8数上—11.3多边形的内角和

三角形 3
四边形 4 五边形 5 六边形 6 七边形 7
1
2 3 4 5
180° 360° 540° 720° 900°
n边形
…
n
…
n-2
…
…
(n－2) ·180°(n-2) ·180°
…
…
最终结论
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
总结： 1.n边形内角和（n－2)×180°(n≥3)
2.已知内角和求几边形:内角和÷180+2
由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所 转的各个角的和等于一个周角。
即：多边形的外角和等于360º
多边形的外角和
多边形 三角形
2
图形
1 3
多边形的外角和
3×180 -1×180 =360 4×180 -2×180 =360 5×180 -3×180 =360
6 5
o
o
o
1
四边形
五边形 六边形 n边形
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身 体转过的角是哪个角？在图中标出它们. (2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ (3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5 的大小吗？你是怎样得到的？
1 A 5 E 4
B 2
C
3
D
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回 到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和， 就是多边形的外角和。
三、随堂练习
1、求下列图形中x的值：
1400
1500 1200
2x0
x0
(1)
1200 80
x
0
x0
(2)
0
E
D
x
0
1500
750
(3)
x
0
600
1350
C
A
(4)
B
AB∥CD
四、课堂小结
2、n边形共有对角线
n（n - 3) 2
1、n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥
条(n≥3
3、n边形的内角和为(n－2) ×180°(n≥3) 4、任何多边形的外角和为360° 5. 已知内角和求几边形:内角和÷180+2 6、正n边形每个内角的度数是 7、正n边形每个外角的度数是
2 3
4
o
o
o
2 3
1 5 4
1
o
o
o
2 3 4
6×180 -4×180 =360
o o
o
o
o o
n×180 -(n-2)×180 =360
从上表中得到了什么结论？
结论：任何多边形的外角和为360°
练一练
练习1： 已知一个多边形，它的内角和等 于外角和的2倍，求这个多边形的边数。 解： 设多边形的边数为n ∵它的内角和等于 (n-2)•180°， 多边形外角和等于360º ， ∴ (n-2)•180°=2× 360º 。 解得: n=6
所以: B D 3600 (A C) 1800
这就是说，如果四边形的一组对角互补， 那么另一组对角也互补。
（3）多边形的外角和
A
B 2 7 1
多边形外角：多边形的边与它的邻 边的延长线组成的角。
5
6 10 8 3 D
C
9 4
外角
问题
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持 跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是 小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑， 按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并 思考如下几个问题:
牛刀小试： （1）八边形的内角和等于
1080° 。
（2）已知一个多边形的内角和等于2340°， 它的边数是 15 。 （3）小明在计算多边形的内角和时求得的 度数是1000°，他的答案正确吗？为 什么？
（4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4， 那么这个四边形中最大角的度是 144° 。 （5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角 都是n°，则n= 。 135° （6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则 这个六边形的每个内角是 。 120° （7）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B 与∠D有什么关系呢？为什么？
3.n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条 (n≥3)
n(n 3) 4.n边形共有对角线 2
条(n≥3)
……..
三角形 四边形 五边形 六边形
八边形
对角线 是解决多边形问题的常用辅助线
多边形问题 （未知） 转化三角形问题
（已知）
（2）正多边形的内角
那么正五边形、正六边形、正八边形、正n 边形的每个内角分别是多少度呢？
（4）正多边形的外角
回想正多边形的性质，你知道正多边形 的每个内角是多少度吗？每个外角呢？
• 每个内角的度数是
n 2 180
n


360 • 每个外角的度数是 n
典型例题
例2：一个正多边形的一个内角为150°，
你知道它是几边形吗？
解：设 这个多边形为n边形，根据题意得： （n－2）×180＝1５0n n＝12 答：这个多边形是12边形。
另解：由于多边形外角和等于360°
而这个正多边形的每个外角都等于
180°－150°＝30°，
所以这个正 多边形的边数等于
360°÷30°＝12。
例3、已知两个多边形的内角和为 1440°，且两 多边形的边数之比为1︰3，求它们的边数分别 是多少？
解:设它们的边数分别是x,y.由题意得： 180+（ y -2）· 180=1440 （x-2）· x : y=1 : 3 解之得 x =3 y =9 答：它们的边数分别是3和9。
２、在多边形中 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 叫做多边形的 _________________________ 对角线。
0 180 ３、三角形的内角和是____．
二、解疑合探、探寻新知
（一）多边形的内角和
长方形的内角和是 多少？为什么？
如果是任意 四边形呢？
A D B C
（1）四边形ABCD的内角 和是多少？
∴这个多边形的边数为6。
练一练
72° 练习2：正五边形的每一个外角等于____ ， 108° 每一个内角等于_____ 。
解：设正五边形的每一个外角度数为x，由
多边形的外角和等于360度可得：
5X=360° X=72° 所以每一个内角度数为108 °
练一练
练习3：一个正多边形的每个内角比相邻 外角大36°求这个多边形的边数。 解：设一个外角为x°， 则内角为（x＋36）° 根据题意得： x+x+36＝180 x＝72 360÷72＝5 答：这个正多边形为正五边形。
人教版八年级数学上册
11.3
多边形及其内角和
学习目标
1.学会用三角形内角和定理证明多边形的内角 和与外角和； 2.会利用多边形的内角和与外角和来解决相关 问题。
一、设疑自探、回顾旧知
1、在平面内， 由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形 叫做多边 __________________________ 形。
……
正n边形
（5-2）×180°（6-2）×180° 5 6 （8-2）×180° 8 （n-2）×180° n
=108°ຫໍສະໝຸດ =120°=135°
典型例题
例1、如果一个四边形的一组对角互补， 那么另一组对角有什么关系？ C 解：如图四边形ABCD中， D
A C 180
因为：
0
A
0 0
B
A B C D (4 2) 180 360
（2）你是怎样求的？
观察上图：可以看出四边形从一个顶点出发， 1 条对角线，它们将四边形分成_____ 可以做___ 2 个三角形，所以四边形的内角和为_____ 360° 。
那么如何求此五边形的内角和呢?
说说你的探索思路？
3× 180°
=5400
探索过程一掠:
三角形 四边形 A D E B B CB C 2× 180° = 3600 C D 3× 180° =5400 五边形 A
A
1800
那么六边形、七边形的内角和呢？
六边形 七边形
4× 180° =7200
5× 180° =9000
一般地，从n边形的一个顶点出发，可 以作(n-3)条对角线它们将n边形分为 (n-2)个三角形
多边形
边 数
分成三 角形的 个数
图形
内角和
计算规律 1 2 3 4 5
×180° ×180° ×180° ×180° ×180°