2008北京大学自主招生数学试题
2008年普通高等学校校招生全国统一考试数学北京卷(理科)
2008年普通高等学校校招生全国统一考试数学北京卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集∪＝R ，集合A =|x |-2≤x ≤3|，B =|x |x 〈-1或x 〉4|，那么集合A ∩（εv B ）等于(A)|x |-2≤x 〈4| （B ）|x |x ≤3或≥4| (C)|x |-2≤x <-1 (D)|x | -1≤x ≤3| (2)若a =2a ,b =log,3,c =log,sin52π,则 (A ）a >b >c (B)b >a >c (C)c>a>b (D)b >c>a(3)“函数f (x )(x ∈R)存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的 (A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件（4）若点P 到直线x =－1的距离比它到点（2，0）的烛1，则点P 的轨迹为 （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线x -y +1≥0,（5）若实数x ,y 满足 x +y ≥0, 则z =3x +y 的最小值是x ≤0, (A)0(B)1(C)3(D)9(6)已知数列｜a n ｜对任意的p,q ∈N m 满足a p+q =a p +a q ,且a P =-6,那么a p +q 等于 （A ）-165 (B)-33 (C)-30 (D)－21（7）过直线y =x 上的一点作圆（x -5）2=2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y =x 对称时，综们之间的夹角为 （A ）30° （B ）45° (C)60° (D)90°(8)如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上。
过点P 作垂直平面BB 1D 1D 的直线，与正方体面相关于M 、N ，设BP =x ,MN =y ,则函数y =f (x )的图象大致是第Ⅱ卷二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷·理科)(附答案,完全word版)
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()UA B ð等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤2．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x yz +=的最小值是（ ）A ．0B ．1CD ．96．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-7．过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30B ．45C ．60D ．908．如图，动点P 在正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）A BC DMNP A 1B 1C 1D 1第 3 页 共 12 页2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．10．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 ．11．若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n = ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答）12．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ； 0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）13．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．16．（本小题共14分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．17．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．A CB P第 5 页 共 12 页18．（本小题共13分）已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间． 19．（本小题共14分）已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值．20．（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列1()T A ：12111n n a a a ---，，，，．对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ； 又定义2221212()2(2)m mS B b b mb b b b =+++++++． 设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，，，． （Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．1- 10．0 11．5 10 12．2 2-13．②14．(12)， (3402)， 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分） 解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． ABDP第 7 页 共 12 页16．（共14分） 解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP =， PD AB ∴⊥． AC BC =， CD AB ∴⊥． PD CD D =，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且ACPC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，2BE AB ==sin BC BEC BE ∴∠==． ∴二面角B AP C --的大小为． （Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ，∴平面APB ⊥平面PCD ．过C 作CH PD ⊥，垂足为H ． 平面APB 平面PCD PD =，CH ∴⊥平面APB ．CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离． 由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =，PC ∴⊥平面ABC ． CD ⊂平面ABC ， PC CD ∴⊥．ABE P ABDPH在Rt PCD △中，12CD AB ==2PD PB ==2PC ∴==．233PC CD CH PD ∴==．∴点C 到平面APB 的距离为3． 解法二：（Ⅰ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥． AC BC C =，PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂平面ABC ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，，． PB AB ==，2t ∴=，(002)P ，，．取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC =，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，cos 26EC EB BEC EC EB∴∠===． ∴二面角B AP C--的大小为arccos3．第 9 页 共 12 页（Ⅲ）AC BC PC ==，C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离． 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE =，∴点H 的坐标为222333⎛⎫⎪⎝⎭，，．23CH ∴=． ∴点C到平面APB 17．（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． （Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=． （Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===．所以3(1)1(2)P P ξξ==-==，ξ的分布列是 18．（共13分）解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=- 32[(1)](1)x b x --=--．令()0f x '=，得1x b =-．当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：所以，当2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，上单调递减，在(11)b -，上单调递增， 在(1)+∞，上单调递减． 当2b >时，函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)b -+∞，上单调递减．当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减．19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x=+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，所以212640n ∆=-+>，解得33n -<<．第 11 页 共 12 页设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232n x x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+． 所以122n y y +=． 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上， 所以3144n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=．（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=， 所以AB BC CA ==．所以菱形ABCD的面积2S =． 由（Ⅰ）可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，所以2316)S n n ⎛=-+<< ⎝⎭． 所以当0n =时，菱形ABCD的面积取得最大值20．（共13分）（Ⅰ）解：0532A ：，，，10()3421T A ：，，，， 1210(())4321A T T A =：，，，； 11()43210T A ：，，，，，2211(())4321A T T A =：，，，．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，， 则1()T A 为n ，11a -，21a -，，1n a -，从而 112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-． 又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++， 所以1(())()S T A S A - 122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++2122()n n a a a n +-++++ 2(1)0n n n n =-+++=，故1(())()S T A S A =．（Ⅲ）证明：设A 是每项均为非负整数的数列12n a a a ，，，． 当存在1i j n <≤≤，使得i j a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ， 则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤． 当存在1m n <≤，使得120m m n a a a ++====时，若记数列12m a a a ，，，为C ， 则()()S C S A =．所以2(())()S T A S A ≤．从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k A T T A k +==，，， 可知11()(())k k S A S T A +≤．又由（Ⅱ）可知1(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤． 即对于k ∈N ，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +-≤． 因为()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()k k k S A S A S A ++===． 即存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．。
北京大学2008数学分析试题及解答
9.
∫设1函数
f (x)
在区间
[0,
1∫]
上有一阶连续导函数,
1
且
f (0)
=
f (1),
g(x)
是周期为
1
的连续函数,
并且满足
g(x) dx = 0. 记 an = f (x)g(nx) dx, 证明 lim nan = 0.
0
0
n→∞
10. 若 f (x∑ )n在∫区b间i [0, 1] 上 Riemann∫可1积, 并且对 [0, 1] 中任意有限个两两不相交的闭区间 [ai, bi], 1 ⩽ i ⩽ n,
∃ξ ∈ (ξ2, ξ1), 使得 f ′′(ξ) > 0. 因此若 f ′′(x) 在 R 上不变号, 则 f ′′(x) > 0, ∀x ∈ R.
若 ∃y0 ∈ R, 使得 f ′(y0) > 1, 则 f (x) > f ′(y0)(x − y0)f (y0), 这将与 lim (f (x) − x) = 0 矛盾. 从而 x→+∞
9.
