最短路径

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最短路径问题介绍

最短路径问题介绍

最短路径问题介绍全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:最短路径问题是指在一个带有边权的图中,寻找连接图中两个特定节点的最短路径的问题。

在实际生活中,最短路径问题广泛应用于交通运输、通信网络、物流配送等领域。

通过解决最短路径问题,可以使得资源的利用更加高效,节约时间和成本,提高运输效率,并且在紧急情况下可以迅速找到应急通道。

最短路径问题属于图论中的基础问题,通常通过图的表示方法可以简单地描述出这样一个问题。

图是由节点和边组成的集合,节点表示不同的位置或者对象,边表示节点之间的连接关系。

在最短路径问题中,每条边都有一个权重或者距离,表示从一个节点到另一个节点移动的代价。

最短路径即是在图中找到一条路径,使得该路径上的边权和最小。

在解决最短路径问题的过程中,存在着多种算法可以应用。

最著名的算法之一是Dijkstra算法,该算法由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出。

Dijkstra算法是一种贪心算法,用于解决单源最短路径问题,即从一个给定的起点到图中所有其他节点的最短路径。

该算法通过维护一个距离数组和一个集合来不断更新节点之间的最短距离,直到找到目标节点为止。

除了Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法外,还有一些其他与最短路径问题相关的算法和技术。

例如A*算法是一种启发式搜索算法,结合了BFS和Dijkstra算法的特点,对图中的节点进行评估和排序,以加速搜索过程。

Bellman-Ford算法是一种解决含有负权边的最短路径问题的算法,通过多次迭代来找到最短路径。

一些基于图神经网络的深度学习方法也被应用于最短路径问题的解决中,可以获得更快速和精确的路径搜索结果。

在实际应用中,最短路径问题可以通过计算机程序来实现,利用各种算法和数据结构来求解。

利用图的邻接矩阵或者邻接表来表示图的连接关系,再结合Dijkstra或者Floyd-Warshall算法来计算最短路径。

轴对称最短路径问题7种类型

轴对称最短路径问题7种类型

轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题是一种经典的计算几何问题,其目标是在给定图形中找到从起点到终点的最短路径。

根据不同的条件和限制,轴对称最短路径问题可以分为以下七种类型:
1. 简单轴对称最短路径问题:给定一个轴对称图形,起点和终点分别位于对称轴的两侧,求最短路径。

2. 带有障碍物的轴对称最短路径问题:在轴对称图形中存在一些障碍物,起点和终点在障碍物两侧,求最短路径。

3. 多个起点和终点的轴对称最短路径问题:给定多个起点和终点,每个起点和终点都在对称轴的两侧,求所有起点到所有终点的最短路径。

4. 带有权值的轴对称最短路径问题:在轴对称图形中,不同的点或边具有不同的权值,求起点到终点的最短路径。

5. 动态规划解决轴对称最短路径问题:使用动态规划算法解决轴对称最短路径问题,将问题分解为子问题,逐步求解。

6. A*搜索算法解决轴对称最短路径问题:使用A*搜索算法,通过估价函数指导搜索方向,加速求解速度。

7. 双向搜索解决轴对称最短路径问题:从起点和终点同时进行搜索,通过比较两个方向的搜索结果得到最短路径。

以上七种类型是轴对称最短路径问题的常见分类,每种类型都有其特定的解决方法,需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。

excel最短路径

excel最短路径

excel最短路径
在Excel中,可以使用Dijkstra算法来求解最短路径问题。

具体步骤如下:
1. 确定起始节点和目标节点,以及它们之间的距离。

2. 创建一个Excel表格,用于存储节点和它们的距离。

在表格中,将起始节点作为第一个节点,将目标节点作为最后一个节点,中间的节点按照顺序排列。

3. 在表格中输入每个节点之间的距离。

如果两个节点之间没有直接的路径,可以输入一个较大的值(例如99999)表示不可达。

4. 在Excel中,使用Dijkstra算法求解最短路径。

可以使用加载规划求解功能的Excel版本(例如Excel 2007或更高版本),也可以手动计算。

5. 对于加载规划求解功能的Excel版本,可以使用“规划求解”按钮来求解最短路径。

在“数据”选项卡中选择“规划求解”,然后在“设置目标单元格”中输入要最小化的单元格(例如起始节点到目标节点的总距离),在“可变单元格”中输入每个节点的x和y坐标。

点击“求解”按钮,即可得到最短路径和最短距离。

6. 对于手动计算的情况,需要编写一个公式来迭代每个节点的相邻节点,并更新最短路径和最短距离。

具体公式可以参考Dijkstra算法的原理。

需要注意的是,Excel本身并不是专门用于最短路径问题的求解工具,它主要用于数据处理和分析。

因此,对于大规模的最短路径问题,可能需要使用更专业的工具或算法来求解。

初二数学最短路径问题知识归纳+练习

初二数学最短路径问题知识归纳+练习

初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括:-①确定起点的最短路径问题即已知起始结点,求最短路径的问题.-②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题.-③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径.④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径.【问题原型】.“将军饮马”,“造桥选址”,“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”.【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.】【十二个基本问题】1作法图形【问题原理A A两点之间线段最短.P l.交点即为P连AB,与l l PA+PB 最小值为AB.BB,使上求一点P在直线l值最小.PA+PB【问题2】“将军饮马”作法图形原理A AB'B关于作B l 的对称点两点之间线段最短.Bl l PA+PB 最小值为 A B P.'.连A B ',与l 交点即为P,使P在直线l 上求一点B'PA+PB 值最小.3】作法图形原理【问题P'l 1l 1分别作点P 关于两直线的两点之间线段最短.M PPM +MN +PN 的最小值为对称点P'和P',连P'P',P ll l 、上2.M,P'''的长.N与两直线交点即为线段P分别求点在直线l212NM 、N,使△PMN的周长P''最小.4】作法【问题图形原理l 1l1Q'Q关于直线分别作点Q 、P Q两点之间线段最短.MPl 、l P'Q'和的对称点21P周长的最小四边形PQMN l2',与两直线交点即Q连'P值为线段P'P''的长.l 2、l l 上分别求点在直线.,N为M21N,使四边形N 、M PQMN P'的周长最小.【问题5】“造桥选址”作法图形原理范文A A M m将点A 向下平移MN 的长度两点之间线段最短.n A'M n'B,交单位得A',连A N m AM +MN +BN 的最小值为B于m N 作NM ⊥于点N,过n N,n ,在m 、n 直线m ∥A'B+MN ..M B MN、N,使上分别求点M 的,且AM+ MN+ BN ⊥m 值最小.【问题6】作法图形原理A A'A将点A 向右平移a 个长度单B B l两点之间线段最短.的对',作 A '关于位得A l a N l M,交直线称点A',连A'B AM +MN +BN 的最小值为MN l MM(上求两点、N在直线l 点向左平,将于点NNA'B+ MN.A''MN a 移 a 个单位得M.在左),使,并使的值最小.AM + MN+ NB 】【问题7作法图形原理l l1 1 P'P P l点到直线,垂线段最短.',的对称点作点P 关于P 1A ll 于B⊥,交作P'B22PA+ AB 的最小值为线段P'l 2于A.l B的长.2l l 上求A上求点在,在21B,使PA+ AB 值最小.点B图形原理】【问题8作法l 1B'NAl 1l的对称点关于 A 作点2l2两点之间线段最短.MB l 的对称A ',作点 B 关于N1A AM +MN +NB 的最小值为lll,于B'交M 为上点B',连A'A 为上一定点,B 212线段A'B'的长.l 2BM l l ,一定点,在上求点交M.N 于21A'l 在使,N 点上求1的值最小.AM + MN+ NB图形原理】【问题9作法A A垂直平分上的点到线段两B端点的距离相等.B的中垂线与AB ,作连AB l l.l 直线的交点即为P PA PB =0.P PA 上求一点l P,使在直线的值最小.PB【问题10】作法图形原理范文A三角形任意两边之差小于A B作直线AB,与直线l 的交第三边.PA PB ≤AB.l Bl .点即为P P,使l 上求一点P在直线PA PB 的最大值=AB.PA PB 的值最大.【问题11】作法图形原理A三角形任意两边之差小于A作B 关于l 的对称点B'l B'第三边.PA PB ≤AB'.l交点即l 作直线 A B',与B P为P.B PA PB 最大值=AB'.,使l 上求一点P在直线PA PB 的值最大.【问题12】“费马点”作法图形原理A所求点为“费马点”,即满D APB=∠BPC=∠足∠A两点之间线段最短.E AC°.以AB、APC=120 C B、ABD 为边向外作等边△PA+ PB+ PC 最小值=CD .P△ABC 中每一内角都小于△ACE,连CD 、BE 相交CB于P ,点P 即为所求.,ABC 内求一点P120°,在△值最小.PA+PB+PC 使【精品练习】1 的面积为.如图所示,正方形ABCD12,△ABE 是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有一点P,使PD +PE 的和最小,则这个最小值为()AD62 62 3B..C.3D A.PEBC2.如图,在边长为2 的菱形ABCD 中,∠ABC =60 °,若将△ACD 绕点 A 旋转,当AC ′、AD ′分别与BC 、CD)交于点E、F ,则△CEF 的周长的最小值为(A.2B.2 3C.23D.4范文3.四边形ABCD 中,∠B=∠D =90°,∠C=70 °,在BC 、CD 上分别找一点M、N,使△AMN 的周长最小时,∠AMN + ∠ANM 的度数为()AD°110°D.140CA.120°B.130°.N BM4.如图,在锐角△ABC 中,AB =42 ,∠BAC=45 °,∠BAC 的平分线交BC 于点D,M、N 分别是AD 和ABC 的最小值是上的动点,则BM +MN .D MAN B5.如图,Rt△ABC 中,∠C=90 °,∠B=30 °,AB=6,点E 在AB 边上,点D 在BC 边上重合),、C (不与点B.的取值范围是且ED =AE,则线段AEA ECD B6.如图,∠AOB=30°,点M、N 分别在边OA、OB 上,且OM =1,ON=3,点P、Q 分别在边OB、OA 上,则MP +PQ+QN 的最小值是_________.(注“勾股定理”:直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,222BC AC AB°,则有=90 C即Rt△ABC 中,∠)7.如图,三角形△ABC中,∠OAB=∠AOB=15°,点B 在x轴的正半轴,坐标为B( 63 ,0).OC 平分∠AOB ,点M 在OC 的延长线上,点N 为边OA 上的点,则MA +MN 的最小值是______.范文y轴上,D 在在x 轴上,则四边形4)、B (4,2).C 8.已知A(2,ABCD 的周长最小值为,两点的坐标分别为D 此时C、.yABOx.已知9).,2 1,1)、B(4A(y点的坐标;轴上一动点,求PA+PB 的最小值和此时P (1)P 为xBAOx点的坐标;P 的值最大时x 轴上一动点,求PA PB )(2 P 为y BAOx(3)CD 为x 轴上一条动线段, D 在 C 点右边且CD =1,求当AC+ CD+ DB 的最小值和此时C 点的坐标;yBAOxC D10 .点C 为∠AOB 内一点.(1)在OA 求作点 D ,OB 上求作点E ,使△CDE 的周长最小,请画出图形;(2)在(1)的条件下,若∠AOB =30°,OC=10,求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数.ACB O范文11.(1)如图①,△ABD 和△ACE 均为等边三角形,BE、CE 交于F,连AF,求证:AF +BF +CF =CD ;(2)在△ABC 中,∠ABC =30°,AB=6,BC=8,∠ A ,∠C 均小于120°,求作一点P,使PA+PB+PC 的值最小,试求出最小值并说明理由.DA A EC B F图②C B图①处,需经过两座桥处到达 B A '处直角转弯,河宽相等,从12 .荆州护城河在CC',护城河及两桥EE '、DD点路径最短?到都是东西、南北方向,桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置,可使B A范文。

