高中数学跟踪检测-平面向量的概念及线性运算含解析

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2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)

3若a，b满足|a| |b|且a与b同向，贝y a b；
4若两个向量相等，则它们的起点和终点分另重合；
5若a//b,b//c，则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中，正确的是（）
a.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E，设AB占，AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD；
…uuumu，亠
(2)若OE OA，求实数的值.
26.如图，已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及；
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
3
|CB|,
若
AB BC，贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr

2025年高考数学一轮复习-6.1-平面向量的概念及其线性运算【课件】

的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由|a+b|=|a|-|b|及向量的减法法则,可得向量a与b平行且反向,
由a=λb可得向量a,b平行,因此“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的必要不充分条件.
5
5
8
4.(必修第二册P15练习T2·
度属中、低档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.平面向量的有关概念
名称
向量
零向量
单位向量
定义
备注
既有大小又有方向的量;
向量由方向和长度确定,
向量的大小称为向量的长度(模)
不受位置影响
长度为___的向量
0
任意
记作0,其方向是______的
1个
长度等于_____单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量
1或3
3.向量∥,其中是单位向量且 =2 ,则 =________.
【解析】因为∥,其中是单位向量且 =2 ,则=-,
①若=2,则 = − = −2 = =1;
②若=-2,则 = + 2 = 3 =3 =3,因此, =1或3.
含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
预测
高考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考查向
量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填空题的
形式考查.
预计2025年高考仍会考查线性运算,题型以选择题、填空题为主,难

第1节平面向量的概念及线性运算--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第一节平面向量的概念及线性运算课标解读考向预测1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.预计2025年高考对本节内容的考查会以线性运算、共线向量定理为主，主要以选择题、填空题的形式出现，难度属中、低档.必备知识——强基础1．向量的有关概念名称定义表示向量在平面中，既有大小又有方向的量用a ，b ，c ，…或AB →，BC →，…表示向量的模向量a 的大小，也就是表示向量a 的有向线段AB →的长度(或称模)|a |或|AB →|零向量长度为0的向量用0表示单位向量长度等于1个单位的向量用e 表示，|e |＝1平行向量方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)a ∥b 相等向量长度相等且方向相同的向量a ＝b相反向量长度相等，方向相反的向量向量a 的相反向量是－a说明：零向量的方向是不确定的、任意的．规定：零向量与任一向量平行．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝01b ＋a ；结合律：(a ＋b)＋c ＝02a＋(b ＋c )减法a －b ＝03a ＋(－b )数乘|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向04相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向05相反；当λ＝0时，λa ＝060λ(μa )＝07(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝08λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝09λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .提醒：当a ≠0时，定理中的实数λ才唯一．1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．()(2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .()(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是()A ．EF →＝CD →B ．AB →与DE →共线C ．BD →与CD →是相反向量D ．AE →＝12|AC →|答案D解析AE →＝12AC →，故D 错误．故选D.(2)(人教B 必修第二册6.2.1例3改编)设向量a ，b 不共线，向量λa ＋b 与a ＋2b 共线，则实数λ＝________．答案12解析∵λa ＋b 与a ＋2b 共线，∴存在实数μ使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )＝μ，＝2μ，＝12，＝12.(3)(人教A 必修第二册6.2例6改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)答案b －a －a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .(4)(人教A 必修第二册习题6.2T10改编)若a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为________，最小值为________．答案82解析|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8，当且仅当a ，b 同向时取等号，所以|a ＋b |max ＝8.又|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|3－5|＝2，当且仅当a ，b 反向时取等号，所以|a ＋b |min ＝2.考点探究——提素养考点一平面向量的有关概念例1(多选)下列命题中的真命题是()A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b 答案BC解析A 是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B 是真命题，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →；C 是真命题，∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ；D 是假命题，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC.【通性通法】平面向量有关概念的四个关注点关注点一非零向量的平行具有传递性关注点二共线向量即为平行向量，它们均与起点无关关注点三向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量关注点四a|a |是与a 同方向的单位向量【巩固迁移】1．(多选)下列命题正确的是()A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案BC解析零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 反向共线时才成立，故C 正确；若b ＝0，则不共线的a ，c 也有a ∥0，c ∥0，故D 错误．考点二平面向量的线性运算(多考向探究)考向1平面向量加、减运算的几何意义例2设P 为▱ABCD 对角线的交点，O 为平面ABCD 内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝()A ．OP →B ．2OP →C ．3OP →D ．4OP→答案D解析由题意知，P 为AC ，BD 的中点，所以在△OAC 中，OP →＝12(OA →＋OC →)，即OA →＋OC →＝2OP →，在△OBD 中，OP →＝12(OB →＋OD →)，即OB →＋OD →＝2OP →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OP →.故选D.【通性通法】1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2．三种运算法则的要点(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．【巩固迁移】2．(2024·山东青岛二中月考)若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．答案23解析因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝23.考向2平面向量的线性运算例3(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →＝()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析CD →＝23CA →＋13CB →，即CB →＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.【通性通法】平面向量的线性运算的求解策略【巩固迁移】3．(2023·江苏南通二模)在平行四边形ABCD 中，BE →＝12BC →，AF →＝13AE →.若AB →＝mDF →＋nAE →，则m ＋n ＝()A ．12B ．34C ．56D ．43答案D解析由题意可得AB →＝AE →＋EB →＝AE →＋12DA →＝AE →＋12(DF →＋FA →)＝AE→＋12(DF →－13AE →)＝12DF →＋56AE →，所以m ＝12，n ＝56，所以m ＋n ＝43.故选D.考点三向量共线定理的应用(多考向探究)考向1判定向量共线、三点共线例4设两个非零向量a 与b 不共线．若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．【通性通法】共线向量定理的三个应用【巩固迁移】4．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在()A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案B解析由CB →＝λPA →＋PB →，得CB →－PB →＝λPA →，CP →＝λPA →，则CP →，PA →为共线向量，又CP →，PA →有一个公共点P ，所以C ，P ，A 三点共线，即点P 在AC 边所在直线上．故选B.考向2利用向量共线定理求参数例5若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k ＝()A ．－1B ．1C ．32D ．2答案B解析由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，所以存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.【通性通法】一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．【巩固迁移】5．如图，在△ABC 中，AD →＝λDC →，E 是BD 上一点，若AE →＝1116→＋14AC →，则实数λ的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案B解析由AD →＝λDC →，得AC →＝λ＋1λAD →，因为AE →＝1116AB →＋14AC →，所以AE →＝1116AB →＋14·λ＋1λAD →，因为E ，B ，D 三点共线，所以1116＋λ＋14λ＝1，解得λ＝4.故选B.课时作业一、单项选择题1．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．故选B.2．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是()A ．a ∥bB ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案B解析由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b成立，所以A 正确；因为a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；因为|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．故选B.3．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－3a ＋6b ，CD →＝4a －b ，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案A解析由题意得BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ＝AB →，又BD →，AB →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．故选A.4．(2024·安徽铜陵三模)在平行四边形ABCD 中，M 是CD 边上的中点，则2AM →＝()A ．AC →－2AB →B ．AC →＋2AB →C ．2AC →－AB →D ．2AC →＋AB→答案C解析因为M 是平行四边形ABCD 的CD 边上的中点，所以CM →＝－12AB →，所以AM →＝AC →＋CM→＝AC →－12AB →，所以2AM →＝2AC →－AB →.故选C.5．已知向量a 和b 不共线，向量AB →＝a ＋m b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，若A ，B ，D 三点共线，则m ＝()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案A解析因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得BD →＝λAB →，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ，所以2a ＋6b ＝λa ＋mλb ，＝λ，＝mλ，解得m ＝3.故选A.6．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A ．58B ．14C ．1D ．516答案A解析DE →＝AE →－AD →＝14AC →－AD →＝14(AB →＋AD →)－AD →＝14AB →－34AD →，∴λ＝14，μ＝－34.∴λ2＋μ2＝116＋916＝58.故选A.7．正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF →＝()A ．13AB →＋23AD→B ．34AB →＋14AD→C ．14AB →＋34AD→D ．13AD →＋AB→答案C解析如图，∵在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，∴DE ＝13AB ，且DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，可得EF AF ＝13，可得AF ＝34AE ，∴AF →＝34AE →＝34(AD→＋DE →)＋13AB ＝14AB →＋34AD →.故选C.8．(2023·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为()A ．3B ．23C ．33D ．43答案B解析设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →.由AB →＋PB →＋PC →＝0，得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.故选B.二、多项选择题9．下列式子中，结果为零向量的是()A ．AB →＋BC →＋CA →B ．AB →＋MB →＋BO →＋OM →C ．OA →＋OB →＋BO →＋CO →D ．AB →－AC →＋BD →－CD →答案AD解析利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量．故选AD.10．点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是()A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案AD解析因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，所以|CB →|－|(PB→－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．故选AD.11．(2023·安徽合肥期末)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下列结论中正确的是()A ．AB →－BC →＝CA →B ．AG →＝13(AB →＋AC →)C ．AF →＋BD →＋CE →＝0D ．GA →＋GB →＋GC →＝0答案BCD解析如图，对于A ，AB →－BC →＝AB →＋CB →＝2EB →≠CA →，故A 错误；对于B ，点G 为△ABC 的重心，则AG →＝23→＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，故B 正确；对于C ，AF →＋BD →＋CE →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0，故C 正确；对于D ，GA →＝－2GD →＝－2×12(GB →＋GC →)，故GA →＋GB →＋GC →＝0，故D 正确．故选BCD.三、填空题12．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．答案12解析∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，＝μ，＝2μ，解得λ＝μ＝12.13．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________．答案②③④解析BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12AB →＋12AC →＝12(AC →＋CB →)＋12AC →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错误；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD→＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．14．(2024·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD →|＝13|AC →|，点Q 为线段BD上任意一点，若实数x ，y 满足AQ →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4＋23解析由题意知，点D 满足AD →＝13AC →，故AQ →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋3yAD →，由Q ，B ，D 三点共线，可得x ＋3y ＝1，x >0，y >0，则1x ＋1y＝x ＋3y )＝4＋3y x ＋x y ≥4＋23，当且仅当3yx ＝x y ，即x ＝3－12，y ＝3－36时等号成立．所以1x ＋1y 的最小值为4＋2 3.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝2AE →，AF →＝FD →，点G 为CE 与BF 的交点，则AG →＝()A ．25AB →＋15AC→B ．15AB →＋25AC→C ．15AB →＋415AC→D ．310AB →＋25AC→答案A解析由AB →＝2AE →，AF →＝FD →，知E ，F 分别为AB ，AD 的中点．如图，设AC 与BF 的交点为P ，易得△APF ∽△CPB ，所以AP CP ＝AF CB ＝AF AD ＝12，所以AP →＝13AC →.因为E 是AB 的中点，所以AE →＝12AB →.由P ，G ，B 三点共线知，存在m ∈R ，满足AG →＝mAP →＋(1－m )AB →＝13mAC →＋(1－m )AB →.由C ，G ，E 三点共线知，存在n ∈R ，满足AG →＝nAE →＋(1－n )AC →＝12nAB →＋(1－n )AC →，所以13mAC →＋(1－m )AB →＝12nAB →＋(1－n )AC →.又因为AC →，AB →为不共线的非零向量，所以m ＝12n ，＝1－n ，＝35，＝45，所以AG →＝25AB →＋15AC →.16．(多选)(2024·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC 中，点O ，H ，G 分别是其外心、垂心、重心，BC 边的中点为D ，则下列结论中正确的是()A ．GH →＝2OG →B ．OD ∥AHC ．AH →＝3OD →D ．OA →＝OB →＝OC→答案AB解析由题意作图，如图所示，易知BC 的中点D 与A ，G 共线．对于A ，由题意，得AG →＝2GD →，OD ⊥BC ，AH ⊥BC ，所以OD ∥AH ，所以GH →＝2OG →，所以A ，B 正确；对于C ，由题意，知AG ＝2GD ，又GH ＝2OG ，∠AGH ＝∠DGO ，所以△AGH ∽△DGO ，所以AH →＝2OD →，所以C 错误；对于D ，向量OA →，OB →，OC →的模相等，方向不同，所以D 错误．故选AB.17.如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC ＝CNCE＝r ，则B ，M ，N 三点共线时，r 的值为________．答案33解析连接AD ，交EC 于点G ，设正六边形的边长为a ，由正六边形的性质知，AD ⊥CE ，AD ∥CB ，G 为EC 的中点，且AG ＝32a ，则CA →＝CG →＋GA →＝12CE →＋32CB →，又AM AC ＝CNCE ＝r (r >0)，则CA →＝CM →1－r ，CE →＝CN →r ，故CM →1－r ＝CN →2r ＋32CB →，即CM →＝1－r 2r CN →＋3（1－r ）2CB →，若B ，M ，N三点共线，则1－r 2r ＋3（1－r ）2＝1，解得r ＝33或r ＝－33(舍去)．18．经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m >0，n >0，则m ＋n 的最小值为________．答案43解析设OA →＝a ，OB →＝b .由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG→＝OG →－OP →＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝＋13λb ，m ＝＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.于是m ＋nm ＋n )＋n m ＋≥13×(2＋2)＝43，当且仅当m ＝n ＝23时，m ＋n 取得最小值，为43.。