∫1
∫1
∫ nx
n f (x)g(nx) dx = f (x) dx g(t) dt
0
(0
∫ nx 0
) 1 ∫ 1 (∫ nx
)
= f (x) g(t) dt −
g(t) dt f ′(x) dx
∫ 1 (∫0 nx
)0
0
0
=−
g(t) dt f ′(x) dx.
∫x 令 G(x) = g(t) dt, 则
∫ 1 (∫ nx
)
lim nan = lim −
n→∞
n→∞
0
2008年北京大学自主招生数学试题及解答
解 延 戈 开究
+ : 教， (2 8年 2期 高 版 ? 0 第 中)
2008 年北京大学 自主招生数学试题赏析
43主招生数学试题学生反映比 0 较难. 大部分试题有竞赛题的味道， 特别是理科的最 后一题， 需要用到高等数学知识， 无论对学生数学学 习的深度和广度都有较高要求、 1. 求证:如图 1， 边长为 1 的
心的圆 C 被光照到的长度为2二 求曲线 C 上未被照 ，
到的长度.
几 y
、
劝
( Zx + 9 ) ( 2另+ 8 )
， ‘
. 、 ，
南方球队总得分为
呈 些 达 二 9(Z 丝 卫 丝 坠二 x+9)灭+4) _ ，
10 2 10
北方球队总得分为 ( 2二 +9) (x +4 ) 南 方球队内 赛总得分优， 部比 。 ，
于 ( 。+口 一 ) 25妻a + b.
。 = a， aZ+ bl + b: ， +刀 + 25=a; +aZ+a3+ bl +bZ+b3，
e l 一a Z
形 A A ;C I 中，AC: c;B B
二 I， B A Bq = B I ，C I A A = C I ， A + 乙 + 乙C B 乙 B
min(a， a3) 蛋 ， aZ， 而n(b， b。， ， ) bZ， 求证:m x(a， a，落 (b， b， a ， ) m aZ， a x ， ). bZ， 证明 不妨设a。 aZ) a， 〕bZ〕 〕 ， b， b3. 则条件为a， b， ‘ ， 即证a。 b， ‘ 令a; + a: +a， b. + bZ+ b， : ， = =
2008年北京大学自主招生保送生测试数学试卷
2008年北京大学自主招生保送生测试
数学试卷
说明：考试时间2小时，考生根据自己情况选题作答，综合优秀或单科突出给予A的认定。
满分100分。
(1)求证：边长为1的正方形对角线长为．
(2)已知六边形，，，，
=，求证：面积是六边形的一半．
(3)已知，，若已知
，求证：．
(4)排球单循环赛，南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍．求证：冠军是一支南方球队。
(注：每场比赛获胜队得l分，负对得0分)
(5)(仅理科学生做)在空间坐标系中：平面中绕一周构成一
个不透光立体。
在点(1，0，1)设置一点光源，平面内有一以原点为圆心的圆，被光照到的长度为2，求圆C上未被照到的长度．。
北大自主招生数学试题
一.选择题1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（ ）A ．16900B ．17900C ．18900D ．前三个答案都不对2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（ ）A ．3524B ．3624C ．3724D ．前三个答案都不对 3.已知x ∈[0,2π]，对任意实数a ，函数y=2cos x −2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．前三个答案都不对4.已知2010−202是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD 中，BC=4，∠ADC=60∘，∠BAD=90∘，四边形ABCD 的面积等于2AB CD BC AD⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（ ）A ．6.9B ．7.1C ．7.3D ．前三个答案都不对 二.填空题 6.满足等式12015111+)(1)2015x x+=+（的整数x 的个数是_______． 7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则22222()()()ab cd a d b c +++ 的最大值与最小值的和为___________8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,的最大整数是__________9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=2222b a c ba+-,且x+y+z=1，则201520152015xy z ++的值为___ 10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ⋂|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________三．解答题11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。
近几年清华、北大自主招生数学试题
近年北大清华自主招生试题汇编———————————————————————————————— 2010北大自主招生（三校联招） 1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．（25分）2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB ．（25分） 3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分） 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）2009北大自主招生数学试题1 圆内接四边形ABCD ，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。
求圆半径。
2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。
求证：2009为数列中一项。
3 是否存在实数x 使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？4 已知对任意x 均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b 的最大值5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。
做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。
问不及格和优秀的人数哪个多？3 已知123123122331122331123123123123min(,,)min(,,)max(,,)max(,,)a a ab b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b a a a b b b ++=++++=++≤≤求证：4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）5（理科）O-XYZ 坐标系内 xoy 平面系内202y x ≤≤-绕y 轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源 xoy 平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2π 求C 上未被照到的长度2009年清华大学自主招生数学试题 的整数部分为a ，小数部分为b ()1求,a b ；()2求222ab a b ++； ()3求()2lim n n b b b →∞++ 2．()1,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，222112n nn x y -+≥()2,,a b c 为正实数，求证：3a b cx y z++≥，其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列 3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论4．已知椭圆22221x y a b+=，过椭圆左顶点(),0A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与L 平行的直线与椭圆交于P 求证：AQ ，AR 成等比数列5．