【学案】第一章1[1].3.2命题的四种形式
1.3.2命题的四种形式
大连市第十一中学 选修2-1学案 制作人：郝雪11.3.2命题的四种形式[学习目标]1.理解四种命题的形式；2.能够通过习题，分析四种命题的相互关系及真假。
[学案使用指导]1.先精读教材P22~P23基础知识及例题并用红笔勾画，然后回答导学案中预习导学设计的问题，并完成预习检测。
时间20分钟；2.限时完成导学案课内探究部分，书写规范，；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂讨论质疑。
[预习案]1. 在四种命题中对于命题的否定是一个难 点，利用必修一的集合的补集知识来分散这个难点2.阅读教材，说出如何由原命题（若p,则 q ）(1) 变成逆命题：（2）变成否命题：（3）变成逆否命题：3.预习检验：由原命题：“ 同位角相等，两直线平行”写出它的其它三种命题.[课中案][探究一]——命题的四种形式 根据四种命题的概念，便于记忆整理后，将四并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题： （1）正方形的四条边相等（2）02x 3x 2x 1x 2=+-==，则或若小结规律：[探究二]——四种命题的相互关系： 原命题 逆命题 q p 则若 p q 则若否命题 逆否命题 q p ⌝⌝则若 p q ⌝⌝则若例2.把下列命题改写成“如果P ，则q ”的形式，写出相应的命题，并判断真假： （1）“末位是0的整数，可以被5整除”，写出它的互逆命题； （2）“对顶角相等”，写出它的互否命题；使用时间： 年 月 日 班级： 数学B 层 姓名：2（3）“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”,写出它的逆否命题。
例3.写出若a ＝0，则ab ＝0的四种命题，并考察各个命题的真假：四种命题的真假关系： 若原命题真，逆命题一定真吗？否命题一定真吗？逆否命题呢？结论：课堂巩固1．若x 2＋y 2＞2，则|x |＞1或|y |＞1的否命题是( )A. 若x 2＋y 2≤2，则|x |≤1且|y |≤1B. 若x 2＋y 2＜2，则|x |≤1且|y |≤1C. 若x 2＋y 2≤2，则|x |＜1或|y |＜1D. 若x 2＋y 2＜2，则|x |≤1或|y |≤12．设原命题：若2a b +≥，则1a ≥或1b ≥，则原命题或其逆命题的真假情况是（ ） A. 原命题真，逆命题假 B. 原命题假，逆命题真 C. 原命题真，逆命题真 D. 原命题假，逆命题假3．下列命题中为真命题的是（ ）A. 命题“若1x >，则21x >”的逆命题B. 命题“若1x =，则220x x +-=”的否命题C. 命题“若20x >，则1x >-”的逆否命题D. 命题“若x y >，则x y >”的逆命题4．有下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形; ②“若0xy =,则0x y +=”的逆命题; ③“若a b >,则a c b c +>+”的否命题; ④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题为__________5．下列三个命题中:①命题“若1x >且1y >,则2x y +>”的逆命题. ②命题“若两个三角形面积相等,则它们全等”的否命题.③命题“若a b >,则11a b<”的逆否命题. 其中真命题的个数是_________课堂小结：大连市第十一中学 选修2-1学案 制作人：郝雪3[课后案]1.把下列命题“正方形的四条边相等.”改写成“若p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.2.写出命题“若x 2+7x -8=0,则x =-8或x =1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假.3.写出下面“p 或q ”“p 且q ”“非p ”“非q ”形式的复合命题，并判断真假.p ：7是21的约数；q ：7是26的约数.4.写出下列各命题的非（否定），并且判断其真假：（1）2是方程042=-x 的根；（2）.1415.3=π5.写出下列各命题的非（否定），并且判断其真假：（1）2是质数；（2）圆周率是无理数；（3）1000<100.6．已知命题P: “若两直线没有公共点，则两直线异面.”则其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 37.已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是（ ）(A) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 (B) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0(C) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 (D) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<08. 已知真命题“a ≥b c ＞d ”和“a ＜b e ≤f ”，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的___________条件．学习收获：。
《命题的四种形式》教学案2.doc
1.3.2命题的四种形式教学目标：1.判断所给语句是否是命题，并能判断一些简单命题的真假.2.理解命题对的逆命题、否命题与逆否命题的含义.3.能分析四种命题的相互关系.教学难点：理解命题对的逆命题、否命题与逆否命题的含义.教学重点：能分析四种命题的相互关系.基础知识•自主学习n知识梳理1.命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.2.四种命题及相互关系3.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性;(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“ J ”或“ X ”)⑴“x2+2x—3<0 "是命题.( )(2)命题"a=¥，则tana=l"的否命题是“若a=；贝lj tan a#l".( )(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题.( )考点自测1.命题“若［=；则tan 1=1”的逆否命题是( )71A.右a气，贝!j tan 171B.右a=3，贝［J tan 1TTC.右tan 1,则［乂彳兀D.右tan otT^l,贝lj a=~^2.已知命题p：若x= — \,贝。
向量Q=(1, x)与b=(x+2, x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A.0B. 2C. 3D. 4题型分类•深度剖析题型一四种命题及真假判断例1 (1)给定下列四个命题：%1若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；%1若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；%1垂直于同一直线的两条直线相互平行；%1若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④(2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”跟踪训练1IT 1（1）命题“若a=g,则海0（=矿的逆命题是（）71 1A.右a=亍贝I cos a乂万71 1B.右贝U cos“] 71C.若cos a=万，贝U a=a-H- ] 丸D.右* cos ot乂贝！I ot乂3（2）命题“若x, >都是偶数，则x+丁也是偶数”的逆否命题是（）A.若x+y是偶数，则x与〉不都是偶数B.若x+丁是偶数，则x与〉都不是偶数C.若x+丁不是偶数，则x与〉不都是偶数D.若x+丁不是偶数，则x与丁都不是偶数思想方法•感悟提高方法与技巧1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.失误与防范1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若〃则0"的形式.练出高分A组专项基础训练（时间：30分钟）1 •下列命题中为真命题的是（）A.命题“若x>y,则x>W'的逆命题B.命题“若X>1,则》2>1，，的否命题C.命题“若x=l,则U+x—2=0”的否命题D.命题"若.r>0,则x>l”的逆否命题2."如果x、］，6R,且?+i；2 = 0,则x、y全为0”的否命题是（）A.若x、且疽+］,2/0,则x、全不为0B.若x、且/+］/2力0,则x、不全为0C.若x、］，6R 且x、］，全为0,则x2+j^2 = 0D.若x、且x、y 不全为0,则x2+_y2^03.下列结论错误的是（）A.命题“若J—3x—4=0,贝»=4”的逆否命题为“若x#4,则盘一3x—4N0"B.“x=4”是"J—3x—4=0”的充分条件C.命题“若m>0,则方程x2+x-w=0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2+«2 = 0,则m = 0且"=0”的否命题是“若m2+n~^0,则m/0或4.命题“若检〉/,则x>j/'的逆否命题是（）A.“若X<y,则了2勺2"B.“若X>y,则疽>>>2”C."若xWy,则D."若xNy,则检勺声5.给出命题：若函数y=»是慕函数，则函数y=Ax）的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 06.“若aWb,则a&Wbc1”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是.7.有下列几个命题：%1“若泓,贝言对2”的否命题；%1“若x+v=0,则x, V互为相反数”的逆命题；%1“若检<4,则一2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是.题型一四种命题及真假判断答案(DD (2)B角学析(1)只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题.(2)将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为"若一个数的平方是正数，则它是负数".思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：%1对于不是“若P，则形式的命题，需先改写；%1若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.自主学习答案：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“ J ”或“ X ”)(1)a x* 2 3~\~2x—3<0”是命题.(X )JT JT(2)命题 %=彳，则tana=l”的否命题是“若。
