高中数学2.5离散型随机变量的均值一教案北师大选修23
2.5 第一课时 离散型随机变量的均值 课件(北师大选修2-3)
12 答案： 7
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5．(2012· 浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且
规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现 从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球， 记随机变量X为取出此3球所得分数之和． (1)求X的分布列； (2)求X的数学期望EX.
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∴顾客中奖的数学期望 1 3 3 1 EX＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝1.5. 8 8 8 8 (10 分)
设商场将每次中奖的奖金数额定为 x 元， 1.5x≤180， 则 解得 x≤120， 即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为 120 元， 才 能使自己不亏本． (12 分)
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3．若随机变量 ________．
1 X～B n，2 ，EX＝2，则
P(X＝1)等于
解析：由
1 1 n， ∴EX＝n·＝2, X～B 2 2 2 2
1 11113 ∴n＝4，∴P(X＝1)＝C4 ＝ . 4
1 中有4个红球，3个黑球，从袋中任 取3个球，以X表示取出的红球数，则EX为 ________．
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X的分布列为
X P 0 1 45 1 16 45 2 28 45
1 16 28 72 8 ∴EX＝ ×0＋ ×1＋ ×2＝ ＝ . 45 45 45 45 5
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[例 2]
甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标
1 2 的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 ，记甲击中目标的 2 3 次数为 X，乙击中目标的次数为 Y，求 (1)X 的概率分布； (2)X 和 Y 的数学期望． [思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．
高中数学课件-2.5离散型随机变量的均值与方差 课件(北师大版选修2-3)
(2014·辽宁理，18)一家面包房根据以往某种面包的销售记 录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
第二章 §5
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售 量相互独立.
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于 100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
又 DX 甲 ＝ (110 － 125)2×0.1 ＋ (120 － 125)2×0.2 ＋ (125 － 125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，
第二章 §5
DX 乙 ＝ (100 － 125)2×0.1 ＋ (115 － 125)2×0.2 ＋ (125 － 125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165.
10×
15 64
＋
15×
5 16
＋
20×
15 64
＋
25×332＋30×614＝15.
第二章 §5
[点评] 求离散型随机变量X的均值的步骤： (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取每个值的概率； (3)写出X的分布列(有时可以略)； (4)由均值的定义求EX.
第二章 §5
建模应用引路
第二章 §5
2．求离散型随机变量的方差的一般步骤： (1)先求出随机变量ξ的分布列； (2)再利用公式先求Eξ； (3)最后利用方差公式求Dξ.
第二章 §5
思路方法技巧
第二章 §5
离散型随机变量的均值
有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检验它们 的抗拉强度指标如下：
X甲 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 X乙 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.1 0.4 0.2 其中X甲，X乙分别表示A，B两种钢筋的抗拉强度，在使用 时要求钢筋的抗拉强度不低于120，比较甲、乙两种钢筋哪一 种质量较好？
2.5.1离散型随机变量的均值 学案(高中数学选修2-3 北师大版)
离散型随机变量的均值与方差 第一课时2.5.1离散型随机变量的均值一、学习目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望。
2、过程与方法：理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξ B （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、学习重点：离散型随机变量的均值或期望的概念。
学习难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望。
三、学习方法：讨论交流，探析归纳 四、学习过程 （一）、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P 1+P 2+…=1． （二）、探析新课：1、数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．2、数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
高中数学北师大版高二选修2-3同步导学案：2.5.1_离散型随机变量的均值)
§5 离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值1．理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)2．会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理离散型随机变量的均值阅读教材P57～P59“练习”以上部分，完成下列问题．1．离散型随机变量的均值(1)设随机变量X的分布列为P(X＝a i)＝p i＝(i＝1,2，…，r)，则X的均值为________________．(2)随机变量的均值EX刻画的是X取值的“______”．【答案】(1)a1p1＋a2p2＋…＋a r p r(2)中心位置2．均值的性质(1)若X为常数C，则EX＝____.(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝________.(3)常见的离散型随机变量的均值【答案】 (1)C (2)aEX ＋b (3)n MNnp1．下列说法正确的有________．(填序号)①随机变量X 的数学期望EX 是个变量，其随X 的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平； ③若随机变量X 的数学期望EX ＝2，则E(2X)＝4； ④随机变量X 的均值EX ＝x 1＋x 2＋…＋x nn.【解析】 ①错误，随机变量的数学期望EX 是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为EX ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .【答案】 ③2．已知离散型随机变量X 的分布列为：则X 的数学期望【解析】 EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.【答案】 32[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2：疑问3：解惑：[小组合作型]已知随机变量X的分布列如下：(1)求m(3)若Y ＝2X －3，求EY.【精彩点拨】 (1)利用分布列的性质求m ； (2)利用离散型随机变量的均值公式求解； (3)利用离散型随机变量均值的性质求解．【自主解答】 (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16.(2)EX ＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一：由公式E(aX ＋b)＝aEX ＋b ，得EY ＝E(2X －3)＝2EX －3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215.法二：由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：所以EY ＝(－7)×4＋(－5)×3＋(－3)×5＋(－1)×6＋1×20＝－15.1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，EX ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求解． 2．对于aX ＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX ＋b)＝aEX ＋b ；也可以先列出aX ＋b 的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．[再练一题]1．已知随机变量X 的分布列为：且Y ＝aX ＋3，若【解】 EX ＝1×12＋2×13＋3×16＝53，∴EY ＝E(aX ＋3)＝aEX ＋3＝53a ＋3＝－2，∴a ＝－3.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值．【精彩点拨】 (1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值．【自主解答】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P(A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝5C 26＝13，P(ξ＝1)＝4C 26＝415，P(ξ＝2)＝3C 26＝15，P(ξ＝3)＝2C 26＝215，P(ξ＝4)＝1C 26＝115.从而知ξ的分布列为所以Eξ＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.求离散型随机变量ξ的均值的步骤1．根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值． 2．求出ξ的每个值的概率． 3．写出ξ的分布列． 4．利用定义求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识．[再练一题]2．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及均值．【解】 X 可取的值为1,2,3， 则P(X ＝1)＝35，P(X ＝2)＝25×34＝310，P(X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为EX ＝1×35＋2×10＋3×10＝2.[探究共研型]探究1 X 可以取哪些值？X 取每个值时的概率是多少？【提示】 随机变量X 可能取值为0,1.X 取每个值的概率分别为P(X ＝0)＝0.3，P(X ＝1)＝0.7. 探究2 在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】 每次平均得分为810＝0.8. 探究3 在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？ 【提示】 在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X 的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X 的均值的一个分数．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】 根据利润的意义写出ξ的取值→写出ξ的分布列→求出数学期望EX→利用期望回答问题【自主解答】 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2. P(X ＝6)＝126200＝0.63，P(X ＝2)＝50200＝0.25，P(X ＝1)＝20200＝0.1，P(X ＝－2)＝4200＝0.02.故X 的分布列为：X 6 2 1 －2 P0.630.250.10.02(2)EX(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为EX＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，EX≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．[再练一题]3．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环．将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图251甲和图乙所示．图251(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)．