已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2()1nf s s s s =+++6．随机挑选一个三位数I()1求I 含有因子5的概率；()2求I 中恰有两个数码相等的概率7．四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC =()1求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；()2设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=8．证明当,p q 均为奇数时，曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数 9．设1221,,,n a a a + 均为整数，性质P 为： 对1221,,,n a a a + 中任意2n 个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n 个数，使得两组所有元素的和相等 求证：1221,,,n a a a + 全部相等当且仅当1221,,,n a a a + 具有性质P2009年清华大学自主招生数学试题（文科） 1．已知数列{}n a ，且()1n S na n n =+-()1求证：{}n a 是等差数列； ()2求,nn S a n⎛⎫⎪⎝⎭所在的直线方程 2．12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门()1求此3名男性被分别分到不同部门的概率； ()2求此3名男性被分到同一部门的概率；()3若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率3．一元三次函数()f x 的三次项数为3a，()90f x x +<的解集为()1,2 ()1若()70f x a +=，求()f x 的解析式； ()2若()f x 在上单调增，求a 的范围4．已知PM PN -=()2,0M -，()2,0N ，求点P 的轨迹W ；直线()2y k x =-与W 交于点A 、B ，求S OAB （O 为原点） 5．设()12nx x x a n n++=∈()()()()()()12231n n n S x a x a x a x a x a x a -=--+--++--()1求证：30S ≤()2求4S 的最值，并给出此时1x ，2x ，3x ，4x 满足的条件()3若50S <，求1x ，2x ，3x ，4x ，5x 不符合时的条件2008届清华大学自主招生试题1. 已知,,a b c数；2. （1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形； （2）四面体一个顶点处的三个角分别是,,arctan 223ππ，求3π的面和arctan 2的面所成的二面角；3. 求正整数区间[],()m n m n <中，不能被3整除的整数之和；4. 已知sin cos αα+=α的取值范围；5. 若2lim ()(0)1,(2)()x f x f f x f x x →==-=，求()f x ；6. 证明：以原点为中心的面积大于4的矩形中，至少还有两个格点。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷)(含答案)
绝密★使用完毕前2008年普通高等学校校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项：1答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用钢笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
不能答在试卷上。
一、本题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集∪＝R ，集合A =|x |-2≤x ≤3|，B =|x |x 〈-1或x 〉4|，那么集合A ∩（εv B ）等于 (A)|x |-2≤x 〈4| （B ）|x |x ≤3或≥4| (C)|x |-2≤x <-1 (D)|x | -1≤x ≤3| (2)若a =2a ,b =log,3,c =log,sin52,则 (A ）a >b >c (B)b >a >c (C)c>a>b (D)b >c>a(3)“函数f (x )(x ∈R)存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的 (A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件（4）若点P 到直线x =－1的距离比它到点（2，0）的烛1，则点P 的轨迹为 （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线x -y +1≥0,（5）若实数x ,y 满足 x +y ≥0, 则z =3x +y 的最小值是x ≤0, (A)0(B)1(C)3(D)9(6)已知数列｜a n ｜对任意的p,q ∈N m 满足a p+q =a p +a q ,且a P =-6,那么a p +q 等于 （A ）-165 (B)-33 (C)-30 (D)－21（7）过直线y =x 上的一点作圆（x -5）2=2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y =x 对称时，综们之间的夹角为 （A ）30° （B ）45° (C)60° (D)90° (8)如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上。
近十年清华北大自主招生试题汇总
1.（2007清华）对于集合2M R ⊆（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ∀∈∃>，使得{}2P R PP r M ∈<⊆⎰。
判断集合{}(,)4250x y x y +->⎰与集合{}(,)0,0x y x y ≥>⎰是否为开集，并证明你的结论。
2，（2009北大）已知,cos cos 21x R a x b x ∀∈+≥-恒成立，求max ()a b +3，（2009清华）已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。
求证：3a b c x y z ++≥。
4，（2006清华）已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。
5，（2008北大）实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。
求证：12312m a x (,,)m a x (,,)a a a b b b ≤。
6，（2009清华）试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为7，（2009清华）x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n xy -+≥8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。
9，（2006清华）设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和，求1lim n k n k A →∞=∑。
10，（2008北大）数列{}1n n a ∞=定义如下：1234561,2,3,a a a a a a ======……（1） 给定自然数n ，求使l a n =的L 的范围；（2） 令221m m l l b a ==∑，求3limm m b m →∞。
介绍几道2008年自主招生数学试题
