单纯形法程序
第一章 线性规划及单纯形法3-单纯形法计算步骤
单纯形法的计算步骤如下：
第一步 找出一个基可行解 第四步 第二步 判断其是否最优 是 结束
否 第三步 转换到相邻的基可行解，并使目标函数值增大
第一步：求初始基可行解，列出初始单纯形表。 第二步：最优性检验。 第三步：从一个基可行解转换到相邻的目标函数值更大 的基可行解，列出新的单纯形表。 第四步：重复第二、三步，直到计算结束为止。
进基变量、离基变量、基变换
目标函数
约 束 条 件
基变量
=
右边常数
基矩阵
=
目标函数 约 束 条 件 进基变量
=
右边常数
=
离基变量
目标函数 约 束 条 件
=
右边常数
新的基矩阵
=
目标函数 约 束 条 件 进基变量
=
基矩阵
=
离基变量
目标函数 约 束 条 件
=
右边常数
新的基矩阵
=
例：用单纯形法求解线性规划问题
… …
cn xn
c1 c2 … cm
x1 x2 … xm cj - zj
b1 b2 … bm
1 0 … 0 0
… …
…
0 0 … 1 0
… …
…
a1j a2j … amj
… …
…
a1n a2n … amn
…
… cj - ciaij … cn-ciaij
第二步：最优性检验。 当所有的 j 0 时，且基变量中不含有人工变量，表明 表中基可行解的目标函数值比起相邻基可行解的目标函数值 都大，可以判定现有基可行解为最优解，计算结束。 当表中存在某个 j > 0，如果相应的 Pj 0 ，表明该线 性规划问题有无界解，计算结束。 否则，转下一步。 第三步：从一个基可行解转换到相邻的目标函数值更大 的基可行解，列出新的单纯形表。 1. 确定换入的基变量。 k=max {j | j > 0} 2. 确定换出的基变量。 min { bi | a 0} bl ik i aik alk
单纯形法求解过程
单纯形法求解过程单纯形法是一种经典的线性规划求解方法，它是由乔治·达竞士等人在1947年提出的。
该方法的基本思想是，通过在单纯形空间内不断移动顶点的位置来寻找最优解。
单纯形法是目前广泛应用的线性规划求解方法之一，它求解线性规划问题可大大地简化计算过程。
单纯形法的求解过程包括以下几个步骤：1. 将线性规划问题转化为标准形式线性规划问题的标准形式为：$ \max_{x} \ \ c^T x $$s.t. \ Ax=b$$x\geq 0$其中，$x$是要求解的向量；$b$是一个常数向量；$A$是一个$m\times n$的矩阵；$c$是一个常数向量。
2. 初始化单纯形表因为单纯形法是通过移动顶点来寻找最优解的方法，因此需要初始化单纯形表。
单纯形表是将原始的约束条件表示为不等式形式时形成的。
例如，对于一个带有3个变量的线性规划问题，其单纯形表的形式如下：CB | X1 | X2 | X3 | X4 | RHS----|-----|-----|-----|-----|----0 | a11| a12| a13| 0 | b10 | a21| a22| a23| 0 | b20 | a31| a32| a33| 0 | b31 | z1 | z2 | z3 | 0 | 0其中，CB代表成本系数，X1、X2、X3、X4分别代表变量。
a11、a12、a13等代表矩阵A中的元素，b1、b2、b3代表矩阵b中的元素。
3. 选择进入变量和离开变量在单纯形表中，规定最后一列为等式右边的常数（RHS），即b。
在单纯形法的求解过程中，首先需要选择一个“进入变量”，即在单纯形表的第一行中，寻找一个系数为正的变量，使得将其加入目标函数后，目标函数值可以上升。
这里以X1为例，X1为进入变量。
接着，需要选择一个“离开变量”，即在单纯形表中，寻找一个使得添加X1变量后，约束条件不改变且取得约束条件中系数最小的一个变量离开。
单纯形解法
线性规划问题解法：（1）图解法： 优点---只管易掌握，有助于理解结构。
缺点---只能解决低维的问题，对高维无能为力。
（2）单纯形法：单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
单纯形法的一般步骤如下：1、寻找一个初始的基本可行解。
2、检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。
3、移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解，然后转会到步骤（2）。
步骤1： 约束方程 表示为： 用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得： 若令所有非基变量 ，则基变量 由此可得初始的基本可行解：其过程为：存在问题：1、要判断m 个系数列向量是否恰好构成一个基并不是一件容易的事。
基由系数矩阵Ａ中m 个线性无关的系数列向量构成。
但是要判断m 个系数列向量是否线性无关并非易事。
2、即使系数矩阵Ａ中找到了一个基B ，也不能保证该基恰好是可行基。
因为不能保证基变量ＸB =Ｂ-1b ≥0。
3、为了求得基本可行解，必须求基Ｂ的逆阵Ｂ-1。
但是求逆阵Ｂ-1也是一件麻烦的事。
结论：在线性规划标准化过程中设法得到一个m 阶单位矩阵I 作为初始可行基Ｂ为了设法得到一个m 阶单位矩阵I 作为初始可行基Ｂ，可在规划标准化过程中作如下处理：1、若在化标准形式前，m 个约束方程都是“≤”的形式，那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变量x n+i (i=12…m)。
2、若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式，那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为人工变量．3、若在化标准形式前，约束方程中有等式方程，那么可以直接在等式左端添加人工变量。
【步骤一完成：寻找一个初始的基本可行解】 AX=bB B N N X AX=(BN)=BX +NX =bX ⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b→→→步骤2： 假如已求得一个基本可行解将这一基本可行解代入目标函数，可求得相应的目标函数值其中 分别表示基变量和非基变量所对应的价值系数子向量。
