切线y ＝(e －1)x ＋4垂直的直线方程l .【解】 (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知k l ＝11－e ，且f (2)＝2e ＋2， ∴y －(2e ＋2)＝11－e(x －2).即所求直线l 的方程为y ＝11－e x ＋21－e ＋2e ＋2.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2. (1)若a ＝1，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)对于任意x ≥2使得f ′(x )≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2，则f ′(x )＝1x ＋2x ，故在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝3，又f (1)＝1，即切点为(1，1)，故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)当x ≥2时，f ′(x )≥x ，即ax ＋2x ≥x (x ≥2)恒成立，即a ≥－x 2在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 令t ＝－x 2，当x ∈[2，＋∞)时，易知t max ＝－4，为使不等式a ≥－x 2恒成立，则a ≥－4，故实数a 的取值范围为[－4，＋∞).22.(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝ax 2＋bx ＋c 都经过点P (1，2)，且在点P 有公切线.(1)求a ，b ，c 的值；(2)设k (x )＝f （x ）g （x ），求k ′(－2)的值.【解】 (1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝2，a ＋b ＋c ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋c ＝1.故f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋bx ＋1－b ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，g ′(x )＝2x ＋b ，由于两曲线在点P (1，2)处有公切线，故f ′(1)＝g ′(1)，即4＝2＋b ， 所以b ＝2. 故c ＝1－b ＝－1.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋2x －1， 故k (x )＝f （x ）g （x ）＝x 3＋x x 2＋2x －1，故k ′(x )＝（x 3＋x ）′（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（x 2＋2x －1）′（x 2＋2x －1）2＝（3x 2＋1）（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（2x ＋2）（x 2＋2x －1）2＝x 4＋4x 3－4x 2－1（x 2＋2x －1）2. 故k ′(－2)＝16－32－16－1（4－4－1）2＝－33.章末综合测评(三) 导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为( ) A.5 B.25 C.125 D.625【解析】 ∵v ＝s ′＝t 3，∴t ＝5时的瞬时速度为53＝125. 【答案】 C2.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞). 【答案】 D3.函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A.a ≥0 B.a >0 C.a ≤0 D.a <0 【解析】 f ′(x )＝3ax 2＋1，当a ＝0时，f ′(x )＝1>0，f (x )单调增加，无极值；当a ≠0时，只需Δ＝－12a >0，即a <0即可. 【答案】 D4.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图1所示，那么f (x )的图像最有可能的是( )图1A B C D【解析】 数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(－2，－1)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数，从而得出结论.【答案】 B5.若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( )A.a >0B.－1<a <0C.a >1D.0<a <1【解析】 依题意得y ′＝a (3x 2－1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，∴a >0.【答案】 A6.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A.3f (1)<f (3) B.3f (1)>f (3) C.3f (1)＝f (3) D.f (1)＝f (3) 【解析】 由于f (x )>xf ′(x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝f ′（x ）x －f （x ）x 2<0恒成立，因此f （x ）x 在R 上是单调递减函数，∴f （3）3<f （1）1，即3f (1)>f (3)，故选B.【答案】 B7.若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A.－5B.7C.10D.－19【解析】 ∵f (x )′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)， 所以函数在[－2，－1]内单调递减， 所以最大值为f (－2)＝2＋a ＝2， ∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5. 【答案】 A8.函数y ＝12x －2sin x 的图像大致是( )【解析】 因为y ′＝12－2cos x ，所以令y ′＝12－2cos x >0，得cos x <14，此时原函数是增函数；令y ′＝12－2cos x <0，得cos x >14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C 正确.【答案】 C9.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A.[－1，＋∞)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1]D.