福建省泉州五校2015届高三上学期摸底联考数学理试卷
泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检测理数
2015届泉州市普通高中毕业班单科质量检测理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，或受篇幅限制、或考虑问题还不够周全，遇多种解法时，一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型的解法.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 7．B 8．C 9．A 10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．11．{}0,1,2 12．6.4 13．14 14．4或43 15．QSP RSP S S ∆∆.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查三角恒等变换与解三角形等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想等. 满分13分.解：（Ⅰ）方法1：因为22sin 1cos 22A B C +=+， 所以21cos()22cos 2A B C -+=，22cos cos 10C C --=， …………2分 解得cos 1C =或1cos 2C =-. …………3分 因为0C π<<，所以1cos 1C -<<，故1cos 2C =-，所以23C π=. …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，23C π=，又A B C π++=，所以3A B π+=，故3B A π=-，…6分 由正弦定理，得sin sin sin a b c A BC ==即2sin sin a b A B ==， 得2sin ,2sin a A b B ==， …………8分所以1sin sin sin()23S ab C A B A A π===-23sin cos 2A A A =，12cos 2)2A A =+)6A π=+ …………11分 又(0,)3A π∈，52(,)666A πππ+∈，所以1sin(2)126A π<+≤，所以(0,4S ∈. …………13分 方法2：（Ⅰ）同解法1；（Ⅱ）由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即22222cos3a b ab π=+-， …………7分 整理，得223ab a b -=+， …………8分又222a b ab +≥，所以01ab <≤， …………10分（当且仅当a b ==. …………11分因为12sin 23S ab π==，所以S ∈. …………13分17．本小题主要考查三视图、空间中直线与平面的位置关系、空间向量的应用等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想等. 满分13分.解：（Ⅰ）由在俯视图中点,M G 的投影重合，知MG ⊥面ABCD ，故MG ⊥CD 且MG ⊂面1CDD F ； …………1分 由正视图中线段,MN EF 的投影重合，知FM ⊥面11ADD A ，故FM ⊥1DD 且FM ⊂面1CDD F ； …………2分 又点,F G 分别是111,C C C D 的中点，所以点M 为1CD 的中点. …………3分 同理，可知点N 为11B D 的中点. …………4分（Ⅱ）连结1111,,B D CD B C ，则1MNB C ， 又由题意，可知1EFB C ， 所以MN EF ， …………5分又MN ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，故MN 平面EFG . …………7分（Ⅲ）如图，以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.(2,2,2),(2,4,1),(1,4,2)E F G ，(0,2,1),(1,2,0)EF EG =-=-，…………8分设平面EFG 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,EF EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20,y z x y -=⎧⎨-+=⎩整理，得2,2,z y x y =⎧⎨=⎩令1y =，得(2,1,2)=n ， …………10分又由题意，可知GM平面1AD ，GN平面1AD ，,GM GN ⊂平面GMN ，GMGN G =，所以平面GMN平面1AD ， …………11分又AB ⊥平面1AD ， 故AB ⊥平面GMN ，所以(2,0,0)AB =是平面GMN 的一个法向量， …………12分 设平面EFG 与平面MNG 所成的锐二面角的大小为θ， 则42cos 233AB ABθ⋅===⨯⋅n n . …………13分解2：（Ⅰ）同解法1；（Ⅱ）连结1111,,B D CD B C ，则1EF B C ，1B C ⊂平面11B CD ，EF ⊄平面11B CD ，所以EF平面11B CD ，同理可证FG平面11B CD ，又,EF FG ⊂平面EFG ，EF FG F =，所以平面EFG平面11B CD ，又MN ⊂平面11B CD ，故MN平面EFG . …………6分（Ⅲ）如图，以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.11(2,0,2),(2,4,0),(0,4,2)B C D ，111(0,4,2),(2,4,0)BC B D =-=-， ……7分 设平面EFG 的一个法向量(,,)x y z =n ，由（Ⅱ）知，平面EFG平面11B CD ，所以(,,)x y z =n 也是平面11B CD 的法向量，故有1110,0,B C B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即420,240,y z x y -=⎧⎨-+=⎩整理，得2,2,z y x y =⎧⎨=⎩令1y =，得(2,1,2)=n ， …………9分又由题意，可知GM 平面1AD ，GN平面1AD ，,GM GN ⊂平面GMN ，所以平面GMN平面1AD ，又AB ⊥平面1AD ，故AB ⊥平面GMN ，所以(2,0,0)AB =是平面GMN 的一个法向量， …………11分 设平面EFG 与平面MNG 所成的锐二面角的大小为θ，则42cos 233AB ABθ⋅===⨯⋅n n . …………13分18．满分13分.解：（Ⅰ）记事件A ：“甲通过科目二的考试”，事件B ：“甲通过科目三的考试”，则,,,A B A B 相互独立，事件“甲通过操作技能模拟考试”为()()()()AB ABB AAB AABB ，且,,,AB ABB AAB AABB 为互斥事件，(()()()())()()()()P AB ABB AAB AABB P AB P ABB P AAB P AABB =+++()()()()()()()()()()()()P A P B P A P B P B P A P A P B P A P A P B P B =+++121122122112333333333333=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯4081=，所以甲通过操作技能模拟考试的概率为4081. …………6分（Ⅱ）由题意，可知2,3,4ξ=则22122(2)33333P ξ==⨯+⨯=，112127(3)3333327P ==⨯+⨯⨯=ξ， 2112(4)33327P ξ==⨯⨯=，（Ⅲ）记乙参加两科目操作技能模拟考试的总次数为η，由题可知2,3,4η=，11111(2)22222P η==⨯+⨯=，111113(3)222228P η==⨯+⨯⨯=，1111(4)2228P η==⨯⨯=，由上可得：2343272727E ξ=⨯+⨯+⨯=，131212342888E η=⨯+⨯+⨯=， 因为6521278<即E E ξη<，所以甲的操作技能水平较高. …………13分19．本小题主要考查直线和方程、抛物线的定义、直线与圆、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分13分. 解：（Ⅰ）选择图形2，以图中的O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系， 则(0,1)F ，故抛物线Γ的标准方程为24x y =. …………4分（Ⅱ）（ⅰ）由题意，可知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y kx m =+，并设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(0,)P m .抛物线Γ的方程24x y =可化为214y x =，故12y x '=， 在点A 处切线1l 的斜率为1112k x =，在点B 处切线2l 的斜率为2212k x =， 所以直线12,l l 的斜率之积为121214k k x x =， …………7分联立方程组24,,x y y kx m ⎧=⎨=+⎩消去，得y 2440x kx m --=，可得：124x x m =-， 所以121(4)4k k m m =⋅-=-. …………11分 当OP 的长度不变时，直线12,l l 的斜率之积为定值m -．（ⅱ）若12l l ⊥，则121k k m =-=-，所以点P 的坐标为()0,1，与点F 重合. …13分20．本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、有限与无限思想、特殊与一般思想等．满分14分.解：（Ⅰ）因为2()621f x x mx '=-+， …………1分所以'(0)1f =，又直线l 过点(0,2)，所以直线l 的方程为2y x =+. …………3分（Ⅱ）2()621f x x mx '=-+，22(2)244(6)4(m m m m ∆=-=-=-.①当0∆≤即m ≤时，()0f x '≥恒成立，故函数()f x 在R 上为增函数； …………5分②当0∆>即m >m <令()0f x '<x <<，所以()f x 的单调递减区间为；同理，可得()f x 的单调递增区间为(-∞和)+∞.…………7分综合①②，可得当m ≤时，()f x 的递增区间为(,)-∞+∞；当m >m <()f x 的单调递减区间为，单调递增区间为(-∞，)+∞. ………8分（Ⅲ）依题意可得，1()2n n a f a +=-，所以21(2)n n n n a a a a m +-=-.由（Ⅱ）知，m ≤.（ⅰ）当2m <≤ 先证明2n m a <： ①当1n =时，112m a =<； ②假设当(1)n k k =≥时，有2k ma <成立． 因为函数()f x 在R 上单调递增，所以()()2k m f a f <22m =+，故1()2()222k k m m a f a f +=-<-=, 又因为1()2k k f a a +=+，所以1222k m a ++<+，即12k ma +<，由①②知，对任意的N *n ∈，都有2n m a <成立．所以21(2)0n n n n a a a a m +-=-<，即1n n a a +<（N *n ∈），故数列{}n a 为递减数列. …………11分（ⅱ）当2m <时，采用数学归纳法，同理可证得2n m a >. 故21(2)0n n n n a a a a m +-=->，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列. …………12分（ⅲ）当2m =时，212(1)n n n n a a a a +-=-，11a =，可采用数学归纳法证明*1()N n a n =∈，故数列{}n a 为常数列. …………13分综合（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）可得：当2m <≤数列{}n a 为递增数列；当2m <时，数列{}n a 为递增数列；当2m =时，数列{}n a 为常数列. …………14分21．（1）选修4—2:矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分7分解:（Ⅰ）矩阵A 的特征多项式为()()()2()4544554abf a b a a b λλλλλλλ--==---=-++---，由题意，知关于λ的方程()24450a a b λλ-++-=的两根为121,6λλ=-=，根据根与系数的关系，得45,456,a a b +=⎧⎨-=-⎩，解得1,2,a b =⎧⎨=⎩，所以1254⎛⎫= ⎪⎝⎭A .……2分当11λ=-时，对应的齐次线性方程组为220,550,x y x y --=⎧⎨--=⎩即0x y +=，令1x =，则1y =-，从而11⎛⎫=⎪-⎝⎭ξ是矩阵A 属于1λ的一个特征向量. …………3分 （Ⅱ)方法一：设在椭圆上任取一点的坐标为(,)x y ，经过矩阵1-A B 所对应的变换后所得的坐标为(',')x y .由题意，得1,2,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，其对应的矩阵为10201⎛⎫⎪⎪⎝⎭， …………5分 则11021-⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A B ，可得11121200222545010142⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A . ……7分 方法二：设c d e f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ， 由（Ⅰ）得det 6=-A ，所以121335166-⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A ， …………5分因此12110332510166c d e f -⎛⎫-⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，故有211,332210,33510,66511,66c e d f c e d f ⎧-+=⎪⎪⎪-+=⎪⎨⎪-=⎪⎪⎪-=⎩解得15,2,,422c d e f ====， 所以122542⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B . …………7分21（2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分7分. 解:（Ⅰ）22222cos 2cos sin 1ρθρθρθ=-=， …………1分所以曲线C 的直角坐标方程为221x y -=. …………3分 （Ⅱ）由题可知直线l 恒过点(2,0)，且倾斜角为α. …………4分设直线方程为(2)y k x =-，其中tan k α=，因为曲线221x y -=的渐近线方程为0x y +=和0x y -=，双曲线的右顶点为(1,0)， 所以直线与双曲线必有交点. …………5分 又因为直线l 与曲线C 有唯一交点，此时，直线l 必定与渐近线平行，可得tan 1k α==±，故4πα=或34π，所以sin 2α=. …………7分21（3）选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式以及存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等.满分7分. 解:（Ⅰ）由柯西不等式可得222()(14)(2)x y x y ++≥+，所以2215x y +≥， …………1分 当且仅当12x y =即12,55x y ==时，等号成立， …………2分 所以当12,55x y ==时，22x y +的最小值为15； …………3分（Ⅱ）当0t =时，20x y +=，整理，得2y x =-，令()1211(1)()f x x y a x x a x x a x x a =-+-=-+--=-++≥--+， 即()1f x a ≥+，所以()f x 的最小值为1a +， …………5分 由题可知，只需满足14a +≤，解得53a -≤≤所以a 的取值范围为[5,3]-. …………7分。
【泉州质检】福建省泉州市2015届高三5月质检数学(理)试题(高清) 扫描版含答案
2015届泉州市普通高中毕业班单科质量检测理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，或受篇幅限制、或考虑问题还不够周全，遇多种解法时，一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型的解法.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 7．B 8．C 9．A 10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．11．{}0,1,2 12．6.4 13．14 14．4或43 15．QSP RSP S S ∆∆.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查三角恒等变换与解三角形等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想等. 满分13分.解：（Ⅰ）方法1：因为22sin 1cos 22A B C +=+， 所以21cos()22cos 2A B C -+=，22cos cos 10C C --=， …………2分 解得cos 1C =或1cos 2C =-. …………3分 因为0C π<<，所以1cos 1C -<<，故1cos 2C =-，所以23C π=. …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，23C π=，又A B C π++=，所以3A B π+=，故3B A π=-，…6分 由正弦定理，得sin sin sin a b c A BC ==即2sin sin a b A B ==， 得2sin ,2sin a A b B ==， …………8分所以1sin sin sin()23S ab C A B A A π===-23sin cos 2A A A =，12cos 2)2A A =+)6A π=+ …………11分 又(0,)3A π∈，52(,)666A πππ+∈，所以1sin(2)126A π<+≤，所以S ∈. …………13分 方法2：（Ⅰ）同解法1；（Ⅱ）由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即22222cos3a b ab π=+-， …………7分 整理，得223ab a b -=+， …………8分又222a b ab +≥，所以01ab <≤， …………10分（当且仅当a b ==. …………11分因为12sin 23S ab π==，所以S ∈. …………13分17．本小题主要考查三视图、空间中直线与平面的位置关系、空间向量的应用等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想等. 满分13分.解：（Ⅰ）由在俯视图中点,M G 的投影重合，知MG ⊥面ABCD ，故MG ⊥CD 且MG ⊂面1CDD F ； …………1分 由正视图中线段,MN EF 的投影重合，知FM ⊥面11ADD A ，故FM ⊥1DD 且FM ⊂面1CDD F ； …………2分 又点,F G 分别是111,C C C D 的中点，所以点M 为1CD 的中点. …………3分 同理，可知点N 为11B D 的中点. …………4分（Ⅱ）连结1111,,B D CD BC ，则1MN B C ， 又由题意，可知1EFB C ， 所以MN EF ， …………5分又MN ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，故MN 平面EFG . …………7分（Ⅲ）如图，以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.(2,2,2),(2,4,1),(1,4,2)E F G ，(0,2,1),(1,2,0)EF EG =-=-，…………8分设平面EFG 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,EF EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20,y z x y -=⎧⎨-+=⎩整理，得2,2,z y x y =⎧⎨=⎩令1y =，得(2,1,2)=n ， …………10分又由题意，可知GM 平面1AD ，GN 平面1AD ，,GM GN ⊂平面GMN ，GMGN G =，所以平面GMN 平面1AD ， …………11分 又AB ⊥平面1AD ，故AB ⊥平面GMN ，所以(2,0,0)AB =是平面GMN 的一个法向量， …………12分 设平面EFG 与平面MNG 所成的锐二面角的大小为θ，则42cos 233ABAB θ⋅===⨯⋅n n . …………13分解2：（Ⅰ）同解法1；（Ⅱ）连结1111,,B D CD BC ，则1EF B C ，1B C ⊂平面11B CD ，EF ⊄平面11B CD ，所以EF 平面11B CD ，同理可证FG 平面11B CD ， 又,EF FG ⊂平面EFG ，EF FG F =，所以平面EFG 平面11B CD ，又MN ⊂平面11B CD ， 故MN 平面EFG . …………6分（Ⅲ）如图，以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.11(2,0,2),(2,4,0),(0,4,2)B C D ，111(0,4,2),(2,4,0)BC B D =-=-， ……7分 设平面EFG 的一个法向量(,,)x y z =n ，由（Ⅱ）知，平面EFG平面11B CD ，所以(,,)x y z =n 也是平面11B CD 的法向量，故有1110,0,B C B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即420,240,y z x y -=⎧⎨-+=⎩整理，得2,2,z y x y =⎧⎨=⎩令1y =，得(2,1,2)=n ， …………9分又由题意，可知GM 平面1AD ，GN平面1AD ，,GM GN ⊂平面GMN ，所以平面GMN平面1AD ，又AB ⊥平面1AD ，故AB ⊥平面GMN ，所以(2,0,0)AB =是平面GMN 的一个法向量， …………11分 设平面EFG 与平面MNG 所成的锐二面角的大小为θ，则42cos 233AB ABθ⋅===⨯⋅n n . …………13分18．