1.1.2四种命题学案
1.1.2四种命题【学习目标】了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念和形式．【自主学习】1.四种命题：（1）一般地，对于命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做．其中一个命题叫做，另一个命题叫做原命题的．（2）对于命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做．其中一个命题叫做，另一个命题叫做原命题的．（3）.对于命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做．其中一个命题叫做，另一个命题叫做原命题的．2.四种命题的形式若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？原命题：“若P，则q”，则它的逆命题为：“”否命题为：“”，逆否命题为：“”（符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；读作“非p”）【自主检测】1. 命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若a不是正数，则它的平方根等于0”的（）.A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.等价命题2.如果x2＝1，则x＝1的否命题为x>的逆命题是;否命题是3. 若1x>，则21【合作探究及展示】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；(2)若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等；(3)奇函数的图像关于原点对称.【课堂检测】1.命题“若b a >，则c b c a +>+”的逆否命题为（ ）A 、若b a <，则c b c a +<+B 、若b a ≤，则c b ca +≤+ C 、若cbc a +<+，则b a < D 、若c b c a+≤+，则b a ≤ 2. 命题“若0x >且0y >，则0xy >”的否命题是（ ）. A.若0x >或0y >，则0xy ≤B.若0x >且0y >，则0xy ≤C.若,x y 至少有一个不大于0，则0xy <D.若,x y 至少有一个小于0，或等于0，则0xy ≤3.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假（1）若,a b 都是偶数，则a b +是偶数；（2）若0m >，则方程20x x m +-=有实数根.【课堂小结】1.四种命题的真假性2.一些特殊词的否定3.通过这节课你能发现四种命题的真假性之间有什么联系吗？【课后作业】世纪金榜 即时小测 都 全 且 或 否定。
学案1：1.3.2 命题的四种形式
1.3.2 命题的四种形式【课标要求】1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义．2．会分析四种命题的相互关系．自学导引1．命题的概念(1)定义：可以的陈述句叫作命题．(2)真假命题：命题中的语句叫作真命题，的语句叫作假命题．(3)命题的一般形式：命题的一般形式为“ ”．通常，命题中的p叫作，q叫作．2．四种命题及其表示一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，那么，对p和q进行“ ”和“ ”后，一共可以构成四种不同形式的命题：原命题：若p则q；逆命题：将条件和结论“换位”，即若则；否命题：条件和结论“换质”，即分别否定；逆否命题：条件和结论“换位”又“换质”，即分别，且位置．3．四种命题的相互关系(1)四种命题的相互关系(2)四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：①原命题为真，它的逆命题．②原命题为真，它的否命题．③原命题为真，它的逆否命题．典例剖析题型一命题及其真假的判定【例1】判断下列语句是否是命题，若是，判断真假，并说明理由．(1)求证5是无理数．(2)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(3)你是高一学生吗？(4)一个正整数不是质数就是合数．(5)x＋y是有理数，则x、y也都是有理数．(6)60x＋9>4.【变式1】下列语句是否是命题，若是命题，试判断其真假．(1)4是集合{1,2,3}的元素；(2)三角函数是函数；(3)2比1大吗？(4)若两条直线不相交，则两条直线平行．题型二四种命题及真假判断【例2】把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．【变式2】对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法中正确的有______．(写出所有正确的序号)①它的逆命题是真命题；②它的否命题是真命题；③它的逆否命题是假命题；④它的否命题是假命题．题型三命题的等价性及其应用【例3】已知a，b∈R，求证：若a3＋b3＋3ab≠1，则a＋b≠1.【变式3】判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．题型四命题的综合应用【例4】(14分)已知集合A＝{x|x－2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．【变式4】已知非空集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是真命题，求实数m的取值范围．答案:自学导引:答案可以自己在阅读教材之后填写典例剖析【例1】解(1)祈使句，不是命题．(2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立．(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．(5)是假命题，如x＝2，y＝－ 2.(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定．【变式1】(1)4是集合{1,2,3}的元素；(2)三角函数是函数；(3)2比1大吗？(4)若两条直线不相交，则两条直线平行．解(1)是命题，且是假命题；(2)是陈述句，并且可以判断真假，是命题，且是真命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)是命题，且是假命题．【例2】解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．【变式2】答案④【例3】证明：原命题证明较困难改证它的等价命题(逆否命题)：已知a，b∈R，求证：若a＋b＝1，则a3＋b3＋3ab＝1.因为a＋b＝1，所以a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1.因为逆否命题与原命题等价，所以原命题正确．【变式3】解法一逆否命题：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上， 判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7， 因为a <1，所以4a －7<0.即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点，所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真． 法二 先判断原命题的真假因为a 、x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74.因为a ≥74>1，所以原命题为真．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真． 法三 利用集合的包含关系求解命题p ：关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有非空解集，命题q ：a ≥1.所以p ：A ＝{a |关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有实数解}＝{a |(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥74.q ：B ＝{a |a ≥1}．因为A ⊆B ，所以“若p ，则q ”为真，所以“若p ，则q ”的逆否命题“若非q ，则非p ”为真． 即原命题的逆否命题为真．【例4】 [规范解答] 因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}.5分假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U x 1＋x 2≥0x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U 4m ≥02m ＋6≥0⇒m ≥32，10分又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}.14分【变式4】解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}，由题意知：方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U x 1＋x 2≥0x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U4m ≥0⇒m ≥322m ＋6≥0所以实数m 的取值范围是{m |m ≥32}．。
命题的四种形式学案
1.3.2命题的四种形式一般地, 用p和q分别表示原命题的条件和结论, 用﹁p和﹁q分别表示p和q的否定. 于是原命题：如果P，则q．逆命题：如果q，则P．否命题：如果￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）。
否命题同时否定命题的条件和结论。
逆否命题：如果￢q，则￢P．例题1、写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假（1） 如果12=x ，则1=x 。
逆命题是：_________________________________________________________;_____命题否命题是：_________________________________________________________;_____命题逆否命题是：________________________________________________________;_____命题（2） 如果四边形是菱形，则它的对角线互相垂直。