【解】(1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为EX甲＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，EX乙＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，则有EX 甲>EX 乙，所以估计甲的水平更高．[构建·体系]1．(2016·潍坊高二检测)设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望EX ＝2，则P(X ＝2)等于( )A.1316 B.4243 C.13243D.80243【解析】 因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，所以EX ＝n 3＝2，所以n ＝6，所以P(X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243.【答案】 D2．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的均值为( ) 【导学号：62690041】A.13 B.23 C ．2D.83【解析】 X 的取值为2,3.因为P(X ＝2)＝1C 23＝13，P ＝(X ＝3)＝C 12C 23＝23.所以EX ＝2×13＋3×23＝83.【答案】 D3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，解得y ＝0.4.【答案】 0.44．设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P(X ＝k)＝ak ＋b(k ＝1,2,3)．又X 的均值EX ＝3，则a ＋b ＝________.【解析】 ∵P(X ＝1)＝a ＋b ， P(X ＝2)＝2a ＋b ， P(X ＝3)＝3a ＋b ，∴EX ＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3， ∴14a ＋6b ＝3.①又∵(a ＋b)＋(2a ＋b)＋(3a ＋b)＝1， ∴6a ＋3b ＝1.②∴由①②可知a ＝12，b ＝－23，∴a ＋b ＝－16.【答案】 －165．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X 表示取得的分数．求：(1)X 的分布列； (2)X 的均值．【解】 (1)由题意知，X 可能取值为0,1,2,3,4. P(X ＝0)＝C 24C 29＝16，P(X ＝1)＝C 13C 14C 29＝13，P(X ＝2)＝C 14C 12＋C 23C 29＝1136， P(X ＝3)＝C 12C 13C 29＝16，P(X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为(2)EX ＝0×16＋1×3＋2×36＋3×6＋4×36＝9.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设随机变量X ～B(40，p)，且EX ＝16，则p 等于( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3D ．0.4【解析】 ∵EX ＝16，∴40p ＝16，∴p ＝0.4.故选D. 【答案】 D2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为( )【导学号：62690042】A ．0.6B ．1C ．3.5D ．2【解析】 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为所以Eξ＝1×16＋2×16＋3×6＋4×6＋5×6＋6×6＝3.5.【答案】 C 3．设ξ的分布列为又设η＝2ξ＋5，则EηA.76B.176C.173D.323【解析】 Eξ＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，所以Eη＝E(2ξ＋5)＝2Eξ＋5＝2×176＋5＝323.【答案】 D4．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min ，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y 的期望为( ) A.13 B ．1 C.43D.83【解析】 遇到红灯的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，∴EX ＝43. ∴EY ＝E(2X)＝2×43＝83.【答案】 D5．设随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝14，k ＝1,2,3,4，则EX 的值为( )A ．2.5B ．3.5C ．0.25D ．2【解析】 EX ＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝2.5【答案】 A 二、填空题6．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X ，则EX ＝________.【解析】 X 可能的取值为0,1,2，P(X ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以EX ＝1×0.22＋2×0.765＝1.75.【答案】 1.757．(2016·邯郸月考)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．【解析】 随机变量X 的取值为0,1,2,4，P(X ＝0)＝34，P(X ＝1)＝19，P(X ＝2)＝19，P(X ＝4)＝136，因此EX ＝49.【答案】 498.如图252，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX ＝________.图252【解析】 依题意得X 的取值可能为0,1,2,3，且P(X ＝0)＝33125＝27125，P(X ＝1)＝9×6125＝54125，P(X ＝2)＝3×12125＝36125，P(X ＝3)＝8125.故EX ＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.【答案】 65三、解答题9．某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？【解】 设来领奖的人数ξ＝k(k ＝0,1，…，3 000)， ∴P(ξ＝k)＝C k3 000(0.04)k(1－0.04)3 000－k，则ξ～B(3 000,0.04)，那么Eξ＝3 000×0.04＝120(人)>100(人)． ∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．10．(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解】 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P(X ＝0)＝C 38C 310＝715，P(X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P(X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故EX ＝0×715＋1×715＋2×15＝5(个)．[能力提升]1．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X 表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y 表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X ，Y 的分布列分别是：据此判定( ) A ．甲比乙质量好 B ．乙比甲质量好 C ．甲与乙质量相同D ．无法判定 【解析】 EX ＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6， EY ＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7. 由于EY>EX ， 故甲比乙质量好． 【答案】 A2．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 600元【解析】 出海的期望效益Eξ＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)． 【答案】 B3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望EX ＝________. 【导学号：62690043】【解析】 ∵P(X ＝0)＝112＝(1－p)2×13，∴p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P(X ＝0)＝112，P(X ＝1)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13，P(X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512，P(X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16，因此EX ＝1×13＋2×512＋3×16＝53. 【答案】 534．(2015·山东高考)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX.【解】 (1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84，随机变量X 的取值为：0，－1,1，因此， P(X ＝0)＝C 38C 39＝23，P(X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P(X ＝1)＝1－114－23＝1142.所以X 的分布列为则EX ＝0×23＋(－1)×14＋1×42＝21.。
北师大版数学高二离散型随机变量及其分布列参考教案2 北师大版选修2-3
高中数学离散型随机变量及其分布列参考教案2 北师大版选修2-3过程教学过程表示新生婴儿是女婴．例1．（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X表示掷得正面的次数，则随机变量X的可能取值有哪些？（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的可能取值有哪些？解（1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量X的取值可能是1（正面向上），也可能是0（反面向上），故随机变量X的取值构成集合{0，1}．（2）根据条件可知，随机变量Y的可能值有4种，它的取值集合是{1，2，3，4}．说明：(1)引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示．(2) 在例1（1）中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以设随机变量表示为{1}X=，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为{0}X=．(3) 在例1（2）中，也可用{1}Y=，{2}Y=，{3}Y=，{4}Y=分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件．另一方面，在例1（2）中，可以用{3}Y≤这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示．这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了．如例1（1）中{1}X=的概率可以表示为{1}P X==（）{P抛一枚硬币，1}2=正面向上，其中{1}P X=（）常简记为1P X=（）．同理，0P X=1（）=2．这一结果可用表2-1-1来描述．X0 1P1212例1（2）中随机变量Y所表示的随机事件发生的概率也可用表2-1-2来描述．Y 1 2 3 4击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为X ~0-1分布或X ~两点分布．此处“~”表示“服从”．2．求随机变量X 的分布列的步骤：（1）确定X 的可能取值(1,2,)i x i =…；（2）求出相应的概率()i i P X x p ==；（3）列成表格的形式。
2.5.1《离散型随机变量的均值》课件(北师大版选修2-3)
P(A)= 4.
C34 C36
=
1 5
.
5
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(2)X的所有可能取值为0、1、2、3.
∴ EX=0 1 +1 9 +2 9 +3 1 = 3 , 20 20 20 20 2
即X的数学期望为 3 .
2
第30页，共44页。
第31页，共44页。
(A) 1
(B) 1
(C) 3
(D) 1
【解2析】选B.由二4项分布均值4公式EX=np3得60·p=15，解得
p= 1 . 4
第24页，共44页。
3.设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的
数学期望为( )
(A) 3 (B) 3 (C) 2 (D)
8
【解1析0 】选B.由题5 意可知次品15数X服从N=1150,M=3,n=2的超几何分
EX=2 1 = 2 33
第26页，共44页。
5.（2010·银川高二检测）两个人射击，甲，乙各射击一次中
靶的概率分别是p1,p2,且 1 , 1是关于x的方程x2-5x+m=0
p1 p2
(m∈R)的两个根，若两人各射击5次，甲射击5次中靶的期望是2.5.
则p1=_______.p2=________.
7.袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验. （1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布列及其均值. （2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球
个数X的均值.
