简单的线性规划练习-附答案详解
高中数学简单线性规划复习题及答案(最全面)
简单线性规划复习题及答案（1）1、设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥-020202y x y x y x ，则22y x ++的最大值为 452、设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：13、若实数x 、y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则13++=x y z 的取值范围是]7,43[．4、设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为5、已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是 4[,13]56、已知实数,x y 满足约束条件1010310x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22(1)(1)x y -+-的最小值为 127、已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 58、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x9、若曲线y ＝ x 2上存在点（x ，y ）满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最小值为 －311、若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22(2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则函数3z x y =+取得最大值是 1214、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－615、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为 π51616、已知y x z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = 0 . 17、已知,x y 满足约束条件，03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是 118、在平面直角坐标系中，不等式组0,0,,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，则2x y +的最小值 14-19、已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)2}B x y kx y =-≤，其中,x y R ∈.若A B ⊆，则实数k 的取值范围是⎡⎣20、若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为 12-21、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是 222、已知点(,)P x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则实数k = 6- .23、设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23.24、已知实数y x , 22222)(y x y y x +++的取值范围为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+221,35．简单线性规划复习题及答案（2）1、设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x 则y x x y z +=的取值范围是 10[2,]3由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜 率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，， (42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2、若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于 1-3、设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是 [2,9]【解析】作出可行域如图，当平行直线系231x y z +-=在直线BC 与点A 间运动时，23122x y x y +-≥++，此时[]2315,9z x y =+-∈，平行直线线22x y Z ++=在点 O 与BC 之间运动时，23122x y x y +-≤++，此时，[]222,8z x y =++∈. ∴[]2,9z ∈图23 A yxOcB 634、佛山某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配。
高中数学必修5(简单的线性规划)同步测试精选(含答案)
高中数学必修5（简单的线性规划）同步测试精选（含答案）一、选择题1．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎨⎧ x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40yB.⎩⎨⎧ x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40yC.⎩⎨⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，z ＝20x ＋40yD.⎩⎨⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝40x ＋20y2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52 B ．－2 C ．－32D ．23．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[]－1，6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32 4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－15．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )C ．17万元D ．18万元 二、填空题6．满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，并使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．7．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是________.8．设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________．三、解答题9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于多少？10．变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，求(x －2)2＋y 2的最小值．[能力提升]1．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－122．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5D ．23当实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．4．设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 1≤13，S 4≥10，S 5≤15，求a 4的最大值．参考答案与解析1【解析】 由题意易知选A. 【答案】 A2【解析】 作出可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小． 由⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0，得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12， z min ＝2×(－1)－12＝－52. 【答案】 A3【解析】 作出可行域如图所示．目标函数z ＝3x －y 可转化为y ＝3x －z ，作l 0：3x －y ＝0，在可行域内平移l 0，可知在A 点处z 取最小值为－32，在B 点处z 取最大值为6.【答案】 A4【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.【答案】 A5【解析】 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z万元，则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.【答案】 D6【解析】 首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M (0,5)时截距最大，此时z 最大．【答案】 (0,5)7【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设t ＝x ＋2y ， 则y ＝－12x ＋t2，当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0. z ＝3x ＋2y 的最小值为1. 【答案】 18【解析】 由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P (x 0，y 0)，使x 0－2y 0＝2成立，只需点A (－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方即可，即－m －2m －2>0，解得m <－23.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－239【解】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N *，y ∈N *.目标函数z ＝450x ＋350y .作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z max ＝450×7＋350×5＝4 900.10【解】不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．设P (x ，y )是该区域内的任意一点，则(x －2)2＋y 2的几何意义是点P (x ，y )与点M (2,0)距离的平方．由图可知，当点P 的坐标为(0,1)时，|PM |最小，所以|PM |≥22＋1＝5，所以|PM |2≥5，即(x －2)2＋y 2≥5.1【解析】 作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A －2k ，0.∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D. 【答案】 D2【解析】 法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎨⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B.【答案】 B3【解析】 画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎨⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32，所以a 的取值范围是1≤a ≤32.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，324【解】 可将此题看成关于a 1和d 的线性规划问题，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1≤13，4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15，化简为⎩⎨⎧a 1≤13，2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3，求a 4＝a 1＋3d 的最大值，将其转化为⎩⎨⎧x ≤13，2x ＋3y ≥5，x ＋2y ≤3，求z ＝x ＋3y 的最大值问题，不等式组表示的平面区域如图所示．由z＝x＋3y，得y＝－13x＋z3，平移直线y＝－13x，由图可知，当直线y＝－13x＋z3过点A时，z有最大值．由⎩⎨⎧2x＋3y＝5，x＋2y＝3，得A(1,1)，所以z max＝1＋1×3＝4，即a4的最大值为4.。
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题(附答案)简单的线性规划问题[学习目标]知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求 (1)x 2＋y 2的最小值；(2)y x 的最大值．解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，85， 又由⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝132，所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32，所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案10解析画出可行域(如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的平方．显然AC长度最小，∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元． 反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解． 跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007. 由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752.所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎨⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1,4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y 给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________． 三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x ＋y－3＝0上，则m＝1.2．答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎪⎪⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点A时z取得最小值；所以z min＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．联立⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x ＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x ＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎨⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎨⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，∴x＋2y－4＞0，则目标函数等价于z＝x＋2y－4，易得当直线z＝x＋2y－4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝21.方法二z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5·5，令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，则z＝5d，其中d为P(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离．由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，故d的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max＝215·5＝21.三、解答题12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，z max＝2×5－2＝8.当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，z min＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9)，∴9＝a2，∴a＝3.∵a＞1，∴1＜a≤3.14．解由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)， 即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0. 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，z max＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个产品的生产需要消耗不同的资源，并且每一个产品的销售利润也不同。
公司希翼通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。
已知产品A每一个单位的生产需要消耗2个资源1和3个资源2，每一个单位的销售利润为10元；产品B每一个单位的生产需要消耗4个资源1和1个资源2，每一个单位的销售利润为15元。
公司目前有10个资源1和12个资源2可供使用。
二、数学建模1. 假设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
2. 根据资源的消耗情况，可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 10 （资源1的消耗）3x + y ≤ 12 （资源2的消耗）x ≥ 0, y ≥ 0 （生产数量为非负数）3. 目标是最大化利润，即最大化销售收入减去生产成本：最大化 Z = 10x + 15y三、线性规划求解1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：最大化 Z = 10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 103x + y ≤ 12x ≥ 0, y ≥ 02. 通过图形法求解线性规划问题：a. 绘制约束条件的图形：画出2x + 4y = 10和3x + y = 12的直线，并标出可行域。
b. 确定可行域内的顶点：可行域的顶点为(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)。
c. 计算目标函数在每一个顶点处的值：分别计算Z = 10x + 15y在(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)四个顶点处的值。
Z(0, 0) = 0Z(0, 2.5) = 37.5Z(4, 0) = 40Z(2, 3) = 80d. 比较所有顶点处的目标函数值，确定最优解：最优解为Z = 80，即在生产2个单位的产品A和3个单位的产品B时，可以获得最大利润80元。
四、结论根据线性规划的结果，公司在资源充足的情况下，应该生产2个单位的产品A和3个单位的产品B，以最大化利润。
线性规划练习试题含答案及解析
专业知识整理分享线性规划练习题含答案一、选择题1．已知不等式组2,1,0y x y kx x ≤-+⎧⎪≥+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k 的值为A ．－1 BD ．1 【答案】B【解析】略作出不等式组表示的可行域如右图所示阴影部分，由于AOB ∆的面积为2, AOC ∆的面积为1，所以当直线y=kx+1过点A （2，0），B （0，1故选B 。
2．定义()()max{,}a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，已知实数y x ,满足设{}m a x ,2z x y x y=+-，则z 的取值范围是 （ ） A【答案】D【解析】{},2,20max ,22,22,20x y x y x y x y x y z x y x y x y x y x y x y x y ++≥-+-≤⎧⎧=+-==⎨⎨-+<--->⎩⎩， 当z=x+y 时，对应的点落在直线x-2y=0z=2x-y 时，对应的点落在直线x-2y=0的右下3．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,0,0y x y x 则 ）试卷第2页，总12页A ．BCD【答案】DP(x,y)与点(-1,-3)连续的斜率，数形结3,,4PA k =应选D4．设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值等于 ( )A. 2B. 3C.5D. 9【答案】B【解析】解：因为设,x y ∈R 且满足满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩故其可行域为当直线Z=x+2y 过点（1，1）时，z=x+2y 取最小值3， 故选B5．若实数，满足条件则的最大值为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A【解析】作出如右图所示的可行域，当直线z=2x-y 过点A 时，Z 取得最大值.因为A(3,-3)，所以Z max =23(3)9⨯--=,故选A.x y 0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩2x y -9303-专业知识整理分享6．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-120y x a y x y x ，若目标函数z=2x+6y 的最小值为2，则a =A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】解：由已知条件可以得到可行域，，要是目标函数的最小值为2，则需要满足直线过x 2y 1+=与x+y=a 的交点时取得。
