四种命题间的相互关系
命题及其关系、充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件p ⇒q 且q ppq 且q ⇒p p ⇔qpq 且qp1．下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选A 由1x ＝1y 易得x ＝y ；由x 2＝1，得x ＝±1；若x ＝y <0，则x 与y 均无意义； 若x ＝－2，y ＝1，虽然x <y ，但x 2>y 2. 所以真命题为A.2．已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A A ∩B ＝{4}⇒m 2＋1＝4⇒m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．3．已知命题：若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．答案：若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤01．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．设x ∈R ，则“x >1”是“x 3>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ∵x >1，∴x 3>1，又x 3－1>0，即(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件．2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角考点一 命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是()A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．(易错题)给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．2．设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A|x－2|<1⇔1<x<3，x2＋x－2>0⇔x>1或x<－2.由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．3．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．考点三充分必要条件的应用………………………(题点多变型考点——纵引横联) [典型母题]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，求m的取值范围．[解]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则{1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].[类题通法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键：先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．[越变越明][变式1] 母题条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[变式2] 母题条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由母题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．本题运用等价法求解，也可先求綈P ，綈S ，再利用集合法列出不等式，求出m 的范围．的必要不充分条件，求m 的取值范围．解：记P ＝{x |(x －m )2>3(x －m )}＝{x |(x －m )(x －m －3)>0}＝{x |x <m 或x >m ＋3}，S ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是s 成立的必要不充分条件，即等价于SP .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1. 即m 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[破译玄机]解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．3．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．4．已知p ：|x |<2；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由x 2－x －2<0，得(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2；由|x |<2得－2<x <2.注意到由－2<x <2不能得知－1<x <2，即由p 不能得知q ；反过来，由－1<x <2可知－2<x <2，即由q 可得知p .因此，p 是q 的必要不充分条件．5．已知集合A ，B ，全集U ，给出下列四个命题： ①若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ； ②若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝B ； ③若a ∈(A ∩∁U B )，则a ∈A ； ④若a ∈∁U (A ∩B )，则a ∈(A ∪B ) 其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C．3D．4解析：选B①正确；②不正确，由A∪B＝B可得A⊆B，所以A∩B＝A；③正确；④不正确．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知复数z＝a＋3ii(a∈R，i为虚数单位)，则“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C z＝a＋3ii＝－(a＋3i)i＝3－a i，若z位于第四象限，则a>0，反之也成立，所以“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．2．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0.3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．4．下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题D．“tan x＝1”是“x＝π4”的充分不必要条件解析：选C由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A不正确；因为x2－x－2＝0，所以x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推得tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x＝π4，所以“tan x ＝1”是“x ＝π4”的必要不充分条件，即D 不正确． 5．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≤2C ．a ≥－2D ．a ≤－2解析：选A 因为|x |≤2，则p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a ，由于p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a ≥2.6．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________． 解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }， ∵β：|x －1|<1，∴0<x <2， ∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又∵α是β的必要不充分条件， ∴B A ，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”解析：选C C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”. 若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0，所以不是真命题．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1解析：选A 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无交点．数形结合可得，a ≤0或a >1，即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <12时，函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，应排除B ；同理，排除C.3．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．。
1.1.3四种命题间的相互关系
xy
C.若x y,则 x y D.若x y ,则 x2 y2
【问题引入】
下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结 论之间分别有什么关系？
(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
(2)若f(x)是周期函数p，则f(x)是正弦函数；q (3)若f(x)不是正弦函数q ，则f(x)不是周期函p数；
解析：交换原命题的条件和结论，并且同时 否定，所得的命题，因此答案为D.
(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。
即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
【问题引入】
下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结 论之间分别有什么关系？
(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
(2)若f(x)是周期函数p，则f(x)是正弦函数q；
(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
(4)若f(x)不是周期函┐数p，则f(x)不是正弦函┐数q 。
互否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 否 命 题：另一个命题叫做原命题的否命题。
2：（1）“或”的否定为“且”，（2）“且”的否 定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
一些常见的结论的否定形式ห้องสมุดไป่ตู้
原词语 否定词 原词语
否定词
等于 不等于 任意的
1.1.3 四种命题间的相互关系
（二）四种命题的真假关系
1.互逆命题的真假关系
判断下列命题的真假，并总结规律。 原命题：若a>b，则a+c>b+c 真 (1) 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 (2) 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 假 原命题：若a>b，则ac2>bc2 假 (3) 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
分析
直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它 的逆否命题的证明. 将“若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题， 要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否 命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题， 从而达到证明原命题为真命题的目的．
例1：
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
（1）设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少 有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假 情况是（ A ） A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
（2） 命题“若a＞b则ac＞bc”(这里a、b、c 都是实数)与它的逆命题，否命题、逆否命 题中，真命题的个数为（ D ）
（1）两个命题互为逆否命题，它们有 相同的真假性. （2）两个命题互为逆命题或互为否命 题，它们的真假性没有关系.
由于原命题和它的逆否命题有 相同的真假性，所以在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以 通过证明它的逆否命题为真命题， 来间接地证明原命题为真命题．
例1：
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
四种命题间的相互关系 课件
它们之间的关系为:
互逆命题
互否命题
互为逆否命题
原命题与逆命题 原命题与否命题 原命题与逆否命题 否命题与逆否命题 逆命题与逆否命题 逆命题与否命题
2.对四种命题真假关系的两点说明 (1)由于一个命题与其逆否命题具有相同的真假性,四种命题中 有两对互为逆否命题,所以四种命题中真命题的个数必须是偶 数,即真命题可能有4个、2个或0个. (2)由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆 否命题是等价命题,因此,当直接证明原命题困难时,可以转化为 证明与其等价的逆否命题,这种证法是间接证明命题的方法,也 是反证法的一种变通形式.
【拓展提升】原命题与逆否命题等价关系的应用 (1)若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真 假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题的真假. (2)当证明某一个命题有困难时,可以证明它的逆否命题为真 (假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
【互动探究】若题2(2)的命题变为: 若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,如何判断此命题的 真假? 【解析】命题“若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根” 的逆否命题为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根,则 a≤1”,由于Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)≥0,得a≤1,故原命 题是真命题.
提示:(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系,可能一个真命 题也没有. (2)正确.原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真 假性相同,为等价命题. (3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若0<x<1, 则x>1,此命题的四种命题均为假命题. 答案:(1)× (2)√ (3)√
1.1.2~1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系
2.由原命题“若p,则q”写其他三种命题的方法:
(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q,则p”,即为逆命题;
(2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)
得到“若������ p,则������ q”,即为否命题;
(3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条
答案C (2)解法பைடு நூலகம்:原命题的逆否命题:若x2+x-a=0无实根,则a<0. ∵x2+x-a=0无实根,∴Δ=1+4a<0,解得a<- 1 ,
4
∴原命题的逆否命题为真命题. 法二:∵a≥0,∴4a≥0,∴对于方程x2+x-a=0,根的判别式 Δ=1+4a>0,∴方程x2+x-a=0有实根,故原命题为真命题. ∵原命题与其逆否命题等价,∴原命题的逆否命题为真命题.
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
(2)四种命题的真假性之间的关系: ①两个命题互为逆否命题,它们的真假性相同; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
课前篇自主预习
【做一做3】 命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、 逆否命题中,真命题的个数为( )
探究一
探究二
当堂检测
课堂篇探究学习
延伸探究若将本例改为:判断命题“若a≥0,则x2+x-a>0恒成立”的
真假.