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【解析】（1）X的可能取值为1、2、3，
离散型随机变量的均值教案
离散型随机变量的均值教案一、教学目标1. 让学生理解离散型随机变量的概念及其数学特征。
2. 让学生掌握离散型随机变量的均值定义及其计算方法。
3. 培养学生运用离散型随机变量的均值解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 离散型随机变量的概念。
2. 离散型随机变量的数学特征。
3. 离散型随机变量的均值定义。
4. 离散型随机变量的均值计算方法。
5. 离散型随机变量的均值在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：离散型随机变量的均值定义及其计算方法。
2. 教学难点：离散型随机变量的均值在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解离散型随机变量的概念、数学特征和均值定义。
2. 采用案例分析法讲解离散型随机变量的均值在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法引导学生积极参与讨论，提高学生的理解能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例引入离散型随机变量的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解离散型随机变量的概念及其数学特征。
3. 讲解离散型随机变量的均值定义及其计算方法。
4. 利用案例分析离散型随机变量的均值在实际问题中的应用。
5. 课堂练习：让学生分组讨论并解决一些实际问题，巩固所学知识。
7. 布置作业：布置一些有关离散型随机变量的均值的问题，让学生课后思考和练习。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对离散型随机变量概念和均值定义的理解程度。
2. 课堂练习：评估学生运用离散型随机变量均值解决实际问题的能力。
3. 课后作业：收集学生完成的作业，检查其对离散型随机变量均值的掌握情况。
七、教学拓展1. 介绍离散型随机变量均值在其他领域的应用，如概率论、统计学、经济学等。
2. 讨论离散型随机变量均值的存在性条件，引导学生深入研究相关理论知识。
八、教学反思1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保教学目标的达成。
2. 考虑学生的反馈意见，调整教学策略，提高教学质量。
3. 针对学生的学习情况，制定针对性的辅导计划，帮助其克服学习难点。
《离散型随机变量的均值》示范公开课教案【高中数学北师大】
《离散型随机变量的均值》教案1.通过实例理解离散型随机变量的均值的含义，了解随机变量的均值与样本均值的区别与联系．2.能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题．3.体会运用离散型随机变量的均值思想描述和分析某些随机现象的方法，在简单应用中培养学生分析和解决问题的能力．教学重点：离散型随机变量均值的含义及其应用． 教学难点：离散型随机变量均值的含义及其应用．一、新课导入问题1：已知在10件产品中有2件不合格品，从这10件产品中任取3件，用X 表示取得产品中不合格品的件数，求X 的分布列．答案：根据分布列的求法，可以求得X 的分布列如下表：k 012P (X=k )715 715 115问题2：在问题1的条件下，从这10件产品中任取3件，平均会取到几件不合格品？可否根据分布列得到一个数，这个数能“代表”这个随机变量取值的平均水平呢？探究：由于随机变量X 可能的取值为0，1，2．可否将三者的算术平均“1”“代表”这个随机变量的平均水平呢？为什么？ 探究新知：问题3：设有12个西瓜，其中有4个质量是5kg ，3个质量是6kg ，5个质量是7kg ，求这12个西瓜的平均质量．分析：西瓜的平均质量应为12个西瓜的总重量除以西瓜的总个数，即54+63+7573=1212⨯⨯⨯ （kg ），也即54637573++=12121212⨯⨯⨯（kg ）． ◆教学目标◆教学重难点◆教学过程显然，西瓜的平均质量不是5kg ，6 kg ，7kg 的算术平均，而是等于各个质量乘相应质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例后再求和，是5kg ，6kg ，7 kg 的加权平均，其中权数是相应质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例． 引导分析：类比问题3的方法，给出问题2的解决方法． 用随机变量X 三个取值0，1，2的加权平均7710+1+2=0.6151515⨯⨯⨯来代表随机变量X 的平均取值，其中0，1，2的权重分别是X 取这个值时的概率，即在一次抽取中，3件产品中平均有0.6件是不合格品．思考1：用上述方法求得随机变量X 的平均取值是否合理？答案：合理，这种取平均值的方法，考虑到了不同变量在总体中的比例份额，变量所占份额越大，对整组数据的平均数影响越大．思考2：抽出的不合格品的平均值是否可以是小数？可以，这个平均值的意义在于告诉我们抽出的不合格品最有可能出现的一个值，作用在于对结果的估计，得到的结果可能是与它接近的一个整数．问题4. 能否将上述求离散型随机变量平均值的方法推广到一般情形？ 1．概念形成设离散型随机变量X 的分布列如下表：则称1122i i n n EX x p x p x p x p =+++++为随机变量X 的均值或者数学期望（简称期望）．2.概念理解（1）均值EX 刻画的是X 取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X 取值的平均水平，是随机变量X 的一个重要特征．（2）均值EX 是随机变量X 取各个值的加权平均，由X 的分布列完全确定． 问题5.随机变量的均值与样本均值的联系与区别是什么？答案：随机变量的均值是一个常数，而样本均值是一个随机变量，样本均值随样本的变化而变化，这是两个均值的根本区别，在随机变量均值未知的情况下，通常用随机变量的观测值的平均值估计随机变量的均值．三、应用举例例1 设随机变量X 服从参数为p 的两点分布，求EX ． 解：由均值定义，得EX =0•P （X =0）+1•P （X =1）=0•（1-p ）+1•p =p ．所以，服从参数为p 的两点分布的均值EX =p ． 例2 设X 表示抛掷一枚均匀殷子掷出的点数，求EX ． 解：依题意知X 的分布列为()()11234566P X i i ===,,,,, 如下表：根据均值的定义，可知11111171234566666662EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ．例3一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则取出的红球个数的均值是多少？解：设X 表示取出红球的个数，则X 的取值为0，1，2．()023225C C 10C 10P X === ， ()113225C C 631C 105P X ====，()203225C C 32C 10P X ===． 因此，Ｘ的分布列如下表：根据均值的定义，可知：1336012105105EX =⨯+⨯+⨯=． 总结：求离散型随机变量X 的均值的步骤： (1)理解X 的实际意义，写出X 全部可能取值； (2)求出X 取每个值时的概率； (3)写出X 的分布列；(4)利用定义公式E (X )=∑x i p i n i=1求出均值．例4 根据气象预报，某地区近期暴发小洪水的概率为0.25，暴发大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，为保护设备，有以下3种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建一保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元． 试比较哪一种方案好．解：用1X ，2X 和3X 分别表示以上3种方案的损失．采用方案1，无论有无洪水，都损失3 800元，即1X =3 800，故E 1X =3 800元． 采用方案2，遇到大洪水时，损失62 000元；没有大洪水时，损失2000元，因此 E 2X =62 000×0.01+2 000×（1-0.01）=2 600（元）；采用方案3，遇到大洪水时，损失60 000元；遇到小洪水时，损失10000元；无洪水时，损失为0元，因此E 3X =60 000×0.01+10 000×0.25=3 100（元）． 由此可见，就平均而言，方案2的损失最小． 思考3：为什么可以通过比较均值作出决策？答案：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，进而做出决策．四、课堂练习则数学期望E （X ）=（ ）． A.13B. 23 C.1 D.22.甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X 1，X 2表示)的分布列如下： 甲得分：乙得分：则甲、乙两人的射击技术相比（ ）．A ．甲更好B ．乙更好C ．甲、乙一样好D ．不可比较 3. “四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史､思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为______．4.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A 类问题，记Ｘ为小明的累计得分，求Ｘ的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 参考答案：1.由题意可知：1111232333EX =⨯+⨯+⨯=．故选Ｄ．2.因为E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E (X 2)>E (X 1)，故乙的射击技术更好．故选：B ．3.记抽到自己准备的书的学生数为Ｘ，则Ｘ可能值为0，1，2，4 ()1344C 390A 24P X ⨯===，()1444C 281A 24P X ⨯===，()2444C 162A 24P X ⨯===，()44114A 24P X ===， 则98610124124242424EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 4.（1）由题可知，Ｘ的所有可能取值为0，20，100．P (X=0)=1-0.8=0.2; P (X=20)=0.8(1-0.6)=0.32; P (X=100)=0.8×0.6=0.48． 所以Ｘ的分布列为（2）由（1）知，E (X )=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100． P (Y =0)=1-0.6=0.4； P (Y =80)=0.6(1-0.8)=0.12； P (Y =100)=0.8×0.6=0.48．所以E (Y )=0×0.4+80×0.12+100×0.48=54.4．． 因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B 类问题．五、归纳小结【课堂小结】1. 离散型随机变量均值的概念：则称1122i i n n EX x p x p x p x p =+++++为随机变量X 的均值或者数学期望（简称期望）．2.求离散型随机变量X 的均值的步骤： (1)理解X 的实际意义，写出X 全部可能取值； (2)求出X 取每个值时的概率； (3)写出X 的分布列；(4)利用定义公式E (X )=∑x i p i n i=1求出均值．六、布置作业教材第200页练习第1~3题．。
2019-2020北师大版高中数学选修2-3课件：2.5 离散型随机变量的均值与方差
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§5 离散型随机变量的均值与方差
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高中数学第二章概率5离散型随机变量的均值与方差2教案北师大版选修2
5 离散型随机变量的均值与方差一、教学目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2、过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )= a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题三、教学方法：讨论交流，探析归纳四、内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差五、教学过程：（一）、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5. 分布列:6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.二项分布:ξ～B (n ，p )，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．08.几何分布： g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE+11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 12. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(；13.若ξB （n,p ），则E ξ=np （二）、探析新课：2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛（三）、例题探析：例1、随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=; 2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=≈.例2、有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1= 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 ) 2×0.l= 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．（四）、课堂练习：1、设ξ～B(n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p2、已知随机变量ξ服从二项分布即ξ~B(6、31)求b (2；6，31) 3、已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，已知ξ和 η的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 离散型随机变量的均值与方差》0