逆命题是：_________________________________________________________;_____命题否命题是：_________________________________________________________;_____命题逆否命题是：________________________________________________________;_____命题（3）R y x ∈∀,，如果0=xy ，则0=x 。
逆命题是：_________________________________________________________;_____命题否命题是：_________________________________________________________;_____命题逆否命题是：________________________________________________________;_____命题（4）设→a ，→b 为向量，如果→a ⊥→b ，则0=⋅→→b a 。
2019-2020年高中数学选修1-1教案：1-3-2命题的四种形式
课题
1.3.2命题的四种形式
课时
第一课时
课型
新授
教学
重点
1.能判断命题的真假；
2.知道一个命题的另外三个命题
依据：命题、四种命题是逻辑学的基本知识
教学
难点
把命题写成若P则q的形式,一个命题的另外三个命题
依据：学生刚接触到命题，对命题的认识还没形成，尤其是,一个命题的另外三个命题。
2、小组讨论并展示自己组思考的结论。
3、其他组给予评价（主要是找错，纠错）
引导学生能挖掘命题中的条件和结论。
通过思考题由学生发现四种命题的联系。
10分钟
4．
总结提升ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、总结本课内容
2、将下列命题改写成“若p，则q”的形式．并写出命题（4）的逆命题、否命题与逆否命题：并判断原命题真假.
(1)面积相等的两个三角形全等.
5分钟
5．
目标
检测
随堂测试小卷
1、巡视学生作答情况。
2、公布答案。
3、评价学生作答结果。
1、小考卷上作答。
2、同桌互批。
3、独立订正答案。
检查学生对本课所学知识的掌握情况。
5分钟
6
布置下节课自主学习任务
1、完成课后27—29页（同桌检查并签字，要求有痕迹）。
2、熟记命题的四种形式（组长检查）。
3、完成预习习题卷（上课抽查）
让学生明确下节课所学，有的放矢进行自主学习。
4分钟
7
板书设计
1.3.2命题的四种形式
1、判断命题的真假：例1：
2、命题的四种形式：例2：
8
课后反思
高二文科数学选修1-1 1.3.2命题的四种形式导学案
《命题的四种形式》导学案学习目的：知识目标：1.了解命题的四种形式及四种命题之间的相互关系。
2.会用等价命题判断四种命题的真假。
能力目标：体会命题间的逻辑关系情感目标：培养学生的创新意识，提高学生的逻辑判断能力和逻辑思维能力学习重点：会分析四种命题之间的相互关系学习难点：正确地写出原命题的否命题一、课前检测：1、什么是命题？2、你能说出：①π是无理数，②同位角相等，两直线平行的否定吗？3、有些命题能表示成“若p，则q”的形式，其中p是命题的_______，q是命题的________。
二、探究新知：【探究一】：命题的四种形式及相互关系是什么？例1、下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系?(1)同位角相等，两直线平行; (2)两直线平行，同位角相等;(3)同位角不相等，两直线不平行; (4)两直线不平行，同位角不相等;关系：（1）和（2）：条件和结论________________（即________）（1）和（3）：条件和结论________________（即_________）（1）和（4）：条件和结论________________。
新知一：命题的四种形式：原命题：若p ，则q ； 逆命题：_________________;否命题：______________; 逆否命题：________________。
注意：命题的否定与否命题的区别：一般命题都有其否定，只否定__________；而只有“若p,则q” 形式的命题才有否命题，它即否定________又否定_______。
新知二：四种命题之间相互关系：？？ ？ ？ ？？小结：换位的两个命题互为逆命题，换质的两个命题互为否命题，既换位又换质的两个命题互为逆否命题。
【小组合作探究二】：原命题、逆命题、否命题、逆否命题真假有什么关系？ 例2、写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假.（1） 若a=0,则ab=0；（2） 若a 2>b 2,则a>b ；原命题 若p ，则q 逆命题 （ ）否命题（ ） 逆否命题 （ ）（3） 当c>0时,若a>b,则ac>bc ；（4） 四条边都相等的四边形是正方形。
四种命题教学案
1.3.2命题的四种形式学案课前预习学案一、预习目标在初中学过原命题、逆命题知识的基础上，初步理解四种命题。
二、预习内容思考探究：从条件与结论的关系入手，思考下列几组命题之间的关系（1）同位角相等，两直线平行。
条件：结论：两直线平行，同位角相等。
条件：结论：（2）同位角相等，两直线平行。
条件：结论：同位角不相等，两直线不平行。
条件：结论：（3）同位角相等，两直线平行。
条件：结论：两直线不平行，同位角不相等。
条件：结论：总结归纳：原命题：若p，则q.逆命题： .否命题： .逆否命题：。
文字语言叙述：1.互逆命题：一个命题的和，分别是另一个命题的和，这两个命题就叫做。
把其中一个叫做，则另一个叫做原命题的。
2.互否命题：一个命题的和，分别是另一个命题的的否定和的否定，这两个命题就叫做。
把其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的。
3.互为逆否命题：一个命题的和，分别是另一个命题的的否定和的否定，这两个命题就叫做。
把其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的。
课内探究学案一、学习目标1．给一个比较简单的命题(原命题)，可以写出它的逆命题、否命题和逆否命题。
2．通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力.二、学习重难点：重点：四种命题的形式；难点：四种命题的关系三、教学手段和方法（演示教学法和循序渐进导入法）1.以故事形式入题2多媒体演示四、教学过程情境引入某人要请甲乙丙丁吃饭，时间到了，只有甲乙丙三人按时赴约。
丁却打电话说“有事不能参加”主人听了随口说了句“该来的没来”甲听了脸色一沉，一声不吭的走了，主人愣了一下又说了一句“哎，不该走的走了”乙听了大怒，拂袖即去。
主人这时还没意识到又顺口说了一句：“俺说的又不是你”。
这时丙怒火中烧不辞而别。
四个客人没来的没来，来的又走了。
主人请客不成还得罪了三家。
大家肯定都觉得这个人不会说话，但是你想过这里面所蕴涵的数学思想吗？自主探究分别写出下列形式的命题练习1.原命题：若a>b ，则a+c>b+c 逆命题： 否命题： 逆否命题：练习2.原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。
学案1：1.3.2命题的四种形式
1.3.2命题的四种形式【课时目标】1．了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.了解四种命题及四种命题的相互关系，并会判断四种命题的真假．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________关系．一、选择题1．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④2．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2 D．03．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数二、填空题4．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是__________；逆命题是________________；否命题是________________________．5．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题6．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．7．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数8．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.答案解析知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．(1)相同(2)没有作业设计1．C2．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]3．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]4．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除5．②③6．【解】(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．7．B8．证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．∴a＋b≥0.。
教学设计2：1.3.2 命题的四种形式