+y 2=1有交点,则11a 2+1b2 1,即有1a 2+1b2 1.2 隐性轨迹为抛物线例3 (2008年重庆文)函数f (x )=si n x5+4co s x(0 x 2 )的值域是( ).A [-14,14]B [-13,13]C [-12,12]D [-23,23]常规解法 令5+4cos x =t(1 t 3),则sin 2x =16-(t 2-5)216,当0 x时,si n x =16-(t 2-5)216=-t 4+10t 2-94,f (x )=si n x 5+4co s x=-t 4+10t 2-94t =-(t 2+9t2)+104-2t 29t 2+104=12,当且仅当t =3时取等号.同理可得当 <x 2 时,f(x ) -12,综上可知f (x )的值域为[-12,12],故选C.图3轨迹解法 令Y =f 2(x )=sin 2x 5+4cos x ,则Y =sin 2x 5+4cos x =1-cos 2x 5+4cos x设P (-4cos x ,cos 2x )则Y 表示两点P (-4cos x,cos 2x ),A (5,1)连线的斜率,而点P 的轨迹为抛物线y =x 216(0 y 1)的一段,如图3,当直线AP 平行于x 轴时,Y 取最小值;当直线AP 与抛物线相切时,Y 取最大值14,所以0 Y 14,即-12f (x )12.所以函数f (x )的值域为[-12,12].介绍几道2008年自主招生数学试题湖北省十堰市东风高级中学 442001 甘志国高校自主招生考试数学试题材料鲜活,试题的结构常以5~7道解答题的形式出现(如2008年清华大学、北京大学、浙江大学的自主招生试题),也有与本省高考数学试卷的形式类似的(如2008年山东大学自主招生试题),试题的难度一般略高于高考题.下面介绍几道2008年自主招生数学试题,且这里给出的解答多与原参考答案不同.题1(2008年北京大学自主招生数学试题)求证:边长为1的正五边形对角线长为1+52.原参考解答是用平面几何中的三角形相似证得的,下面给出一种三角解法.解 选择正五边形的两条共顶点的对角线及其一边组成等腰三角形,再作其底边上的高,又设这个正五边形对角线长为x,得si n18 =0.5x ,x =12si n18.下面求sin18 (实际上,有很多资料把si n18 =5-14作为特殊角的三角函数值列出此值为黄金分割数5-120.618的一半,挺好记的;高一数学老师应当介绍si n18 的值及其算法,并不难):由公式sin2 =2s i n cos ,cos3 =4cos 3 -3cos 及si n36 =cos54 ,立得2si n18 cos18 =4cos 318 -3co s18 ,2sin18 =4co s 218 -3=4(1-sin 218 )-3,4sin 218 +2sin18 -1=0,si n18 =5-14所以所求正五边形对角线长为x =12s i n18 =1+52.题2(2008年复旦大学自主招生数学试题)请证明2是一个无理数.证明 假设2是有理数,则可设2=mn(m,n 是两个互质的正整数),得m 2=2n 2,所以m 2是偶数,进而得m 也是偶54ZHONGXUESHUXUEZAZHI中学数学杂志 2009年第1期数(因为当m 是奇数时,m 2是奇数),又可得m 2(=2n 2)是4的倍数,n 2是偶数,n 也是偶数,得m,n 均是偶数,这与m,n 互质矛盾!说明2是无理数.以上证明初二学生即可弄懂,反证法教科书上虽然作了介绍,但平时训练的极少,所以学生对这种证法很陌生(而2008年高考数学江苏卷第19题第(2)问就是需要用反证法证明的题目),我们在平时的教学中应当重视这方面的训练.2还是人类历史上发现的第一个无理数,是Py thagoras (约公元前500年,希腊学者)学派的成员H i ppasus 所发现的,从而产生了数学史上的第一次危机,所以学生还应当尽可能的通过课外阅读等手段扩大知识面.题3 (2008年浙江大学自主招生数学试题),A ={(x,y )|(x -1)2+(y -2)254},B ={(x,y )||x -1|+2|y -2| a },A B,求a 的取值范围.原参考解答是:通过换元后可知,题意即,若{(x,y )|x 2+y 254} {(x,y )||x |+2|y | a },求正数a 的取值范围.再通过画图(由对称性,可以只考虑第一象限的图形),得圆x 2+y 254的圆心即坐标原点到直线x +2y =a 的距离不小于该圆的半径52,得所求a 的取值范围是[52,+ ).下面给出一种所用知识更少的解法.解 题意即,若(x -1)2+(y -2)2 54|x -1|+2|y -2| a,求实数a 的取值范围.因为(x -1)2+(y -2)2 54|y -2|54-(x -1)2,所以题设等价于|x -1|+254-(x -1)2 a 恒成立.设|x -1|=t ,得t 0,题设即函数z =t+5-4t 2(t 0)的最大值z m ax a,下面用两种方法求z m ax .法1 可得(z -t)2=5-4t 2,5t 2-2z t+(z 2-5)=0, =4z 2-20(z 2-5) 0-52z52,还可得当且仅当t =12即x =32或-12时,z =52,所以z m ax =52.法2 可得5-4t 2 0,0 t52,所以可设t =52s i n (02),得z =t +5-4t 2=52s i n +5cos ,=52(15s i n +25cos )=52si n ( + )(02),其中 =arccos15.由此也可得:当且仅当 + = 2即 =arcsin 15也即t =12就是x =32或-12时,z m ax =52.所以所求a 的取值范围是[52,+ ).题4 (2008年浙江大学自主招生数学试题)已知x >0,y >0,a =x +y,b =x 2+xy +y 2,c =mx y,问是否存在正数m 使得对于任意正数x,y,可使a 、b 、c 为一个三角形的三条边,如果存在,求出m 的值;如果不存在,请说明理由.解 因为a >b ,所以存在正数m 满足题意的充要条件是对于任意的正数x,y 有下式成立:x +y +x 2+xy +y 2>mxyx 2+xy +y 2+mx y >x +y可设y =k 2x,(k >0),得1+k 2+1+k 2+k 4>mk1+k 2+k 4+m k >1+k 2(k +1k )+(k +1k )2-1m i n>mm >(k +1k)-(k +1k )2-1m ax设k +1k =t ,得t 2,所以(t +t 2-1)m in >mm >(1t +t 2-1)m ax再由函数的单调性,可立得满足题意的正数m 存在,且m 的值有无数多个,其取值范围是(2-3,2+3).题5 (2008年南京大学自主招生数学试题)若正数a 、b 、c 满足a +b +c =1,求证:(a +1a )(b +1b )(c +1c) 100027.高中生在学习 不等式的证明 时,大多都证明过这样的题:若正数a、b 满足a +b =1,求证:(a +1a )(b +1b) 254.简证如下:先得0<ab (a +b 2)2=14,又函数f (x )=55中学数学杂志 2009年第1期ZHON GXUES HUXUEZAZHIx +1x 在(0,1)上是减函数,所以ab +1ab 14+4=174,再得(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(b a +a b ) 174+2=254,对于该题的深入研究,就会得到题5的问题.下面给出题5的两个简证,并推广其结论.证法1 因为在题5的不等式中,当且仅当a =b =c =13时取等号,为了使a +1a =a +1m a +1m a + +1ma (共m 个1m a )能使用均值不等式且等号能取到,应让a =1ma且a =13,得m =9,所以有如下证法:a +1a=a +19a +19a + +19a (共9个19a ) 1010a(9a)9,同理,有b +1b10 10b (9b )9,c +1c 10 10c(9c)9所以(a +1a )(b +1b )(c +1c ) 10310abc(93abc)9,再由0<abc(a +b +c 3)3=127,可得:(a +1a)(b +1b )(c +1c ) 100027(当且仅当a =b =c =13时取等号).由此思路,还可证得.推广1 若正数a 1,a 2, ,a n 满足ni=1a i =1,则ni=1(a i+1a i ) (n +1n )n (当且仅当a 1=a 2= =a n =1n 时取等号).证法2 (a +1a )(b +1b )(c +1c )=a 2+1b 2+1c 2+1=a 2b 2c 2+(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)+(a 2+b 2+c 2)+1abca 2b 2c 2+3 (3a 2b 2c 2)2+3 (3a 2b 2c 2)+1abc =(3abc +13abc )3,再由0<abc(a +b +c 3)3=127,及函数f(x )=x +1x在(0,1)上是减函数,可得要证结论成立!推广2 若a,a 1,a 2, ,a nR +,ni=1a in a ,则ni=1(a i +aa i)ni=1a in+nani=1a in(当且仅当a 1=a 2= =a n 时取等号).