最短路径与标号法

最短路径与标号法

最短路径与标号法前面我们学习过动态规划的应用,图中没明显阶段求最短路径的问题属于无明显阶段的动态规划,通常用标号法求解,求最短路径问题是信息学奥赛中很重要的一类问题,许多问题都可转化为求图的最短路径来来解,图的最短路径在图论中有经典的算法,本章介绍求图的最短路径的dijkstra算法、Floyed算法,以及标号法。

一、最短路径的算法1、单源点最短路径(dijkstra算法)给定一个带权有向图G=(V,E),其中每条边的权是一个非负实数,另外,还给定V中的一个顶点,称为源点。

求从源点到所有其他各顶点的最短路径长度。

这个问题称为单源最短路径问题。

求单源最短路径可用dijkstra算法求解。

(dijkstra算法)算法思想:设源点为x0,dist[i]表示顶点i到源点x0的最短路径长度,map[i,j]表示图中顶点i到顶点j的长度,用数组mark对所有的顶点作标记,已求出源点到达该点J的最短路径的点J记为mark[j]=true,否则标记为false。

初始时,对源点作标记,然后从未作标记的点中找出到源点路径长度最短的顶点minj,对该顶点作标记,并对其它未作标记的点K作判断:if dist[minj]+map[minj,k]<dist[k] then dist[k]= dist[minj]+map[minj,k]。

重复处理,直到所有的顶点都已作标记,这时求出了源点到所有顶点的最短路径。

算法过程:const maxn=100;varmap: array[1..maxn,1..maxn] of integer;dist: array[1..maxn] of integer;mark: array[1..maxn] of Boolean;n,k: integer;procedure dijkstra;var I,j,min,minj,temp:integer;beginfillchar(mark,sizeof(mark),0);for I:=1 to n do dist[i]:=maxint;dist[k]:=0;for I:=1 to n-1 dobeginmin:=maxint;for j:=1 to n doif (not mark[j]) and (dist[j]<min) thenbeginmin:=dist[j]; minj:=j;end;mark[minj]:=true;for j:=1 to n doif (not mar[j]) and (map[minj,j]>0) thenbegintemp:=dist[minj]+map[minj,j];if temp<dist[j] then dist[j]:=temp;end;end;end;以上只是求出了从源点到其它所有点的最短路径长度,所经过的具体路径没有保存,如果要求出具体的路径来,那么在求最短路径的过程中要将经过的中间点记录下来。