高考数学专题复习七-7.2简单的线性规划-高考真题练习(附答案)
7.2简单的线性规划考点简单的线性规划1.(2018天津理,2文,2,5分)设变量x,y 满足约束条件+≤5,2t ≤4,-+≤1,≥0,则目标函数z=3x+5y 的最大值为()A.6B.19C.21D.45答案C 本题主要考查线性目标函数最值的求解.由变量x,y 满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示).作出基本直线l 0:3x+5y=0,平移直线l 0,当经过点A(2,3)时,z 取最大值,z max =3×2+5×3=21,故选C.2.(2018北京理,8,5分)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤32时,(2,1)∉A 答案D 本题主要考查不等式组的解法,元素与集合的关系.若(2,1)∈A,则有2−1≥1,2+1>4,2−≤2,解得a>32.结合四个选项,只有D 说法正确.故选D.易错警示注意区分集合条件中的“或”与“且”.本题容易把三个不等式的中间联结词认为是“或”而错选A.3.(2017课标Ⅲ文,5,5分)设x,y 满足约束条件3+2t6≤0,≥0,≥0,则z=x-y 的取值范围是()A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]答案B 由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A(0,3),B(2,0).由图可知,目标函数z=x-y 在点A,B 处分别取得最小值与最大值,z min =0-3=-3,z max =2-0=2,故z=x-y 的取值范围是[-3,2].故选B.4.(2017课标Ⅰ文,7,5分)设x,y 满足约束条件+3≤3,t ≥1,≥0,则z=x+y 的最大值为()A.0B.1C.2D.3答案D 本题考查简单的线性规划问题.作出约束条件表示的可行域如图:平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y 在A(3,0)处取得最大值,z max =3,故选D.一题多解由约束条件求出三个交点的坐标(3,0),(1,0),3212分别代入目标函数z=x+y,得到z max =3.5.(2016北京理,2,5分)若x,y 满足2t ≤0,+≤3,≥0,则2x+y 的最大值为()A.0B.3C.4D.5答案C 画出可行域,如图中阴影部分所示,令z=2x+y,则y=-2x+z,当直线y=-2x+z 过点A(1,2)时,z 最大,z max =4.故选C.思路分析先画出可行域,再令z=2x+y 并改写成斜截式,找到令z 取最大值时的点,代入求值.评析本题考查简单的线性规划,属容易题.6.(2016天津理,2,5分)设变量x,y 满足约束条件t +2≥0,2+3t6≥0,3+2t9≤0,则目标函数z=2x+5y 的最小值为()A.-4B.6C.10D.17答案B 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分).当直线2x+5y-z=0过点A(3,0)时,z min =2×3+5×0=6,故选B.评析本题考查了简单的线性规划问题,正确画出可行域是求解的关键.7.(2016山东,4,5分)若变量x,y 满足+≤2,2t3≤9,≥0,则x 2+y 2的最大值是()A.4B.9C.10D.12答案C 作出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,x 2+y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)到原点的距离最大,所以x 2+y 2的最大值是10,故选C.评析本题考查了数形结合的思想方法.利用x 2+y 2的几何意义是求解的关键.8.(2016浙江,4,5分)若平面区域+t3≥0,2tt3≤0,t2+3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.355 B.2C.322D.5答案B 作出可行域如图.由2tt3=0,+t3=0,得A(2,1),由+t3=0,t2+3=0,得B(1,2).斜率为1的平行直线l 1,l 2分别过A,B 两点时它们之间的距离最小.过A(2,1)的直线l 1:y=x-1,过B(1,2)的直线l 2:y=x+1,此时两平行直线间的距离=2.故选B.9.(2015重庆,10,5分)若不等式组+t2≤0,+2t2≥0,t +2≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为()A.-3 B.1C.43D.3答案B 如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m<2,即m>-1,所围成的区域为△ABC,S △ABC =S △ADC -S △BDC .点A 的纵坐标为1+m,点B 的纵坐标为23(1+m),C,D 两点的横坐标分别为2,-2m,所以S △ABC =12(2+2m)(1+m)-12(2+2m)·23(1+m)=13(1+m)2=43,解得m=-3(舍去)或m=1.故选B.10.(2015山东理,6,5分)已知x,y 满足约束条件t ≥0,+≤2,≥0.若z=ax+y 的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3答案B 作出可行域如图.①当a<0时,显然z=ax+y 的最大值不为4;②当a=0时,z=y 在B(1,1)处取得最大值,为1,不符合题意;③当0<a<1时,z=ax+y 在B(1,1)处取得最大值,z max =a+1=4,故a=3,舍去;④当a=1时,z=x+y 的最大值为2,不符合题意;⑤当a>1时,z=ax+y 在A(2,0)处取得最大值,z max =2a=4,得a=2,符合题意.综上,a=2.11.(2015福建文,10,5分)变量x,y 满足约束条件+≥0,t2+2≥0,B-≤0.若z=2x-y 的最大值为2,则实数m 等于()A.-2B.-1C.1D.2答案C 当m<0时,约束条件所表示的平面区域是开放的,目标函数z=2x-y 无最大值,排除A,B,当m=2时,目标函数z=2x-y 的最大值为0,于是排除D,故选C.12.(2014课标Ⅱ理,9,5分,0.798)设x,y 满足约束条件+t7≤0,t3+1≤0,3tt5≥0,则z=2x-y 的最大值为()A.10B.8C.3D.2答案B 由约束条件得可行域如图阴影部分所示.由+t7=0,t3+1=0得A(5,2).当直线2x-y=z 过点A 时,z=2x-y 取得最大值.其最大值为2×5-2=8.故选B.方法总结解决线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据目标函数的几何意义确定其取得最优解的点,并求出该点坐标;③求出目标函数的最大值或最小值.13.(2014课标Ⅱ文,9,5分,0.700)设x,y 满足约束条件+t1≥0,tt1≤0,t3+3≥0,则z=x+2y 的最大值为()A.8B.7C.2D.1答案B 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z=x+2y,得y=-12x+2,2为直线y=-12x+2在y 轴上的截距,要使z 最大,则需2最大,所以当直线y=-12x+2经过点B(3,2)时,z 最大,最大值为3+2×2=7,故选B.14.(2014课标Ⅰ文,11,5分,0.236)设x,y 满足约束条件+≥st≤−1,且z=x+ay 的最小值为7,则a=()A.-5B.3C.-5或3D.5或-3答案B 二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中平移直线x+ay=0,可知在点,z 取得最值,因此t12+a×r12=7,化简得a 2+2a-15=0,解得a=3或a=-5,但a=-5时,z 取得最大值,故舍去,故选B.解后反思本题也可由排除法选出答案,当a=-5时,目标函数无最小值,当a=3时,可以判断出目标函数的最小值为7,所以选B.15.(2014北京理,6,5分)若x,y 满足+t2≥0,B-+2≥0,≥0,且z=y-x 的最小值为-4,则k 的值为()A.2B.-2C.12D.-12答案D 由t =−4,=0得A(4,0).由图推测直线kx-y+2=0必过A(4,0),得k=-12,经验证符合题目条件.故选D.16.(2014课标Ⅰ理,9,5分)不等式组+≥1,t2≤4的解集记为D.有下面四个命题:p 1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p 2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p 3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p 4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是()A.p 2,p 3B.p 1,p 2C.p 1,p 4D.p 1,p 3答案B 不等式组+≥1,t2≤4表示的平面区域D 如图阴影区域所示.设z=x+2y,作出基本直线l 0:x+2y=0,经平移可知直线l:z=x+2y 经过点A(2,-1)时z 取得最小值0,无最大值.对于命题p 1:由于z 的最小值为0,所以∀(x,y)∈D,x+2y≥0恒成立,故x+2y≥-2恒成立,因此命题p 1为真命题;由于∀(x,y)∈D,x+2y≥0,故∃(x,y)∈D,x+2y≥2,因此命题p 2为真命题;由于z=x+2y 的最小值为0,无最大值,故命题p 3与p 4错误,故选B.17.(2013课标Ⅱ文,3,5分,0.693)设x,y 满足约束条件t +1≥0,+t1≥0,≤3,则z=2x-3y 的最小值是()A.-7B.-6C.-5D.-3答案B 由约束条件得可行域(如图),当直线2x-3y-z=0过点A(3,4)时,z min =2×3-3×4=-6.故选B.18.(2013课标Ⅱ理,9,5分,0.788)已知a>0,x,y 满足约束条件≥1,+≤3,≥ot3).若z=2x+y 的最小值为1,则a=()A.14B.12C.1D.2答案B 由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC 及其内部),由=1,=ot3)得A(1,-2a),当直线2x+y-z=0过点A 时,z=2x+y 取得最小值,所以1=2×1-2a,解得a=12,故选B.解题关键根据约束条件准确画出可行域,从而经过平移确定直线z=2x+y 过可行域内的点A 时z 取得最小值是解题的关键.19.