高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思

《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析：本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。

正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。

二、学情分析：本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。

学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

三、教学目标：1、了解向量的实际背景；2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3、理解向量的几何表示；4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；6、了解向量线性运算的性质及其几何意义；四、教学重点和教学难点：（一）教学重点：1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2、理解向量的几何表示；3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具：多媒体、粉笔等。

六、教学过程：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba+=+；(2)结合律：cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量－b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格，布置任务学生加深学生对新知识的理解共线．其中错误说法的序号是________．考点二平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EC EB 4=，则ED ＝ ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于（）A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成，并回答问题培养学生语音表达能力，激发学生七、板书设计：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一：2、向量的线性运算考点二：3、共线向量定理考点三：八、教学反思：总体情况良好，基本满意，大多数学生可以换换掌握！九、作业反馈：分析作业中存在的问题，查找原因，并进行总结和反馈。

平面向量的概念及线性运算-高考数学复习

相反的向量；
目录
（6）平行向量：方向相同或
相反的非零向量，也叫做共线向
量，规定：零向量与任意向量平行.
提醒
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相
同；与向量 a 平行的单位向量有两个，即向量

｜｜

｜｜
和－
.
目录
2. 向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量
b ＝5（ a ＋ b ）＝5 ，∴ ，共线.
又它们有公共点 B ，∴ A ， B ， D 三点共线.
目录
（2）试确定实数 k ，使 ka ＋ b 和 a ＋ kb 共线.
解：∵ ka ＋ b 与 a ＋ kb 共线，
∴存在实数λ，使 ka ＋ b ＝λ（ a ＋ kb ），即 ka ＋ b ＝λ a ＋λ kb ，
＝（
）
目录
1
解析：如图所示，∵ D 为 BC 的中点，∴ ＝（＋
2
2
1
1
），∵ ＝2 ，∴ ＝＝＋，
3
3
3
1பைடு நூலகம்
1
1
∴ ＝－＝－（＋）＝－＋
3
3
3
2
，故选A.
3
目录
解题技法
目录
1.
1
若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内任一点，则＝（＋
2
）.
2.
1
若 G 为△ ABC 的重心，则＋＋＝0；＝（＋
3
）.
3. ＝λ ＋μ （λ，μ为实数），若点 A ， B ， C 共线，则λ

高考数学大一轮复习配套课时训练：第四篇平面向量第1节平面向量的概念及线性运算(含答案)

第四篇平面向量(必修4)第1节平面向量的概念及线性运算课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013泉州模拟)已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,那么一定有( D )(A)=2(B)=2(C)=2(D)=2解析:∵++=,∴+=-=+=,∴=2.故选D.2.如图所示,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则( A )(A)++=0(B)-+=0(C)+-=0(D)--=0解析: ++=++=(++)=0.故选A.3.给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.③λa=0(λ为实数),则λ必为零.④λ,μ为实数,若λa=μ b,则a与b共线.其中错误的命题的个数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0.④错误,当λ=μ=0时,λa=μ b=0,此时,a与b可以是任意向量.故选C.4.(2013广东深圳中学阶段测试)在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E 为BC的中点,则等于( A )(A)+(B)+(C)+(D)+解析:=++=-+,=+=+=+(-)=+.故选A.5.设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( D )(A)|a|=|b|且a∥b (B)a=-b(C)a∥b (D)a=2b解析:∵表示与a同向的单位向量,表示与b同向的单位向量, ∴a与b必须方向相同才能满足=.故选D.6.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( A )(A)A、B、D (B)A、B、C(C)B、C、D (D)A、C、D解析:=++=3a+6b=3.因为与有公共点A,所以A、B、D三点共线.故选A.7.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( D )(A)k=1且c与d同向(B)k=1且c与d反向(C)k=-1且c与d同向(D)k=-1且c与d反向解析:由题意可设c=λd,即ka+b=λ(a-b).(λ-k)a=(λ+1)b.∵a, b不共线,∴∴k=λ=-1.∴c与d反向.故选D.二、填空题8.(2013广东茂名一中模拟)如图所示,正六边形ABCDEF中,++等于.解析:++=+-=-=.答案:9.(2013年高考四川卷)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ= .解析:因为O为AC的中点,所以+==2,即λ=2.答案:210.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=(用a,b表示).解析:=+=-=b-(a+b)=-a+b.答案:-a+b11.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则m+n的值为.解析:∵O是BC的中点,∴=(+).又∵=m,=n,∴=+.∵M、O、N三点共线,∴+=1.∴m+n=2.答案:2三、解答题12.设点O 在△ABC 内部,且有4++=0,求△ABC 与△OBC 的面积之比.解:取BC 的中点D,连接OD,则+=2,∵4++=0,∴4=-(+)=-2,∴=-.∴O 、A 、D 三点共线,且||=2||, ∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点, ∴S △ABC ∶S △OBC =3∶2.13.如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是BC,AC 的中点,=,=a,=b.用a,b 表示向量,,,,.解:延长AD到G,使=,连接BG,CG,得到▱ABGC,所以=a+b,==(a+b),==(a+b),==b,=-=(a+b)-a=(b-2a),=-=b-a=(b-2a).B组14.(2013石家庄二模)如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为( C )(A)3 (B)1 (C)(D)解析:设=λ(λ∈R),则=+=+λ=+λ(-)=+λ-=(1-λ)+λ,则解得m=,故选C.15.(2013长春市第四次调研改编)如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=2,||=,||=2,若OC=λ+μ(λ,μ∈R),则= .解析:过C作CD∥OB交OA延长线于D,在△OCD中,∠COD=30°,∠OCD=90°,OC=2,∴OD=4,CD=2∴=2,=.∴=+=2+.∴λ=2,μ=,∴=.答案:16.设e1,e2是两个不共的线向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)求证:A、B、D三点共线;(2)若=3e1-ke2,且B、D、F三点共线,求k的值.(1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,∵=2e1-8e2,∴=2.又∵与有公共点B,∴A、B、D三点共线.(2)解:由(1)可知=e1-4e2,∵=3e1-ke2,且B、D、F三点共线,∴=λ(λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2, 得解得k=12.。