满分13分.解：（Ⅰ）记事件A ：“甲通过科目二的考试”，事件B ：“甲通过科目三的考试”，则,,,A B A B 相互独立，事件“甲通过操作技能模拟考试”为()()()()AB ABB AAB AABB ，且,,,AB ABB AAB AABB 为互斥事件，(()()()())()()()()P AB ABB AAB AABB P AB P ABB P AAB P AABB =+++()()()()()()()()()()()()P A P B P A P B P B P A P A P B P A P A P B P B =+++121122122112333333333333=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯4081=，所以甲通过操作技能模拟考试的概率为4081. …………6分（Ⅱ）由题意，可知2,3,4ξ=则22122(2)33333P ξ==⨯+⨯=，112127(3)3333327P ==⨯+⨯⨯=ξ，2112(4)33327P ξ==⨯⨯=，（Ⅲ）记乙参加两科目操作技能模拟考试的总次数为η，由题可知2,3,4η=，11111(2)22222P η==⨯+⨯=，111113(3)222228P η==⨯+⨯⨯=，1111(4)2228P η==⨯⨯=，分布列如下：由上可得：2343272727E ξ=⨯+⨯+⨯=，131212342888E η=⨯+⨯+⨯=， 因为6521278<即E E ξη<，所以甲的操作技能水平较高. …………13分19．本小题主要考查直线和方程、抛物线的定义、直线与圆、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分13分. 解：（Ⅰ）选择图形2，以图中的O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系， 则(0,1)F ，故抛物线Γ的标准方程为24x y =. …………4分（Ⅱ）（ⅰ）由题意，可知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y kx m =+，并设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(0,)P m .抛物线Γ的方程24x y =可化为214y x =，故12y x '=， 在点A 处切线1l 的斜率为1112k x =，在点B 处切线2l 的斜率为2212k x =， 所以直线12,l l 的斜率之积为121214k k x x =， …………7分联立方程组24,,x y y kx m ⎧=⎨=+⎩消去，得y 2440x kx m --=，可得：124x x m =-， 所以121(4)4k k m m =⋅-=-. …………11分 当OP 的长度不变时，直线12,l l 的斜率之积为定值m -．（ⅱ）若12l l ⊥，则121k k m =-=-，所以点P 的坐标为()0,1，与点F 重合. …13分20．本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、有限与无限思想、特殊与一般思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）因为2()621f x x mx '=-+， …………1分 所以'(0)1f =，又直线l 过点(0,2)，所以直线l 的方程为2y x =+. …………3分（Ⅱ）2()621f x x mx '=-+，22(2)244(6)4(m m m m ∆=-=-=.①当0∆≤即m ≤时，()0f x '≥恒成立，故函数()f x 在R 上为增函数； …………5分②当0∆>即m m <令()0f x '<x <<，所以()f x 的单调递减区间为；同理，可得()f x 的单调递增区间为(-∞和)+∞.…………7分综合①②，可得当m 时，()f x 的递增区间为(,)-∞+∞；当m >m <()f x 的单调递减区间为，单调递增区间为(-∞，)+∞. ………8分（Ⅲ）依题意可得，1()2n n a f a +=-， 所以21(2)n n n n a a a a m +-=-.由（Ⅱ）知，m ≤≤.（ⅰ）当2m < 先证明2n m a <： ①当1n =时，112ma =<； ②假设当(1)n k k =≥时，有2k ma <成立． 因为函数()f x 在R 上单调递增，所以()()2k m f a f <22m =+，故1()2()222k k m m a f a f +=-<-=, 又因为1()2k k f a a +=+，所以1222k m a ++<+，即12k ma +<，由①②知，对任意的N *n ∈，都有2n m a <成立．所以21(2)0n n n n a a a a m +-=-<，即1n n a a +<（N *n ∈），故数列{}n a 为递减数列. …………11分（ⅱ）当2m ≤<时，采用数学归纳法，同理可证得2n m a >. 故21(2)0n n n n a a a a m +-=->，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列. …………12分 （ⅲ）当2m =时，212(1)n n n n a a a a +-=-，11a =，可采用数学归纳法证明*1()N n a n =∈，故数列{}n a 为常数列. …………13分综合（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）可得：当2m <≤数列{}n a 为递增数列；当2m ≤<时，数列{}n a 为递增数列；当2m =时，数列{}n a 为常数列. …………14分21．（1）选修4—2:矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分7分解:（Ⅰ）矩阵A 的特征多项式为()()()2()4544554abf a b a a b λλλλλλλ--==---=-++---，由题意，知关于λ的方程()24450a a b λλ-++-=的两根为121,6λλ=-=，根据根与系数的关系，得45,456,a a b +=⎧⎨-=-⎩，解得1,2,a b =⎧⎨=⎩，所以1254⎛⎫= ⎪⎝⎭A .……2分当11λ=-时，对应的齐次线性方程组为220,550,x y x y --=⎧⎨--=⎩即0x y +=，令1x =，则1y =-，从而11⎛⎫=⎪-⎝⎭ξ是矩阵A 属于1λ的一个特征向量. …………3分 （Ⅱ)方法一：设在椭圆上任取一点的坐标为(,)x y ，经过矩阵1-A B 所对应的变换后所得的坐标为(',')x y .由题意，得1,2,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，其对应的矩阵为10201⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， …………5分 则110201-⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A B ，可得11121200222545010142⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A . ……7分 方法二：设c d e f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ， 由（Ⅰ）得det 6=-A ，所以121335166-⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A ， …………5分 因此12110332510166c d e f -⎛⎫-⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，故有211,332210,33510,66511,66c e d f c e d f ⎧-+=⎪⎪⎪-+=⎪⎨⎪-=⎪⎪⎪-=⎩解得15,2,,422c d e f ====， 所以122542⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B . …………7分21（2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分7分. 解:（Ⅰ）22222cos 2cos sin 1ρθρθρθ=-=， …………1分所以曲线C 的直角坐标方程为221x y -=. …………3分 （Ⅱ）由题可知直线l 恒过点(2,0)，且倾斜角为α. …………4分设直线方程为(2)y k x =-，其中tan k α=，因为曲线221x y -=的渐近线方程为0x y +=和0x y -=，双曲线的右顶点为(1,0)， 所以直线与双曲线必有交点. …………5分 又因为直线l 与曲线C 有唯一交点，此时，直线l 必定与渐近线平行，可得tan 1k α==±，故4πα=或34π，所以sin 2α=. …………7分21（3）选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式以及存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等.满分7分. 解:（Ⅰ）由柯西不等式可得222()(14)(2)x y x y ++≥+，所以2215x y +≥， …………1分 当且仅当12x y =即12,55x y ==时，等号成立， …………2分 所以当12,55x y ==时，22x y +的最小值为15； …………3分（Ⅱ）当0t =时，20x y +=，整理，得2y x =-，令()1211(1)()f x x y a x x a x x a x x a =-+-=-+--=-++≥--+， 即()1f x a ≥+，所以()f x 的最小值为1a +， …………5分 由题可知，只需满足14a +≤，解得53a -≤≤所以a 的取值范围为[5,3]-. …………7分。
福建省泉州市2015届高三5月模拟理科综合试题及答案
准考证号________________姓名___________________(在此卷上答题无效)保密★启用前泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检测理科综合能力测试本试卷分第1卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷l至4页，均为必考题，第Ⅱ卷5至1 2页，包括必考和选考两部分。
满分300分。
可能用到的相对原子质量：C一1 2 O—1 6 Cu一64注意事项：1．答题前考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名"与考生本人准证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡擦干净后，再选涂其它答案标号。
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷(必考)本卷共18小题，每题6分，共108分。
一、选择题(本题共1 8小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
) 1．下列可导致洋葱根尖分生区细胞发生染色体数目变异的是A．同源染色体不分离B．纺锤体形成被抑制C．非姐妹染色单体交叉互换D．DNA复制时碱基对发生替换2．下列能实现实验目的的实验思路是A．分别用淀粉酶和蔗糖酶催化淀粉水解以探究酶的高效性B．分别用甲基绿和吡罗红将口腔上皮细胞染色以鉴别DNA和RNAC．分别对色盲家系和白化病家系进行调查以比较两种遗传病在人群中的发病率大小D．分别在同一地段的干燥和潮湿土壤取样调查以探究水分对土壤小动物丰富度的影响3．某学习小组调查校园生态系统的成分及其关系，部分结果如下图。
下列分析合理的是A．碳以C02形式沿着①箭号所示渠道流动B．生产者同化的太阳能最多有20％流经②箭号所示渠道C．该系统的信息沿着图中箭号所示渠道进行传递D．若乌鸫被驱出校园后该系统抵抗力稳定性降低市质检(理综) 第1页(共1 2页)4．下列有关化合物的运输及作用的叙述正确的是A．线粒体产生的[H]进入叶绿体参与C3化合物的还原B．吞噬细胞将抗原传递给浆细胞刺激浆细胞产生抗体C．核糖体合成的RNA，聚合酶进入细胞核催化DNA转录D．顶芽产生的生长素运输至侧芽附近促进侧芽生长发育。
(全优试卷)福建省泉州市高三数学12月联考试题 理
2015年秋季南侨中学、荷山中学、南安三中、永春三中、永春侨中高中毕业班第一次联合考试数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，则右图中的阴影部分表示的集合为（ ） A ．{2} B ．{4，6} C ．{1，3，5} D ．{4，6，7，8} 2．已知R a ∈，且iia -+-1为纯虚数，则a 等于（ ） A ．2 B ．2-C ．1D ．1-3．已知函数()f x 是定义在[5,5]-上的偶函数，()f x 在[0,5]上是单调函数，且(3)(1)f f -<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. (1)(3)f f -<- B. (2)(3)f f < C. (1)(0)f f < D.(3)(5)f f -<4．已知{}n a 是首项为1的等比数列，且48a =，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为（ ） A. 31 B.1631 C.11 D. 11165．已知角α顶点在原点，始边为x 轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点()m ， 则sin 2α= ( )A ．±．±6. 已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝43，则S 9等于 ( )A ．6B ．5C ．4D ．7 7. 设α、β是两个不同的平面，m l 、为两条不同的直线.命题p ：若平面βα//，α⊂l ，β⊂m ，则m l //；命题q ：α//l ，l m ⊥，β⊂m ，则αβ⊥，则下列命题为真命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．p ⌝或q D ．p 且q ⌝8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ） A ．34cm B ．36cmC ．3163cmD ．3203cm9. 函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 10．若点M 是ABC ∆所在平面内一点，且满足AM =34AB +14AC ，则ABM ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ） A ．3B ．1C ．1D ．1A ．B ．C ．D ．12. 已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞ B ．(-∞ C ．( D ．( 第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. 幂函数()f x x α=过点(2,4)，则定积分1()1f x dx -⎰＝ ．14.已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b，则tan α等于15. 变量,x y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+得最小值为6-，则k = .16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21()21x x f x -=+，且2(2)f a -=2014(2)f a -=2015S =__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分12分)已知向量(sin ,cos )a x x =, (sin ,sin )b x x =， (1,0)c =-. （Ⅰ）若3x π=，求向量，的夹角θ；（II ）求函数()f x a b =⋅的最大值．18．(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若5S =70，且2272,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和为n T ．19．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且BD=2，sin 8B =． （Ⅰ）求sin∠BAD 的值；（Ⅱ）求cos ADC ∠及AC 边的长．20．(本小题满分12分)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台．如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1=2． （Ⅰ）求证：B 1B∥平面D 1AC ；（Ⅱ）求平面B 1AD 1与平面CAD 1夹角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）当3b =-时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求b 的值.请考生从22、23、24题中任选一题作答． 选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知AD ，BE ，CF 分别是△ABC 三边的高，H 是垂心，AD 的延长线交△ABC 的外接圆于点G ．求证：DH=DG ．选修4-4：坐标系与参数方程23． 已知曲线C 1的参数方程为x a ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2ρ=． （Ⅰ）求曲线C 1、C 2的普通方程；（Ⅱ）若曲线C 1、C 2有公共点，求a 的取值范围．选修4-5：不等式选讲24． 已知定义在R 上的函数()12f x x x =-++的最小值为a ． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若m ，n 是正实数，且m n a +=，求12m n+的最小值．参考答案及评分标准 一、选择题1--5． BDCBD 6--10．ACCA D 11--12．AB 二、填空题 13..32 14. 12-. 15. π. 16. 4030 三、解答题： 17.解：（1）当3x π=时，31,2a ⎛⎫=⎪⎪⎝⎭， 所以，32cos 112||||a c a c θ-⋅===-⨯⋅，因而56πθ=；…………….6分（2）2()(sin sin cos)(1cos 2sin 2)f x x x x x x =+=-+，1)14x π=-≤所以函数()f x 的最大值是118．解：（Ⅰ）由题知⎩⎨⎧⋅==22227570a a a S ，即⎩⎨⎧++=+=+)21)(()6(7010511211d a d a d a d a ， ------2分解得4,61==d a 或0,141==d a （舍去）， -----------4分 所以数列的通项公式为24+=n a n ． -------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S n 422+= ， 则)211(21)2(211+-=+=n n n n S n -----9分则1111111111(1)232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++11113111(1)()22128412n n n n =+--=-+++++ - ---12分19.考点：正弦定理． 专题：解三角形． 分析：（1）由BD ，sinB ，AD 的值，利用正弦定理求出sin∠BAD 的值即可；（2）由sinB 的值求出cosB 的值，由sin∠BAD 的值求出cos∠BAD 的值，利用两角和与差的余弦函数公式求出cos∠ADC 的值，在三角形ACD 中，利用余弦定理即可求出AC 的长． 解答： 解：（1）在△ABD 中，BD=2，sinB=，AD=3，∴由正弦定理=，得sin∠BAD===；…………….5分（2）∵sinB=，∴cosB=， ∵sin∠BAD=，∴cos∠BAD=， ∴cos∠A DC=cos （∠B+∠BAD）=×﹣×=﹣，…………….9分∵D 为BC 中点，∴DC=BD=2，∴在△ACD 中，由余弦定理得：AC 2=AD 2+DC 2﹣2AD•DCcos∠ADC=9+4+3=16， ∴AC=4．…………….12分点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．20.考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法． 专题： 综合题；空间角．分析： （Ⅰ）建立空间直角坐标系，证明，可得B 1B∥D 1E ，利用线面平行的判定，可得B 1B∥平面D 1AC ；（II ）求得平面B 1AD 1、平面D 1AC 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面B 1AD 1与平面CAD 1夹角的余弦值．解答： （Ⅰ）证明：以D 为原点，以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，z 轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，如图，则有A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），A 1（1，0，2），B 1（1，1，2），C 1（0，1，2），D 1（0，0，2）．…（3分） 设AC∩BD=E，连接D 1E ，则有E （1，1，0），=（1，1，﹣2），所以B 1B∥D 1E ，∵B 1B ⊄平面D 1AC ，D 1E ⊂平面D 1AC ∴B 1B∥平面D 1AC ；…（6分） （II ）解：设为平面B 1AD 1的法向量，则，即，于是可取…（8分）同理可以求得平面D 1AC 的一个法向量，…（10分）∴cos＜＞==∴平面B 1AD 1与平面CAD 1夹角的余弦值为．…（12分）点评： 本题考查了线面平行的判定，考查二面角平面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．21.解：（1）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1()2f x ax b x '=++………………2分因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处切线与x 轴平行(1)120f a b '=++=………………3分当3b =-时，1a =,2231()x x f x x-+'=，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(2)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………6分 102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-,所以3b =………………8分 当0a >，2102x a=> 当112a<时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a 上单调递减，(1,e)上单调递增所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =-，2e b e -=-……………10分 当11e 2a≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a 上单调递增所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a <=<矛盾………………11分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾 综上所述，. 3b = 或2e b e -=- ………………12分请考生从22、23、24题中任选一题作答．选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点G．求证：DH=DG．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；直线与圆．分析：连结CG，利用同角的余角相等证出∠GAB=∠FCB=90°﹣∠ABC．根据同弧所对的圆周角相等，证出∠GCB=∠FCB，从而得出∠GCB=∠FCB，得△CHG是以HG为底边的等腰三角形，利用“三线合一”证出DH=DG．解答：解：连结CG，∵AD⊥BC，∴∠ABC+∠GAB=90°同理可得∠ABC+∠FCB=90°，从而得到∠GAB=∠FCB=90°﹣∠ABC又∵∠GAB与∠GCB同对弧BG，∴∠GAB=∠GCB，可得∠GCB=∠FCB，∵CD⊥GH，即CD是△GCH的高线∴△CHG是以HG为底边的等腰三角形，可得DH=DG．点评：本题给出圆内接三角形的垂心，求证线段相等．着重考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形的性质等知识，属于基础题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．（1）求曲线C1、C2的普通方程；（2）若曲线C1、C2有公共点，求a的取值范围．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由参数方程和普通方程的关系易得曲线C1、C2的普通方程分别为：x+y﹣a=0，x2+y2=4；（2）由直线和圆的位置关系可得圆心（0，0）到直线x+y﹣a=0的距离d≤2，由距离公式可得d的不等式，解不等式可得．解答：解：（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数），∴消去参数t可得x+y﹣a=0，又曲线C2的极坐标方程为ρ=2，∴=2，平方可得x2+y2=4，∴曲线C1、C2的普通方程分别为：x+y﹣a=0，x2+y2=4；（2）若曲线C1、C2有公共点，则圆心（0，0）到直线x+y﹣a=0的距离d≤2，∴≤2，解得﹣≤a≤∴a的取值范围为：[﹣，]点评：本题考查直线和圆的参数方程，涉及直线和圆的位置关系，属基础题．选修4-5：不等式选讲24．已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣1|+|x+2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若m，n是正实数，且m+n=a，求+的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；带绝对值的函数．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由|x﹣1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点﹣2的距离之和可知a=3；（2）+=+=1++≥1+2=1+．利用基本不等式．解答：解：（1）由|x﹣1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点﹣2的距离之和，如图：则x在[﹣2，1]上时，函数f（x）=|x﹣1|+|x+2|取得最小值a=3．即a=3．（2）由题意，m+n=3，则+=+=+++=1++≥1+2=1+．说明:字母有误,请老师们注意看（当且仅当=时，等号成立）．即+的最小值为1+．全优试卷点评：本题考查了绝对值函数的最值与基本不等式的应用，属于基础题．。
福建省泉州五校2015届高三数学毕业班“最后一卷”试题 理
正视图侧视图 俯视图 5343〔6题图〕2015年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷〞联考理科数学学科试卷本试卷分第1卷(选择题)和第2卷(非选择题)，第2卷第21题为选考题，其他题为必考题．总分为150分．考试时间120分钟． 第1卷〔选择题 共50分〕一、选择题〔本大题共10小题，每一小题5分，总分为50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1．设集合{}0232<++=x x x M , 集合1{|()4}2xN x =≤ ，如此MUN 为( )A ．}{2-≥x xB ．}{1->x xC ．}{1-<x x D ．}{2-≤x x2.执行如下列图的程序框图，输出的S 值为( ) A ．9B ．16C ．25D ．363．等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，如此数列}{n a 的公差为〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．44.“1cos 2α=〞是“3πα=〞的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.直线3231+=x y 与幂函数)0()(≠=m xx f m 的图像将于B A 、两点，且10=AB如此的值为〔 〕.A ．2-B ．21-C ．21D ．26. 假设某几何体的三视图(单位：cm )如下列图，如此该几何体的体积等于( )A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm 7． 如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =1BC =，以A 为圆心，1为半径画圆，交线段AB 于E ，在圆弧DE 上任取一点P ，如此直线AP 与线段BC 有公共点率为〔 〕A ．16B ．14 C ．13 D ．328.半圆的直径10AB = ，O 为圆心，C 为半圆上不同于B A ,的任意一点，假设P 为半径OC 上的动点，如此()PC PB PA ⋅+的最小值是〔 〕Ａ．225 Ｂ.25- Ｃ．25 Ｄ.225-9．设方程021log 2=⎪⎭⎫⎝⎛-xx 与041log 41=⎪⎭⎫ ⎝⎛-xx 的根分另为21,x x ，如此〔 〕A ．1021<<x xB ．121=x xC ．2121<<x xD ．221≥x x 10.函数,,假设,使,如此实数的取值范围是〔 〕A. B. C. D.第2卷〔非选择题 共100分〕二、填空题〔本大题共5小题，每一小题4分，共20分.〕 11.复数(1)Z i i =+(i 为虚数单位)的共轭复数是12.假设变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,如此2x y +的最大值是13．2+2x （）521()mx x -展开式中2x 项的系数490,如此实数的值为 .14.正项{}n na S 数列的前n 项和为，奇数项成公差为1的等差数列，当n 为偶数时点2122(,)321,2,{}2n n n na a y x a a a n S +=+==在直线上,又知则数列的前项和等于15.平面内两定点M 〔0，-2〕和N(0,2〕，动点P 〔x ，y 〕满足，动点P的轨迹为曲线E ，给出以下命题：①m ，使曲线E 过坐标原点； ②对m ，曲线E 与x 轴有三个交点；③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④假设P 、M 、N 三点不共线，如此△ PMN 周长的最小值为2＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，如此四边形GMHN 的面积不大于m 。
2014-2015年福建省泉州市五校联考高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
【选修 4-2】矩阵与变换 21． （7 分）二阶矩阵 M 对应的变换 T 将点（2，﹣2）与（﹣4，2）分别变换成 点（﹣2，﹣2）与（0，﹣4） ． ①求矩阵 M； ②设直线 l 在变换 T 作用下得到了直线 m：x﹣y=6，求 l 的方程．
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相 应位置． 11． （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ．
12． （4 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 30°， =t + ， = ﹣t ．若 • =0， 则正实数 t= ．
8． （5 分）如图过拋物线 y2=2px（p＞0）的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于 点 A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（ ）
A．y2= x
B．y2=3x
C．y2= x
D．y2=9x
9． （5 分）设 f 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下 表所述﹕ 方程式 f（x）﹣20=0 f（x）﹣10=0 f（x）=0 f（x）+10=0 f（x）+20=0 相异实根的个数 1 3 3 1 1 ） D．10＜a＜20
B．∀ x∈R，2x＞x2 D．a2+b2≥ ，a，b∈R ）
5． （5 分）函数 y=loga（|x|+1） （a＞1）的图象大致是（
A．
B．
C．
D．
6． （5 分） 科研人员在某种新型材料的研制中， 获得了一组实验数据 （如的规律，则其中最接近 的一个是（ x 1.99 3 ） 4 5.1 6.12
19． （13 分）设椭圆 E：
泉州市2015届市质检(第一次)数学(理)试卷解读
准考证号 姓名（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检查理 科 数 学第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数1i2ia ++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A ． 2 B ．－2 C ．12- D ．122．各项均为正数的等比数列{}n a 中，543,3,5a a a 成等差数列，且1(*)n n a a n +<∈N ，则公比q 的值等于A ．1B ．2C ．3D ．53．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．9log 10B ．lg11C ．2D ．3log 104．已知正实数y x ,满足4,1x y x y +≤⎧⎨-≤⎩，若实数k 满足1(1)y k x +=+，则A ．k 的最小值为1，k 的最大值为57B ．k 的最小值为12，k 的最大值为57C ．k 的最小值为12，k 的最大值为5 D ．k 的最小值为57，k 的最大值为5 5．若5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++，则12345a a a a a ++++的值等于A ．－31B ．0C ．1D ．32 6．设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是A ．存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥B ．存在唯一直线l ，使得l a ，且l b ⊥C ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且bα D ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且b α⊥7．已知函数2()21f x x ax =-+，其中a ∈R ，则“0a >”是“(2013)(2015)f f ->”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件.8．曲线e xy =与曲线5yx =-交点的纵坐标．．．在区间(,1)()m m m +∈Z 内，则实数m 的值为A ．1B ．2C ．3D ．49．已知直线0ax by +=（1,1a b >>）被圆222220x y x y +---=截得的弦长为ab 的最小值为A 1B 1C ．3-D ．3+10．平面向量,a b 中，a ≠||0，b ta =()R t ∈. 对于使命题“1t ∀>，||||c b c a -≥-”为真的平面向量c ，给出下列命题：①1,()()0t c a b a ∀>-⋅-≤； ②1,()()0t c a b a ∃>-⋅->； ③,()()0R t c a c b ∀∈-⋅-<； ④,()()0R t c a c b ∃∈-⋅-<. 则以上四个命题中的真命题是A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置. 11．设集合{}1,0,1,2M =-，{}21,xN y y x ==+∈R ，则MN =_____________．12．11xe dx -=⎰_____________．13．如图，长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD AA ==设长方体的截面四边形11ABC D 的内切圆为O ，圆O 的正视图是椭圆'O ，则椭圆'O 的离心率等于______________.14．单位圆O 的内接四边形ABCD 中，2AC =，60BAD ∠=，则四边形ABCD 的面积的取值范围为_____________．15．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(,)x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值. 假如统计结果是94m =，那么可以估计π≈_____________．（用分数表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分)某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调查中，随机发放了120份问卷. 对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下22⨯列联表：（Ⅰ）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷. 若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过p ，那么，根据临界值表，最精确的p 值应为多少？请说明理由.附：独立性检验统计量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++；独立性检验临界值表：17．(本小题满分13分)已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）有一个零点023x =-，且其图象过点7(,1)3A .记函数()f x 的最小正周期为T .（Ⅰ）若'0()0<f x ，试求T 的最大值及T 取最大值时相应的函数解析式；（Ⅱ）若将所有满足题设条件的ω值按从小到大的顺序排列，构成数列{}n ω，试求数列{}n ω的前n 项和n S .18．(本小题满分13分)将一块边长为10的正方形纸片ABCD 剪去四个全等的等腰三角形'SEE ∆，'SFF ∆，'SGG ∆，'SHH ∆，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的工艺品包装盒S EFGH -，其中,,,A B C D 重合于点O ，E 与'E 重合，F 与'F 重合，G 与'G 重合，H 与'H 重合（如图所示）． (Ⅰ)求证：平面SEG ⊥平面SFH ；(Ⅱ)试求原平面图形中AE 的长，使得二面角E SH F --的余弦值恰为23； （Ⅲ）指出二面角E SH F --的余弦值的取值范围（不必说明理由）．19．（本小题满分13分）已知：动圆M 与圆22:(1)1F x y -+=内切，且与直线:2l x =-相切，动圆圆心M 的轨迹为曲线Γ． (Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)过曲线Γ上的点0(,2)P x 引斜率分别为12,k k 的两条直线12,l l ,直线12,l l 与曲线Γ的异于点P 的另一个交点分别为,A B . 若124k k =，试探究：直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，请求出该定点的坐标；若不恒过定点，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数()e x f x =，记p ：R ∃∈x ，e 1<+xkx .（Ⅰ）求函数()f x 的图象在点()()0,0P f 处的切线的方程； （Ⅱ）若p 为真，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若[x ]表示不大于x 的最大整数，试证明不等式*11ln()N +≤∈n n n n ，并求1111[]101112100S =++++的值．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1143-⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，1102⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．(Ⅰ)若点()2,4P -依次经过矩阵,A B 所对应的变换后得到点P '，求点P '的坐标； (Ⅱ)若存在矩阵M 满足=AM B ，求矩阵M ．（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθ=θ．直线l 过点()1,2-且倾斜角为34π．(Ⅰ)在直角坐标系下，求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(Ⅱ) 已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知,,a b c +∈R，a +=222a b c ++的最小值为m ． (Ⅰ) 求实数m ；(Ⅱ)若关于x 的不等式3x m -≥和20x px q ++≥的解集相同，求p q +的值．2015届泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．C 7．B 8．C 9．D 10．A 部分试题考查意图说明：第10题 特殊化地取a =（1，0），则b =（t,0）.设c =(,)x y ，由|c b ||c a |-≥-，得2222()(1)x t y x y -+≥-+，化简得1(1)2t x t +≤>. 因为(1,)t ∈+∞，所以1(1,)2t +∈+∞，所以命题“1t ∀>，||||c b c a -≥-”等价于“1x ≤”， 所以向量c =(,)x y 满足1x ≤.因为()()(x 1)(1)c a b a t -⋅-=--,所以①真，则②假，故排除B 、C.法一：若③真，则④真，A 与D 都正确，与选择题“有且只有一个选项正确”矛盾，故③必假，排除D ，选A. 法二：因为2()()(x 1)(1)c a c b t y -⋅-=--+，y,x,t 是独立变量，所以④真③假，故选A. 本题用向量及运算的几何意义求解，将更为简捷！二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分． 11．{}2 12．2(e 1)- 13．214． 15．5715.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查超几何分布、离散型随机变量的分布列、数学期望、统计案例等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想等. 满分13分. 解：（Ⅰ）因为9份女生问卷是用分层抽样方法取得的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘. …………2分 因为ξ表示9份问卷中能做到光盘的问卷份数，所以ξ有0,1,2,3的可能取值.