§5 离散型随机变量的均值与方差 第2课时 离散型随机变量的方差涡阳一中 王晓东一、三维目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2、过程与方法：了解方差公式“ξξD a b a D 2)(=+”，以及“若),(~ξp n B ，则)1(p np D -=ξ”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 四、教学过程： （一）、复习引入：1、数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为:则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．2、数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3、期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(4、如果随机变量X 服从两点分 布为:则np E =ξ5、如果随机变量X 服从二项分布，即),(~X p n B ，则np E =X （二）、讲解新课： 实例分析:有A ，B 两种不同品牌的手表，它们的“日走时误差”分别为X ，Y （单位：s ），X ，Y 的分布列如下：31313101.000.001.0~-X 31313150.000.050.0~-Y (1)分别计算X ，Y 的均值，并进行比较；(2)这两个随机变量的分布有什么不同，如何刻画这种不同？ 如何刻画一个随机变量的取值与其平均值的偏离程度呢？ 引入方差并回顾样本方差的知识点：已知样本方差可以刻画样本数据的稳定性.样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度.在一组数：1x ， 2x ，…, n x 中，各数据的平均数为-x ，则这组数据的方差为：nx x x x x x S n 222212)()()(----++-+-=能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢?1.离散型随机变量的方差 若离散型随机变量X 的分布列为：用2)(EX X E -来衡量X 与EX 的平均偏离程度，2)(EX X E -是2)(EX X -的期望，并称之为随机变量X 的方差.记为DX .n n P EX x P EX x P EX x DX ⋅-++⋅-+⋅-=2222121)()()(方差越小，则随机变量的取值就越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散.根据以上公式请再次判断A 、B 两种品牌的手表哪个好。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 离散型随机变量的均值与方差》
§5 离散型随机变量的均值与方差第2课时离散型随机变量的方差涡阳一中王晓东一、三维目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2、过程与方法：了解方差公式“〞，以及“假设，那么〞，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,表达数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差三、教学难点：比拟两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题四、教学过程：〔一〕、复习引入：1、数学期望: 一般地，假设离散型随机变量ξ的概率分布为:那么称……为ξ的数学期望，简称期望．2、数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3、期望的一个性质:4、如果随机变量X服从两点分布为:那么5、如果随机变量X服从二项分布，即，那么〔二〕、讲解新课：实例分析:有A，B两种不同品牌的手表，它们的“日走时误差〞分别为X，Y〔单位：s〕，X，Y的分布列如下：(1)分别计算X，Y的均值，并进行比拟；(2)这两个随机变量的分布有什么不同，如何刻画这种不同？如何刻画一个随机变量的取值与其平均值的偏离程度呢？引入方差并回忆样本方差的知识点：样本方差可以刻画样本数据的稳定性.样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度.在一组数：，，…, 中，各数据的平均数为，那么这组数据的方差为：能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢?1.离散型随机变量的方差假设离散型随机变量X的分布列为：Array用来衡量与的平均偏离程度，是的期望，并称之为随机变量的方差.记为.方差越小，那么随机变量的取值就越集中在其均值周围；反之，方差越大，那么随机变量的取值就越分散.根据以上公式请再次判断A、B两种品牌的手表哪个好。
2.典例例1：掷一颗均匀的骰子，用X表示所得的点数. 求方差DX.总结提升：求离散型随机变量X的方差的步骤：(1)写出X的所有取值；(2)计算P〔X=xi〕;(3)写出分布列，并求出期望EX；(4)由方差的定义求出DX.变式训练1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比拟两名射手的射击水平.例2：在篮球比赛中，罚球命中一次得1分，不中得0分，如果某篮球运发动罚球命中率为，那么他罚球1次得分的均值和方差各是多少？ 变式训练2：假设条件不变，那么他罚球2次得分的均值和方差各是多少？ 根据变式训练可总结：服从二项分布的随机变量的方差，假设，那么.练习：批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,那么DX= 课后练习：有两个离散型随机变量X,Y ，其中Y=aX+b ，假设离散型随机变量X 的方差为DX,思考:DY=? 五、小结：1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义2、记住几个常见公式：〔1〕假设，那么〔3〕.六、作业：P691、4七、板书设计：§5 离散型随机变量的均值与方差例2：第2课时离散型随机变量的方差1.离散型随机变量的方差：变式2：2.典例：练习：例1：总结：变式1：八、教学反思：。
2019-2020北师大版高中数学选修2-3备课：2.5 离散型随机变量的均值与方差
§5 离散型随机变量的均值与方差备课资源参考教学建议1.本节是高考考查的热点,常以解答题的形式进行考查.2.本节的重点是理解离散型随机变量的均值和方差的概念,难点是利用离散型随机变量的均值和方差解决实际问题.3.离散型随机变量的均值是用来刻画离散型随机变量取值的平均水平的.教学中应从平均的角度引入这个概念,引导学生通过实际问题加深对它的理解,分清它和样本平均值的区别和联系,并向学生指出,离散型随机变量的均值是“离散型随机变量取值的平均水平”.对离散型随机变量的方差,要让学生明白它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,区分它与样本方差的关系.另外,要特别强调随机变量的均值和方差是建立在随机变量的分布列的基础上的,要求二者的大小,应先明确随机变量的分布列.对特殊的分布,如两点分布和二项分布,要让学生掌握它们的计算公式.备选习题1已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(1)求取出的4个球均为黑球的概率;(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;(3)设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列和数学期望.解:(1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ,“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ,由于事件A ,B 相互独立,则P (AB )=P (A )·P (B )=.12×25=15(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球,从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件C ,“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球,从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C ,D 互斥,且P (C )=·,P (D )=·,故取出的4个球中恰有1个红C 23C 24C 12·C 14C 26=415C 13C 24C 24C 26=15球的概率为P (C+D )=P (C )+P (D )=.415+15=715(3)ξ可能的取值为0,1,2,3,由(1)(2)得P (ξ=0)=,P (ξ=1)=.15715又P (ξ=3)=·,从而P (ξ=2)=1-P (ξ=0)-P (ξ=1)-P (ξ=3)=.C 13C 241C 26=130310故ξ的分布列为ξ0123P 15715310130ξ的数学期望E ξ=0×+1×+2×+3×.15715310130=762在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次:在A 处每投进一球得3分,在B 处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次.某同学在A 处的命中率q 1为0.25,在B 处的命中率为q 2.该同学选择先在A 处投一球,以后都在B 处投,用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为ξ02345P 0.03P 1P 2P 3P4(1)求q 2的值;(2)求随机变量ξ的数学期望E ξ;(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.解:(1)设该同学在A 处投中为事件A ,在B 处投中为事件B ,则事件A ,B 相互独立,且P (A )=0.25,P ()=0.75,P (B )=q 2,P ()=1-q 2.根据分布列知:ξ=0时,P ()=P ()P ()· P ()A B A B B A B B =0.75(1-q 2)2=0.03,所以1-q 2=0.2,q 2=0.8.(2)当ξ=2时,P 1=P (B )=P ()+P (B )ABB +A B ABB A B =P ()P (B )P ()+P ()P ()P (B )=0.75q 2(1-q 2)×2=1.5q 2(1-q 2)=0.24,A B A B 当ξ=3时,P 2=P (A )=P (A )P ()P ()=0.25(1-q 2)2=0.01,B B B B 当ξ=4时,P 3=P (BB )=P ()P (B )P (B )=0.75=0.48,A A q 22当ξ=5时,P 4=P (A B+AB )=P (A B )+P (AB )=P (A )P ()P (B )+P (A )P (B )=0.25q 2(1-q 2)B B B +0.25q 2=0.24,所以随机变量ξ的分布列为ξ02345P 0.030.240.010.480.24随机变量ξ的数学期望E ξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63.(3)该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为P (BB+B B+BB )=P (BB )+P (B B )B B B B +P (BB )=2(1-q 2)=0.896.q 22+q 22该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.。
高中数学 第二章 概率 5 第一课时 离散型随机变量的均值教学案 北师大版选修2-3-北师大版高二选
第一课时 离散型随机变量的均值[对应学生用书P31]求离散型随机变量的均值[例1] (某某高考)某商场举行的“三色球〞购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖2红1蓝10元(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与数学期望EX . [思路点拨] (1)利用古典概型结合计数原理直接求解．(2)先确定离散型随机变量的取值，求出相应的概率分布，进一步求出随机变量的期望值．[精解详析] 设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球，那么A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为0,10,50,200，且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67. 综上知，X 的分布列为X 0 10 50 200 P6743521051105从而有EX ＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1105＝4(元)．[一点通] 求离散型随机变量X 的均值的步骤 (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列(有时可以省略)；(4)利用定义公式EX ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，求出均值．1．(某某高考)离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110那么X 的数学期望EX ＝( A.32B ．2 C.52D ．3 解析：EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32.答案：A2．某高等学院自愿献血的20位同学的血型分布情形如下表：血型 A B AB O 人数8732(1)现从这20(2)现有A 血型的病人需要输血，从血型为A 、O 的同学中随机选出2人准备献血，记选出A 血型的人数为X ，求随机变量X 的数学期望EX .解：(1)从20人中选出两人的方法数为C 220＝190， 选出两人同血型的方法数为C 28＋C 27＋C 23＋C 22＝53， 故两人血型相同的概率是53190.(2)X 的取值为0,1,2， P (X ＝0)＝C 22C 210＝145，P (X ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝2)＝C 28C 210＝2845.X 的分布列为X 0 1 2 P14516452845∴EX ＝145×0＋1645×1＋2845×2＝7245＝85.二项分布及超几何分布的均值[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X ，乙击中目标的次数为Y ，求(1)X 的概率分布； (2)X 和Y 的数学期望．[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布． [精解详析] (1)P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.所以X 的概率分布如下表：X 0 1 2 3 P18383818(2)由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23， ∴EX ＝3×12＝1.5，EY ＝3×23＝2.[一点通] 如果随机变量X 服从二项分布即X ～B (n ，p )，那么EX ＝np ；如果随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布时，那么EX ＝n MN，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．3．