2017年广州市一模理科数学试题及标准答案

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自 己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应 位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）复数()221i 1i+++的共轭复数是 （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- （2）若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤，则（A ）M N = （B ）M N ⊆ （C ）N M ⊆ （D ）M N =∅I （3）已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列,则3546a a a a ++的值是（A 51- （B 51+ （C ）35- （D 35+ （4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别 是双曲线C 的左，右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF =, 则2PF 等于 （A ）1 （B ）13 （C ）4或10 （D ）1或13（6）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为83, 则该几何体的俯视图可以是（7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为（A）12（B）1532（C）1132（D）516（8）已知1F,2F分别是椭圆C()2222:10x ya ba b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C上存在点P使12F PF∠为钝角, 则椭圆C的离心率的取值范围是（A）22⎛⎫⎪⎪⎝⎭（B）1,12⎛⎫⎪⎝⎭（C）20,2⎛⎝⎭（D）10,2⎛⎫⎪⎝⎭（9）已知:0,1xp x e ax∃>-<成立, :q函数()()1xf x a=--是减函数, 则p是q的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC为鳖臑, PA⊥平面ABC, 2PA AB==，4AC=, 三棱锥-P ABC的四个顶点都在球O的球面上, 则球O的表面积为（A）8π（B）12π（C）20π（D）24π（11）若直线1y=与函数()2sin2f x x=的图象相交于点()11,P x y，()22,Q x y，且12x x-=23π，则线段PQ与函数()f x的图象所围成的图形面积是（A）233π（B）33π+（C）2323π（D）323π+（12）已知函数()32331248f x x x x=-++, 则201612017kkf=⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（A）0（B）504（C）1008（D）2016第Ⅱ卷P CBA本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本小题共4题，每小题5分。

（13）已知1,==a b a ()⊥-a b ，则向量a 与向量b 的夹角是 . （14）()3nx -的展开式中各项系数和为64，则3x 的系数为 .（用数字填写答案）（15）已知函数()122,0,1log ,0,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩ 若()2≥f a , 则实数a 的取值范围是 .（16）设n S 为数列{}n a 的前n 项和, 已知12a =, 对任意,p q ∈N *, 都有p q p q a a a +=+， 则()60(1n S f n n n +=∈+N *)的最小值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）如图, 在△ABC 中, 点P 在BC 边上, 60,2,4PAC PC AP AC ︒∠==+=. (Ⅰ) 求ACP ∠; (Ⅱ) 若△APB, 求sin ∠BAP . （18）（本小题满分12分）近年来，我国电子商务蓬勃发展. 2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516 亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统. 从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为 0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次.(Ⅰ) 根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对 商品满意与对服务满意之间有关系”？(Ⅱ) 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满 意的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望EX .附：2K ()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）EA E D CA（19）（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC , 点E 是BC 边的 中点, 将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ,AC ,DE , 得到如 图2所示的几何体.(Ⅰ) 求证：AB ⊥平面ADC ；(Ⅱ) 若1AD =，二面角C AB D --的平面角的正切值为6，求二面角B AD E -- 的余弦值.图1 图2（20）（本小题满分12分）过点(),2P a -作抛物线2:4C x y =的两条切线, 切点分别为()11,A x y , ()22,B x y .(Ⅰ) 证明: 1212x x y y +为定值;(Ⅱ) 记△PAB 的外接圆的圆心为点M , 点F 是抛物线C 的焦点, 对任意实数a , 试 判断以PM 为直径的圆是否恒过点F ? 并说明理由.（21）（本小题满分12分） 已知函数()()ln 0af x x a x=+>. (Ⅰ) 若函数()f x 有零点, 求实数a 的取值范围; (Ⅱ) 证明:当a ≥2e ，1>b 时, ()1ln >f b b.请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t 为参数). 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC (Ⅰ) 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ) 求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()12=+-+-f x x a x a .(Ⅰ) 若()13<f ，求实数a 的取值范围; (Ⅱ) 若1,≥∈a x R , 求证：()2≥f x .2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）P CBA理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题（1）B （2）C （3）A （4）B （5）D （6）D（7）C （8）A （9）B （10）C （11）A （12）B 二、填空题 （13）4π （14）540- （15）[)1,8,2U ⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦（16）292 三、解答题 (17) 解:(Ⅰ) 在△APC 中, 因为60,2,4PAC PC AP AC ︒∠==+=,由余弦定理得2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅⋅∠, ………………………1分 所以()()2222424cos60AP AP AP AP ︒=+--⋅⋅-⋅,整理得2440AP AP -+=, ………………………2分 解得2AP =. ………………………3分所以2AC =. ………………………4分 所以△APC 是等边三角形. ………………………5分 所以60.ACP ︒∠=………………………6分(Ⅱ) 法1: 由于APB ∠是△APC 的外角, 所以120APB ︒∠=. ………………………7分 因为△APB的面积是2,所以1sin 22⋅⋅⋅∠=AP PB APB .…………………8分 所以3PB =. ………………………………………………………………………9分 在△APB 中, 2222cos AB AP PB AP PB APB =+-⋅⋅⋅∠2223223cos120︒=+-⨯⨯⨯D P CBA19=,所以AB =………………………………………………………………………10分 在△APB 中, 由正弦定理得sin sin =∠∠AB PBAPB BAP, ………………………11分 所以sin ∠BAP ︒=38=.………………………………………………12分法2: 作AD BC ⊥, 垂足为D ,因为△APC 是边长为2的等边三角形,所以1,30PD AD PAD ︒==∠=. ……………7分因为△APB所以12AD PB ⋅⋅=. ………………………8分所以3PB =. ………………………………………………………………………9分所以4BD =. 在Rt △ADB 中, AB = ……………………………………10分所以sin BD BAD AB ∠==, cos AD BAD AB ∠==. 所以()sin sin 30BAP BAD ︒∠=∠-sin cos30cos sin30BAD BAD ︒︒=∠-∠………………………11分122==……………………………………………………………12分（18）解： (Ⅰ) 22⨯列联表：………………………………………………………………………2分()222008010407011.111,1505012080K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ………………………………………3分 因为11.111 6.635>，所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”. …………4分 (Ⅱ) 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3． …………………………………………………………6分()()321332723540;1;512555125P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()212323362= 55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3332383=55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……………10分 X 的分布列为：………………………………11分所以2754368601231251251251255=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . ………………………………12分 或者:由于23,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，则26355=⨯=EX . ………………………………12分 (19) 解：(Ⅰ) 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =， 又BD ⊥DC ，所以DC ⊥平面ABD . …………………………………1分 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB . …………………………………2分 又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD D =, …………………………………3分所以AB ⊥平面ADC . …………………………………………………………………4分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知AB ⊥平面ADC ，所以二面角C AB D --的平面角为∠CAD . ……5分又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AD .依题意6tan ==∠ADCDCAD . ……………………………………………………6分 因为1AD =，所以6=CD .设()0AB x x =>，则12+=x BD .依题意△ABD ～△BDC ，所以AB CDAD BD=，即1612+=x x . ………………7分解得x =3AB BD BC ===. ………………8分法1：如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -，则)0,0,0(D ,)0,0,3(B ,)0,6,0(C ，G F EDCBAE ⎫⎪⎪⎝⎭，A ⎝⎭，所以,022DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，33DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .由（Ⅰ）知平面BAD 的法向量)0,1,0(=n .……………………………………………9分 设平面ADE 的法向量),,(z y x =由0,0,m DE m DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r得0,220.33x y x z +=⎪+=⎩令6=x，得y z ==所以)3,3,6(--=m . ………………………………………………10分 所以21||||,cos -=⋅>=<m n . ………………………………………………11分由图可知二面角B AD E --的平面角为锐角， 所以二面角B AD E --的余弦值为12. ……………………………………………12分 法2 ：因为DC ⊥平面ABD ， 过点E 作EF //DC 交BD 于F ， 则EF ⊥平面ABD . 因为AD ⊂平面ABD ，所以EF ⊥AD . ………………………………………………………………… 9分 过点F 作FG ⊥AD 于G ，连接GE ，所以AD ⊥平面EFG ，因此AD ⊥GE .所以二面角B AD E --的平面角为EGF ∠. ………………………………………10分由平面几何知识求得2621==CD EF ，2221==AB FG ，所以EG ==所以cos ∠EGF =21=EG FG . ………………………………………………11分 所以二面角B AD E --的余弦值为12. ………………………………………………12分（20）解：(Ⅰ) 法1:由24x y =,得214y x =,所以12y x '=. 所以直线PA 的斜率为112x .因为点()11,A x y 和()22,B x y 在抛物线C 上, 所以21114y x =,22214y x =. 所以直线PA 的方程为()21111142y x x x x -=-. …………………………………1分 因为点(),2P a -在直线PA 上, 所以()211111242x x a x --=-,即211280x ax --=. ………………………………2分 同理, 222280x ax --=. …………………………………………3分 所以12,x x 是方程2280x ax --=的两个根.所以128x x =-. …………………………………………4分 又()22212121211144416y y x x x x =⋅==, …………………………………………5分 所以12124x x y y +=-为定值. …………………………………………6分 法2:设过点(),2P a -且与抛物线C 相切的切线方程为()2y k x a +=-, ………………1分由()22,4,y k x a x y ⎧+=-⎨=⎩消去y 得24480x kx ka -++=,由()2164480k ak ∆=-+=, 化简得220k ak --=. ……………………………2分所以122k k =-. …………………………………………………………………3分 由24x y =,得214y x =,所以12y x '=. 所以直线PA 的斜率为1112k x =,直线PB 的斜率为2212k x =. 所以12124x x =-, 即128x x =-. …………………………………………4分 又()22212121211144416y y x x x x =⋅==, …………………………………………5分 所以12124x x y y +=-为定值. …………………………………………6分 (Ⅱ) 法1：直线PA 的垂直平分线方程为1112222y x a y x x -+⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, ……………7分 由于21114y x =,21182x ax -=, 所以直线PA 的垂直平分线方程为111242ax x a y x x +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. ①……………8分同理直线PB 的垂直平分线方程为222242ax x a y x x +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. ② ……………9分 由①②解得32x a =, 212a y =+,所以点23,122a M a ⎛⎫+⎪⎝⎭. ……………………………………………………10分 抛物线C 的焦点为()0,1,F 则()23,,,3.22a MF a PF a ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭u u u r u u ur 由于2233022a a MF PF ⋅=-=u u u r u u u r ，……………………………………………………11分 所以.MF PF ⊥u u u r u u u r所以以PM 为直径的圆恒过点.F …………………………………………………12分另法: 以PM 为直径的圆的方程为()()23210.22a x a x a y y ⎛⎫⎛⎫--++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……11分把点()0,1F 代入上方程,知点F 的坐标是方程的解.所以以PM 为直径的圆恒过点.F …………………………………………………12分 法2：设点M 的坐标为(),m n ，则△PAB 的外接圆方程为()()()()22222x m y n m a n -+-=-++， 由于点()()1122,,,A x y B x y 在该圆上， 则()()()()2222112x m y n m a n -+-=-++， ()()()()2222222x m y n m a n -+-=-++.两式相减得()()()()12121212220x x x x m y y y y n -+-+-+-=, ① …………7分 由(Ⅰ)知2212121122112,8,,44x x a x x y x y x +==-==,代入上式得 ()()31244420x x a m a a an --++-=, ……………………………………8分当12x x ≠时, 得38420a m a an -+-=, ②假设以PM 为直径的圆恒过点F ,则,MF PF ⊥u u u r u u u r即()(),1,30m n a ----=g ,得()310ma n --=, ③ ……………………………………………………9分 由②③解得231,122m a n a ==+, …………………………………………………10分 所以点231,122M a a ⎛⎫+⎪⎝⎭. ……………………………………………………11分当12x x =时, 则0a =,点()0,1M .所以以PM 为直径的圆恒过点.F …………………………………………………12分 （21）解:(Ⅰ)法1: 函数()ln af x x x =+的定义域为()0,+∞. 