随机变量ξ的分布列为：4649155(0)12642C P C ξ====， 316349602010(1)1264221C C P C =====ξ，22634945155(2)1264214C C P C =====ξ， 13634961(3)12621C C P C ====ξ. …………5分随机变量ξ的分布列可列表如下：所以5105140123422114213E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ. …………7分（期望占2分） （Ⅱ）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2100(45153010)100 3.0355********⋅-⋅==≈⋅⋅⋅.…10分 因为1002.7063.03 3.84033<≈<， 所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即最精确的p 值应为0.1. ………13分17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、等差数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等.满分13分. 解：（Ⅰ）函数()f x 有一个零点023x =-，即其图象过点2(,0)3B -. ……1分 因为函数()sin()f x x ωϕ=+的最大值为1，且7(,1)3A 在其图象上，所以7(,1)3A 是其图象的最高点. ……2分 因为'0()0<f x ， 所以023x =-在函数()f x 的一个单调递减区间内， ……3分 所以T 的最大值为472[()]4333--=. ……5分 由4T =，得24,2ππωω==. ……6分因为函数()f x 的图象过点A ，所以7sin()16+=πϕ，故72()62Z +=+∈k k ππϕπ，22()3Z =-∈k k πϕπ，又2πϕ<，所以1,3==k πϕ， ……8分故()sin()23f x x ππ=+. …………9分 （Ⅱ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的图象过点7(,1)3A ，得7sin()13+=ωϕ，1172()32Z +=+∈k k ωπϕπ…①. 由函数()sin()f x x ωϕ=+有一个零点023x =-， 得2sin()03ωϕ-+=，222()3Z k k ωϕπ-+=∈…②. ……10分 由①-②得，12123(2)()2Z =-+∈、k k k k πωπ,.因为12,k k 可取任意整数，所以122k k -可取任意整数， 故有3()2Z =+∈k k πωπ.又因为0ω>，所以0k ≥，从而()36*N =-∈n n n ππω. 因为数列{}n ω是首项为6π，公差为3π的等差数列， ……11分 所以其前n 项的和2(1)6236-=⋅+⋅=n n n S n n πππ. ……13分18．本小题主要考查抛物线的定义、标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解：(Ⅰ) 折后,,,A B C D 重合于一点O ，∴拼接成底面EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，∴底面EFGH 是正方形，故EG FH ⊥. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 在原平面图形中，等腰三角形'SEE ∆ 'SGG ∆，∴SE SG =，∴EG SO ⊥. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又,SO FH ⊂平面SFH ，SO FH O =，∴EG ⊥平面SFH . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又∵EG ⊂平面SEG ，∴平面SEG ⊥平面SFH . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知EG FH ⊥,EG SO ⊥，并可同理得到HF SO ⊥，故以O 为原点，分别以,,OF OG OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.设原平面图形中，=AE t ,则底面正方形EFGH 的对角线2=EG t ，∴(,0,0)-H t ，(0,,0)-E t ，(0,,0)G t ，(,,0)=-HE t t ，(0,,0)=OG t .在原平面图形中，可求得SE在在∆Rt SOE中，可求得==SO ，∴S，(,0,=-SH t . 设平面SEH 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n SH tx n HE tx ty化简，得=⎧⎪⎨=⎪⎩y xz x，令x(10(5)=-n t .．．．．．．．．．．．．．．11分 ∵EG ⊥平面SFH∴OG 是平面SFH 的一个法向量， 设二面角E SH F --的大小为θ， 则10(5cos ⋅==⋅n OG n OGθ. ．．．．．．．．．．．．．．．13分∵二面角E SH F --的余弦值恰为23， 23=，解得52=t 或5=-t （舍去）.（Ⅲ）二面角E SH F --的余弦值的取值范围为(2.19．本小题主要考查直线和方程、抛物线的定义、直线与圆、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分13分. 解：(Ⅰ)解法一：因为动圆M 与圆F 内切，且与直线:2l x =-相切，所以圆心M 必在直线:2l x =-的右侧. ………1分 设点M 到直线2x =-的距离为d ，则1,||1=+=-d MF MF d , ………2分 所以MF 等于点M 到直线1x =-的距离， ………3分 所以点M 的轨迹是以F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线， …………4分 故动圆圆心M 的轨迹方程为24y x =． …………5分解法二： (Ⅰ)设点(,)M x y .因为动圆M 与圆F 内切，且与直线:2l x =-相切，所以(,)M x y 到直线的距离1=+d MF ,且圆心M 必在直线:2l x =-的右侧.………2分因为点M 到直线:2l x =-的距离(2)2=--=+d x x ， …………3分 12MF x +=+，即1MF x =+，1x =+，化简得24y x =，故动圆圆心M 的轨迹方程为24y x =． …………5分 (Ⅱ)因为点0(,2)P x 在抛物线24y x =上，所以2024x =，解得01x =，故(1,2)P . …6分 解法一：若直线AB 的斜率不存在，则12,k k 异号，与124k k =矛盾， ………7分 故设直线AB 的方程为y kx b =+，并设11(,)A x y ，22(,)B x y , 则1122,y kx b y kx b =+=+，12121222,11y y k k x x --==--， 由124k k =，得121212122()44[()1]y y y y x x x x -++=-++…………①， 将1122,y kx b y kx b =+=+代入①，得：221212(4)(24)()40k x x kb k x x b b -+-+++-=.…………② …………9分联立方程组2,4y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去y ，得222(24)0k x kb x b +-+=，所以212122242,kb b x x x x k k-+==， …………10分 代入②，得(2)(2)0b k b ++-=. ………11分 因为,A B 均异于点(1,2)P ，且直线与抛物线最多两个交点，所以(1,2)P 不在直线AB 上，2+≠k b ， ………12分所以2b =-，此时直线AB 的方程为2y kx =-，由直线AB 的方程2y kx =-可知直线AB 恒过定点(0,2)-. ………13分解法二：因为左右开口的抛物线上两点连线的斜率必不为零， ………7分 所以设直线AB 的方程为x my n =+，并设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 则1122,x my n x my n =+=+，12121222,11y y k k x x --==--. 由124k k =，得121212122()44[()1]y y y y x x x x -++=-++…………①, 将1122,x my n x my n =+=+代入①，得221212(41)(442)()480m y y mn m y y n n -+-+++-=………②, …9分联立方程组2,4x my n y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my n --=，所以12124,4y y m y y n +==-， …………10分 代入②，得224(41)4(42)480n m m mn m n n -+-++-=－，化简，得(2)(21)0m n m n -+-=. ………11分 因为,A B 均异于点(1,2)P ，且直线与抛物线最多两个交点，所以(1,2)P 不在直线AB 上，21+≠m n ， ………12分 所以20m n -=,此时直线AB 的方程可化为(2)x m y =+.由直线AB 的方程(2)x m y =+可知直线AB 恒过定点(0,2)-. ………13分 解法三：直线PA 的方程为12(1)y k x -=-，直线PB 的方程为22(1)y k x -=-，……7分联立方程组122(1),4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去x ，得212(1)4y y k -=-， 整理，得214840k y y k -+-=,所以111842k y k -⋅=，即11142k y k -=，代入12(1)y k x -=-，得21121(2)k x k -=，故211211(2)42(,)k k A k k --， …………9分 同理，得222222(2)42(,)k k B k k --，因为124k k =，所以214k k =，故211(2)(,2)4k B k --， ……10分 所以直线AB 的斜率2121122221121214411(2)44y y y y k k x x y y k y y --====-+--，……11分 直线AB 的方程为2111214(2)(2)()(2)4k k y k x k ---=--，即12142(2)k y x k =--， …………12分所以直线AB 恒过定点(0,2)-. …………13分解法四：设221122(,2),(,2)A t t B t t ， …………7分 则1121122211t k t t -==-+，2222222211t k t t -==-+， …………8分 12121212224111k k t t t t t t =⋅=+++++， 又124k k =，所以1212441t t t t =+++，整理，得12120t t t t ++=，…………10分 直线AB 的斜率122k t t =+， …………11分 所以直线AB 的方程为2111222()y t x t t t -=-+， 即1212()22t t y t t x +-=，12()(2)2t t y x ++=， ……12分所以直线AB 过定点(0,2)-. …………13分解法五：因为124k k =且12,k k 具有任意性，不妨取121,4k k ==，此时直线PA 的方程为1y x =+，直线PB 的方程为42y x =-.联立方程组214y x y x=+⎧⎨=⎩，解得()1,2A ，此时点A 与点P 重合（虽不合是题意，但属极限位置情况，估且作为一种情况）；联立方程组2424y x y x =-⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或141x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以1,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 从而得到121,4k k ==时直线AB 的方程为42y x =-. …………①再取121,4k k =-=-，此时直线PA 的方程为3y x =-+，直线PB 的方程为46y x =-+.联立方程组234y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或96x y =⎧⎨=-⎩，所以()9,6A -； 联立方程组2464y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或943x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以9,34⎛⎫- ⎪⎝⎭B . 从而得到121,4k k =-=-时，直线AB 的方程为49180x y ++=.……②………7分联立①②，解得交点坐标为()0,2-.特殊化地猜想：直线AB 恒过定点()0,2-. …………8分以下给出具体的证明：若直线AB 的斜率不存在，则12,k k 异号，与124k k =矛盾， …………9分故设直线AB 的方程为2y mx =-，联立方程组224y mx y x=-⎧⎨=⎩，消去y ，得()224440m x m x -++=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则121222444,m x x x x m m ++==， …………11分 代入直线方程，可得:()121244y y m x x m+=+-=， ()()()21212121282224y y mx mx m x x m x x m =--=-++=-. 12121222,22AP BP y y k k k k x x --====--, 因为()()12121212121212228816442422.4444411111--+-+-++--=====+---++-+-+y y y y y y m m m k k m x x x x x x m m m ， 满足题意要求，所以直线AB 恒过()0,2-.……13分20．本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、有限与无限思想、特殊与一般思想等．满分14分.解：（Ⅰ）因为()e x f x '=， ……1分所以()01f '=，即函数的图象在点()()0,0P f 处的切线的斜率为1. ……2分又因为切线过切点()0,1P ，所以函数()f x 的图象在点()0,1P 处的切线方程为1y x =+. ……3分（Ⅱ）令()h x =e 1x kx --，则()e x h x k '=-． ①当0≤k 时，恒有()e 0'=->x h x k ，所以()h x 在(,)-∞+∞递增，又因为()00=h ，所以当0<x ，都有()0<h x ，即命题p 为真. ……4分②当0k >时，令()0h x '=，得ln x k =；令()0h x '<，得ln x k <；令()0h x '>，得ln x k >.所以()h x 在(,ln )k -∞递减，在(ln ,)k +∞递增，故当ln x k =时，()h x 取得最小值()ln ln 1h k k k k =--． ……5分令()ln 1=--m x x x x ,则()ln '=-m x x .因为()01'≤⇔≥m x x ，()001'≥⇔<≤m x x ，所以()m x 在区间[1,)+∞单调递减，在区间(0,1]单调递增，当0k >且1k ≠时，()ln ()(1)0h k m k m =<=，存在ln x k =，使得e 1<+x kx ，命题p 为真；……7分当1=k 时，()h x 的最小值()ln ln 10=--=h k k k k ，所以()0()R ≥∈h x x ，命题p 为假． ……8分综合①②知，若p 为真，实数k 的取值范围为{|,1}R ∈≠k k k . ……9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，e 1xx ≥+对R ∈x 恒成立，所以，当10+>x 时，有()ln 1x x +≤． 令*1()N =∈x n n ，即证得，*11ln ()N +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭n n n n . ……10分 由*11ln ()N +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭n n n n得： 1111101112100++++111213101ln ln ln ln 101112100≥++++101ln 10=. ……11分 在()ln 1(1)+≤>-x x x 中，令*1()N =-∈x n n 得，1ln 1n n n⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭， ……12分 所以1111101112100++++101112100ln ln ln ln 9101199≤++++100ln 9=.……13分 因此1011111100ln ln 101011121009≤++++≤， 又因为1011002ln3,2ln 3109<<<<． 所以111123101112100<++++<，则1111[]2101112100S =++++=．……14分21．（1）选修4—2:矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分7分 解：(Ⅰ) 解法一:因为112643420--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11614022040-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以点P '的坐标为()14,40. …………4分解法二:111132024386--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA ， …………2分 ()232214486440-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA ， 所以点P '的坐标为()14,40. …………4分(Ⅱ) 解法一:设a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M ，则有11114302a b c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1,1,430,43 2.a cb d ac bd -+=⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ ……6分解得3,5,4,6.a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 所以3546⎛⎫= ⎪⎝⎭M . …………7分 解法二:因为11det 143-==--A ，所以13141-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ， ……6分 又因为1-=M AB ，所以311135410246⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M . ……7分21（2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分7分.解：(Ⅰ)当0≠ρ时，方程2cos sin ρθ=θ可化为22cos sin ρθ=ρθ，从而得到方程2y x =； ……1分当0=ρ时，因为sin 0=θ有解，所以曲线C 过极点，极点对应的直角坐标(0,0)也满足方程2y x =. ……2分综上可知，曲线C 的直角坐标方程为2y x =. ………3分直线l 的参数方程为31cos ,432sin 4x t y t ⎧=-+π⎪⎪⎨⎪=+π⎪⎩，即1,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.……4分 (Ⅱ) 解法一：将1222x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2y x =，整理，得220t -=， …………5分 因为280∆=+>，所以直线l 与曲线C 相交.设交点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12122t t t t +==-， ……6分所以12AB t t =-=…………7分解法二：由倾斜角知直线l 的斜率为-1，所以其对应的方程为：2(1)y x -=-+，即1y x =-+. …5分 联立21y x y x=-+⎧⎨=⎩，整理得210x x +-=. ……6分 因为140∆=+>，所以直线l 与曲线C 相交.设交点()()1122,,,A x y B x y ，则12121,1x x x x +=-=-，所以21AB x =-==………7分21（3）选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等.满分7分.解:(Ⅰ)由柯西不等式，可得222222()[1](a b c a ++++≥++，整理，得2222a b c ++≥， ……2分当且仅当1a ==133a b c ===时，等号成立，…3分 所以222a b c ++的最小值2m =. …………4分(Ⅱ)不等式3x m -≥即32x -≥，由32x ->或32x -<-，解得5x ≥或1x ≤.(也可观察数轴得到解集) ……5分所以不等式20x px q ++≥的解集为{|15}x x x ≤≥或，则5x =和1x =是关于x 的方程20x px q ++=的两根，由韦达定理，得6p =-， 故6p =-． …………7分读书的好处1、行万里路，读万卷书。
福建省泉州市2015届普通高中毕业班质量检查理科数学试卷
.在
等差数列且 an< an+1(n ∈ N ) ,则公
*
q 的值等于
A. 1 B.2 C. 3 3 执行如图所示程序框图的算法, 输出的结果 A. log 9 10 C. 2 B. lg 11 D. log 3 10
D.5
开始 i=3,s=1
,共 20
请将答案填在答题 的
11. 设集合 M= 12.
