最值定理的推广及其应用

三大微分中值定理及其推广形式和应用

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三大微分中值定理及其推广形式和应用
丁亚红
南京师范大学数学科学学院，南京（210046）
E-mail: dyahong@
摘要：三大微分中值定理既有区别，又紧密相联。在这三大定理中，Rolle 定理是基础， Lagrange 中值定理是关键。本文介绍了一阶、高阶形式的中值定理及其应用。给出了一阶形式的微分中值定理的相互证明。在高阶情形中，用高阶 Lagrange 中值定理证明了高阶 Cauchy 中值定理。其应用方面为:判断函数方程根的存在性,求极限,证明不等式,证明单调性。关键词：中值定理，推广，应用
(1)
g (n) (ξ )
1
1L1
x0
x1 L xn
x02
x12
L
x
2 n
L LLL
x n−1 0
x n−1 1
L
x n−1 n
g(x0 ) g(x1 ) L g(xn )
3.3 用高阶 Lagrange 中值定理证明高阶 Cauchy 中值定理
在一阶形式中，我们可以运用 Lagrange 中值定理证明 Cauchy 中值定理。这里，我们将运用高阶 Lagrange 中值定理来证明高阶 Cauchy 中值定理。
λi (x j )
= δ ij
=
⎧1,i = ⎩⎨0,i ≠
j; j.
n
∑ 则存在ξ ∈ (a,b), 使得， f (n) (ξ ) = f (xi )λ(in) (ξ ).
i=0
证作辅助函数
n
F (x) = f (x) − ∑ f (xi )λi (x),
i=0
故
F (xi ) = 0,i = 0,1,L, n 反复运用罗尔定理，可得，存在 ξ ∈ (a, b), 使得

积分中值定理与推广积分中值定理区间问题

积分中值定理与推广积分中值定理区间问题一、积分中值定理的基本概念1.1 积分中值定理的定义积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是对函数在闭区间上的平均值与极限值之间的关系进行了精确的描述。

积分中值定理的内容主要包括了两个部分：第一部分是零点定理，即如果函数在闭区间上连续，并且在该闭区间上取得了最大值和最小值，那么在该闭区间上一定存在至少一个点使得函数的导数等于零；第二部分是平均值定理，即如果一个函数在一个闭区间上连续，那么一定存在至少一个点，使得该点的导数等于函数在该区间上的平均增量。

积分中值定理的内容简单而深刻，它为我们理解函数在闭区间上的性质提供了重要的依据。

1.2 积分中值定理的应用积分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解函数的性质，还可以为我们提供在实际问题中对函数的特定取值进行估计的依据。

比如在物理学中，积分中值定理可以用来描述物体在某一时刻的速度与位移之间的关系；在经济学中，积分中值定理可以用来解释市场上产品的供求关系；在生物学中，积分中值定理可以用来分析生物体在生长过程中的变化规律等等。

积分中值定理是微积分中的基础定理之一，它在我们的日常生活和各个学科领域中都有着重要的地位。

二、推广积分中值定理区间问题2.1 区间问题的提出在积分中值定理的基础上，我们可以进一步进行推广，即考虑函数在开区间上的性质。

具体来说，我们可以考虑以下问题：如果一个函数在一个开区间上连续，那么它在该开区间上是否一定存在着一个点，使得该点的导数等于函数在该开区间上的平均增量呢？这个问题就是推广积分中值定理区间问题。

2.2 区间问题的解决针对区间问题，我们可以通过微积分中的基本原理进行研究。

我们可以利用函数的连续性和导数的存在性来证明函数在开区间上的平均增量一定存在，然后利用积分中值定理的零点定理和平均值定理来证明在该开区间上一定存在着一个点，使得该点的导数等于函数在该开区间上的平均增量。

最值定理的推广及其应用

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积分中值定理的推广及应用(论文)

衡阳师范学院毕业论文（设计）题目：积分中值定理的推广及应用学号：姓名：年级：学院：信息科学技术学院系别：数学系专业：信息与计算科学指导教师：完成日期：年月日摘要本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性，积分中值定理的应用。

有关ξ点的渐进性，我们对第一积分中值定理的ξ点的做了详细的讨论，给出详细清楚的证明过程。

而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其它证明过程只做简要说明。

对于应用，我们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。

我们讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。

在此基础上，我们还讨论了在几何形体Ω上的黎曼积分第一中值定理，它使得积分中值定理更加一般化，此情形对于讨论一般实际问题有很显著作用。

在积分中值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间[,]f x的积分中值a b讨论函数()定理情形转换为在开区间(,)a b上讨论函数()f x上的积分中值定理，这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便。

不仅如此，我们还将几何形体Ω上的黎曼积分第一中值定理推广到第一、第二曲线型积分中定理和第一、第二曲面型积分中值定理情形。

关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性AbstractThe main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem.About the Progressive of ξpoint, we have discussed the ξpoint of the mean-value theorem in detail and give clear proof of the process. While the gradual issues of the secondintegral mean value theorem has been demonstrated one of these situations. And the otherprocess of proving has been expressed in brief.According to application,we presented a simple situation, for example, estimate integralvalue ,solve the limits of definite integral, define integral sign, compare the magnitude of integralvalue, prove the monotonic of function and Abel test and Dirichlet testWe have discussed the definite integral mean-value theorem, the first mean value theorem,the second integral mean-value theorem, and have given a detailed proof of these theoremsprocess. On this basis, we also have discussed the Riemann first integral mean-value theorem onthe geometryΩ. It makes the integral mean-value theorem is more general, the case has asignificant role in the discussion of practical issues in general.In the promotion of integral mean value theorem, we have discussed the integralmean-value theorem of function ()a b in the case off x in the initial closed interval [,]discussing it in the open interval(,)a b, the change has more convenience in solving some practical mathematical problem. In addition, we will promote the Riemann first integral mean-value theorem on the geometryΩto the situation of the first and second type curve in integral theorem and The second type surface integral mean-value theorem.Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 引言 (1)2 积分中值定理的证明 (2)2.1 定积分中值定理 (2)2.2 积分第一中值定理 (3)2.3 积分第二中值定理 (3)2.4 几何形体上黎曼积分第一中值定理 (6)3 积分中值定理的推广 (9)3.1 定积分中值定理的推广 (9)3.2 定积分第一中值定理的推广 (9)3.3 定积分第二中值定理的推广 (11)3.4 第一曲线积分中值定理 (12)3.5 第二曲线积分中值定理 (12)3.6 第一曲面积分中值定理 (13)3.7 第二曲面积分中值定理 (14)4 第一积分中值定理中值点的渐进性 (16)5 第二积分中值定理中值点的渐进性 (20)6 积分中值定理的应用 (23)6.1 估计积分值 (23)6.2 求含定积分的极限 (24)6.3 确定积分号 (24)6.4 比较积分大小 (25)6.5 证明函数的单调性 (25)6.6 证明定理 (25)7 结论 (29)谢辞 (30)参考文献 (31)1引言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。

积分第一中值定理的推广研究

积分第一中值定理的推广研究1. 引言1.1 研究背景研究背景：积分第一中值定理作为微积分中的重要定理，一直以来都受到数学界的广泛关注和研究。

其基本原理可以追溯到牛顿和莱布尼兹创立微积分学的时期，被视为微积分的基石之一。

积分第一中值定理主要研究了函数在闭区间上的平均值与函数在某点处的导数之间的关系，揭示了函数的平均值与函数的导数之间的重要联系。

随着数学研究的不断深入和发展，人们开始意识到积分第一中值定理在实际问题中的广泛应用。

在物理学、工程学、经济学等领域，积分第一中值定理都扮演着重要的角色，帮助解决了许多现实生活中的复杂问题。

对积分第一中值定理进行进一步的推广研究，不仅有助于深化我们对函数性质的理解，还能为实际问题的解决提供更多的数学工具和方法。

在这样的背景下，对积分第一中值定理的推广研究变得日益重要和必要。

通过对定理的深入探讨和拓展，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，进而应用到更多的实际问题中去。

【研究背景】的探讨与分析，将有助于引出接下来对积分第一中值定理的深入研究和探讨。

1.2 研究意义积分第一中值定理是微积分中一个重要的定理，它描述了函数在某个区间上的平均值与积分值之间的关系。

在数学理论研究和工程技术应用中，积分第一中值定理都具有重要的作用。

研究积分第一中值定理的意义在于深入理解函数在某个区间上的性质，能够帮助我们更好地理解函数的变化规律和特点。

通过对积分第一中值定理的研究，可以更准确地分析函数的增长趋势、波动情况和变化规律，为数学理论研究提供重要的基础。

积分第一中值定理还在科学研究和工程技术领域有着广泛的应用。

在物理学中，通过积分第一中值定理可以推导出一些重要的物理公式；在工程技术中，积分第一中值定理可以帮助工程师们更精确地计算出一些复杂问题的积分值，从而提高工程设计的准确性和效率。