证明ni=1(a i +aa i )=ni=1(a 2i +a)ni=1a i=1ni=1a i(a n +a n-11 i 1 na 2i 1+a n-21 i 1<i2 na 2i 1a 2i 2++a1 i 1<i 2< <i n-1 na 2i 1a 2i 2 a 2i n-1+a 21a 22 a 2n )=a n+nk =1a n-k1 i 1<i 2< <i k n(a i 1a i 2 a i k )2ni=1a i,注意到和式1 i 1<i 2< <i k n(a i 1a i 2 a i k )2是C k n 项的和,由均值不等式,得1 i 1<i 2< <i k n(a i 1a i 2 a i k )2 C k nC k n1 i 1<i 2< <i k n(a i 1a i 2 a i k)2=C k nC k n(a 1a 2 a n )2kC k n n=C k nnni=1a i2k(当且仅当a 1=a 2= =a n 时取等号).所以ni=1a i +aa ia n+nk =1an-kCk nnni=1a i2kn i=1a i=a +nni=1a i2nnn i=1a inni=1a i +a a inni=1a i +anni=1a in(当且仅当a 1=a 2= =a n 时取等号).又由均值不等式,得0<nni=1a ini=1a in(当且仅当a 1=a 2= =a n 时第一个 中取等号)再由函数f (x )=x +ax 在(0,a ]上是减函数,可得nni=1a i +anni=1a ini=1a i n+nani=1a i>0(当且仅当a 1=a 2= =a n 时 中取等号)从而可得推广2成立.(推广1显然是推广2的特例)56ZHONGXUESHUXUEZAZHI中学数学杂志 2009年第1期。
08北大自主招生部分题
08北大自主招生试题数学1. 求证边长为1 的正5边形对角线长为（1+5^(1/2))/22. 六边形AB1CA1BC1中，AB1=B1C，CA1 =A1B，AC1 =BC1 ，角A+角B+角C=角A1+角B1+角C1, 求证三角形ABC面积是六边形面积的一半3. 已知a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1*a2+a2*a3+a1*a3=b1*b2+b2*b3+b1*b3 若已知min{a1,a2,a3}<=min{b1,b2,b3} 求证：max{a1,a2,a3}<=max{b1,b2,b3}4. 南方队和北方队打单循环赛，南方队比北方队多9支队伍，最后南方队总分是北方队的九倍（胜者得1分，负者得0分），求证最后得分最高的是一支南方的队。
5.（只理科生做）在空间坐标系oxyz中，c是由平面图形y-2=x^2 绕y 轴旋转后所得的不透光的立体图形。
现在（1，0，1）处有一点光源p。
圆a是以原点o为圆心的位于x-y平面上的圆，且圆上被光源照到的部分长为2 TT （派），求圆上阴影部分长度。
语文一、文段加标点：然惠施之口谈，自以为最贤，曰：“天地其壮乎，施存雄而无术。
”南方有倚人焉，曰黄缭，问天地所以不坠不陷，风雨雷霆之故。
惠施不辞而应，不虑而对，遍为万物说。
说而不休，多而无已，犹以为寡，益之以怪，以反人为实，而欲以胜人为名，是以与众不适也。
弱于德，强于物，其涂囗（左“阝”右“奥”音ao4）矣。
由天地之道观惠施之能，其犹一蚊一虻之劳者也。
其于物也何庸！夫充一尚可，曰愈贵，道几矣！惠施不能以此自宁，散于万物而不厌，卒以善辩为名。
惜乎！惠施之才，骀荡而不得，逐万物而不反，是穷响以声，形与影竞走也，悲夫！解释红色的字词惠施的口辩有什么特点，庄子是怎样评价他的？你是否同意庄子的观点，说出理由。
二、现代文阅读《读山》。
三、800字作文，材料作文，自选角度，有关于“两恨文化”，即恨能人恨富人之类的（材料记不得了，文体为议论，反正不是很好写的。
北京大学2010-2008年自主招生试题+面试题
2010 北京大学自主招生试题数学题共5道大题，文科生做前4道，理科生做后4道，每道题25分。
涉及解析、几何、数列等，其中有一道题同时考到了数列和三角函数。
“考得很‘活’，”北大附中一名姓陈的同学说：“感觉数学不是特别难，知识比较基础。
”相对而言，他认为语文题比较有难度。
1.AB为正五边形边上的点，证明：AB最长为（根5+1）/2(25分)2.AB为y=1-x^2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值。
(25分)3.向量OA与OB已知夹角，|OA|=1，|OB|=2，OP=tOA，OQ=（1-t）OB，|PQ|在t0是取得最小值，问当0<t0<1/5时，夹角的取值范围。
(25分)4.存不存在0<x<π/2，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列。
(25分)语文题包括选词填空、现代文阅读、古文翻译和作文。
选词填空共设10道小题，偏重对基础知识的考察，比如有一道题是给出一首诗，要求考生找出韵脚。
现代文阅读是一篇题为《瞬间即永恒》的文章，文章较长，“跟平在学校做的不太一样”，题型包括关键句分析和两道开放性的论述题。
古文翻译题是一篇关于古代君主执政方面与“法制”相关的文章，要求先断句，再对文章进行翻译。
作文题分值40分，是由林庚先生诞辰100周年的文章，引出的4个词：盛唐气象、少年精神、布衣情怀、建安风骨，考生从中选择一个词来作文，要求600-800字左右，富有诗情画意并富含哲理，文体不限。
接受采访的考生均称自己采用的是散文的文体，“写出诗情画意没有问题，但要富有哲理还是有点难度。
”一位来自北京四中的女同学感慨道。
1.基础知识基本是区别形似字2．有一个绕口令，找出其中的押韵的字连成一句话；找出其中所有的动词，包含其中笔画最少的两个字（是“认”和“吃”），写一句在校园里的宣传语。
3．法者，天下之度量，而人主之准绳也。
县法者，法不法也；设赏者，赏当赏也。
北大自主招生试题及答案
北大自主招生试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是北京大学的校训？A. 厚德载物，自强不息B. 博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之C. 学高为师，身正为范D. 求实创新，厚德博学答案：A2. 北大自主招生主要考查学生的哪些方面？A. 学术成绩B. 创新能力C. 综合素质D. 以上都是答案：D3. 北大自主招生的面试环节通常包括哪些内容？A. 个人陈述B. 专业问题讨论C. 团队合作能力测试D. 以上都是答案：D4. 以下哪个不是北大自主招生的选拔标准？A. 学术潜力B. 社会活动经历C. 家庭背景D. 领导力答案：C5. 北大自主招生的笔试部分主要包括哪些科目？A. 语文、数学、英语B. 物理、化学、生物C. 政治、历史、地理D. 以上都不是答案：A二、简答题（每题10分，共30分）6. 请简述北大自主招生的选拔流程。
答案：北大自主招生的选拔流程通常包括网上报名、材料审核、笔试、面试等环节。
首先，学生需要在规定的时间内完成网上报名，并提交相关材料。
然后，学校会对提交的材料进行审核，筛选出符合条件的考生。
接下来，通过材料审核的考生需要参加笔试，笔试成绩达到一定标准的考生才有资格进入面试环节。
最后，学校根据考生的笔试和面试表现，综合评定，选拔出优秀的学生。
7. 请列举北京大学的三个主要特色。
答案：北京大学的三个主要特色包括：（1）深厚的历史文化底蕴，作为中国最早的国立大学，北大有着百年的历史，培养了众多杰出人才；（2）强大的学术研究能力，北大在多个学科领域具有国际领先的研究水平；（3）开放包容的校园文化，北大鼓励学生自由探索，尊重多元文化，培养学生的国际视野。
8. 请简述参加北大自主招生的优势。
答案：参加北大自主招生的优势主要包括：（1）有机会获得降分录取的机会，对于有特长或特殊才能的学生来说，自主招生是一条进入北大的捷径；（2）可以展示自己的综合素质和特长，自主招生不仅考查学生的学术成绩，更注重学生的创新能力、领导力等综合素质；（3）提前接触北大的学术氛围和校园文化，通过自主招生的选拔过程，学生可以更深入地了解北大，为自己的未来规划提供参考。
2008年普通高等学校招生全国统一考试北京数学文科试卷含答案