假设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，EX ＝2，那么P (X ＝1)等于________． 解析：由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12∴EX ＝n ·12＝2， ∴n ＝4，∴P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫121⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14.答案：144．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X 表示取出的红球数，那么EX 为________．解析：由题意知随机变量X 服从N ＝7，M ＝4，n ＝3的超几何分布，那么EX ＝3×47＝127.答案：1275．(某某高考)箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望EX .解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且 P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为X 3 4 5 6 P5421021514121(2)由(1)知EX ＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133.数学期望的实际应用[例3] 某商场准备在“五一〞期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，假设中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是12，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？[思路点拨] (1)利用间接法求概率；(2)先求中奖的期望，再列不等式求解． [精解详析] (1)设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A ，那么P (A )＝1－C 35C 39＝3742. 即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为3742.(4分)(2)设顾客抽奖的中奖次数为X ，那么X ＝0,1,2,3，于是P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝18，P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×12＝38，P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P (X ＝3)＝12×12×12＝18，∴顾客中奖的数学期望EX ＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5.(10分)设商场将每次中奖的奖金数额定为x 元，那么1.5x ≤180，解得x ≤120，即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使自己不亏本．(12分) [一点通] 处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．6．(某某高考)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)假设新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；假设新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}． 由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25.且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立． (1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，那么H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，那么X 的可能取值为0,100,120,220.因P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615.故所求的X 分布列为数学期望为E (X )＝0×15＋100×15＋120×15＋220×15＝＋480＋1 32015＝2 10015＝140.7．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.假设预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值．)解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为E 1＝400×0.3＝120(万元)；②假设单独采取预防措施甲，那么预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失期望值为E 2＝400×0.1＝40(万元)， 所以总费用为45＋40＝85(万元)；③假设单独采取预防措施乙，那么预防措施费用为30万元， 发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15， 损失期望值为E 3＝400×0.15＝60(万元)， 所以总费用为30＋60＝90(万元)； ④假设联合采取甲、乙两种预防措施，那么预防措施费用为45＋30＝75(万元)，发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015，损失期望值为E4＝400×0.015＝6(万元)，所以总费用为75＋6＝81(万元)．综合①②③④，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1．求随机变量的数学期望的方法步骤：(1)写出随机变量所有可能的取值．(2)计算随机变量取每一个值对应的概率．(3)写出分布列，求出数学期望．2．离散型随机变量均值的性质①Ec＝c(c为常数)；②E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)；③E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b为常数)．[对应课时跟踪训练十三]1．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，那么他独立射击3次中靶次数X的均值为( )A．0.8 B．0.83C．3 D．2.4解析：射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即X～B(3,0.8)，∴EX＝3×0.8＝2.4.答案：D2．离散型随机变量X的概率分布如下：X 01 2P 0.33k 4k随机变量Y ＝2X ＋1，那么Y 的数学期望为( ) A ．1.1 B ．3.2 C ．11k D ．33k ＋1解析：由题意知，0.3＋3k ＋4k ＝1，∴k ＝0.1.EX ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1， ∴EY ＝E (2X ＋1)＝2EX ＋1＝2.2＋1＝3.2. 答案：B3．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X 表示取出的球的最大，那么EX ＝( )A ．4B ．5C ．4.5D ．4.75 解析：X 的取值为5,4,3. P (X ＝5)＝C 24C 35＝35，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝3)＝1C 35＝110.∴EX ＝5×35＋4×310＋3×110＝4.5.答案：C4．(某某高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，那么X 的均值EX ＝( )A.126125B.65C.168125 D.75解析：由题意知X 可能为0,1,2,3，P (X ＝0)＝33125＝27125，P (X ＝1)＝9×6125＝54125，P (X ＝2)＝3×12125＝36125，P (X ＝3)＝8125，EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65，应选B. 答案：B5．设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，那么查得次品数的均值为________． 解析：设查得次品数为X ，由题意知X 服从超几何分布且N ＝10，M ＝3，n ＝2.∴EX ＝n ·M N ＝2×310＝35.答案：356．某射手射击所得环数X 的分布列如下EX ＝8.9，那么y 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，解得y ＝0.4. 答案：0.47．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A ，B 两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品．表一表二(1)甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙；(2)一件产品的利润如表二所示，用X ，Y 分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值．解：(1)P 甲＝0.8×0.85＝0.68，P 乙＝0.75×0.8＝0.6.(2)随机变量X ，Y 的分布列是EX ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2， EY ＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元．8．(某某高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果互相独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)假设比赛结果为3∶0或3∶1，那么胜利方得3分、对方得0分；假设比赛结果为3∶2，那么胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解：(1)记“甲队以3∶0胜利〞为事件A 1，“甲队以3∶1胜利〞为事件A 2，“甲队以3∶2胜利〞为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利〞为事件A 4， 由题意知，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427.由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×27＋2×27＋3×27＝9.。
北师大版数学高二选修2-3学案 2.5.1 离散型随机变量的均值
§5离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值1．理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)2．会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理离散型随机变量的均值阅读教材P57～P59“练习”以上部分，完成下列问题．1．离散型随机变量的均值(1)设随机变量X的分布列为P(X＝a i)＝p i＝(i＝1,2，…，r)，则X的均值为________________．(2)随机变量的均值EX刻画的是X取值的“______”．【答案】(1)a1p1＋a2p2＋…＋a r p r(2)中心位置2．均值的性质(1)若X为常数C，则EX＝____.(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝________.(3)常见的离散型随机变量的均值分布名称参数均值超几何分布N，M，n ________ 二项分布n，p ______【答案】(1)C(2)aEX＋b(3)n MN np1．下列说法正确的有________．(填序号)①随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化；②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X的数学期望EX＝2，则E(2X)＝4；④随机变量X的均值EX＝x1＋x2＋…＋x nn.【解析】①错误，随机变量的数学期望EX是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为EX＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n.【答案】③2．已知离散型随机变量X的分布列为：X 12 3P 35310110则X【解析】EX＝1×35＋2×310＋3×110＝32.【答案】32[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3： 解惑：[小组合作型]离散型随机变量的均值公式及性质X －2 －1 0 1 2 P 141315m120(2)求EX ；(3)若Y ＝2X －3，求EY .【精彩点拨】 (1)利用分布列的性质求m ； (2)利用离散型随机变量的均值公式求解； (3)利用离散型随机变量均值的性质求解．【自主解答】 (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1， 解得m ＝16.(2)EX ＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一：由公式E (aX ＋b )＝aEX ＋b ，得EY ＝E (2X －3)＝2EX －3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215.法二：由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：Y －7 －5 －3 －1 1 P14131516120所以EY＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，EX ＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n求解．2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aEX ＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．[再练一题]1．已知随机变量X的分布列为：X 12 3P 121316且Y＝aX＋3，若EY＝－2，求a的值．【解】EX＝1×12＋2×13＋3×16＝53，∴EY＝E(aX＋3)＝aEX＋3＝53a＋3＝－2，∴a＝－3.求离散型随机变量的均值位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值．【精彩点拨】(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值．【自主解答】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215，P (ξ＝4)＝1C 26＝115.从而知ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1341515215115所以Eξ＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.求离散型随机变量ξ的均值的步骤1．根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值． 2．求出ξ的每个值的概率． 3．写出ξ的分布列． 4．利用定义求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识．[再练一题]2．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．【解】X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝310，P(X＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X的分布列为X 12 3P 35310110EX＝1×35＋2×310＋3×110＝32.[探究共研型]离散型随机变量的均值实际应用分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？【提示】随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X＝0)＝0.3，P(X＝1)＝0.7.探究2在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】每次平均得分为810＝0.8.探究3在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】根据利润的意义写出ξ的取值→写出ξ的分布列→求出数学期望EX→利用期望回答问题【自主解答】(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为：X 621－2P 0.630.250.10.02(2)(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为EX＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，EX≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．[再练一题]3．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环．将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图2-5-1甲和图乙所示．图2-5-1(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)．【解】 (1)由图乙可知P (X 乙＝7)＝0.2，P (X 乙＝9)＝0.2，P (X 乙＝10)＝0.35. 所以P (X 乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P (X 甲＝7)＝0.2，P (X 甲＝8)＝0.15，P (X 甲＝9)＝0.3， 所以P (X 甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35. P (X 甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为EX 甲＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8， EX 乙＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7， 则有EX 甲>EX 乙，所以估计甲的水平更高．[构建·体系]1．(2016·潍坊高二检测)设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望EX ＝2，则P (X ＝2)等于( )A.1316 B.4243 C.13243D.80243【解析】 因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，所以EX ＝n 3＝2，所以n ＝6，所以P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243. 【答案】 D2．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的均值为( ) 【导学号：62690041】A.13B.23 C ．2D.83【解析】 X 的取值为2,3.因为P (X ＝2)＝1C 23＝13，P ＝(X ＝3)＝C 12C 23＝23.所以EX ＝2×13＋3×23＝83. 【答案】 D3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，解得y ＝0.4. 【答案】 0.44．设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3)．又X 的均值EX ＝3，则a ＋b ＝________.【解析】 ∵P (X ＝1)＝a ＋b ， P (X ＝2)＝2a ＋b ， P (X ＝3)＝3a ＋b ，∴EX ＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3， ∴14a ＋6b ＝3.①又∵(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1，∴6a＋3b＝1.②∴由①②可知a＝12，b＝－23，∴a＋b＝－16.【答案】－1 65．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数．求：(1)X的分布列；(2)X的均值．【解】(1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝C24C29＝16，P(X＝1)＝C13C14C29＝13，P(X＝2)＝C14C12＋C23C29＝1136，P(X＝3)＝C12C13C29＝16，P(X＝4)＝C22C29＝136.故X的分布列为X 0123 4P 1613113616136(2)EX＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设随机变量X～B(40，p)，且EX＝16，则p等于()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【解析】∵EX＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D.【答案】 D2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为()【导学号：62690042】A．0.6 B．1C．3.5 D．2【解析】抛掷骰子所得点数ξ的分布列为ξ12345 6P 161616161616所以Eξ＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5.【答案】 C3．设ξ的分布列为ξ123 4又设η＝2ξ＋5A.76 B.176 C.173D.323【解析】 Eξ＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，所以Eη＝E (2ξ＋5)＝2Eξ＋5＝2×176＋5＝323.【答案】 D4．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min ，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y 的期望为( )A.13 B ．1 C.43D.83【解析】 遇到红灯的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，∴EX ＝43.∴EY ＝E (2X )＝2×43＝83. 【答案】 D5．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝14，k ＝1,2,3,4，则EX 的值为( ) A ．2.5 B ．3.5 C ．0.25D ．2【解析】 EX ＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝2.5 【答案】 A 二、填空题6．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X ，则EX ＝________.【解析】 X 可能的取值为0,1,2，P (X ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P (X ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以EX ＝1×0.22＋2×0.765＝1.75.【答案】 1.757．(2016·邯郸月考)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．【解析】 随机变量X 的取值为0,1,2,4，P (X ＝0)＝34，P (X ＝1)＝19，P (X ＝2)＝19，P (X ＝4)＝136，因此EX ＝49.【答案】 498.如图2-5-2，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX ＝________.图2-5-2【解析】 依题意得X 的取值可能为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝33125＝27125，P (X ＝1)＝9×6125＝54125，P (X ＝2)＝3×12125＝36125，P (X ＝3)＝8125.故EX ＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.【答案】 65 三、解答题9．某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？【解】 设来领奖的人数ξ＝k (k ＝0,1，…，3 000)，∴P (ξ＝k )＝C k 3 000(0.04)k (1－0.04)3 000－k， 则ξ～B (3 000,0.04)，那么Eξ＝3 000×0.04＝120(人)>100(人)． ∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．10．(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解】 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故EX ＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．[能力提升]1．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X 表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y 表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X ，Y 的分布列分别是：据此判定(A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙质量相同D．无法判定【解析】EX＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，EY＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.由于EY>EX，故甲比乙质量好．【答案】 A2．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是()A．2 000元B．2 200元C．2 400元D．2 600元【解析】出海的期望效益Eξ＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．【答案】 B3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望EX＝________. 【导学号：62690043】【解析】∵P(X＝0)＝112＝(1－p)2×13，∴p＝12.随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13，P (X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512，P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16，因此EX ＝1×13＋2×512＋3×16＝53.【答案】 534．(2015·山东高考)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .【解】 (1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84，随机变量X 的取值为：0，－1,1，因此，P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142. 所以X 的分布列为则EX ＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.。
高中数学 2.5《离散型随机变量的均值与方差》教案 苏教版选修23