∈R
,则 M∩N =
∫e
−1
1
| x|
dx =
圆
13. 长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中,AB =2,AD =AA1= 2 .设长方体的截面四边形 ABC1D1 的内
圆 O,圆 O 的 视图是椭圆 O1 则椭圆 O1 的离心率等于 14.単位圆的 O 内接四边形 ABCD 中,AC= 2, ∠BAD= 60阵,则四边形 ABCD 的面 的 值范围 15 关于圆周率 π 数学展 出现过许多有创意的求法,如著 的浦丰实验和查理斯实验 启 发 们 可 通过设计 面的实验来估计 π 的值 请 l20 学, 人随机写 一个都小于 l 的 实数对(x,y); 再统计 数能 l 构 钝角 角形 边的数对(x,y) 的个数 m; 最 再根据统计数 m 来 估计 π 的值. 假如统计结果是 m= 94, 那 可 估计 π ≈ (用 数表示)
1 现已按是否能做到 盘 份
层从 45 份女生问卷中抽 了 9 份问卷 若从
并记 中能做到 盘的问卷的份数
ξ
试求随机
ξ的
列和数学期望
2 如果认 良好 盘 惯 的值 多少？请说明理由 附 独立性检验统计 K2=
性别有关犯错误的概率 超过 P 那 根据临界值表最精确的 P
福建省泉州市2015届高三上学期期末质量检查数学理含答案(DOC)
泉州市2015届普通中学高中毕业班单科质量检查 理科数学 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第II 卷第21题为选考题。
本试卷共6页 满分150分 考试时间 120分钟注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上。
2. 考生作答时，将答案答在答题卷上。
请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
在草稿纸、试题卷上答题无效。
3. 做选考题时，考生应先填写所选答试题的题号。
4. 保持答题卷面清洁，不折叠、不破损。
考试结束后，将本试卷和答题卷一并交回第I 卷（选择题 共50分）一、本大题共10小题，每小题 5分 ，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则()R A C B ⋂= （ ）A. [1,0)-B. [1,0]-C. [0,1]D. (,1][2,)-∞⋃+∞2. 设向量(1,2)a = ，(2,1)b =-，则下列结论中不正确的是( )A ． a b a b -=+ B. ()()a b a b -⊥+ C. a b = D. //a b3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( )A. 6n =B. 6n <C. 6n ≤D. 8n ≤4. 若用,m n 表示两条不同的直线，用α表示一个平面，则下列命题正确的是 （ ）A. 若//,m n n α⊂，则//m αB. 若//,,m n αα⊂则//m nC. 若,,m n n α⊥⊂ 则m α⊥D. 若,,m n αα⊥⊂ 则m n ⊥5. 已知直线1:(1)20l m x y -++=，2:8(1)(1)0l x m y m +++-= ，则“3m =”是“12//l l ”的 （ ）A ． 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件Ｃ． 充分必要条件 Ｄ． 既不充分也不必要条件６.已知函数(1)f x -是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则函数()f x 的图象可能是（ ）７. 已知,m n 是满足1m n +=，且使14m n +取得最小值的正实数．若曲线x m y a n -=+ (01)a a >≠且恒过定点M ，则点Ｍ的坐标为 （ ）Ａ．1533（，） Ｂ． 4655（，） Ｃ． 1955（，） Ｄ． 1233（，） ８．在平面直角坐标系中，以点-13C （，）为圆心的圆与双曲线22221x y a bΓ-=： (0,0)a b >>的一条渐近线相切，与另一条渐近线相交于,A B 两点．若劣弧AB 所对的圆心角为120︒，则该双曲线的离心率e 等于（ ）Ａ． 3或82 Ｂ．2或82 Ｃ．2或829Ｄ．9 ９．在梯形ＡＢＣＤ中，//AB CD ． 如果分别以下列各选项所给的内容作为已知条件，那么其中不能确定BD 长度的选项是（ ）Ａ．4,45,30AC ABD ACD =∠=︒∠=︒Ｂ．2,23,45,30AB CD ABD ACD ==∠=︒∠=︒Ｃ．2,23,4,30AB CD AC ACD ===∠=︒Ｄ．23,45,30CD ABD ACD =∠=︒∠=︒１０．已知集合{(,)4},P x y x y =+≤，22Q {(,)()()2,,},x y x a y b a b R =-+-≤∈若Q P ⊆，则23a b +的最大值为 （ ）Ａ． ４ Ｂ． ６ Ｃ． ８ Ｄ． １２第ＩＩ卷（非选择题共１００分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置. 11. 已知i 为虚数单位，则复数421i i +的化简结果为________12. 已知3sin()25πθ+=，3(,2)2θππ∈ 则sin 2θ=___________13. 一个四棱柱的三视图如图所示，则其表面积为____________14. 设()21,f x x =+1()(),f x f x =n 1()(())n f x f f x +=，*n N ∈若()n f x 的图象经过点(,1)n a ，则n a =_____________________15. 已知函数222,1()11,1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若对任意,x R ∈()10f x x k x----≤恒成立，则实数k 的取值范围是__________________三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项与公差都为1的等差数列.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 设2n an n b a =+，试求数列{}n b 的前n 项和n T17. （本小题满分13分）已知函数()sin()3cos ,3f x x x π=-+x R ∈（1） 求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若3()2f A =且32a b =试求角B 的大小.18. (本小题满分13分)三棱柱111ABC A B C -中，1CC ABC ⊥平面，D 是AC 的中点，1A D 与1AC 交于点,E F 在线段1AC 上，且12AF FC =，11AA =，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒（1） 求证：11;BC AAC C ⊥平面（2） 求证：11//;B F A BD 平面（3） 求直线BC 与平面1A BD 所成的角的正弦值.19.(本小题满分13分)已知：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，短半轴长为3。
福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期联考期末试卷数学(理) Word版含答案
俯视图泉州五中、莆田一中、漳州一中2015届高三上学期期末考试 理科数学试卷(全卷满分150分，考试时间120分钟.)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.)1、设集合A ={x |0<x <2}，集合2{|log 0}B x x =>，则A B ⋂等于( )A.{|2}x x <B.{|0}x x >C.{|02}x x <<D.{|12}x x << 2、已知函数()sin(2)()4f x x x R π=+∈的最小正周期为π，为了得到函数()sin 2g x x =的图象，只要将()y f x =的图象( )A.向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度3、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A.D.4、已知向量a = (m 2，4)，b =(1，1)则“m= -2”是“a //b ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =,则下列结论正确的是 ( )A.b a c <<B.a b c <<C.c b a <<D.b c a <<6、已知数列{}n a 满足1n n a a n ++=，若11,a =则84a a -=( )A. —1B. 1C. 2D. 47、若实数a ,b 满足a 2+b 2≤1，则关于x 的方程x 2-2x +a +b =0无．实数根的概率为 ( )A.14 B.34 C.3π24π+ D.π24π- 8、双曲线错误！未找到引用源。
的渐近线与抛物线错误！未找到引用源。
相切，则该双曲线的离心率等于 ( ) A.错误！未找到引用源。
2015级高三摸底考试数学理科答案及评分意见
数学(理科)参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷 (选 择 题 ,共 ６０ 分 )
一 、选 择 题 :(每 小 题 ５ 分 ,共 ６０ 分 )
１．B;
２．A;
３．C;
７．B;
８．C;
９．D;
４．C; １０．; １２．B．
第 Ⅱ 卷 (非 选 择 题 ,共 ９０ 分 )
������ ������ ������ ������１１ 分 ������ ������ ������ ������１２ 分
２１．解 :(Ⅰ )f′(x)＝１－ax－２１nx(x＞０)．
由f′(x)＝０,得x＝e１－a ．
������ ������ ������ ������１ 分
当０＜x＜e１－a 时,f′(x)＞０．此时函数f(x)单调递增;
{ { a＝３
a＝ －２
∴
,或
．
b＝－９ b＝１
经检验符合题意．
(Ⅱ )∵a＞０,由 (Ⅰ ),得 f(x)＝x３ ＋３x２ －９x＋９． ∴f′(x)＝３x２＋６x－９． ∴f(－２)＝３１,f′(－２)＝ －９． ∴ 所 求 切 线 方 程 为 ９x＋y－１３＝０．
１８．解 :(Ⅰ )由 题 意 ,可 得 x������＝７,y������＝３．
５
５
������xiyi
i＝１
＝１１０,i���＝５���１xi２＝２５５,b∧ ＝i���＝������１５x���xiyi２i－－５５x���x������２���y������＝
１ ２
．
i＝１
∵a∧ ＝y������－b∧x,∴a∧ ＝
－
１ ２
．
∴
所
福建省各地2015届高三上最新数学理试题分类汇编：三角函数
福建省各地2015届高三上最新数学理试题分类汇编三角函数一、选择题1、（福州市2015届高三上学期教学质量检查）已知πtan()34+=α，则tan α的值是（ ）．A ．2B ．12C ．1-D ．3-2、（福州市2015届高三上学期教学质量检查）ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若cos 2cos A bB a ==，则角C 的大小为（ ）． A ．60︒B ． 75︒C ．90︒D ．120︒3、（宁德市2015届高三上学期期末单科质检）已知函数2()23sin()cos 12cos f x x x x =π-⋅-+，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是A ．()f x 的一条对称轴是2x π=B ．()f x 在[,]36ππ-上单调递增C ．()f x 是最小正周期为π的奇函数D ．将函数2sin 2y x =的图象左移6π个单位得到函数()f x 的图象 4、（泉州市2015届高三上学期单科质检）在梯形ＡＢＣＤ中，//AB CD ． 如果分别以下列各选项所给的内容作为已知条件，那么其中不能确定BD 长度的选项是（ ） Ａ．4,45,30AC ABD ACD =∠=︒∠=︒Ｂ．2,23,45,30AB CD ABD ACD ==∠=︒∠=︒ Ｃ．2,23,4,30AB CD AC ACD ===∠=︒ Ｄ．23,45,30CD ABD ACD =∠=︒∠=︒5、（三明市B 片区高中联盟校2015届高三上学期期末）函数R x x x f ∈-=),32sin(2)(π的最小正周期为A ．2πB ．πC ．π2D ．π46、（福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考）将函数x x y sin cos 3-=的图像向右平移n个单位后所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是（ ）A ．6πB ．2πC ．67πD ．3π7、（漳州市八校2015届高三第二次联考）已知53)2sin(=-απ，则)2cos(απ-=（ ）A ．725 B ．725- C ．925 D ．925- 8、（德化一中2015届高三第三次月考）已知函数2sin()cos()22y x x ππ=+-与直线12y =相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M ，，则113M M 等于 【★★】．A ．π6B ．π7C ．π12D ．π139、（龙海二中2015届高三上学期期末）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像( ) A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位C.向左平移12π个单位D.向右平移12π个单位10、（莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期联考）已知函数()sin(2)()4f x x x R π=+∈的最小正周期为π，为了得到函数()sin 2g x x =的图象，只要将()y f x =的图象( )A.向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度二、填空题1、（龙岩市一级达标校2015届高三上学期期末）在C ∆AB 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos a b c B +A =，则sin sin C y =A +的最大值为2、（泉州市2015届高三上学期单科质检）已知3sin()25πθ+=，3(,2)2θππ∈ 则sin 2θ=_________ 3、（厦门市2015届高三上学期质检检）已知)4tan(,cos 2sin πααα+=则=4、（福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考）= 600tan5、（德化一中2015届高三第三次月考）已知α是第二象限角，且3sin 5α=，则1cos21cos2αα-=+★★★★.6、（福州市第八中学2015届高三第四次质检）已知,31)3cos(-=+πα则=-)6sin(πα_______三、解答题1、（福州市2015届高三上学期教学质量检查）已知函数()23sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P 为函数()f x 图象的最高点，Q为函数()f x 的图象与x 轴的正半轴的交点．（Ⅰ）试判断OPQ ∆的形状，并说明理由．（Ⅱ）若将OPQ ∆绕原点O 按逆时针方向旋转角02ααπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，顶点,P Q ''恰好同时落在曲线ky x=()0x >上（如图所示），求实数k 的值．2、（龙岩市一级达标校2015届高三上学期期末）某同学用“五点法”画函数()()sin f x x ωϕ=A +在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：()I 求1x ，2x ，3x 的值及函数()f x 的表达式；()II 将函数()f x 的图象向左平移π个单位，可得到函数()g x 的图象，求函数()()y f x g x =⋅在区间50,3π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值．3、（宁德市2015届高三上学期期末单科质检）某供货商拟从码头A 发货至其对岸l 的两个商场B ，C 处，通常货物先由A 处船运至BC 之间的中转站D ，再利用车辆转运．如图，码头A 与两商场B ，C 的距离相等，两商场间的距离为20千米，且2BAC π∠=．若一批货物从码头A 至D 处的运费为100元/千米，这批货到D 后需分别发车2辆、4辆转运至B 、C 处，每辆汽车运费为25元/千米．设,ADB α∠=该批货总运费为S 元．（Ⅰ）写出S 关于α的函数关系式，并指出α的取值范围； （Ⅱ）当α为何值时，总运费S 最小？并求出S 的最小值．xyP'Q'QPO4、（泉州市2015届高三上学期单科质检）已知函数()sin()3cos ,3f x x x π=-+x R ∈（1） 求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若3()2f A =且32a b =试求角B 的大小.5、（厦门市2015届高三上学期质检检）已知函数)20,0)(sin()(πφωϕω<<>+=x x f 的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0，且相邻两条对称轴的距离为2π. （1）求函数)(x f 的解析式及其单调递增区间；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若21cos )2(=-A Af ，且1=bc ，3=+c b ，求a 的值.6、（福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考）已知函数2()sin cos 3cos 333x x xf x =+－32 （1）求()f x 的最小正周期及其对称中心；（2）如果三角形ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac ，且边b 所对角为x ，试求x 的范围及此时函数(3)f x 的值域。
福建省泉州五中2015届高三5月模拟考试数学(理) (Word版含答案)
2015年泉州五中高三数学模拟考试理 科 数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式 s=222121()()()n x x x x x x n⎡⎤-+-++-⎣⎦… V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数512ii-的共轭复数是 A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i + D ．2i -2．“0,c 0a b d >>>>”是“0ac bd >>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知数列{}n a 为递增等比数列，其前n 项和为n S ．若11a =，11225(2)n n n a a a n +-+=≥，则5S = A ．3116 B ．3132C ．31D ．15 4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径为2的圆，则这个几何体的表面积是A ．16πB ．15πC ．14πD ．12π5．已知,x y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，2z x y =+．若z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值为A ．54-B ．211C ．14D ．126．执行如图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数x 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4７．若非零向量,a b 满足(4)a b a -⊥，()b a b -⊥，则a 与b 的夹角是 A ．6πB ．3πC ．2πD ．56π 8．已知()cos()(0)6f x x πωω=+>的图像与直线1y =的两个交点的最短距离是π，要得到()y f x =的图像，只需要把sin y x ω=的图像A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位9．已知向量2a b ==，a 与b 的夹角为3π．若向量m 满足1m a b --=，则m 的最大值是 A ．231- B ．231+C ．4D ．621++10．已知数列{}n a 是正项等差数列，若12323123nn a a a na c n++++=+++，则数列{}n c 也为等差数列．已知数列{}n b 是正项等比数列，类比上述结论可得 A ．若{}n d 满足12323123nn b b b nb d n ++++=+++，则{}n d 也是等比数列B ．若{}n d 满足12323123nn b b b nb d n⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，则{}n d 也是等比数列C ．若{}n d 满足112123[(2)(3)()]nn n d b b b nb +++=⋅⋅⋅⋅，则{}n d 也是等比数列D ．若{}n d 满足12312123[]n nn n d b b b b +++=⋅⋅⋅⋅，则{}n d 也是等比数列第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．