高考数学一轮总复习专题5.1 平面向量的概念及线性运算练习(含解析)理

专题5.1 平面向量的概念及线性运算真题回放1.【2017年高考新课标Ⅱ卷文4题】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 ( ) A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A2.【2016年高考山东理8题】已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos ,m n =13.若n ⊥(t m +n )，则实数t 的值为（A ）4 （B ）–4（C ）94（D ）–94【答案】B【考点】平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从n ⊥(t m +n )出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好地考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.3.【2016年高考北京理4题】设,a b 是向量，则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】D【考点】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义||||cos θ⋅=⋅⋅a b a b (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 考点分析融会贯通题型一平面向量的概念典例1 (2016-2017年河北武邑中学高二文周考)点C 在线段AB上，且，则ACuuu r 等于（）【答案】D【解析】因为点C 在线段AB 上，所以AC uuu r 等于 D.考点：向量的相等. 解题技巧与方法总结平面向量的概念问题需要牢牢抓住平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量的概念及特征，需要注意平行向量可以包含两个向量重合的情况，这点需要与直线平行加以区别【变式训练1】(2016-2017学年河北武邑中学高一上学期月考)下列说法正确的是（） A ．零向量没有方向 B ．单位向量都相等 C ．任何向量的模都是正实数 D ．共线向量又叫平行向量【答案】D考点：向量的概念．【变式训练2】设a r是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A ．a r 与λa r的方向相反 B ．a r 与2λa r 的方向相同 C ．|-λa r |≥| a r|D ．|-λa r |≥| λ|·a r【答案】B【解析】对于A ，当λ＞0时，a r 与λa r 的方向相同，当λ＜0时，a r 与λa r的方向相反，B 正确；对于C ，|-λa r |＝|-λ|| a r |，由于|-λ|的大小不确定，故|-λa r |与| a r|的大小关系不确定；对于D ，|λ| a r 是向量，而|-λa r|表示长度，两者不能比较大小．【变式训练3】(2015-2016学年江西上饶铅山县一中高一下学期期中)下列关系式正确的是 ( )A. 0AB BA +=uu u r uu r rB. a b ⋅r r是一个向量 C. AB AC BC -=uu u r uuu r uu u r D. 00AB ⋅=uu u r r【答案】D 【解析】试题分析：A 相反向量的和为零向量，所以A 不正确；B 两向量的数量积是一个实数，所以B 不正确；C 根据向量的减法的三角形法则，得CB AC =-AB ，故C 不正确；D 零与任何向量的数量积等等于零向量，故D 正确.考点：平面向量的线性运算；向量的数量积的定义及其性质.1.向量：既有大小又有方向的量叫作向量.向量的大小叫向量的长度(或模).2.几个特殊的向量(1)零向量：长度为零的向量，记作0，其方向是任意的. (2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线.(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.典例2 (青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)设向量,a b rr 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r平行，则实数λ=___________【答案】12考点：向量平行的条件解题技巧与方法总结(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量,a b r r共线是指存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+=r r r 成立；若120a b λλ+=r r r ，当且仅当12λλ==0时成立，则向量,a b r r不共线．【变式训练1】(青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)已知向量i r 与j r不共线，且,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r，若,,A B D 三点共线，则实数,m n 满足的条件是（）A. 1m n +=B. 1m n +=-C. 1mn =D. 1mn =-【解析】法一：Q ,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r，若,,A B D 三点共线且,,A B D 三点共线所以存在非零实数λ，使AB AD λ=uu u r uuu r即()i m j ni j λ+=+r r r rQ i r 与j r不共线所以1n m λλ=⎧⎨=⎩1n m λλ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩∴1mn =法二：由题可得， AB CD uu u r uu u rP∴AB AD λ=uu u r uuu r∴11m n = ∴1mn =考点：向量共线定理【变式训练2】已知(1,0),(2,1)a b ==r r（1）当k 为何值时，ka b -r r 与2a b +r r共线？（2）若23AB a b =+uu u r r r ，BC a mb =+uu u r r r，且,,A B C 三点共线，求m 的值【答案】1-232（2）Q ,,A B C 三点共线AB BC ∴u u u r u u u rP故存在实数λ，使得AB BC λ=uu u r uu u r()23a b a mb λ+=+r r r r∴2λ=，32m =考点：向量的运算法则、共线定理知识链接：平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线. 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λa . 题型二向量的线性运算命题点1 简单的向量线性运算典例 (吉林省吉林大学附属中学2017届高三第五次摸底考试数学（理）)在梯形ABCD 中，3AB DC =uu u r uuu r ，则BC uu u r等于( )【答案】D解题技巧与方法总结(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系；④化简结果．【变式训练1】(河南省商丘市九校2016-2017学年高一下学期期中)如图12,e e u r u r为互相垂直的单位向量，向量a b c ++r r r可表示为（）A. 1223e e +u r u rB. 1232e e +u r u rC. 1232e e -u r u rD. 1233e e --u r u r【答案】B【解析】 1212122,2,2a e e b e e c e e =+=-=+u r u r u r u r u r u r r r r ，故 1232a b c e e ++=+u r u rr r r .知识链接：平面向量的基本定理如果12,e e u r u r是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数21,λλ使：1122a e e λλ=+r u r u r 其中不共线的向量12,e e u r u r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【变式训练2】(北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理)设,a b rr 是非零向量，则“,a b rr 共线”是“ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B命题点2 向量线性运算运用典例 (山东省淄博市临淄中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题)如图在空间四边形 OABC 中，点M 在OA 上，且 2OM MA = ， N 为BC 中点，则MN uuu r等于( )A.121232OA OB OC -+uu ruu u r uuu r B.211322OA OB OC -++uu r uuu r uuu r C.111222OA OB OC +-uu ruu u r uuu r D.221332OA OB OC+-uu ruu u r uuu r【答案】B【名师点睛】进行向量的运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一点出发的基本量或首尾相接的向量，运用向量的加减运算及数乘来求解，充分利用相等的向量，相反的向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来解决【变式训练1】如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12b B.12a －bC ．a ＋12b D.12a ＋b【答案】D【解析】连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .【变式训练2】如图所示,设P 、Q 为△ABC 内的两点,且=+,=+,则△ABP与△ABQ 的面积之比为 .【答案】知识链接：1.向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法，例AB BC AC +=uu u r uu u r uuu r（1）0+0a a a =+=r r r r r；（2）向量加法满足交换律与结合律；2.向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则. 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”． 3.向量的减法：向量a r 加上b r 的相反向量叫做a r 与b r的差，记作：()a b a b -=+-r r r r 求两个向量差的运算，叫做向量的减法4.作图法：a b -r r 可以表示为从b r 的终点指向a r 的终点的向量（a r 、b r有共同起点）命题点3 向量线性运算求参数值或取值范围典例 1(黑龙江省齐齐哈尔市第一中学校2016-2017学年高一3月月考数学（理）试题)已知在ABC ∆中，点在边上，且2,CD DB CD r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则的值为（） A. 0 B. D. 3- 【答案】A【解析】分析试题由已知可得：()22223333CD CB AB AC AB AC ==-=-uu u r uu r uu u r uuu r uuu r uuu r ,所以=点睛：向量的线性运算，注意理解加法的三角形法则和平行四边形法则以及减法法则的运用. 【变式训练1】(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【变式训练2】在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为 ( )A. 12B. 13C. 14D ．1【答案】A【解析】∵M 为BC 上任意一点，∴可设AM →＝x AB →＋y AC →(x ＋y ＝1)．∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝12x AB →＋12y AC →＝λ AB →＋μ AC →，∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.知识链接：三点共线的性质定理：(1)若平面上三点A 、B 、C 共线，则AB →＝λBC →.(2)若平面上三点A 、B 、C 共线，O 为不同于A 、B 、C 的任意一点，则OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.典例2【2014届广东省东莞市高三第二次模拟考试】如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC =uuu r xOA yOB +uu r uu u r，则（）A.01x y <+<B.1x y +>C.1x y +<-D.10x y -<+<【答案】C【变式训练】（2014北京东城高三期末）在直角梯形ABCD 中，90,30,2,A B A BB C ∠=︒∠=︒==，点E 在线段CD 上，若AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r，则实数μ的取值范围是 .【答案】102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】由题意可求得1,AD CD ==2AB DC =uu u r uuu r.因为点E 在线段CD 上，所以DE DC λ=uuu r uuu r(01λ≤≤).因为AE AD DE =+uu u r uuu r uuu r ，又AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r =2AD DC μ+u u u r u u u r =2AD DE μλ+uuur uuu r ，所以2μλ=1，即μ=2λ.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.知识交汇例1 如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．【答案】3【交汇技巧】本题将向量的共线定理与三角形重心的性质进行结合，三角形重心是三条边中线的交点，另外本题还结合了方程思想，通过消去λ得到m ，n 之间的关系例2 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】A【解析】由0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r 得OA OB OC +=uu r uu u r uuu r，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.【交汇技巧】三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，结合0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r可得四边形OACB 为平行四边形的条件，得出四边形OACB 为菱形，从而求出角A 的大小练习检测1.【山东省淄博实验中学2015届高三第一学期第一次诊断考试试题，文10】在ABC ∆中，点,M N 分别是,AB AC 上，且32,5AM MB AN AC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，线段CM 与BM 相交于点P ，且,AB a AC b ==u u u r r u u u r r，则AP uu u r 用a r 和b r 表示为( )A ．4193AP a b =+uu u r r rB ．4293AP a b =+uu u r r rC ． 2493AP a b =+uu u r r rD ．4377AP a b =+uu u r r r【答案】A2.(江西省南昌市重点学校2016-2017学年高一4月检测)已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足3BD DC =uu u r uuu r ，则AD uuu r可表示为（）A. 23AD AB AC =-+uuu r uu u r uuu rB.【答案】C【解析】如图所示，3.(2015届北京市156中学高三上学期期中考试理科)如图，向量b a -等于（）（A ）2124e e -- （B ）2142e e --（C ）213e e - （D ）213e e - 【答案】C点评：12,e e u r u r 是两个单位向量，从图上将,a b r r用单位向量表示出来4.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则 ( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上【答案】B【解析】因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 5.(2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若1,,AB a BC b AA c ===uu u r r uu u r r uuu r r，则BM uuu r 可表示为（）A. 1122a b c -++r r rB. 1122a b c ++r r rC. 1122a b c --+r r rD. 1122a b c -+r r r【答案】A【解析】()111222BN BA BC a b =+=-+uuu r uu r uu u r r r Q1122BM BN NM a b c ∴=+=-++uuu r uuu r uuur r r r,故本题正确答案为A6.(江西省赣州市十四县（市）2017届高三下学期期中联考（理）)如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O ，点E ， F 分别在边AB ， AD 上，直线EF 交AC 于点K ， AK AO λ=uuu r，则λ等于（）【答案】C7.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.8.设点O 在ABC V 内部,且有40OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r,求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比.【答案】S △ABC ∶S △OBC =3∶2.【解析】取BC 的中点D,连接OD,则+=2,4++=0,∴4=-(+)=-2,∴=-.∴O 、A 、D 三点共线,且||=2||,∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点, ∴S △ABC ∶S △OBC =3∶2.9.在任意四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BC 中点，求证：()1=+2EF AB DC uu u r uu u r uuu r法二：连接EB EC uu r uu u r ，则=+EC ED DC uu u r uu u r uuu r()()11==+++=22EF EC EB ED DC EA AB +uu u r uu u r uu r uu u r uuu r uu r uu u r ()1+2AB DC uuu r uuu r。

2025年高考数学一轮复习-第1讲-平面向量的概念及线性运算【课件】

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考点考法：虽然近两年在本讲没有直接命题，但在考查其他知识点时，经常涉及向量的加法、减法运算，数乘运算以及它们的几何意义.核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算
必备知识自主排查
核心考点师生共研
必备知识自主排查
01
1.向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的____.
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解析：选选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误；B选项，因为与共线，且有公共点，所以，，三点在同一条直线上，所以B正确；C选项，当且方向相反时，即使，也不能得到，所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件，所以C错误；D选项，，，，是不共线的点，，即模相等且方向相同，即四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，所以D正确.
A. B. C. D.
解析：选D.对于A，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，所以错误.对于B，两个向量不能比较大小，所以错误.对于C，向量平行只是方向相同或相反，不能得到向量相等，所以错误.对于D，若一个向量的模等于0，则这个向量是 ,所以正确.
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2.设，都是非零向量，则下列四个条件中，使成立的充分条件是( )
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（3）若向量与向量是共线向量,则 , , , 四点在一条直线上.( )
×
（4）当两个非零向量 , 共线时,一定有 ,反之成立.( )
√
2.(2022·新高考卷Ⅰ)在中，点在边上， .记 , ，则 ( )
A. B. C. D.
（2）零向量：长度为___的向量，其方向是任意的.
（3）单位向量：长度等于_____________的向量.

平面向量的概念及线性运算习题课答案

例1解：A解决平面向量概念问题的关注点：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(4)非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是与a 同向的单位向量．例2解：（1）C ；（2）D ；（3）B ．例3解：如图所示，过C 点作AB 的垂线，垂足为D ．依题意可知：AB =“向东走4km ”，BC =“向东偏北60︒走4km ”，则AC AB BC =+．在Rt ACD ∆中，3sin 60423DC BC =︒== 1cos60422BD BC =︒=⨯=，所以()()()22422343AC km =++．由AB =BC 可知，AC 与AB 的夹角是30︒．所以AC 表示沿东偏北30︒方向走3km ．平面向量的线性运算方法：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．例4解析：(1)延长AD 到G ，使AD ＝12AG ，连结BG 、CG ，得到▱ABGC ，所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b )，AE ＝23AD ＝13(a ＋b )， AF ＝12AC ＝12b ， BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ，因为有共同的点B 。

所以B 、E 、F 三点共线．向量共线定理应用： (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．三、运用知识强化练习1. 解：如图所示，ED C BA 11111()()22222=+=+=⨯++-EB ED DB AD CB AB AC AB AC 3144=-AB AC ．故选A ． 2. 解：（1）AC ）（2）AB CA +=CA +AB =CB (3) PB AC BA ++=PB BA AC ++=PC(4) AB MB BO OM +++=AB +0=AB (5)AC AB BD CD -+-=BC +BD +DC =2BC(6) AB AD DC --=DB DC CB -=3. 解：（1）()21213232643233⎛⎫---=--=- ⎪⎝⎭a b a b a b a +b a +b（2）()()()523222*********a b b c c a a b b 6c +c a =a b c --++-=------4. 解： 1AB DC,AB DC 2=边与边平行且不等，AD BC =，腰AD 与腰BC 相等。

第17讲平面向量的概念及线性运算解析

第17讲平面向量的概念及线性运算一、知识串讲 1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±a |a |平行向量方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02. 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).减法求a 与b 的相反向量－b的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则 a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 注意：1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．2．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 3．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．题型一平面向量的概念辨析例1 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．下列命题中正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行题型二向量的线性运算例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c题型三共线向量定理及应用例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．小结 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC → ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直第17讲平面向量的概念及线性运算强化训练一、选择题1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0 3．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向4．如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于 ( )A ．0B.BE →C.AD →D.CF →5.设a ，b 是两个非零向量 ( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．57． O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二、填空题8．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p的值为________． 9．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________(用a ，b 表示)．10．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．11．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λ·a ＋μ·b ＝0； ③x ·a ＋y ·b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线．12. 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．13．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.第17讲平面向量的概念及线性运算一、知识串讲 1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±a |a |平行向量方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02. 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).减法求a 与b 的相反向量－b的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则 a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . [难点正本疑点清源] 1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．2．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 3．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．题型一平面向量的概念辨析例1 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ， ∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (5)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．下列命题中正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行答案 C解析由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a 与b 不都是非零向量，即a 与b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a 与b 共线，符合已知条件，所以有向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故选C. 题型二向量的线性运算例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →. 思维启迪：结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键．解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .又∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c 答案 A解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .题型三共线向量定理及应用例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．思维启迪：解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.探究提高 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC → ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案 A解析由题意，得DC →＝DA →＋AC →，BD →＝BA →＋AD →. 又DC →＝2BD →，所以DA →＋AC →＝2(BA →＋AD →)．所以AD →＝13AC →＋23AB →.同理，得BE →＝13BC →＋23BA →，CF →＝13CA →＋23CB →.将以上三式相加，得AD →＋BE →＋CF →＝－13BC →.故选A.第17讲平面向量的概念及线性运算强化训练一、选择题1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①错，由于终点相同，两起点不一定相同，所以可以不共线． ②对，由于模是实数，所以可以比较大小． ③错，由于a ＝0，λ≠0时，也可以得λa ＝0.④错，当λ＝μ＝0时，虽然λa ＝μb ，但是a 与b 可以不共线．∴错误命题个数为3. 2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0 答案 B解析如图，根据向量加法的几何意义有BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故PA →＋PC →＝0.3．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向答案 D解析 ∵c∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λλ＝－1.4．如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于 ( )A ．0B.BE →C.AD →D.CF →答案 D解析因ABCDEF 是正六边形，故BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 5.设a ，b 是两个非零向量 ( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 答案 C解析利用向量运算法则，特别是|a |2＝a 2求解．由|a ＋b |＝|a |－|b |知(a ＋b )2＝(|a |－|b |)2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2， ∴a ·b ＝－|a ||b |.∵a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉， ∴cos〈a ，b 〉＝－1，∴〈a ，b 〉＝π，此时a 与b 反向共线，因此A 错误．当a ⊥b 时，a 与b 不反向也不共线，因此B 错误．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ＝－1，使b ＝－a ，满足a 与b 反向共线，故C 正确．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a ＋λa |＝|1＋λ||a |，|a |－|b |＝|a |－|λa |＝(1－|λ|)|a |，只有当－1≤λ≤0时，|a ＋b |＝|a |－|b |才能成立，否则不能成立，故D 错误．6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →.如图，因此延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E 、F 分别为AC 、AB 的中点，即M 为△ABC 的重心．AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.7． O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 B解析作∠BAC 的平分线AD .∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD →|AD →| (λ′∈[0，＋∞))， ∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．二、填空题8．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p的值为________．答案－1解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝2λp ＝－λ，∴p ＝－1.9．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________(用a ，b 表示)．答案－14a ＋14b 解析由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )， AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 10．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．答案 2解析命题①③正确，②④不正确．11．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λ·a ＋μ·b ＝0；③x ·a ＋y ·b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线．答案 ①②解析由①得10a －b ＝0，故①对．②对．对于③当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．若AB ∥CD ，则AB →与CD →共线，若AD ∥BC ，则AB →与CD →不共线．12. 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.则m ＋n ＝2.13．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析由图知CD →＝CA →＋AD →， ①CD →＝CB →＋BD →， ②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.。

高三数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析

高三数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析1.已知平面向量, 且, 则 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由向量, 且.所以.即.故选C.【考点】1.向量平行的性质.2.向量的模的运算2. [2014·龙岩质检]已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c＝()A．(2,1)B．(1,0)C．(，)D．(0，－1)【答案】A【解析】设c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)．由(c＋b)⊥a，(c－a)∥b 可得，解得，因此c＝(2,1)．3.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．【答案】2【解析】由平行四边行的性质知，AC与BD互相平分，又+==2所以λ=24.在四边形中，，，则四边形的面积为()A．B．C．2D．【答案】A【解析】由，可知四边形为平行四边形，且，因为，所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形为菱形,其边长为，且对角线对于边长的倍，即,则,即,所以三角形的面积为，所以四边形的面积为，选A5.已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若，，则的最小值是()A．9B．C． 5D．【答案】D【解析】由题意得，，又D、E、F在同一条直线上，可得．所以，当且仅当2λ＝μ时取等号．故选D．6.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ＋μ的值为() A．B．C．D．1【答案】A【解析】∵M为边BC上任意一点，∴可设．∴N为AM中点，∴.∴．故选A.7.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，－b），若，则双曲线的离心率值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由得，又，，则，，所以有，即，从而解得，又，所以，故选.【考点】向量的运算、双曲线的离心率、解一元二次方程.8.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A．B．C．D．【答案】A【解析】=(3,-4),则与同方向的单位向量为=(3,-4)=.故选A.9.直线的一个法向量可以是【答案】【解析】已知直线的一般式方程为，因此其一个法向量为．【考点】直线的法向量．10.设a，b是两个非零向量，下列选项正确的是()．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|【答案】C【解析】对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时，|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立．11.已知O，A，M，B为平面上不同的四点，且＝λ＋(1－λ) ，λ∈(1,2)，则()．A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点共线【答案】B【解析】根据题意知＝λ＋－λ＝λ(－)＋，则－＝λ(－)，即＝λ.由λ∈(1,2)可以判断出点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上．12.如图，为直线外一点，若，，，，，，，中任意相邻两点的距离相等，设，，用，表示，其结果为 .【答案】【解析】设的中点为A，则A也是，…的中点，由向量的中点公式可得，同理可得，故.【考点】平面向量的加法法则，中点公式.13.如图，在中，点是边上靠近的三等分点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由平面向量的三角形法则，可得：，又因为点是边上靠近的三等分点，所以，＝＝.【考点】平面向量的三角形法则.14.在边长为6的等边△ABC中，点M满足，则等于．【答案】 24【解析】【考点】本小题考查向量的线性运算及其向量的数量积。

2022届高考数学一轮复习第四章第一节平面向量的概念及线性运算课时作业理(含解析)北师大版

第一节平面向量的概念及线性运算授课提示：对应学生用书第315页[A组基础保分练]1．如图所示，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝（）A．0 B．BE→C．AD→D．CF→解析：由题图知BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CB→＋BF→＝CF→．答案：D2．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于（）A．OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→解析：OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝（OA→＋OC→）＋（OB→＋OD→）＝2OM→＋2OM→＝4OM→．答案：D3．（2021·合肥模拟）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA→－12OB→－3OC→＝0，则（）A．OA→＝12AB→＋3AC→B．OA→＝12AB→－3AC→C．OA→＝－12AB→＋3AC→D．OA→＝－12AB→－3AC→解析：对于A，OA→＝12AB→＋3AC→＝12（OB→－OA→）＋3（OC→－OA→）＝12OB→＋3OC→－15OA→，整理，可得16OA→－12OB→－3OC→＝0，这与题干中条件相符合．答案：A4．已知e1，e2是不共线向量，a＝m e1＋2e2，b＝n e1－e2，且mn≠0．若a∥b，则mn等于（）A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ（n e 1－e 2），则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故m n＝－2．答案：C5．（2021·潍坊模拟）若M 是△ABC 内一点，且满足BA →＋BC →＝4BM →，则△ABM 与△ACM 的面积之比为（）A ．12B ．13C ．14D ．2解析：设AC 的中点为D ，则BA →＋BC →＝2BD →，于是2BD →＝4BM →，从而BD →＝2BM →，即M 为BD的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD ＝BM 2MD ＝12．答案：A6．如图所示，在等边△ABC 中，O 为△ABC 的重心，点D 为BC 边上靠近B 点的四等分点．若OD →＝xAB→＋yAC →，则x ＋y ＝（）A ．112 B ．13C ．23 D ．34解析：设点E 为BC 的中点，连接AE （图略），可知O 在AE 上，由OD →＝OE →＋ED →＝13AE →＋14CB →＝16（AB →＋AC →）＋14（AB →－AC →）＝512AB →－112AC →，故x ＝512，y ＝－112，x ＋y ＝13．答案：B7．如图所示，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C 在AB 上，OC ⊥AB ．若用OA →和OB →来表示向量OC→，则OC →＝_________．解析：易知OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14（OB →－OA →）＝34OA →＋14OB →．答案：34OA →＋14OB →8．（2021·邯郸模拟）设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝_________．解析：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ（a ＋2b ），即（λ－μ）a ＋（1－2μ）b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12．答案：129．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，求1n ＋1m的值．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13（a ＋b ）， PQ →＝OQ →－OP→＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝13（a ＋b ）－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ．由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3．10．在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上．若c 与x a ＋y b （x ，y 为非零实数）共线，求xy的值．解析：设e 1，e 2分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ（x a ＋y b ），所以e 1－2e 2＝2λ（x －y ）e 1＋λ（x －2y ）e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ（x －y ）＝1，λ（x －2y ）＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，所以x y 的值为65．[B 组能力提升练]1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ．若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．答案：A2．（2021·丹东五校协作体联考）P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB→，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．8解析：因为PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2（PB →－PA →），所以3PA →＝PB →－PC →＝CB →，所以PA →∥CB →，且方向相同．所以S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3，所以S △PAB ＝S △ABC3＝2．答案：A3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于（） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13bC ．12a ＋14b D ．13a ＋23b解析：如图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，AD →＝12a ＋12b ，AB →＝12a －12b ，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ，所以DF →＝13AB →．所以AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b ＝23a ＋13b ．答案：B4．如图所示，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →＝（）A ．AC →－AD →B ．2AC →－2AD → C ．AD →－AC → D ．2AD →－2AC →解析：连接CD （图略），因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以CD ∥AB ，且AB ＝2CD ，所以AB →＝2CD →＝2（AD →－AC →）＝2AD →－2AC →．答案：D5．在△ABC 中，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB→，则λ＝_________．解析：∵A ，D ，B 共线，∴13＋λ＝1，∴λ＝23．答案：236．（2021·包头模拟）如图所示，在△ABC 中，AH ⊥BC 交BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝_________．解析：因为AM →＝12（AB →＋BH →）＝12[AB →＋x （AB →－AC →）]＝12[（1＋x ）AB →－xAC →]，又因为AM→＝λAB →＋μAC →，所以1＋x ＝2λ，2μ＝－x ，所以λ＋μ＝12．答案：127．设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2．（1）求证：A ，B ，D 三点共线；（2）若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解析：（1）证明：由已知得BD →＝CD →－CB→＝（2e 1－e 2）－（e 1＋3e 2）＝e 1－4e 2．因为AB →＝2e 1－8e 2，所以AB →＝2BD →．又AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．（2）由（1）可知BD →＝e 1－4e 2，且BF →＝3e 1－k e 2，由B ，D ，F 三点共线得BF →＝λBD →，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12． [C 组创新应用练]1．（2021·郑州模拟）如图所示，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA→＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15OB →．若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（）A ．①②B ．②④C ．①③D ．③⑤解析：在ON 上取点C ，使得OC ＝2OB ，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OCDA （图略），则OD →＝OA →＋2OB →，其终点不在阴影区域内，排除A ，C ；取线段OA 上一点E ，使AE ＝14OA ，作EF ∥OB ，交AB 于点F ，则EF ＝14OB ，由于EF ＜13OB ，所以34OA →＋13OB →的终点不在阴影区域内，排除选项D ．答案：B2．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ．若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →（λ∈R ），则AD 的长为_________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图所示，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，因为△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，所以四边形AMDN 是菱形，因为AB ＝4，所以AN ＝AM ＝3，AD ＝33．答案：333．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →（α，β∈R ），则α＋β的取值范围是_________．解析：当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．答案：[3，4]。

平面向量的概念及线性运算知识点讲解+例题讲解(含解析)

平面向量的概念及线性运算一、知识梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.结论：(1)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA→＋OB →＋OC →＝0；(2)四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB→＋DC →＝2EF →；(3)对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.二、例题精讲 + 随堂练习考点一平面向量的概念【例1】 (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A.a ＝2b B.a ∥b C.a ＝－13bD.a ⊥b解析 (1)由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立.对照各个选项可知，选项A 中a 与b 的方向相同；选项B 中a 与b 共线，方向相同或相反；选项C 中a 与b 的方向相反；选项D 中a 与b 互相垂直.(2)给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③B.①②C.③④D.②④解析：(2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC→|， AB→∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →. ③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案 (1)C (2)A【训练1】 (1)如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE→＝PF →D.EP→＝PF → (2)给出下列说法：①非零向量a 与b 同向是a ＝b 的必要不充分条件； ②若AB→与BC →共线，则A ，B ，C 三点在同一条直线上； ③a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与－b 反向； ④设λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误说法的序号是________.解析 (1)根据相等向量的定义，分析可得AD→与BC →不平行，AC →与BD →不平行，所以AD→＝BC →，AC →＝BD →均错误，PE →与PF →平行，但方向相反也不相等，只有EP →与PF →方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，所以EP→＝PF →.(2)根据向量的有关概念可知①②③正确，④错误. 答案 (1)D (2)④考点二平面向量的线性运算角度1 向量的线性运算【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →解析 ∵E 是AD 的中点，∴EA →＝－12AD →，∴EB→＝EA →＋AB →＝－12AD →＋AB →，又知D 是BC 的中点， ∴AD→＝12(AB →＋AC →)，因此EB→＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →. 答案 A角度2 利用向量线性运算求参数【例2－2】 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE→＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A.1B.34C.23D.12解析 (1)∵E 为线段AO 的中点，∴BE→＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在锐角△ABC 中，CM→＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x y ＝________.解析：(2)由题设可得AM→＝CM →－CA →＝34CB →＋AC →＝34(AB →－A C →)＋AC→＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故x y ＝3. 答案 (1)B (2)3【训练2】 (1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12b B.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b解析 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD→＝12AB →＝12a ，所以AD→＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 解析：(2)DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →， ∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12. 答案 (1)D (2)12考点三共线向量定理及其应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.【训练3】 (1)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( ) A.λ＋μ＝2 B.λ－μ＝1 C.λμ＝－1D.λμ＝1(2)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( ) A.{0} B.∅ C.{－1}D.{0，－1}解析 (1)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，设AB →＝mAC →(m ≠0)，则λa ＋b ＝m (a ＋μb )，所以⎩⎨⎧λ＝m ，1＝mμ，所以λμ＝1.(2)法一若要x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立，BC →必须与x 2OA →＋xOB →共线，由于OA →－OB→＝BA →与BC →共线，所以OA →和OB →的系数必须互为相反数，则x 2＝－x ，解得x ＝0或x ＝－1，而当x ＝0时，BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x＝－1.法二 ∵BC→＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC→＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线， ∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC→＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x ＝－1. 答案 (1)D (2)C三、课后练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB→与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( )(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) 解析 (2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( )A.①B.③C.①③D.①②解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误. 答案 A3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B.2OM → C.3OM→D.4OM→ 解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →. 答案 D4.(2019·东莞调研)如图所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )A.c ＝32b －12aB.c ＝2b －aC.c ＝2a －bD.c ＝32a －12b解析因为AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋32(OB→－OA →)＝32OB →－12OA →＝32b －12a . 答案 A5.(2018·上海静安区月考)若四边形ABCD 满足AD →＝12BC →且|AB →|＝|DC →|，则四边形ABCD 的形状是( ) A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形D.菱形解析因为AD →＝12BC →，所以AD →∥BC →，且|AD →|＝12|BC →|，所以四边形ABCD 为以AD 为上底，BC 为下底的梯形.又|AB →|＝|DC →|，所以梯形ABCD 的两腰相等.因此四边形ABCD 是等腰梯形. 答案 A6.(2019·菏泽调研)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.解析依题意知向量a ＋λb 与2a －b 共线，设a ＋λb ＝k (2a －b )，则有(1－2k )a ＋(k ＋λ)b ＝0，所以⎩⎨⎧1－2k ＝0，k ＋λ＝0，解得k ＝12，λ＝－12. 答案－127.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上解析因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.8.(2019·青岛二模)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA →＋2EB →＋3FC →＝( ) A.12AD →B.32AD →C.12AC →D.32AC →解析因为D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，所以DA →＋2EB →＋3FC→＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12×(AC →＋BC →)＝12BA →＋AB →＋CB →＋32BC →＋32AC →＋12CA →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝12AC →＋AC →＝32AC →. 答案 D9.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.同理E ，F 分别是AC ，AB 的中点，因此点M 是△ABC 的重心， ∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，则m ＝3.10.(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________. 解析由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB→＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，又e 1与e 2不共线，所以⎩⎨⎧3＝λ（3－k ），2＝－λ（2k ＋1），解得k ＝－94.11.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0.”设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心. 若aMA →＋bMB→＋33cMC →＝0，则内角A 的大小为________，当a ＝3时，△ABC 的面积为________.解析由aMA →＋bMB →＋33cMC →＝aMA →＋bMB →＋33c (－MA →－MB →)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －33c MA →＋⎝⎛⎭⎪⎫b －33c MB →＝0，且MA →与MB →不共线，∴a －33c ＝b －33c ＝0，∴a ＝b ＝33c .△ABC 中，由余弦定理可求得cos A ＝32，∴A ＝π6.若a ＝3，则b ＝3，c ＝33，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.答案 π6 934。

平面向量的概念及线性运算

AB,AD 为邻边作平行四边形 ABCD,则 =a+b,=a-b(=b-a).
4.数乘向量
(1)数乘向量的定义
一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个向量
记作λa,其中:
(ⅰ)当λ≠0且a≠0时,λa的模为
|λ||a|
①当λ>0时,与a的方向相同
;
②当λ<0时,与a的方向相反
用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向
量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
对点训练 2(1)在△ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且||=3||,当
=x+y 时,x-y= (
)
A.-2
B.-3
C.2
D.3
(2)如图所示,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,F 为 CE 的中点,则
时,A,B,D 三点共线?
解 = + =(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,
若 A,B,D 三点共线,则存在实数 λ,使=λ,即 4a+(m-3)b=λ(a+b),
4 = ,
∴
解得 m=7.
-3 = ,
故当 m=7 时,A,B,D 三点共线.
变式发散2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?
向量
小相等
的向量称为它的相反向量
零向量
2.向量的加法
(1)定义:一般地,平面上任意给定两个向量 a,b,在该平面内任取一点 A,作
=a, =b,作出向量 ,则向量称为向量
a与b的和
为向量 a 与 b 的和向量).向量 a 与 b 的和向量记作

2023年新高考数学大一轮复习专题21 平面向量的概念、线性运算及坐标表示(解析版)