最 短 路 径

最 短 路 径
数据结构
最短路径
▪ 最短路径问题:如果从图中某一顶点(称为 源点)到达另一顶点(称为终点)的路径可能 不止一条,如何找到一条路径,使得沿此 路径各边上的权值总和达到最小。
▪ 问题解法
▪ 单源最短路径 — Dijkstra算法
▪ 任意顶点对之间的最短路径 — Floyd算法
单源最短路径问题
▪ 问题的提出: 给定一个带权有向图G与源点v, 求从v到G中其它顶点的最短路径。限定各边上 的权值大于或等于0。
算法的基本思想就是:
从初始的邻接矩阵A0开始,递推地生成矩阵序列A1, A2,...,An
A0[i][ j] C[i][ j]
Ak1[i][ j] min{ Ak [i][ j], Ak [i][k] Ak [k][ j]}
显然,A中记录了所有顶点对之间的最短路径长度。 若要求得到最短路径本身,还必须设置一个路径矩阵 P[n][n],在第k次迭代中求得的path[i][ j],是从i到 j的中间点序号不大于k的最短路径上顶点i的后继顶 点。算法结束时,由path[i][ j]的值就可以得到从i到 j的最短路径上的各个顶点。
30
0
0
0 10 60 30 100
0 10 50 30 100
0 50
0
50
60
A2
0 20 0
10
60
A4
0 20
0
10
30
0
0
数据结构
}
所有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点对之间的最短路径
算法说明
对于顶点i和j:
1、首先,考虑从i到j是否有以顶点1为中间 点的路径,:i,1,j,即考虑图中是否有边 <i,1>和<1,j>,若有,则新路径i,1,j的 长度是C[i][1]+C[1][ j],比较路径i,j和i, 1,j,的长度,并以较短者为当前所求得的 最短路径,。该路径是中间点序号不大于1 的最短路径。

最短路径问题 ppt课件

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图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
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图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1:置P={1},T={2,3,…,n}且S1=0,Sj=w1j, j=2,3,…,n 。 步骤2:在T中寻找一点k,使得Sk=min{Sj},置P=P{k}, T=T- {k}。若T=,终止;否则,转向步骤3。 步骤3:对T中每一点j,置Sj=min {Sj ,Sk+ wkj},然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法,这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖,这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终,起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ,B =(bij)mn,规定C=AB=(dij)mn,
其中dij=min(aij, bij)

勾股定理中的四类最短路径模型(学生版)--初中数学

勾股定理中的四类最短路径模型(学生版)--初中数学

勾股定理中的四类最短路径模型勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间,线段最短”为基本原理推出的。

人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。

对于数学中的最短路线问题可以分为两大类:第一类为在同一平面内;第二类为空间几何体中的最短路线问题,对于平面内的最短路线问题可先画出方案图,然后确定最短距离及路径图。

对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解,然后构造直角三角形,利用勾股定理求解。

模型1.圆柱中的最短路径模型【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下:计算跟圆柱有关的最短路径问题时,要注意圆柱的侧面展开图为矩形,利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解,注意展开后两个端点的位置,有时候需要用底面圆的周长进行计算,有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。

注意:1)运用勾股定理计算最短路径时,按照展开-定点-连线-勾股定理的步骤进行计算;2)缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。

【最值原理】两点之间线段最短。

1(2023·广东·八年级期中)如图,一个底面圆周长为24cm,高为9cm的圆柱体,一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为()A.413cmB.15cmC.14cmD.13cm【答案】D【分析】将圆柱体展开,利用勾股定理进行求解即可.【详解】解:将圆柱体的侧面展开,连接AB,如图所示:由于圆柱体的底面周长为24cm,则BD=24×12=12cm,又因为AD=9-4=5cm,所以AB=122+52=13(cm),即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm.故选:D.【点睛】本题考查勾股定理的应用-最短路径问题.解题的关键是将立体图形展开为平面图形,利用勾股定理进行求解.2(2023·重庆·八年级期末)如图,圆柱形玻璃杯高14cm,底面周长为18cm,在外侧距下底处1cm有一只蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处1cm的外侧点处有一只苍蝇,蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长是cm.【答案】15【分析】展开后连接SF,求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径,过S作SE⊥CD于E,求出SE、EF,根据勾股定理求出SF即可.【详解】解:如图展开后连接SF,求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径,过S作SE⊥CD于E,则SE=BC=12×18=9(cm),EF=14-1-1=12(cm),在Rt△FES中,由勾股定理得:SF=SE2+EF2=92+122=15(cm),故答案为15.【点睛】本题考查勾股定理、平面展开-最短路线问题,关键是构造直角三角形,题目比较典型,难度适中.3(2023春·山东济宁·八年级校考期中)春节期间,某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子.为了美观,每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点,如图所示,若每根柱子的底面周长均为2米,高均为3米,则每根柱子所用彩灯带的最短长度为米.【答案】5【分析】要求彩带的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,借助于勾股定理.【详解】解:将圆柱表面切开展开呈长方形,则彩灯带长为2个长方形的对角线长,∵圆柱高3米,底面周长2米,∴AC2=22+1.52=6.25,∴AC=2.5,∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m.故答案为5.【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题,勾股定理的应用.圆柱的侧面展开图是一个矩形,此矩形的长等于圆柱底面周长,高等于圆柱的高,本题就是把圆柱的侧面展开成矩形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决.1.(2023·湖北十堰·统考一模)如图,这是一个供滑板爱好者使用的U形池,该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆,其边缘AB= CD=20m(边缘的宽度忽略不计),点E在CD上,CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点,则他滑行的最短距离为()A.28mB.24mC.20mD.18m【答案】C【分析】滑行的距离最短,即是沿着AE的线段滑行,我们可将半圆展开为矩形来研究,展开后,A、D、E 三点构成直角三角形,AE为斜边,AD和DE为直角边,写出AD和DE的长,根据题意,由勾股定理即可得出AE的距离.【解析】解:将半圆面展开可得:AD =12米,DE =DC -CE =AB -CE =16米,在Rt △ADE 中,AE =122+162=20(米).即滑行的最短距离为20米.故选:C .【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题,U 型池的侧面展开图是一个矩形,此矩形的宽是半圆的弧长,矩形的长等于AB =CD =20m .本题就是把U 型池的侧面展开成矩形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决.2.(2023春·四川德阳·八年级校考期中)如图,圆柱底面半径为2πcm ,高为9cm ,点A ,B 分别是圆柱两底面圆周上的点,且A ,B 在同一条竖直直线上,用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点,则这根棉线的长度最短为cm .【答案】15【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将圆柱体展开,然后利用两点之间线段最短解答.【解析】解:圆柱体的展开图如图所示:用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B 的运动最短路线是:AC →CD →DB ;即在圆柱体的展开图长方形中,将长方形平均分成3个小长方形,A 沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短;∵圆柱底面半径为2πcm ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长:2π×2π=4cm ;又∵圆柱高为9cm ,∴小长方形的一条边长是3cm ;根据勾股定理求得AC =CD =DB =32+42=5(cm );∴AC +CD +DB =15(cm );故答案为:15.【点睛】本题主要考查了平面展开--路径最短问题.圆柱的侧面展开图是一个长方形,此长方形的宽等于圆柱底面周长,长方形的长等于圆柱的高.本题就是把圆柱的侧面展开成长方形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决.3.(2022·山东青岛·八年级期末)如图,一个圆桶,底面直径为16cm,高为18cm,则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处,则小虫所爬的最短路径长是( )(π取3)A.60cmB.40cmC.30cmD.20cm【答案】A【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形,而矩形的长就是底面周长的一半,高就是圆柱的高,再根据勾股定理就可以求出其值.【解析】解:展开圆柱的侧面如图,根据两点之间线段最短就可以得知AB最短.由题意,得AC=3×16÷2=24,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=AC2+BC2=242+182=30cm.∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处,∴最短路径长为60cm.故选:A.【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用,两点之间线段最短的运用,勾股定理的运用.在解答时将圆柱的侧面展开是关键.模型2.长方体中的最短路径模型【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下:计算跟长方体有关的最短路径问题时,要熟悉长方体的侧面展开图,利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解,注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。

初中最短路径问题7种类型

初中最短路径问题7种类型

初中最短路径问题7种类型初中最短路径问题7种类型最短路径问题是离散数学中一个重要的研究领域,其应用广泛,包括交通路线规划、网络优化等。

对于初中学生来说,了解和掌握最短路径问题,有助于培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。

下面将介绍初中最短路径问题的七种类型。

1. 单源最短路径问题单源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中,从一个确定的源点出发,求到其他所有顶点的最短路径。

这个问题可以通过使用迪杰斯特拉算法或贝尔曼-福特算法来求解。

通过学习和理解这些算法,学生可以逐步掌握寻找最短路径的基本方法。

2. 多源最短路径问题多源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中,求任意两个顶点之间的最短路径。

这个问题可以通过使用佛洛依德算法来解决。

学生可以通过了解和实践佛洛依德算法,掌握多源最短路径问题的求解方法。

3. 无权图最短路径问题无权图最短路径问题是指在一个无向无权图中,求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。

这个问题可以通过使用广度优先搜索算法来解决。

学生可以通过学习广度优先搜索算法,了解和掌握无权图最短路径问题的解决方法。

4. 具有负权边的最短路径问题具有负权边的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中,存在负权边,求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。