(2013湖北文,9,5分)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆.则租金最少为()A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元答案C 设旅行社租用A 型客车x 辆,B 型客车y 辆,租金为z 元,则线性约束条件为+≤21,t ≤7,36+60≥900,≥0,≥0,目标函数为z=1600x+2400y.画出可行域:当目标函数z=1600x+2400y 经过点A(5,12)时,z min =1600×5+2400×12=36800.选C.20.(2012课标,5,5分)已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则z=-x+y 的取值范围是()A.(1-3,2)B.(0,2)C.(3-1,2)D.(0,1+3)答案A 由题意知可行域为△ABC(不含边界).当直线-x+y-z=0过点C(1+3,2)时,z min =1-3;当过点B(1,3)时,z max =2.故选A.评析本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想.正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键.21.(2016浙江,3,5分)在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域t2≤0,+≥0,t3+4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=()A.22B.4C.32D.6答案C 由不等式组画出可行域,如图中的阴影部分所示.因为直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,所以可行域内的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2,-2),D(-1,1),所以|AB|=|CD|=(2+1)2+(−2−1)2=32.故选C.22.(2022全国乙文,5,5分)若x ,y 满足约束条件+≥2,+2≤4,≥0,则z =2x -y 的最大值是()A.-2B.4C.8D.12答案C 由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,联立+2=4,=0,可得A (4,0),当直线z =2x -y 过点A 时,z =2x -y 取最大值,z max =2×4-0=8,故选C .23.(2021全国乙文,5,5分)若x ,y 满足约束条件+≥4,−≤2,≤3,则z =3x +y 的最小值为()A.18B.10C.6D.4答案C 解题指导:思路一:先画出可行域,然后移动直线3x +y =0,最后由z 与纵截距的关系得最优解,计算即可;思路二:先求出可行域顶点的坐标,然后分别求出各顶点处目标函数值,通过比较大小得到z 的最小值.解析解法一:作出不等式组表示的可行域,如图.作直线l :3x +y =0,平行移动直线l ,可知当平移后的直线过点(1,3)时,纵截距最小,即z 最小.故z min =3×1+3=6.故选C .解法二:根据线性约束条件得出可行域为△ABC 及其内部(如上图所示),其中A (3,1),B (1,3),C (5,3),经检验,知目标直线过点B (1,3)时,z 取最小值,即z min =3×1+3=6.解后反思:对于直线z =Ax +By ,若B >0,则当目标直线向上移动时,z 变大;若B <0,则当目标直线向下移动时,z 变大.24.(2020课标Ⅰ理,13,5分)若x ,y 满足约束条件2+−2≤0,−−1≥0,+1≥0,则z =x +7y 的最大值为.答案1审题指导:作出可行域移动直线x +7y =0过A (1,0)时有z max .解题思路:作出可行域如图,由z =x +7y 得y =-7+7,易知当直线y =-7+7经过点A (1,0)时,z 取得最大值,z max =1+7×0=1.方法总结:线性规划问题的最优解一般在可行域的边界或顶点处取得,所以可以通过平移目标函数所对应的直线判断最优解,还可以通过比较边界或顶点处的目标函数值进行判断.25.(2016江苏,12,5分)已知实数x,y 满足t2+4≥0,2+t2≥0,3tt3≤0,则x 2+y 2的取值范围是.答案,13解析画出不等式组t2+4≥0,2+t2≥0,3tt3≤0表示的可行域如图:由x-2y+4=0及3x-y-3=0得x 2+y 2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得22)max =22+32=13,(x 2+y 2)min =d 2=45,其中d 表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x 2+y 2的取值范围,13.解后反思对于线性规划问题,要正确作出可行域,并理解目标函数的几何意义,分清常规的“距离型”“斜率型”与“截距型”是解题的关键.26.(2020课标Ⅱ文,15,5分)若x,y 满足约束条件+≥−1,t ≥−1,2t ≤1,则z=x+2y 的最大值是.答案8解析作出约束条件表示的可行域,如图所示.由图可知直线z=x+2y 过点A(2,3)时,z 取得最大值,最大值为2+2×3=8.27.(2019课标Ⅱ文,13,5分)若变量x,y 满足约束条件2+3t6≥0,+t3≤0,t2≤0,则z=3x-y 的最大值是.答案9解析本题考查简单的线性规划问题;以二元一次不等式组作为约束条件考查学生数形结合思想及运算求解能力;考查数学运算的核心素养.作出可行域(如图阴影部分所示).易得A(3,0),B(1,2),C(0,2).将z=3x-y 化为y=3x-z,由图知,当直线y=3x-z 经过点A(3,0)时,截距-z 取得最小值,从而z 取得最大值.z max =3×3=9.易错警示因为目标函数中y 的系数为负值,所以容易理解为在点C 处取得最大值,导致错误.28.(2018课标Ⅲ文,15,5分)若变量x,y 满足约束条件2++3≥0,t2+4≥0,t2≤0,则z=x+13y 的最大值是.答案3解析本题考查简单的线性规划.解法一:根据约束条件作出可行域,如图所示.z=x+13y 可化为y=-3x+3z.求z 的最大值可转化为求直线y=-3x+3z 纵截距的最大值,显然当直线y=-3x+3z 过A(2,3)时,纵截距最大,故z max =2+13×3=3.解法二:画出可行域(如上图),由图知可行域为三角形区域,易求得顶点坐标分别为(2,3),(2,-7),(-2,1),将三点坐标代入,可知z max =2+13×3=3.29.(2018浙江,12,6分)若x,y 满足约束条件t ≥0,2+≤6,+≥2,则z=x+3y 的最小值是,最大值是.答案-2;8解析本小题考查简单的线性规划.由约束条件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图.当直线y=-13x+3过点C(4,-2)时,z=x+3y 取得最小值-2,过点B(2,2)时,z=x+3y 取得最大值8.思路分析(1)作出可行域,并求出顶点坐标.(2)平移直线y=-13x,当在y 轴上的截距最小时,z=x+3y 取得最小值,当在y 轴上的截距最大时,z=x+3y 取得最大值.30.(2016课标Ⅲ,13,5分)设x,y 满足约束条件2t +1≥0,t2t1≤0,≤1,则z=2x+3y-5的最小值为.答案-10解析可行域如图所示(包括边界),直线2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过(-1,-1)时,z 取最小值,z min =-10.31.(2014安徽,13,5分)不等式组+t2≥0,+2t4≤0,+3t2≥0表示的平面区域的面积为.答案4解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.由+3t2=0,+2t4=0得=8,=−2.∴A(0,2),B(2,0),C(8,-2).直线x+2y-4=0与x 轴的交点D 的坐标为(4,0).因此S △ABC =S △ABD +S △BCD =12×2×2+12×2×2=4.故答案为4.32.(2013课标Ⅰ,14,5分,0.660)设x,y 满足约束条件1≤≤3,-1≤t ≤0,则z=2x-y 的最大值为.答案3解析可行域为如图所示的阴影部分,由z=2x-y,得y=2x-z.-z 的几何意义是直线y=2x-z 在y 轴上的截距,要使z 最大,则-z 最小,所以当直线y=2x-z 过点A(3,3)时,z 最大,最大值为2×3-3=3.33.(2012课标理,14,5分)设x,y满足约束条件t ≥−1,+≤3,≥0,≥0,则z=x-2y的取值范围为.答案[-3,3]解析由不等式组画出可行域(如图所示).当直线x-2y-z=0过点B(1,2)时,z min=-3;过点A(3,0)时,z max=3.∴z=x-2y的取值范围是[-3,3].评析本题考查了简单线性规划知识;考查了数形结合的思想方法.34.(2011课标文,14,5分)若变量x,y满足约束条件3≤2+≤9,6≤t≤9,则z=x+2y的最小值为.答案-6解析画出约束条件所表示的平面区域,如图阴影部分所示:当目标函数表示的直线经过点A(4,-5)时,z有最小值,z min=4+2×(-5)=-6.失分警示本题易将平面区域画错或者将目标函数表示的直线的斜率看成12而致错.评析本题考查线性规划问题,正确作图是得分的前提.。
高考数学复习简单的线性规划问题专题训练(含答案)
高考数学复习简单的线性规划问题专题训练（含答案）线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支。
以下是查字典数学网整理的简单的线性规划问题专题训练，请考生练习。
一、填空题1.(2019 广东高考改编 )若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值等于 ________.[ 解析 ] 作出约束条件下的可行域如图 (阴影部分 )，当直线y=-2x+z 经过点 A(4,2) 时， z 取最大值为 10. [答案 ] 102.(2019 扬州调研 ) 已知 x，y 满足约束条件则z=3x+4y 的最小值是 ________.[ 解析 ] 可行区域如图所示.在 P 处取到最小值 -17.5.[ 答案 ] -17.53.已知实数 x，y 满足若 z=y-ax 取得最大值时的最优解 (x ，y)有无数个，则 a=________.[ 解析 ] 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示.要使 z=y-ax 取得最大值时的最优解(x ，y)有无数个，则直线 z=y-ax 必平行于直线 y-x+1=0 ，于是有 a=1. [答案]14.(2019 山东高考改编 )在平面直角坐标系xOy 中， M 为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为________.[ 解析 ] 线性约束条件表示的平面区域如图所示( 阴影部分 ).由得 A(3 ， -1).当 M 点与 A 重合时， OM 的斜率最小， kOM=-.[答案]-5.(2019 陕西高考改编 )若点 (x， y)位于曲线 y=|x| 与 y=2 所围成的封闭区域内，则 2x-y 的最小值是 ________.[ 解析 ] 曲线 y=|x| 与 y=2 所围成的封闭区域如图阴影部分所示.当直线 l：y=2x 向左平移时， (2x-y) 的值在逐渐变小，当l 通过点 A(-2,2) 时， (2x-y)min=-6.[答案 ] -66.已知点 P(x ，y) 满足定点为A(2,0) ，则 ||sinAOP(O 为坐标原点)的最大值为 ________.[ 解析 ] 可行域如图阴影部分所示，A(2,0) 在 x 正半轴上，所以 ||sinAOP 即为 P 点纵坐标 .当 P 位于点 B 时，其纵坐标取得最大值.[答案 ]7.(2019 兴化安丰中学检测)已知不等式组表示的平面区域S的面积为 4，若点 P(x，y)S，则 z=2x+y 的最大值为 ________.[ 解析 ] 由约束条件可作图如下，得 S=a2a=a2，则 a2=4，a=2，故图中点 C(2,2) ，平移直线得当过点 C(2,2) 时 zmax=22+2=6. [答案]68.(2019 江西高考 )x ，yR，若 |x|+|y|+|x-1|+|y-1|2 ，则 x+y 的取值范围为 ________.[ 解析] 由绝对值的几何意义知，|x|+|x-1|是数轴上的点x 到原点和点 1 的距离之和，所以 |x|+|x-1|1 ，当且仅当 x[0,1] 时取 =. 同理 |y|+|y-1|1，当且仅当 y[0,1] 时取 =.|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2.而 |x|+|y|+|x-1|+|y-1|2 ，|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2 ，此时， x[0,1] ，y[0,1] ， (x+y)[0,2].[ 答案 ] [0,2]二、解答题9.(2019 四川高考改编 )某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克，B 原料 2 千克 ;生产乙产品1桶需耗 A原料 2千克，B原料 1千克 .每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400元 .公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12千克 .通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，试求公司共可获得的最大利润.[ 解 ] 设生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，每天利润为z元，则且 z=300x+400y.作出可行域，如图阴影部分所示.作直线 300x+400y=0 ，向右上平移，过点 A 时，z=300x+400y 取最大值，由得 A(4,4) ，zmax=3004+4004=2 800.故公司共可获得的最大利润为 2 800 元.10.(2019 安徽高考改编 )已知实数x， y 满足约束条件(1)求 z=x-y 的最小值和最大值;(2)若 z=，求 z 的取值范围 .[ 解 ] 作约束条件满足的可行域，如图所示为ABC 及其内部 .联立得 A(1,1).解方程组得点B(0,3).(1)由 z=x-y ，得 y=x-z.平移直线 x-y=0 ，则当其过点 B(0,3) 时，截距 -z 最大，即 z 最小 ;当过点 A(1,1) 时，截距 -z 最小，即 z 最大 .zmin=0-3=-3;zmax=1-1=0.(2)过 O(0,0) 作直线 x+2y=3 的垂线 l 交于点 N.观察可行域知，可行域内的点 B 、N 到原点的距离分别达到最大与最小 .宋以后，京所小学和武学堂中的教称皆称之“教”。
(完整word版)高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解
高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解一、选择题1. （文）（2010北京东城区）在平面直角坐标系中，若点（—2, t）在直线x—2y + 4= 0的上方，贝y t的取值范围是（A.(―汽1)B. (1 ,+s )C. ( —1 ,+s )D. (0,1)［答案］B［解析］•••点0（0,0）使x—2y+ 4>0成立，且点O在直线下方，故点（—2, t）在直线x —2y+ 4= 0 的上方? —2—2t+ 4<0,••• t>1.［点评］可用B值判断法来求解，令 d = B（Ax0+ By°+ C），贝U d>0?点P（x0, y°）在直线Ax+ By+ C = 0的上方；d<0?点P在直线下方.由题意一2（— 2 —2t+ 4）>0 ,• t>1.（理）（2010惠州市模拟）若2m+ 2n<4，则点（m, n）必在（）A .直线x+ y—2= 0的左下方B .直线x+ y—2 = 0的右上方C.直线x+ 2y—2 = 0的右上方D .直线x+ 2y —2 = 0的左下方［答案］A［解析］•/ 2m+ 2n> 2 2m+n,由条件2m+ 2n<4 知，2 .2m+ n<4,「. m+ n<2,即m+ n —2<0，故选A.x> 02. （文）（09安徽）不等式组x+ 3y>4 所表示的平面区域的面积等于（）3x+ y w 4A.3B.f43C. D. -34［答C案］x+ 3y= 4［解平面区域如图•解3x + y=44B(0,4), C 0, 3，4 8|BC=4— 3 = 3. -4•••S AABC=卜3x 1= 4.x+ y> 2(理)(2010重庆市南开中学)不等式组2x—y w 4 所围成的平面区域的面积为()x—y> 0A . 3 ,'2 B. 6 ,'2C. 6D. 3［答案］D［解析］不等式组表示的平面区域为图中Rt△ ABC，易求B(4,4), A(1,1), C(2,0)二S A ABC= S\ OBC—S A AOC=2X 4 —1X 2X 1 = 3.2 2y< x3. (文)(2010西安中学)设变量x, y满足约束条件x+ y> 2 ，则目标函数z= 2x+ y的最小值为()y > 3x—6A. 2B.3C. 5D. 7［答案］By< x［解析］在坐标系中画出约束条件x+ y> 2所表示的可行域为图中厶ABC，其中y> 3x—6A(2,0), B(1,1), C(3,3)，则目标函数z= 2x+ y在点B(1,1)处取得最小值，最小值为3.(理)(2010哈师大附中模考)已知A(2,4) , B( —1,2), C(1,0)，点P(x, 丫)在厶ABC内部及边界运动，则z= x—y的最大值及最小值分别是()A . —1,—3 B. 1,—3C. 3, —1D. 3,1［答案］B［解析］当直线y= x —z经过点C(1,0)时，Z max= 1，当直线y= x—z经过点B(- 1,2)时， Z min = — 3.4.（2010四川广元市质检）在直角坐标系xOy 中，已知△ AOB 的三边所在直线的方程分别为x = 0 ,y = 0,2x + 3y = 30,则厶AOB 内部和边上整点（即坐标均为整数的点）的总数为（）B . 91D . 75［答案］By = 7 时， y = 9 时， •••共有 16+ 14+ 13+ 11+ 10+ 8+ 7 + 5 + 4+ 2+ 1 = 91 个.5. （2010山师大附中模考）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用 A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是（ ）［答案］D3x + y W 13 2x + 3y W 18由题意得，x > 0获利润3= 5x + 3y , 画出可行域如图，C . 88 y = 1 时, y = 3 时,y = 5 时， 0W x W 7; y = 6 时，0W x W 6;0W x W 4; y = 8 时，0W x W 3; 0W x W 1, y = 10 时，x = 0.A . 12万元B .20万元C . 25万元D . 27万元 A 原料不超［解析］设生产甲、乙两种产品分别为x 吨，y 吨,［解0< x W 10; y = 4 时，O W x W 9;3x+ y = 13由，解得A(3,4).2x+ 3y= 185 2T—3<—-< —3,.•当直线5x+ 3y = 3 经过A 点时，3max= 27.3 3x—y+ 6 > 06.（文）（2010山东省实验中学）已知实数x, y满足x+ y> 0 ，若z= ax+ y的最大x w 3值为3a + 9,最小值为3a —3,则实数a的取值范围为（）B. a w —1［答案］C［解析］作出可行域如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值.又k Bc=—1, k AB = 1,.••一1 w —a w 1,即一1 w a w 1.1a ° 3 ；（理）（2010寿光现代中学）已知变量x, y满足约束条件x+ 4y—13> 02y —x+ 1> 0 ，且有无穷多个x+ y—4 w 0点（x, y）使目标函数z= x+ my取得最小值，则m=（B.—1C. 1D. 4［答案］C［解析］由题意可知，不等式组表示的可行域是由及其内部部分.当z= x + my与x+ y— 4 = 0重合时满足题意，故m= 1.A(1,3), B(3,1), C(5,2)组成的三角形7. （2010 •东五校）当点M （x , y ）在如图所示的三角形［解析］由目标函数z = kx + y 得y =— kx + z ,结合图形，要使直线的截距 z 最大的一个最优解为(1,2)，贝V 0< — k w k Ac w 1 或 0> — k > k Bc = — 1, A k € [ — 1,1].y > x& （文）（2010厦门一中）已知x 、y 满足不等式组 x + y w 2 ,且z = 2x + y 的最大值是最x > a小值的3倍，则a =（）1 A. 0 B.32 C.2 D . 1［答案］B［解析］依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z = 2x + y 在A 点和B 点处分别取得最小 值和最大值.x a由 得 A(a , a), y = x x + y = 2 由 得 B(1,1), x = y标函数z = kx + y 取得最大值的一个最优解为 （1,2），则实数k 的取值范围是（A . ( — g,— -1] U [1, + g )B . [ — 1,1]C . (—g,— -1)U (1, + g ) D . (— 1,1)［答案］B)ABC 区域内（含边界）运动时，目1--z max = 3, Z min = 3a.二 a = 3.y > 0（理）已知实数x , y 满足y w 2x — 1x + y w m等于(B .C . ［答案］B［解析］画出x , y 满足条件的可行域如图所示，可知在直线y = 2x — 1与直线x + y = m的交点A 处，目标函数z = x — y 取得最小值.y = 2x — 1 由,x + y = mm + 1 x= 3解得， 2m — 1y=^二、填空题x — y > 09. 设变量x, y 满足约束条件 x + y w 1 ,则目标函数z = 2x + y 的最大值为 __________ . x + 2y > 1［答案］2［解析］可行域为图中阴影部分厶 ABC ，显然当直线2x + y = z 经过可行域内的点 A(1,0) 时，z 取最大值，Z max = 2.,如果目标函数z = x — y 的最小值为—1,贝U 实数mD .