专题21平面向量的概念、线性运算及坐标表示【考点预测】一．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，记作||AB ．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．二．向量的线性运算和向量共线定理（1）向量的线性运算①交换律b b a =+②结合律 )a b c ++=(a b c ++a 与b 的相反向量b -的和的运算叫做a b 的差 ()a b a b -=+-求实数λ与a 的积的运算（|||||a a λ=（0λ>时，a λ与a 的方向相同；当λ<a λ与a 的方向相同；时，0a λ=()()a a λμλμ=)a a a λμλμ+=+（1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -=，AM AN NM -=，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+=．三．平面向量基本定理和性质 1．共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2．平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e eλλ+叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a 都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==．推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==． 3.线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB ACAD λλ+=+．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．4.三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=； ⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+； ⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．5.中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+)AC ，反之亦正确．四．平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量(,)x y 一一对应向量OA一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y =，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．五．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，||(AB x = ②已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ±1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ=， =a b ⋅1212x x y y +，21||a x y =+．a b ∥⇔12210x y x y -=，a b ⊥⇔12120x x y y +=【方法技巧与总结】（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即122311n n n A A A A A A A A -+++=．（2）||||||||||||a b b a a b -≤±≤+，当且仅当,b a 至少有一个为0时，向量不等式的等号成立．（3）特别地：||||||||b b a a -≤±或||||||a a b b ±≤+当且仅当,b a 至少有一个为0时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．（4）减法公式：AB AC CB -=，常用于向量式的化简．（5）A 、P 、B 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+()t R ∈，这是直线的向量式方程．【题型归纳目录】题型一：平面向量的基本概念题型二：平面向量的线性表示题型三：向量共线的运用题型四：平面向量基本定理及应用题型五：平面向量的直角坐标运算【典例例题】题型一：平面向量的基本概念例1．（2022·全国·高三专题练习）已知平面四边形ABCD 满足AB DC =，则四边形ABCD 是（） A ．正方形 B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明AB DC =，且//AB DC ，由此即可得结论. 【详解】在四边形ABCD 中， AB DC =，所以AB DC =，且//AB DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．故选：B例2．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题： ①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．【详解】对于①，向量AB 与向量BA ，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量a 与b 平行时，a 或b 为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量AB 与CD 是共线向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B ．例3．（2022·全国·高三专题练习）下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；②若向量AB →，CD →满足AB CD →→>，且AB →与CD →同向，则AB CD →→>；③若两个非零向量AB →与CD →满足0AB CD →→→+=，则AB →，CD →为相反向量； ④AB CD →→=的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合. 其中错误的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】【分析】①错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误. 向量不能比较大小；③正确. AB →，CD →为相反向量；④错误. A 与C ，B 与D 不一定重合.【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关. ②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.③正确. 0AB CD →→→+=，得AB CD →→=-，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量.④错误. 由AB CD →→=，知AB CD →→=，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合.故选：C 【点睛】易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点.例4．（2022·江苏江苏·一模）平面内三个单位向量a ，b ，c 满足230a b c ++=，则（） A ．a ，b 方向相同 B ．a ，c 方向相同 C ．b ，c 方向相同 D ．a ，b ，c 两两互不共线【答案】A 【解析】【分析】根据230a b c ++=，得32c a b =--，两边利用单位向量的平方等于1，即可求出a,b 0<>=，解得a ，b 方向相同.【详解】因为230a b c ++=，所以32c a b =--，所以22(3)(2)c a b =--，所以222944?c a b a b =++，所以9144cos ,a b a b =++<>，所以4411cos ,a b =⨯⨯<>，所以cos ,1a b <>= 所以a,b 0<>=，所以a ，b 方向相同，故选：A.例5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知向量()4,3a =，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为（） A ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭或43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先写出与之垂直的一个向量，然后再求得与此垂直向量平行的单位向量即得．【详解】易知(3,4)b =-是与a 垂直的向量，5b =，所以与b 平行的单位向量为134(,)555b =-或134(,)555b -=-，故选：D ．例6．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（） A ．若a b =，则32a b > B ．0BC BA DC AD ---=C ．若向量,a b 是非零向量，则a b a b a +=+⇔与b 方向相同D ．向量a 与()0b b ≠共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使λa b 【答案】CD 【解析】【分析】利用向量的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】向量不等比较大小，故A 选项错误.向量加法、减法的结果仍为向量，故B 选项错误. a b a b a +=+⇔与b 方向相同，C 选项正确.根据向量共线的知识可知D 选项正确. 故选：CD例7．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列有关四边形ABCD 的形状，判断正确的有（） A ．若AD BC =，则四边形ABCD 为平行四边形 B ．若13AD BC =，则四边形ABCD 为梯形C ．若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 为菱形 D ．若AB DC =，且AC BD ⊥，则四边形ABCD 为正方形【答案】AB 【解析】【分析】依据平行四边形判定定理判断选项A ；依据梯形判定定理判断选项B ；依据菱形判定定理判断选项C ；依据正方形判定定理判断选项D.【详解】选项A ：若AD BC =，则//AD BC ，=AD BC ，则四边形ABCD 为平行四边形.判断正确；选项B ：若13AD BC =，则//AD BC ，AD BC ≠，则四边形ABCD 为梯形. 判断正确；选项C ：若AB AD AB AD +=-，则2240AB AD AB AD AB AD -=+⋅=-，则AB AD ⊥，即90BAD ∠=.仅由90BAD ∠=不能判定四边形ABCD 为菱形.判断错误；选项D ：若AB DC =，则//AB DC ，=AB DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，又由AC BD ⊥，可得对角线AC BD ⊥，则平行四边形ABCD 为菱形. 判断错误. 故选：AB例8．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（） A ．若a b =，则a b =或a b =- B ．若ma mb =，m R ∈，则a b = C ．若//a b ， //c b ，则//a cD ．若0ma =，m R ∈，则0m =或0a = 【答案】ABCD 【解析】【分析】对于A ，模长相等的两个向量方向任意，不一定平行；对于B ，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当0m =时，无法推出这两点，故B 不正确；对于C ，当0b =时，选项不正确；对于D ，00ma m =⇒=或0a =，即可得到D 错误.【详解】对于A ，若a b =，则两个向量的方向可以是任意的，不一定是平行的，故A 不正确；对于B ，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当0m =时，满足0ma mb ==， a 和b 的方向可以是任意的，且两者的模长也不一定相同，故B 不正确；对于C ，若//a b ， //c b ，当0b =时，满足//a b ， //c b ，但是不满足//a c ，故C 错误；对于D ，00ma m =⇒=或者||0a =，即0m =或0a =，故D 错误；故选：ABCD.【方法技巧与总结】准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.题型二：平面向量的线性表示例9．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，,M N 分别是,AD CD 的中点，BM a =，BN b =，则BD =（）A ．3243a b +B ．2233ab C ．2334a b +D ．3344a b +【答案】B【解析】【分析】设,AB m AD n ==，根据向量的线性运算，得到11()()22BD x y n x y m =+--，结合BD n m =-，列出方程组，求得,x y 的值，即可求解.【详解】如图所示，设,AB m AD n ==，且BD xa yb =+，则1111()()()()2222BD xa yb x n m y n m x y n x y m =+=⋅-+⋅-=+--，又因为BD n m =-，所以112112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22,33x y ==，所以2233BD a b =+.故选：B.例10．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （）A ．1566AB AD - B．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为2EO AE =，所以()111366AE AO AC AB AD ===+，所以()151666EB AB AE AB AB AD AB AD =-=-+=-. 故选：C.例11．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如图，ABCD 中，AB a =，AD b =，点E 是AC 的三等分点13⎛⎫=⎪⎝⎭EC AC ，则DE =（）A ．1233a b -B ．2133a b -C ．1233a b +D ．2133ab 【答案】B 【解析】【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可. 【详解】 2221()3333DE AE AD AC AD AB AD AD a b =-=-=⋅+-=- 故选：B.例12．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -【答案】B 【解析】【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果. 【详解】 ()1111112111·2222323622DG DE DF DA AE DC AD AB AB AB AD ⎛⎫=+=++=-++=- ⎪⎝⎭．故选：B.例13．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O 是正五边形ABCDE 的中心，则下列关系错误的是（）A ．AD DB OB OA +=-B ．0AO BE ⋅=C ．3AC AD AO +=D ．AO AD BO BD ⋅=⋅【答案】C【解析】【分析】由平面向量的运算对选项逐一判断【详解】对于A ，,AD DB AB OB OA AB +=-=，故A 正确，对于B ：因为AB AE =，OB OE =，所以AO BE ⊥，故B 正确，对于C ：由题意O 是ACD △的外心，不是ACD △的重心设CD 中点为M ，则2||=||||||||cos36||2cos 18AM AO OM AO AO AO +=+︒=⋅︒，24cos 18AC AD AO +=︒，故C 错误，对于D ：2211||||22AO AD AD BD BO BD ⋅===⋅，故D 正确．故选：C 例14．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点,,O G H 分别为任意ABC 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（）A ．12OG OH =B ．23OH GH =C ．23AO AH AG +=D ．23BO BH BG += 【答案】D【解析】【分析】根据三点共线和长度关系可知AB 正误；利用向量的线性运算可表示出,AG BG ，知CD 正误.【详解】,,O G H 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，12OG GH ∴=，13OG OH ∴=，32OH GH =，A 错误，B 错误； ()112333AO AH AG AO OG AO OH AO AH AO +=+=+=+-=，C 错误； ()112333BO BH BG BO OG BO OH BO BH BO +=+=+=+-=，D 正确. 故选：D.例15．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，设CB a =，CD b =，E 为AD 的中点，CE 与BD 交于F ，则AF =（）A ．23a b +-B ．23a b +-C ．23a b --D ．23a b -- 【答案】B【解析】【分析】根据题意得()13AF AC AD =+，再分析求解即可. 【详解】如下图所示，连接AC 与BD 交于O ，则O 为AC 的中点，因为E 为AD 的中点，所以F 为三角形ACD 的重心，所以()()112333a b AF AC AD a b a +=+=---=-. 故选：B.例16．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE =（）A ．1133AB AC + B ．1233AB AC + C ．2133AB AC + D ．2233AB AC + 【答案】C【解析】【分析】利用向量的三角形法则以及线性运算法则进行运算，即可得出结论.【详解】解：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以13BE BC =，所以1121()3333AE AB BE AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+；故选：C.例17．（多选题）（2022·山东·烟台二中模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当2AB =时，1BD =，则下列结论正确的为（）A ．DE DH =B ．0AF BJ ⋅=C ．51AH AB +=D ．CB CD JC JH +=- 【答案】AB【分析】连接DH ，AF ，CH ，BH ，利用五角星的结构特征逐项分析判断作答.【详解】对于A ，连接DH ，如图，由DF =FH ，108DFH ∠=得：36DHF E ∠==∠，DE DH =，A 正确；对于B ，连接AF ，由,AD AH FD FH ==得：AF 垂直平分DH ，而//BJ DH ，即AF BJ ⊥，则0AF BJ ⋅=，B 正确；对于C ，AH 与AB 不共线，C 不正确；对于D ，连接CH ，BH ，由选项A 知，DH DE BC ==，而//BC DH ，则四边形BCDH 是平行四边形， CB CD CH JH JC +==-，D 不正确.故选：AB【方法技巧与总结】（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．题型三：向量共线的运用例18．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a a b b=成立的充分条件是（）A ．a b =且a b ∥B ．a b =-C ．a b ∥D ．2a b = 【答案】D【解析】根据充分条件的定义以及平面向量的有关概念即可解出．【详解】对于A ，当a b =且a b ∥时，a a b b =或a b a b =-，A 错误；对于B ，当a b =-时，a b a b =-，B 错误；对于C ，当a b ∥时，a ab b =或a b a b =-，C 错误；对于D ，当2a b =时，a a b b =，D 正确．故选：D ．例19．（2022·四川绵阳·二模（理））已知平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+，则（）A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线【答案】D【解析】【分析】根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.【详解】平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+，对于A ，3(3)6BD BC CD a b a b b =+=-+++=，与AB 不共线，A 不正确；对于B ，因46AB a b =+，3BC a b =-+，则AB 与BC 不共线，B 不正确；对于C ，因3BC a b =-+，3CD a b =+，则BC 与CD 不共线，C 不正确；对于D ，46(3)393AC AB BC a b a b a b CD =+=++-+=+=，即//AC CD ，又线段AC 与CD 有公共点C ，则A ，C ，D 三点共线，D 正确.故选：D 例20．（2022·全国·高三专题练习）已知1e ，2e 是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（）①15a e =，17b e =；②121123a e e =-，1232b e e =-； ③12a e e =+，1233b e e =-．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解析】【分析】根据平面向量共线定理得到，对于①57a b =，故两向量共线；对于②16a b =，故两向量共线；对于③不存在实数λ满足λa b ，故不共线.【详解】对于①15a e =，17b e =，57a b =，故两向量共线；对于②121123a e e =-，1232b e e =-，16a b =，故两向量共线；对于③12a e e =+，1233b e e =-，假设存在,a b λλ=⇒()121233e e e e λ=-+()()123131e e λλ⇒-=+，因为1e ，2e 是不共线向量，故得到3131λλ-=+无解.故选：A.例21．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=（）A ．2B ．2-C ．12-D ．12 【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解. 【详解】因为122a e e =-与12b e e λ=+共线，所以ka b =，0k ≠，所以12121212()22=k k e e e e e e e e k λλ-+⇒-=+，因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ=⎧⎨-=⎩，解得12λ=-，故选：C ．例22．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））如图，在ABC 中，M ，N 分别是线段AB ，AC 上的点，且23AM AB =，13AN AC =，D ，E 是线段BC 上的两个动点，且(,)AD AE x AM y AN x y +=+∈R ，则12x y+的的最小值是（）A ．4B ．43C ．94D ．2【答案】B【解析】【分析】根据平面向量共线定理可设AD mAB nAC =+，1m n +=，AE AB AC λμ=+，1λμ+=，再结合AD AE x AM y AN +=+得26x y +=，最后运用基本不等式可求解.【详解】设AD mAB nAC =+，1m n +=，AE AB AC λμ=+，1λμ+=，则AD AE mAB nAC AB AC λμ+=+++=3()()()3()2m AB n AC m AM n AN λμλμ+++=+++x AM y AN =+，3()2m x λ+=，3()n y m μλ+=⇒+=23x ，13n y μ+=，21222633m n x y x y λμ+++=⇒+=⇒+=.所以12112(2)6x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭14142222663y x x y ⎛⎛⎫+++≥++= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当32x =，3y =时等号成立. 所以12x y +的的最小值是43. 故选：B例23．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB yAC x y =+>>，则12x y +的最小值为（） A ．9B ．8C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】根据向量共线定理得推论得到21x y +=，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】因为点F 为线段BC 上任一点（不含端点），所以21x y +=，故()12122221459y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22y x x y =，即13x y ==时等号成立，故选：A例24．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B 三点共线，则x =（）A ．53-B ．53C ．35D ．35【答案】A【解析】【分析】根据O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥，R λ∃∈，OB OA λ=，代入整理．【详解】因为O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥所以R λ∃∈，OB OA λ=，即()53xm n m n λ+=-整理得：()()531x m n λλ-=+ 又∵向量m ，n 不共线，则5310x λλ-=+=，则53x =- 故选：A ．例25．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知向量a ，b ，且2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（）A ．A ，B ，DB ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D【答案】A【解析】【分析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因为2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，选项A ，2AB a b =+，(56)(72)24B a b D B D b C a C b a ++-+==-+=，若A ，B ，D 三点共线，则AB BD λ=，即2(24)a b a b λ+=+，解得12λ=，故该选项正确；选项B ，2AB a b =+，BC 56a b =-+，若A ，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即2(56)a b a b λ+=-+，解得λ不存在，故该选项错误；选项C ，BC 56a b =-+，72CD a b =-，若B ，C ，D 三点共线，则BC BD λ=，即56(72)a b a b λ-+=-，解得λ不存在，故该选项错误；选项D ，(2)(56)48a b a A b AB BC a b C ++=+=+-=-+，72CD a b =-，若A ，C ，D 三点共线，则AC CD λ=，即48(72)a b a b λ-+=-，解得λ不存在，故该选项错误；故选：A.例26．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①若||||a b =，则a b =；②若A B C D 、、、是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a b =，b c =，则a c =；④a b =的充要条件是||a ||b =且//a b ；⑤若//a b ，//b c ，则//a c ．其中正确命题的序号是________ ．【答案】②③##③②【解析】【分析】根据向量相等的概念及向量共线的概念即可判断.【详解】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；对于②，因为A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB DC = 等价于//AB DC 且AB DC =，即等价于四边形ABCD 为平行四边形，故②正确；对于③，若a b =,b c =，则a c =，显然正确，故③正确；对于④，由a b =可以推出||||a b =且//a b ，但是由||||a b =且//a b 可能推出a b =-，故“||||a b =且//a b ”是“a b =”的必要不充分条件，故④不正确，对于⑤，当0b =时，//a b ，//b c ，但推不出//a c ，故⑤不正确.故答案为：②③例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1+【解析】【分析】先利用条件找到12133λμ+=，则12()33λμλμλμ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =， ∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+，又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()113333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即λμ=∴λμ+的最小值为1故答案为：1例28．（2022·全国·高三专题练习）已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________．【答案】3【解析】【分析】以,AN AM 为基底，由G 是ABC ∆的重心和M ，G ，N 三点共线，可得11=133x y+，即求. 【详解】根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+，又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，ABC 中点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE xAB y AC +=+，则9x yxy+的最小值为______．【答案】8 【解析】【分析】设AD mAB nAC =+，AE AB AC λμ=+，由B ，D ，E ，C 共线可得2x y +=，再利用乘“1”法求解最值. 【详解】设AD mAB nAC =+，AE AB AC λμ=+，B ，D ，E ，C 共线，1m n ∴+=，1λμ+=．AD AE xAB y AC +=+，则2x y +=，点D ，E 是线段BC 上两个动点，0x ∴>，0y >． ∴991191191()()(10)(10)8222x y y x y xx y xy x y x y x y x y+=+=++=+++= 则9x yxy+的最小值为8．故答案为：8．【点睛】由向量共线定理的推论得到2x y +=是解题关键，乘“1”法求解最值是基本不等式求最值的常用方法.. 例30．（2022·全国·高三专题练习）已知向量1223a e e =-，1223b e e =+，其中1e ，2e 不共线，向量1229c e e =-，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d a b λμ=+与c 共线？【答案】存在【解析】【分析】由已知得12(22)(33)d e e λμλμ=++-+，所以要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d kc =，即()1212(22)(33)29e e k e e λμλμ++-+=-，从而得222339k k λμλμ+=⎧⎨-+=-⎩，进而可求得结果【详解】因为向量1223a e e =-，1223b e e =+，所以1212(23)(23)d a b e e e e λμλμ=+=-++12(22)(33)e e λμλμ=++-+要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d kc =，即()1212(22)(33)29e e k e e λμλμ++-+=-，即222339kkλμλμ+=⎧⎨-+=-⎩得2λμ=-. 故存在这样的实数λ，μ，只要2λμ=-，就能使d 与c 共线.【方法技巧与总结】要证明A ，B ，C 三点共线，只需证明AB 与BC 共线，即证AB =λBC （R λ∈）.若已知A ，B ，C 三点共线，则必有AB 与BC 共线，从而存在实数λ，使得AB =λBC .题型四：平面向量基本定理及应用例31．（2022·重庆八中模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2CF FD =，DE 与BF 相交于O ．若2AD =，(32)7AO AD AB ⋅-=-，则AB 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】【分析】先以AB AD 、为基底表示AO ，再利用向量的数量积把(32)7AO AD AB ⋅-=-转化为关于AB 的方程，即可求得AB 的长【详解】在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2CF FD =，DE 与BF 相交于O ．设(01)DO DE λλ=<<， (01)BO BF μμ=<<则11++122AD DO AD DE AD AB AD AD AB λλλλ⎛⎫⎛⎫+==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22(1)33AB BO AB BF AB AD AB AB AD μμμμ⎛⎫+=+=+-=-+ ⎪⎝⎭由AO AD DO AB BO =+=+，可得2(1)3AB AD μμ-+112AD AB λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭则112213λμμλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解之得1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3142AO AD DO AD AB =+=+则22(32)(33194242)7AO AD AB AD AB AD A AD AB B ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⋅-=⎭-=-又2AD =，则279AB -=-，解之得4AB ，即AB 的长为4故选：C例32．（2022·全国·高三专题练习）在等边ABC 中，O 为重心，D 是OB 的中点，则AD =（） A ．AB AC + B．2132AB AC +C ．1124AB AC +D ．2136AB AC +【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算计算作答. 【详解】O 为ABC 的重心，延长AO 交BC 于E ，如图，E 为BC 中点，则有2211()()3323AO AE AB AC AB AC ==⋅+=+，而D 是OB 的中点，所以111121()222636AD AB AO AB AB AC AB AC =+=++=+. 故选：D例33．（2022·河南郑州·三模（理））在ABC 中，D 是BC 上一点，2BD DC =，M 是线段AD 上一点，14BM tBA BC =+，则t =（）A ．12 B ．23C ．34 D ．58【答案】D 【解析】【分析】求得1233AD AB AC =+，设1233AM AD AB AC λλλ==+，其中01λ≤≤，利用平面向量的线性运算可得出3144AM AB BM t AB AC ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，根据平面向量的基本定理可得出关于λ、t 的方程组，即可解得t 的值.【详解】因为2BD DC =，则()2AD AB AC AD -=-，所以，1233AD AB AC =+， ()131444AM AB BM AB t AB AC AB t AB AC ⎛⎫=+=-+-=-+ ⎪⎝⎭，因为M 是线段AD 上一点，设1233AM AD AB AC λλλ==+，其中01λ≤≤，所以，13342134t λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3858t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：D.例34．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在ABCD 中，M 为BC 的中点，AC mAM nBD =+，则m ＋n ＝（）A ．1B ．43 C ．53D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用向量的线性运算可求,m n 的值. 【详解】1122AM AB BC AB AD =+=+，而BD AD AB =-，故()12AC m AB AD n AD AB ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭()2m m n AB n AD ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，而AC AB AD =+且,AB AD 不共线，故4153{13123m n m m n m n n ⎧-==⎪⎪⇒⇒+=⎨+=⎪=⎪⎩，故选：C.例35．（2022·河南商丘·三模（理））如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且均为靠近B 的四等分点，CD 与AE 交于点F ，若BF xAB yAC =+，则3x y +=（）A ．1-B ．34-C ．12-D ．14-【答案】A 【解析】【分析】由题意推出DE AC ∥，可得14DF DE FC AC ==，推出15DF DC =，根据向量的加减运算，用基底,AB AC 表示出BF ，和BF xAB yAC =+比较，可得,x y ，即得答案.【详解】连结DE ，由题意可知，14BD BE BA BC ==，所以DE AC ∥，则14DE BD AC BA ==，所以14DF DE FC AC ==，所以14BD AB =-，34DC AC AD AC AB =-=-，则1135520DF DC AC AB ==-，故11321452055BF BD DF AB AC AB AB AC =+=-+-=-+，又BF xAB yAC =+，所以25x =-，15y =，则31x y +=-，故选：A例36．（2022·山东济宁·三模）在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP =________.【解析】【分析】根据题意得34AP mAC AD =+，求出14m =，所以1142AP AC AB =+，即21142AP AC AB ⎛⎫=+ ⎪，求解即可.【详解】因为23AD AB =，所以32AB AD =，又12AP mAC AB =+，即1324AP mAC AB mAC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上，所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形，所以222211111cos60421644AP AC AB AC AC AB AB ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故7AP =例37．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，AD AB ACλμ=+(),λμ∈R ，则λμ-=______．【答案】13-【解析】【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD DC =，得()2233BD BC AC AB ==-，所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++，因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-【方法技巧与总结】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三点共线定理： A ，B ，P 三点共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OP OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为AB 外一点.题型五：平面向量的直角坐标运算例38．（2022·江苏·高三专题练习）在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+。