这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法来解决。

学生可以通过了解和实践贝尔曼-福特算法,理解和应用具有负权边的最短路径问题。

5. 具有负权环的最短路径问题具有负权环的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中,存在负权环,求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。

这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法的改进版来解决。

学生可以通过学习和理解贝尔曼-福特算法的改进版,解决具有负权环的最短路径问题。

6. 具有边权和顶点权的最短路径问题具有边权和顶点权的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中,除了边权之外,还考虑了顶点的权重,求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。

这个问题可以通过使用约翰逊算法来解决。

小专题(一):利用勾股定律解决最短路径问题

小专题(一):利用勾股定律解决最短路径问题

小专题(一):利用勾股定律解决最短路径问题勾股定律是数学中的一个重要定理,它可以被广泛用于解决最短路径问题。

最短路径问题是在图论中常见的问题,指的是在一个加权有向图或无向图中找到从一个起点到一个终点的最短路径。

理论基础勾股定律可以用于计算两点之间的距离,它表述如下:在直角三角形中,直角边的平方等于另外两个边的平方和。

根据勾股定律,我们可以计算出两点之间的直线距离,然后利用这个距离来比较各条路径的长度,从而找到最短路径。

解决步骤解决最短路径问题可以按照以下步骤进行:1. 确定起点和终点:首先,我们需要确定问题的起点和终点,这两个点将决定我们要找到的最短路径。

2. 创建图并添加权重:根据实际情况,我们需要创建一个加权有向图或无向图,并为图中的边(路径)添加权重。

权重可以代表两点之间的距离、时间或其他衡量指标。

3. 计算距离:利用勾股定律计算两点之间的距离,将其作为边的权重。

4. 应用最短路径算法:根据图的类型和问题要求,选择合适的最短路径算法,如迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法。

5. 输出最短路径:根据算法计算结果,输出起点到终点的最短路径。

示例以下是一个简单的示例,展示如何利用勾股定律解决最短路径问题:假设我们有一个无向图,其中包含5个节点A、B、C、D和E,节点之间的边权重如下:- AB: 3- AC: 4- BD: 2- CE: 5- DE: 3现在我们想找到从节点A到节点E的最短路径。

根据勾股定律,我们可以计算出各路径的长度:- AB: 3- AC: 4- AD: 5- AE: √(3^2 + 4^2) = 5根据距离,我们可以得出最短路径为A -> B -> D -> E,路径长度为7。

结论利用勾股定律可以解决最短路径问题。

通过计算两点之间的距离,我们可以比较各条路径的长度,并找到起点到终点的最短路径。

在实际应用中,我们可以根据具体情况选择合适的最短路径算法来解决问题。

最短路径实际生活中的应用

最短路径实际生活中的应用

最短路径实际生活中的应用
最短路径算法是一种常用的图论算法,可以在图中寻找两个节点之间最短的路径。

在实际生活中,最短路径算法可以被应用于多种场景,下面将列举几个例子:
1.导航系统
众所周知,导航系统是基于地图数据实现的,而地图就是一个图。

最短路径算法可以帮助导航系统找到两个地点之间最短的路径,并在地图上标出路线,为司机提供导航服务。

2.物流配送
在物流配送过程中,物流企业需要将货物从仓库运送到客户处。

最短路径算法可以帮助物流企业确定货车的行驶路线,节约时间和成本。

此外,最短路径算法还可以帮助物流企业规划仓库的位置,让仓库与客户的距离更近,提高效率。

3.电力网络
电力网络中的电线杆和变电站可以看作是节点,它们之间的电线可以看作是边。

最短路径算法可以帮助电力公司确定电线的布局,让电线的长度更短,降低电力损耗和成本。

4.社交网络
社交网络中的用户可以看作是节点,他们之间的关注和好友关系可以看作是边。

最短路径算法可以帮助社交网络推荐好友或者关注对象,让用户之间的连接更加紧密。

总之,最短路径算法在实际生活中有着广泛的应用,它可以帮助
我们优化决策,提高效率和降低成本。

图论中的最长路径问题与最短路径问题

图论中的最长路径问题与最短路径问题

图论中的最长路径问题与最短路径问题图论是数学中研究图的理论,其中最长路径问题和最短路径问题是图论中的经典问题。

本文将介绍这两个问题的定义、求解方法以及应用领域。

一、最长路径问题最长路径问题是指在给定的图中寻找一条路径,使得该路径的长度在所有路径中最长。

路径的长度可以根据边或顶点的数量来计算。

解决最长路径问题的方法有多种,其中最常用的是动态规划算法。

动态规划是一种将问题分解为子问题并逐步解决的算法。

在最长路径问题中,动态规划算法通常通过求解顶点的最长路径长度来得到整个图的最长路径。

在应用中,最长路径问题可以用来解决实际生活中的许多问题,例如交通规划、物流路径优化等。

通过找到最长路径,可以使得交通系统更加高效,减少行程时间和成本。

二、最短路径问题最短路径问题是指在给定的图中寻找一条路径,使得该路径的长度在所有路径中最短。

路径的长度可以根据边或顶点的权重来计算。

解决最短路径问题的方法同样有多种,其中最著名的是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

Dijkstra算法是一种贪婪算法,用于解决单源最短路径问题;Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法,用于解决所有顶点对之间的最短路径问题。