程序求解 单纯形法
程序求解单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的常用方法。
它通过一系列的迭代步骤，从一个初始的基本可行解开始，逐步改进解，直到找到最优解或证明问题无最优解。
以下是使用单纯形法求解线性规划问题的一般步骤：
1. 构建初始基本可行解：选择一个初始的基本可行解，通常可以通过引入松弛变量或人工变量来构建。
2. 计算目标函数值：计算当前基本可行解下的目标函数值。
3. 检查最优性：如果当前基本可行解满足最优性条件（目标函数值最小或最大），则停止迭代，当前解即为最优解。
4. 寻找改进方向：如果当前基本可行解不满足最优性条件，则需要找到一个改进的方向。
这可以通过计算每个非基变量（即未被选入基本可行解的变量）的检验数来完成。
5. 选择进入变量：根据检验数，选择一个具有正检验数的非基变量作为进入变量。
6. 确定离开变量：为了保持基本可行解的可行性，需要选择一个离开变量。
通常选择一个具有最小比值的基变量作为离开变量。
7. 更新基本可行解：通过替换离开变量和进入变量，构建一个新的基本可行解。
8. 重复步骤 2 至步骤 7，直到找到最优解或证明问题无最优解。
需要注意的是，单纯形法的具体实现可能因问题的规模和结构而有所不同。
在实际应用中，可以使用编程语言或优化软件来实现单纯形法。
希望以上内容对你有所帮助。
如果你有具体的线性规划问题需要求解，我可以根据具体问题提供更详细的帮助。
单纯形法步骤
单纯形法步骤：1. 给定初始点 )0(x 初始单纯形边长 a ，α ， 收缩系数 β ， 延伸系数 γ 以及精度要求 ε。
2. 作出初始单纯形图3. 找出坏点 )(h x 、好点 )(e x 计算中心点 )1(+n x 及 反射点 )2(+n x 和各点上的目标函数值4. 比较反射点和除了坏点上的函数值，5.⑴. 如果反射点上的函数值比好点差，但比坏点外的其他顶点函数值好，认为反射成功，将反射点代替坏点构成新的单纯形，转7 ⑵. 如果反射点上的函数比好点还要好，说明反射点很好，可以沿此方向作延伸尝试，如果延伸点上的函数值比好点还好，则将延伸点取代坏点，形成新单纯形，转7。
反之，延伸点上函数值不如好点，说明延伸失败，但反射还是成功的，所以仍可用反射点代替坏点，然后转75. 如果反射点连坏点都不如，说明反射失败，那么作收缩，找出收缩点的函数值，并转6.；如果反射点仅比坏点好，则将反射点取代坏点，然后收缩，转下一步6。
6. 如果收缩点上函数比坏点还差，说明收缩也失败，作缩小运算，形成缩小后的单纯形转7；反之（即收缩点上的函数值比坏点好），说明收缩成功，用收缩点代替坏点，形成新的单纯形转。
转下一步7。
7. 检查是否满足精度要求 ()(1)max(()i n f x f x ε+-≤如满足，停止迭代，否则转3，继续迭代。
%三个考察点，最优，次差，最差best = vx(: , 1) ; fbest = vf(1) ;soso = vx(: , n) ; fsoso = vf(n) ;worst = vx(: , n+1) ; fworst = vf(n+1) ;center = sum(vx(: , 1:n) , 2) ./ n ;r = 2 * center - worst ;%反射点fr = feval(fun , r) ;if fr < fbest %比最好的结果还好，说明方向正确，考察扩展点，以期望更多的下降e = 2 * r - center ; %扩展点fe = feval(fun , e) ;if fe < fr %在扩展点和反射点中选择较优者去替换最差点vx(: , n+1) = e ; f(: , n+1) = fe ;elsevx(: , n+1) = r ; vf(: , n+1) = fr ;endelseif fr < fsoso %比次差结果好，能够改进vx(: , n+1) = r ; vf(: , n+1) = fr ;else %比次差结果坏，当压缩点无法得到更优值的时候，考虑收缩shrink = 0 ;if fr < fworst %由于r点更优所以向r点的方向找压缩点c = ( r + center ) ./ 2 ; fc = feval(fun , c) ;if fc < fr %确定从r压缩向c可以改进vx(: , n+1) = c ; vf(: , n+1) = fc ;else %否则的话，准备进行收缩shrink = true ;endelsec = (worst + center) ./ 2 ; fc = feval(fun , c) ;if fc < fr %确定从r压缩向c可以改进vx(: , n+1) = c ; vf(: , n+1) = fc ;else %否则的话，准备进行收缩shrink = 1 ;endend%fr < fworstif shrink %压缩点并非更优，考虑所有点向best收缩for i = 2:n+1vx(: , i) = ( vx(i) + best ) ./ 2 ; vf(: , i) = feval(fun , vx(: , i)) ;endend %shrinkend%fr < fsosoend %fr < fbest[vf index] = sort(vf) ;vx = vx(:,index) ;。
单纯形法计算步骤
单纯形法计算步骤引言单纯形法是一种常用的数学优化方法，主要用于求解线性规划问题。
它的基本思想是通过不断地在可行解集合内移动，逐步靠近最优解，直到找到最优解。
本文将介绍单纯形法的基本步骤，以帮助读者了解如何使用该方法解决线性规划问题。
步骤一：建立线性规划模型在使用单纯形法之前，首先需要建立线性规划模型。
线性规划模型由决策变量、目标函数和约束条件组成。
决策变量是需要在问题中决策的变量，目标函数是需要最大化或最小化的目标，约束条件是限制决策变量取值范围的条件。
步骤二：将线性规划模型转化为标准形式单纯形法只适用于标准形式的线性规划模型。
标准形式要求目标函数为最大化，并且所有的约束条件都是等式形式。
如果初始线性规划模型不符合标准形式，我们可以通过适当的代数操作将其转化为标准形式。
步骤三：构造初始单纯形表初始单纯形表是单纯形法求解线性规划问题的起点。
它由决策变量、松弛变量、人工变量、目标函数系数和约束条件组成。