2023年高考数学真题分训练平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理(含答案含解析)

专题 15 平面向量的概念、线性运算、平面向量根本定理年份题号考点考查内容2023卷 1 文6平面向量的概念与线性运算主要考查平面向量的线性运算卷 1 理 7平面向量根本定理及其应用主要考查平面向量的线性运算及平面向量根本定理卷 2 理 13平面向量的概念与线性运算主要考查平面向量共线的充要条件2023卷1文 2平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件主要考查平面向量的坐标与点坐标的关系、平面向量坐标运算2023卷 2 文 13 平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件主要考查平面向量坐标的线性运算及向量共线的充要条件卷1理 6 文 7平面向量根本定理及其应用主要考查平面向量的线性运算及平面向量根本定理2023卷 3理 13 文 13 平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件主要考查平面向量的线性运算及向量共线的充要条件2023 卷 2文 3平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件主要考查平面向量坐标运算及模公式考点 47 平面向量的概念与线性运算1．(2023 新课标 I ，文 6)设 D , E , F 分别为∆ABC 的三边 BC , CA , AB 的中点，则 EB + FC =33A. BCB ．（答案）C 1 AD2C ． ADD ． 1 BC2（解析） EB + FC =1 (CB + AB ) + 1 (BC + AC ) = 1( AB + AC ) = AD ，应选 C ． 2 2 22．(2023 福建)在以下向量组中，可以把向量a =(3,2) 表示出来的是A ．e 1 =(0,0),e 2 = (1,2) C ．e 1 =(3,5),e 2 =(6,10) （答案）BB ．e 1 =(-1,2),e 2 =(5,-2) D ．e 1 =(2,-3),e 2 =(-2,3) （解析）对于 A ，C ，D ，都有e 1 ∥ e 2 ，所以只有 B 成立．考点 48 平面向量根本定理及其应用1．(2023 江苏 13)在∆ABC 中， AB = 4 ， AC = 3 ， ∠BAC = 90︒， D 在边 BC 上，延长 AD 到 P ，使得3AP = 9 ，假设 PA = mPB + (2- m )PC ( m 为常数)，则CD 的长度是．18 （答案）53 （解析）由向量系数m + ( - m ) = 为常数，结合等和线性质可知 2 2 PA PD= 2 ，1故 PD =2PA = 6 ， AD = PA - PD = 3 = AC ，故∠C = ∠CDA ，故∠CAD =π- 2C ．3AC 3 CD AD在∆ABC 中， cos C = = ；在∆ADC 中，由正弦定理得 = ，BC 5 sin ∠CAD sin Csin(π- 2C ) sin 2C 3 18即CD = ⋅ AD = ⋅ AD = 2 cos C ⋅ AD = 2 ⨯ ⨯ 3 = ．sin C sin C5 52．(2023•新课标Ⅰ，理 6 文 7)在∆ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB = ()A ． 3 - 1B ． 13C ． 31D ． 13AB AC4 4（答案）AAB - AC4 4AB + AC4 4AB + AC4 42EB AB AE AB AD =11AB AC （解析）在∆ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，∴ = - = - 12AB - ⨯ 2 2( AB + AC ) = 3 - 1，应选 A ． 4 43．(2023 新课标Ⅰ，理 7)设 D 为ABC 所在平面内一点 BC = 3CD ，则( )(A) AD = - 1 AB + 4AC (B) AD = 1 AB - 4AC3 3 3 3(C) AD =4 1AB + AC (D) AD =4 1AB - AC 3 33 3（答案）A1114 （解析）由题知 AD = AC + CD = AC + BC = AC + 3 3 ( AC - AB ) = = - AB + 3 3AC ，应选 A ． 4．(2023 广东)设a 是已知的平面向量且a ≠ 0 ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量 c ，使 a = b + c ； ②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a = λb + μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a = λb + μc ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a = λb + μc ；上述命题中的向量b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）B（解析）利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的根本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不肯定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须 λb + μc =λ+μ≥ a ，所以④是假命题．综上，此题选 B ．5．(2023 江苏)如图，在同一个平面内，向量OA ， OB ， OC 的模分别为 1，1，， OA 与OC 的夹角为α ，且 tan α= 7 ， OB 与 OC 的夹角为 45．假设 OC = m OA + n OB ( m ， n ∈ R ) ，则m + n =．（答案）3（解析）由tan α= 7 可得sin α=7 2， cos α=2，由OC = m OA + n OB 得1010⎧ 2 ⎧⎪OC ⋅OA = mOA + nOB ⋅OA ⎪ 2 cos α= m + n c os(α+ 45 ) ⎨ 2 ，即⎨ ，两式相加得，2 cos 45 = m cos(α+ 45 ) + n ⎩OC ⋅OB = mOB ⋅OA + nOB⎩ 2(cos α+ cos 45 ) = (m + n )(1+ cos(α+ 45 )) ，所以2 ⨯2+ 2 ⨯2m + n = 2 cos α+ 2 cos 45 = 10 2 = 3 ，所以 m + n = 3 ． 1+ cos(α+ 45)2 2 7 2 2 1+ ⨯ - ⨯ 10 2 10 2λ6．(2023 北京)向量 a ，b ，c 在正方形网格中的位置如下图，假设c = λa + μb (λ，μ∈R )，则 μ=．（答案）41 （解析）如图建立坐标系，则 a = (-1,1) ，b = (6, 2) ，c = (-1, 3) ．由c = λa + μb ，可得λ= -2,μ= -，2λ∴ μ= 47．(2023 北京)在△ABC 中，点 M ， N 满足 AM = 2MC ， BN = NC ，假设 MN = x AB + y AC ，则 x =2AB c / /(2a a | a b | ； y = ．1（答案） 2 1 - 61 1 11 1 1 （解析）由 MN = MC + CN = AC + CB = AC + ( AB - AC ) = AB - AC = x AB + y AC ．所3 2 3 2 2 61 1 以 x = ， y = - ．2 6考点 49 平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件1．(2023•新课标Ⅱ，文 3)已知向量 a = (2, 3) ， b = (3, 2) ，则| a - b |= ( )A ．（答案）AB.2 C ． 5 D ．50（解析） a = (2, 3) ，b = (3, 2) ，∴- b = (2 ，3) - (3 ，2) = (-1 ，1) ，∴ -= ，应选 A ．2．(2023 辽宁)已知点 A (1, 3) ， B (4, -1) ，则与向量 AB 同方向的单位向量为⎛ 34 ⎫⎛ 43 ⎫⎛ - 3 4 ⎫⎛ 4 3 ⎫A ．，- ⎪B ．，- ⎪C ．， ⎪D ． - ， ⎪⎝ 55 ⎭ （答案）A⎝ 55 ⎭ ⎝ 5 5 ⎭⎝ 5 5 ⎭（解析） AB = (3, -4) ，所以| AB |= 5 ，这样同方向的单位向量是 1 = (3 , - 4) ． 5 5 53．(2011 广东)已知向量a =(1，2)， b =(1，0)， c =(3，4)．假设λ为实数， (a + λb )∥c ，则λ=A.14（答案）BB.12C ．1D ．2（解析）a + λb = (1+ λ, 2) ，由(a + λb ) ∥ c ，得6 - 4(1+ λ) = 0 ，解得λ= 124．( 2023•新课标Ⅲ，理 13)已知向量 a = (1, 2) ， b = (2, -2) ， c = (1,λ) ．假设+ b ) ，则λ= ．（答案） 12（解析）向量 a = (1, 2) ， b = (2, -2) ，∴+ b = (4, 2) ， c = (1,λ) ，+ b ) ， 2a∴ 1 = λ，解得λ= 1．c / /(2a4 2 25．(2023 新课标，文 13) 已知向量 a =(m ，4)，b =(3，−2)，且 a ∥b ，则 m = ．（答案） -6225⎨⎩1（解析）向量 a ， b 不平行，向量λa + b 与 a + 2b 平行， a + b = t (a + 2b ) = ta + 2tb ，（解析）因为 a ∥b ，所以-2m - 4 ⨯ 3 = 0 ，解得 m = -6 ．6．(2023•新课标Ⅱ，理 13)设向量 a ， b 不平行，向量λ + b 与+ 2b 平行，则实数λ= ．（答案） 12 a a∴λ∴ ⎧λ= t ⎩1 = 2t，解得实数λ= 1 ．27．(2023 江苏)已知向量a = (2,1) ， b = (1, -2) ，假设 m a + n b = (9, -8) ( m , n ∈R)，则 m - n的值为．（答案）－3（解析）由题意得： 2m + n = 9, m - 2n = -8 ⇒ m = 2, n = 5, m - n = -3.8．(2023 北京)已知向量a 、b 满足 a = 1 ， b = (2,1) ，且λa + b = 0 (λ∈ R )，则 λ = （答案） ⎧cos θ= - 2（解析）∵| a |= 1，∴可令 a = (cos θ, s in θ) ，∵ λa + b = 0 ，∴⎧λcos θ+ 2 = 0，即⎪λ，解⎨λsin θ+1 = 0⎨⎪sin θ= - 1 ⎩ λ得λ2 = 5 得| λ|=．9．(2023 陕西) 设0 <θ< π，向量a = (sin 2θ，cos θ) ， b (cos θ，1)，假设a ∥b ，则2tan θ= ．1（答案）2（解析）∵ a ∥b ，∴ sin 2θ= cos2θ，∴ 2 sin θcos θ= cos 2θ，∵θ∈π(0, ) 2，∴tan θ= ． 25。