(－∞，－1)【解析】 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，由题意知f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2＋2x 在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤(x ＋1)2－1，则b ≤－1，故选C.【答案】 C10.已知y ＝f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)＝1，f ′(x )>1，则f (x )>x 的解集是( ) A.(0，1) B.(－1，0)∪(0，1) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 不等式f (x )>x 可化为f (x )－x >0， 设g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f (x )′－1， 由题意g ′(x )＝f ′(x )－1>0，∴函数g (x )在R 上单调递增，又g (1)＝f (1)－1＝0， ∴原不等式⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1)，∴x >1，故选C. 【答案】 C11.当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[－5，－3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C.[－6，－2]D.[－4，－3] 【解析】 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0，∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0.当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值. 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 【答案】 C12.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥0 B.a <－4 C.a ≥0或a ≤－4 D.a >0或a <－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0，1)， ∵f (x )在(0，1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0，1)上恒成立，∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0，1)上恒成立，即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0，1)上恒成立.设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4.∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________. 【解析】 因为f (x )＝(2x ＋1)e x ， 所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3. 【答案】 314.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________.【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12e π2.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，12e π2 15.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，则a ＋b ＝________. 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，a 2＋a ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11，∴a ＋b ＝－7.【答案】 －716.周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】 设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3.【答案】 4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性.【解】 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12， 即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3) ＝3(x ＋1)(x －3).令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3； 又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)和x ∈(3，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－1，3)时，f (x )是减函数.。
2024-2025年北师大版数学必修第二册5.1.1-2复数的概念及其几何意义(带答案)
第五章 复数§1 复数的概念及其几何意义1．1 复数的概念1．2 复数的几何意义必备知识基础练知识点一 复数的概念与分类1．1－i 的虚部为( )A ．iB ．－iC ．1D ．－12．当实数m 取什么值时，复数(m 2－3m ＋2)＋(m 2－4)i ：①是实数？②是虚数？③是纯虚数？④在复平面内对应点位于第四象限？知识点二 复数相等3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a ＝( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－44．如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝－1B ．x ＝0，y ＝－1C ．x ＝1，y ＝0D ．x ＝0，y ＝0知识点三 复数的模与几何意义的应用5．已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝( )A ．12B ．22C ．2D ．2 6．(多选题)已知复数z ＝(cos α＋sin α)＋(cos α－sin α)i ，则下列说法正确的是( )A ．当α∈(0，π4)时，复数z 在复平面内对应的点在第一象限内 B ．