2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于（ ） A ．{}|34x x x >或≤ B ．{}|13x x -<≤ C ．{}|34x x <≤D ．{}|21x x --<≤2．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知ABC △中，a =b =60B = ，那么角A 等于（ ）A ．135B ．90C ．45D ．305．函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ）A ．1()11)f x x -=>B ．1()11)f x x -=>C ．1()11)f x x -=≥D ．1()11)f x x -=≥6．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．27．已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30B ．45C ．90D ．1868．如图，动点P 在正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 10．不等式112x x ->+的解集是 ． 11．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么 a b 的值为 ．12．5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）13．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，A BC DMNP A 1B 1C 1D 1则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．14．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分） 已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．16．（本小题共14分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小． 17．（本小题共13分）已知函数32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数．（Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．18．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．ACBP19．（本小题共14分）已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程． 20．（本小题共13分）数列{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-（12n = ，，），λ是常数．（Ⅰ）当21a =-时，求λ及3a 的值；（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； （Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当n m >时总有0n a <．2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．4310．{}|2x x <-11．8-12．10 3213．2 2-14．②三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分） 解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤． 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 16．（共14分）解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP = ， PD AB ∴⊥． AC BC = ， CD AB ∴⊥． PD CD D = ，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂ 平面PCD ， PC AB ∴⊥．ABDP（Ⅱ）AC BC = ，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC PC C = ，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP = ，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角BAP C --的平面角．在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，BE AB ==，sin 3BC BEC BE ∴∠==． ∴二面角B AP C --的大小为arcsin3． 解法二：（Ⅰ）AC BC = ，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥． AC BC C = ，PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂ 平面ABC ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，，． PB AB == ，2t ∴=，(002)P ，，．取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC = ，AB BP =，CE AP∴⊥，BE AP ⊥．ABE P xBEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，，(011)EC =-- ，，，(211)EB=--，，，cos EC EB BEC EC EB∴∠===． ∴二面角B AP C --的大小为． 17．（共13分）解：（Ⅰ）因为函数()()2g x f x =-为奇函数，所以，对任意的x ∈R ，()()g x g x -=-，即()2()2f x f x --=-+． 又32()3f x x ax bx c =+++所以32323232x ax bx c x ax bx c -+-+-=----+．所以22a a c c =-⎧⎨-=-+⎩，．解得02a c ==，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得3()32f x x bx =++． 所以2()33(0)f x xb b '=+≠．当0b <时，由()0f x '=得x =x 变化时，()f x '的变化情况如下表：所以，当0b <时，函数()f x 在(-∞上单调递增，在(上单调递减，在)+∞上单调递增．当0b >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增． 18．（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． （Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=． 19．（共14分）解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =． 设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，．由2234x yy x⎧+=⎨=⎩，得1x =±． 所以12AB x =-=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离． 所以h =122ABC S AB h == △． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=． 因为A B ，在椭圆上， 所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232m x x +=-，212344m x x -=，所以12AB x=-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即BC =所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 20．（共13分）解：（Ⅰ）由于21()(12)n n a n n a n λ+=+-= ，，，且11a =． 所以当21a =-时，得12λ-=-， 故3λ=．从而23(223)(1)3a =+-⨯-=-．（Ⅱ）数列{}n a 不可能为等差数列，证明如下： 由11a =，21()n n a n n a λ+=+-得22a λ=-，3(6)(2)a λλ=--，4(12)(6)(2)a λλλ=---．若存在λ，使{}n a 为等差数列，则3221a a a a -=-，即(5)(2)1λλλ--=-， 解得3λ=．于是2112a a λ-=-=-，43(11)(6)(2)24a a λλλ-=---=-． 这与{}n a 为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{}n a 都不可能是等差数列．（Ⅲ）记2(12)n b n n n λ=+-= ，，，根据题意可知，10b <且0n b ≠，即2λ>且2*()n n n λ≠+∈N ，这时总存在*0n ∈N ，满足：当0n n ≥时，0n b >；当01n n -≤时，0n b <．所以由1n n n a b a +=及110a =>可知，若0n 为偶数，则00n a <，从而当0n n >时，0n a <；若0n 为奇数，则00n a >，从而当0n n >时0n a >．因此“存在*m ∈N ，当n m >时总有0n a <”的充分必要条件是：0n 为偶数， 记02(12)n k k == ，，，则λ满足22221(2)20(21)210k k b k k b k k λλ-⎧=+->⎪⎨=-+--<⎪⎩． 故λ的取值范围是22*4242()k k k k k λ-<<+∈N ．。