解若x2+x-a>0恒成立,则Δ=1+4a<0,解得a<-
高一数学教案：四种命题之间的相互关系及真假判断
四种命题之间的相互关系及真假判断●教学目标(一)教学知识点1.四种命题之间的相互关系．2.一个命题的真假与其他三个命题真假之间的关系.3.互为逆否命题的等价性.(二)能力训练要求1.理解四种命题之间的相互关系.2.理解一个命题的真假及其他三个命题真假之间的关系.3.理解和掌握互为逆否命题的等价性.4.培养学生的逻辑推理能力.(三)德育渗透目标1.使学生认识到在日常生活，学习和工作中，基本的逻辑知识及推理能力是认识问题、分析问题不可缺少的工具．2.进一步提高和培养学生的逻辑思想能力．●教学重点1.四种命题之间的关系.2.四种命题的真假判断方法.3.互为逆否命题的等价性.●教学难点1.理解四种命题间的关系.2.互为逆否命题的等价性在判断命题真假时的应用．●教学方法讲、议、练结合教学法.在上节学生掌握四种命题的概念的基础上，通过实例的讨论、归纳出四种命题之间的相互关系，并利用四种命题形式上的相对性，由学生讨论回答出：把其中任何一个命题看作原命题时，和它构成“互逆”“互否”“互为逆否”关系的另一个命题，使学生灵活掌握四种命题之间关系，以突破四种命题真假关系的难点．●教具准备多媒体课件或投影片3张第一张：(记作§1．7．2 A)第二张：(记作§1．7．2 B)原命题“若a＝0，则ab＝0，”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．第三张：(记作§1．7．2 C)［例2］设原命题是：“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．”写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题?［生］若原命题是“若p则q”则它的逆命题是“若q则p”，否命题是“若┐p则┐q”，逆否命题是“若┐q则┐p．”［师］回答正确，本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断．Ⅱ.讲授新课§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系：(师用多媒体课件或投影片§1．7．2 A投影出四个命题)［师］请同学们讨论后回答下列问题：(1)哪些之间是互逆关系?(2)哪些之间是互否关系?(3)哪些之间是互为逆否关系?［生］原命题和逆命题、否命题和逆否命题之间是互逆关系．原命题和否命题、逆命题和逆否命题之间是互否关系．原命题和逆否命题、逆命题和否命题之间是互为逆否关系．(在学生回答时，教师同时在多媒体课件或投影片中投影出命题之间的相互关系．)［师］我们已明确了四种命题之间的关系，下面继续研究讨论：(板书)2.四种命题的真假之间的关系：［师］请看例题：(投影片§1．7．2 B)原命题：“若a＝0，则ab＝0”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．［生］逆命题是：“若ab＝0，则a＝0．”原命题“若a＝0则ab＝0”为真命题；逆命题：“若ab＝0则a＝0”为假命题．［师］原命题与逆命题的真假关系如何?生甲：由上例可知：原命题为真，它的逆命题一定为假．生乙：上述结论不一定成立.真假关系应是：原命题为真，它的逆命题不一定为真.［师］第二位回答正确.那么它的否命题呢?［生］它的否命题是“若a≠0，则ab≠0”为假命题.［师］你认为原命题与它的否命题的真假关系如何?［生］原命题为真，它的否命题不一定为真.［师］正确.它的逆否命题呢?［生］它的逆否命题是：“若ab≠0，则a≠0”，为真命题．［师］原命题与它的逆否命题的真假关系如何?(由学生充分讨论，例证后回答)［生］原命题为真，它的逆否命题一定为真．［师］请同学考虑原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何?［生］因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命题的否命题为真则原命题的逆命题也一定为真．［师］由上述讨论情况，请一学生归纳：(生归纳时，师板书)［生］(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真.(2)原命题为真，它的否命题不一定为真.(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.［师］归纳正确.由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.请同学们理解并熟记之.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆 否命题的真假.下面看例题：(师应强调分析：“c ＞0”是大前提，写其他命题时应保留，原命题的条件是“a ＞b ”，结论是“ac ＞bc ”．)［生］逆命题：“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞c ．”逆命题为真．否命题：“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，否命题为真.逆否命题：“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，逆否命题为真.［师］回答正确.请看练习题.Ⅲ．课堂练习课本P32 1、2(略)(学生回答后，教师加以评述)．Ⅳ.课时小结［师］本节重点讨论研究了四种命题之间的关系及真假判断，即：1.四种命题之间的关系：(投影片§1．7．2 A)2.四种命题的真假关系：⎪⎩⎪⎨⎧逆否命题一定为真否命题不一定为真逆命题不一定为真原命题为真Ⅴ.课后作业(一)书面作业：课本P33 3、4题．(二)1.预习内容：课本P32～P332.预习提纲：(1)什么叫做反证法?(2)反证法证明命题的一般步骤是什么?●板书设计§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系.2.四种命题的真假之间的关系.小结：(略)。
命题及其关系、充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系.提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“对顶角相等”是命题.(√)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(×)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(√)(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.(√)题组二教材改编2.下列命题是真命题的是()A.矩形的对角线相等B.若a>b，c>d，则ac>bdC.若整数a是素数，则a是奇数D.命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案 A3.命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________.答案两直线不平行，同位角不相等4.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠5.设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析x>y⇏x>|y|(如x＝1，y＝－2)，但当x>|y|时，能有x>y.∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.6.已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，2]解析由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，∴a≤2.题型一命题及其关系1.已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切. 其中真命题的序号是________.答案 ①③2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( )A.不拥有的人们会幸福B.幸福的人们不都拥有C.拥有的人们不幸福D.不拥有的人们不幸福答案 D3.有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题.其中真命题为________.(填写所有真命题的序号)答案 ①②③解析 ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x 2－2x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝4－4m ≥0，解得m ≤1，所以“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误.4.设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________________. 答案 若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.题型二 充分、必要条件的判定 例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 D 解析 取α＝7π3，β＝π3，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立. ∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立. 故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件.(2)已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 A解析 由5x －6>x 2，得2<x <3，即q ：2<x <3.所以q ⇒p ，p ⇏q ，所以綈p ⇒綈q ，綈q ⇏綈p ，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件，故选A.思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.跟踪训练1 (1)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )A.充要条件B.既不充分又不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件 答案 D解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件.(2)设p ：⎝⎛⎭⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 B解析 由⎝⎛⎭⎫12x <1知x >0，所以p 对应的集合为(0，＋∞)，由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的集合为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件.题型三 充分、必要条件的应用例2 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3].引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.跟踪训练2 (1)设p ：|2x ＋1|<m (m >0)；q ：x －12x －1>0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__________.答案 (0,2]解析 由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ，∴－m ＋12<x <m －12. 由x －12x －1>0，得x <12或x >1. ∵p 是q 的充分不必要条件，又m >0，∴m －12≤12，∴0<m ≤2.(2)设n ∈N ＋，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4，又n ∈N ＋，则n ＝1,2,3,4.当n ＝1,2时，方程没有整数根；当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4.利用充要条件求参数范围逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质. 例 已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 方法一 命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}.綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <12， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a <12， ∴0≤a ≤12. 方法二 命题p 为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 为B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，即A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a <12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>1，a ≤12，∴0≤a ≤12. 素养提升 例题中得到实数a 的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰.1.已知命题p ：若a <1，则a 2<1，则下列说法正确的是( )A.命题p 是真命题B.命题p 的逆命题是真命题C.命题p 的否命题是“若a <1，则a 2≥1”D.命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a <1”答案 B解析 若a ＝－2，则(－2)2>1，∴命题p 为假命题，∴A 不正确；命题p 的逆命题是“若a 2<1，则a <1”，为真命题，∴B 正确；命题p 的否命题是“若a ≥1，则a 2≥1”，∴C 不正确；命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a ≥1”，∴D 不正确.故选B.2.已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定答案 B解析 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题.3.(2018·天津)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A解析 由⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，则0<x 3<1，即“⎪⎪⎪⎪x －12<12”⇒“x 3<1”； 由x 3<1，得x <1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3<1”⇏“⎪⎪⎪⎪x －12<12”. 所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分不必要条件. 故选A.4.(2018·西安模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件 答案 A解析 由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，故选A.5.有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题.其中正确的是( )A.①②③B.②③④C.①③④D.①④ 答案 C解析 ①的逆命题“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m >1”.因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1.所以③是真命题； ④原命题为真，逆否命题也为真.6.若实数a ，b 满足a >0，b >0，则“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析设f(x)＝x＋ln x，显然f(x)在(0，＋∞)上是增加的，∵a>b，∴f(a)>f(b)，∴a＋ln a>b＋ln b，故充分性成立；∵a＋ln a>b＋ln b，∴f(a)>f(b)，∴a>b，故必要性成立，故“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”的充要条件，故选C.7.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析方法一∵数列{a n}是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，即S4＋S6>2S5.若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20d，∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件.故选C.方法二∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件.故选C.8.已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A.[2，＋∞)B.(2，＋∞)C.[1，＋∞)D.(－∞，－1]答案 B解析由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.9.有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.答案②③解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确.10.已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立.故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件.11.在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，则“cos A >sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的____________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充要解析 因为cos A >sin B ，所以cos A >cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，因为角A ，B 均为锐角，所以π2－B 为锐角， 又因为余弦函数y ＝cos x 在(0，π)上是减少的，所以A <π2－B ，所以A ＋B <π2， 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以C >π2， 所以△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形，角A ，B 均为锐角，则C >π2，所以A ＋B <π2， 所以A <π2－B ，所以cos A >cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， 即cos A >sin B .故“cos A >sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的充要条件.12.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是____________.答案 (2，＋∞)解析 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.13.已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的______________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充分不必要解析 因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β<13，则有sin(α＋β)<13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sin π＝0<13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β<13，故必要性不成立.所以“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的充分不必要条件.14.已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是____________. 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，43 解析 解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ＋1.由题意可得⎝⎛⎭⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎨⎧ m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.15.已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________.答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析 由2－m >m －1>0，解得1<m <32， 即q ：1<m <32. 因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32， 解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.16.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，0≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥2}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________________.答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－54∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞ 解析 由y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，0≤x ≤2， 得716≤y ≤2，∴A ＝⎣⎡⎦⎤716，2. 又由题意知A ⊆B ，∴2－m 2≤716，∴m 2≥2516. ∴m ≥54或m ≤－54.。
四种命题间的相互关系课件PPT
2.与命题“已知点A，直线l0，l，A∈l0,若l0∥l，则l0唯一”为 互否命题的是( ) (A)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0唯一，则l0∥l (B)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不唯一，则l0∥l (C)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不平行于l，则l0不唯一 (D)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0∥l，则l0不唯一
【想一想】解题2用的什么方法？此种方法的思路是什么？ 提示：用的方法是排除法，这种方法的思路是：首先将选择支 进行合理分类，再选择比较简单的一类作出判断，依此判断进 行排除.
互为逆否的命题同真同假的应用 【技法点拨】
命题真假判断的一种策略 当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分 类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆 否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种 策略.
互 否
逆否命题 若﹁ q,则﹁p
2.四种命题的真假性 (1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是: _没__有__关__系__. (2)①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假 性; ②逆命题与否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假性. 综上，互为逆否命题具有相同的_真__假__性__.
1.在四种命题中，只有命题“若p，则q”和“若 p，则 q” 是互否命题吗？ 提示：不是，如命题“若q，则p”和“若q，则 p”也是互 否命题.
2.互逆命题的真假性一定不等价吗？ 提示:不一定，如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意一 条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同真.
1.1.3 四种命题间的相互关系
1.认识四种命题间的相互关系及真假关系. 2.会利用命题真假的等价性解决简单问题.
四种命题 四种命题间的相互关系
否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数 根，假命题．
逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 m·n ≥0，真命题．
(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的 弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直 线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．
3．四种命题真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假 性没有关系．
温馨提示 在四种命题中，真命题的个数可能为 0，2，4 个，不 会出现奇数个．
1．下列判断中不正确的是( ) A．命题“若 A∩B＝B，则 A∪B＝A”的逆否命题 为真命题 B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题 C．“已知 a，b，m∈R，若 am2<bm2，则 a<b”的逆 命题是真命题 D．“若 x∈N*，则(x－1)2>0”是假命题
解析：A 中，逆否命题“若 A∪B≠A，则 A∩B≠B” 是真命题，正确；B 中，否命题“不是矩形的四边形的两 条对角线不相等”是假命题，正确；C 中，逆命题“已知 a，b，m∈R，若 a<b，则 am2<bm2”是假命题．所以 C 错误，符合题意．D 中，因为 x＝1 时，(1－1)2＝0，所以 是假命题，正确．
答案：C
2．命题“若 a＞b，则 2a＞2b－1”的否命题为 ___________________________________________． 解析：否命题为“若¬ p，则¬ q”，则否命题为“若 a≤b，则 2a≤2b－1”． 答案：“若 a≤b，则 2a≤2b－1”
3．下列命题： ①“等边三角形三内角都为 60°”的逆命题； ②“若 k>0，则 x2＋2x－k＝0 有实根”的逆否命题； ③“全等三角形的面积相等”的否命题； ④“若 ab≠0，则 a≠0”的否命题； 其中真命题的序号为________． 解析：①逆命题“三内角都为 60°的三角形为等边 三角形”，真命题；②逆否命题“若 x2＋2x－k＝0 没有实 根，则 k≤0”，因为Δ＝4＋4k<0，所以 k<－1，满足 k
四种命题间的相互关系