研究积分第一中值定理对于推动数学理论的发展、提高工程技术水平和推动科学研究都具有重要的意义。

通过深入探讨积分第一中值定理的相关性质和应用，可以为数学研究和工程实践提供更深入的理论支持和实际指导。

经济学微积分最值问题及其应用

2

例 3 假设某种商品的需求量 Q 是单价 P (单位:元)的函数： Q 12000 80P ；商品的总成本 C 是需求量的函数： C 25000 50Q ，每单位商品需纳税 2 元，试求使销售利润最大的商品价格和最大利润.
解 L (12000 80 P )( P 2) ( 25000 50Q )
例 1 某厂每批生产 A 商品 X 台的费用为C ( X ) 5 X 200 (万元)，得到的收入为 R( X ) 10 X 0.01 X 2 (万元)，问每批生产多少台，才能使利润最大？
设利润为L( X ), 则解：
L( X ) R( X ) C ( X ) 5 X 0.01 X 2 200
则全年的采购费用为 a ab bN b X X 用C表示一个单位货物库存一年所需费用， CX 则全年的库存费用为，因此，总费用为 2 ab CX E( X ) X 2
a 又 X ，故总费用也可表示为 N的函数： N a a C aC E ( N ) a /( ) b ( )( ) bN N N 2 2N
80 P 2 16160 P 649000 L( P ) 160 P 16160 令L( P ) 0得P 101且是唯一极值点，又因L(101) 160 0, 故当P 101元时， L( P )有最大值，且最大值为
L(101) 167080 (元)
一、函数的最大值与最小值
经济问题中，经常有这样的问题，怎样才能使“产品最多”、“用料最少”、“成本最低”、“效益最高”等等．这样的问题在数学中有时可归结为求某一函数（称为目标函数）的最大值或最小值问题．根据自变量的取值范围，分以下两种情况讨论．

论文函数的极值问题在实际中的应用.

函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。

用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。

正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。

一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。

1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。

使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。

当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。

定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。

（1）若当时，当时，则在点取得最小值。

（2）若当时，当时，则在点取得最大值。

定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在处二阶可导，在处二阶可导，且，。

（1）若，则在取得极大值。

（2）若，则在取得极小值。

由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。

这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。

在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。

因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。

下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数的导数；（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点；（3）计算函数值；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。

推广的积分中值定理及其应用

推广的积分中值定理及其应用摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性.关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理Promotion of Integral Mean ValueTheorem and Its ApplicationAbstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system topromote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after.Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem1预备知识在本部分中具体叙述了这篇论文中所需要的相关知识,包括导函数介值性定理、拉格朗日中值定理以及变上限积分函数的定义和性质等,这些理论知识为第二部分的定理推导以及证明做了铺垫,所以起了重要的作用.1.1设()g x 在[,]a b 上非负可积,且()0abg x dx >⎰则存在[,](,)c d a b ⊂使得()0dcg x d x >⎰1.2 设()f x 在[,]a b 上连续,0x ,1x ,2x [,]a b ∈若10()()f x f x >,20()()f x f x <,则存在(,)a b ξ∈,使得0()()f f x ξ=1.3若函数()f x 在[,]a b 上可导,且''()()f a f b +-≠,k 为介于'()f a +,'()f b -之间的任意数,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()f k ξ=1.4若'()f x 为[,]a b 上的非负导函数,且存在0[,]x a b ∈,使'0()0f x >,则必有'()0baf x dx >⎰1.5（拉格朗日中值定理）若函数()f x 满足如下条件: （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续; （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导;则在(,)a b 内至少存在一点ξ使得'()()()f b f a f b aξ-=-1.6变上限积分函数:设()f x 在[,]a b 上可积,x 为[,]a b 内任意一点,则称函数()()xax f t dt φ=⎰为变上限积分函数1.7变上限积分函数有以下若干性质（1）有界性命题1 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上有界（2）连续性命题2 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上连续（3）可积性命题3 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上可积（4）可微性（原函数存在定理）()f x 在[,]a b 上连续,则()x φ在[,]a b 上处处可导.且'()()()xad x f t dt f x dx φ==⎰ [,]x a b ∈2 推广的积分中值定理积分第一中值定理在数学分析教材中为:若()f x 在[,]a b 上连续,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰推广的积分第一中值定理在数学分析教材中为:()f x ,()g x 都在[,]a b 上连续,且()g x 在[,]a b 上不变号,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰我们知道积分中值定理可用于确定数列及函数列的极限,确定零点分布,判别函数的敛散性,证明积分不等式等.但观察上述式子我们发现ξ的取值有时会在两个端点处取得,有的习题用原有的积分中值定理不能够解答出来.例如在证明积分不等式时,运用原有的积分中值定理我们只可以证明≤或≥的情况,所以带有一定的局限性.下面我们对原有的积分中值定理做一下加强,使“ξ”的范围由闭区间缩小到开区间,即得到了下面所叙述的推广的积分中值定理.2.1积分第一中值定理的推广定理 2.1(1)若()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ使得:()()()baf x dx f b a ξ=-⎰成立证明: 作辅助函数()()x aF x f t dt =⎰ [,]x a b ∈则()F x 是[,]a b 的可微函数,且'()()F x f x =.由微积分学中值定理,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得:'()()()()F b F a F b a ξ-=-注意到()()ba Fb f x dx =⎰,()0F a =,即有()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(,)a b ξ∈2.2推广的第一积分中值定理的加强引理1 设()g x 在[,]a b 上非负可积,且()0ba g x dx >⎰,则存在[,](,)c d ab ⊂使得()0dcg x dx >⎰证明:用反证法作辅助函数()()b x a xG x g t dt -+=⎰[0,]2b a x -∈,则()G x 是[0,]2b a-上的非负连续函数.若命题不成立,则对任意的(0,)2b ax -∈有()G x ≡0,令x o →+,得(0)()0b a G g t dt ==⎰,产生矛盾.引理2 ()f x 在[,]a b 上连续,0x ,1x ,2x [,]a b ∈,若10()()f x f x >,20()()f x f x <,则存在(,)a b ξ∈,使得0()()f f x ξ=证明:作辅助函数0()()()H x f x f x =-,我们不妨设12x x <,因为()f x 在[,]a b 上连续,故()H x 也连续,从而在12[,]x x 上连续.1()0H x >,2()0H x <由连续函数的零点定理知存在12(,)x x ξ∈使得()0H ξ=即当然0()()f f x ξ=其中(,)a b ξ∈.引理3 若()g x 在[,]a b 上连续且不恒为零,则积分()0ba g x dx >⎰证明:倘若有某0[,]x a b ∈,使0()0g x >,由连续函数的局部保号性知存在0x 的某邻域00(,)x x δδ-+,使在其中0()()02g x g x ≥>,则 00000000()()()()()00()02bx x b x aax x x g x g x dx g x dx g x dx g x dx dx g x δδδδδδδ-++-+-=++≥++=>⎰⎰⎰⎰⎰证毕.定理 2.2 设()f x 在[,]a b 上连续,()g x 在[,]a b 上可积不变号,则至少存在一点(,)a b ξ∈使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰证法1(2)证明:1︒()0bag x dx =⎰时,此时,由推广的积分中值定理知,存在[,]a b ξ∈使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰=0于是对任意的0(,)x a b ∈有0()()()()bbaaf xg x dx f x g x dx =⎰⎰命题成立2︒当()0g x ≥，且()0bag x dx >⎰时，若命题不成立，即不存在(,)a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰则由推广的积分中值定理知，只能有()()()()b baaf xg x dx f a g x dx =⎰⎰ （1）或者 ()()()()b baaf xg x dx f b g x dx =⎰⎰ 成立（2）若是命题不成立而（1）成立,则在(,)a b 内()()f x f a ≠ 由引理2在(,)a b 内恒有()()f x f a >或者()()f x f a <,不妨设()()f x f a >,而对()g x 运用引理2存在[,](,)c d a b ⊂,使得()0dc g x dx >⎰于是()()()()()()()()()()bbcdbaaacdf ag x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx ==++⎰⎰⎰⎰⎰=123()()()()()()c d bacdf g x dx f g x dx f g x dx ξξξ++⎰⎰⎰其中1[,]a c ξ∈,2[,]c d ξ∈,3[,]d b ξ∈,这是根据推广的积分中值定理得出的,由于1()()f f a ξ≥,()0cag x dx ≥⎰,2()()f f a ξ>,()0dcg x dx >⎰,3()f ξ中的3b ξ≠时3()()f f a ξ>.当3b ξ=时,对()()f x f a >,0x b →-,由()f x 在[,]a b 上的连续性可知,()()f b f a ≥而()0dd g x dx ≥⎰,综上可得到()()()()()()()()()()b c d b baacdaf ag x dx f a g x dx f a g x dx f a g x dx f a g x dx >++>⎰⎰⎰⎰⎰这是一个矛盾,因此命题成立.若是命题不成立而（2）成立,同样可得出矛盾,因此定理得以证明3︒ 当()0g x ≤,且()0ba g x dx <⎰时此时()0g x -≥,且[()]0bag x dx ->⎰,由情形2的讨论知,存在(,)a b ξ∈,使得()[()]()[()]bb aaf xg x dx f g x dxξ-=-⎰⎰ 即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰ (,)a b ξ∈总之,定理2.2完全得以证明证法2(3)证明:令()()xaF x f t dt =⎰,由拉格朗日中值定理知,(,)a b ξ∃∈,使得'()()()F b F a F b aξ-=-,即()()()baf x dx f b a ξ=-⎰不妨设()0g x ≥,[,]x a b ∈,若()g x 在[,]a b 上恒为零,则结论显然成立.若()g x 在[,]a b 上连续且不恒为零,则积分()0ba g x dx >⎰令()()()x aF x f t g t dt =⎰,()()xaG x g t dt =⎰,在[,]a b 上应用柯西中值定理，(,)a b ξ∃∈,使''()()()()()()()()()()()()()babaf tg t dtF b F a F f g fG b G a G g g t dtξξξξξξ-=⇒==-⎰⎰即()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰2.3积分第二中值定理的推广在数学分析教材中积分第二中值定理是这样叙述的,设函数()f x 在[,]a b 上可积（1）若函数()g x 在[,]a b 上减,且()0g x ≥,则存在[,]a b ξ∈,使得()()()()baaf xg x dx g a f x dx ξ=⎰⎰（2）若函数()g x 在[,]a b 上增,且()0g x ≥,则存在[,]a b η∈,使得()()()()bbaf xg x dx g b f x dx η=⎰⎰其推论为:设函数()f x 在[,]a b 上可积,若()g x 为单调函数,则存在[,]a b ξ∈,使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰现在研究一下推论的情形:在第一积分中值定理中,我们把ξ的取值区间由闭区间缩小到开区间,但对于积分第二中值定理是否可以做这样的加强呢,看一下下面的例子:在闭区间[,]a b 上()1f x =,1[,)()2x a b g x x b ∈⎧=⎨=⎩若在(,)a b 上存在ξ使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰即 ()()()()2()2b a g a a g b b a b b a ξξξξξ-=-+-=-+-=--所以b ξ=,即ξ在[,]a b 的端点.这个例子告诉我们积分第一中值定理的加强结果对于积分第二中值定理不一定成立,但是这里的有限区间[,]a b 却可以换成[,)a +∞或(,]b -∞或(,)-∞+∞.此处只讨论第一种情况定理 2.3(4)设()g x 在[,)a +∞上单调有界,()f x 在[,)a +∞上可积,且()f x 没有+∞以外的瑕点,则存在[,)a ξ∈+∞使得()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰这里()lim ()x g g x →+∞+∞=证明:不妨设()g x 在[,)a +∞上单调下降,由于()g x 有界,所以()g x 在+∞处有有限的极限,记为()g +∞,于是可记()()()G x g x g =-+∞,则()0G x ≥,而对于任意的有穷区间[,]a A ,由第二积分中值定理可知,总有[,]a A η∈使得:()()()()Aaaf x G x dx G a f x dx η=⎰⎰而()()A aF A f x dx =⎰是[,)a +∞上的关于A 的连续函数,又()f x 在[,)a +∞上可积,则()F A 在[,)a +∞上有有穷的下确界和上确界,不妨记[,)inf ()A a m F A ∈+∞=,[,)sup ()A a M F A ∈+∞=,则有()m F A M ≤≤又因为()()()()Aaaf x G x dx G a f x dx η=⎰⎰所以有()()()()AamG a G x f x dx MG a ≤≤⎰再令A →+∞,则有()()()()amG a G x f x dx MG a +∞≤≤⎰令 ()()()aG a G x f x dx μ+∞=⎰, （3）则有()()()mG a G a MG a μ≤≤如果()0G a ≠则m M μ≤≤,因为()()AaF A f x dx =⎰是[,)a +∞上的关于A 的连续函数,所以()F A 可以达到其上确界M 和下确界m 及上确界和下确界之间的任意值,即存在[,)a ξ∈+∞使得()af x dx ξμ=⎰将其带入（3）式就有()()()()aaG a f x dx G x f x dx ξ+∞=⎰⎰即(()())()(()())()aag a g f x dx g x g f x dx ξ+∞-+∞=-+∞⎰⎰所以()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰如果()0G a =,因为()g x 在[,)a +∞上单调下降,所以()G x 在[,)a +∞上单调下降,又因为()0G x ≥即()0G x =所以()()g x g =+∞,即()g x =常数,那么对任意的[,)a ξ∈+∞,都有()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰证毕.这个定理告诉我们:第二积分中值定理虽然在有限开区间上不一定成立,但在无穷区间上却是成立的.通过以上的推导过程我们会发现在积分中值定理的前提下,ξ必可以在开区间中取得.在微积分学中积分中值定理和微分中值定理两者在一定意义上是互逆的、对立的,这种辩证的对立统一使微积分的内容更加丰富多彩,但两者中间点ξ的存在区间是不统一的,给其相关理论和应用带来了不便,但改动之后,推广的积分中值定理与微分中值定理的取值区间得以统一,从而更能体现积分中值定理的中值性,以及两个定理之间的联系.一方面可由微分中值定理推出积分中值定理根据牛顿—莱布尼茨公式:()()()ba f x dx Fb F a =-⎰其中()F x 是()f x 在[,]a b 上的原函数即'()()F x f x =,[,]x a b ∈,显然()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,于是至少存在一点(,)a b ξ∈使得'()()()()F b F a F b a ξ-=-()()f b a ξ=- (,)a b ξ∈即()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(,)a b ξ∈另一方面,推广的积分中值定理推出微分中值定理:若()f x 在[,]a b 上有连续的导函数,直接计算得:'()()()baf x dx f b f a =-⎰ （4）而由推广的积分中值定理至少存在一点(,)a b ξ∈,使得''()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（5）由（4）和（5）有'()()()()f b f a f b a ξ-=-,这正是微分中值定理.2.4 导函数的积分中值定理及其应用在微积分学中,积分中值定理与微分中值定理都有着很重要的地位,下面我们将积分中值定理条件下的连续函数推广到导函数,并用Darboux 定理给出了详尽的证明,由此我们得出了导函数积分中值定理.引理1(5)（Darboux ）若函数()f x 在[,]a b 上可导,且''()()f a f b +-≠,k 为介于'()f a +,'()f b -之间的任意数,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()f k ξ=引理2 若'()f x 为[,]a b 上的非负导函数,且存在0[,]x a b ∈,使'0()0f x >,则必有'()0baf x dx >⎰定理 2.4(6)若'()f x 为[,]a b 上的导函数,()g x 为[,]a b 上的连续函数,且()g x 在[,]a b 上不变号,则至少存在一点ξ[,]a b ∈,使得''()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰证明:不妨设()0g x ≥,'()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为别为M 与m ,其中M 可以取+∞,m 可以取-∞,在a 点取'()f a +,在b 点取'()f b -,令()0ba I g x dx =≥⎰,又'()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤,([,])x a b ∈,则有'()()()()bbbaaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰当0I =或m M =时,任意取(,)a b ξ∈均可当0I >或m M <时,令'1()()b a u f x g x dx I=⎰ ()m u M ≤≤ 当m u M ≤≤时,由Darboux 定理知,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ= 当m u M =<时,利用反证法证明存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=若对一切的(,)x a b ∈,有'()0f x u ->且()0baI g x dx =>⎰,则()g x 在[,]a b 上不恒为零,即存在0[,]x a b ∈,使得0()0g x >,由连续函数的保号性知存在0x 的邻域00(,)x x σσ-+（当0x a =或0x b =时,则为右邻域或左邻域）使得对于任意的00(,)x x x σσ∈-+,有0()()02g x g x ≥>,则 0000'''0()(())()(())()(())2bx x ax x g x f x u g x dx f x u g x dx f x u dx σσσσ++--->-≥-⎰⎰⎰ 由引理2可得00'(())0x x f x u dx σσ+-->⎰,从而有'(())()0b af x ug x dx ->⎰另一方面:''0(())()()()()0bbbaaaf x ug x dx f x g x dx u g x dx uI uI <-=-=-=⎰⎰⎰出现矛盾,故原命题成立,即当m u M =<时,存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=当m u M <=时,同理可证必存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=成立同理可证二阶导函数,n 阶导函数对上述的导函数的积分中值定理成立,只要我们把它们看成一阶连续导函数和n-1阶连续导函数的导函数,便可用同样的方法得证.定理2.4的应用说明例1 设函数()f x 在[,]a b 上二次可微,证明存在一点(,)a b ξ∈,使得''324().[()()]()2b aa bf f x f dx b a ξ+=--⎰ 证明:记02a bx +=,将被积函数在0x x =处按泰勒公式展开,得 2'''0000()()()()()()2x x f x f x x x f x f η--=-+其中η在x 与0x 之间,因为'00()()0bax x f x dx -=⎰,即2''00()(()())()2bbaax x f x f x dx f dx η--=⎰⎰由定理知存在(,)a b ξ∈使32''''2''00()()()()()()12bba ab a x x f dx f x x dx f ηξξ--=-=⎰⎰从而''324().[()()]()2b a a bf f x f dx b a ξ+=--⎰例2 已知导函数'()f x 在[1,2]上有界,求证2'1lim ()0nx n f x e dx -→∞=⎰证明:导函数'()f x 在[1,2]上有界,所以存在正数M ,对[1,2]ξ∈,有'()f M ξ<,由定理1知,存在1(1,2)ξ∈,2(1,2)ξ∈, 使得222'''1111()()()n nnx x f x edx f edx f eξξξ---==⎰⎰从而有2'1lim ()0nx n f x e dx -→∞=⎰3 推广的积分中值定理的应用3.1用于确定零点分布例3 (7)证明:若()f x 在[,]a b 上连续,且()()0b ba af x dx xf x dx ==⎰⎰,则在(,)a b 内至少存在两点1x ,2x 使得12()()f x f x =证明:设()()xa F x f t dt =⎰那么我们有()()()0baf x dx F b F a =-=⎰,所以()()F b F a ==0又因为()()()()bbbba aaaxf x dx xdF x xF x F x dx ==-=⎰⎰⎰ ()()()()bF b aF a F b a ξ---所以可得; ()()()()b a F b F b a ξ-=-,所以()()()F b F F a ξ===0 证毕例4(8) 证明:若()f x 在[0,]π上连续,且0()()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰,证明:存在两点1ξ,2ξ (0,)π∈,使得 12()()0f f ξξ==证明:令0()()xF x f t dt =⎰ 即'()()F x f x =,()(0)0F F π==00()cos cos ()cos ()()cos f x xdx xdF x xF x F x d xππππ==-⎰⎰⎰()sin ()sin .0F x xdx F πξξπ===⎰所以()0F ξ= (0,)ξπ∈,对()F x 在(0,)ξ,(,)ξπ上使用罗尔定理,即存在1(0,)x ξ∈,2(,)x ξπ∈满足'1()0F x =,'2()0F x =,即12()()0f x f x ==证毕例5(3)假如()f x 在[0,]π上连续,且0()sin ()cos 0f x xdx f x xdx ππ==⎰⎰,则()f x 在(0,)π内至少有两个零点.证明:由已知条件,并运用推广的积分中值定理得0()sin ()sin 2()()0f x xdx f xdx f f ππξξξ===⇒=⎰⎰,(0,)ξπ∈即()f x 在(0,)π有一个零点，假如仅有一个零点x ξ=,则()f x 在[,]a ξ与[,]b ξ上均不变号,且异号,那么()sin()f x x dx ξ-在[0,]π上保持同号,连续且不恒为零,必有()sin()0f x x dx πξ->⎰（或0<）与已知0()sin()cos ()sin sin ()cos 0f x x dx f x xdx f x xdx πππξξξ-=-=⎰⎰⎰矛盾.3.2 证明积分不等式在证明积分不等式时,常常考虑积分中值定理以便去掉积分符号,如果被积函数是两个函数之积时,可考虑用积分第一或第二中值定理,对于某些不等式的证明运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论,或者不等式根被就不能得以证明,而运用了推广的积分中值定理后,则可以得到“>”的结论,或者成功的解决.例6(9) 假设()f x 在[0,1]上连续并且单调递减,证明对任何的(0,1)a ∈有1()()af x dx a f x dx >⎰⎰证明:将要证的不等式移项11()()()()()aa a af x dx a f x dx f x dx a f x dx a f x dx -=--⎰⎰⎰⎰⎰1(1)()()aaa f x dx a f x dx =--⎰⎰因为()f x 单调递减,所以在区间[0,]a 上()()f x f a ≥,即0()()af x dx af a ≥⎰,再对上式右边第二项运用推广的积分中值定理,即存在ξ其中1a ξ<<,使上式变成1(1)()()(1)()()(1)(1)[()()]a aa f x dx a f x dx a af a af a a a f a f ξξ--≥---=--⎰⎰因为()f x 单调递减,且1a ξ<<,,所以(1)[()()]0a a f a f ξ-->,即得证.例7(9) 设()f x 在[,]a b 上连续且单调递增,证明()()2bbaaa b xf x dx f x dx +>⎰⎰证明:将要证的不等式移项,并分部积分得()()2bbaa ab xf x dx f x dx +-⎰⎰ 22()()()()()()222a bbb a b a a a b a b a bx f x dx x f x dx x f x dx +++++=-=-+-⎰⎰⎰ 令()()2a b g x x +=-,显然()f x ,()g x 在[,]2a b a +和[,]2a b b +上可积,且()g x 在[,]2a b a +和[,]2a b b +上不变号,由推广的积分中值定理知:即存在11()2a b a ξξ+<<,22()2a bb ξξ+<<,使得221222()()()()()()()()2222a ba bb b a b a b aa ab a b a b a b x f x dx x f x dx f x dx f x dxξξ++++++++-+-=-+-⎰⎰⎰⎰整理得221()[()()]8a b f f ξξ+-,因为()f x 是单调递增函数,122a b a b ξξ+<<<<,所以221()[()()]08a b f f ξξ+->,证毕. 在上述例子中我们可以看到有的题原积分中值定理不适用,而推广的积分中值定理可以将问题解决.在例6中如果运用原积分中值定理,由1a ξ≤≤只能得到“0≥”的结论;而在例7中也只能得到12()()f f ξξ≤的结论.3.3求极限例8(10)证明10lim 01nn x dx x→∞=+⎰ 证明:0ε∀>,如果取1[0,1]2ξε∈-,则有10lim 01nn dx ξξ→∞=+⎰,即N ∃,当n N >时,有12n ξεξ<+,又因为:11120012111n n n x x x dx dx dx x x x εε--=++++⎰⎰⎰对等式右边第一个积分运用中值定理,对第二个积分的被积函数用不等式011n x x <≤+,则有当n N >时有100[2]122n x dx x εε<<-+⎰,所以有10lim 01n n x dx x→∞=+⎰ 证毕.参考文献[1] 杨延龄,邹励农,章栋恩.高等数学微积分700例题[M].中国建材工业出版社.2004年10月.123页.[2] 陈卫星,马全中.关于积分中值定理及推广的积分中值定理的改进[J]. 中国煤碳经济学院学报,1994年,第1期.54,55页.[3] 郝涌,李学志,陶有德.数学分析选讲[M].国防工业出版社.2010年4月.83页,94页.[4] 朱碧,王磊.第二积分中值定理的一些推广及其应用[J]. 考试周刊, 2008年,第30期.49页.[5] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京.高等教育出版社.2003年.[6] 谢焕田.积分中值定理的推广及其应用[J].高师理科学刊,2009年,第5期.8,9页[7] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 高等教育出版社.1991年.[8] 许洪范.考研微积分500例[M]. 国防工业出版社.2009年3月.121页.[9] 李海军.积分中值定理的应用[J].赤峰学院学报.2010年,第6期,4页.[10]荆江雁.积分中值定理得推广[J].常州工学院学报.2007年,第1期 ,53页.致谢从选择论文题目到搜集材料再到一遍又一遍的修改仿佛经历了太长的时间,论文比我想象中要难写的多,我明白想写好一篇优秀的论文就必须付出百倍的努力,在论文即将交稿之时,心里多了一些轻松,同时多了一丝伤感.自己的大学生活随着论文的结束而画上了一个句号.回想自己写论文的全过程,自己最要感谢的是论文导师许宏文老师,她为人很随和,治学严谨,对待工作认真,对待学生负责,许老师给人一种很容易接近的感觉,忘不了第一次接许老师电话的情景:她耐心的给我指点着,细心的帮我分析写这篇论文的注意事项……之所以论文会顺利的完成许老师付出了太多,太多.一遍一遍的检查,一遍又一遍的帮我指出错误,在这里我想说声:许老师:您辛苦了！真的谢谢您！最后要感谢我的学校,感谢教予我知识的老师,感谢我四年的大学生活,在这四年里自己学到了很多,也成长了很多.谢谢！。