初始单纯形表的构造方法如下： 1. 将决策变量的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的第一行。
2. 将目标函数的系数放在单纯形表的第一列。
3. 将约束条件的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的其他行。
步骤四：确定基变量和非基变量基变量是单纯形表中拥有非零系数的变量，非基变量是单纯形表中拥有零系数的变量。
基变量和非基变量的确定方法如下： 1. 将目标函数的系数列中不为零的变量作为基变量。
2. 将约束条件中非零系数列中对应的变量作为基变量。
3. 剩余的变量作为非基变量。
步骤五：计算单纯形表中的系数根据基变量和非基变量的定义，我们可以计算单纯形表中的系数。
计算方法如下： 1. 将基变量的系数列除以对应的基变量系数。
2. 将非基变量的系数列减去对应的基变量系数列乘以非基变量所在行和基变量所在行之间的系数。
步骤六：检查是否达到最优解在每次迭代过程中，都需要检查是否达到最优解。
如果单纯形表中目标函数系数列的所有值都是非负的，表示已经达到最优解；否则，需要进行下一次迭代。
单纯形法的计算步骤
运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表 （单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可 知，每一次迭代计算只要表示出当前的约 束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0
单纯形法
单纯形法(SM ，simplex method)首先在n 维欧氏空间n E 中构造一个包含1n +顶点的凸多面体，求出各顶点的函数值并确定其中的最大值，次大值和最小值。
然后通过反射、扩张、内缩、缩边等求出一个较好解，用之取代最差点，从而构成新的多面体。
如此迭代可求得一个极小点。
具体步骤如下：①、 确定初始点。
②、 反射操作：求出1n +个顶点的函数值，确定其中最大值G f ，次大值H f 和最小值L f 。
除去最大值点G X ，计算剩余n 个点的形心X ，然后求出G X 关于X的对称点(2)n X +，计算(2)()n f X +。
若(2)()n L f X f +<，则令(3)(2)()n n X X X X γ++=+-，其中1γ>，取2γ=，并计算(3)()n f X +，若(3)(2)()()n n f X f X++<则用(3)n X +取代G X 转步骤⑤，否则用(2)n X +取代G X 转步骤⑤。
③、 若(2)()n L H f f X f +≤≤，则用(2)n X +取代G X 步骤⑤。
④、 若(2)()n H f X f +≥，则需要内缩，(2)(')min{(),()}n H f X f X f X +=，令(4)(')n X X X X β+=+-，其中0.5β=，计算(4)()n f X +，若(4)()(')n f X f X +≤，则用(4)n X +取代G X ，并转步骤⑤。
若(4)()(')n f X f X +>则缩边，即()/2i i L X X X =+，(1,2,,1)i n =+ ，转步骤⑤。
⑤、 若120.511{[()()]}1n i i f X f X n ε+=-<+∑，则停止，否则转②。
SM 简单，计算量小，优化快速，不需要函数可导。
但对初始值依赖性强，容易陷入局部极小，而且优化效果随函数维数增加明显下降。
单纯形法解题步骤
三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表.）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表.第二步：最优解的判定.(1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解.(2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解.如果以上两条都不满足，则进行下一步.第三步：换基迭代.，并确定所在列的非基变量为进基变量.（1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（3）换基：用进基变量（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.例3 求.解（1）化标准型：令，引进松弛变量，其标准型为求（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为标函数取得最优值.目性规划问题的最优解为：.原线目标函数的最优值为14，即.例4 用单纯形方法解线性规划问题.求.解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数, 经整理后，目标函数非基化了.作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）.最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量进基.表 6.9目前最大检验数，其所在列没有正分量，所以该线性规划问题没有最优解.例5用单纯形方法解线性规划问题.求解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数，经整理得,目标函数已非基化.作单纯形表，并进行换基迭代(见表6.10).最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量x2进基，先将主元化为1，然后再将主元所在列的其他元素化为零.表 6.10至此，检验数均为非正数，故得基础可行解.原问题的最优解为：.最优值为6，即.如果我们再迭代一次，将基变量出基，非基变量进基（见表6.11）.表 6.11可得到另一个基础可行解,原问题的最优解为：，最优值仍为6，说明该线性规划问题有无穷多最优解，其最优解均为6.如何知道线性规划问题有无穷多最优解呢？这主要反映在单纯形表中.如果非基变量所对应的检验数为0，我们可对此列继续进行换基迭代，就可以得到另一个基础可行解.以此作下去，可得到许多基础可行解，即相对应的最优解有无穷多个.（4） 011 0。
单纯形法的计算步骤
确定换入基的变量。选择 ,对应的变量xj作为换入变量,当有一个以上检验数大于0时,一般选择最大的一个检验数,即： ,其对应的xk作为换入变量。 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ,选最小的θ对应基变量作为换出变量。
商务 图标元素
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商务 图标元素
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单纯形法的计算步骤
用换入变量xk替换基变量中的换出变量,得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解,并相应地可以画出一个新的单纯形表。 5 重复3 、4 步直到计算结束为止。
单纯形法的计算步骤
换入列
bi /ai2,ai2>0
40
10
换出行
将3化为1
5/3
1
18
0
1/3
0
1/3
10
1
－1/3
其中：M是一个很大的抽象的数,不需要给出具体的数值,可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型,计算结果见下表。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
→
→
→
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
单纯性法小结:
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3.调整大小ຫໍສະໝຸດ 商务 图标元素30
30
0
5/3
0
－4/3
乘以1/3后得到
1
0
3/5
－1/5
18
0
1
－1/5
－2/5
单纯形法求解过程
单纯形法求解过程单纯形法是一种用于求解线性规划问题的迭代算法。
它是由美国数学家George Dantzig在1947年提出的。
单纯形法的目标是通过不断地沿着一些方向逼近最优解，最终找到使目标函数取得最大（或最小）值的最优解。
单纯形法的求解过程可以分为以下几个步骤：1.标准化问题：将线性规划问题转化为标准化形式。
标准化的目的是将原问题转化为一个等价问题，使得约束条件全部为等式，且目标函数的系数都为非负数。
2.设置初始解：选择一个初始可行解作为起始点。
起始点可以通过代入法求解出来，或者通过其他启发式算法得到。
初始可行解需要满足所有约束条件，即满足等式以及非负性约束。
3.检验最优性：计算当前解的目标函数值，并检验这个值是否是最优解。
如果当前解是最优解，算法终止；否则，进入下一步。
4.选择进入变量：从目标函数的系数中选择一个可以增大（最大化问题）或减小（最小化问题）目标函数值的变量作为进入变量。
选择进入变量的策略可以有多种，例如最大增益法或者随机选择法。
5.计算离基变量：选择一个出基变量并将其移出基变量集合。
离基变量的选择通常采用最小比率法，即选择使得约束条件最紧张的变量。
6.更新解：通过求解一个新的线性方程组来计算新的解，更新基变量集合和非基变量集合。
由于每次只有一个变量进基，一个变量出基，将保持可行解的性质。
7.转到步骤3：重复步骤3-6，直到找到最优解。
单纯形法的关键在于选择进入变量和离基变量，以及求解线性方程组。
进入变量的选择决定了算法在解空间中的方向，而离基变量的选择决定了算法沿着哪个方向逼近最优解。
在实际应用中，单纯形法往往需要进行大量的迭代计算，因此效率可能不是很高。
为了提高效率，可以采用一些改进的单纯形法，例如双线性法、内点法等。
总结起来，单纯形法是一种基于迭代的算法，通过每次选择一个进入变量和一个离基变量来逐步逼近最优解。
虽然它的计算复杂度较高，但是在实践中仍然是一种很受欢迎的求解线性规划问题的方法。
单纯形法原理
单纯形法原理
单纯形法是线性规划中常用的一种方法，用于求解极值问题。
它的基本思想是通过不断迭代的方式，逐渐接近最优解。
单纯形法的基本步骤如下：
1. 将线性规划问题转化为标准型。
标准型的约束条件为≤，目标函数为最大化，且所有变量的取值范围为非负数。
2. 利用人为变量引入的方法，将标准型问题转化为初始单纯形表。
3. 选择合适的初始基变量，并计算出对应的基变量解。
4. 计算单纯形表中的评价函数。
如果所有评价函数中的系数都为非负数，则当前基变量解为最优解，过程结束。
否则，继续进行下一步。
5. 选择进入变量和离开变量。
进入变量是指取值为负的评价函数系数对应的变量，离开变量是指进入变量在当前基变量解中最先达到0的变量。
6. 迭代计算，通过变换基变量，逐渐接近最优解。
具体的计算方式为将进入变量对应列调整为单位向量，同时更新初始单纯形表中其它列的数值。
7. 重复步骤4至步骤6，直至得到最优解为止。
值得注意的是，单纯形法的执行依赖于初始基变量的选择，不同的初始基变量可能会得到不同的最优解。
因此，在实际应用中，需要通过灵活选择初始基变量来提高求解效果。
单纯形法解题步骤
三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表.）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表.第二步：最优解的判定.(1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解.(2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解.如果以上两条都不满足，则进行下一步.第三步：换基迭代.，并确定所在列的非基变量为进基变量.（1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（3）换基：用进基变量（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.例3 求.解（1）化标准型：令，引进松弛变量，其标准型为求（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为标函数取得最优值.