1.1.3四种命题间的相互关系学习目标 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题间的关系思考原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系？答案原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．梳理四种命题间的关系知识点二四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．(1)两个互逆命题的真假性相同．(×)(2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同．(√)(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)类型一 四种命题间的关系及真假判断例1 判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假． (1)若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0； (2)若a 2＋b 2＝0，则a ，b 都为0. 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假解 (1)逆命题：若a ≤0或b ≤0，则ab ≤0.它为假命题． 逆否命题：若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0.它为真命题．所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题．(2)原命题与其逆命题“若a ，b 都为0，则a 2＋b 2＝0”均为真命题，所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题．反思与感悟 互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键．跟踪训练1 下列命题为假命题的是( ) A ．“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”的否命题 B ．“正三角形都相似”的逆命题C ．“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题D ．“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 B解析 A 中，原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”，是真命题．B 中，原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，是假命题．C 中，原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”，∵方程无实根，∴Δ＝1＋4m ＜0，∴m ＜－14，∴原命题的逆否命题是真命题．D 中，原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”，∵x不是无理数，∴x是有理数，又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，∴原命题的逆否命题是真命题．类型二 等价命题的应用例2 设m ，n ∈R ，证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2. 考点 反证法逆否证法 题点 逆否证法证明 将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题， 则它的逆否命题为“若m ＋n ＞2，则m 2＋n 2≠2”． 因为m ＋n ＞2，所以m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＞12×22＝2.所以m 2＋n 2≠2，所以原命题得证．反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．跟踪训练2 证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1. 考点 反证法和逆否证法 题点 逆否证法证明 命题“若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若 a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．由a ＝2b ＋1，得a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2×(2b ＋1)＋1＝4b 2＋4b ＋1－4b 2－4b －2＋1＝0，显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证.1．命题“若(綈p )，则q ”的逆否命题为( ) A ．若p ，则(綈q ) B ．若(綈q )，则(綈p ) C ．若(綈q )，则pD ．若q ，则p考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题 答案 C2．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题 考点 四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假 答案 A解析 对A ，即判断：若x >|y |，则x >y 的真假，显然是真命题．3．命题“若x >1，则x >0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________． 考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题答案 若x >0，则x >1 若x ≤0，则x ≤1 4．有下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题； ②“若1a ＞1b ，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题． 其中是假命题的是________． 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数 答案 ①②解析 对于①，其否命题为：若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根，显然为假命题；对于②，若a ＜b ，则1a ＞1b ，为假命题；③则为真命题，故假命题为①②.5．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0无解”． (1)写出命题p 的否命题； (2)判断命题p 的否命题的真假． 考点 四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假解 (1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0有解”． (2)命题p 的否命题是真命题．判断如下： 因为ac <0，所以－ac>0，Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、选择题1．以下说法错误的是()A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 B2．一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数不可能为()A．0 B．1C．2 D．4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析互为逆否关系的两个命题的真假性相同．3．“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”为原命题，则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 C解析只有其逆命题、否命题为真命题．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．若x<y，则x2<y2B．若x≤y，则x2≤y2C．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2考点四种命题的概念题点按要求写命题答案 B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．6．给出下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是()A．①②B．②③C．③④D．②④考点反证法和逆否证法题点逆否证法答案 D解析根据面面垂直的判定定理可知②是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”，可知④是真命题．7．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假D ．假、假、假考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题． 8．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题． 其中真命题为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④ 考点 四种命题间的关系题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 C解析 ①逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，假命题；③当q ≤1时，Δ＝4－4q ≥0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题；④逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假命题．故选C. 二、填空题9．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2(a ，b ∈R )”的否命题的真假性为________．(填“真”或“假”) 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 真解析 其否命题为：若a ≤b ，则ac 2≤bc 2，它为真命题．10．已知命题p ：若a ＞b ＞0，则12log a ＜12log b ＋1，则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________． 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 2解析 ∵a ＞b ＞0，∴12log a ＜12log b ，∴命题p 为真命题，其逆命题为“若12log a ＜12log b ＋1，则a ＞b ＞0”，∵当a ＝2，b ＝2时，12log a ＜12log b ＋1成立，而a ＝b ，∴逆命题为假命题．∵原命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题互为逆否命题， ∴命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.11．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(只填序号) 考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 ②解析 ①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC 1为模型来观察：上底面A 1B 1C 1D 1中任何三个顶点都不共线，但A 1，B 1，C 1，D 1四点共面，所以①的逆命题是假命题．②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．易知其是真命题． 三、解答题12．判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形； (2)若x ∉A ∩B ，则x ∉A 且x ∉B ； (3)若x 2＋y 2≠0，则xy ≠0. 考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假解 (1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题是“若x ∈A 或x ∈B ，则x ∈A ∩B ”，它为假命题，故原命题为假． (3)该命题的逆否命题是“若xy ＝0，则x 2＋y 2＝0”，它为假命题，故原命题为假． 13．判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假．考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．四、探究与拓展14．已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )①M 中的元素都不是P 的元素；②M 中有不属于P 的元素；③M 中有属于P 的元素；④M 中的元素不都是P 的元素．A ．1B ．2C ．3D ．4考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析 由于“M ⊆P ”为假命题，故M 中至少有一个元素不属于P ，∴②④正确．M 中可能有属于P 的元素，也可能都不是P 的元素，故①③错误．故选B.15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？ 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5. 由12x 2－3x ＋1＞0，得2x 2－3x ＋1＞0， 解得x ＜12或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B .令a ＝4，得p ：x ＜－35或x ＞1， 满足题意，故可以选取a ＝4，此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1＞0”．。
四种命题四种命题间相互关系
四种命题四种命题间的相互关系1.了解四种命题的概念,会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.重点2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.难点3.利用命题真假的等价性解决简单问题.难点、易错点教材整理1 四种命题阅读教材P4～P6,完成下列问题.1.四种命题的概念一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定,那么把这样的两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.2.四种命题的形式原命题：若p,则q.逆命题：若q,则p.否命题：若﹁p,则﹁q.逆否命题：若﹁q,则﹁p.判断正确的打“√”,错误的打“×”1有的命题没有逆命题.2四种命题中,原命题是固定的.3“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”.解:1只要原命题确定了,它的逆命题就确定了,故1错.2四种命题中原命题具有相对性,故2错.3“对顶角相等”的否命题为“若两个角不是对顶角,则这两个角不相等”,故3错.答案:1×2×3×教材整理2 四种命题间的相互关系阅读教材P6～P8,完成下列问题.1.四种命题之间的相互关系2.四种命题的真假关系1四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况2四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.判断正确的打“√”,错误的打“×”1对于一个命题的四种命题,可以一个真命题都没有.2两个互逆命题的真假性相同.3命题“若a＞－3,则a＞－6”以及它的逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的个数有3个. 解:1若原命题为假命题,则其逆否命题为假命题,逆命题和否命题可都为假命题,故1对.2两个互逆命题的真假性无关,故2错.3原命题和逆否命题正确,否命题和逆命题错误,故3错.答案:1√2×3×小组合作探究四种命题的概念例1、写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题：1如果直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面；2如果x＞10,那么x＞0；3当x＝2时,x2＋x－6＝0.根据四种命题的结构写出所求命题.自主解答：1逆命题：如果直线垂直于平面,那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面,那么直线不垂直于平面内的两条相交直线.2逆命题：如果x＞0,那么x＞10；否命题：如果x≤10,那么x≤0；逆否命题：如果x≤0,那么x≤10.3逆命题：如果x2＋x－6＝0,那么x＝2；否命题：如果x≠2,那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0,那么x≠2.1.写出一个命题的其他三种命题的步骤1分析命题的条件和结论；2将命题写成“若p,则q”的形式；3根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.注意：如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必须注意各命题中的大前提不变.2.常见词语的否定再练一题1.1命题“若m＞n,则m－1＞n－2”的逆否命题为________. 2分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：①正数的平方根不等于0；②若x2＋y2＝0x,y∈R,则x,y全为0.解：1若m－1≤n－2,则m≤n.2①逆命题：若一个数的平方根不等于0,则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数,则这个数的平方根等于0；逆否命题：若一个数的平方根等于0,则这个数不是正数.②逆命题：若x,y全为0,则x2＋y2＝0x,y∈R；否命题：若x2＋y2≠0x,y∈R,则x,y不全为0；逆否命题：若x,y不全为0,则x2＋y2≠0x,y∈R.四种命题真假的判断例2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题、逆否命题,然后判断它们的真假：1正偶数不是素数；2平行于同一条直线的两条直线平行.错误!→错误!→错误!自主解答：1原命题：若一个数是正偶数,则这个数不是素数,是假命题；逆命题：若一个数不是素数,则这个数是正偶数,是假命题；否命题：若一个数不是正偶数,则这个数是素数,是假命题；逆否命题：若一个数是素数,则这个数不是正偶数,是假命题.2原命题：若两条直线平行于同一条直线,则这两条直线平行,是真命题.逆命题：若两条直线平行,则这两条直线平行于同一条直线,是真命题.否命题：若两条直线不平行于同一条直线,则这两条直线不平行,是真命题.逆否命题：若两条直线不平行,则这两条直线不平行于同一条直线,是真命题.在判断一个命题的真假时,可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论,直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题,而是根据命题之间的关系进行判断,即原命题和逆否命题同真同假,逆命题和否命题同真同假.再练一题2.下列命题：①“若xy＝1,则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题.其中是真命题的是________.解：①“若xy＝1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy＝1”,是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题,所以其逆否命题也是真命题.所以真命题是①②③.答案：①②③探究共同研讨等价命题的应用探究 1 我们学习了四种命题的关系,那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时,该怎么办提示可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.探究2 根据互为逆否命题的真假性相同来判断命题的真假,是哪种证明方法的理论基础提示是反证法的理论基础.例3判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2＋2a＋1x＋a2＋2≤0的解集不是空集,则a≥1”的逆否命题的真假.法一：错误!→错误!→错误!→错误!法二：错误!→错误!自主解答法一：原命题的逆否命题：已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2＋2a＋1x＋a2＋2≤0的解集为空集.真假判断如下：∵抛物线y＝x2＋2a＋1x＋a2＋2开口向上,判别式Δ＝2a＋12－4a2＋2＝4a－7,若a<1,则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋2a＋1x＋a2＋2与x轴无交点.所以关于x的不等式x2＋2a＋1x＋a2＋2≤0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.法二：先判断原命题的真假.因为a,x为实数,且关于x的不等式x2＋2a＋1x＋a2＋2≤0的解集不是空集,所以Δ＝2a＋12－4a2＋2≥0,即4a－7≥0,解得a≥错误!.因为a≥错误!,所以a≥1,所以原命题为真.又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真.这种问题的解决通常有两种方法：一是直接法,先写出逆否命题,后判断,如法一；二是间接法,不写逆否命题,从判断原命题的真假证明逆否命题的真假,如法二.再练一题3.证明：已知函数fx是－∞,＋∞上的增函数,a、b∈R,若fa＋fb≥f－a＋f－b,则a＋b≥0.解：原命题的逆否命题为“已知函数fx是－∞,＋∞上的增函数,a,b∈R,若a＋b＜0,则fa＋fb＜f－a＋f－b.”∵当a＋b＜0时,a＜－b,b＜－a,又∵fx在－∞,＋∞上是增函数,∴fa＜f－b,fb＜f－a.∴fa＋fb＜f－a＋f－b,即逆否命题为真命题.∴原命题为真命题.1.命题“若一个数是负数,则它的相反数是正数”的逆命题是A.“若一个数是负数,则它的相反数不是正数”B.“若一个数的相反数是正数,则它是负数”C.“若一个数不是负数,则它的相反数不是正数”D.“若一个数的相反数不是正数,则它不是负数”解：若原命题记作“若p,则q”,则A为“若p,则﹁q”；B为“若q,则p”；C为“若﹁p,则﹁q”；D为“若﹁q,则﹁p”.故B正确.答案：B2.命题“如果x2＜1,则－1＜x＜1”的逆否命题是A.如果x2≥1,则x≥1,或x≤－1B.如果－1＜x＜1,则x2＜1C.如果x＞1或x＜－1,则x2＞1D.如果x≥1或x≤－1,则x2≥1解：“－1＜x＜1”的含义是“x＞－1且x＜1”,故“－1＜x＜1”的否定是“x≥1或x≤－1”,故选D.答案：D3.已知命题：“若x≥0,y≥0,则xy≥0”,则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是解：由题意可判断原命题为真命题,故逆否命题也为真命题,其逆命题为“若xy≥0,则x≥0,y≥0”,为假命题,所以否命题也为假命题,故四个命题中,真命题的个数为2.答案：B4.有下列四个命题：①命题“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1,则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B,则AB”的逆否命题.其中是真命题的是________填上你认为正确的命题的序号.解：④中由A∩B＝B,应该得出BA,原命题为假命题,所以逆否命题为假命题. 答案：①②③5.判断命题：“若b≤－1,则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假.解：利用原命题因为原命题与逆否命题真假性一致,所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ＝4b2－4b2＋b＝－4b,因为b≤－1,所以Δ≥4＞0,故此方程有两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真.。
高考数学第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件教案文
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充分条件与必要条件1．(2019·昆山中学检测)下列有关命题的说法不正确的有________个．①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；③命题“∃x0∈R，x20＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案：32．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．答案：充要3．(2019·南通中学检测)命题“若x2＋y2≤1，则x＋y＜2”的否命题为________________．答案：若x 2＋y 2＞1，则x ＋y ≥24．“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的________条件．解析：若x ＞0，则x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，显然[1，＋∞) (0，＋∞)，所以x ≥1是x ＋1x≥2的充分不必要条件．答案：充分不必要1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且AB )两者的不同．[小题纠偏]1．(2019·海门中学检测)已知α，β表示两个不同平面，直线m 是α内一条直线，则“α∥β”是“m ∥β”的________条件．答案：充分不必要2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________. 解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角 考点一 四种命题相互关系及真假判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·启东中学期末检测)能够说明“设a ，b 是任意实数，若a 2＜b 2，则a ＜b ”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________．解析：可令a ＝1，b ＝－2，满足a 2＜b 2，但a ＞b . 答案：1，－2(答案不唯一)2．(2019·常州一中测试)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________________．解析：命题的条件是p ：α＝π4，结论是q ：tan α＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若非q ，则非p ”，显然非q ：tan α≠1，非p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．答案：若tan α≠1，则α≠π43．给出以下四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，但a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．2．谨防3类失误(1)如果原命题是“若p ，则q ”，则否命题是“若綈p ，则綈q ”，而命题的否定是“若p ，则綈q ”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．(2)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写． (3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提． 考点二 充分、必要条件的判定重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·泰州中学高三学情调研)“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的________条件．解析：当a ＝0时，f (x )＝x 3，所以函数f (x )是奇函数，当函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数时，f (－x )＝－x 3＋ax 2＝－f (x )＝－x 3－ax 2，所以2ax 2＝0恒成立，所以a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件．