一类无理函数最值的推广

（ｚ当一以或Ｘ＝６取等号）时
得一一・一一，
一（Ａ一ｎ）（７ ≥ ｚｂ十一）
４２
数学教学研究
第２９卷第９期
２１００年９月
建构新函数串联其性质比较数大小巧证不等式
（－１个ｎ）
＋
￣
／ｘ（）ｂ翠－
（－１个ｎ）
一
√（一ｎ（＋），６）一
１．
当仅一且当筹，
即一
＋
所以
、ｎＩ … “，＋／２０／以２ｌ、０１ … 十Ｄｎ
时，
≤
其中等号成立条件是：
第２卷第９９期
２１００年９月
数学教学研究
４１
一
类无理函数最值的推广
ｉ
王宜栋
（苏省新沂市城岗中学江２１２）２４４
文［］出了函数，（一、１给ｚ）＝＋
（＞０＞０口６的最值，文，２，＜）本
的方法来解决一些形式困难、象抽象的问表
题显得轻而易举．普通高中数学课程标准《（实验）指出：高中数学新课程应力求通过》 “
≥ ６ｎ』‘ ≥ｚ；一＇＇
【（一ｎ，１：２６一）ｉ＜．ｔ
一
／．
．
。
．
！ … 竺！
Ｉ（）一ｍｉ［（）厂６］ｆｘ］ｉｎｆａ，（）．