最短路径问题在现实生活中有广泛应用,例如导航系统、网络路由等。

通过找到最短路径,可以计算出最佳的行进方向,使得路程更加迅捷和经济。

三、最长路径问题与最短路径问题的联系与区别最长路径问题和最短路径问题都是求解图中不同路径的问题,但两者在定义和目标上有所不同。

最长路径问题试图找到一条路径,使得其长度最大化,而最短路径问题试图找到一条路径,使得其长度最小化。

最长路径问题通常通过动态规划算法求解,而最短路径问题则可以通过Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法等多种方法解决。

最长路径问题和最短路径问题在应用中也有差异。

最长路径问题主要应用于交通规划、物流路径优化等领域,而最短路径问题则广泛应用于导航系统、网络路由等领域。

行程问题7大经典题型

行程问题7大经典题型

行程问题7大经典题型行程问题是在现代计算机科学中研究的重要研究领域之一,也称为旅行商问题。

根据具体的应用,行程问题可分为七类经典题型:一、最短路径问题最短路径问题是指使行程开销最小化的最优路径问题,即在有权网(即有距离弧权值的有向图)中求出从起点到终点的最短路径问题。

最短路径问题的特点是将多条路径的值做比较,选择最优的路径。

最短路径问题的解法一般有迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福德算法。

二、最小生成树问题最小生成树问题是指在连通图中求最小代价覆盖图(最小生成树)的问题。

求最小生成树也可以用迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福德算法、克鲁斯卡尔算法等求解。

三、拓扑排序问题拓扑排序问题是指要解决有向图中的局部拓扑排序问题,让用户能够处理有向图的排序操作。

例如,拓扑排序可以用来求解项目管理中的生产流程排序,求解最长路径问题,用来求解运输问题。

某些拓扑排序问题常用拓扑排序法来解决,它的优点是举例简单,容易解决,但是在处理较大的网络可能不太方便。

四、负责度限制约束最小生成树问题负责度限制约束最小生成树问题是指当有负责度限制或边限制时,求出最小生成树的问题。

负责度限制最小生成树问题与最小生成树问题相似,但限制要求不同,使其可以求最小生成树但不需要所有节点出现。

解决负责度限制最小生成树问题的常见算法有Prim,Kruskal算法,单源最短路径算法等。

五、旅行商问题旅行商问题是指将一个实体从一个位置出发,访问所有位置,最后返回原位置,要尽可能使得整个行程之和最小的问题。

旅行商问题与最短路径问题之间存在着一定的联系,但是它更加复杂,可能有多个路径都是最优的,旅行商问题最优解的求解方法有穷举法、贪心法、遗传算法等。

六、交通网络问题交通网络问题是指涉及多晶体的旅行问题,在该问题中,客户的行程将跨越多个晶体构成的网络,以最小的费用或最短的时间从起点到终点运输物品或人员。

交通网络问题可以使用模拟退火法、遗传算法、混合算法等解决。

七、联通子图覆盖问题联通子图覆盖问题是指求解一个图G是否存在一个联通子图T,满足T中所有顶点和G中的全部顶点是相同的,最小顶点覆盖问题是联通子图覆盖问题的一个特殊情况,该问题的解法一般有贪心法和回溯法。

两点之间最短路径算法

两点之间最短路径算法

两点之间最短路径算法摘要:1.算法简介2.常用算法3.算法应用4.算法优缺点正文:1.算法简介两点之间最短路径算法,顾名思义,就是用于计算两点之间最短路径的算法。

在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。

它的核心思想是在给定的图或空间中,找到连接起点和终点的一条路径,使得该路径的长度最短。

2.常用算法常用的两点之间最短路径算法有以下几种:(1)欧几里得算法:也称为欧几里得距离算法,主要用于计算平面上两点之间的最短距离。

其基本思想是:对于每一步,都将当前点与目标点连线作为新的边,不断更新当前点,直至到达目标点。

(2)曼哈顿算法:也称为“城市街区”问题算法,主要用于计算网格状图(如城市地图)中两点之间的最短路径。

其基本思想是:对于每一步,都将当前点与目标点连线作为新的边,不断更新当前点,直至到达目标点。

(3)狄拉克算法:也称为狄拉克距离算法,主要用于计算空间中两点之间的最短距离。

其基本思想是:对于每一步,都将当前点与目标点连线作为新的边,不断更新当前点,直至到达目标点。

3.算法应用两点之间最短路径算法在实际应用中具有重要意义,如在交通运输、物流配送、网络通信等领域都有广泛的应用。

例如,在城市交通规划中,通过计算两点之间的最短路径,可以有效地减少交通拥堵,提高道路通行效率;在物流配送中,通过计算货物的起点和终点之间的最短路径,可以降低运输成本,提高配送效率。