即点A 的坐标为卬于2m — 1 3将点A 的坐标代入x — y =— 1,得中2 rm 1—3— =— 1,即卩 m = 5•故选 B. 310. （2010四川广元市质检）毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为___________ 元•x> 1, y> 111. （文）（2010淮南一中）已知M、N是不等式组x —y+ 1>0 所表示的平面区域内的x + y w 6不同两点，贝U |MN|的最大值是 _______ .［答案］.17［解析］不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分（包括边界）所示，由图形易知，点D（5,1）与点B（1,2）的距离最大，所以|MN|的最大值为.17.y \x=\x-y+l=O眄/Z A ・ -厶1K*萝=6（理）如果直线y= kx+ 1与圆x2+ y2+ kx+ my —4= 0相交于M、N两点，且M、N关于kx -y + 1 > 0 b + 1直线x + y = 0对称，点P(a , b)为平面区域 kx -my < 0 内任意一点，贝U 的取值范围a — 1y > 0是 ________ .1［答案］—1，— 2［解析］T 直线y = kx + 1与圆x 2 + y 2 + kx + my — 4= 0相交于M 、N 两点，且 M 、N 关 k于x + y = 0对称，二y = kx + 1与x + y = 0垂直，二k = 1,而圆心在直线 x + y = 0上，••• — 2+斜率,1•••所求取值范围为—1, — 2 .x < my + n12. 若由不等式组 x — .;3y > 0 (n >0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆y > 0的圆心在x 轴上，则实数m =［答案］—宁［解析］根据题意，三角形的外接圆圆心在 x 轴上, • OA 为外接圆的直径,•直线 x = my + n 与x — . 3y = 0垂直,—m = 0, •m =—1，•作出可行域如图所示，而岂表示点P(a , b)与点(1,-"连线的0 + 1 —1— 1;=1，即m= —三、解答题2x+ y—12W 013. (2010 •宁锦州)若x、y满足条件3x—2y+ 10> 0，求z= x+ 2y的最小值，并求x—4y+ 10< 0出相应的x、y值.［解析］根据条件作出可行域如图所示，x+ 4y—10 = 0解方程组，得A(—2,2).3x —2y+ 10= 0再作直线I: x+ 2y= 0,把直线I向上平移至过点A(—2, 2)时，z取得最小值2,此时x =—2, y= 2.14. (2010茂名模考)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25,甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1) 分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；(2) 已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元.设x, y分别表示生产甲、乙产品的数量，在⑴的条件下，求x, y为何值时，z=xP甲+ yP乙最大，最大值是多少？\jsill工人(名)资金(万兀)甲420乙85P甲一卩乙=0.25［解析］⑴依题意得1 —卩甲=卩乙—0.05P 甲=0.65解得P 乙=0.4故甲产品为一等品的概率P甲=0.65，乙产品为一等品的概率P乙=04(2)依题意得x、y应满足的约束条件为j+2y=K 4x+ 8y W 3220x+ 5y W 55 ，且z= 0.65x+ 0.4y.x> 0y> 0作出以上不等式组所表示的平面区域（如图阴影部分），即可行域.作直线b: 0.65x+ 0.4y= 0即13x+ 8y= 0，把直线I向上方平移到l i的位置时，直线经过可行域内的点M，且l i与原点的距离最大，此时z取最大值.x+ 2y= 8解方程组，得x= 2, y= 3.4x + y= 11故M的坐标为（2,3），所以z的最大值为Z max= 0.65 X 2+ 0.4 X 3= 2.5。
线性规划练习题及解答
线性规划练习题及解答线性规划是数学中一种常见的优化方法，它广泛应用于实际问题的解决中。
本文将提供一些线性规划的练习题及解答，以帮助读者更好地理解和运用线性规划。
练习题1：某公司生产两种产品：甲品和乙品。
每天可用于生产的原料数量分别为A和B。
已知每单位甲品所需的原料A和B的消耗量分别为a1和b1，每单位乙品所需的原料A和B的消耗量分别为a2和b2。
假设甲品和乙品的利润分别为p1和p2，求解出该公司在给定原料限制下能获得的最大利润。
解答：设甲品的生产量为x，乙品的生产量为y，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y。
受限条件为原料A的消耗量限制 a1 * x + a2 * y <= A，原料B的消耗量限制 b1 * x + b2 * y <= B。
另外，x和y的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0）。
这样，我们可以得出完整的线性规划模型如下：maximize p1 * x + p2 * ysubject to:a1 * x + a2 * y <= Ab1 * x + b2 * y <= Bx >= 0y >= 0练习题2：某工厂生产三种产品：甲、乙、丙。
已知每单位甲、乙、丙产品的利润分别为p1、p2、p3，每天需要的原材料A、B的数量为a和b，每单位甲、乙、丙产品消耗的原材料A、B的数量分别为a1、b1和a2、b2以及a3、b3。
现在要求在给定的原材料数量限制下，求解出最大化利润的生产方案。
解答：设甲、乙、丙产品的生产量分别为x、y、z，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y + p3 * z。
受限条件为原材料A和B的数量限制，分别为 a1 * x + a2 * y + a3 * z <= a 和 b1 * x + b2 * y + b3 * z <= b。
另外，x、y、z的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0，z >= 0）。
简单的线性规划(含答案、详解)
简单的线性规划一、点与直线的位置关系1、若点)1,2(a 在直线01=--y x 的左上方，则实数a 的取值范围是2、已知点(-2,1)和点(1,1)在直线023=--a y x 的两侧,则a 的取值范围是3、在下列各点中，不在．．不等式532<+y x 表示的平面区域内的点为 ①． )1,0( ②． )0,1( ③． )2,0( ④． )0,2(4、下列给出的四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是①、(0,2) ②、(2,0)- ③、(0,2)- ④、(2,0)5、原点和点()1,1在直线0=-+a y x 的同侧，则a 的取值范围是6、点(1,1)在下面各不等式表示的哪个区域中①、2≤-y x ②．022>--y x ③．0≤y ④．2≥x7、已知点()3,1和点()4,6-在直线320x y m -+=的两侧，则m 的取值范围是__________．二、简单的线性规划之不等式表示的平面区域8、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是9、不等式组201022x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域的面积是10、1x y +≤表示的平面区域的面积是________________.11、已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为__________. 三、简单的线性规划之最值12、已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为13、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧->-<+>+144222y x y x y x 则目标函数y x z -=3的取值范围是________.⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x14、已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤,0,2,y y x x y 那么目标函数y x z 3+=的最大值是 .15、已知实数满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x b =的取值范围是16、若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为 .17、已知，则的最大值为18、若变量,x y 满足约束条件，则3log (2)w x y =+的最大值是19、已知实数,x y 满足约束条件20,350,1,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则212x y z +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值等于 20、某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大?简单线性规划（参考答案）1、试题分析：因为直线01=--y x 的左上方的点满足不等式10x y --<,所以1210a--<,即01a <<. 2、试题分析：因为点(-2,1)和点(1,1)在直线023=--a y x 的两侧,所以(3(2)21)(31a a ⨯--⨯-⨯-⨯-<，解得8 1.a -<<3、③解决该试题的关键是理解，不满足平面区域内的点不满足不等式。
线性规划题型整理与例题(含答案)
积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、题目描述假设有一家创造公司，该公司生产两种产品：产品A和产品B。
公司有限的资源包括劳动力和原材料。
产品A每一个单位需要2个小时的劳动力和3个单位的原材料，产品B每一个单位需要4个小时的劳动力和1个单位的原材料。
公司每天有8个小时的劳动力和10个单位的原材料可用。
产品A的售价为每一个单位10美元，产品B的售价为每一个单位8美元。
创造一台产品A的成本为每一个单位6美元，创造一台产品B的成本为每一个单位4美元。
问题：如何确定每种产品的生产数量，以最大化公司的利润？二、线性规划模型假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
则可以建立如下的线性规划模型：目标函数：最大化利润Maximize Z = 10x + 8y约束条件：1. 劳动力约束：2x + 4y ≤ 8（劳动力总共有8个小时）2. 原材料约束：3x + y ≤ 10（原材料总共有10个单位）3. 非负约束：x ≥ 0, y ≥ 0三、求解线性规划问题为了求解上述线性规划问题，可以使用各种数学软件或者线性规划求解器。
下面给出一个可能的求解过程和结果。
1. 使用线性规划求解器输入模型和约束条件。
2. 求解器计算出最优解，即最大化的利润。
3. 解读结果。
四、求解结果经过计算，最优解如下：最大利润为：$64产品A的生产数量：2个单位产品B的生产数量：2个单位五、结果解释根据最优解，公司应该生产2个单位的产品A和2个单位的产品B，以最大化公司的利润。