2008-2011北京大学(北约)自主招生数学试题(全附答案)
形
＝
舞ＡＣＢＡＢＡ慧ＣＢ麓ＡＣ ＝／缓二Ｃ
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Ｄｋ
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．。．
ＢＡ 。，
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口２丁，６２丁，
．ａｌ一口２
ｂＩ—ｂ２
Ｂ Ａ ＋￡ Ａ Ｂ Ｃ ＋￡Ｃ ．，二 Ｃ
即证｛一（口Ｉ＋口２＋ｂＩ＋６２）一（口ｌ＋ｄ２＋口，＋
ａ 口ｌ ａ 口２
２丁＋口，
２丁一口＇
【百１８９】＋１＝１３分，而北方最高分的最大值为６＋ｎ
万方数据
１４
中’？善ｉ：．７（２００ｓ年第２期・高中版）
南方球队内部比赛总得分ＣⅢ２
，１２
・解题研究・
＝１３６，
一ｌ＝１１分＜１３分，
．・．
冠军在南方队
北方球队内部比赛总得分ｃ２＝２８，
北方胜南方得分＝３０—２８＝２， 北方球队最高得分＝７＋２＝９， 因为９×１７＝１５３＜２７０， 所以南方球队中至少有一支得分超过９分． 冠军在南方球队中．综上所述，冠军是一支南方 球队． 点评这道试题要注意突破口的选择，也需要 耐心和比较强的推理、分析能力． ５．（理科）０一ｘｙｚ坐标系内ｘｏｙ平面系内０≤，，≤ ２一石２绕），轴旋转一周构成一个不透光立体在点 （１，０，１）设置一光源，在ｘｏｙ平面内有一以原点为圆 心的圆ｃ被光照到的长度为２霄，求曲线Ｃ上未被照 到的长度．
ｃ：＋。＋ｎ（肛＋９）≥召，ｃ：≤Ａ，
即３ｎ２—２２ｎ一３６。＜０．
‘．・
’Ｂ＝９Ａ，
．・．ｃ：＋９＋ｎ（，ｌ＋９）≥Ｂ＝９Ａ１＞９ｃ：，
（１）
，’２
又总分为乞Ⅲ有１０Ｉ乞小钴厶（１）得厅＝６或８．
2008年北京大学自主招生试题
2008年北京大学自主招生试题本试卷共六大题，满分100分.解答应写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤.01如图1所示，小球在x=0点从静止出发开始运动.在区域，小球具有沿x轴正方向的匀加速度；在区域，小球具有沿x轴正方向的匀加速度.（1）试求小球到达点时的速度和到达时的速度；（2）计算小球从x=0到达点所经时间t.02气体分子间距较大，相互作用力较小，分子势能假设可以略去.在解答本题时，气体内能的变化只需考虑温度的变化即可.如图2所示的p-V图像中，a、b、c、d表示一定质量的气体状态变化过程中的四个状态.图中ab过程线平行于V轴，bc过程线平行于p轴，da过程线的反向延长线通过坐标原点O.试问ab过程、bc过程、cd过程和da过程中：（1）哪几个过程气体吸热？为什么？（2）哪几个过程气体放热？为什么？03由6个未必相同的电阻和电压U=10 V的直流电源构成的电路如图3所示，其中电源输出电流=3 A.若如图4所示，在电源右侧并联一个电阻（电阻值记为），则电源输出电流I=5 A.今将此电源与电阻串联后，改接在C、D两点右侧，如图5所示，试求电源输出电流.04如图6所示，两条电阻可以忽略不计的金属长导轨固定在一个水平面上，互相平行，相距l.另外两根长度都是l、质量都是m、电阻都是R的导体棒，可以在长导轨上无摩擦地左右滑动_在讨论的空间范围内，存在竖直向下（在图6中垂直纸面向里）的匀强磁场，磁感应强度大小为B.开始时，右侧的导体棒具有朝右的初速度2，左侧的导体棒具有朝左的初速度.（1）计算开始时流过两根导体棒的电流强度，以及各自所受安培力的大小和方向；（2）当两根导体棒中有一根先停止运动时，再计算此时各棒所受的安培力的大小和方向.05如图7所示，折射率的长方形透明板ABCD的四周是空气，AB边长，BC边长记为2x.点光源S位于透明板中分线MN上，S与AB边相距a，它朝着AB边对称地射出两条光线，光线的方位角已在图中示出.光线进入透明板后，只讨论经一次反射后从CD边出射的光线.（1）已知=45°时，两条出射光线相交MN上与CD边相距a的点，试求x值；（2）令从45°单调增大，当接近但未达到60°时，从CD边出射的两条光线能否相交于CD边的右侧？06水平光滑大桌面上有一质量为M的均匀圆环形细管道，管道内有两个质量同为m的小珠，位于管道直径AB的两端.开始时，环静止，两个小珠沿着朝右的切线方向具有相同的初速度，如图10所示.设系统处处无摩擦.（1）当两个小珠在管道内第一次相碰前瞬间，试求两个小珠之间的相对速度大小；（2）设碰撞是弹性的，试分析判定两小珠碰后能否在管道内返回到原来的A、B位置？（3）若能，再通过计算确定两小珠第一次返回到A、B时，相对桌面的速度方向（朝左还是朝右）和速度大小.。
2008年北京大学自主招生数学试题
2008年北京大学自主招生数学试题
来源： 作者： 发布时间：2008-08-13
1. 求证边长为1 的正5边形对角线长为（1+5^(1/2))/2
2. 六边形AB1CA1BC1中， AB1=B1C，CA1 =A1B，AC1 =BC1 ，角
A+角B+角C=角A1+角B1+角C1, 求证三角形ABC面积是六边形面积的一半
3. 已知a1+a2+a3=b1+b2+b3,
a1*a2+a2*a3+a1*a3=b1*b2+b2*b3+b1*b3 若已知
min{a1,a2,a3}<=min{b1,b2,b3} 求证：max{a1,a2,a3}
<=max{b1,b2,b3}
4. 南方队和北方队打循环赛，南方队比北方队多9支队伍，最后南方队总分是北方队的九倍（胜者得1分，负者得0分），求证最后得分最高的是一支南方的队。
5.（只理科生做）
在空间坐标系oxyz中，c是由平面图形y-2=x^2 绕 y 轴旋转后所得的不透光的立体图形。
现在（1，0，1）处有一点光源p。
圆a是以原点o为圆心的位于x-y平面上的圆，且圆上被光源照到的部分长为 2 TT （派），求圆上阴影部分长度。
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答案：1. 求证边长为1 的正5边形对角线长为（1+5^(1/2))/22. 六边形AB1CA1BC1中，AB1=B1C，CA1 =A1B，AC1 =BC1 ，角A+角B+角C=角A1+角B1+角C1, 求证三角形ABC面积是六边形面积的一半3. 已知a1+a2+a3=b1+b2+b3, a1*a2+a2*a3+a1*a3=b1*b2+b2*b3+b1*b3 若已知min{a1,a2,a3}<=min{b1,b2,b3} 求证：max{a1,a2,a3}<=max{b1,b2,b3}4. 南方队和北方队打循环赛，南方队比北方队多9支队伍，最后南方队总分是北方队的九倍（胜者得1分，负者得0分），求证最后得分最高的是一支南方的队。
5.（只理科生做）在空间坐标系oxyz中，c是由平面图形y-2=x^2 绕y 轴旋转后所得的不透光的立体图形。
现在（1，0，1）处有一点光源p。
圆a是以原点o为圆心的位于x-y平面上的圆，且圆上被光源照到的部分长为 2 TT （派），求圆上阴影部分长度。
2006年北京大学自主招生考试试题12月30日，北京大学在上海市进行了自主招生选拔测试。
其中的语文考题作文要求考生模仿贪官污吏写600-700字检讨，体现出一定的新意。
据了解，全国范围内，共有6000多名考生向北大递交了自主招生申请材料，其中1715名考生通过了初审。
北京大学自主招生测试题选登【语文】1.写四字短语，要求偏旁部首相同。
(10分)2.写十字句子，每个字都是zh,ch,sh,r。
(10分)3.写一段文言50字以内，至少3个“之”，且用法不同。
(10分)4.请随便默写一首五言绝句，再将每一句诗增加两个字，使之成为七言绝句。
(30分)5.作文：模仿贪官污吏写600-700字检讨，要体现出其中的华而不实、雕琢堆砌、避重就轻和企图敷衍了事。
(40分)【英语】20道选择(20分)2篇阅读，共10道题(40分)(考生介绍，两道题的大意为：1、比较麦当劳和高档餐厅的不同，…我‟过生日时，妻子要去正式的餐厅，而…我‟更钟情麦当劳；2、二战中，有7名英勇的黑人士兵，立下赫赫战功，但没有得到相应的最高荣誉。