当α∈(π4 ，π2)时，复数z 在复平面内对应的点在第一象限内 C ．复数z 的模的最大值为2D ．复数z 的模长为定值7．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i关键能力综合练一、选择题1．当m <1时，复数1＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．已知i 为虚数单位，m ∈R ，复数z ＝(－m 2＋2m ＋8)＋(m 2－8m )i ，若z 为负实数，则m 的取值集合为( )A ．{0}B ．{8}C ．{x |－2<x <4}D ．{x |－4<x <2}3．若复数(m 2－m )＋3i 是纯虚数，则实数m ＝( )A ．1B ．0或1C ．1或2D ．1或34．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( )A ．a ＝32 ，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12 ，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3 5．(易错题)设复数z ＝(2t 2－5t ＋3)＋(t 2－2t ＋3)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．复数z 对应的点在第二象限B ．复数z 一定不是纯虚数C ．复数z 对应的点在实轴上方D ．复数z 一定是实数二、填空题6．若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则z ＝________．(写出一个即可)7．若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________．8．若复数z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m －2＋(m 2－5m )i ，m 为实数，且z 1>z 2，则实数m 的取值集合为________．三、解答题9．(探究题)(1)若复数z ＝2a －1a ＋2＋(a 2－a －6)i(a ∈R )是实数，求z 1＝(a －1)＋(1－2a )i 的模；(2)已知复数z ＝3＋a i(a ∈R )，且|z |<4，求实数a 的取值范围．学科素养升级练1.关于复数，下列说法错误的是( )A ．若|z |＝1，则z ＝±1或±iB ．复数6＋5i 与－3＋4i 分别对应向量OA → 与OB → ，则向量AB → 对应的复数为9＋iC ．若z 是复数，则z 2＋1>0D ．若复数z 满足1≤|z |<2 ，则复数z 对应的点所构成的图形面积为π2．(学科素养——数学抽象)已知复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．(1)若z 的实部与虚部之和为7，且|z |＝13，求z ；(2)若|z |＝6 ，且z 2＋z 的实部不为0，讨论z 2＋z 在复平面内对应的点位于第几象限．§1 复数的概念及其几何意义1．1 复数的概念1．2 复数的几何意义必备知识基础练1．答案：D解析：由复数虚部定义可知，1－i 的虚部为－1.故选D.2．解析：设z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－4)i.①要使z 为实数，必须有m 2－4＝0，得m ＝－2或m ＝2，即m ＝－2或m ＝2时，z 为实数．②要使z 为虚数，必有m 2－4≠0，即m ≠－2且m ≠2.故m ≠－2且m ≠2时，z 为虚数．③要使z 为纯虚数，必有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4≠0，m 2－3m ＋2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－2且m ≠2，m ＝1或m ＝2. 所以m ＝1，故m ＝1时，z 为纯虚数．④由已知得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，m 2－4<0， 解得－2<m <1. 3．答案：C解析：由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴a ＝－4.故选C. 4．答案：A解析：∵(x ＋y )i ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0， ∴x ＝1，y ＝－1.故选A. 5．答案：C解析：因为复数z ＝1＋i ，所以根据复数模的运算公式可得，|z |＝12＋12 ＝2 .故选C.6．答案：AD解析：因为cos α＋sin α＝2 sin (α＋π4)，cos α－sin α＝2 cos (α＋π4 )， 所以z ＝2 [sin (α＋π4 )＋icos (α＋π4)]. 当α∈(0，π4 )时，α＋π4 ∈(π4 ，π2)， 所以sin (α＋π4 )＞0，cos (α＋π4)＞0，所以z 在复平面内对应的点在第一象限，故A 正确；当α∈(π4 ，π2 )时，α＋π4 ∈(π2 ，3π4)， 所以sin (α＋π4 )＞0，cos (α＋π4)＜0，所以z 在复平面内对应的点在第四象限，故B 错误；复数z 的模为2 × sin 2（α＋π4）＋cos 2（α＋π4） ＝2 ，故C 错误，D 正确．故选AD.7．答案：C解析：由题意知A (6，5)，B (－2，3)，则AB 中点C (2，4)对应的复数为2＋4i.关键能力综合练1．答案：A解析：∵m <1，∴m －1<0，∴复数1＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限．故选A.2．答案：B 解析：由题意得－m 2＋2m ＋8<0，m 2－8m ＝0，解得m ＝8.即m 的取值集合为{8}．故选B.3．答案：B解析：因为复数(m 2－m )＋3i 是纯虚数，所以m 2－m ＝0，解得：m ＝0或m ＝1.故选B.4．答案：A解析：由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12． 故选A. 5．答案：C解析：∵z 的虚部t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2恒为正，∴z 对应的点在实轴上方，且z 一定是虚数，排除D.又z 的实部2t 2－5t ＋3＝(t －1)(2t －3)可为正、为零、为负，∴选项A 、B 不正确．故答案为C.6．答案：－1＋3 i(答案不唯一)解析：设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为复数z 在复平面内对应的点在第二象限，所以a <0，b >0，又因为|z |＝2，所以a 2＋b 2＝4，显然当a ＝－1，b ＝3 时，符合题意，故答案为－1＋3 i(答案不唯一).7．