1.3.2命题的四种形式（一）教学目标知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（二）教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（三）教学过程学生探究过程：1．复习引入初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？2．抽象概括定义1：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子.定义2：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．让学生举一些互否命题的例子.定义3：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．让学生举一些互为逆否命题的例子.小结：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的.3．四种命题的形式让学生结合所举例子，思考：若原命题为“若p，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？学生通过思考、分析、比较，总结如下：原命题：若p，则q．则：逆命题：若q，则p．否命题：若￢p，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢p．4．例题解析例1.试写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假.（1）∀x，y∈R，如果xy=0，则x=0;（2）设a，b为向量，如果a⊥b，则a·b=0解：（1）原命题“∀x，y∈R，如果xy=0，则x=0”;（假）逆命题为“∀x，y∈R，如果x=0 ，则xy=0”;（真）否命题为“∀x，y∈R，如果xy≠0 ，则x≠0”;（真）逆否命题为“∀x，y∈R，如果x≠0 ，则xy≠0”;（假）（2）原命题为“如果a⊥b，则a·b=0”；（真）逆命题为“如果a·b=0 ，则a⊥b”;（真）否命题为“如果a不垂直于b，则a·b≠0”;（真）逆否命题为“如果a·b≠0 ，则a不垂直于b”;（真）5．思考、分析结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？通过此问，学生将发现：①原命题为真，它的逆命题不一定为真.②原命题为真，它的否命题不一定为真.③原命题为真，它的逆否命题一定为真.原命题为假时类似.结合以上练习完成下列表格：【答案】由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．由此会引起我们的思考：一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：6．总结归纳由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题． 7．拓展训练证明：若p 2 ＋ q 2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．【解析】如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明.将“若p 2 ＋ q 2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p 2 + q 2 ≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．证明：若p ＋ q ＞2，则 p 2 ＋ q 2＝21［（p －q ）2＋（p ＋q ）2］≥21（p ＋q ）2＞21×２２＝２ 所以p 2 ＋ q 2≠2．这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题. 练习巩固：证明：若a 2－b 2＋２a －４b －３≠０，则a －b ≠１． 8.教学反思（1）逆命题、否命题与逆否命题的概念；（2）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；（3）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；（4）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．。
高中数学第一章常用逻辑用语1-3-2命题的四种形式同步导学案新人教B版选修1
1.3.2命题的四种形式学习目标：1了解命题的四种形式，会写一个命题的逆命题、否命题和逆否命题2 认识命题的四种形式之间的关系德育目标：通过本节的学习，让学生体会探索的乐趣，培养学生的创新意识，提高学生的逻辑判断和逻辑思维能力。
重点：理解命题的逆命题、否命题、逆否命题。
会分析四种命题的相互关系，并判断四种命题的真假难点：了解充分条件、必要条件与四种命题的联系活动一：自主预习，知识梳理一、命题的四种形式命题“如果p，则q”是由条件p及结论q组成的，对p、q进行“换位”或“换质”后，一共可构成四种不同形式的命题。
1.原命题：如果p，则q2.条件和结论“换位”得，这称为原命题的逆命题3.条件和结论“换质”（分别否定）得，这称为原命题的否命题4.条件和结论“换位”又“换质”得，这称为原命题的逆否命题。
二、四种命题的关系1.原命题和是互逆的命题；和逆否命题也是互逆的命题2.原命题和、逆命题和分别是互否的命题。
3.原命题和、逆命题和分别都是互为逆否的命题四种命题的关系如下图：4.结论（1）互为逆否的两个命题是等效的（同真同假）。
因此，证明原命题也可以改证它的逆否命题。
（2）互逆或互否的两个命题是不等效的活动二：问题探究，1.命题的四种形式是一个命题的不同表现形式吗？2.在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数可能为多少？活动三：要点导学，合作探究要点一：四种命题及判断真假例1：试写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并注明真假（1）,,R y x ∈∀如果0=xy ，则0=x（2）设b a ,为向量，如果b a ⊥，则0=⋅b a例2：写出命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出其真假。
高中数学《命题的四种形式》导学案
§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1．3.2命题的四种形式课标要求,学法指导1.了解命题的四种形式，会写一个命题的逆命题，否命题和逆否命题．2．认识命题的四种形式之间的关系．,通过命题的四种形式理解命题的实质，利用等价命题证明结论锻炼思维的灵活性，注意区分“否命题”与“命题的否定”．课前自主学习KEQIANZIZHUXUEXI,对应学生用书P161．四种命题的定义命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果非p，则非q，这称为原命题的否命题；(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果非q，则非p，这称为原命题的逆否命题．2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况．原命题,逆命题,否命题,逆否命题真,真,__真__,__真__真,假,__假__,__真__假,真,__真__,__假__假,假,__假__,__假__(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．1. 在四种命题中，原命题是固定的吗？提示：不是．原命题是人为指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他形式．2. 在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示：因为原命题和逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0,2,4.3. 命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题是________．提示：若a≤b，则2a≤2b－14. 命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中，真命题的个数是________．提示：A＝B等价于A⊆B且A⊇B，故“若A⊆B，则A＝B”为假命题，但其逆命题为真命题．由于原命题与逆否命题等价，故原命题的逆否命题为假，否命题为真．故真命题为2个．,,课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU对应学生用书P17SIWEIJUJIAO 思维聚焦, 1.四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p 与q的否定，则四种命题的形式可表示为：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若綈p，则綈q；逆否命题：若綈q，则綈p.(1)关于四种命题也可叙述为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．(2)已知原命题，写出它的其他三种命题，首先将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动．如“已知a，b为正数，若a>b，则|a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都把它作为大前提．2．四种命题的等价关系的应用判断某个命题的真假，如果直接判断不易，可转化为判断它的逆否命题的真假，如带有否定词的命题真假的判断．因此，证明某一问题时，若直接证明不容易入手，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．3．否命题与命题的否定的区别(1)命题的否定是直接对原命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．(2)“如果p，则q”的否定为“如果p，则綈q”，其否命题为“如果綈p，则綈q”．(3)命题的否定的真假性与原命题相反，而否命题的真假性与原命题的真假性没有关系．四种命题间的关系例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．[思路分析]正确找出命题的条件和结论，逆命题的形式为“若q，则p”，否命题的形式为“若綈p，则綈q”，逆否命题的形式为“若綈q，则綈p”．[完美作答](1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．在写四种命题时，一定要先找出原命题的条件和结论，把结论作为条件，条件作为结论得到的命题为原命题的逆命题；否定条件作为条件，否定结论作为结论得到的命题为原命题的否命题；否命题的逆命题为原命题的逆否命题．[针对训练1]用“若p，则q”的形式写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)垂直于同一平面的两直线平行；(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．[解](1)原命题：若两条直线垂直于同一平面，则这两条直线平行．逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．否命题：若两条直线不垂直于同一平面，则这两条直线不平行．逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一平面．(2)原命题：若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn<0.否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.四种命题的真假判断例2设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．[思路分析]首先要弄清原命题的条件和结论，再根据原命题与逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假来判断几个命题的真假．[完美作答]逆命题：“当c>0时，若ac>bc，则a>b”．逆命题为真．否命题：“当c>0时，若a≤b，则ac≤bc”．否命题为真．逆否命题：“当c>0时，若ac≤bc，则a≤b”．逆否命题为真．