目性规划问题的最优解为：.原线目标函数的最优值为14，即.例4 用单纯形方法解线性规划问题.求.解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数, 经整理后，目标函数非基化了.作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）.最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量进基.表 6.9目前最大检验数，其所在列没有正分量，所以该线性规划问题没有最优解.例5用单纯形方法解线性规划问题.求解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数，经整理得,目标函数已非基化.作单纯形表，并进行换基迭代(见表6.10).最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量x2进基，先将主元化为1，然后再将主元所在列的其他元素化为零.表 6.10至此，检验数均为非正数，故得基础可行解.原问题的最优解为：.最优值为6，即.如果我们再迭代一次，将基变量出基，非基变量进基（见表6.11）.表 6.11可得到另一个基础可行解,原问题的最优解为：，最优值仍为6，说明该线性规划问题有无穷多最优解，其最优解均为6.如何知道线性规划问题有无穷多最优解呢？这主要反映在单纯形表中.如果非基变量所对应的检验数为0，我们可对此列继续进行换基迭代，就可以得到另一个基础可行解.以此作下去，可得到许多基础可行解，即相对应的最优解有无穷多个.（4） 011 0。
运筹学-单纯形法
单纯形法的计算步骤1°把LP问题化为标准形。
2°在系数阵中找出或构造一个m阶排列阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。
3°最优性检验: 若所有检验数σj=c j-z j<=0，就得到一个最优基本解，停止计算；否则转4°。
4°解无界判断: 在所有σj> 0中, 只要有一个σr> 0所对应的系数列向量ar≤ 0，即一切a ir≤ 0 ，i=1, 2, … , m则该LP问题解无界，停止计算；否则转5°。
预备步骤迭代步骤进基变量的相持•选择进基变量时，如果出现两个或更多个σj>0同时达到最大而相持时,则应：•任选一个最大的检验数所对应的变量作为进基变量。
离基变量的相持——退化与循环•如果在单纯形法的计算过程中，在确定离基变量时，存在两个及以上的相同的最小比值，必然导致一个退化的基本可行解，可能造成迭代过程循环。
•避免循环的方法：摄动法、辞典序法、布兰德法•如摄动法：从相持的离基变量中，选择下标最大者离基。
多重最优解•在最优单纯形表中：⑴若有一个或更多个非基变量x j 的检验数σj = 0，则该问题有无穷多个最优解；⑵若该x j 在该表中的系数列向量a j ≤0，则按单纯形法另作几次迭代，每次都选一个这样的x j 进基，就能得到其它最优基本解；⑶若问题有r个最优极点解X i *，则该LP问题有无穷多个最优解，且其中任一最优解X*都能表示成这r个最优极点解的凸组合：0≤ μi ≤1 ，i =1, 2, … , r,且∑u i =1X*=μ1X 1*+μ2X 2*+… +μr X r *其中：人工变量法•基于LP问题的标准型，可能找不到初始的基本可行解，可采用人工变量法。
如大M法和两阶段法。
•人造解X不是原LP问题的基本可行解。
•但若能通过单纯形法的迭代步骤，将虚拟的人工变量都替换出去，都变为非基变量（即人工变量xn+1=xn+2=… =x n+m =0），则X的前n个分量就构成原LP问题的一个基本可行解。
01.10单纯形法的算法步骤
01.10单纯形法的算法步骤单纯形法是一种常用的线性规划算法，用于求解有约束的优化问题，它可以将约束条件和目标函数相统一，形成一个等价的线性规划模型，并通过一系列的运算来逐步逼近最优解。
具体的算法步骤如下：1. 确定线性规划问题的标准形式将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数和约束条件都转化成等式或不等式，使得目标函数的系数都非负，又或者是通过将变量加入松弛变量或人工变量来实现。
2. 制成初始表格将标准形式的线性规划问题制成表格，即单纯形表，表格的第一行为目标函数，后续的行为约束条件，其中每一个变量都对应一列。
表格中的每一个元素表示对应变量的系数，因此目标函数中的系数都应该是非负的。
同时，我们需要引入一个额外的列，表示对应原问题中的每一个约束条件的松弛变量或人工变量。
3. 选择进入变量用以下规则在单纯形表中选择进入变量：1) 如果目标函数还有正系数，则选择系数最大的变量作为进入变量。
2) 如果目标函数中的系数都小于等于0，那么这个线性规划问题已经达到最优解，算法结束。
选择离开变量时，需要对每一个约束条件的系数进行检查，从而找到可以成为离开变量的基变量。
选择方法如下：1) 计算每一个约束条件右边的值（也就是 b / a）。
2) 如果所有的右边的值都为负数，则这个线性规划问题是无界的，算法结束。
3) 选择右端表格值最小的那个作为离开变量。
5. 进行单纯形运算选择进入变量和离开变量之后，利用单纯形运算来更新单纯形表。
1) 首先计算离开变量所在的行，找出离开变量系数所在的列，得到进入变量的系数。
2) 将这个进入变量的系数代入其他行，消去其他行中入选列的系数，以得到新的、更新后的表格。
3) 重复第3步至第5步，直到找到最优解或无解。
6. 检验最优性或无解性如果经过多次迭代之后算法得到了最优解，那么需要检验是否还有其他可行解；如果算法得出无解，则需要找到原问题的对偶问题并运用对偶原理加以检验。
以上就是单纯形法的算法步骤，虽然此算法可以求解一些复杂的优化问题，但是它的复杂度在一些大型问题上可能非常高，因而有时候需要寻找更有效率的算法来求解线性规划问题。
简述单纯形法步骤
简述单纯形法步骤单纯形法是一种用于求解线性规划问题的常用方法，它通过不断迭代来逐步逼近最优解。
下面将以简述单纯形法步骤为标题，详细介绍单纯形法的具体步骤。
1. 构建初始单纯形表单纯形法的第一步是构建初始单纯形表。