答案：2 ±2解析：两个复数相等，则实部和虚部分别相等，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4， 解得m ＝2，n ＝±2.8．答案：{0}解析：∵z 1>z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 3＋3m 2＋2m ＝0，m 2－5m ＝0，m 2＋1>4m －2，解得m ＝0，∴实数m 的取值集合为{0}．9．解析：(1)∵z 为实数，∴a 2－a －6＝0，∴a ＝－2或3.∵a ＝－2时，z 无意义，∴a ＝3，∴z 1＝2－5i ，∴|z 1|＝29 .(2)方法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2 ，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7 ，7 ).方法二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合．由图可知：－7 <a <7 .学科素养升级练1．答案：ABC解析：取z ＝12 ＋32 i ，则|z |＝1，故A 错误；AB → ＝OB → －OA → ＝－3＋4i －(6＋5i)＝－9－i ，故B 错误；取z ＝i ，但i 2＝－1，z 2＋1＝0，知C 错误；设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由1≤|z |<2 可知1≤x 2＋y 2<2，故复数z 对应的点所构成的图形面积为π×2－π×1＝π，故D 正确．故选ABC.2．解析：(1)依题意可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，a >0，b <0)，因为z 的实部与虚部之和为7，且|z |＝13，所以⎩⎨⎧a >0，b <0，a ＋b ＝7，a 2＋b 2＝13， 解得a ＝12，b ＝－5，故z ＝12－5i.(2)依题意可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为z 2＋z ＝a 2－b 2＋a ＋(2ab ＋b )i(a >0，b <0)，所以a 2－b 2＋a ≠0，且2ab ＋b ＝b (2a ＋1)<0.因为|z |＝6 ，所以a 2＋b 2＝6，所以a 2－b 2＋a ＝a 2－(6－a 2)＋a ＝2a 2＋a －6.当0<a <32时，2a 2＋a －6<0，z 2＋z 在复平面内对应的点位于第三象限； 当a >32时，2a 2＋a －6>0，z 2＋z 在复平面内对应的点位于第四象限．。
2020-2021学年数学高中北师大版选修2-2课后习题：5.2 复数的四则运算 Word版含解析
2. 导学号88184057若z2+z+1=0，则z2 014+z2 015+z2 017+z2 018的值为（)
A。2B。-2
C。- iD.- i
解析：∵z2+z+1=0,两边同乘(z—1），得z3—1=0，
∴z3=1(z≠1），
则z4=z，z2 014=(z3)671×z=z，
于是原式=z2 014（1+z+z3+z4)
§
课后训练案巩固提升
A组
1。复数 的虚部为()
A.0B。1C。—1D。2
解析：∵ =i，
∴虚部为1.
答案：B
2.设z1=2+bi，z2=a+i，当z1+z2=0时,复数a+bi为(）
A.1+iB。2+iC。3D.—2-i
解析：∵z1+z2=（2+bi）+(a+i）=（2+a）+(b+1）i=0,
∴
∴ ∴a+bi=-2-i.
答案：3
7.已知复数z= 是z的共轭复数,则z· =.
解析:∵z=
= =— i,
∴ =— i.
∴z·
= .
答案：
8。若x，y∈R，且 ，则x=,y=.
解析:∵ ，
∴ 。
∴ 。
∴（x-y)+(y—2x）i= =4—3i.
∴
答案:—1—5
9。计算:(1) （2-i）（3+i）；
(2) .
解（1) (2-i)（3+i)
=
= .
∵-1≤sin ≤1,
∴0≤|z—w｜≤2。
北师大版选修22高中数学512《复数的有关概念》同步训练
1、2复数的有关概念错误!1。
若点P对应的复数z满足｜z｜≤1,则P的轨迹是（)。
A.直线B.线段C。
圆 D.单位圆以及圆内答案D2。
如果向量错误!＝0，则下列说法中正确的个数是（）.①点Z在实轴上;②点Z在虚轴上;③点Z既在实轴上，又在虚轴上.A。
0 B.1C.2D.3答案D3.已知复数z满足｜z|2＝z2，则z是A.0B.任意实数C。
任意复数 D.实数和纯虚数解析设z＝a＋b i（a，b为实数），则｜z|2＝a2＋b2,z2＝a2－b2＋2ab i、∵｜z|2＝z2，∴错误!即a∈R且b＝0，故z＝a是任意实数。
答案B4。
若x是实数，y是纯虚数,且满足2x－1＋2i＝y,则x＝________，y＝________、解析由x是实数，y是纯虚数可得错误!所以错误!答案错误!2i5。
已知M＝{1,(m2－2m）＋(m2＋m－2)i｝,P＝｛－1,1,4i}，若M∪P＝P,实数m的值为__________。
解析∵M∪P＝P,∴M⊆P，∴ 由（m2－2m）＋(m2＋m－2)i＝－1，得错误!解得m＝1、由（m2－2m)＋（m2＋m－2）i＝4i得错误!解得m＝2、综上可知m＝1或m＝2、答案1或26.实数a取什么值时,复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋（a2－3a＋2)i的点:（1)位于第二象限;（2）位于直线y＝x上.解根据复数的几何意义可知,复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2）i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2）.解得－2＜a＜1、故(1)由点Z位于第二象限得｛a2＋a－2＜0，a2－3a＋2＞0，满足条件的实数a的取值范围为（－2，1)。
(2）由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1、故满足条件的实数a的值为1、综合提高限时25分钟7。
下列三个命题中:①如果复数z1＝错误!i,z2＝错误!－错误!i,z3＝－错误!，z4＝2－i,那么这些复数对应的点共圆；②｜cos θ＋isin θ|的最大值是错误!,最小值是0；③x轴是复平面的实轴，y轴是复平面的虚轴，所以实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数。
北师大数学选修22课时分层作业 数的概念的扩展 复数的有关概念 含解析