二项式81()x x-的展开式中常数项等于___________． 12．某单位为了了解用电量y 度与气温x C 之间的关系，随机统计了某四天的用电量与当天气温，列表如下：由表中数据得到回归直线方程2y x a ∧=-+．据此预测当气温为4C -时，用电量为______（单位：度）．13．已知函数2()f x x mx n =-+-，,m n 是区间[0,3]内任意两个实数，则事件(1)0f <发生的概率为___________．14．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，若ABD ∆是等边三角形，且43AC =，则ADC ∆的面积的最大值为___________． 15．若数列{}n a 满足“对任意正整数n ，212n n n a a a +++≤恒成立”，则称数列{}n a 为“差非增数列”． 给出下列数列*{},N n a n ∈： ①121nn a n =++，②21n a n =+，③21n a n =+，④ln 1n n a n =+，⑤12n a n n=+． 气温（x C ）18 13 10 -1 用电量（度） 24343864其中是“差非增数列”的有________（写出所有满足条件的数列的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分）已知向量(3,sin ),(1,cos ),(0,)2m n πθθθ==∈，m 与n 共线．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）求函数()sin sin()f x x x θ=+-在区间上5[0,]6π的最大值和最小值．17.（本小题满分13分）某学习兴趣小组开展“学生语文成绩与英语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和英语成绩进行统计，按优秀和不优秀进行分类．记集合A={语文成绩优秀的学生}，B={英语成绩优秀的学生}．如果用()card M 表示有限集合M 中元素的个数．已知()60card AB =,()140U card AC B =,()100U card C A B =,其中U 表示800名学生组成的全集．（Ⅰ）是否有99．9%的把握认为“该校学生的语文成绩与英语成绩优秀与否有关系” ； （Ⅱ）将上述调查所得的频率视为概率，从该校高二年级的学生成绩中，有放回地随机抽取3次，记所抽取的成绩中，语文英语两科成绩中至少有一科优秀的人数为x ，求x 的分布列和数学期望．附： 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++参考数据：20()P K k ≥ 0．0250．010 0．005 0．001 0k5．0246．6357．87910．82818．（本小题满分13分）如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于,A B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面，DC ∥EB ，1,4DC EB AB ===．（Ⅰ）求证：DE ACD ⊥平面；（Ⅱ）当三棱锥C-ADE 体积最大时，求平面AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值．19.（本小题满分13分）设椭圆C ：22221x y a b+=的离心率12e =，点M 在椭圆C 上，点M 到椭圆C 的两个焦点的距离之和是4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆1C 的方程为()222210x y m n m n+=>>，椭圆2C 的方程为()22220,1x y m nλλλ+=>≠且，则称椭圆2C 是椭圆1C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆2C 是椭圆C 的3倍相似椭圆．若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆2C 于M,N 两点，O 为坐标原点，试研究当切线l 变化时OMN ∆面积的变化情况，并给予证明．20.（本小题满分14分）已知函数11()ln ,()(ln ),a f x x x a g x x x a R x+=--=+-∈． （Ⅰ）若()0f x ≥在定义域内恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）当a 取（Ⅰ）中的最大值时，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）证明不等式()1112ln 21(21)(22)n nn k k k n N ++=>∈+++∑．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵10a M b ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中,a b R ∈．若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(1,4)P '--． （Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若21a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求10.M a（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为cos a ρθ=．直线l 的参数方程为222()22x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，曲线C 与直线l 一个交点的横坐标为37-．（Ⅰ）求a 的值及曲线C 的参数方程； （Ⅱ）求曲线C 与直线l 相交所成的弦的弦长．（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式20(,)x ax b a b R -+>∈的解集为{|21}x x x ><或． （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()12f x a x b x =-+-的最大值，以及取得最大值时x 的值．2015年泉州五中高三数学模拟考试参考答案1~10 BACAC BBABD11. 70 12. 68 13. 7914. 43 15. ③④ 16. 解：（Ⅰ）//,3cos sin 0,tan 3m n θθθ∴-==，又∵0,,23ππθθ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭…5分（Ⅱ）()1333sin sin sin sin cos sin cos 32222f x x x x x x x x π⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭313sin cos 3sin 226x x x π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…9分 ∵520,,,6663x ππππθ⎡⎤⎡⎤∈∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()13sin 1,3262x f x π⎛⎫-≤-≤∴-≤≤ ⎪⎝⎭当0x =时，()min 32f x =-，当23x π=时，()max 3f x = …13分17.解：（Ⅰ）由题意得列联表：语文优秀 语文不优秀 总计 英语优秀60 100 160 英语不优秀140 500 640 总计 200 600 800 因为K 2＝800(60×500－100×140)2160×640×200×600≈16.667＞10.828，所以有99.9％的把握认为“该校学生的语文成绩与英语成绩优秀与否有关系”． …6分（Ⅱ）由已知数据，语文、英语两科成绩至少一科为优秀的频率是 38．则X ～B (3， 3 8)，P (X ＝k)＝C k 8( 3 8)k ( 58)8－k，k ＝0，1，2，3． X 的分布列为X 0 1 2 3p 125512 225512 135512 27512E (X )＝3× 3 8＝ 98．…13分18. 解：（Ⅰ）∵DC ⊥面ABC ，∴DC ⊥BC ，又∵AB 是O 的直径，∴AC ⊥BC AC ∩DC =C ，,AC DC ⊂面ACD ，∴BC ⊥平面ACD又∵DC //EB ，DC =E B ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∴DE //BC∴DE ⊥平面ACD …5分（Ⅱ）22216AC BC AB +==2211111413326623C ADE E ACDACD AC BC V V S DE AC BC AC BC --∆+==⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅≤⋅= 当且仅当22AC BC ==时取等号，∴当三棱锥C-ADE 体积最大时，22AC BC == 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系，则()()()()22,0,0,0,0,1,0,22,0,0.22,1A D B E()()22,0,1,0,22,0AD DE =-=，设平面ADE 的一个法向量()1,,n x y z =，则11220220n A D x z n D E y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =得()11,0,22n = 设平面ABE 的一个法向量()2,,n x y z =，11222200n AB x y n BE z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =得()21,1,0n =，12121212cos ,632n n n n n n ⋅<>===⋅⋅ ∴当三棱锥C-ADE 体积最大时，平面AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值为26…13分19. 解：（Ⅰ）依题意，222124,2,,1,32a a e cb ac ===∴==-= ∴椭圆C 方程为：22143x y += …3分 （Ⅱ）依题意，椭圆C 2方程为：22223,143129x y x y +=+=即 当切线l 的斜率存在时，设l 的方程为：y kx m =+由221129y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484360k x kmx m +++-=，由0∆=得2243m k =+ 设()()1122,,,M x y N x y ，则21212228436,3434km m x x x x k k --+==++ 2222212243(129)4611134k m MN k x x k k m k+-=+⋅-=+⋅=+⋅+又点O 到直线l 的距离21m d k =+，∴1262OMN S MN d ∆=⋅⋅= 当切线l 的斜率不存在时，l 的方程为2,26x MN =±=，26OMN S ∆= 综上，当切线l 变化时，OMN ∆面积为定值26 …13分 20. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域是()0,+∞，()111x f x x x-'=-= 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增 ∴()()min 11f x f a ==-依题意得，10,1a a -≥≤，故a 的取值范围(],1-∞ …4分 （Ⅱ）当1a =时，()()21ln g x x x x=+-，()g x 的定义域是()0,+∞ ()22112ln 112ln x x x g x x x x x --'=+-⋅=，令()()()22ln 1,2ln 1h x x x x h x x x '=--=--由（Ⅰ）知，()h x '的最小值是()()()10,0,h h x h x ''=∴≥递增，又()10h =()0,1x ∈时，()0h x '<，()()0,g x g x '<递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()()0,g x g x '>递增，∴()()min 12g x g == …9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，1x >时，()()()()2221111,ln 2,ln ,ln g x g x x x x x x x x x ⎛⎫>+->->-> ⎪⎝⎭， 令()2212+1k kx k N *+=>∈， 则()()222122122ln ,ln 2+12+221212122k k k k k k k kk k++++->>++++即()()2211222222ln ln ln 2121212122n nn k k k =+++∴>++++++++∑()211222122(21)2ln ln 21212121n n n n-++⎛⎫+=⋅= ⎪++++⎝⎭ …14分 21.（1）(Ⅰ)由10a b ⎛⎫⎪⎝⎭12⎛⎫ ⎪-⎝⎭14-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，得121,24,a b -=-⎧⎨-=-⎩所以1,2.a b =⎧⎨=⎩……3分 (Ⅱ) 1102M ⎛⎫= ⎪⎝⎭．令()1102f λλλ--=-()()120λλ=--=，得11λ=，22λ=． 属于11λ=的一个特征向量110e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，属于22λ=的一个特征向量211e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a e e =+．()101012M a Me e =+10101122e e λλ=+101110252011024⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……7分（2）(Ⅰ)曲线C 的一般方程为()22416x y -+=，曲线C 的参数方程为44cos ,4sin ,x x αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．……3分(Ⅱ)圆C 的圆心()4,6，圆心到直线距离2d =，则所求弦长为()22242214-=．7分（3）(Ⅰ)依题意，方程20x ax b -+=的两个为1和2，所以12,12,a b +=⎧⎨⨯=⎩所以3,2.a b =⎧⎨=⎩……3分(Ⅱ)()3122f x x x =-+-()12x ≤≤． 由于柯西不等式得，()()223122f x x x =-+-()()22321213x x ≤+-+-=，所以()13f x ≤．当且仅当3122x x-=-，即2213x =时，取得等号． 所以当2213x =时，()f x 取得最大值13．……7分。
2015年泉州市高中毕业班教学质量检查试卷数学(理科)(电子稿)
泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检查理科数学参考公式： 样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、若复数1i2ia ++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A 、2 B 、－2 C 、12- D 、122、各项均为正数的等比数列{}n a 中，321,3,5a a a 成等差数列，且1(*)n n a a n +<∈N ，则公比q 的值等于（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、53、执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A 、9log 10 B 、lg11 C 、2 D 、3log 104、已知非负实数y x ,满足4,1x y x y +≤⎧⎨-≤⎩，若实数k 满足1(1)y k x +=+，则（ ）A 、k 的最小值为1，k 的最大值为57B 、k 的最小值为12，k 的最大值为57C 、k 的最小值为12，k 的最大值为5D 、k 的最小值为57，k 的最大值为55、若5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++，则12345a a a a a ++++的值等于（ ）A 、－31B 、0C 、1D 、326、设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（ ）A 、存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥B 、存在唯一直线l ，使得l ∥a ，且l b ⊥C 、存在唯一平面α，使得a α⊂，且b ∥αD 、存在唯一平面α，使得a α⊂，且b α⊥ 7、已知函数2()21f x x ax =-+，其中a ∈R ，则“0a >”是“(2013)(2015)f f ->”的（ ） A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件. 8、曲线e x y=与直线5y x =-交点的纵坐标．．．在区间(,1)()m m m +∈Z 内，则实数m 的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、49、已知直线0ax by +=（1,1a b >>）被圆222220x y x y +---=截得的弦长为 则ab 的最小值为（ ） A1 B1 C、3- D、3+10、平面向量,a b 中，a ≠||0，b ta =()R t ∈. 对于使命题“1t ∀>，||||->-c b c a ”为真的非零向量c ，给出下列命题： ①1,()()0t c a b a ∀>-⋅-≤； ②1,()()0t c a b a ∃>-⋅->；③,()()0R t c a c b ∀∈-⋅-<； ④,()()0t c a c b ∃∈-⋅-≤R . 则以上四个命题中的真命题是（ ） A 、①④ B 、②③ C 、①②④ D 、①③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置. 11、设集合{}1,0,1,2M =-，{}21,xN y y x ==+∈R ，则MN =_____________．12、11xe dx -=⎰_____________．13、如图，长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD AA =设长方体的截面四边形11ABC D 的内切圆为O ，圆O 的正视图是 椭圆'O ，则椭圆'O 的离心率等于______________.14、单位圆O 的内接四边形ABCD 中，2AC =，60BAD ∠=， 则四边形ABCD 的面积的取值范围为_____________．15、关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(,)x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值. 假如统计结果是34=m ，那么可以估计π≈_____________．（用分数表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、（13分）某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调查中，随机发放了120份问卷. 对收回的（Ⅰ）4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过p ，那么，根据临界值表，最精确的p 值应为多少？请说明理由.附：独立性检验统计量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++；17、（13分）已知函数()sin()=+f x x ωϕ（0ω>，02<<φπ）有一个零点023x =-，且其图象过点7(,1)3A .记函数()f x 的最小正周期为T .（Ⅰ）若'0()0<f x ，试求T 的最大值及T 取最大值时相应的函数解析式；（Ⅱ）若将所有满足题设条件的ω值按从小到大的顺序排列，构成数列{}n ω，试求数列{}n ω的前n 项和n S .18、（13分）将一块边长为10的正方形纸片ABCD 剪去四个全等的等腰三角形'SEE ∆，'SFF ∆，'SGG ∆， 'SHH ∆，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的工艺品包装盒S EFGH -，其中,,,A B C D 重合于点O ，E 与'E 重合，F 与'F 重合，G 与'G 重合，H 与'H 重合（如图所示）． (Ⅰ)求证：平面SEG ⊥平面SFH ；(Ⅱ)试求原平面图形中AE 的长，使得二面角E SH F --的余弦值恰为23；（Ⅲ）指出二面角E SH F --的余弦值的取值范围（不必说明理由）．19、（13分）已知：动圆M 与圆22:(1)1F x y -+=内切，且与直线:2l x =-相切，动圆圆心M 的轨迹为曲线Γ．(Ⅰ)求曲线Γ的方程； (Ⅱ)过曲线Γ上的点0(,2)P x 引斜率分别为12,k k 的两条直线12,l l ,直线12,l l 与曲线Γ的异于点P 的另一个交点分别为,A B . 若124k k =，试探究：直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，请求出该定点的坐标；若不恒过定点，请说明理由．20、（14分）已知函数()e xf x =，记p ：R ∃∈x ，e 1<+x kx .（Ⅰ）求函数()f x 的图象在点()()0,0P f 处的切线的方程； （Ⅱ）若p 为真，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若[x ]表示不大于x 的最大整数，试证明不等式*11ln ()N +≤∈n n n n， 并求1111[]101112100S =++++的值．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1143-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，1102⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．(Ⅰ)若点()2,4P -依次经过矩阵,A B 所对应的变换后得到点P '，求点P '的坐标； (Ⅱ)若存在矩阵M 满足=AM B ，求矩阵M ．（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθ=θ．直线l 过点()1,2-且倾斜角为34π． (Ⅰ)在直角坐标系下，求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； (Ⅱ) 已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知,,a b c +∈R ，a =222a b c ++的最小值为m ．(Ⅰ) 求实数m ； (Ⅱ)若关于x 的不等式3x m -≥和20x px q ++≥的解集相同，求p 的值．2015届泉州市普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，或受篇幅限制、或考虑问题还不够周全，遇多种解法时，一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型的解法.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．C 7．B 8．C 9．D 10．A 部分试题考查意图说明：第7题 考查二次函数的图象与性质和充要条件，考查抽象概括能力和推理论证能力，考查数形结合思想和函数与方程思想. 分析2013-和2015与对称轴的距离的大小，得“1>a ”是“(2013)(2015)f f->”的充要条件.第8题 可转化为曲线ln =yx 与直线5y x =-交点的横坐标问题，体现对反函数的考查要求；也可结合图形，通过建立右侧数表，考察数表中x 的大小变化时对应的y 值范围内得到答案. 本题考查反函数概念，指对数函数的图象，考查推理论证能力与运算求解能力，考查函数与方程思想和数形结合思想.第9题 由圆心到直线的距离1==d ，得1()++a b a b a b 再求ab 的最小值.本题考查直线与圆的位置关系，点线距离公式以及基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查数形结合思想与函数与方程思想.第10题 方法一：先从命题入手，①②互为否定关系，必然一真一假，排除C ；③④有包含关系，③真④必真，若③真，只能选D ，若③假，只能只能选A ，故只需探讨③的真假：特殊化地取a =（1，0），则b =（t,0）.设c =(,)x y ，由|c b ||c a |-≥-，得2222()(1)x t y x y -+≥-+，化简得1(1)2t x t +≤>.因为(1,)t ∈+∞，所以1(1,)2t +∈+∞，所以命题“1t ∀>，||||c b c a -≥-”等价于“1x ≤”，所以向量c =(,)x y 满足1x ≤.因为2()()(x 1)(1)c a c b t y -⋅-=--+，且,,y x t 是独立变量，所以③假故选A. 方法二：仿法一得向量c =(,)x y 满足1x ≤.因为()()(x 1)(c a b a t -⋅-=--,所以①真，则②假，故排除B 、C. 若③真，则④真，A 与D 都正确，与选择题“有且只有一个选项正确”矛盾，故③必假，排除D ，只能选A.二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．11．{}2 12．2(e 1)- 1314． 15．4715.部分试题考查意图说明：第14题 令,∠=∠=DAC BAC αβ，则060+=αβ，且2co s =AD α，2sin =CD α，2cos =AB β，2sin =BC β，面积sin 2sin 2=+S αβ3sin 2cos 222=+αα030)=+α，00030230150<+<α，所以2<≤S 本题意在考查三角恒等变形与三角函数性质（值域），考查运算求解能力与推理论证能力，考查数形结合思想. 考生若从图形的极端化极限位置考察猜想范围的边界值而得解，则可体现对抽象概括能力，对特殊与一般思想的考查、有限与无限思想的考查,考生的这种思维灵活性应得到充分的肯定.第15题 本题综合考查线性规划、随机模拟方法、几何概型等知识，体现对数据处理能力的考查，体现对以频率估计概率的统计思想的考查，体现对必然与或然思想的考查。
福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中联考2015届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中联考2015届高三上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.） 1．设集A={x|0＜x＜2}，集合B={x|log2x＞0}，则A∩B 等于( ) A．{x|x＜2} B．{x|x＞0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|1＜x＜2} 考点：交集及其运算． 专题：计算题． 分析：运用对数函数的单调性化简集合B，然后直接进行交集运算． 解答：解：由A={x|0＜x＜2}， B={x|log2x＞0}={x|x＞1}． 所以，A∩B={x|0＜x＜2}∩{x|x＞1}={x|1＜x＜2}． 故选D． 点评：本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的单调性，是基础题． 2．已知函数f（x）=sin（2x+）（x∈R）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=sin2x 的图象，只要将y=f（x）的图象( ) A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的求值． 分析：利用已知条件化简函数的解析式，然后利用左加右减的原则，确定平移的方向与单位． 解答：解：因为函数f（x）=sin（2x+）， 函数的解析式化为：f（x）=sin， 为了得到函数g（x）=sin2x的图象，只要将函数f（x）的图象向右平移个单位长度即可． 故选B． 点评：本题考查三角函数的图象的变换，考查计算能力． 3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A．8 B．C．D．16 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：几何体是三棱锥，结合直观图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算． 解答：解：由三视图知：几何体是三棱锥，如图： 其中SA⊥平面ABC，SA=2，BC=4，AD⊥BC，AD=2， ∴几何体的体积V=××4×2×2=． 故选：C． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量是解题的关键． 4．已知向量=（m2，4），=（1，1），则“m=﹣2”是“∥”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：规律型． 分析：根据向量平行的坐标公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 解答：解：∵向量=（m2，4），=（1，1）， ∴若∥， 则m2×1﹣4×1=0， 即m2=4，解得m=2或m=﹣2． ∴“m=﹣2”是“∥”的充分而不必要条件． 故选：A． 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量平行的条件求出m是解决本题的关键，比较基础． 5．若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是( ) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a 考点：不等式比较大小． 专题：不等式的解法及应用． 分析：根据 a=＞1，b=＜1，c==＜=a，从而得出结论． 解答：解：∵a=log23=＞1，b=log32=＜1，c=log46==＜=， 故有 b＜c＜a， 故选D． 点评：本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题． 6．已知数列{an}满足an+1+an=n，若a1=1，则a8﹣a4=( ) A．﹣1 B．1 C．2 D．4 考点：数列递推式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：由数列递推式得到an+an﹣1=n﹣1（n≥2），和原递推式作差后得到an+1﹣an﹣1=1，由已知求出a2，则依次可求得a4，a6，a8，则答案可求． 解答：解：由an+1+an=n，得 an+an﹣1=n﹣1 （n≥2）， 两式作差得：an+1﹣an﹣1=1 （n≥2）， 由a1=1，且an+1+an=n， 得a2=﹣a1+1=0． 则a4=a2+1=1， a6=a4+1=2， a8=a6+1=1+2=3， ∴a8﹣a4=3﹣1=2． 故选：C． 点评：本题考查了数列递推式，解答的关键是由已知递推式得到n取n﹣1时的递推式，作差后得到数列的项之间的关系，属中档题． 7．若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2﹣2x+a+b=0无实数根的概率为( ) A．B．C．D． 考点：几何概型． 专题：概率与统计． 分析：根据题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，可得所有的点（a，b）在单位圆及其内部，如图所示．若关于x的方程x2﹣2x+a+b=0无实数根，则点（a，b）满足a+b ＞1，即在单位圆内且直线a+b=1的上方．由此结合几何概型计算公式，用图中弓形的面积除以单位圆的面积，即可得到所求的概率． 解答：解：∵实数a，b满足a2+b2≤1， ∴以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系， 可得所有的点（a，b）在以O为圆心，半径为1的圆及其内部， 即单位圆及其内部，如图所示 若关于x的方程x2﹣2x+a+b=0无实数根， 则满足△=4﹣4（a+b）＜0，解之得a+b＞1 符合上式的点（a，b）在圆内且在直线a+b=1的上方， 其面积为S1=π×12﹣×1×1=又∵单位圆的面积为S=π×12=π ∴关于x的方程x2﹣2x+a+b=0无实数根的概率为P===故选：D 点评：本题给出a、b满足的关系式，求关于x的方程无实数根的概率，着重考查了弓形面积计算公式、一元二次方程根的判别式和几何概型计算公式等知识，属于基础题． 8．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率等于( ) A．B．C．D． 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：把双曲线的一条渐近线方程代入抛物线，整理得到一个一元二次方程，由渐近线与抛物线只有一个公共点，由此利用根的判别式为0，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式能求出结果． 解答：解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x， 把y=x代入抛物线抛物线y=x2+1， 得bx2﹣ax+b=0， ∵渐近线与抛物线y=x2+1相切， ∴△=a2﹣4b2=0， ∴a=2b， ∴e====． 故选A． 点评：本题主要考查双曲线的离心率的求解，考查双曲线的渐近线方程，是基础题，解题应注意相切的性质的灵活运用． 9．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=0，且在上是增函数，A、B是锐角三角形的两个内角，则( ) A．f（sinA）＜f（cosB）B．f（sinA）＞f（cosB） C．f（sinA）＞f（sinB） D．f （cosA）＞f（cosB） 考点：奇偶性与单调性的综合． 专题：函数的性质及应用． 分析：由f（x+1）+f（x）=0得f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行判断． 解答：解：由f（x+1）+f（x）=0得f（x+1）=﹣f（x）即f（x+2）=f（x），所以函数的周期为2， 因为f（x）在上是增函数，所以f（x）在上为增函数， 因为f（x）为偶函数，所以f（x）在上为单调减函数． 因为在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，所以A+B＞，所以＞A＞﹣B＞0， 所以sinA＞sin（﹣B）=cosB， 因为f（x）在上为单调减函数． 所以f（sinA）＜f（cosB）， 故选：A． 点评：本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多． 10．如图：已知方程为+=1的椭圆，A，B为顶点，过右焦点的弦MN的长度为y，中心O到弦MN的距离为d，点M从右顶点A开始按逆时针方向在椭圆上移动到B停止，当0°≤∠MFA≤90°时，记x=d，当90°＜∠MFA≤180°，记x=2﹣d，函数y=f（x）图象是( ) A．B．C．D． 考点：椭圆的简单性质；函数的图象． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：通过对称性只需考虑x∈ 考点：余弦定理． 专题：计算题；解三角形． 分析：运用余弦定理，可得bccosA=（c2+b2﹣a2），代入数据计算即可得到． 解答：解：由余弦定理可得 bccosA=bc?=（c2+b2﹣a2）=×（36+16﹣9）=． 故答案为：． 点评：本题考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题． 13．从6名候选人中选派出3人参加A、B、C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则不同的选派方法有100种． 考点：排列、组合及简单计数问题． 专题：计算题． 分析：根据题意，分类讨论：若选的3人中选了甲，选的3人中不选甲两种情况分别求解即可 解答：解：若选的3人中选了甲：共有=40种选法 若选的3人中不选甲：共有=60种 根据分类计数原理可知，共有40+60=100 故答案为：100 点评：本题考查排列、组合的综合运用，本题解题的关键是注意优先分析特殊的元素，同时需要区分排列与组合的意义． 14．正偶数列有一个有趣的现象： ①2+4=6； ②8+10+12=14+16； ③18+20+22+24=26+28+30，…按照这种规律，则2014在第31个等式中． 考点：进行简单的演绎推理；等差数列的通项公式． 专题：计算题；推理和证明． 分析：确定规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，即可得出结论． 解答：解：①2+4=6； ②8+10+12=14+16； ③18+20+22+24=26+28+30，… 其规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…， 所以第n个等式的首项为2=2n2， 当n=31时，等式的首项为1921， 所以2014在第31个等式中 故答案为：31． 点评：本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是确定各等式的首项． 15．定义一个对应法则g：O′（m，n）→O（，n）（m≥0），现有点A′（1，﹣3）与B′（9，5），点M′是线段A′B′上一动点，按定义的对应法则g：M′→M，当点M′在线段A′B ′上从点的A′开始运动到点B′结束时，则点M′的对应点M所形成的轨迹与x轴围成的面积为4． 考点：轨迹方程；定积分． 专题：导数的综合应用． 分析：先求M的轨迹，要根据点M与点M′的关系用代入法点M的轨迹方程，此方法特点是先设出点M'的坐标为（x，y），用之表示出点P的坐标，代入点M的坐标满足的方程，得到点M'的横纵坐标之间的关系，即轨迹为M，再由定积分其面积． 解答：解：A′B′的斜率k=， 直线l为A′B′：y+3=x﹣1，则y=x+4，且1≤x≤9 A′B′上的一点（x，y）通过法则变（x′，y′）， 则y′=y，x′=， 故x=x′2，y′=x′2﹣4，1≤x′≤3 所求面积S=∫（4﹣x2）dx+（x2﹣4）dx=（4x﹣）|+（﹣4x）|=4 点评：本题考查代入法求轨迹方程，根据对应法则求出对应关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数的最小正周期为π． （1）求ω值及f（x）的单调递增区间； （2）在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C所对边，若a=1，，，求B的大小． 考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用． 专题：三角函数的图像与性质；解三角形． 分析：（1）先利用二倍角、辅助角公式化简函数，利用最小正周期为π，求出ω值，进而可求f（x）的单调递增区间； （2）先利用解析式求出A，再利用正弦定理求出B． 解答：解：（1）f（x）==sin（2ωx+）． ∵f（x）的最小正周期为π，∴ω=1， ∴f（x）=sin（2x+）． 由≤2x+，可得， ∴f（x）的单调递增区间为（k∈Z）； （2）∵f（）=，∴sin（A+）=． ∵a＜b，∴， ∵a=1，，∴由正弦定理可得=， ∵a＜b，∴B=或． 点评：本题考查三角函数的化简，考查正弦定理的运用，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 17．如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF． （Ⅰ）求证：AC⊥BE； （Ⅱ）求面FBE和面DBE所形成的锐二面角的余弦值． 考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质． 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（Ⅰ）通过DE⊥平面ABCD，证明DE⊥AC，推出AC⊥平面BDE，然后证明 AC⊥BE． （Ⅱ）以DA，DC，DE为坐标轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=3，求出相关点的坐标，平面BEF的法向量，平面BDE的法向量，通过向量的数量积求解面FBE和面DBE所形成的锐二面角的余弦值． 解答：（Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD， 所以DE⊥AC．… 因为ABCD是正方形， 所以AC⊥BD， 所以AC⊥平面BDE，… 从而 AC⊥BE．… （Ⅱ）解：因为DA，DC，DE两两垂直， 所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．… 设AD=3，可知DE=3，AF=1．… 则D（0，0，0），A（3，0，0），F（3，0，1），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0）， 所以，，… 设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即， 令z=3，则=（2，1，3）．… 因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，， 所以cos==… 所以面FBE和面DBE所形成的锐二面角的余弦值为．… 点评：本题考查直线与平面垂直的判断与性质，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 18．抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品A1、A2、A3，假定A1正面向上的概率为，A2正面向上的概率为，A3正面向上的概率为t（0＜t＜1），把这三枚金属制品各抛掷一次，设ξ表示正面向上的枚数． （1）求ξ的分布列及数学期望Eξ（用t表示）； （2）令an=（2n﹣1）cos（Eξ）（n∈N*），求数列{an}的前n项和． 考点：离散型随机变量的期望与方差；数列的求和． 专题：概率与统计． 分析：（1）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望Eξ．（2）由=（2n﹣1）cosnπ=（﹣1）n?（2n﹣1），利用分类讨论思想能求出Sn． 解答：解：（1）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3， P（ξ=0）==， P（ξ=1）==， P（ξ=2）==， P（ξ=3）==， ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P Eξ=+3×=． （2）=（2n﹣1）cosnπ=（﹣1）n?（2n﹣1）， 当n为偶数时，Sn=++…+=， 当n为奇数时，Sn=++…++=， ∴Sn=（﹣1）n?n． 点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型之一． 