4.算法优缺点优点:(1)计算简便:算法原理简单,计算过程相对容易。

(2)适用性广:可以应用于各种类型的图(如平面图、网格图、空间图等)和各种场景。

缺点:(1)计算量较大:对于大规模的数据,计算过程可能会较为耗时。

人教版初中数学八年级上册13.4最短路径问题(教案)

人教版初中数学八年级上册13.4最短路径问题(教案)
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示最短路径的基本原理。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“最短路径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《最短路径问题》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过如何找到两点间最短距离的情况?”(如从家到学校的最短路线)这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索最短路径的奥秘。
(3)在复杂图形中寻找最短路径时,可以引导学生从简单图形出发,逐步增加难度,让学生掌握解题方法;
(4)结合实际应用,可以设计一些案例,如旅行商问题、工程选址问题等,指导学生如何将所学知识运用到实际中。
在教学过程中,教师应针对这些难点和重点,运用生动形象的语言、具体实例和操作演示,帮助学生理解、掌握和运用相关知识。同时,注意关注学生的反馈,适时调整教学方法和进度,确保学生透彻理解本节课的核心内容。
(3)在实际图形中寻找最短路径,如三角形、四边形等;
(4)将现实生活中的问题转化为数学模型,利用数学知识求解。
举例:讲解最短路径概念时,可以通过实际生活中的例子(如地图上两点间的最短距离)进行说明,使学生理解并掌握这个核心概念。
2.教学难点
(1)如何将实际问题抽象为数学模型,找到最短路径;

从a到z的最短路径

从a到z的最短路径

从a到z的最短路径
从A到Z的最短路径可能有很多种,以下是两种常见的方法:
- 规律法:将矩形补充完整,从A到Z需要从左往右走四步,从上往下走两步,一共需要走六步。

从这6步中选出两步是朝下的,剩下的4步朝右的也就随之确定了。

所以,从A 到Z的最短路径有C(2,6) - 2种。

- 动态规划法:建立坐标轴,设d(x,y)为从A点出发到(x,y)左边处时,最短需要走的步数。

到(1,0)为1,到(2,0)为2,到(3,0)为3。

到(0,1)为1,到(1,1)为2。

状态转移方程为d(x,y) = d(x-1,y) + d(x,y-1)。

以上方法仅是示例,实际情况可能会更加复杂。

如果需要处理更复杂的情况,可以考虑使用其他算法或借助计算机编程来解决。

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最短路径专题复习教案
利川市汪营镇初级中学王贞稳
教学目标
教学知识点:
1.能运用勾股定理、平移、轴对称等解决简单的实际问题;
2.在将实际问题抽象成几何图形过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
情感与价值观要求:
1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.
2.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有用的数学.
教学重点难点:
重点:
1.对两点之间,线段最短的理解;
2.对“垂线段最短”的理解;
难点:利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理,解决实际问题.
教学过程
1、复习:
(1)对两点之间,线段最短;(2)垂线段最短.
2.应用:(1)两点之间,线段最短与轴对称综合
如图:矩形OABC中,A(2,0),C(0,4),D是AO的中点,E是边上的动点,△CDE周长的最小值是 .
(2)两点之间,线段最短与平移综合
如图,在河道两侧有两个景点A,B,现计划修一条连接A,B的道路.现测得河岸l1, l2与BC互相平行,AC⊥BC,且AC=13千米,BC=5千米,桥长EF=1千米,
同时桥与河岸垂直,则A,B的最小距离是多少?
(3)垂线段最短应用:
如图:拟建学校B在直线l2上,l1是公路,且l1,l2侧的夹角为30°,在l1上行驶的车辆的最大噪声半径为600米,请问拟建学校B距离C的最小距离不能少于多少米?
3.综合训练
如图,MN表示一段笔直的高架道路,线段AB表示高架道路旁的一排居民楼.已知A 到MN的距离为15米,BA的延长线与MN相交于点D,且∠BDN=30°,假设汽车在高架道路上行驶时,周围39米以内会受到噪音的影响.
(1)作AH ⊥MN于H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶,当汽车到达点P处时,噪音开始影响这一排居民楼,那么此时汽车与点H的距离为多少米?
(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板.当汽车行驶到点Q时,它与这一排居民楼的距离为39米,那么对于这一排居民楼,高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米?
4.小结:
(1)知识点:两点之间,线段最短;垂线段最短.
(2)数学思想:建模,转化.
2017年6月15日。

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