3、简易逻辑及应用

( C．¬p ) ∧ (¬q ) D． ¬p ) ∨ (¬q ) ． ． (
4、充要条件
吉林省吉林市2008届上期末 给出下面四个 届上期末)给出下面四个 例5.(2009吉林省吉林市 吉林省吉林市 届上期末 命题： 命题： 是直线(m+3)x+my-2=0与直线 与直线mx-6y+5=0 ①m=3是直线 是直线 与直线 互相垂直的充要条件； 互相垂直的充要条件； ② b = ac是a, b, c 三个数成等比数列的既不充分 又非必要条件； 又非必要条件； 函数y=f(x)存在反函数是 存在反函数是y=f(x)为单调函数的充分 ③函数 存在反函数是 为单调函数的充分 条件； 条件； ④两个向量相等是这两个向量共线的充分非必要条 件. （写出所有真命题的序 其中真命题的序号是 号）
华附高三第一次月考题） 例3 （2010华附高三第一次月考题） 华附高三第一次月考题 已知a＞ ，函数f(x)=x3-ax在 已知 ＞0，函数 在 x∈[1,+∞)是一个单调函数， 是一个单调函数， ∈ 是一个单调函数 的取值范围； （1）求实数 的取值范围； ）求实数a的取值范围 （2）设x0≥1，f(x0)≥1，且 ） ， ≥ ， f[f(x0)]= x0，试证明：f(x0)= x0 试证明：
练
习
1、（ 、（2010安徽文数）(11)命题“存在 ∈R， 安徽文数） 命题“ 、（ 安徽文数 命题 存在x∈ ， 使得x 的否定是___ 使得 2+2x+5=0”的否定是 的否定是
π 、（2010浙江文数）（ ）设0＜x＜ 浙江文数）（ 2、（ 浙江文数）（6） ＜ ＜ ， 2
则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的 ＜ 是 ＜ 的 （A）充分而不必要条件 ） （B）必要而不充分条件 ） （C）充分必要条件 ） （D）既不充分也不必要条件 ）
例2（2010四川理数）（16）设S为复数集 2010四川理数）（16） 四川理数）（16 的非空子集.若对任意x,y∈S 都有x+y,x x,y∈S， x+y,xC的非空子集.若对任意x,y∈S，都有x+y,xy,xy∈S， 为封闭集。下列命题： y,xy∈S，则称S为封闭集。下列命题： ,b为整数 为整数， ①集合S＝{a＋bi|（a ,b为整数，i为虚 数单位）}为封闭集； 数单位） 为封闭集； 为封闭集，则一定有0∈S 0∈S； ②若S为封闭集，则一定有0∈S； 封闭集一定是无限集； ③封闭集一定是无限集； 为封闭集， ④若S为封闭集，则满足 S ⊆ T ⊆ C 的 任意集合T也是封闭集. 任意集合T也是封闭集. ①② （写出所有真命 其中真命题是 题的序号） 题的序号）
¬p : ∀x ∈ R,均有x + x +1 ≥ 0
2
定义：若对定义域D上的任意实 例11 定义：若对定义域 上的任意实 都有f(x)=0，则称函数 数x都有 都有 ，则称函数f(x)为D上的 为 上的 零函数．根据以上定义， 零函数．根据以上定义，“f(x)是D上 是 上 的零函数或g(x)是D上的零函数”为 上的零函数” 的零函数或 是 上的零函数 的积函数是D上的零函数 “f(x)与g(x)的积函数是 上的零函数” 与 的积函数是 上的零函数” 条 的______ 充分不必要条件 件．
a b c “ a b c l = max , , .min , , , b c a b c a
为等边三角形” 则 ABC为等边三角形”的 一个必要而不充 为等边三角形 分的条件是 l = ___________
答案
1、对任意x∈R，都有 x2 + 2x + 5 ≠ 0 、对任意 ∈ ， 2、B 、 3、B 、 4、1 、
充要 条件 常用逻 辑用语
四种命题 及其关系
全称量 词与存 在量词
逻辑连接 词
四种命题 命题之间的 “或” 及其相互 ”“非 关系 “且”“非” 原命题: 否命题: 原命题 否命题 或命题” 或命题 命题 逻辑 “或命题”的真假 则 若﹁ 命题的 若p则q 连接 命题的否定p则﹁q 特点是“ 则 特点是“一真即 原命题: 原命题 命题的否定: 及其 要假全假” 真，要假全假”； 否定 关系 词等价 且命题” “且命题”的真 若p则q 则 若p则﹁q “一假 则 假特点是“ 假特点是 反 即假， 即假，要真全 逆否命题: 逆否命题 逆命题: 逆命题 非命题” 真”；“非命题” 证 的真假特点是 ﹁p 若q则p 则 若﹁q则 则 法
3、（ 、（2009重庆卷文）命题“若一个数是负 重庆卷文） 、（ 重庆卷文 命题“ 则它的平方是正数”的逆命题是（ 数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ） A．“若一个数是负数，则它的平方不是正 ． 若一个数是负数， 数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” ． 若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是 ． 若一个数不是负数， 正 数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是 ． 若一个数的平方不是正数， 负 数”