答案：充要2．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的____________条件． 解析：因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2， 綈q ：x ＝－1且y ＝－1， 因为綈q ⇒綈p 但綈p 綈綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要[由题悟法]充分、必要条件的3种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．[即时应用]1．(2018·苏州新区实验中学测试)在△ABC 中，“A ≠60°”是“cos A ≠12”的________条件．解析：当A ＝60°时，可以推得cos A ＝12；当cos A ＝12时，由于A ∈(0，π)，也可以推得A ＝60°，故“A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件. 即“A ≠60°”是“cos A ≠12”的充要条件．答案：充要2．设p ：x 2－x －20＞0，q ：log 2(x －5)＜2，则p 是q 的______条件．解析：因为x 2－x －20＞0，所以x ＞5或x ＜－4，所以p ：x ＞5或x ＜－4.因为log 2(x －5)＜2，所以0＜x －5＜4，即5＜x ＜9，所以q ：5＜x ＜9，因为{x |5＜x ＜9}{x |x ＞5或x ＜－4}，所以p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分3．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的________________条件．解析：因为m ＝λn ，所以m ·n ＝λn ·n ＝λ|n|2. 当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m||n|cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件． 答案：充分不必要考点三 充分、必要条件的应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知A ＝{x |x ＜4}，且A B ，所以a ＞4. 答案：(4，＋∞)2．(2019·响水中学检测)设p ：x 2－2x ＜0，q ：(x －m )(x －m －3)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．解析：由x 2－2x ＜0，得0＜x ＜2，即p ：0＜x ＜2， 由(x －m )(x －m －3)≤0，得m ≤x ≤m ＋3， 即q ：m ≤x ≤m ＋3，若p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0，m ＋3≥2，即－1≤m ≤0.答案：[－1,0][由题悟法]根据充分、必要条件求参数的值或范围的关键点(1)先合理转化条件，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．(2018·兴化三校联考)已知p ：x ≥a ，q ：x 2－2x －3≥0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由x 2－2x －3≥0，得x ≤－1或x ≥3， 若p 是q 的充分不必要条件，则{x |x ≥a }⊆{x |x ≤－1或x ≥3}，所以a ≥3. 答案：[3，＋∞)2．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ， 命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件， 所以m ＋3≤－4或m ≥1， 故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)3．(2019·高邮中学检测)若关于x 的不等式x 2－2x ＋3－a ＜0成立的一个充分条件是1＜x ＜4，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2－2x ＋3－a ＜0成立的一个充分条件是1＜x ＜4， ∴当1＜x ＜4时，不等式x 2－2x ＋3－a ＜0成立． 设f (x )＝x 2－2x ＋3－a ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧f1≤0，f4≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2＋3－a ≤0，16－8＋3－a ≤0，解得a ≥11.答案：[11，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·张家港外国语学校检测)命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是________________________．答案：若x≠3，则x2－4x＋3≠02．(2019·苏州实验中学检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.命题甲：A＋C＝2B，且a＋c＝2b；命题乙：△ABC是正三角形，则命题甲是命题乙的________条件．答案：充要3．“m＝3”是“两直线l1：mx＋3y＋2＝0和l2：x＋(m－2)y＋m－1＝0平行”的________条件．答案：充要4．(2018·南京模拟)有下列命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，真命题．答案：②③5．若x＞5是x＞a的充分条件，则实数a的取值范围为____________．解析：由x＞5是x＞a的充分条件知，{x|x＞5}⊆{x|x＞a}，所以a≤5.答案：(－∞，5]6．(2018·苏州中学检测)已知集合A＝{x|x(x－3)＜0}，B＝{x||x－1|＜2}，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．解析：因为集合A＝(0,3)，集合B＝(－1,3)，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．答案：充分不必要二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________________．解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”2．(2018·南通中学高三测试)已知a，b都是实数，命题p：a＋b＝2；命题q：直线x ＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，则p是q的________条件．解析：圆(x －a )2＋(y －b )2＝2的圆心为(a ，b )，半径r ＝2，直线x ＋y ＝0与圆相切，则圆心到直线的距离d ＝|a ＋b |1＋1＝2，解得|a ＋b |＝2.即a ＋b ＝±2，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要3．(2018·南通模拟)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b＞3”是“log a 3＜log b 3”的________条件．解析：因为3a ＞3b＞3，所以a ＞b ＞1，此时log a 3＜log b 3；反之，若log a 3＜log b 3，则不一定得到3a ＞3b ＞3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3＜log b 3成立，但推不出a ＞b ＞1.故“3a＞3b＞3”是“log a 3＜log b 3”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(2019·无锡一中检测)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B ＞sin C 是B ＞C 的充要条件”是真命题； ③x ≤3是|x |≤3的充分不必要条件；④命题“若x ＜－1，则x 2－2x －3＞0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)． 解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＞sin C ⇔b ＞c ⇔B ＞C ，②正确；对于③，因为|x |≤3x ≤3，所以x ≤3是|x |≤3的必要不充分条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④5．(2018·南通一中高三测试)已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x ＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}． 因为p 是q 的充分不必要条件，所以MN ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ＋1＜4，解得0＜a ＜3.答案：(0,3)6．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的________条件．解析：p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分7．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2＞－3，但22＜32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2＞(－2)2，但－3＜2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：38．(2018·常熟中学测试)给定下列命题： ①若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根； ②若x ＋y ≠8，则x ≠2或y ≠6；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零”的否命题． 其中真命题的序号是________．解析：①因为Δ＝4－4(－k )＝4＋4k ＞0，所以①是真命题；②其逆否命题为真；故②是真命题；③“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；④否命题：“若xy ≠0，则x ，y 都不为零”是真命题．答案：①②④9．(2018·天一中学期末)已知p ：|x －1|＞2，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由|x －1|＞2，得x －1＞2或x －1＜－2，即x ＞3或x ＜－1. 由x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，得[x －(1－a )][x －(1＋a )]≥0， 即x ≥1＋a 或x ≤1－a ，a ＞0. 若q 是p 的必要不充分条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤3，1－a ≥－1，解得0＜a ≤2.答案：(0,2]10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，所以a 3＋a 4＝a 1＋a 2，所以q 2＝1⇔|q |＝1，所以“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要11．(2019·南师大附中检测)设p ：实数x 满足x 2＋2ax －3a 2＜0(a ＞0)，q ：实数x 满足x 2＋2x －8＜0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解：由x 2＋2ax －3a 2＜0(a ＞0)，得－3a ＜x ＜a ，即p ：－3a ＜x ＜a . 由x 2＋2x －8＜0，得－4＜x ＜2，即q ：－4＜x ＜2. 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以p 能推出q ，q 不能推出p ， 所以{x |－3a ＜x ＜a }{x |－4＜x ＜2}， 即⎩⎪⎨⎪⎧－3a ≥－4，a ＜2，a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＞－4，a ≤2，a ＞0，解得0＜a ≤43，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43.12．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫mx －1x ＜0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12x ＞1}，命题p ：实数m 为小于6的正整数，q ：A 是B 成立的充分不必要条件，r ：A 是C 成立的必要不充分条件．若命题p ，q ，r 都是真命题，求实数m 的值．解：因为命题p 是真命题， 所以0＜m ＜6，m ∈N ，① 所以A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫mx －1x ＜0＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜1m .由题意知，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |log 12x ＞1＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜12.因为命题q ，r 都是真命题，所以A B ，C A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1m ≤4，1m ＞12.②由①②得m ＝1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的________条件． 解析：当等比数列{a n }的首项a 1＜0，公比q ＞1时，如a n ＝－2n是递减数列，所以充分性不成立；反之，若等比数列{a n }为递增数列，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＜0，0＜q ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＞0，q ＞1，所以必要性不成立，即“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要2．(2018·苏州木渎中学测试)若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a ＜0，综上，实数a 的取值范围为[－3,0]．答案：[－3,0]3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}．(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}＝{x |2＜x ＜4}， B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，要满足题意， 则⎩⎨⎧ 3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2. (2)要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }则a ≥4或3a ≤2，即0＜a ≤23或a ≥4. 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，则a ≤2或a ≥43，即a ＜0. 当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，23∪[4，＋∞)．。
四种命题间的相互关系
反证法： 反证法：
要证明某一结论A是正确的， 要证明某一结论 是正确的，但不直接证 是正确的 而是先去证明A的反面 的反面（ 明 ， 而是先去证明 的反面 （ 非 A） 是错 ） 误的，从而断定A是正确的 是正确的。 误的，从而断定 是正确的。 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论 来达到肯定命题的结论， 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的 论证的一种数学证明方法。 论证的一种数学证明方法。
2 2
∴x + y > 0 所 x + y ≠ 0 ， 以 2 2 (2)x ≠ 0且＝， x > 0 y ＝ y 0 则 ， 0
2 2 2 2
∴x + y > 0 所 x + y ≠ 0 ， 以 2 2 (3)x 0 y ≠ 0 则 ＝， > 0 ＝且 ， x 0 y
2 2 2 2
∴x + y > 0 所 x + y ≠ 0 ， 以
新课讲授
若p则q 则 原命题 若q则p 则 逆命题
否命题 若¬ p则¬ q 则
逆否命题 若¬ q则¬ p 则
新课讲授
若p则q 则 原命题 互逆 若q则p 则 逆命题
否命题 若¬ p则¬ q 则
逆否命题 若¬ q则¬ p 则
新课讲授
若p则q 则 原命题 互 否 互逆 若q则p 则 逆命题
否命题 若¬ p则¬ q 则
否命题与逆命题之间的真假关系
最新人教版高中数学选修2-1第一章《四种命题间的相互关系》知识导学
1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课标解读1.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义.2.掌握四种命题之间的关系,并会判断四种命题的真假性.3.掌握反证法证题的一般步骤,并会用反证法证明简单的数学问题.学会思考1.用通俗易懂的语言来表述逆命题、否命题、逆否命题.2.你认为哪些类型的问题常用反证法证明?答案:1.关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以如下表述:(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题.(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.2.以下几种形式的命题常用反证法证明:(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等;(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现;(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明;(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.自学导引1.一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_________和_________,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做_________(o r iginal p r opo s i t ion),另一个叫做原命题的_________(in v e rs e p r opo s i t ion).2.若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为_________.3.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命题的_________和 _________ ,把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的_________(nega t i v e p r opo s i t ion).4.若原命题为“若p则q”,则它的否命题为“________”.5.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_________和_________,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题,其中一个叫做原命题,则另一个叫做原命题的_________(in v e rs e and nega t i v e p r opo s i t ion).6.若原命题为“若p则q”，则它的逆否命题为“_________”.7.两个命题互为逆否命题,它们是_________具有_________.8.两个命题为_________或_________,它们的真假性没有关系.9.用反证法证明命题的一般步骤是:(1)___________________________；(2)___________________________；(3)___________________________.答案:1.结论条件原命题逆命题2.若q则p3.条件的否定结论的否定否命题4.若⌝p则⌝q5.结论的否定条件的否定逆否命题6.若⌝q则⌝p7.等价的相同的真假性8.互逆命题互否命题9.(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾(3)由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确典例启示知识点1四种命题的概念,并判断真假【例1】在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是________.(把符合要求的命题的序号都填上)解析:①的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面；显然不正确.②的逆命题是:若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点;为真命题.答案:②启示:本题考查点共线、点共面和异面直线的基本知识,考查命题的有关概念.【例2】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.(1)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根;(2)若ab=0,则a=0或b=0;(3)若x2+y2=0,则x、y全为零.解:(1)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,为假命题.否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,假命题.逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,真命题.(2)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0,真命题.否命题:若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题.逆否命题:若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题.(3)逆命题:若x、y全为零,则x2+y2=0,真命题.否命题:若x2+y2≠0,则x、y不全为零,真命题.逆否命题:若x、y不全为零,则x2+y2≠0,真命题.启示:在判断命题的真假性时,应充分利用原命题与逆否命题,逆命题和否命题是等价的 这一知识.【例3】写出下列命题的否定和否命题.(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等;(2)零的平方等于0.解析:本题的关键是弄清命题的否定,即 p与否命题的区别,命题的否定是对命题的结论加以否定,而否命题是对命题的条件和结论都加以否定.答案:(1)命题的否定:正n边形(n≥3)的n个内角不全相等;否命题:不是正n边形(n≥3)的n个内角不全相等.(2)命题的否定:零的平方不等于零;否命题:不等于零的数的平方不等于零.启示:求命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词语.下面把常用的一些知识点2 反证法的应用【例4】 若a 、b 、c 均为实数,且a =x 2-2y +2π,b =y 2-2z +3π,c =z 2-2x +6π,求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.分析:利用反证法证明.证明:(反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a ≤0,b ≤0,c ≤0,则a +b +c ≤0,而a +b +c =x 2-2y +2π+y 2-2z +3π+z 2-2x +6π=(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2+π-3. ∵π-3>0,且(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2≥0,∴a +b +c >0.这与a +b +c ≤0矛盾, 因此a 、b 、c 中至少有一个大于0.启示:含有“至多、至少”类型的命题常用反证法 证明.【例5】 已知a 、b 、c 是一组勾股数,即a 2+b 2=c 2,求证:a 、b 、c 不可能都是奇数. 分析:利用反证法证明.证明:假设a 、b 、c 都是奇数.∵a 、b 、c 是一组勾股数,∴a 2+b 2=c 2.①∵a 、b 、c 都是奇数,∴a 2、b 2、c 2也都是奇数.∴a 2+b 2是偶数,这样①式的左边是偶数右边是奇数,产生矛盾. ∴a 、b 、c 不可能都是奇数.启示:命题以否定的形式出现常选用反证法证明. 随堂训练1.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的…( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.无关命题 解析：依逆命题定义易得. 答案：A2.命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( ) A.上述四个命题 B.原命题与逆命题 C.原命题与逆否命题 D.逆命题与否命题解析：因真命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题. 答案：C3.用反证法证明命题“32+是无理数”时，假设正确的是( ) A.假设2是有理数 B.假设3是有理数 C.假设2或3是有理数 D.假设32+是有理数4.命题“若A ∪B =A ,则A ∩B =B ”的否命题是…( )A.若A∪B≠A,则A∩B≠BB.若A∩B=B,则A∪B=AC.若A∩B≠B,则A∪B≠AD.若A∪B≠A,则A∩B=B答案:3.D 4.A5.命题“若a>1,则a>0”的逆命题是_______，逆否命题是_______.答案:若a>0,则a>1若a≤0,则a≤16.给定下列命题:①“若k>0，则方程x2+2x-k=0”有实根；②“若a>b，则a+c>b+c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是_______.解析:①Δ=4+4k>0,∴是真命题.②否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”,是真命题.③逆命题“对角线相等的四边形是矩形”,是假命题.④否命题:“若xy≠0，则x、y都不为零”,是真命题.答案:①②④。
四种命题之间的相互关系
2.四种命题真假旳个数可能为（ 答：0个、2个、4个。
）个。
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
（假） （假） （假） （假）
例题讲解
例1：设原命题是：当c>0时，若a>b, 则ac>bc. 写出它旳逆命题、否命题、逆否命题。 并分别判断它们旳真假。
例：证明：若p2+q2=2,则p+q 2
巩固练习；P 9练习
小结：
1、本节内容： （1）四种命题旳关系 （2）四种命题旳真假关系
(3) 一种思想
作业：P10 A组 3（2）、4
(两个命题为互逆命题或互否命题,它们旳真假性 没有关系).
练一练
1.判断下列说法是否正确。 1）一种命题旳逆命题为真，它旳逆否命题不一定为真；（对） 2）一种命题旳否命题为真，它旳逆命题一定为真。 （对） 3）一种命题旳原命题为假，它旳逆命题一定为假。 （错） 4）一种命题旳逆否命题为假，它旳否命题为假。 （错）
3）若f (x)不是正弦函数，则f (x)不是周期函数。 4）若f (x)不是周期函数，则f (x)不是正弦函数。
你能说出其中任意 两个命题之间旳关
系吗?