多年抗争后，在克林顿执政期间，仅存的一名老兵终于得到了最高荣誉。
)4题英译中(20分)(考生介绍，其中一道题的大意为：我和妻子走在海滩边，看着女儿在沙滩上、海里嬉戏，棕色皮肤闪耀着光芒，忽然间我们听到背后传来一名种族主义者的咒骂声，这对于我就像战争上的炮声。
)4题中译英(20分)(考生介绍，其中几道题的大意为：警察一直在搜寻一个小偷，最后在他叔叔家里发现；火车都是要按时出发和达到，否则整个铁路服务就会陷入混乱。
)【历史】1.名词解释(10×6分)布拉格之春、徐光启、宅地法、三反五反、二二六兵变、匈奴、甲骨文、新青年、东印度公司……2.材料分析题：马克思说过，“如果…偶然性‟完全不起作用的话……对发展的加速或延缓起决定性作用的偶然性，包括站在运动最前面的那些人物的性格这种…偶然情况‟。
”请你用所知道的历史知识加以解释和评价，特别是划线句(最后一句)(40分)【政治】1.“政通人和”需要处理好哪些关系？(10分)需要遵守什么基本原则？为什么？(20分)2.某地政府低价买进村民的土地，圈起，挂上只要有钱就能在里面办厂建房的牌子，创造了巨大的“经济效益”，被媒体暴光后被相关部门处罚。
请问什么是经济效益？(10分)为什么创造巨大“经济效益”的政府行为不被认同？(10分)考生回忆：2008年12月30日北大自主招生试题今天上午8：30-12：30 语文数学英语 14：00-16：00 物理化学语文：文言文一篇30分，现代文阅读30分（包括一篇短的散文写作10分），作文40分数学：4个大题+1个附加题英语：20个语法+2篇阅读+3个英译中+4个中译英物理：6个大题化学：9个大题部分题目：1.语文文言文选自《庄子》的一篇，要求断句，解释词语，并对文章进行了解后回答问题现代文阅读中有一个题目要求你写出“山”与“水”在论语中的典故，并就你是喜欢“山”还是喜欢“水”写一篇100字左右的散文。
2.数学求边长正五边形的某条对角线长度（第一题）3.英语两篇阅读，语法有不少的短语辨析，阅读其中一篇是介绍新星和超新星，翻译的话难度递增，但都很简单4.物理第一题是非常简单的运动学，第二题热力学定律给出PV图像判断吸热和放热，第三题是等效电路计算，第四题是磁场中的受力问题，第五题是光学的反射，第六题与能量，动量有关5.化学请说明制取NO2为什么用Pb(NO3)2，并画出实验装置图我们的考试是在一间大的教室，文理科的学生都在一起考试，试卷统一收齐后寄至北京统一批改2009高校自主招生语文、英语作文题点拨时间： 2008-12-24 08:57:40 作者：来源：新闻晨报名校自主招生测试举行在即。
从上几年测试科目内容来看，自主招生测试中的英语、语文作文是考生的一大软肋，也是很重要的一项测试内容。
为此，记者特地找来几位沪上自主招生辅导专家，分析2009年自主招生作文题，为考生进行考前特别点拨。
[英语作文点拨]准备校园现象阐释-指导名师：上外附中英语高级教师胡迦针对2009年名校自主招生测试，上外附中英语高级教师胡迦为考生出了两道作文题。
其中一题是书信形式。
胡老师指出，上海交通大学在冬令营测试中，曾经有过三次以英语书信的形式出作文题，因此书信类型的题目考生必须加以重视。
胡迦老师同时建议考生，一旦遇到书信类作文，要注意书信的规范格式。
英语作文范文(一)：你想报考清华大学，而你的父母却希望你报考本地的名牌大学，请以化名李华的名义写一封信说服父母同意你报考清华大学。
Jan,1st,2009 Dear parents,I know it‟s abit hard/difficult for you to accept my choice to apply to TsinghuaUniversity (for further study). You have beent aking good care of me during the past 18 years and in your eyes I‟m a good boy who is always willing to follow your advice.But this time I do hope that you can allow me to make my own decision.Tsinghua University, one of the top universities worldwide /regarded as the kingdom of academy, has appealed to numerous excellent applicants. Not only do they admire these distinguished scholars but also they can share the advanced teaching facilities and reference resources. In addition,graduates from Tsinghua are bound to have more chances to find rewarding jobs. In this competitive society ，I can prove myself an outstanding talent and make great contributions to the development of our nation.I know you are worried that I can‟t look after myself if I go to Tsinghua.However,this will enable me to learn how to live independently and stand on my own feet. I really hope you can understand me and support my decision, which willbenefit myfuture.Yours,HuaLi胡迦老师出的第二道题目是对“公布学生成绩”这一校园现象的阐释，胡老师表示，出这道题目是考虑到该现象与学生的读书生活、自我成长意识息息相关，因此有必要让学生了解并进行适当准备。
英语作文范文(二)：有些重点中学为了在自主招生或直推中以示公正，往往会公布学生的成绩或排名，请就此现象谈谈你的看法。
With the adoption of the quality-education policy, many advanced teaching method shave been introduced to China, Meanwhile, many middle schools still find it a good and fair way to publicize to scores and ranks to introduce good candidates to take independent tests by key universities.Competition is part of our modern life.If I know the exact position where I am, I will spare no effort to catch up with others. Besides, we will face the pressure that making scores publicized appliestous.We,Senior Three students,have no choice but to adapt ourselves to all the pressure, which helps us stimulate passion of study.Though no one is to blame except myself ifthe ranks are made known, test scores are private. In many experts‟ eyes,individual student should have his own right of privacy.It‟s time for education authority to create a better environment to promote quality-education,where every student can really improve himself and develop full personality.[语文作文点拨]改革开放30年将成热点指导名师：语文高级教师周萍沉重的转身没有人能够体会到母亲在分娩时的痛苦，除非亲身体验；没有人能感受到社会在前行时的步履维艰，除非亲身参与；也没有人能真正了解一个国家在变革时所产生的紧迫感和使命感，除非自己就是这个国家的公民。