由()ln a f x x x =+, 得()221a x af x x x x-'=-=. ……………………………………1分因为0a >,则()0,x a ∈时, ()0f x '<;(),x a ∈+∞时,()0f x '>.所以函数()f x 在()0,a 上单调递减, 在(),a +∞上单调递增. ………………………2分 当x a =时, ()min ln 1f x a =+⎡⎤⎣⎦. …………………………………………………3分当ln 10+≤a , 即0<≤a 1e时, 又()1ln10=+=>f a a , 则函数()f x 有零点. …4分 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. ……………………………………………………5分法2：函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞. 由()ln 0af x x x=+=, 得ln a x x =-. …………………………………………………1分 令()ln g x x x =-，则()()ln 1g x x '=-+.当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>; 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0g x '<.所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ……………………2分故1x e =时, 函数()g x 取得最大值1111ln g e e e e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. …………………………3分因而函数()ln af x x x=+有零点, 则10a e <≤. ………………………………………4分所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. …………………………………………………5分(Ⅱ) 令()ln h x x x a =+, 则()ln 1h x x '=+. 当10x e <<时, ()0f x '<;当1x e >时,()0f x '>.所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当1x e =时, ()min 1h x a e =-+⎡⎤⎣⎦. ………………………………………6分 于是,当a ≥2e 时, ()11.h x a e e ≥-+≥① ………………………………………7分令()x x xe ϕ-=, 则()()1x x x x e xe e x ϕ---'=-=-. 当01x <<时, ()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. 所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增, 在()1,+∞上单调递减.当1x =时, ()max1x e ϕ=⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………………8分于是, 当0x >时, ()1.x e ϕ≤② ………………………………………………9分显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当0,x >2a e≥时, ln -+>x x x a xe . ……………………………………………10分 因为1,>b 所以ln 0>b .所以()ln ln ln ln ln -⋅+>⋅b b b a b e . …………………………………………11分 所以()1ln ln ln +>a b b b , 即()1ln >f b b. ………………………………………12分 （22）解： (Ⅰ) 由3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t消去t 得40+-=x y , ………………………………………1分所以直线l 的普通方程为40+-=x y . ………………………………………2分由4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ, ……3分得22cos 2sin =+ρρθρθ. ………………………………………4分 将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入上式,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . ………5分 (Ⅱ) 法1:设曲线C上的点为()1,1++ααP , ………………………………6分则点P 到直线l的距离为=d 7分==………………………………………8分当sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时, max =d , ………………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为10分 法2: 设与直线l 平行的直线为:0l x y b '++=, ………………………………………6分当直线l '与圆C相切时,= ………………………………………7分解得0b =或4b =-(舍去),所以直线l '的方程为0x y +=. ………………………………………8分 所以直线l 与直线l'的距离为d ==. …………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为. ………………………………10分 （23）解：(Ⅰ) 因为()13<f ，所以123+-<a a . ………………………………………1分① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，解得23>-a ，所以203-<≤a ; ……………2分 ② 当102<<a 时，得()123+-<a a ，解得2>-a ，所以102<<a ; ……………3分③ 当12a ≥时，得()123--<a a ，解得43<a ，所以1423a ≤<; ……………4分综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………5分 (Ⅱ) 因为1,≥∈a x R ,所以()()()1212=+-+-≥+---f x x a x a x a x a ……………………………7分31=-a ……………………………………………………………………8分31=-a ……………………………………………………………………9分2≥. ……………………………………………………………………10分。