此时，公司的最大利润为64美元。
六、敏感性分析敏感性分析用于确定模型的解对于参数变化的稳定性。
下面进行一些敏感性分析。
1. 劳动力的变化：假设劳动力增加到10个小时，重新计算模型。
结果如下：最大利润为：$76产品A的生产数量：2个单位产品B的生产数量：2个单位2. 原材料的变化：假设原材料增加到12个单位，重新计算模型。
结果如下：最大利润为：$76产品A的生产数量：2个单位产品B的生产数量：2个单位通过敏感性分析可以得出，当劳动力和原材料的供应增加时，最优解保持不变。
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一 线性规划中的基本概念知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一 求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求(1)x 2＋y 2的最小值； (2)yx的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝⎛⎭⎫45，85， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫322＝132， 所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大， 由(1)知C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案 10解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 题型三 线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎫25，752， 但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c的值分别为( ) A ．－1,4 B ．－1，－3 C ．－2，－1 D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B 解析 如图，当y ＝2x 经过且只经过x ＋y －3＝0和x ＝m 的交点时，m 取到最大值，此时，即(m,2m )在直线x ＋y －3＝0上，则m ＝1. 2．答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方， 故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12.课时精练答案一、选择题 1．答案 A解析 画出可行域，如图所示，解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值； 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 2．答案 D解析 作出可行域，如图所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C 解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C. 5．答案 D解析 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案 13解析 |x |＋|y |≤2可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C (3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线x ＋2y －4＝0上方， ∴x ＋2y －4＞0，则目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，易得当直线z ＝x ＋2y －4在点B (7,9)处，目标函数取得最大值z max ＝21. 方法二 z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5， 令P (x ，y )为可行域内一动点，定直线x ＋2y －4＝0， 则z ＝5d ，其中d 为P (x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离． 由图可知，区域内的点B 与直线的距离最大， 故d 的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max ＝215·5＝21. 三、解答题12．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时，z min ＝2×1－4.4＝－2.4.13．解 先画出可行域，如图所示，y ＝a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a ＞1，∴1＜a ≤3.14．解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600， 解得，点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
简单的线性规划 习题含答案
线性规划教案1.若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A2.不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B3.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围4.已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z =6x+10y 取最大值解方程组⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一 6.有一批钢管，长度都是4000mm ，要截成500mm 和600mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于31配套，怎样截最合理？解：设截500mm 的钢管x 根，600mm 的y 根，总数为z 根。
简单的线性规划应用题解析
简单的线性规划应用题解析1．某人有楼房一幢，室内面积共180㎡,拟分隔两类房间作为旅游客房．大每间面积为18㎡，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15㎡，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？设应隔出大、小房间分别为x ,y 间，此时收益为z 元，则18151801000600800000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 200150z x y =+将上述不等式组化为6560534000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 作出可行域，如图⑴，作直线l:200x+150y=0,即l:4x+3y=0. 将直线l 向右平移，得到经过可行域的点B ，且距原点最远的直线l 1. 解方程组65605340x y x y +=⎧⎨+=⎩ 图⑴得最优解2076072.98.6 xy=≈⎧⎨=≈⎩但是房间的间数为整数，所以，应找到是整数的最优解．①当x=3时，代入5x+3y=40中，得401525338y-==>，得整点（3，8），此时z=200×3＋150×8=1800（元）;②当x=2时,代入6x+5y=60中，得601248559y-==>，得整点（2，9），此时z=200×2＋150×9=1750（元）；③当x=1时,代入6x+5y=60中，得606545510y-==>，得整点（1，10）, 此时z=200×1＋150×10=1700（元）；④当x=0时,代入6x+5y=60中，得60512y==，得整点（0，12），此时z=150×12=1800（元）．由上①～④知，最优整数解为（0，12）和（3，8）．答：有两套分隔房间的方案：其一是将楼房室内全部隔出小房间１２间；其二是隔出大房间３间，小房间８间，两套方案都能获得最大收益为１８００元．2．某家具厂有方木料90m3,五合板60㎡，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2㎡，生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1㎡，出售一张书桌可获得利润80元，出售一个书橱可获得利润120元．如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使所得利润最大？【解析】将已知数据列成下表:⑴只生产书桌因为90÷0.1=900，600÷2=300.所以，可产生书桌300张，用完五合板，此时获利润为80×300=24000（元）；⑵只生产书橱因为90÷0.2=450，600÷1=600，所以，可产生450个书橱，用完方木料.此时获利润为120×450=54000（元）；⑶若既安排生产书桌，也安排生产书橱 设安排生产书桌x 张，安排生产书橱y 个,可获利润z 元，则 0.10.290260000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩80120z x y =+,作出可行域如图⑵，并作直线l :80x+120y=0,即 2x+3y=0.将直线l 向右平移，得到经过可行域的定点B 且距原点最远的直线l 1.解方程组0.10.2902600x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得最优解100400x y =⎧⎨=⎩此时，8010012040056000z =⨯+⨯=（元）.答：由上面⑴⑵⑶知：只安排生产书桌，可获利润24000元；只生产书橱，可获利润为54000元；当生产书桌100张，书橱400个时，刚好用完方木料和五合板，且此时获得最大利润，为56000元.图⑵。