课时分层作业(十八)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．－(2－2i)的虚部是( )A ．－2B ．－ 2C ． 2D ．2C [∵－(2－2i)＝－2＋2i ，∴其虚部是 2.]2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 D [∵sin 2>0，cos 2<0，∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.]3．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i B [由i 2＝－1，得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.]4．已知复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2，且a ≠1C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0D [由题意，得a 2－2a ＝0，得a ＝0或a ＝2．故选D.]5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( )A ．－34＋i B.34－iC ．－34－i D.34＋iD [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.]二、填空题6．设i 为虚数单位，若复数z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m ＝__________.－3 [依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.] 7．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是__________． 3－3i [3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.]8．复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________． 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆 [∵|z |＝3， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32．故点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．]三、解答题9．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时； (1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝12－4i.[解] (1)∵z ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3，∴当m ＝－3时，z ∈R .(2)∵z 是虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －3≠0，m －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠1且m ≠－3，m ≠1， ∴当m ≠1且m ≠－3时，z 是虚数．(3)∵z 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －3≠0，m (m ＋2)m －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠1且m ≠－3，m ＝0或m ＝－2， ∴当m ＝0或m ＝－2时，z 是纯虚数．(4)∵z ＝12－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m (m ＋2)m －1＝12，m 2＋2m －3＝－4，即⎩⎨⎧ m ＝－1或－12，m ＝－1，∴m ＝－1时，z ＝12－4i.10．已知O 为坐标原点，O Z →1对应的复数为－3＋4i ，O Z →2对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若O Z →1与O Z →2共线，求a 的值．[解] 因为O Z →1对应的复数为－3＋4i ，O Z →2对应的复数为2a ＋i ，所以O Z →1＝(－3,4)，O Z →2＝(2a,1)．因为O Z →1与O Z →2共线，所以存在实数k 使O Z →2＝kOZ →1，即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝14，a ＝－38，即a 的值为－38.[能力提升练]1．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( ) A ．－7B ．－17C ．7D ．－7或－17 A [∵复数z 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，∴sin θ＝35且cos θ≠45， ∴cos θ＝－45.∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7，故选A.]2．已知复数z 对应的向量为O Z →(O 为坐标原点)，O Z →与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3iB ．2C ．(－1, 3)D ．－1＋3i D [设复数z 对应的点为(x ，y )，则x ＝|z |·cos 120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1， y ＝|z |·sin 120°＝2×32＝3，∴复数z 对应的点为(－1, 3)，∴z ＝－1＋3i.]3．复数z ＝－5－12i 在复平面内对应的点到原点的距离为__________．13 [复数z ＝－5－12i 在复平面内对应点Z (－5，－12)，所以点Z 与原点O 的距离为|OZ |＝(－5)2＋(－12)2＝13.]4．复数z 1＝3m －1－2m i ，z 2＝－m ＋m 2i ，若z 1＋z 2>0，则实数m ＝________. 2 [z 1＋z 2＝(3m －1－2m i)＋(－m ＋m 2i)＝(3m －1－m )＋(m 2－2m )i. ∵z 1＋z 2>0，∴z 1＋z 2为实数且大于0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m －1－m >0，m 2－2m ＝0，解得m ＝2．] 5．若m 为实数，z 1＝(m 2＋1)＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝(4m ＋2)＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 的值的集合又是什么？[解] 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1或m ＝－2，∴z 1＝1或z 1＝2或z 1＝5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，解得m ＝0或m ＝1或m ＝4，∴z 2＝2或z 2＝6或z 2＝18.上面m 的公共值为m ＝0，此时，z 1与z 2同时为实数，且z 1＝1，z 2＝2． ∴当z 1>z 2时，m 值的集合为空集；当z 1<z 2时，m 值的集合为{0}．。