2.5 离散型随机变量的均值与方差教学目标（1）进一步理解均值与方差都是随机变量的数字特征，通过它们可以刻划总体水平； （2）会求均值与方差，并能解决有关应用题．教学重点，难点：会求均值与方差，并能解决有关应用题． 教学过程 一．问题情境 复习回顾：1．离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义，以及计算公式． 2．练习设随机变量~(,)X B n p ，且() 1.6,() 1.28E X V X ==，则n = ，p = ； 答案：8,0.2n p ==二．数学运用 1．例题：例1．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X ．（1）求随机变量X 的概率分布；（2）求X 的数学期望和方差． 解：（1）4411689(4),(3)0,(2),(1),(0)24242424P X P X P X P X P X A ===========，因此X 的分布列为X1234P924 824 624 0 124 （2）9861()012304124242424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，222229861()(01)(11)(21)(31)0(41)124242424V X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=例2．有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时误差分别为,X Y （单位：s ），其分布列如下：X1- 0 1 P0.1 0.8 0.1Y 2- 1- 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1分析：期望与方差结合能解决实际应用中质量好坏、产品质量高低等问题．特别是期望相等时，可在看方差．本题只要分别求出两种品牌手表日走时误差的期望和方差，然后通过数值的大小进行比较．解：()10.100.810.10()E X s =-⨯+⨯+⨯=，()20.110.200.410.220.10()E Y s =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=所以 ()()E X E Y =，所以由期望值难以判断质量的好坏．又因为2222()(10)0.1(00)0.8(10)0.10.2()V X s =--+-+-=gg g 222222()(20)0.1(10)0.2(00)0.4(10)0.2(20)0.1 1.2()V Y s =--+--+-+-+-=g g g g g 所以()()V X V Y <，可见乙的波动性大，甲的稳定性强，故甲的质量高于乙．例3．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． （Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）记“函数2()31f x x x ξ=-+在区间[2,)+∞上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率.分析：（2）这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，就本题而言，只需322ξ≤即可．解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件123,,A A A ． 由已知123,,A A A 相互独立，123()0.4,()0.5,()0.6P A P A P A ===.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．123123(3)()()P P A A A P A A A ξ==+g g g g123123()()()()()()20.40.50.60.24P A P A P A P A P A P A =+=⨯⨯⨯=(1)10.240.76P ξ==-=所以ξ的分布列为()10.7630.24 1.48E ξ=⨯+⨯=（Ⅱ）解法一：因为2239()()1,24f x x ξξ=-+-所以函数 ξ1 3P 0.76 0.2423()31[,)2f x x x ξξ=-++∞在区间上单调递增，要使()[2,)f x +∞在上单调递增，当且仅当342,.23ξξ≤≤即从而4()()(1)0.76.3P A P P ξξ=≤===解法二：ξ的可能取值为1，3.当1ξ=时，函数2()31[2,)f x x x =-++∞在区间上单调递增， 当3ξ=时，函数2()91[2,)f x x x =-++∞在区间上不单调递增. 所以()(1)0.76.P A P ξ===例4．有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理．解：设庄家获利的数额为随机变量X ，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏X 30- 20- 10- 10 20 30 P236 436 636 836 1036 636所以246810665()(30)(20)(10)1020303636363636369E X =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家． 五．回顾小结：1． 已知随机变量的分布列，求它的期望、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解； 2． 如能分析所给随机变量，是服从常见的分布（如两点分布、二项分布、超几何分布等），可直接用它们的期望、方差公式计算；3． 对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差和标准差． 六．课外作业：。
高二数学《离散型随机变量的均值》教案
离散型随机变量的均值一、教材分析期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫。
同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响。
二、学情分析本节课是一节概念新授课，而概念本身具有一定的抽象性，学生难以理解，因此把对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点。
此外，学生初次应用概念解决实际问题也较为困难，故把其作为本节课的教学难点。
三、教学目标1、知识目标1）了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．2、能力目标1）理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ B（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
3、情感目标1）承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
四、教学重点难点重点：离散型随机变量期望的概念及其实际含义（B、C类目标）难点: 离散型随机变量期望的实际应用（A类目标）五、教学过程（一）、复习引入1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出（二）、新课讲授根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为ξ x 1 x 2 … x n … ηb ax +1 b ax +2… b ax n +… Pp 1p 2…p n…于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(…＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)( 5.若ξ B （n,p ），则E ξ=np 证明如下：∵ kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ，∴ =ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×k n k k n q p C -＋…＋n ×0q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴ =ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(． 故 若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ．三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ， 所以7.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水． 方案3：不采取措施，希望不发生洪水． 试比较哪一种方案好．解：用X 1 、X 2和X 3分别表示三种方案的损失．采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X 1 = 3 800 .采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即⎧⎨⎩262000，有大洪水；X =2000,无大洪水.同样，采用第 3 种方案，有⎧⎪⎨⎪⎩360000，有大洪水；X =10000,有小洪水；0,无洪水.于是，EX 1＝3 800 ,EX 2＝62 000×P (X 2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X 2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,EX 3 = 60000×P (X 3 = 60000) + 10 000×P(X 3 =10 000 ) + 0×P (X 3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 .值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1ξ≤≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前1-k 次取出正品而第k 次（k =1，2，…，10）取出次品的概率：15.085.0)(1⨯==-k k P ξ（k =1，2， (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：985.0)10(==ξP 由此可得ξ的概率分布如下： ξ1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P0.15 0.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316根据以上的概率分布，可得ξ的期望35.52316.0101275.0215.01=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ 1 2 3 4 5 6P6161 61 61 61 61 所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为ξ 15 16 17 18 P0.10.50.30.1求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2；(Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯ ∵ η=2ξ+2∴ =ηE 2E ξ+2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5⨯(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（ ）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75 答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．解：⑴因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以=ξE 1×)1(=ξP ＋0×7.0)0(==ξP⑵η的概率分布为η12P23.0 3.07.012⨯⨯C 27.0所以 =ξE 0×09.0＋1×42.0＋2×98.0＝1.4． ⑶ξ的概率分布为ξ０１23P33.02133.07.0⨯⨯C 3.07.0223⨯⨯C37.0所以 =ξE 0×027.0＋1×189.0＋2×98.0＝2.1.3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m1，事件“ξ=k ”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算方法可求出P (ξ=k ),进而可求E ξ. 解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=m1． ∴ P (ξ=k )=P n (k )=C k nm 1)k (1－m1)n －k（k =0,1,2,….,n ）． ∴ ξ～B (n ,m 1)，故 E ξ =n ×m 1=mn五、课堂小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np六、课后作业1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答）解：令取取黄球个数ξ (=0、1、2)则ξ的要布列为ξ 012p103 53101 于是 E （ξ）=0×103+1×53+2×101=0.8故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数 ①求ξ的概率分布列 ②求ξ的数学期望解：①依题意ξ的取值为0、1、2、3、4ξ=0时，取2黑 p(ξ=0)=612924=C Cξ=1时，取1黑1白 p(ξ=1)=31291314=⋅C C C ξ=2时，取2白或1红1黑p(ξ=2)= 2923C C +3611291412=⋅C C C ξ=3时，取1白1红，概率p(ξ=3)= 61291213=⋅C C C ξ=4时，取2红，概率p(ξ=4)= 3612922=C C∴ξ分布列为（2）期望E ξ=0×61+1×31+2×3611+3×61+4×361=914 八、板书设计ξ 0 1 2 3 4p61 31 3611 61 361 离散型随机变量的均值1、知识回顾 3、典型例题（回顾离散型随机变量） （从中认识其中的性质）（回顾随机变量） （两点分布列）（二项分布） 2、离散型随机变量的意义（ 分布列知识 ） 4、自主练习（均值和数学期望的理解） 5、课堂小结。
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-3教学案：第二章 5 第一课时 离散型随机变量的均值 Word版含解析
