简单的线性规划9.20

7．4简单的线性规划
（第一课时）二元一次不等式表示平面区域
教学目的：
1．理解二元一次不等式表示平面区域；
2．掌握确定二元一次不等式表示的平面区域的方法；
3．会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，并掌握步骤；教学重点：二元一次不等式表示平面区域.
教学难点：如何确定二元一次不等式表示的平面区域。

教学过程：
【创设问题情境】
问题1：在平面直角坐标系中，二元一次方程x+y-1=0表示什么图形？请学生画出来.
问题2：写出以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合(引出点集{(x,y) x+y-1=0})
问题3:点集{(x,y) x+y-1≠0}在平面直角坐标系中表示什么图形？
点集{(x,y) x+y-1>0}与点集{(x,y) x+y-1>0}又表示什么图
形呢?
【讲授新课】
研究问题:在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1>0}是什么图形?
一、归纳猜想
我们可以看到：
在平面直角坐标系中，所有的点被
直线x +y -1=0分成三类：即在直线x +y -1=0
在直线x +y -1=0的左下方的平面区域内； 在直线x +y -1=0的右上方的平面区域内。

问题1:请同学们在平面直角坐标系中，作出A （2,0），B(0,2),C(1,1),D(2,2)四点，并说明它们分别在上面叙述的哪个区域内？
问题2：请把A 、B 、C 、D 四点的坐标代入x +y -1中，发现所得的值的符号有什么规律？ （看几何画板） 由此引导学生归纳猜想：
对直线l 的右上方的点（x ，y ），x +y -1>0都成立; 对直线l 左下方的点(x ，y ), x +y -1<0成立. 二、证明猜想
如图，在直线x +y -1=0上任取一点P (x 过点P 作垂直于y 轴的直线y = y 0,在此直 线上点P 右侧的任意一点(x ,y ),都有
x > x 0, y = y 0,
所以, x +y > x 0+ y 0=0, 所以, x +y -1> x 0+ y 0 -1=0,
1=0
即x+y-1>0,
因为点P(x0,y0)是直线x+y-1=0上的任意点,
所以,对于直线x+y-1=0右上方的任意点(x,y), x+y-1>0都成立.
同理, 对直线l: x+y-1=0左下方的点(x,y),x+y-1<0成立
所以,在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1>0}是在直线x+y-1=0右上方的平面区域,
类似地,在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式x+y-1<0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1<0}是在直线x+y-1=0左下方的平面区域.
提出:直线-x+y-1=0的两侧的点的坐标代入-x+y-1中,得到的数值的符号,仍然会“同侧同号,异侧异号”吗？
通过分析引导学生得出一般二元一次不等式表示平面区域的有关结论.
三、一般二元一次不等式表示平面区域
结论：在平面直角坐标系中，
•（1）二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所•有点组成的平面区域,Ax+By+C<0则表示直线另一侧所有点组成•的平面区域;(同侧同号,异侧异号)
（2）有等则实,无等则虚;
（3）试点定域,原点优先.
四、例题：
例1:画出不等式x -y +5>0表示的平面区域;
分析：先作出直线x -y +5=0为边界（画成实线），再取原点验证不等式x -y +5>0所表示的平面区域.
解:先画直线x -y +5=0为边界（画成实线），再取原点（0，0）代入x -y +5中，因为0-0+5>0,所以原点在不等式x -y +5>0所表示的
平面区域内,不等式表示的区域如图所示. (看幻灯片) 反思归纳:
(1)画线定界(注意实、虚线); (2)试点定域. 【随堂练习】
（1）画出不等式x +y >0表示的平面区域； （2）画出不等式x ≤3表示的平面区域. （让学生完成）
例2：画出不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-3,0,
05x y x y x 表示的平面区域. 分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集
的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

x -y
（内容略）(在几何画板中作图)
【拓展练习】
画出不等式（x-y+5）（x+y）>0表示的平面区域；
课堂小结：
1.研究了二元一次不等式表示平面区域,利用试点的方法，猜想出
结果并证明它;
2.总结出一般二元一次不等式表示平面区域的有关结论;
3.学习了如何确定并画出不等式（组）表示的平面区域.
布置作业：课本上的练习题和习题7.4第1题.
布置课后思考题：
1.画出不等式 x + y ≤1表示的平面区域；
2.画出不等式x2+y2≤1表示的平面区域.
【参评教案】
§7.4 简单的线性规划第一课时：二元一次不等式表示平面区域
单位：濮阳市油田第一中学
教师：贾隽青。