(1)在写四种命题前，要弄清原命题的条件和结论．(2)四种命题中，原命题与逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假，这个结论可以用来检验我们的判断结果是否正确．[针对训练2]判断下列命题的真假：(1)命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题；(2)“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；(3)“矩形的对角线相等”的逆命题；(4)“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．[解](1)由A∩B＝B，知B⊆A，原命题为假命题，∴逆否命题为假命题．(2)否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题．(3)逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．(4)否命题为“若xy≠0，则x、y都不为零”，是真命题．命题的否定与否命题例3写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假．(1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根；(2)若一个数是质数，则这个数是奇数；(3)若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0.[思路分析]题目的关键之处在于要正确区分否命题与命题的否定之间的区别．[完美作答](1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．假命题．命题的否定：若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．假命题．(2)若一个数是质数，则这个数不一定是奇数，是真命题．若一个数不是质数，则这个数不是奇数，是假命题．(3)否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零．真命题．命题的否定：若abc＝0，则a，b，c全不为零．假命题．命题的否定首先它是复合命题的一种形式，而否命题是四种基本命题之一，其次，当给出一个命题后，如要写出它的否定形式，只需将命题的结论否定即可，而它的否命题是将条件和结论都否定．最后，在真值上，命题的否定与原命题真假一定相反，而否命题的真假与原命题没有必然的联系．[针对训练3]写出下列各命题的否定及其否命题：(1)菱形的四条边都相等；(2)面积相等的三角形是全等三角形；(3)若x2－x－2≠0，则x≠－1，且x≠2；(4)若A∪B＝B，则A⊆B.[解](1)命题的否定：菱形的四条边不都相等．否命题：若四边形不是菱形，则它的四条边不都相等．(2)命题的否定：面积相等的三角形不都是全等三角形．否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．(3)命题的否定：若x2－x－2≠0，则x＝－1或x＝2.否命题：若x2－x－2＝0，则x＝－1或x＝2.(4)命题的否定：若A∪B＝B，则A B.否命题：若A∪B≠B，则A B.等价命题的应用例4判断命题“已知a为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[思路分析]解答本题可先根据已知的命题利用判别式求出a的范围，再去判断命题的真假．考虑到原命题与它的逆否命题同真同假，所以可利用它们的等价性判断，因此，解决该题可有三种方法．[完美作答]解法一：原命题的逆否命题：已知a为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．解法二：先判断原命题的真假．因为a为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空．所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥eq \f(7,4.因为a≥eq \f(7,4，所以a≥1，所以原命题为真．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．解法三：利用集合的包含关系求解．命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集．命题q：a≥1.所以p：A＝{a|关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝{a|a≥eq \f(7,4}．由于{a|a≥eq \f(7,4}∩{a|a≥1}＝{a|a≥eq \f(7,4}．即{a|a≥eq \f(7,4}⊆{a|a≥1}，∴原命题的逆否命题为真．由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．[针对训练4]判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．[解]解法一：(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真，解法二：(利用逆否命题)原命题的逆否命题为：若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．,题型技法如何判断四种命题的关系及其真假[典例]下列四个命题中：①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x3＝2，则x是无理数”的逆否命题．其中是真命题的是()A. ①②③④B. ①③④C. ②③④D. ①④[分析]解决本题的关键在于找准命题的条件与结论，判断命题真假性时，要善于运用“等价性”．[解析]①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，显然是真命题；②原命题的逆命题为“若多边形相似，则这些多边形为正多边形”，显然是假命题；③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”，由条件可得m<－eq \f(1,4，∴结论m≤0成立，是真命题；④原命题是真命题，所以其逆否命题也为真命题．故选B.[答案]B判断四种命题的真假时，首先把原命题写成“若p，则q”的形式，然后写出原命题的其他三种命题，再进行真假判断．如果从正面难以判断时，可以利用互为逆否命题的两个命题的等价性来判断．另外，写命题的否命题时，还要注意与命题的否定的区别．[跟踪训练]有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2<y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3解析：(1),真,原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y 互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题．(2),假,原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题．(3),假,该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题．(4),假,该命题的逆命题是“有两边相等的三角形是等边三角形”，显然是假命题．答案：B,,课堂效果落实KETANGXIAOGUOLUOSHI,对应学生用书P191．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A. “若x<y，则x2<y2”B. “若x>y，则x2>y2”C. “若x≤y，则x2≤y2”D. “若x≥y，则x2≥y2”解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．答案：C2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．答案：D3．若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确解析：交换否命题的条件与结论就是逆否命题，符合互逆命题的定义．答案：A4．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是______________，逆否命题是______________．答案：若a>0，则a>1若a≤0，则a≤15．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．解：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，真命题；否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命题；逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真命题．(2)逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，假命题；否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，假命题；逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，真命题．,,课后课时精练KEHOUKESHIJINGLIAN,对应学生用书P98时间：30分钟满分：75分一、选择题(每小题5分，共30分)1．命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”的否命题是()A．若sinα＝sinβ，则α＝βB．若α≠β，则sinα≠sinβC．若sinα≠sinβ，则α≠βD．以上都不对解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．答案：B2．用反证法证明命题“5＋7是无理数”时，应假设()A．5是有理数B．7是有理数C．5或7是有理数D．5＋7是有理数解析：在实数范围内无理数的反面是有理数．故选D.答案：D3．有下列命题：①“若x2＋y2＝0，则x，y全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是()A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①④解析：①否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y不全是0”，为真．②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．③逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1”．∵当m＝0时，解集不是R，∴应有eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(m>0，,Δ<0，))即m>1.