将线性规划问题的约束条件和目标函数转化为矩阵形式，并引入松弛变量，得到初始单纯形表。
初始单纯形表由约束系数矩阵、决策变量系数矩阵、右侧常数向量以及目标函数系数矩阵组成。
2. 检验是否达到最优解在初始单纯形表中，通过计算每个基变量的单位贡献值来检验是否达到最优解。
单位贡献值等于目标函数系数与对应基变量列的乘积之和减去目标函数系数。
如果所有单位贡献值均小于等于0，则达到最优解，算法结束。
否则，进入下一步。
3. 确定入基变量和出基变量在初始单纯形表中，选择单位贡献值最小且小于0的列所对应的非基变量作为入基变量。
然后，通过计算各行的比值，选择使得比值最小的行所对应的基变量作为出基变量。
4. 更新单纯形表在确定了入基变量和出基变量后，需要对单纯形表进行更新。
首先，将出基变量所在列归一化为1，然后通过高斯消元法将其他列元素消为0，得到新的单纯形表。
5. 转至步骤2经过更新后的单纯形表还不能达到最优解，需要再次进行检验。
重复步骤2至步骤4，直到所有单位贡献值均小于等于0，达到最优解为止。
6. 解读单纯形表当单纯形法得到最优解时，可以通过解读单纯形表来获得最优解的数值。
在单纯形表的最后一行，可以得到最优解的目标函数值。
而在单纯形表的非基变量列中，可以得到各个决策变量的取值。
单纯形法是一种高效的线性规划求解算法，通过不断迭代来逐步逼近最优解。
它的基本思想是通过选择合适的入基变量和出基变量，来更新单纯形表，使得目标函数值不断减小，最终达到最优解。
在实际应用中，单纯形法被广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。
总结一下单纯形法的步骤：首先，构建初始单纯形表；然后，检验是否达到最优解；接着，确定入基变量和出基变量；然后，更新单纯形表；最后，转至步骤2，直到达到最优解。
最优化方法第二讲单纯形法
最优化方法第二讲单纯形法在运筹学中，最优化问题是指在一组约束条件下，寻找使目标函数取得最大（或最小）值的决策变量值。
而最优化方法是解决这类问题的一种有效手段。
单纯形法是最优化方法中的一种重要算法，它是由乔治·丹齐格于1947年提出的，用于求解线性规划问题。
单纯形法的基本思想是通过逐步移动到目标函数最优解的方法来解空间。
它通过对线性规划问题进行逐步转换和简化，从而将复杂问题简化为简单问题的序列，从而找到最优解。
单纯形法的步骤如下：1.制定线性规划模型：确定决策变量、目标函数和约束条件。
2.将约束条件转化为标准形式：将所有约束条件都转化为等式形式。
3.初始化：选择一组基本可行解作为初始解，并计算初始目标函数值。
如果所有的目标函数系数都是非负的，则找到了初始基本可行解。
4.迭代过程：根据当前基本可行解，计算对应的单纯形表。
5.判断最优性：如果单纯形表没有负值，则当前基本可行解是最优解；否则，找到表中最小的负值所在的列，作为入基变量。
6.选出基变量：根据入基列，选出出基行。
7.更新单纯形表：通过行变换和列变换更新单纯形表。
8.重复迭代：如果目标函数在迭代过程中得到改善，则继续迭代；否则，停止迭代，当前基本可行解即为最优解。
9.输出最优解：输出最优解的决策变量值。
单纯形法作为最优化问题的常用方法，具有以下优点：1.简单易实现：单纯形法的算法步骤简单明了，可以利用计算机编程实现。
2.可靠性高：经过数十年的实践与应用，单纯形法已被广泛接受与使用，并且在许多实际问题中取得了良好的结果。
3.理论基础深厚：单纯形法是基于矩阵运算和线性代数理论的，具有坚实的理论基础。
然而，由于单纯形法存在着多个局限性，使得它在一些问题中的效率和实用性有所受限。
1.算法复杂度高：单纯形法的迭代过程需要进行大量的行变换和列变换，当问题规模较大时，计算量会非常庞大，运算时间会大大增加。
2.进入和离开基变量选择问题：单纯形法需要选择进入和离开基变量，而一次迭代只能选择一个基变量，这会导致算法的迭代次数较多。
单纯形法步骤
单纯形法步骤
1. 表格形式：
将线性规划放到表格形式中。
如有需要，增加松弛变量，将不等式约束转化成等式。
所有变量都是非负的。
将目标函数约束作为最后一个约束，包括它所对应的松弛变量z。
2. 初始极点：
单纯形方法从一个已知的几点开始，通常为原点。
3. 最优性检验：
判断与当前极点相邻的焦点是否能够改进当前的目标函数值。
如果不能则当前极点是最优的；如果能改进，最优性检验将确定独立变量集合众的哪一个变量（当前取值为0）应该进入相关变量集合并可能取值变为非零。
（做法：如果所有系数都是非负的，则当前极点是最优的；否则，有些变量对应的系数为负数，则选择其中绝对值最大的负系数对应的变量，作为新的进入变量。
）
4. 可行性检验：
为了找到一个新的交点，相关变量集合中应该有一个变量退出该集合，以便让第3步中确定的变量进入相关变量集合，可行性检验将确定应该选择哪一个相关变量退出，以保证得到的交点的可行性。
（做法：用当前右端项的值，分别除以进入变量在每个等式种对应的系数，选择最小正比值对应的变量退出）
5. 旋转：
在不包含第4步中确定的退出变量的方程中，消去新进入的相关变量，形成等价的新的方程组。
然后在新的方程组中，令新的独立变量集合中的变量全部取值为0，从而基础新的相关变量集合中的所有变量的取值，确定一个交点。
（做法：在不包含退出变量的方程中，消去进入变量。
然后令新的独立变量集合中的变量，包括退出变量以及原独立变量集合中除进入变量以外的变量，全部为0）
6. 重复步骤3-5，直到找到一个最优的极点。
第二节单纯形法(简化)
练习：用单纯形法求解下面的线性规划
Mins -x 1 2x 2
x 1 - x 2 -2 s .t .x 1 2x 2 6
x 1, x 2 0
解：增加松弛变量 x , x , 将模型化为标准型：
3
4
Maxz x 1 2x 2
- x 1 x 2 x
2
s .t .x 1 2x 2
3
例如
2.5 1 0 0
C X B b
xxxx
1
2
3
4
0
x 3
15
3 5 10
5
0 x 10 4
[ 5] 2
01
2
2.5 1 0 0
（2）基于主元计算下一张单纯形表
•用初等行变换方法，先将主元消成1，再用此1将 其所在列的其余元消成0，所得结果写在新表上；
•转第3步（即检验新表是否最优）。
例如
2.5 1 0 0
2.建立初始单纯形表
前提：模型
Maxz CX
s.t.