函数最值定理及其应用

（；）可导 ‰ ６内
∈［，］使）Ｍ，在［，］ａｂ，＝即，ｏｂ上有最大值．同理可证，［，］在ｎｂ上
有最小值．
（）当Ｅ（一艿）厂（０ ≤ｏ当Ｅ（，０＋）厂若０，０时ｘ），０６时（）ｏ则，点０取得极小值．＞，在ｔ（ｉ若当Ｅ（ —６）厂（）０当 ∈ （，０＋），ｉ）０，０时ｏ ≥ ，０ｘ６时（０ ≤Ｏ，ｌ点。取得极大值．ｘ）￣ｌ，ｆ在证明：面只证（，）下）（的证明可类似地进行．由定理的条件，（，在０一，０内递增，艿）在（，ｏ＋）。６内递减，又由，在处连续，故对任意 ∈ｕ（；）恒有厂））即，在点６，（ ≤ 取得极大值．若，是二阶可导函数，则有如下判别极值的定理．定理３（：极值的第二充分条件）设设／在点的某领域ｕ０６内０（；）阶可导，在＝处二阶可导， ‰ 且厂（＝（ ≠０）ｏ） ’ （）若厂（＜则，在取得极大值．ｉ）ｏ，（ｉｉ）若厂（＞￣１）０，１．ｆ在０取得极小值．证明：由条件，可得，在０处的二阶泰勒公式
厂＿（＝４３ｘ４ｘ ‘ ）２（５一５＋１ｘ一１，５）
又因为厂（）０故存在正数６≤６当 ∈（０以，厂（）＜０时，１）取负值，而对任意所当。（式从（；３／）／０＜８有一）０，Ｕ
上界，
１

最值定理的推广及其应用

最值定理的推广及其应用
最值定理推广：
1. 德诺兹-贝尔定理：对于任意凸多元函数f (x)，存在x*使得f(x*)≤f(x)，其中x*是函数的极值点。

2. 瓦格纳-赫尔松定理：如果f (x)是一个n维可微函数，则存在一个最值点，使得f (x)关于x的梯度矢量为零向量。

3. 马太定理：对于满足约束条件的凸函数f (x)，存在一个最值点，使得f (x)到每个约束条件的投影是f (x)的极值点。

应用：
1. 数学优化：最值定理可以用来求解数学优化问题，例如特征选择、最小二乘问题、最大似然估计、最大熵模型等。

2. 机器学习：最值定理可以用于支持向量机（SVM）、神经网络和正则化等机器学习算法的损失函数最小化。

3. 信号处理：最值定理可以用于求解图像处理，声音信号处理等问题。

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复变函数重要定理114 数学史上三次数学危机的分析数学基础的问题124 微分中值定理及其应用数学分析应用广泛第三部分基础数学一、常微分方程七、近世代数第四部分（使用过的题目）序号论文题目内容提要、所用知识推荐理由11 π的两种新的快速逼近算法数学分析π22 实数完备性定理的等价证明及应用数学分析实数完备性定理的等价定理很多33 浅谈数e 数学分析 e82 浅谈cantor集实变函数cantor集90 判别式在中学数学中的应用判别式116 一元二次方程判别式在解题中的应用探究判别式119 在数学游戏中激发小学生学习兴趣的探讨数学兴趣127 几何画板的教学功能研究几何画板130 数列求和初探131 浅谈行列式的计算方法高等代数185 非线性方程求解的三类Newton法的比较数学分析Newton法187 matlab图形功能在解析几何教学中的应用解析几何matlab 189 求解非线性方程的几类新迭代法的构造及应用数学分析非线性方程。