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简单的线性规划练习 附答案详解一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1)2.若2m ＋2n <4，则点(m ，n )必在( )A ．直线x ＋y －2＝0的左下方B ．直线x ＋y －2＝0的右上方C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34 4.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥22x －y ≤4x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2 B ．6 2C ．6D ．35.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≥2y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．5D ．76.已知A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值及最小值分别是( )A ．－1，－3B ．1，－3C ．3，－1D ．3,17.在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝0,2x ＋3y ＝30，则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )A ．95 B ．91C ．88D ．758.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元9.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a－3，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥1B ．a ≤－1C ．－1≤a ≤1D ．a ≥1或a ≤－1 10.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≥02y －x ＋1≥0x ＋y －4≤0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．411.当点M (x ，y )在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,1]C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1)12.已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋y ≤2x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a＝( )A ．0B.13C.23 D ．113.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤2x －1x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3 二、填空题14．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤1x ＋2y ≥1，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．15．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元.16．已知M 、N 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1x －y ＋1≥0x ＋y ≤6所表示的平面区域内的不同两点，则|MN |的最大值是________．17.如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，点P (a ，b )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0内任意一点，则b ＋1a －1的取值范围是________．18．若由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n x －3y ≥0y ≥0(n >0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝________.三、解答题19．若x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －12≤03x －2y ＋10≥0x －4y ＋10≤0，求z ＝x ＋2y 的最小值，并求出相应的x 、y 值．20．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？工人(名)资金(万元)甲 4 20 乙85[答案] B[解析] ∵点O (0,0)使x －2y ＋4>0成立，且点O 在直线下方，故点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方⇔－2－2t ＋4<0，∴t >1. [点评] 可用B 值判断法来求解，令d ＝B (Ax 0＋By 0＋C )，则d >0⇔点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方；d <0⇔点P 在直线下方． 由题意－2(－2－2t ＋4)>0，∴t >1. [答案] A[解析] ∵2m ＋2n ≥22m ＋n ，由条件2m ＋2n <4知， 22m ＋n <4，∴m ＋n <2，即m ＋n －2<0，故选A. [答案] C[解析] 平面区域如图．解⎩⎨⎧x ＋3y ＝43x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ()0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.[答案] D[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt △ABC ，易求B (4,4)，A (1,1)，C (2,0) ∴S △ABC ＝S △OBC －S △AOC＝12×2×4－12×2×1＝3. [答案] B[解析]在坐标系中画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≥2y ≥3x －6所表示的可行域为图中△ABC ，其中A (2,0)，B (1,1)，C (3,3)，则目标函数z ＝2x ＋y 在点B (1,1)处取得最小值，最小值为3.[答案] B[解析] 当直线y ＝x －z 经过点C (1,0)时，z max ＝1，当直线y ＝x －z 经过点B (－1,2)时，z min ＝－3.[答案] B[解析] 由2x ＋3y ＝30知，y ＝0时，0≤x ≤15，有16个；y ＝1时，0≤x ≤13；y ＝2时，0≤x ≤12； y ＝3时，0≤x ≤10；y ＝4时，0≤x ≤9； y ＝5时，0≤x ≤7；y ＝6时，0≤x ≤6； y ＝7时，0≤x ≤4；y ＝8时，0≤x ≤3； y ＝9时，0≤x ≤1，y ＝10时，x ＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．[答案] D[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x 吨，y 吨，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤132x ＋3y ≤18x ≥0y ≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如图，由⎩⎨⎧3x ＋y ＝132x ＋3y ＝18，解得A (3,4)． ∵－3<－53<－23，∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.[答案] C[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.[答案] C[解析] 由题意可知，不等式组表示的可行域是由A (1,3)，B (3,1)，C (5,2)组成的三角形及其内部部分．当z ＝x ＋my 与x ＋y －4＝0重合时满足题意，故m ＝1.[答案] B[解析] 由目标函数z ＝kx ＋y 得y ＝－kx ＋z ，结合图形，要使直线的截距z 最大的一个最优解为(1,2)，则0≤－k ≤k AC ≤1或0≥－k ≥k BC ＝－1，∴k ∈[－1,1]．[答案] B[解析] 依题意可知a <1.作出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 在A 点和B 点处分别取得最小值和最大值．由⎩⎨⎧x ＝a y ＝x 得A (a ，a )， 由⎩⎨⎧x ＋y ＝2x ＝y 得B (1,1)， ∴z max ＝3，z min ＝3a .∴a ＝13.[答案] B[解析] 画出x ，y 满足条件的可行域如图所示，可知在直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点A 处，目标函数z ＝x －y 取得最小值．由⎩⎨⎧y ＝2x －1x ＋y ＝m， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋13y ＝2m －13，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ＋13，2m －13.将点A 的坐标代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，即m ＝5.故选B. [答案] 2[解析] 可行域为图中阴影部分△ABC ，显然当直线2x ＋y ＝z 经过可行域内的点A (1,0)时，z 取最大值，z max ＝2.[答案] 116[解析] 设租大船x 只，小船y 只，则5x ＋3y ≥48，租金z ＝12x ＋8y ，作出可行域如图，∵－53<－32，∴当直线z ＝12x ＋8y 经过点(9.6,0)时，z 取最小值，但x ，y ∈N ，∴当x ＝9，y ＝1时，z min ＝116. [答案]17[解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图形易知，点D (5,1)与点B (1,2)的距离最大，所以|MN |的最大值为17.[答案][]－1，－12[解析] ∵直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于M 、N 两点，且M 、N 关于x ＋y ＝0对称，∴y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直，∴k ＝1，而圆心在直线x ＋y ＝0上，∴－k2＋()－m 2＝0，∴m ＝－1，∴作出可行域如图所示，而b ＋1a －1表示点P (a ，b )与点(1，－1)连线的斜率，∴k max ＝0＋1－1－1＝－12，k min ＝－1，∴所求取值范围为[]－1，－12.[答案] －33[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上，∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x－3y ＝0垂直，∴1m ×13＝－1，即m ＝－33.[解析] 根据条件作出可行域如图所示，解方程组⎩⎨⎧x ＋4y －10＝03x －2y ＋10＝0，得A (－2,2)．再作直线l ：x ＋2y ＝0，把直线l 向上平移至过点A (－2，2)时，z 取得最小值2，此时x ＝－2，y ＝2. [解析] (1)依题意得⎩⎨⎧P 甲－P 乙＝0.251－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎨⎧P 甲＝0.65P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤3220x ＋5y ≤55x ≥0y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域． 作直线b ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝84x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为z max＝0.65×2＋0.4×3＝2.5。