AX X
0
b
的系数阵A中含I
（单位阵）。否则用人工变量法。
初始单纯形表的结构
约束右端项
B b
与A中的I 相应
b 的变量（称基
变量）名
CX
C
变量的价格系数
X
全体变量名
A
约束系数阵
基变量X 的 B
价格系数
例1.5：列出例1.1标准模型的初始单纯形表
是 停止
4. 计算下一张单纯形表
（1）确定本表的进基、出基变量和主元
•选本表正检验数中最大者，其相应的变量xk 进基；
•计算 B b1 与xk 的系数列之比（记 ，称检验比）,选 中最 小者相应的变量xl 出基（注意：当xk 的系数列中有 零或负值时，相应 不算）；
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/*单纯形法程序*//*p46--5(2)*/#include "stdio.h"main(){int i,j,r,k,l,jj[4],m=4,n=7,maxjj,mini,count=0;floata[4][7]={{0,2,-1,1,0,0,0},{60,3,1,1,1,0,0,},{10,1,-1,2,0,1,0},{20,1, 1,-1,0,0,1}};floatb[4][4],e[4][4],t[4][4],y[4],maxcj,tb[4],tp[4],cb[4],cj[7],theta,lk,z; jj[1]=4;jj[2]=5;jj[3]=6;for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<m;j++)b[i][j]=0.0;for(i=1;i<m;i++) b[i][i]=1.0;printf("*********************************\n");for(i=0;i<m;i++){ for(j=0;j<n;j++)printf("%6.1f",a[i][j]);printf("\n");}for(i=1;i<m;i++) cb[i]=a[0][jj[i]];for(j=1;j<m;j++){ y[j]=0.0;for(i=1;i<m;i++) y[j]+=cb[i]*b[i][j]; }for(j=1;j<n;j++){for(r=1;r<m;r++)if(jj[r]==j){cj[j]=0.0;break; }cj[j]=a[0][j];for(i=1;i<m;i++) cj[j]=cj[j]-y[i]*a[i][j];}maxcj=cj[1]; maxjj=1;for(j=2;j<n;j++)if(maxcj<cj[j]){ maxcj=cj[j]; maxjj=j;}k=maxjj;for(j=1;j<n;j++)printf("%6.1f",cj[j]);printf(" k=%d\n",k); while(maxcj>0){ count++;for(i=1;i<m;i++){ tb[i]=0.0;for(r=1;r<m;r++)tb[i]+=b[i][r]*a[r][0]; }for(i=1;i<m;i++){ tp[i]=0.0;for(r=1;r<m;r++)tp[i]+=b[i][r]*a[r][k]; }/*for(i=1;i<m;i++)printf("%6.1f",tb[i]);for(i=1;i<m;i++)printf("%6.1f",tp[i]);printf("tb--tp\n"); */theta=1000.0;for(j=1;j<m;j++){ if(tp[j]>0)if (theta>tb[j]/tp[j]){ theta=tb[j]/tp[j]; mini=j;}}/* printf("LLL=%d Theta=%f\n",mini,theta); */l=mini;lk=tp[l];jj[l]=k;printf("*********************************\n");for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<m;j++)e[i][j]=0.0;for(i=1;i<m;i++) e[i][i]=1.0;for(i=1;i<m;i++)e[i][l]=(-1)*tp[i]/lk;e[l][l]=1.0/lk;for(i=1;i<m;i++){ for(j=1;j<m;j++)printf("%6.1f",e[i][j]);printf("\n"); } /* for(j=1;j<m;j++)printf("%6.1f",tp[j]); printf("\n");*/ for(i=1;i<m;i++)for(j=1;j<m;j++){ t[i][j]=0.0;for(r=1;r<m;r++)t[i][j]+=e[i][r]*b[r][j];}for(i=1;i<m;i++){ for(j=1;j<m;j++){ b[i][j]=t[i][j];printf("%6.1f",b[i][j]);}printf(" x%d\n",jj[i]);}for(i=1;i<m;i++) cb[i]=a[0][jj[i]];for(j=1;j<m;j++){ y[j]=0.0;for(i=1;i<m;i++) y[j]+=cb[i]*b[i][j]; }for(j=1;j<n;j++){for(r=1;r<m;r++)if(jj[r]==j){cj[j]=0.0;break; }cj[j]=a[0][j];for(i=1;i<m;i++) cj[j]=cj[j]-y[i]*a[i][j];}maxcj=cj[1]; maxjj=1;if(maxcj<cj[j]){ maxcj=cj[j]; maxjj=j;}k=maxjj;for(j=1;j<n;j++)printf("%6.1f",cj[j]);printf(" k=%d\n",k);}for(i=1;i<m;i++){ tb[i]=0.0;for(r=1;r<m;r++)tb[i]+=b[i][r]*a[r][0]; 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maxjj=1;for(j=2;j<n;j++)if(maxcj<cj[j]){ maxcj=cj[j]; maxjj=j;}k=maxjj;for(j=1;j<n;j++)printf("%6.1f",cj[j]);printf(" k=%d\n",k);while(maxcj>0.001&&count<5){ count++;for(i=1;i<m;i++){ tb[i]=0.0;for(r=1;r<m;r++)tb[i]+=b[i][r]*a[r][0]; }for(i=1;i<m;i++){ tp[i]=0.0;for(r=1;r<m;r++)tp[i]+=b[i][r]*a[r][k]; }/*for(i=1;i<m;i++)printf("%6.1f",tb[i]);for(i=1;i<m;i++)printf("%6.1f",tp[i]);for(i=1;i<m;i++)if(tp[i]<=0)ok=-1;if (ok==-1){ printf("*** z\030 \354 ***\n");return;} */theta=1000.0;for(j=1;j<m;j++){ if(tp[j]>0.01)if (theta>tb[j]/tp[j]){ theta=tb[j]/tp[j]; mini=j;}}/* printf("LLL=%d