19．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3． （1）求椭圆的方程； （2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由|PQ|=3，可得=3，又a2﹣b2=1，由此可求椭圆方程； （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论． 解答：解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1… 由|PQ|=3，可得=3，… 又a2﹣b2=1，解得a=2，b=，… 故椭圆方程为=1… （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R， 则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R 因此最大，R就最大，… 由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1， 由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，… 得，， 则=，… 令t=，则t≥1， 则，… 令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣， 当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在，求函数φ（x）的最小值； （Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R 作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由． 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定． 专题：计算题；证明题；压轴题． 分析：（I）根据a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，知道h′（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围； （II）先设t=ex，将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数φ（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可； （III）先假设存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若不出现矛盾，则存在． 解答：解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx． ∵h（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴对x∈（0，+∞）恒成立， ∴，∵x＞0，则． ∴b的取值范围是． （II）设t=ex，则函数化为y=t2+bt，t∈． ∵． ∴当，即时，函数y在上为增函数， 当t=1时，ymin=b+1；当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，； ，即b≤﹣4时，函数y在上是减函数， 当t=2时，ymin=4+2b． 综上所述： （III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2． 则点M、N的横坐标为． C1在点M处的切线斜率为． C2在点N处的切线斜率为． 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2． 即．则=， ∴设，则，（1） 令，则， ∵u＞1，∴r′（u）＞0， 所以r（u）在 故r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！ 点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性、两条直线平行的判定等基础知识，属于中档题． 本题设有21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.【选修4-2：矩阵与变换】 21．选修4﹣2：矩阵与变换 若二阶矩阵M满足． （Ⅰ）求二阶矩阵M； （Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x2+8xy+6y2=1上，求所得曲线的方程． 考点：矩阵变换的性质． 专题：选作题；矩阵和变换． 分析：（Ⅰ）先求矩阵的逆矩阵，即可求二阶矩阵M； （Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换为，根据矩阵变换求出坐标之间的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可． 解答：解：（Ⅰ）记矩阵，故|A|=﹣2，故．…2分 由已知得．…3分 （Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换为，得， 解得，…5分 又3x2+8xy+6y2=1，故有3（﹣x'+2y'）2+8（﹣x'+2y'）（x'﹣y'）+6（x'﹣y'）2=1， 化简得x'2+2y'2=1． 故所得曲线的方程为x2+2y2=1．…7分 点评：本题主要考查来了逆矩阵与矩阵变换的性质，熟练掌握矩阵的运算法则是解答的关键，属于基础题． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为． （1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系； （2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值． 考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程． 专题：综合题． 分析：（1）由曲线C的参数方程为，知曲线C的普通方程是，由点P的极坐标为，知点P 的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），由此能判断点P与直线l的位置关系． （2）由Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°），知到直线l：x﹣y+4=0的距离=，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直线l的距离的最小值． 解答：解：（1）∵曲线C的参数方程为， ∴曲线C的普通方程是， ∵点P的极坐标为， ∴点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4）， 把（0，4）代入直线l：x﹣y+4=0， 得0﹣4+4=0，成立， 故点P在直线l上． （2）∵Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°） ∴到直线l：x﹣y+4=0的距离：=，（0°≤α＜360°） ∴． 点评：本题考查椭圆的参数方程和点到直线距离公式的应用，解题时要认真审题，注意参数方程与普通方程的互化，注意三角函数的合理运用． 【选修4-5：不等式选讲】 23．已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2． （Ⅰ）求整数m的值； （Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值． 考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（I）由条件可得，求得3≤m≤5．根据不等式仅有一个整数解2，可得整数m的值． （2）根据a4+b4+c4=1，利用柯西不等式求得（a2+b2+c2）2≤3，从而求得a2+b2+c2的最大值． 解答：解：（I）由|2x﹣m|≤1，得．∵不等式的整数解为2，∴?3≤m≤5． 又不等式仅有一个整数解2，∴m=4． （2）由（1）知，m=4，故a4+b4+c4=1， 由柯西不等式可知；（a2+b2+c2）2≤（12+12+12） 所以（a2+b2+c2）2≤3，即， 当且仅当时取等号，最大值为． 点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题． 。
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福建省泉州五校2015届高三上学期摸底联考数学理试卷第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+=则A B 为（ ）A ． {0,1}-B ．{1,1}-C ．{1}-D ．{0}2．如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ） A ．－2B ．1C ．2D ．1或 －23. 在ABC ∆中，若322,60==︒=AC AB B ，,则ABC ∆的面积( ) A 、3 B 、32 C 、332 D 、334 4．下列命题中，真命题是（ ） A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．12x x +≥D ．222(),,2a b a b a b R ++≥∈ 5. 函数)1(),1|(|log >+=a x y a 的大致图像是（ ）A B C Ｄ6．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了右边一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 （ ）A.22y x =-B. 21(1)2y x =- C.2log y x = D. 1()2xy =7．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l nB ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l mD ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 1218.01＝3，则拋物线的方程为( ) A ．=2y x 23B =2y x 3 C ．=2y x 29D ．=2y x 99. 设f 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕关于f 的极小值α﹐试问下列哪一个选项是正确的（ ）A.2010α-<<-B.100α-<<C.010α<<D.1020α<<﹒10. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O 为中心﹐其中x ﹐y 分别为原点O 到两个顶点的向量﹒若将原点O 到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a x b y +的形式﹐则a b +的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
11．某三棱锥的三视图如图所示， 该三棱锥的 体积是 .12. 已知两个单位向量a →，b →的夹角为30°，c t a b →→→=+，d a t b →→→=-.若c 0d →→∙=，则正实数t =____________CB 1B13. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是____________14、函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+2=0上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 15、2008年高考福建省理科数学第11题是：“双曲线2222x y a b-=1（0a b >>0，）的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且12||2||PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为：A ．（1，3）；B ．（1，3]；C ．（3，+∞）；D ．[3，+∞）”其正确选项是B 。
若将其中的条件“12||2||PF PF =”更换为“12||||PF k PF =，0k >且1k ≠”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。
）16.（本小题满分13分）已知向量)sin ,cos 2(x x m =，)cos 32,(cos x x n = ()x ∈R ，设函数1)(-∙=n m x f ．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为A B C ，，，若2)(=A f ，4π=B ，边3=AB ，求边BC ．17.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，133,7a a ==，其前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 12b =，且2232,b S =． (Ⅰ)求n a 与n b ；（Ⅱ）证明4311121 n s s s +++. 18.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C C AA 11是边长为4的正方形，平面⊥ABC 平面C C AA 11，5,3==BC AB .（1）求证：⊥1AA 平面ABC ； （2）求二面角111B BC A --的余弦值；并求1BC BD的值。
19.（本小题满分13分）设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0），短轴长为4，离心率为22，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由。
20.（本小题满分14分）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．(Ⅰ)讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)若函数)(x f 在1=x 处取得极值，且对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围； (Ⅲ)当20e y x <<<且e x ≠时，试比较xy x y ln 1ln 1--与的大小． 21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换T 将点(2，－2)与(－4,2)分别变换成点(－2，－2)与(0，－4)． ①求矩阵M ；②设直线l 在变换T 作用下得到了直线m ：x －y ＝6，求l 的方程．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线1C 的方程为sin()06ρθπ-+，曲线2C 的参数方程为cos ,sin .x y θθ=⎧⎨=⎩（Ⅰ） 将1C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点Q 为2C 上的动点，P 为1C 上的动点，求PQ 的最小值． （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝| x +3|－|x －2|. ①求不等式f (x )≥3的解集；②若f (x ) ≥ |a －4|有解，求a 的取值范围．2014年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中高中毕业班摸底统一考试答题卡B 1二、填空题（本大题共5小题，共20分。
）11、 12、 13、 14、 15、三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。
） 16. 17.18.19.20.21.2014年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中高中毕业班摸底统一考试答案第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+=则AB 为（ ）A ． {0,1}-B ．{1,1}-C ．{1}-D ．{0}解析：∵{1,1},{0,1}A B =-=-∴AB ={1}-,选C.2．如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ）A ．－2B ．1C ．2D ．1或 －2解析： ⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=-+0230222a a a a 即 2-=a ，故选择答案A3. 在ABC ∆中，若322,60==︒=AC AB B ，,则ABC ∆的面积( ) A 、3 B 、32 C 、332 D 、334 解析：改编自2014福建理科高考12题，考查三角形的解法和面积公式，答案C4．下列命题中，真命题是（ ） A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．12x x +≥D ．222(),,2a b a b a b R ++≥∈ 解析：答案为D5. 函数)1(),1|(|log >+=a x y a 的大致图像是（ ）A B C Ｄ解析：该函数为偶函数，答案为B6．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了右边一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 （ ）B.22y x =- B. 21(1)2y x =- C.C.2log y x = D. 1()2xy =解析：由该表提供的信息知，该模拟函数在(0,)+∞应为增函数，故排除D,将3x =、4…代入选项A 、B 、C 易得B 最接近，故答案应选B.7．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l nB ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l mD ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥解析：对于A ，//l n 或,l n 异面，所以错误；对于B ，l 与β 可能相交可能平行，所以错误；对于C ，l 与m 还可能异面或相交，所以错误.故答案应选D8. 如图过拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交拋物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则拋物线的方程为( ) A ．=2y x 23B =2y x 3 C ．=2y x 29D ．=2y x 9【答案】B解析:如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，x1.993 4 5.1 6.12y 1.5 4.04 7.5 12 18.01设|BF|=a ，则由已知得：|BC|=2a ，由定义得：|BD|=a ，故∠BCD=30°， 在直角三角形ACE 中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a ，∴2|AE|=|AC| ∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD ∥FG ，∴123p =,求得p=32，因此抛物线方程为y 2=3x ．9. 设f 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕关于f 的极小值α﹐试问下列哪一个选项是正确的（ ）A.2010α-<<-B.100α-<<C.010α<<D.1020α<<﹒解析﹕「方程式()0()f x k f x k -=⇔=的相异实根数」等于「函数()y f x =与水平线y k =两图形的交点数﹒」依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕(1) 当()f x 的最高次项系数为正时﹕ (2) 当()f x 的最高次项系数为负时﹕因极小值点A 位于水平线0y =与10y =-之间﹐所以其y 坐标α（即极小值）的范围为100α-<<﹒ 故选(B)﹒10. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O 为中心﹐其中x ﹐y 分别为原点O 到两个顶点的向量﹒若将原点O 到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a x b y +的形式﹐则a b +的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5(1) 因为OA x =﹐所以()(),1,0a b =﹒(2) 因为3OB OF FB y x =+=+﹐所以()(),3,1a b =﹒ (3) 因为2OC OF FC y x =+=+﹐所以()(),2,1a b =﹒(4) 因为223OD OF FE ED y x OC y x y x y x ⎛⎫=++=++=+++=+ ⎪⎝⎭﹐ 所以()(),3,2a b =﹒(5)因为OE OF FE y x =+=+﹐所以()(),1,1a b =﹒ (6)因为OF y =﹐所以()(),0,1a b =﹒因此﹐a b +的最大值为325+=﹒故选D ﹒第Ⅱ卷（非选择题共100分）三、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。