∴其逆命题是假命题．④原命题为真，逆否命题也为真．答案：D4．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：∵綈p是q的必要而不充分条件，∴q⇒綈p，但綈pD⇒/q，其逆否命题为p⇒綈q，但綈qD⇒/p，因为原命题与其逆否命题是等价命题，故选A.答案：A5．原命题为“若eq \f(an＋an＋1,2<an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：本题以数列的单调性为背景考查命题真假的判断和四种命题之间的关系．从原命题的真假入手，由于eq \f(an＋an＋1,2<an⇔an＋1<an⇔{an}为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.答案：A6．下列命题中，真命题是()A．命题“若a>b，则ac2>bc2”B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题解析：命题“若a>b，则ac2>bc2”是假命题；命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题；命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题为“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”是假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)7．命题“x∈A∩B”的否命题是_____________________________________________________________________ ___．解析：x∈A∩B事实上是x∈A且x∈B.答案：x∉A或x∉B8．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：命题“ax2－2ax－3>0不成立”亦即“ax2－2ax－3≤0恒成立”．当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (eq \a\vs4\ac\hs10\co1(a<0，,Δ＝4a2＋12a≤0，))解得－3≤a<0.故－3≤a≤0.答案：[－3,0]9．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是________．解析：①当k>0时，方程中Δ＝4＋4k>0恒成立，∴方程有实根．②原命题的逆否命题为若x＝2且y＝b则x＋y＝8为真命题，∴原命题为真．③“矩形的对角线相等”的逆命题为“若一个四边形对角成相等，则四边形为矩形”为假命题．④原命题的否命题为“若xy≠0，则x，y都不为0”为真命题．答案：①②④三、解答题(每小题10分，共30分)10．若a，b，c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个相异实根，则ac<0，为假命题；否命题：若ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个相异实根，为假命题．逆否命题：若ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个相异实根，则ac≥0，为真命题．11．设p：eq \f(m－2,m－3≤eq \f(2,3，q：关于x的不等式x2－4x＋m2≤0的解集是空集，试确定实数m的取值范围，使得p与q有且只有一个成立．解：由eq \f(m－2,m－3≤eq \f(2,3得：eq \f(m－2,m－3－eq \f(2,3≤0，即eq \f(m,3(m－3)≤0.解得0≤m<3，即当且仅当0≤m<3时，p成立．因为关于x的不等式x2－4x＋m2≤0的解集是空集，所以Δ＝16－4m2<0，解得m>2或m<－2.即当且仅当m>2或m<－2时，q成立．当p成立而q不成立时，0≤m≤2.当p不成立而q成立时，m<－2或m≥3.综上所述，当且仅当m∈(－∞，－2)∪[0,2]∪[3，＋∞)时，p与q有且只有一个成立．12．a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．解：能确定．理由如下：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小．所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.2 命题的四种形式教学案 新人教B版选修1-1-新人教B版高
1.3.2 命题的四种形式[学习目标] 1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．[知识]以下四个命题：(1)如果f(x)是正弦函数，那么f(x)是周期函数；(2)如果f(x)是周期函数，那么f(x)是正弦函数；(3)如果f(x)不是正弦函数，那么f(x)不是周期函数；(4)如果f(x)不是周期函数，那么f(x)不是正弦函数．观察命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？答：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件．对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．[预习导引]1．四种命题的定义命题“如果p，那么(那么)q〞是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位〞和“换质〞，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，那么q；(2)条件和结论“换位〞：如果q，那么p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质〞(分别否定)：如果綈p，那么綈q，这称为原命题的否命题；(4)条件和结论“换位〞又“换质〞：如果綈q，那么綈p，这称为原命题的逆否命题．2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假性(1)(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．要点一四种命题的概念例1 分别写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)实数的平方是非负数；(2)如果x、y都是奇数，那么x＋y是偶数．解(1)原命题是真命题．逆命题：如果一个数的平方是非负数，那么这个数是实数．真命题．否命题：如果一个数不是实数，那么它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：如果一个数的平方不是非负数，那么这个数不是实数．真命题．(2)原命题是真命题．逆命题：如果x＋y是偶数，那么x、y都是奇数，是假命题．否命题：如果x、y不都是奇数，那么x＋y不是偶数，是假命题．逆否命题：如果x＋y不是偶数，那么x、y不都是奇数，是真命题．规律方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．跟踪演练1 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.解(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线．否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面．逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x>0，那么x>10.否命题：如果x≤10，那么x≤0.逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2.否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0.逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.要点二四种命题的关系例2 以下命题：①“如果xy＝1，那么x、y互为倒数〞的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形〞的否命题；③“梯形不是平行四边形〞的逆否命题；④“如果ac2>bc2，那么a>b〞的逆命题．其中是真命题的是________．答案①②③解析①“如果xy＝1，那么x，y互为倒数〞的逆命题是“如果x，y互为倒数，那么xy ＝1〞，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形〞的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形〞，是真命题；③“梯形不是平行四边形〞本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac2>bc2，那么a>b〞的逆命题是“如果a>b，那么ac2>bc2〞，是假命题．所以真命题是①②③.规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．跟踪演练2 有以下四个命题：①“如果x＋y＝0，那么x，y互为相反数〞的否命题；②“如果x≤－3，那么x2－x－6>0〞的否命题；③“同位角相等〞的逆命题．其中真命题的个数是________．答案 1解析①否命题是“如果x＋y≠0，那么x，y不是相反数〞，是真命题．②否命题是“如果x>－3，那么x2－x－6≤0〞，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．③逆命题是“相等的角是同位角〞是假命题．要点三等价命题的应用例3 判断命题“a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，那么a≥1〞的逆否命题的真假．解方法一原命题的逆否命题：a ，x 为实数，如果a <1，那么关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：∵抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上， 判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7， 假设a <1，那么4a －7<0.即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点．所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集． 故原命题的逆否命题为真． 方法二 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，a ≥74>1，所以a ≥1成立．所以原命题成立．