第一课时 离散型随机变量的均值[对应学生用书P31][例1](重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与数学期望EX . [思路点拨] (1)利用古典概型结合计数原理直接求解．(2)先确定离散型随机变量的取值，求出相应的概率分布，进一步求出随机变量的期望值． [精解详析] 设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球，则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立． (1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C13C24C37＝1835.(2)X 的所有可能值为0,10,50,200，且P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C33C37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C33C37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C23C14C37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上知，X 的分布列为从而有EX ＝0×67＋10×435＋50×105＋200×105＝4(元)．[一点通] 求离散型随机变量X 的均值的步骤(1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列(有时可以省略)；(4)利用定义公式EX ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，求出均值．1．(广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望EX ＝( ) A.32 B ．2 C.52D ．3 解析：EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32.答案：A2．某高等学院自愿献血的20位同学的血型分布情形如下表：(1)现从这20(2)现有A 血型的病人需要输血，从血型为A 、O 的同学中随机选出2人准备献血，记选出A 血型的人数为X ，求随机变量X 的数学期望EX .解：(1)从20人中选出两人的方法数为C 20＝190， 选出两人同血型的方法数为C 28＋C 27＋C 23＋C 2＝53， 故两人血型相同的概率是53190.(2)X 的取值为0,1,2， P (X ＝0)＝C22C210＝145，P (X ＝1)＝C18C12C210＝1645，P (X ＝2)＝C28C210＝2845.X 的分布列为∴EX ＝145×0＋1645×1＋2845×2＝7245＝85.[2]甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X ，乙击中目标的次数为Y ，求(1)X 的概率分布； (2)X 和Y 的数学期望．[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．[精解详析] (1)P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝3)＝C 3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.所以X 的概率分布如下表：(2)由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23， ∴EX ＝3×12＝1.5，EY ＝3×23＝2.[一点通] 如果随机变量X 服从二项分布即X ～B (n ，p )，则EX ＝np ；如果随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布时，则EX ＝n MN，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．3．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，EX ＝2，则P (X ＝1)等于________． 解析：由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12∴EX ＝n ·12＝2， ∴n ＝4，∴P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫121⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14.答案：144．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X 表示取出的红球数，则EX 为________．解析：由题意知随机变量X 服从N ＝7，M ＝4，n ＝3的超几何分布，则EX ＝3×47＝127.答案：1275．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望EX .解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且 P (X ＝3)＝C35C39＝542，P (X ＝4)＝C14C25C39＝1021，P (X ＝5)＝C24C15C39＝514，P (X ＝6)＝C34C39＝121.所以X 的分布列为(2)由(1)知EX ＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133.[3]某商场准备在“五一”期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是12，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？[思路点拨] (1)利用间接法求概率；(2)先求中奖的期望，再列不等式求解．[精解详析] (1)设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A ，则P (A )＝1－C35C39＝3742.即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为3742.(4分)(2)设顾客抽奖的中奖次数为X ，则X ＝0,1,2,3，于是P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝18，P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×12＝38，P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P (X ＝3)＝12×12×12＝18，∴顾客中奖的数学期望EX ＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5.(10分)设商场将每次中奖的奖金数额定为x 元，则1.5x ≤180，解得x ≤120， 即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使自己不亏本．(12分)[一点通] 处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．6．(湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}． 由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25.且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立． (1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是 P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220. 因P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615.故所求的X分布列为数学期望为E(X)＝0×215＋100×15＋120×15＋220×15＝1 32015＝2 10015＝140.7．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值．)解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为E1＝400×0.3＝120(万元)；②若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失期望值为E2＝400×0.1＝40(万元)，所以总费用为45＋40＝85(万元)；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，损失期望值为E3＝400×0.15＝60(万元)，所以总费用为30＋60＝90(万元)；④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30＝75(万元)，发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015，损失期望值为E4＝400×0.015＝6(万元)，所以总费用为75＋6＝81(万元)．综合①②③④，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1．求随机变量的数学期望的方法步骤：(1)写出随机变量所有可能的取值．(2)计算随机变量取每一个值对应的概率．(3)写出分布列，求出数学期望．2．离散型随机变量均值的性质①Ec＝c(c为常数)；②E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)；③E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b为常数)．错误!1．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X 的均值为( ) A ．0.8 B ．0.83 C ．3D ．2.4解析：射手独立射击3次中靶次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.8)，∴EX ＝3×0.8＝2.4. 答案：D2．已知离散型随机变量X 的概率分布如下：随机变量Y ＝2X ＋1，则Y A ．1.1 B ．3.2 C ．11kD ．33k ＋1解析：由题意知，0.3＋3k ＋4k ＝1，∴k ＝0.1.EX ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1， ∴EY ＝E (2X ＋1)＝2EX ＋1＝2.2＋1＝3.2. 答案：B3．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X 表示取出的球的最大号码，则EX ＝( ) A ．4 B ．5 C ．4.5D ．4.75 解析：X 的取值为5,4,3. P (X ＝5)＝C24C35＝35，P (X ＝4)＝C23C35＝310，P (X ＝3)＝1C35＝110.∴EX ＝5×35＋4×310＋3×110＝4.5.答案：C 4．(湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX ＝( )A.126125B.65C.168125D.75解析：由题意知X 可能为0,1,2,3，P (X ＝0)＝33125＝27125，P (X ＝1)＝9×6125＝54125，P (X ＝2)＝3×12125＝36125，P (X ＝3)＝8125，EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65，故选B. 答案：B5．设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________． 解析：设查得次品数为X ，由题意知X 服从超几何分布且N ＝10，M ＝3，n ＝2. ∴EX ＝n ·M N ＝2×310＝35.答案：356．某射手射击所得环数X 的分布列如下已知EX ＝8.9，则y 的值为解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，解得y ＝0.4. 答案：0.47．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A ，B 两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品．表一表二(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙；(2)已知一件产品的利润如表二所示，用X ，Y 分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值．解：(1)P 甲＝0.8×0.85＝0.68， P 乙＝0.75×0.8＝0.6. (2)随机变量X ，Y 的分布列是EX ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2， EY ＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元． 8．(山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果互相独立． (1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率； (2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427.所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427.由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×427＋2×27＋3×27＝9.。
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“教材分析与导入设计”
第二章 概率
2.5 离散型随机变量的均值与方差
本节教材分析
学习均值与方差就分别是用来刻画平均水平与偏离程度的，均值与方差是离散型随机变量的两个最重要的数字特征.在这一节中，课本首先通过第二节中的“取次品问题”，类比小学中求西瓜的平均质量的方法，引入离散型随机变量均值的概念.接着，通过举例，说明了均值的重要意义以及它在解决实际问题中的重要应用.最后，通过比较A ，B 两种表的“日走时误差”的例子，引入离散型随机变量方差的概念，说明了方差的意义，并举例进行了简单的方差计算. 三维目标
知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．
过程与方法：理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξB （n,p ），则E ξ=np ”.能熟
练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文
价值。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望
教学建议：分两课时完成本节内容，可以一节课均值，一节课方差；也可以一节理论，一节应用.可以通过提出问题，分析理解问题，再抽象概括，进而举例应用，尽量让学生归纳总结，再进行实践应用.
新课导入设计
导入一：（复习引入）：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）
5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)
7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k n k k
n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1
k … n
P
n
n q p C 00 1
11-n n q p C
k
n k k n q p C - …
q p C n n n
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记
k
n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．
8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么
112311231()()()()()
()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p
ξ---====（k ＝
0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
1
2
3
…
k … P
p pq
2q p … 1k q p -
…
称这样的随机变量ξ服从几何分布
记作g (k ，p )= 1
k q
p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．
导入二：情境导入
前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合
格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．
2．问题：
如何比较甲、乙两个工人的技术？。