推广的积分中值定理及其应用

推广的积分中值定理及其应用摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性.关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理Promotion of Integral Mean ValueTheorem and Its ApplicationAbstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system topromote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after.Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem1预备知识在本部分中具体叙述了这篇论文中所需要的相关知识,包括导函数介值性定理、拉格朗日中值定理以及变上限积分函数的定义和性质等,这些理论知识为第二部分的定理推导以及证明做了铺垫,所以起了重要的作用.1.1设()g x 在[,]a b 上非负可积,且()0abg x dx >⎰则存在[,](,)c d a b ⊂使得()0dcg x d x >⎰1.2 设()f x 在[,]a b 上连续,0x ,1x ,2x [,]a b ∈若10()()f x f x >,20()()f x f x <,则存在(,)a b ξ∈,使得0()()f f x ξ=1.3若函数()f x 在[,]a b 上可导,且''()()f a f b +-≠,k 为介于'()f a +,'()f b -之间的任意数,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()f k ξ=1.4若'()f x 为[,]a b 上的非负导函数,且存在0[,]x a b ∈,使'0()0f x >,则必有'()0baf x dx >⎰1.5（拉格朗日中值定理）若函数()f x 满足如下条件: （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续; （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导;则在(,)a b 内至少存在一点ξ使得'()()()f b f a f b aξ-=-1.6变上限积分函数:设()f x 在[,]a b 上可积,x 为[,]a b 内任意一点,则称函数()()xax f t dt φ=⎰为变上限积分函数1.7变上限积分函数有以下若干性质（1）有界性命题1 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上有界（2）连续性命题2 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上连续（3）可积性命题3 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上可积（4）可微性（原函数存在定理）()f x 在[,]a b 上连续,则()x φ在[,]a b 上处处可导.且'()()()xad x f t dt f x dx φ==⎰ [,]x a b ∈2 推广的积分中值定理积分第一中值定理在数学分析教材中为:若()f x 在[,]a b 上连续,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰推广的积分第一中值定理在数学分析教材中为:()f x ,()g x 都在[,]a b 上连续,且()g x 在[,]a b 上不变号,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰我们知道积分中值定理可用于确定数列及函数列的极限,确定零点分布,判别函数的敛散性,证明积分不等式等.但观察上述式子我们发现ξ的取值有时会在两个端点处取得,有的习题用原有的积分中值定理不能够解答出来.例如在证明积分不等式时,运用原有的积分中值定理我们只可以证明≤或≥的情况,所以带有一定的局限性.下面我们对原有的积分中值定理做一下加强,使“ξ”的范围由闭区间缩小到开区间,即得到了下面所叙述的推广的积分中值定理.2.1积分第一中值定理的推广定理 2.1(1)若()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ使得:()()()baf x dx f b a ξ=-⎰成立证明: 作辅助函数()()x aF x f t dt =⎰ [,]x a b ∈则()F x 是[,]a b 的可微函数,且'()()F x f x =.由微积分学中值定理,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得:'()()()()F b F a F b a ξ-=-注意到()()ba Fb f x dx =⎰,()0F a =,即有()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(,)a b ξ∈2.2推广的第一积分中值定理的加强引理1 设()g x 在[,]a b 上非负可积,且()0ba g x dx >⎰,则存在[,](,)c d ab ⊂使得()0dcg x dx >⎰证明:用反证法作辅助函数()()b x a xG x g t dt -+=⎰[0,]2b a x -∈,则()G x 是[0,]2b a-上的非负连续函数.若命题不成立,则对任意的(0,)2b ax -∈有()G x ≡0,令x o →+,得(0)()0b a G g t dt ==⎰,产生矛盾.引理2 ()f x 在[,]a b 上连续,0x ,1x ,2x [,]a b ∈,若10()()f x f x >,20()()f x f x <,则存在(,)a b ξ∈,使得0()()f f x ξ=证明:作辅助函数0()()()H x f x f x =-,我们不妨设12x x <,因为()f x 在[,]a b 上连续,故()H x 也连续,从而在12[,]x x 上连续.1()0H x >,2()0H x <由连续函数的零点定理知存在12(,)x x ξ∈使得()0H ξ=即当然0()()f f x ξ=其中(,)a b ξ∈.引理3 若()g x 在[,]a b 上连续且不恒为零,则积分()0ba g x dx >⎰证明:倘若有某0[,]x a b ∈,使0()0g x >,由连续函数的局部保号性知存在0x 的某邻域00(,)x x δδ-+,使在其中0()()02g x g x ≥>,则 00000000()()()()()00()02bx x b x aax x x g x g x dx g x dx g x dx g x dx dx g x δδδδδδδ-++-+-=++≥++=>⎰⎰⎰⎰⎰证毕.定理 2.2 设()f x 在[,]a b 上连续,()g x 在[,]a b 上可积不变号,则至少存在一点(,)a b ξ∈使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰证法1(2)证明:1︒()0bag x dx =⎰时,此时,由推广的积分中值定理知,存在[,]a b ξ∈使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰=0于是对任意的0(,)x a b ∈有0()()()()bbaaf xg x dx f x g x dx =⎰⎰命题成立2︒当()0g x ≥，且()0bag x dx >⎰时，若命题不成立，即不存在(,)a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰则由推广的积分中值定理知，只能有()()()()b baaf xg x dx f a g x dx =⎰⎰ （1）或者 ()()()()b baaf xg x dx f b g x dx =⎰⎰ 成立（2）若是命题不成立而（1）成立,则在(,)a b 内()()f x f a ≠ 由引理2在(,)a b 内恒有()()f x f a >或者()()f x f a <,不妨设()()f x f a >,而对()g x 运用引理2存在[,](,)c d a b ⊂,使得()0dc g x dx >⎰于是()()()()()()()()()()bbcdbaaacdf ag x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx ==++⎰⎰⎰⎰⎰=123()()()()()()c d bacdf g x dx f g x dx f g x dx ξξξ++⎰⎰⎰其中1[,]a c ξ∈,2[,]c d ξ∈,3[,]d b ξ∈,这是根据推广的积分中值定理得出的,由于1()()f f a ξ≥,()0cag x dx ≥⎰,2()()f f a ξ>,()0dcg x dx >⎰,3()f ξ中的3b ξ≠时3()()f f a ξ>.当3b ξ=时,对()()f x f a >,0x b →-,由()f x 在[,]a b 上的连续性可知,()()f b f a ≥而()0dd g x dx ≥⎰,综上可得到()()()()()()()()()()b c d b baacdaf ag x dx f a g x dx f a g x dx f a g x dx f a g x dx >++>⎰⎰⎰⎰⎰这是一个矛盾,因此命题成立.若是命题不成立而（2）成立,同样可得出矛盾,因此定理得以证明3︒ 当()0g x ≤,且()0ba g x dx <⎰时此时()0g x -≥,且[()]0bag x dx ->⎰,由情形2的讨论知,存在(,)a b ξ∈,使得()[()]()[()]bb aaf xg x dx f g x dxξ-=-⎰⎰ 即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰ (,)a b ξ∈总之,定理2.2完全得以证明证法2(3)证明:令()()xaF x f t dt =⎰,由拉格朗日中值定理知,(,)a b ξ∃∈,使得'()()()F b F a F b aξ-=-,即()()()baf x dx f b a ξ=-⎰不妨设()0g x ≥,[,]x a b ∈,若()g x 在[,]a b 上恒为零,则结论显然成立.若()g x 在[,]a b 上连续且不恒为零,则积分()0ba g x dx >⎰令()()()x aF x f t g t dt =⎰,()()xaG x g t dt =⎰,在[,]a b 上应用柯西中值定理，(,)a b ξ∃∈,使''()()()()()()()()()()()()()babaf tg t dtF b F a F f g fG b G a G g g t dtξξξξξξ-=⇒==-⎰⎰即()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰2.3积分第二中值定理的推广在数学分析教材中积分第二中值定理是这样叙述的,设函数()f x 在[,]a b 上可积（1）若函数()g x 在[,]a b 上减,且()0g x ≥,则存在[,]a b ξ∈,使得()()()()baaf xg x dx g a f x dx ξ=⎰⎰（2）若函数()g x 在[,]a b 上增,且()0g x ≥,则存在[,]a b η∈,使得()()()()bbaf xg x dx g b f x dx η=⎰⎰其推论为:设函数()f x 在[,]a b 上可积,若()g x 为单调函数,则存在[,]a b ξ∈,使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰现在研究一下推论的情形:在第一积分中值定理中,我们把ξ的取值区间由闭区间缩小到开区间,但对于积分第二中值定理是否可以做这样的加强呢,看一下下面的例子:在闭区间[,]a b 上()1f x =,1[,)()2x a b g x x b ∈⎧=⎨=⎩若在(,)a b 上存在ξ使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰即 ()()()()2()2b a g a a g b b a b b a ξξξξξ-=-+-=-+-=--所以b ξ=,即ξ在[,]a b 的端点.这个例子告诉我们积分第一中值定理的加强结果对于积分第二中值定理不一定成立,但是这里的有限区间[,]a b 却可以换成[,)a +∞或(,]b -∞或(,)-∞+∞.此处只讨论第一种情况定理 2.3(4)设()g x 在[,)a +∞上单调有界,()f x 在[,)a +∞上可积,且()f x 没有+∞以外的瑕点,则存在[,)a ξ∈+∞使得()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰这里()lim ()x g g x →+∞+∞=证明:不妨设()g x 在[,)a +∞上单调下降,由于()g x 有界,所以()g x 在+∞处有有限的极限,记为()g +∞,于是可记()()()G x g x g =-+∞,则()0G x ≥,而对于任意的有穷区间[,]a A ,由第二积分中值定理可知,总有[,]a A η∈使得:()()()()Aaaf x G x dx G a f x dx η=⎰⎰而()()A aF A f x dx =⎰是[,)a +∞上的关于A 的连续函数,又()f x 在[,)a +∞上可积,则()F A 在[,)a +∞上有有穷的下确界和上确界,不妨记[,)inf ()A a m F A ∈+∞=,[,)sup ()A a M F A ∈+∞=,则有()m F A M ≤≤又因为()()()()Aaaf x G x dx G a f x dx η=⎰⎰所以有()()()()AamG a G x f x dx MG a ≤≤⎰再令A →+∞,则有()()()()amG a G x f x dx MG a +∞≤≤⎰令 ()()()aG a G x f x dx μ+∞=⎰, （3）则有()()()mG a G a MG a μ≤≤如果()0G a ≠则m M μ≤≤,因为()()AaF A f x dx =⎰是[,)a +∞上的关于A 的连续函数,所以()F A 可以达到其上确界M 和下确界m 及上确界和下确界之间的任意值,即存在[,)a ξ∈+∞使得()af x dx ξμ=⎰将其带入（3）式就有()()()()aaG a f x dx G x f x dx ξ+∞=⎰⎰即(()())()(()())()aag a g f x dx g x g f x dx ξ+∞-+∞=-+∞⎰⎰所以()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰如果()0G a =,因为()g x 在[,)a +∞上单调下降,所以()G x 在[,)a +∞上单调下降,又因为()0G x ≥即()0G x =所以()()g x g =+∞,即()g x =常数,那么对任意的[,)a ξ∈+∞,都有()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰证毕.