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．规律方法 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．跟踪演练3 判断命题“如果m >0，那么方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根〞的逆否命题的真假． 解 ∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0.∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0.∴原命题“如果m >0，那么方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根〞为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“如果m >0，那么方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根〞的逆否命题也为真.1．命题“如果a ∉A ，那么b ∈B 〞的否命题是( ) A ．如果a ∉A ，那么b ∉B B ．如果a ∈A ，那么b ∉B C ．如果b ∈B ，那么a ∉A D ．如果b ∉B ，那么a ∉A 答案 B解析 命题“如果p ，那么q 〞的否命题是“如果綈p ，那么綈q 〞，“∈〞与“∉〞互为否定形式．2．以下四个命题中，是真命题的是( ) ①“假设xy ＝1，那么x ，y 互为倒数〞的逆命题； ②“相似三角形的周长相等〞的否命题；③“假设b ≤－1，那么方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根〞的逆否命题；④“假设A∪B＝B，那么A⊆B〞的逆否命题．A．①②B．②③C．①③D．②④答案 C解析①逆命题为：“假设x，y互为倒数，那么xy＝1〞，真命题．②否命题为：“不相似的三角形的周长不相等〞，假命题．③Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥4>0，∴原命题为真，故逆否命题为真．④命题“假设A∪B＝B，那么A⊇B〞为假命题，其逆否命题为假命题．3．命题“如果平面向量a，b共线，那么a，b方向相同〞的逆否命题是______________________________，它是________命题(填“真〞或“假〞)．答案如果平面向量a，b的方向不相同，那么a，b不共线假4．给出以下命题：①“如果x2＋y2≠0，那么x、y不全为零〞的否命题；②“正多边形都相似〞的逆命题；③“如果m>0，那么x2＋x－m＝0有实根〞的逆否命题．其中为真命题的是________．答案①③解析①否命题是“如果x2＋y2＝0，那么x，y全为0〞．真命题．②逆命题是“如果两个多边形相似，那么这两个多边形为正多边形〞，假命题．③∵Δ＝1＋4m，如果m>0时，Δ>0，x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真命题．1.写四种命题时，可以按以下步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．每一个命题都有条件和结论组成，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．。
人教B版高中数学高二选修1-1学案 1.3.2 命题的四种形式
1．3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？梳理对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定)后，可以构成四种不同形式的命题：(1)原命题：________________；(2)逆命题：________________(“换位”)；(3)否命题：________________(“换质”)；(4)逆否命题：________________(“换位”又“换质”)．知识点二命题的四种形式之间的关系思考1为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“如果p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？思考2原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？梳理四种命题间的相互关系知识点三四种命题的真假关系思考1知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？思考2如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？梳理(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是________________．(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性________________．类型一四种命题及其相互关系命题角度1四种命题的概念例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若x∈A，则x∈A∪B；(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；(3)在△ABC中，若a>b，则A>B.反思与感悟四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．跟踪训练1命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数命题角度2四种命题的相互关系例2若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是()A．互为逆命题B．互为否命题C．互为逆否命题D．同一命题反思与感悟判断四种命题之间四种关系的两种方法(1)利用四种命题的定义判断；(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．跟踪训练2已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．类型二四种命题的真假判断例3有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题，其中真命题为()A．①②B．②③C．④D．①②③反思与感悟原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，与逆命题或否命题的真假性没有关系．逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．跟踪训练3命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．2 C．3 D．4类型三等价命题的应用例4判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．引申探究判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，则a<74”的逆否命题的真假．反思与感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．跟踪训练4证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A2．命题“如果x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．如果－1<x<1，则x2<1C．如果x>1或x<－1，则x2>1D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥13．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是()A．真命题B．假命题C．不一定是真命题D．不一定是假命题4．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．35．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．知识点一全称命题与存在性命题1．全称命题与存在性命题真假的判断方法(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．知识点二简易逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．p q綈p p∨q p∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假知识点三充分条件、必要条件的判断方法1．直接利用定义判断：即若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)2．利用等价命题的关系判断：p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p，即若綈q⇒綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件知识点四四种命题的关系原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．类型一命题的关系及真假的判断例1将下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．反思与感悟(1)四种命题的改写步骤①确定原命题的条件和结论．②逆命题：把原命题的条件和结论交换．否命题：把原命题中条件和结论分别否定．逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．(2)命题真假的判断方法跟踪训练1下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.其中正确结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．4类型二逻辑联结词与量词的综合应用例2已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－1,1]反思与感悟解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．跟踪训练2已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．类型三充分条件与必要条件命题角度1 充分条件与必要条件的判断例3 (1)设x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x >4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q ，若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．