1、四种命题之间旳 关系
原命题
若p则q
互逆 逆命题
若q则p
互
互
否
否
否命题
逆否命题
若﹁p则﹁q
互逆 若﹁q则﹁p
2.四种命题旳真假
看下面旳例子：
３、互为逆否命题：假如第一种命题旳条件和 结论分别是第二个命题旳结论旳否定和条件旳否定， 那么这两个命题叫做互为逆否命题。
(完整版)四种命题、四种命题间的相互关系
四种命题四种命题间的相互关系1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。
3、会用命题的等价性解决问题。
【核心扫描】：1、结合命题真假的判定，考查四种命题的结构。
(重点)2、掌握四种命题之间的相互关系。
(重点)3、等价命题的应用。
(难点)1、四种命题的概念(1) 互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
若原命题为“若p,则q”则逆命题为“若q，则P”(2) 互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说，若原命题为若p，则q”则否命题为若非p，则非q。
(3) 互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题•也就是说，若原命题为若p,则q”，则逆否命题为若非q，则非p。
任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的相互关系3、四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况:⑵四种命题的真假性之间的关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0, 2, 4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定,则四种命题的形式可表示为：原命题：若P,则q；逆命题：若q,则p；否命题：若非P,则非q;逆否命题：若非q，则非p.(1) 关于四种命题也可叙述为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题.(2) 已知原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。
命题之间的关系及命题真假的判断
试填表：
原命题 逆命题 真 真 假 假 真 假 假 真 假 否命题 逆否命题 真
1.反证法的定义
• 从命题的结论的反面出发，进行推理，引 出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证 明方法叫反证法。
2.反证法证题的步骤：
（1）否定— 假设命题的结论不成立，而假设命题 的反面成立 ，即否定结论 .（若结论的反面有多 种情况时，必须一一加以否定。） （2）推理— 从这个假设和原条件出发，进行推理。 — （3）矛盾— 通过推理，导致矛盾。即得出与已知 条件、定义、公理或明显的事实相矛盾。 （4）肯定— 有矛盾判定假设不成立 ，从而肯定原 命题成立 。
例2：写出下列命题的逆、否、逆否 命题，并判断其真假。
（1） 当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc； 解：原命题真； 逆命题：当c ＞0时，若ac ＞ bc ，则a ＞ b ； 为真； 否命题：当c ＞0时，若a ≤ b ，则ac ≤ bc ； 为真； 逆否命题:当c ＞0时,若ac ≤ bc ，则a ≤ b ； 为真。
（2）若a2+b2=0 ,则a、b全为0；
解：原命题为真； 逆命题：若a、b全为0 ，则a2+b2=0；为真； 否命题：若a2+b2≠0,则 a、b不全为0；为真； 逆否命题：若a、b不全为0 ，则a2+b2≠0；为真。 (3) 若a ＞0，则x2+x－a=0有实根。 解：原命题为真； 逆命题：若x2+x－a=0有实根，则a ＞0；为假； 否命题：若a ≤0，则 x2+x－a=0没有实根；为假； 逆否命题：若x2+x－a=0没有实根，则a ≤0 ；为真。
结论：
• 两个互为逆否的命题的真假是相同的。即 两个互为逆否的命题的真假是相同的。 两个互为逆否的命题是等价命题。 两个互为逆否的命题是等价命题。 • 解题技巧:(1)若判断一个命题的真假较困 若判断一个命题的真假较困 难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 • (2)在判断四种命题的真假时，只需判定其 中两个就行了。
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真 真
真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 假 否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直。
原命题：若a>b，则ac2>bc2 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2
假 真
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 假 否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。
方法感悟 一个命题与它的逆否命题同真同假，所以当一 个命题的真假不易判断时，往往可以判断原命 题的逆否命题的真假，从而判断出原命题的真 假．
作业: P
3
1—10
选做11
逆命题： 若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 否命题： 若四边形不是正方形，则 四边形两对角线不垂直。 逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。
知识巩固:
把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出逆命题、否
命题、逆否命题。
1.负数的平方是正数 原命题： 若一个数是负数，则它的平方是正数。 逆命题： 若一个数的平方是正数，则它是负数。 否命题： 若一个数不是负数，则它的平方不是正数。 逆否命题： 若一个数的平方不是正数，则它不是负数。 2.正方形的四条边相等 原命题: 逆命题： 否命题： 逆否命题：
否命题： 若x2＋y2≠0，则xy≠0 逆否命题： 若xy ≠0，则x2＋y2 ≠0
原命题：若x∈A∪B，则x∈ UA∪ U B 逆命题： x∈ UA∪ UB ，x∈A∪B 。 否命题： xA∪B，x UA∪ UB。
真 假 假 真 假 假 假 假
图示
逆否命题：x UA∪ UB ，xA∪B 。
等价命题的应用 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为 逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否 命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题． 例2 判断命题“已知 a ， x 为实数，若关于 x 的不等 式 x2＋ (2a ＋ 1)x ＋ a2＋ 2≤0 的解集非空，则 a≥1”的逆 否命题的真假．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的 解集为空集． 故原命题的逆否命题为真． 法二：先判断原命题的真假： 2 因为 a，x 为实数，且关于 x 的不等式 x ＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0 的解集非空， 所以 Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即 4a－7≥0， 7 7 解得 a≥ .因为 a≥ ， 4 4 所以 a≥1，所以原命题为真． 又因为原命题与其逆否命题等价， 所以逆否命题为真．
知识巩固:
分别写出下列命题。
A 原命题： 若a>b，则a+c>b+c .
逆命题： 若a+c>b+c，则a>b. 否命题： 若a≤b，则a+c≤b+c. 逆否命题： 若a+c≤b+c，则a≤b. C 原命题： 若p则q 逆命题： 若q则p 否命题： 若﹁ p则﹁ q 逆否命题：若﹁ q则﹁p
B 原命题： 若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。
【思路点拨】
【解】 法一：原命题的逆否命题： 已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式 x2 ＋ (2a ＋ 1)x ＋ a2 ＋ 2≤0 的解集为空集．判断 其真假如下： 抛物线 y ＝ x2 ＋ (2a ＋ 1)x ＋ a2 ＋ 2 的图象开口向 上， 判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. 因为a<1，所以4a－7<0. 即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴 无交点．
U
A A∩B
B
Back
设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”, 写出逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。
原命题： 当c>0时，若a>b，则ac>bc 真
逆命题：
当c>0时，若ac>bc，则a>b
真
真 真
否命题： 当c>0时，若a≤b，则ac≤bc 逆否命题： 当c>0时，若ac≤bc，则a≤b
确定条件和结论 → 所求命题
【解析】
①原命题的否命题为“若x2＋y2＝
0，则x，y全为零”．真命题
②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，
则这两个三角形是正三角形”．假命题
③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实 根，则m≤0”． ∵方程无实根， ∴判别式Δ＝1＋4m<0，
1 ∴m<－ ≤0.真命题 4 ④原命题的逆否命题为“若 x 不是无理数，则 x－ 2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数． 又 2是无理数， ∴x－ 2是无理数，不是有理数．真命题 故正确的命题为①③④，故选 B.
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。 假
结 论 1
原命题的真假和 逆命题的真假没有关 系。
四种命题的关系
2.互否命题的真假关系
判断下列否命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c
结 论
4
逆命题和否命题总 是同真同假。
四种命题的关系
原命题 若 p则 q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p
达标检测
分别写出下列命题，并判断真假。
原命题：若x2＋y2＝0，则xy＝0 逆命题： 若xy ＝0，则x2＋y2 ＝0
真 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c 真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 假 否命题：若四边形是不正方形，则四边形两对角线不垂直。 假 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 真 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2 真 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 假 否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。 假 逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。
知识回顾:
四种命题的概念
什么叫互逆命题？ 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论和条 件，这两个命题就叫做互逆命题。把其中一个叫做原命题， 则另一个叫做原命题的逆命题。
什么叫互否命题？
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否 定和结论的否定，这两个命题就叫做互否命题。把其中一个 叫做原命题，则另一个叫做原命题的否命题。 注意：区分否命题和命题的否定（非p ）。 什么叫互为逆否命题？ 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否 定和条件的否定，这两个命题就叫做互为逆否命题。把其中 一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的逆否命题。
下列命题中正确的是( ) ①“若 x2＋y2≠0，则 x，y 不全为零”的否命 题； ②“正三角形都相似”的逆命题； ③“若 m>0，则 x2＋x－m＝0 有实根”的逆 否命题； ④“若 x－ 2是有理数， 则 x 是无理数”的逆 否命题．
例1
A．①②③④ C．②③④
B．①③④ D．①④2
原命题的真假和 否命题的真假没有关 系。
四种命题的关系
3.互为逆否命题的真假关系
判断下列逆否命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b
真 真
真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。
若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 若一个四边形的四条边相等，则它是正方形。 若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。 若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形。
新知探究:
四种命题的关系
1.互逆命题的真假关系
判断下列命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 假 原命题：若a>b，则ac2>bc2 假 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
在下列横线上,填写”互逆””互否””互为逆否”
(1)命题:”若q则┐p”与命题”若┐q则p”
(2)命题:”若┐p则q”与命题”若q则┐p”
互否 互逆
(3)命题:”若┐q则p”与命题”若┐p则q”
互为逆否
考点突破
考点一
四种命题真假的判断
对于命题在判断它的真假性时，如果直接判 断有难度，可以利用原命题与逆否命题、逆 命题与否命题的等价性，先判断等价命题的 真假，由等价命题的真假再确定原来命题的 真假．
原命题：若a>b，则ac2>bc2 逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b
假 假
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 假 逆否命题：若四边形不是平行四边形，则四边形对角线不相等。
结 论 3
原命题和逆否命 题总是同真同假。
四种命题的关系
4.否命题和逆命题的真假关系
观察下列命题的真假，并总结规律。