Theta=%f\n",mini,theta); */l=mini;lk=tp[l];jj[l]=k;printf("*********************************\n"); /* getchar();*/for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<m;j++)e[i][j]=0.0;for(i=1;i<m;i++) e[i][i]=1.0;for(i=1;i<m;i++)e[i][l]=(-1)*tp[i]/lk;e[l][l]=1.0/lk;for(i=1;i<m;i++){ for(j=1;j<m;j++)printf("%6.1f",e[i][j]);printf("\n"); }/* for(j=1;j<m;j++)printf("%6.1f",tp[j]); printf("\n");*/for(i=1;i<m;i++)for(j=1;j<m;j++){ t[i][j]=0.0;for(r=1;r<m;r++)t[i][j]+=e[i][r]*b[r][j];}for(i=1;i<m;i++){ for(j=1;j<m;j++){ b[i][j]=t[i][j];printf("%6.1f",b[i][j]);}printf(" x%d\n",jj[i]);}for(i=1;i<m;i++) cb[i]=a[0][jj[i]];for(j=1;j<m;j++){ y[j]=0.0;for(i=1;i<m;i++) y[j]+=cb[i]*b[i][j]; }for(j=1;j<n;j++){for(r=1;r<m;r++)if(jj[r]==j){cj[j]=0.0;break; }cj[j]=a[0][j];for(i=1;i<m;i++) cj[j]=cj[j]-y[i]*a[i][j];}maxcj=cj[1]; maxjj=1;for(j=2;j<n;j++)if(maxcj<cj[j]){ maxcj=cj[j]; maxjj=j;}k=maxjj;for(j=1;j<n;j++)printf("%6.1f",cj[j]);printf(" k=%d MAXcj=%f\n",k,maxcj);} /*while--end*/for(i=1;i<m;i++){ tb[i]=0.0;for(r=1;r<m;r++)tb[i]+=b[i][r]*a[r][0]; }z=0.0;for(i=1;i<m;i++){ cb[i]=a[0][jj[i]];printf(" x%d=%6.1f\n",jj[i],tb[i]);z+=tb[i]*cb[i];}printf(" Max_z=%5.1f THE_count=%d\n",z,count);}/*p47---6(3)*/#include "math.h"#include "stdio.h"main(){int i,j,r,k,l,jj[4],m,n,maxjj,mini,count=0;floatb[4][4],e[4][4],t[4][4],y[4],maxcj,tb[4],tp[4],cb[4],cj[8],theta,lk,z; floata[4][7]={{0,-4,-1,0,0,-1000,-1000},{3,3,1,0,0,1,0},{6,4,3,-1,0,0,1}, {4,1,2,0,1,0,0}};m=4;n=7;jj[1]=5;jj[2]=6;jj[3]=4;for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<m;j++)b[i][j]=0.0;for(i=1;i<m;i++) b[i][i]=1.0;printf("*********************************\n");for(i=0;i<m;i++){ for(j=0;j<n;j++)printf("%6.1f",a[i][j]);printf("\n");}for(i=1;i<m;i++) cb[i]=a[0][jj[i]];for(j=1;j<m;j++){ y[j]=0.0;for(i=1;i<m;i++) y[j]+=cb[i]*b[i][j]; }for(j=1;j<n;j++){for(r=1;r<m;r++)if(jj[r]==j){cj[j]=0.0;break; }cj[j]=a[0][j];for(i=1;i<m;i++) cj[j]=cj[j]-y[i]*a[i][j];}maxcj=cj[1]; maxjj=1;for(j=2;j<n;j++)if(maxcj<cj[j]){ maxcj=cj[j]; maxjj=j;}k=maxjj;for(j=1;j<n;j++)printf("%6.1f",cj[j]);printf(" k=%d\n",k);while(maxcj>0.001){ count++;for(i=1;i<m;i++){ tb[i]=0.0;for(r=1;r<m;r++)tb[i]+=b[i][r]*a[r][0]; }for(i=1;i<m;i++){ tp[i]=0.0;for(r=1;r<m;r++)tp[i]+=b[i][r]*a[r][k]; }/*for(i=1;i<m;i++)printf("%6.1f",tb[i]);for(i=1;i<m;i++)printf("%6.1f",tp[i]);printf("tb--tp\n"); */theta=1000.0;for(j=1;j<m;j++){ if(tp[j]>0.01)if (theta>tb[j]/tp[j]){ theta=tb[j]/tp[j]; mini=j;}}/* printf("LLL=%d Theta=%f\n",mini,theta); */l=mini;lk=tp[l];jj[l]=k;printf("*********************************\n"); /* getchar();*/for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<m;j++)e[i][j]=0.0;for(i=1;i<m;i++) e[i][i]=1.0;for(i=1;i<m;i++)e[i][l]=(-1)*tp[i]/lk;e[l][l]=1.0/lk;for(i=1;i<m;i++){ for(j=1;j<m;j++)printf("%6.1f",e[i][j]);printf("\n"); }/* for(j=1;j<m;j++)printf("%6.1f",tp[j]); printf("\n");*/for(i=1;i<m;i++)for(j=1;j<m;j++){ t[i][j]=0.0;for(r=1;r<m;r++)t[i][j]+=e[i][r]*b[r][j];}for(i=1;i<m;i++){ for(j=1;j<m;j++){ b[i][j]=t[i][j];printf("%6.1f",b[i][j]);}printf(" x%d\n",jj[i]);}for(i=1;i<m;i++) cb[i]=a[0][jj[i]];for(j=1;j<m;j++){ y[j]=0.0;for(i=1;i<m;i++) y[j]+=cb[i]*b[i][j]; 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