跟踪训练3 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．12log a >12log b >0C ．ln a >ln b >0D ．x a >x b 且x >0.5命题角度2 充分条件与必要条件的应用例4 设命题p ：x 2－5x ＋6≤0；命题q ：(x －m )(x －m －2)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练4已知p：2x2－9x＋a<0，q：2<x<3且綈q是綈p的必要条件，求实数a的取值范围．1．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为()A．∃x≤0，使得(x＋1)e x≤1B．∃x>0，使得(x＋1)e x≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤12．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为______________．4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．5．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“如果p，则q”，则该命题的否命题是“如果綈p，则綈q”；命题的否定为“如果p，则綈q”．2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．答案精析问题导学知识点一思考命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．梳理(1)如果p，则q(2)如果q，则p(3)如果綈p，则綈q(4)如果綈q，则綈p知识点二思考1逆命题：如果q，则p.否命题：如果綈p，则綈q.逆否命题：如果綈q，则綈p.思考2互逆、互否、互为逆否．梳理如果p，则q如果q，则p如果綈p，则綈q如果綈q，则綈p知识点三思考1(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．思考2原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．梳理(1)逆否命题(2)没有关系题型探究例1解(1)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A.否命题：若x∉A，则x∉A∪B.逆否命题：若x∉A∪B，则x∉A.(2)逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．否命题：a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．逆否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．(3)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B.逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.跟踪训练1B例2B跟踪训练2若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2解析由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．例3D[①②③显然正确；对于④，若A∩B＝B，则B⊆A，所以原命题为假，故它的逆否命题也为假．]跟踪训练3B例4解方法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0，即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．方法二利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥74≥1，所以原命题为真，故其逆否命题为真．引申探究解先判断原命题的真假如下：因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，所以a<74.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．跟踪训练4证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．当堂训练1．B 2.D 3.A 4.C 5.[1,2]。
2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.2 命题的四种形式教案 新人教B版选修2-1.doc
5．给出命题：“已知a,b,c,d是实数，若a b且c d,则a+c b+d.”对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题的个数有_______个。
三：练习题
1．若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则命题q是命题r的()
A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．本身
师生活动
一、新知探究
1.命 题“如果p,则q”是由条件p及结论q组成的，对p,q进行“换位”或“换质”后，一共可构成四种不同形式的命题。
（1）原命题：如果p,则q
（2）条件和结论“换位”得：如果q,则p,这称为原命题的____________。
（3）条 件和结论“换质”（分别否定）得：如果 ， ，这称为原命题的____________。
A．若ab 0,则a 0或b 0 B.若a 0或b 0,则ab 0
C.若ab 0,则a 0,b 0 D.若a 0,且b 0,则ab 0
2.若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的（）
A．逆命题B、否命题C．逆否命题D以上都正确
3．“若 a,b是素数，则a+b是偶数”的逆否命题是____________。
2.一般来说，命题“如果p,则q”的四种形式之间有如下关系
（1）互为逆否的两个命题是____________。因此，证明原命题
也可以改证它的逆否命题。
(2)互逆或互否的两个命题是__________
四种命题
教学过程设计
教材处理
师生活动
二：例题配置
1．命题“若ab=0,则a=0或b= 0” 的逆否命题是 （）
2019-2020学年高中数学第一章常用逻辑用语1.3.2命题的四种形式教案新人教B版选修2-1
教学设计1：1.3.2 命题的四种形式
1.3.2 命题的四种形式
【教材分析】 （一）三维目标 （1）知识与技能
1）进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；
2）会分析四种命题的相互关系。
（2）过程与方法
1）了解四种命题之间的关系，学会用数学观点分析解决实际问题； 2）通过研究四种命题之间的关系，提高分析问题、解决问题的能力。
（3）情感、态度与价值观
通过命题四种关系的判断，使学生感受对立统一的思想，培养学生的辩证唯物主义观点，
（二）教学重点
四种命题的概念及相互关系.。
（三）教学难点
四种命题的相互关系.。
（四）教学建议
本节内容比较抽象，教学时，不要让学生去死记硬背形式化的定义和模式，而要通过例题教学，让学生去发现四种命题形式间的逻辑关系，并能用命题间的关系趋验证写出的命题是否正确。
有时当原命题不易证明时，可利用两个互为逆否命题间的等效性转化为证明其逆否命题。
【新课导入设计】 导入一：（复习导入）
指出下列命题中的条件与结论，并判断真假： （1）矩形的对角线互相垂直且平分； （2）函数232y x x =-+有两个零点. 导入二：(情景导入)
某食品的广告词为“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”，初听起来，似乎是几句普通的赞美词，然而它所起得实际效果可大哩！原来这句话，变换成等价命题就是“不拥有的人们不
幸福”。
哪个家庭不幸福呢？掏钱买一个就是了。
瞧！广告商的目的就这样通过巧妙的命题变换达到了。
课前热身
【教学过程】
教材P23页习题1-3A第4、5题●板书设计
●授后记。
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1.3.2命题的四种形式
【学习目标】
知识目标：学生通过学习掌握原命题、逆命题、否命题、逆否命题的概念，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．
能力目标：通过学习学生分析问题解决问题的能力得到提高，初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，学生初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识．
情感目标: 增强数学美学意识，培养唯物主义世界观．
教学重点四种命题的概念及其相互关系
教学、难点
四种命题的概念及其相互关系．四种命题形式的表述及真假判断.
【学习过程】
一、基本知识：
1. 四种命题
(1). 原命题（若p则q）
若原命题是“若同位角相等，则两直线平行.”
(2). 逆命题（若q则p）
逆命题________________________________
(3). 否命题（若非p则非q）
否命题________________________________
(4). 逆否命题（若非q则非p）
逆否命题________________________________
5. 四种命题的关系。
通过列表，由学生自己归纳四种命题的真值关系，得一般结论：互为逆否命题同真假!四种命题中真命题的个数是偶数个。
二．例题
例1：把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题.
(1)3的平方是6
(2)四条边相等的四边形是正方形
(3)对顶角相等
例2:填空
(1)命题“若a2-1=0,则a=1”的否命题是,否命题是命题.
(2)命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题是,
逆否命题是命题.
三、练习
P23 A B
四、小结
由学生自己小结，一节课学到的内容.
１．四种命题形式及其相互关系.
２．互为逆否命题同真假．
五课后作业
1．给出命题“若两个三角形全等，则两个三角形的对应边相等”，写出相应的逆
命题，否命题，逆否命题.四个命题中以任意一个为原命题，要求学生说出相应
的逆命题，否命题，逆否命题.
2.判断:
①一个命题的否命题为真,它的逆命题也一定为真.
②一个命题的逆否命题为真，它的逆命题不一定为真.
3．填空：
(1) 命题“垂直于同一平面的两直线平行”的否命题
是 .
(2)命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题
是 .
4．判断命题的真假：若ｘ２≠ｙ２，则ｘ≠ｙ，利用逆否命题判断“正难则反”.。