这个定理告诉我们:第二积分中值定理虽然在有限开区间上不一定成立,但在无穷区间上却是成立的.通过以上的推导过程我们会发现在积分中值定理的前提下,ξ必可以在开区间中取得.在微积分学中积分中值定理和微分中值定理两者在一定意义上是互逆的、对立的,这种辩证的对立统一使微积分的内容更加丰富多彩,但两者中间点ξ的存在区间是不统一的,给其相关理论和应用带来了不便,但改动之后,推广的积分中值定理与微分中值定理的取值区间得以统一,从而更能体现积分中值定理的中值性,以及两个定理之间的联系.一方面可由微分中值定理推出积分中值定理根据牛顿—莱布尼茨公式:()()()ba f x dx Fb F a =-⎰其中()F x 是()f x 在[,]a b 上的原函数即'()()F x f x =,[,]x a b ∈,显然()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,于是至少存在一点(,)a b ξ∈使得'()()()()F b F a F b a ξ-=-()()f b a ξ=- (,)a b ξ∈即()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(,)a b ξ∈另一方面,推广的积分中值定理推出微分中值定理:若()f x 在[,]a b 上有连续的导函数,直接计算得:'()()()baf x dx f b f a =-⎰ （4）而由推广的积分中值定理至少存在一点(,)a b ξ∈,使得''()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（5）由（4）和（5）有'()()()()f b f a f b a ξ-=-,这正是微分中值定理.2.4 导函数的积分中值定理及其应用在微积分学中,积分中值定理与微分中值定理都有着很重要的地位,下面我们将积分中值定理条件下的连续函数推广到导函数,并用Darboux 定理给出了详尽的证明,由此我们得出了导函数积分中值定理.引理1(5)（Darboux ）若函数()f x 在[,]a b 上可导,且''()()f a f b +-≠,k 为介于'()f a +,'()f b -之间的任意数,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()f k ξ=引理2 若'()f x 为[,]a b 上的非负导函数,且存在0[,]x a b ∈,使'0()0f x >,则必有'()0baf x dx >⎰定理 2.4(6)若'()f x 为[,]a b 上的导函数,()g x 为[,]a b 上的连续函数,且()g x 在[,]a b 上不变号,则至少存在一点ξ[,]a b ∈,使得''()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰证明:不妨设()0g x ≥,'()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为别为M 与m ,其中M 可以取+∞,m 可以取-∞,在a 点取'()f a +,在b 点取'()f b -,令()0ba I g x dx =≥⎰,又'()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤,([,])x a b ∈,则有'()()()()bbbaaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰当0I =或m M =时,任意取(,)a b ξ∈均可当0I >或m M <时,令'1()()b a u f x g x dx I=⎰ ()m u M ≤≤ 当m u M ≤≤时,由Darboux 定理知,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ= 当m u M =<时,利用反证法证明存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=若对一切的(,)x a b ∈,有'()0f x u ->且()0baI g x dx =>⎰,则()g x 在[,]a b 上不恒为零,即存在0[,]x a b ∈,使得0()0g x >,由连续函数的保号性知存在0x 的邻域00(,)x x σσ-+（当0x a =或0x b =时,则为右邻域或左邻域）使得对于任意的00(,)x x x σσ∈-+,有0()()02g x g x ≥>,则 0000'''0()(())()(())()(())2bx x ax x g x f x u g x dx f x u g x dx f x u dx σσσσ++--->-≥-⎰⎰⎰ 由引理2可得00'(())0x x f x u dx σσ+-->⎰,从而有'(())()0b af x ug x dx ->⎰另一方面:''0(())()()()()0bbbaaaf x ug x dx f x g x dx u g x dx uI uI <-=-=-=⎰⎰⎰出现矛盾,故原命题成立,即当m u M =<时,存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=当m u M <=时,同理可证必存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=成立同理可证二阶导函数,n 阶导函数对上述的导函数的积分中值定理成立,只要我们把它们看成一阶连续导函数和n-1阶连续导函数的导函数,便可用同样的方法得证.定理2.4的应用说明例1 设函数()f x 在[,]a b 上二次可微,证明存在一点(,)a b ξ∈,使得''324().[()()]()2b aa bf f x f dx b a ξ+=--⎰ 证明:记02a bx +=,将被积函数在0x x =处按泰勒公式展开,得 2'''0000()()()()()()2x x f x f x x x f x f η--=-+其中η在x 与0x 之间,因为'00()()0bax x f x dx -=⎰,即2''00()(()())()2bbaax x f x f x dx f dx η--=⎰⎰由定理知存在(,)a b ξ∈使32''''2''00()()()()()()12bba ab a x x f dx f x x dx f ηξξ--=-=⎰⎰从而''324().[()()]()2b a a bf f x f dx b a ξ+=--⎰例2 已知导函数'()f x 在[1,2]上有界,求证2'1lim ()0nx n f x e dx -→∞=⎰证明:导函数'()f x 在[1,2]上有界,所以存在正数M ,对[1,2]ξ∈,有'()f M ξ<,由定理1知,存在1(1,2)ξ∈,2(1,2)ξ∈, 使得222'''1111()()()n nnx x f x edx f edx f eξξξ---==⎰⎰从而有2'1lim ()0nx n f x e dx -→∞=⎰3 推广的积分中值定理的应用3.1用于确定零点分布例3 (7)证明:若()f x 在[,]a b 上连续,且()()0b ba af x dx xf x dx ==⎰⎰,则在(,)a b 内至少存在两点1x ,2x 使得12()()f x f x =证明:设()()xa F x f t dt =⎰那么我们有()()()0baf x dx F b F a =-=⎰,所以()()F b F a ==0又因为()()()()bbbba aaaxf x dx xdF x xF x F x dx ==-=⎰⎰⎰ ()()()()bF b aF a F b a ξ---所以可得; ()()()()b a F b F b a ξ-=-,所以()()()F b F F a ξ===0 证毕例4(8) 证明:若()f x 在[0,]π上连续,且0()()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰,证明:存在两点1ξ,2ξ (0,)π∈,使得 12()()0f f ξξ==证明:令0()()xF x f t dt =⎰ 即'()()F x f x =,()(0)0F F π==00()cos cos ()cos ()()cos f x xdx xdF x xF x F x d xππππ==-⎰⎰⎰()sin ()sin .0F x xdx F πξξπ===⎰所以()0F ξ= (0,)ξπ∈,对()F x 在(0,)ξ,(,)ξπ上使用罗尔定理,即存在1(0,)x ξ∈,2(,)x ξπ∈满足'1()0F x =,'2()0F x =,即12()()0f x f x ==证毕例5(3)假如()f x 在[0,]π上连续,且0()sin ()cos 0f x xdx f x xdx ππ==⎰⎰,则()f x 在(0,)π内至少有两个零点.证明:由已知条件,并运用推广的积分中值定理得0()sin ()sin 2()()0f x xdx f xdx f f ππξξξ===⇒=⎰⎰,(0,)ξπ∈即()f x 在(0,)π有一个零点，假如仅有一个零点x ξ=,则()f x 在[,]a ξ与[,]b ξ上均不变号,且异号,那么()sin()f x x dx ξ-在[0,]π上保持同号,连续且不恒为零,必有()sin()0f x x dx πξ->⎰（或0<）与已知0()sin()cos ()sin sin ()cos 0f x x dx f x xdx f x xdx πππξξξ-=-=⎰⎰⎰矛盾.3.2 证明积分不等式在证明积分不等式时,常常考虑积分中值定理以便去掉积分符号,如果被积函数是两个函数之积时,可考虑用积分第一或第二中值定理,对于某些不等式的证明运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论,或者不等式根被就不能得以证明,而运用了推广的积分中值定理后,则可以得到“>”的结论,或者成功的解决.例6(9) 假设()f x 在[0,1]上连续并且单调递减,证明对任何的(0,1)a ∈有1()()af x dx a f x dx >⎰⎰证明:将要证的不等式移项11()()()()()aa a af x dx a f x dx f x dx a f x dx a f x dx -=--⎰⎰⎰⎰⎰1(1)()()aaa f x dx a f x dx =--⎰⎰因为()f x 单调递减,所以在区间[0,]a 上()()f x f a ≥,即0()()af x dx af a ≥⎰,再对上式右边第二项运用推广的积分中值定理,即存在ξ其中1a ξ<<,使上式变成1(1)()()(1)()()(1)(1)[()()]a aa f x dx a f x dx a af a af a a a f a f ξξ--≥---=--⎰⎰因为()f x 单调递减,且1a ξ<<,,所以(1)[()()]0a a f a f ξ-->,即得证.例7(9) 设()f x 在[,]a b 上连续且单调递增,证明()()2bbaaa b xf x dx f x dx +>⎰⎰证明:将要证的不等式移项,并分部积分得()()2bbaa ab xf x dx f x dx +-⎰⎰ 22()()()()()()222a bbb a b a a a b a b a bx f x dx x f x dx x f x dx +++++=-=-+-⎰⎰⎰ 令()()2a b g x x +=-,显然()f x ,()g x 在[,]2a b a +和[,]2a b b +上可积,且()g x 在[,]2a b a +和[,]2a b b +上不变号,由推广的积分中值定理知:即存在11()2a b a ξξ+<<,22()2a bb ξξ+<<,使得221222()()()()()()()()2222a ba bb b a b a b aa ab a b a b a b x f x dx x f x dx f x dx f x dxξξ++++++++-+-=-+-⎰⎰⎰⎰整理得221()[()()]8a b f f ξξ+-,因为()f x 是单调递增函数,122a b a b ξξ+<<<<,所以221()[()()]08a b f f ξξ+->,证毕. 在上述例子中我们可以看到有的题原积分中值定理不适用,而推广的积分中值定理可以将问题解决.在例6中如果运用原积分中值定理,由1a ξ≤≤只能得到“0≥”的结论;而在例7中也只能得到12()()f f ξξ≤的结论.3.3求极限例8(10)证明10lim 01nn x dx x→∞=+⎰ 证明:0ε∀>,如果取1[0,1]2ξε∈-,则有10lim 01nn dx ξξ→∞=+⎰,即N ∃,当n N >时,有12n ξεξ<+,又因为:11120012111n n n x x x dx dx dx x x x εε--=++++⎰⎰⎰对等式右边第一个积分运用中值定理,对第二个积分的被积函数用不等式011n x x <≤+,则有当n N >时有100[2]122n x dx x εε<<-+⎰,所以有10lim 01n n x dx x→∞=+⎰ 证毕.参考文献[1] 杨延龄,邹励农,章栋恩.高等数学微积分700例题[M].中国建材工业出版社.2004年10月.123页.[2] 陈卫星,马全中.关于积分中值定理及推广的积分中值定理的改进[J]. 中国煤碳经济学院学报,1994年,第1期.54,55页.[3] 郝涌,李学志,陶有德.数学分析选讲[M].国防工业出版社.2010年4月.83页,94页.[4] 朱碧,王磊.第二积分中值定理的一些推广及其应用[J]. 考试周刊, 2008年,第30期.49页.[5] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京.高等教育出版社.2003年.[6] 谢焕田.积分中值定理的推广及其应用[J].高师理科学刊,2009年,第5期.8,9页[7] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 高等教育出版社.1991年.[8] 许洪范.考研微积分500例[M]. 国防工业出版社.2009年3月.121页.[9] 李海军.积分中值定理的应用[J].赤峰学院学报.2010年,第6期,4页.[10]荆江雁.积分中值定理得推广[J].常州工学院学报.2007年,第1期 ,53页.致谢从选择论文题目到搜集材料再到一遍又一遍的修改仿佛经历了太长的时间,论文比我想象中要难写的多,我明白想写好一篇优秀的论文就必须付出百倍的努力,在论文即将交稿之时,心里多了一些轻松,同时多了一丝伤感.自己的大学生活随着论文的结束而画上了一个句号.回想自己写论文的全过程,自己最要感谢的是论文导师许宏文老师,她为人很随和,治学严谨,对待工作认真,对待学生负责,许老师给人一种很容易接近的感觉,忘不了第一次接许老师电话的情景:她耐心的给我指点着,细心的帮我分析写这篇论文的注意事项……之所以论文会顺利的完成许老师付出了太多,太多.一遍一遍的检查,一遍又一遍的帮我指出错误,在这里我想说声:许老师:您辛苦了！真的谢谢您！最后要感谢我的学校,感谢教予我知识的老师,感谢我四年的大学生活,在这四年里自己学到了很多,也成长了很多.谢谢！。