北师大版数学选修1-2练习(第4章)复数的有关概念(含答案)
复数的有关概念 同步练习【选择题】1、 已知1||=z ，则|6|||-++z i z 最小值是（ ）．A 、7B 、37C 、6D 、52、平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 分别对应复数i i i 53,34,2+++，点D 对应的复数是（ ）．A 、i 32+B 、i 43+C 、i 31+D 、i 41+3、若复数)(,)23()2(22R m i m m m m ∈+-+--在复平面内对应的点位于虚轴上，则m 的取值集合为（ ）A 、 }1{B 、 }1,2{-C 、}1{-D 、}2,1,1{-4、在复平面上复数i,1,4+2i 所对应的点分别是A 、B 、C,则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为 ( )A 、5B 、13C 、15D 、175、若，θθθθsin 3cos ,cos 2sin 21i z i z +=+=当21z z =时θ的值为（ ）A 、πkB 、32ππ+k C 、32ππ±k D 、62ππ+k （以上Z k ∈ ） 【填空题】6、若),1(,1)1(12R y x i x y i y x ∈≥--=-+- 则=+y x ________7、已知复数满足2|43|=++i z ，则||z 的最大值是________【解答题】8、已知关于实数x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=+--+--=+-i i b y x ay x i y y i x 89)4()2()3()12( 有实数解，求实数a 、b 的值.9、复数)(,)21()32(22R a i a a a a z ∈+--+-=在复平面内对应点位于第几象限？10、已知,10|3||3|=++-z z 且)(8|5||5|C z i z i z ∈=+--．求复数 .11、已知复数)(,2R a ai z ∈+=，求|1||21|i z i z +-+-+ 的最小值以及取得最小值时的值．参考答案1、 B2、C3、C4、B5、D6、2或87、78、根据复数相等的条件由①得⎩⎨⎧--==-)3(112y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==425y x 代入方程②得⎩⎨⎧=+=+86945b a 解得⎩⎨⎧==21b a ∴2,1==b a 9、解：∵041)21()21(22>+-=+-a a a 即0)21(2<+--a a∴复数Z 在复平面内对应点位于第四象限。
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第四章 §1 第2课时
一、选择题
1．复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数 D ．z 是非负实数
[答案] D
[解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0.
2．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3 D ．2 [答案] A
[解析] 依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A. 3．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2或a ≠－1 C ．a ＝2或a ＝0 D ．a ＝0 [答案] C
[解析] 由题意知a 2－2a ＝0， 解得a ＝0或2.
4．已知平行四边形OABC ，O 、A 、C 三点对应的复数分别为0、1＋2i 、3－2i ，则向量AB →的模|AB →
|等于( )
A. 5 B ．2 5 C ．4 D ．13
[答案] D
[解析] 由于OABC 是平行四边形，故AB →＝OC →
， 因此|AB →|＝|OC →
|＝|3－2i|＝13，故选D.
5．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( ) A ．－4
5<x <2
B ．x <2
C ．x >－4
5
D ．x <－4
5或x >2
[答案] A
[解析] 由条件知，(x －1)2＋(2x －1)2<10，
∴5x 2－6x －8<0，∴－4
5
<x <2.
6．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[答案] B
[解析] 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应的点在第二象限，故选B.
二、填空题
7．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．
[答案] (1,2)
[解析] 由已知，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－6x ＋5<0
x －2<0，
解得1<x <2.
8．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )，且z ＜0，则|z |＝______________. [答案] 2
[解析] 认真审题，把握“z ＜0”，说明“z 是实数且小于0”，然后具体求解．因为z ＜0，则z ∈R ，所以虚部k 2－5k ＋6＝0解得k ＝2或k ＝3.当k ＝3时，z ＝0，不合题意，故舍去，∴z ＝－2，∴|z |＝2.
9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. [答案] 12
[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋2m －3≠0
m 2－9＝0
，
∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题
10．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．
[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，
由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
＋m －1＞0
4m 2－8m ＋3＞0，
解得m ＜－1－52或m ＞3
2
，。