平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算知识点：1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小,又有方向的量统称为向量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量;其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±错误!平行向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合,则称这两个向量平行或共线0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02。

向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a 结合律：(a＋b）＋c ＝a＋(b＋c）减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋（－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa｜＝｜λ｜｜a｜；（2）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时,λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0（1）λ(μa）＝(λμ）a；（2）(λ＋μ)a＝λaμa；（3)λ（a＋b)＝λa＋λb3.向量共线的判定定理a是一个非零向量,若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．选择题：给出下列命题：①零向量的长度为零,方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量错误!与错误!相等．则所有正确命题的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②解析根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量错误!与错误!互为相反向量，故③错误．已知下列各式：①错误!＋错误!＋错误!；②错误!＋错误!＋错误!＋错误!；③错误!＋错误!＋错误!＋错误!；④错误!－错误!＋错误!－错误!，其中结果为零向量的个数为(）A．1 B．2 C．3 D．4解析由题知结果为零向量的是①④，故选B。

第五章 5.1平面向量的概念及线性运算

§5.1平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念3.向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ )(3)已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝2.( × ) (4)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( √ )(5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ )1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →答案 A解析由2AC →＋CB →＝0得2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0，故OC →＝2OA →－OB →.3．已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．答案－2解析如图所示，由AP →＝λPD →，且P A →＋BP →＋CP →＝0，则P 是以AB 、AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝－2PD →，则λ＝－2.4．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示)答案－14a ＋14b解析由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .题型一平面向量的概念例1 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.故“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件．③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ， ∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．答案 ⑤解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0，则a 与c 不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．题型二平面向量的线性运算例2 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA → D.12AB →－23AD → (2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 答案 (1)D (2)A解析 (1)在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. (2)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( ) A ．0 B.BE → C.AD →D.CF →(2)(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 (1)D (2)12解析 (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中， CD →＝AF →，BF →＝CE →，∴BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF →＝BF →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.(2)由题意，得DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型三共线定理的应用例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 和a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a 、b 不共线．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD →等于( ) A.23AB →－13AC → B.13AB →＋23AC →C.23AB →＋13AC → D.13AB →－23AC → (2)已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－4OB →＋3OC →＝0，则|AB →||BC →|等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 (1)C (2)A解析 (1)由平面向量的三角形法则，得AD →＝AB →＋BD →.又因为点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以AD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →. (2)OA →－4OB →＋3OC →＝0⇒OA →－OB →－3(OB →－OC →)＝0⇒BA →＝3CB →，所以|AB →||BC →|＝3.方程思想在平面向量的线性运算中的应用典例：(12分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.思维点拨 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解．规范解答解设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.① [7分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线， ∴CM →与CB →共线．[10分] ∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →， ∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1. 消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[12分]温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．方法与技巧1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB→(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．A 组专项基础训练(时间：45分钟)1．下列说法正确的个数是( )①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；②零向量没有方向；③向量的模一定是正数；④非零向量的单位向量是唯一的．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析 ①错误，只有速度和位移是向量；②错误，零向量是有方向的，它的方向是任意的；③错误，|0|＝0；④显然错误．2．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a －b 等于( )A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ．(3,9)答案 A解析 2a －b ＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)．3．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 B解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 B解析由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO→＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1 B.12 C.13 D.23答案 D解析 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →， ∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →. 故λ＋μ＝12＋16＝23. 6．下列命题：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一方向相同；②三角形ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为三角形的三个顶点；④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中假命题的序号为________．答案 ①③④解析 ①若a 与b 长度相等，方向相反，则a ＋b ＝0；③A ，B ，C 三点可能在一条直线上；④|a |＋|b |≥|a ＋b |.7．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．答案 12解析设D 为AC 的中点，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →.又OA →＋OC →＝－2OB →，所以OD →＝－OB →，即O 为BD 的中点，从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为12. 8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________. 答案 23解析由图知CD →＝CA →＋AD →，①CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23. 9．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．10.如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a 、b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．(1)解延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )， AE →＝23AD →＝13(a ＋b )， AF →＝12AC →＝12b ， BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )． BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明由(1)可知BE →＝23BF →，又因为BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．B 组专项能力提升(时间：25分钟)11．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上答案 B解析因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.12.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b 答案 D解析连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a . 13．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 B解析作∠BAC 的平分线AD .∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD→|AD →|(λ′∈[0，＋∞))，∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →.∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．14.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.则m ＋n ＝2.15．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。

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课时跟踪检测（二十八）平面向量的概念及线性运算1．(山东省实验中学高三摸底测试)已知a,b 是两个非零向量,且|a ＋b|＝|a|＋|b|,则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 反向共线D ．存在正实数λ,使得a ＝λb解析:选D 由已知得,向量a 与b 为同向向量,即存在正实数λ,使得a ＝λb,故选D.2．设a 0为单位向量,下述命题中:①若a 为平面内的某个向量,则a ＝|a|a 0；②若a 与a 0平行,则a ＝|a|a 0；③若a 与a 0平行且|a|＝1,则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析:选D 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a |a 0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题；若a 与a 0平行,则a 与a 0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a ＝－|a |a 0,故②③也是假命题．综上所述,假命题的个数是3.3．(广东仲元中学期中)在平行四边形ABCD 中,下列结论错误的是( ) A ．|AB ―→|＝|AD ―→|一定成立 B ．AC ―→＝AB ―→＋AD ―→一定成立 C ．AD ―→＝BC ―→一定成立D ．BD ―→＝AD ―→－AB ―→一定成立解析:选A 在平行四边形ABCD 中,AC ―→＝AB ―→＋AD ―→一定成立,AD ―→＝BC ―→一定成立,BD ―→＝AD ―→－AB ―→一定成立,但|AB ―→|＝|AD ―→|不一定成立．故选A.4．(石家庄高三一检)在△ABC 中,点D 在边AB 上,且BD ―→＝12DA ―→,设CB ―→＝a,CA ―→＝b,则CD ―→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析:选 B ∵BD ―→＝12DA ―→,∴BD ―→＝13BA ―→,∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA ―→＝CB ―→＋13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝23a ＋13b,故选B.5.(长春模拟)如图所示,下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b.A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析:选C ①根据向量的加法法则,得PQ ―→＝32a ＋32b,故①正确；②根据向量的减法法则,得PT ―→＝32a －32b,故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b,故③正确；④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a＋12b,故④错误,故选C. 6．(嘉兴调研)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心,且OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0,则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析:选A 由OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0得,OA ―→＋OB ―→＝OC ―→,由O 为△ABC 外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知,四边形OACB 为菱形,且∠CAO ＝60°,故A ＝30°.7.(江西新余第一中学模拟)如图,已知△OAB ,若点C 满足AC ―→＝2CB ―→,OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→ (λ,μ∈R),则1λ＋1μ＝( )A.13B.23C.29D.92解析:选 D ∵OC ―→＝OA ―→＋AC ―→＝OA ―→＋23AB ―→＝OA ―→＋23(OB ―→－OA ―→)＝13OA ―→＋23OB ―→,∴λ＝13,μ＝23,∴1λ＋1μ＝3＋32＝92.故选D. 8．(张家口月考)在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,若2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→,则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形解析:选 B ∵2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→,∴2(OA ―→－OD ―→)＝OB ―→－OC ―→,即2DA ―→＝CB ―→,∴DA ∥CB ,且2|DA ―→ |＝|CB ―→|,∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.9．(甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ―→＝－4CD ―→,则AD ―→＝( ) A.14AB ―→－34AC ―→ B.14AB ―→＋34AC ―→C.34AB ―→－14AC ―→D.34AB ―→＋14AC ―→解析:选B 法一:设AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→,由BC ―→＝－4CD ―→可得,BA ―→＋AC ―→＝－4CA ―→－4AD ―→,即－AB ―→－3AC ―→＝－4x AB ―→－4y AC ―→,则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝34，即AD ―→＝14AB ―→＋34AC ―→,故选B.法二:在△ABC 中,BC ―→＝－4CD ―→,即－14BC ―→＝CD ―→,则AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→－14BC ―→＝AC ―→－14(BA ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋34AC ―→,故选B.10.(曲阜模拟)如图,在△ABC 中,AN ―→＝13NC ―→,P 是BN 上的一点,若AP―→＝m AB ―→＋29AC ―→,则实数m 的值为( ) A.13 B.19 C ．1D ．3解析:选B 因为AN ―→＝13NC ―→,所以AC ―→＝4AN ―→.所以AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋89AN ―→,因为B ,P ,N 共线,所以m ＋89＝1,m ＝19.11．(河南三市联考)若AP ―→＝12PB ―→,AB ―→＝(λ＋1)BP ―→,则λ＝________.解析:由AP ―→＝12PB ―→可知,点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点,则AB ―→＝－32BP ―→,所以λ＋1＝－32,解得λ＝－52.答案:－5212．(石家庄高三摸底考试)平行四边形ABCD 中,M 为BC 的中点,若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→,则λμ＝________.解析:∵DB ―→＝AB ―→－AD ―→＝AB ―→－BC ―→＝AB ―→－2BM ―→＝3AB ―→－2AM ―→,∴AB ―→＝λAM ―→＋3μAB ―→－2μAM ―→,∴(1－3μ)AB ―→＝(λ－2μ)AM ―→,∵AB ―→和AM ―→是不共线向量,∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3μ＝0，λ－2μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝13，λ＝23，∴λμ＝29.答案:2913．(盐城一模)在△ABC 中,∠A ＝60°,∠A 的平分线交BC 于点D ,若AB ＝4,且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R),则AD 的长为________．解析:因为B ,D ,C 三点共线,所以14＋λ＝1,解得λ＝34,如图,过点D 分别作AC ,AB 的平行线交AB ,AC 于点M ,N ,则AN ―→＝14AC ―→,AM ―→＝34AB ―→,经计算得AN＝AM ＝3,AD ＝3 3.答案:3 314．在直角梯形ABCD 中,∠A ＝90°,∠B ＝30°,AB ＝23,BC ＝2,点E 在线段CD 上,若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→,则μ的取值范围是________．解析:由题意可求得AD ＝1,CD ＝3,所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上,∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→,又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→,∴2μλ＝1,即μ＝λ2.∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤12, 即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 15．已知O ,A ,B 是不共线的三点,且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m,n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1,求证:A ,P ,B 三点共线； (2)若A ,P ,B 三点共线,求证:m ＋n ＝1. 证明:(1)若m ＋n ＝1, 则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m)OB ―→ ＝OB ―→＋m(OA ―→－OB ―→), ∴OP ―→－OB ―→＝m(OA ―→－OB ―→), 即BP ―→＝m BA ―→,∴BP ―→与BA ―→共线．又∵BP ―→与BA ―→有公共点B , ∴A ,P ,B 三点共线．(2)若A ,P ,B 三点共线, 则存在实数λ,使BP ―→＝λBA ―→, ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)．又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→, 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0. ∵O ,A ,B 不共线,∴OA ―→,OB ―→不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。

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