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理1、0lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=⇔=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα⇔: ，这是两个等价无穷小之间的关系3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号)结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ=4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠=结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得()f C ζ=。

5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。

第三章微分中值定理和导数的应用1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b)结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ=2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=-3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()()'()f b f a f g b g a g ζζ-=-拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。

4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。

罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。

当然也有用第一章的零点定理的。

但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。

而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。

最值定理的应用技巧

一
１二［亏
］了３１）＝２ｓ
一
一２。７
＿．
．
晕＝当仅２＝即 √ 学，当ｌ２且２ —，
的大最
：
等，：。时ｙ～
五、倒数取
、
巧配项
例１知数Ｙ＋Ｉ，（２＋，已函：ｂ一， ∈ ）
（＋）＝３２２，）＋ √。（作者单位：江苏省东台市富安镇中学）
这样２２．：８ｘ．２是定值
。
解：２＋＝２。＋三Ｙ＝ｘ＋
当且仅当＋２＝，＝２时，｜＝。即Ｙ１６ｌｉ
二、系数变例２已知０＜＜１求ｙ＝（一），１的最大值。分析：１）积的形式，使积取得最大（一是要值，和必须是定值，要使和为定值，可将的系数变
≤
｛【
，
】
＝２（）＝４当且仅当２＝１，一即＝
为值＋变（ｙ÷ 号＝＋＋定，Ｙ为＋）＋）３（（考
）从而满足了最值定理的条件。，
Ｙ
１＾
｛，＝时ｙ。～
三、分项均
解：＋ｙ＝（＋，（＋），— ）
当（ｚ６为定值９时，ｎ＋６２９，＞Ｉ当且仅当ｎ：
６时，ａ＋６ｍ２、Ｑ．（）ｍ＝／
等式性质开方法则” 求出，，的最大值。
ｙ＝（一）２１＝
≤
为求ｙ的最大值，先求ｙ可的最大值，再用不

最值定理的引申及应用

８１ｎＯ
８１１１仃
一南ｌ２南一ｓｉｎ０，当０∈（ｏ。，９０。］时，ｒ关于ｐ
为减函数，
所以０＝９００时，ｒ有最小值２，由引申定理知，此时，，曲＝４．
解法２因为０∈（０。，９０。］，所以ｓｉｎ０∈（０，１］，
所以ｙ＝ｓｉｎ０＋志＝ｓｉｎｐ＋志＋志
因为ｓｉｎ０＋南≥２√ｓｉｎ日南＝２，当且仅当
ｓｉｎ０＝１时，上式取等号．
们准确地掌握三角公式及其变形公式，合理运用正
弦定理和余弦定理，而且在多个斜三角形同时出现
时，还需寻求合理的解题途径，并根据题意合情地运用三角形中各元素．Ｊ１利用公共元素构造方程
√
．／＼
例Ｉ如图１，已知锐角三角图１
３３１６００
孙春生
Ｕ
形ＡＢＣ中，ｓｉｎ（Ａ＋曰）＝÷，ｓｉｎ（Ａ一剀＝÷．
笔．粥幢ＡＳ躞锡跨移豫‘．袭张焉冤舅舅髭７
中学数学杂志２００９年第３期
最值定理的引申及应用
山东省曲阜市小雪北林中学山东省曲阜市一中
２７３１００２７３１００
段翠红曲桂格
最值定理是指：设菇，），都为正数，则有①若ｚ＋，，＝５（和为定值），则当且仅当石，＝Ｙ时，积彬取得
最大值｝；②若ｘｙ＝Ｐ（积为定值），则当且仅当菇＝
＜ｔａｎ０≤１、．
①若ｍ＞ｎ＞０即０＜旦＜１时，由ｍ２ｔａｎ０＋
玎ｔ
面ｎ ≥２ｍ，ｎ，当且仅当ｔａｎ０＝旦ｍ时取等号．
此时Ｓ≤２ｍｎ，所以Ｓ～＝２ｍｎ．
②若ｎ＞ｍ＞ｏ－ｉｊｐｍｎ－－－＞１哼，ｍ２ｔａｎＯ≠丽ｎ，
ｍ２ｔａｎＯ‘南＝ｍ２ｎ２为定值，
３Ｚ．Ｈｍ２ｔａｎ日一南ｌ＝生一２ｔａｎＯ；在．０ｔａｎ伊ｔａｎｆｆ
大；当Ｉ菇一ｙｌ最小时，Ｓ的值最小．

一个最值定理结论的加强及应用

一个最值定理结论的加强及应用
颜学华
【期刊名称】《中学理科：高考导航》
【年(卷),期】2004(000)010
【摘要】现行高二(上)《数学》课本(试验修订本必修)(人教版，2000年第2版)第10页例1给出：
【总页数】1页(P41)
【作者】颜学华
【作者单位】湖北武汉市一中430022
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.一个不可小视的结论及其应用——关于射影定理 [J], 徐勇
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3.等价无穷小代换定理的一个结论及其应用 [J], 郑国彪
4.一个最值定理结论的加强及应用 [J], 陈耀忠
5.一个最值定理结论的加强及应用 [J], 颜学华
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一个最值定理的推广与应用

一个最值定理的推广与应用
最值定理（Extreme Value Theorem）是多变量微积分的一个重要定理，它告诉我们一个多元函数在其定义域内一定存在最大值或最小值。

它包括函
数的定义域内任意多个点处的驻点和极值。

此外，最值定理还有着很多推广与应用。

首先，应用于最优化问题，例
如求一个函数的最大值或最小值，对应着在给定某个函数下想要达到最优解，则可以使用最值定理，搜索函数的极值点。

另外，最值定理可以用于贝叶斯
估计，其中响应变量的期望值可以用最值定理求得。

此外最值定理还可以应
用于评价算法，例如在解决凸优化问题时，来检验求得的解是否为曲线的最
值点，也能应用于状态势评价问题中。

最值定理不仅有了广泛的应用，其在数学和计算机科学等方面也有非常
重要的价值，被广泛地应用于计算机科学的模型建立，及其他的逼近问题中。

而且，最值定理还可以帮助我们用方便快捷的方法搜索最优解，对于多变量
函数的优化问题是获得最优解的关键。

因此，最值定理在推广和应用方面发
挥了重要作用，有着极为重要的价值。

闭区间上连续函数的推广及其应用

知识文库第2期187闭区间上连续函数的推广及其应用路宗娅本文通过闭区间上连续函数的性质,得出在开区上或无穷区间上连续的函数,只要加上适当的条件后,就可以得到与闭区间上连续函数相类似的性质。

有界性定理的推广：f 在（a,b）上连续，且f(a+0),f(b-0)存在，则f 在（a,b）上有界。

证明：令F（x）= 因为f 在（a,b）内连续，则在（a,b）内F（x）=f(x)连续，又F （a+0）= F(b-0)=f(b-0)=F(b) 所以F 在x=a 处右连续，在x=b 处左连续，故F 在上连续，由闭区间上连续函数的有界性知，存在M 大于零，使得任意x∈,∣有F(x) M,从而任意x∈(a,b),　f(x)　=　F(x) M 即f 在（a,b）上有界介值性定理的推广：若f(X)在(a,b)上连续，f(a+0),f(b-0)存在，且 A≠B，则存在m 为介于A,B 间的实数。

令F（x）=,因为f 在(a,b)上连续，则在(a,b)内F(x)=f(x)连续，又有x=a 在(a,b)上至少存在一点，使得F(，当且仅当其中x 时，F(x)=f(x)，从而定理得证。

零点定理的推广： f(x)在开区间上可导，lin x→a +f(x)=lin x→b 有F(x)’ =H(x)，且H(x)在(a,b)上有定义，则存在，使得H(ξ)’=0。

令F （x）=，则在(a,b)内又有F（a+0）=lim x→a 且有F(b-0)=lim x→b -F(x)=lin x→b -f(x)=f(b-0)=F(B)f(b-0)=F(b)所以F 在x=a 右连续，在x=b 左连续，因此F 在[a,b]上连续，又在(a,b)上可导，则由罗尔定理知在(a,b)上至少有一点，使得F(ξ) ’=0，当x(a,b)时，F(，从而定理得证。

最值定理的推广：若函数f(x)在开区间（a,b）上连续，且与都为有限值，则（1）若存在∈（a,b）,使f (≥max{A,B}，则f(x)在（a,b）内能取到最大值。

不等式最值定理

不等式最值定理
不等式最值定理是微积分中的一个重要定理，它用于描述连续函数在闭区间上的最大最小值的存在性。

该定理的形式为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么f(x)在[a, b]上一定有最大值和最小值。

也就是说，存在c、d(其中a ≤c ≤b,a ≤d ≤b)，使得f(c)是f(x)在[a, b]上的最大值，f(d)是f(x)在[a, b]上的最小值。

这个定理的意义在于，它保证了连续函数在闭区间上的最大最小值的存在性，使得我们可以在一定范围内确定函数的极值点。

在实际问题中，可以通过使用不等式最值定理来优化问题，寻找最优解。

需要注意的是，不等式最值定理只适用于连续函数，并且要求函数在闭区间上连续。

对于非连续函数或不在闭区间上的函数，不一定存在最大最小值。

此外，该定理只能保证存在最大最小值，不能直接给出最大最小值的具体数值。

具体的最值需要通过分析函数的性质，如导数等，来确定。