用反证法证明： (Ⅱ) 用反证法证明：
假设f(x 假设f(x0)≠x0， 则f(x0)>x0，或f(x0)<x0， 又 x0 ≥ 1，f ( x0 ) ≥ 1 ， 且由（ 可知f(x)在[1,+∞)是单 且由（Ⅰ）可知 在 是单 调递增函数， 调递增函数， 。。。
3、逻辑连接词 、
广东， ）已知命题p:所 例4.（2008广东，6）已知命题 所 （ 广东 有有理数都是实数，命题q:正数的对 有有理数都是实数，命题 正数的对 数都是负数， 数都是负数，则下列命题中为真命题 的是（ 的是（ D ） A． (¬p ) ∨ q ． B． p ∧ q ．
辽宁理数） 已知a>0，则x0 例12（2010辽宁理数）(11)已知 （ 辽宁理数 已知 ， 满足关于x的方程 的方程ax=b的充要条件是（ ） 的充要条件是（ C 满足关于 的方程 的充要条件是 (A) (B) (C) (D)
1 2 1 2 ∃x ∈R, ax − bx ≥ ax0 − bx0 2 2 1 2 1 2 ∃x ∈R, ax − bx ≤ ax0 − bx0 2 2 1 2 1 2 ∀x ∈R, ax − bx ≥ ax0 − bx0 2 2 1 2 1 2 ∀x ∈R, ax − bx ≤ ax0 − bx0 2 2
4、记实数 x1 , x2 ,⋅ ⋅ ⋅, xn 中的最大数为 max min
{ x1, x2,......xn} ，最小数为 已知ABC的三边长 { x1, x2,......xn} 。已知 的三边长
a,b,c（ 为a,b,c（ a ≤ b ≤ c ），定义它的亲倾斜度为 ），定义它的亲倾斜度为
5、全称量词与存在量词 、
例8（07宁夏）已知命题p：∀x ∈ R, sin x ≤ 1 07宁夏）已知命题p 宁夏 则（ C ） A. ¬p : ∃x ∈ R, sin x ≥ 1 B. ¬p : ∀x ∈ R, sin x ≥ 1 C. ¬p : ∃x ∈ R, sin x > 1 已知命题p:“ 例9已知命题 已知命题 ， ∀x ∈[1,2] , x − a ≥ 0”， 命题q:“ ∃x ∈R, x2 + 2ax + 2 − a = 0 ”若 命题 命题“ 且 是真命题 则实数a的取 是真命题， 命题“p且q”是真命题，则实数 的取 { } 值范围是 _______a a ≤ −2或a =1
“真假相反” 真假相反”
关键是分清条件和结论： 关键是分清条件和结论： 由条件可推出结论， 由条件可推出结论，条 件充分； 件充分；由结论可推出 条件，则条件必要。 条件，则条
充要 条件
全称量词与 存在量词
全称命题与 特称命题的 否定形式
从集合角度解释： 从集合角度解释：若A是B的子 的充分条件； 集，则A是B的充分条件；若A 的子集，， ，，则 是B的子集，，则A是B的必要 条件； A=B， 条件；若A=B，则A是B的充要 条件。 条件。
例7 已知f(x)是定义在 上的函数，且 已知 是定义在R上的函数， 是定义在 上的函数 满足f(1+x)=f(1-x)，则“f(x)为偶函数” 为偶函数” 满足 ， 为偶函数 为函数f(x)的一个周期”的 C 的一个周期” 是“2为函数 为函数 的一个周期 （ ） A．充分不必要条件 ． B．必要不充分条件 ． C．充要条件 ． D．既不充分也不必要条件 ．
1、四种命题及其关系 、
例1（07北京）对于函数 （ 北京） 北京 ①f(x)=lg(|x-2|+1)，②f(x)=(x-2)2， ， ③f(x)=cos(x+2). 判断如下三个命题的真假： 判断如下三个命题的真假： 命题甲： 是偶函数； 命题甲：f(x+2)是偶函数；命题乙： 是偶函数 命题乙： f(x)在{x|x<2}上是减函数，在区间{x|x>2} 在 上是减函数，在区间 上是减函数 上是增函数；命题丙： 上是增函数；命题丙：f(x+2)-f(x)在R上 在 上 是增函数. 是增函数 能使命题甲、 能使命题甲、乙、丙均为真的所有 D 函数的序号是（ 函数的序号是（ ） A.①③ ①③ B.①② C. ③ ①② D. ②
例6 设集合 A = {x x − 5x + 4 < 0} ，
2
B = {x log a x ≥ b, a > 0且 ≠ 1 a }
是 若“a = 2 ”是“A ∩B = φ ”的充 的充 分条件， 的取值范围是 分条件，则b的取值范围是 （ A） ） （A）[2,+∞) （B） (2,+∞) ） （C） (−∞,0) （D） (−∞,0] ） ）
2、反证法 、
欲证“ 为真命题, 欲证“若p则q”为真命题,根据原命 为真命题 题与它的逆否命题等价,只要证“ 题与它的逆否命题等价,只要证“若﹁q 即可, 则﹁p”即可, 即可 用反证法证题的一般步骤: 用反证法证题的一般步骤: