高数测试题

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数学竞赛高数试题及答案

数学竞赛高数试题及答案试题一：极限的计算问题：计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}$，由于 $\cos 0 = 1$，所以极限的值为 1。

试题二：导数的应用问题：若函数 $ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 $，求其在 $ x = 1 $ 处的导数值。

解答：首先求导数 $ f'(x) = 6x - 2 $，然后将 $ x = 1 $ 代入得到 $ f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 $。

试题三：不定积分的求解问题：求不定积分 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx$。

解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C$，其中$ C $ 是积分常数。

试题四：级数的收敛性判断问题：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $ 是否收敛。

解答：根据比值测试，我们有 $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1$，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。

试题五：多元函数的偏导数问题：设函数 $ z = f(x, y) = x^2y + y^3 $，求 $ f $ 关于$ x $ 和 $ y $ 的偏导数。

解答：对 $ x $ 求偏导，保持 $ y $ 为常数，得到 $ f_x =2xy $。

对 $ y $ 求偏导，保持 $ x $ 为常数，得到 $ f_y = x^2 + 3y^2 $。

大学高数下册试题及答案

大学高数下册试题及答案《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；B．；C．；D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。

令，则由推出，的坐标为附加题：1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。

高等数学测试题及解答上部分1-6章

第一单元函数与极限一、填空题 1、已知x xf cos 1)2(sin+=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

高数测试卷一及答案(第一章)

高数第一章测试一、选择题（每题5分）1、当x →0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（）A ．x 2 B. 1-cos x C. x - tan x D. ln(1+x 2)答案：C;211cos ~2x x -，22ln(1)~x x +， 222222000011tan cos 11sin 1cos lim lim lim lim 022cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→---===-=， ∴该选（C ）2、设当x →0时，(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比（2x e ）高阶的无穷小，则正整数n 为（）A.1B.2C.3D.4答案：B ；因为当0x →时，224121(1cos )ln(1)sin ,(1)2n n x x x x x x x e x +-+-，，所以214n <+<满足题设条件的2n =。

故选B 。

3、设232)(-+=x x x f ,则当x →0时（） A. )(x f 与x 是等价无穷小量 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C. )(x f 与比x 较高阶的无穷小量D. )(x f 与比x 较低阶的无穷小量答案：B ；【解法1】ln 22ln32121ln 2(ln 2)2!131ln 3(ln 3)2!()232(ln 2ln 3)()x x x x x x e x x e x x f x x x ο==+++ ==+++∴=+-=++ 故0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

【解法2】 000()2322ln 23ln 3lim lim lim ln 2ln 31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+ ∴0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

4、下列极限存在的是（） A.x x x x 1arctan sin lim 0→ B. x x x x 1arctan sin lim 0→ C. x x x x 1arctan sin lim 0→ D. x x x x 1arctan sin lim 0→答案：A;因为00sin sin 11lim arctan (1)()lim arctan 12222x x x x x x x x ππππ-→→=--==⨯=＋，。

高等数学第一章测试题

高等数学第一章测试题测试题一：导数与求导法则1. 求以下函数的导数：(a) $y = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 4$(b) $y = \sqrt{2x^3 + 5x^2 - 3x + 1}$(c) $y = e^x \cdot \ln{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$2. 利用导数的定义计算以下函数在给定点处的导数：(a) $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$，在点$x = 2$处的导数(b) $g(x) = \frac{1}{x^2}$，在点$x = -1$处的导数(c) $h(x) = \sin{x}$，在点$x = \frac{\pi}{4}$处的导数3. 根据给定函数的导数，确定函数的表达式：(a) 已知函数$f'(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$，求$f(x)$。

(b) 已知函数$g'(x) = \frac{1}{x^2} - 3x$，求$g(x)$。

测试题二：微分与应用1. 计算以下函数在给定点处的微分：(a) $y = \sqrt{x^2 + 3x + 2}$，在点$x = 2$处的微分(b) $y = e^x \cdot \ln{x}$，在点$x = 1$处的微分(c) $y = \sin{x} \cdot \cos{2x}$，在点$x = \frac{\pi}{6}$处的微分2. 使用微分，求以下函数的近似值：(a) $f(x) = \sqrt[3]{x}$，当$x$接近于$8$时的近似值(b) $g(x) = \ln{(1 + x)}$，当$x$接近于$0$时的近似值(c) $h(x) = e^{2x}$，当$x$接近于$0$时的近似值3. 利用微分进一步求解以下问题：(a) 当物体从起点开始以速度$v(t) = 5t - 2$移动时，求$t = 3$时的位移。

高等数学考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（）.（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1．作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．2- 2．３．２４．arctanln x c + ５．２三．计算题１①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ①11ln ||23x C x +++②ln ||x C + ③()1x e x C --++四．应用题１．略２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ). (A) ()121x x e -(B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy t t t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ；四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（）. A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x lnC 、⎰+=C x xdx sin cosD 、⎰++=C x xdx 211tan7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π 10、方程（）是一阶线性微分方程. A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是，最小值是；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x xx ； 3、dx x x 221)1(1-- ；4、C x ++ln 22 ；5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略七年级英语期末考试质量分析一、试卷分析：本次试卷的难易程度定位在面向大多数学生。

高等数学测试题-专升本高数重点总结ppt

1. lim x 1 x 2
x x2 3. lim 2 x 3 x x 3
2
x

x 1 2. lim 2 x 1 x 3 x 2
1 4.设 f ( x) 2 x 1
x0 f ( x) ，求 lim x0 x0
tan 2 x 5. lim x 0 sin 3 x sin 6 x 7. lim x 0 x 1 cos x 9. lim x 0 x2

1 2 si n x dx 3、 1 x 2
6 4、 cos 5 xdx 0

1 x 1,0 x 1 5、设f ( x ) x ，求 f ( x )dx 1 2 e , 1 x 0
6、y sin x在区间上与直线 x 0, y 1 0， 2 所围成的平面图形的积面。
7、计算由椭圆转而成的椭球体的体积。所围图形绕 x 轴旋转而
姓名
学述拉格朗日(lagrange )微分中值定理内容；（2）用拉格朗日中值定理证明不等式：当 x 0 时, 1
ln 1 x 1 1 x x
ln 1 x （3）求极限 lim x 0 x
x3 3x 2 x sin x 2、求极限 (1) lim 3 ； ( 2) lim 2 x 1 x x x 1 x 0 x3
tan 3 x 6. lim x 0 x
tan x sin x 1 8. lim 3 x 0 1 sin x x
sin x sin x 10. lim x 0 x sin x
2 2
姓名
学号
第二章测试

大一高数期末考试测试试题

大一高数期末考试试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则x dy dx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2．微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos 2y Ax x *=;（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=.3．下列结论不一定成立的是（）.（A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（）.(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C)跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）1．计算定积分2230x x e dx-⎰2．2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.本页满分 12分本页得分设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1(Λ+++=，求n n x∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ' 一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1．210lim()xx x e x →-=21e .2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x y t e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xex C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0>k ，则函数ke xx x f +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ C ）（A ）cos2y A x *=；（B ）cos 2y Ax x *=；（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+；（D ）x A y 2sin *=3．下列结论不一定成立的是（ A ）(A) (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;(B) (B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b af x dx ≥⎰;(C) (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) (D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0x t f t dt⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）.(A) 连续点 (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）：1．计算定积分⎰-232dxe x x .解：⎰⎰⎰----===20202322121,2t t x tde dt te dx e x t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------22223210221----=--=e e e t --------22．计算不定积分dx x x x ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------33．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)cos 1(sin π=-=t t a ta 1= -------2切线方程为 )12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------2 4. 设⎰-=x dtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1(Λ+++=，求n n x∞→lim . 解：)1ln(1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x ni n n n --------------2=12ln 211)1ln(1010-=+-+⎰dx x xx x ------------2故 n n x ∞→lim =e e412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分）1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：21V V V -=[][]⎰⎰⎰---=-----=102212122)1(12)2()11(2dyy ydyy dy y πππ -------6)314(201)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy --------3 法二：V =⎰---102)2)(2(2dxx x x x π⎰⎰----=1122)2(22)2(2dxx x dx x x x ππ ------------------ 5[]⎰--+--=102234222)22(ππdx x x x x x ππππππππ322134213234141201)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=x x ------------- 43. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.解:.ln ln ln 1)(0ln )(a aa t a a a t f t -==-='得由 --------------- 30)(ln 1ln ln )(2e e a a a a a t ==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2故.11ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理，根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。

高数考试试题及答案

高数考试试题及答案一、选择题1. 在三角形ABC中，边长AB=3，AC=4，∠BAC=60°，则三角形ABC的面积为：A) 1.5B) 2C) 2.5D) 3答案：B) 22. 设函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，则 f(-1) 的值为：A) -1B) 1C) 2D) 3答案：C) 23. 若 loga x = 2，loga y = 3，则 loga (x^2y) 的值为：A) 2B) 3C) 4D) 5答案：D) 5二、计算题1. 求函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3 在 x = 2 处的导数。

解答：f'(x) = 4x - 5f'(2) = 4(2) - 5 = 32. 求函数 g(x) = e^x 的不定积分。

解答：∫g(x) dx = ∫e^x dx = e^x + C三、应用题1. 在一个圆形花坛周围修建一条宽3米的小道，小道的面积占整个花坛面积的1/4，求花坛的半径。

解答：设花坛的半径为 r，则整个花坛的面积为πr^2小道的宽度为3米，即内圆的半径为 r - 3小道的面积为π(r^2 - (r - 3)^2)根据题意，小道的面积占整个花坛面积的1/4，因此有：π(r^2 - (r - 3)^2) = 1/4 * πr^2化简得：9r - 36 = 0解得：r = 4因此，花坛的半径为4米。

2. 一枚硬币重2克，真币和假币放在一起共有20枚，其中假币的重量比真币轻0.5克。

用天平称重，最少称几次一定能找到假币？解答：将硬币分成两堆，每堆各取出一个硬币称重。

若两堆硬币重量相等，则假币在剩下的18枚硬币中，重量比真币轻，用天平称重一次即可找到假币。

若两堆硬币重量不等，则假币必然在较轻的一堆中。

将较轻的一堆硬币分成两堆，用天平称重一次即可找到假币。

因此，最少需要称重 2 次就能找到假币。

总结：本文介绍了高数考试中可能出现的选择题、计算题和应用题，并提供了相应的答案和解答过程。

高数一第二章测试题

第二章测试题一、单项选择题1.如果数列{x n}无界，则{x n}必（）A．收敛B．发散C．为无穷大D．为无穷小2.3.如果，则k=（）A.0B.1C.2D.54.=（）A.不存在B.∞C.0D.15.6.当x->0时与sinx2等价的无穷小量是（）A.2xB.x2C.sin2x+xD.ln（1+x）7.f（x0+0）与f（x0-0）都存在是函数f（x）在x=x0处有极限的一个（）A.充要条件B.必要条件C.无关条件D.充分条件8.( )A.0B.∞C.2D.-29.10.11.12.A.x=6、x=-1B.x=0、x=6C.x=0、x=6、x=-1D.x=-1、x=013.定义域为（-1，1），值域为（-∞, +∞）的连续函数（）A.存在B.不存在C.存在但不惟一D.在一定条件下存在14.15.当x→0时，与e-2x-1等价的无穷小量是（）A.-2xB.xC.e xD.-x二、计算题（一）。

1.2.3.4.三、计算题（二）。

1.,求a,b2.3.求f(x)=的间断点，说明它的类型。

4.若在x=1连续，求a,b四、证明题。

1.证明方程x2x-1=0在（0,1）内至少有一根答案部分一、单项选择题1.【正确答案】 B2.【正确答案】 A3.【正确答案】 D【答案解析】由于这是一个重要极限的形式，所以这个极限式为k，从而k=5。

4.【正确答案】 A【答案解析】当x趋于+∞时，极限是+∞，当x趋于-∞时，极限是0+1=1。

5.【正确答案】 B6.【正确答案】 B【答案解析】sinx2等价于x2，所以A选项不对，sin2x+x等价于x，ln（1+x）等价于x。

7.【正确答案】 B【答案解析】x→x0时，f（x）极限存在的充分必要条件为左右极限都存在并且相等，所以若f（x）在x=x0处有极限，则必有f（x0+0）与f（x0-0）都存在；都存在不代表都相等，所以不一定有极限，因此为必要条件，并非充分条件。

高数测试题十（微分方程）答案

高数测试题十（微分方程）答案高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）1、若 12,y y 是方程 ()()(()y P x y Q x Q x '+=≡0) 的两个特解，要使12y y αβ+ 也是解，则α 与β 应满足的关系是（ D ）A 12αβ+=B 1αβ+=C 0αβ=D 12αβ== 2、下列方程中为全微分方程的是（ C ）A 22(22)(1)0xy y dx x y dy ---+-=B 2222()()0x xy dx y x y dy ---=C 22(1)20e d e d θθρρθ--+-=D 22()(2)0x y dx xy x dy +++=3、设λ 为实常数，方程220y y y λλ'''++= 的通解是（ D ）A 12x C e C λ-+B 12cos sinC x C x λλ+ C 12(cos sin )x e C x C x λλλ-+D 12()x C C x e λ-+4、方程 22cos x y y y e x '''-+= 的特解 *y 形式为（ B ）A B cos sin x x axe x bxe x +C 22cos sin x x ax e x bx e x +D 2cos x ax e x5、已知 0()x x y e y t dt =+，则函数 ()y x 的表达式为（ D ） A x y xe C =+ B x y xe = C x x y xe Ce =+ D (1)xy x e =+二、填空题（每cos x axe x 小题4分，共20分）1、方程 212y dy dx x e=+ 的通解是 2()y x e y C =+ 2、方程 (1)x y y '-= 的通解是 (ln )y x x C =+3、以 2212,x x y e y xe == 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为440y y y '''-+=4、已知方程 0y y ''-= 的积分曲线在点 (0,0)O 处与直线 y x = 相切，则该积分曲线的方程为 1()2x x y e e shx -=-= 5、方程 0xdy ydx -= 的一个只含有 x 的积分因子为21x μ=三、（共60分）1、（8分）求方程 (1)(223)0y x dx y x dy -+--+= 的通解解：令 1y x u -+=，则 dy du dx =+，代入原方程得(1)(21)u dx u du -+=+ 即 1(2)1du dx u -=-+，两边积分得 12ln(1)u u x C -+=-+，代回原方程，得通解2ln(2)y x y x C ---+=2、（6分）求方程 22(1)(233)x dy xy x dx +=++的通解解：方程改写为 2231x y y x '-=+，则通解为 22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan )x x y e e dx C x C x +-+=+=++?3、（8分）求微分方程 21(1)()02y yxe dx x e y dy +++= 的通解解：设 21(,)1,(,)2y y P x y xe Q x y x e y =+=+ 有 y P Q xe y x==?? ，则原方程为全微分方程，于是 2222001111(,)(1)()2222x y y y u x y x dx x e y dy x x x e y =+++=+++?? 故原方程的通解为 2222y x x x e y C +++=4、（10分）求解 2312,(0)1,(0)2yy y y y y ''''+===解：此方程不含x ，令 y P '=，则 dP y P dy''=，原方程化为 232212,2dP dP yP P y P P y dy dy y+=+= 此方程为贝努力方程，令 2P z =，上述方程化为21dz z y dy y += 则 ln 2ln 1[]y y z e y e dy C -=+?，即 24311111()44C y y C y y y'=+=+，由初始条件 1(0)1,(0)2y y '== 得 10C =，于是，方程化为 2314y y '=，或 3212dy y dx =± 由初始条件应取 3212dy y dx =，即 3212y dy dx -=，积分得 2114x C y=-+，再由初始条件(0)1y =得21C =，所以原方程的特解为1114x y =- 或 21(1)4y x =-5、（6分）求方程 (4)30y y ''+= 的通解解：特征方程为 4230r r +=，特征根为123,40,3r r r i ===± 方程的通解为 1234cos 3sin 3y C C x C x C x =+++6、（10分）求方程 223y y x '''+=- 的通解解：对应的齐次方程为 0y y '''+=，其特征方程为 20r r += 特征根为 120,1r r ==-，齐次方程的通解为 12x Y C C e -=+ 因0λ= 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为*2012()y x b x b x b =++代入原方程，比较系数得 0122,2,13b b b ==-=，于是得到一个特解 *22(21)3y x x x =-+，所求方程的通解为 *2122(21)3x y Y y C C e x x x -=+=++-+ 7、（12分）求满足条件 (0)1,(0)1f f '=-= 且具有二阶连续导数的函数()f x ，使方程 3()[sin 2()]02f x ydx x f x dy '+-=是全微分方程。

高等数学单元测试题1

高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）分） 1、当0x ®+时，（A ）无穷小量。

）无穷小量。

A 1sin x x B 1x e C ln x D 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<ìï==íï->î的（C ）。

A 连续点连续点 B 第一类非可去间断点第一类非可去间断点 C 可去间断点可去间断点 D 第二类间断点第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。

A 充分非必要条件充分非必要条件 B 必要非充分条件必要非充分条件 C 充要条件充要条件 D 无关条件无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x®¥++=，则常数a 等于（A ）。

A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限21lim cos 1x x e x ®--等于（D ）。

A ¥ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分）分）1、21lim(1)x x x®¥-=22e -2、当0x ®+时，无穷小ln(1)Ax a =+与无穷小sin 3x b =等价，则常数A=3 3、已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ¹时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =0 4、 111lim[]1223(1)n n n ®¥+++··+=1 5、若lim ()x f x p®存在，且sin ()2lim ()x xf x f x xp p®=+-，则lim ()x f x p ®=1 二、解答题二、解答题1、（7分）计算极限分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n ®¥---解：原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n ®¥®¥-++···=·=2、（7分）计算极限分）计算极限 30tan sin lim x x x x®- 解：原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x x x x x x x x x ®®®--===3、（7分）计算极限分）计算极限 123lim()21x x xx x +®¥++ 解：原式= 11122112221lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)1122x x x x x x x x x e x x +++®¥®¥+®¥®¥+=+++=+·+=++ 4、（7分）计算极限分）计算极限 201sin 1lim 1x x x x e ®+-- 解：原式=201sin 12lim 2x x xx ®=5、（7分）设3214lim 1x x ax x x ®---++ 具有极限l ，求,a l 的值的值解：因为1lim(1)0x xx ®-+=，所以，所以 321lim(4)0x x ax x ®---+=，因此因此 4a = 并将其代入原式并将其代入原式321144(1)(1)(4)limlim 1011x x x x x x x x l x x ®-®---++--===++6、（8分）设3()32,()(1)nx x x x c x a b =-+=-，试确定常数,c n ，使得()()x x a b解：解： 32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x ca ®=-+=-+-+=\==- 此时，()()x x ab 7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin 0()0x x f x x a x x ì>ï=íï+£î在(,)-¥+¥内连续内连续解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。

高数A(2)综合测试1

高等数学（A2）综合测试（一）(时间：120分钟)一、填空题（24分）1 21. 设442u x y x y =+−，则22________.u x ∂=∂ 2. 设函数在点(1,1,1)沿的方向导数u xyz =(2,1,1)l =G (1,1,1)u l ∂=∂【】.323. 曲面上点（1,-2,1）处的切平面方程为222321x y z ++=222___________________.u x∂=∂ 4. 若级数收敛，则.1(21)n n u ∞=−∑lim ____________n n u →∞=5. 设曲线L 是沿逆时针方向的圆周则224,x y +=Lxdy ydx −∫v = 。

6. 下列级数收敛的是【】.A. n ∞=B. 21(1)5n n n n∞=−+∑ C. n n ∞= D. 111nn n ∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑ 7. 已知平面区域D ：,01,a x b y ≤≤≤≤又()1,D yf x d σ=∫∫ 则()b af x dx =∫【】.A. 1B. 2C. 0D. 0.58. 设L 为圆周则223,x y +=∫v = . 二、解答下列各题（56分）1. 设求2222,sin ,x y z u e z x y ++==,u u x y ∂∂∂∂. 2. 设函数2ln sin 2yz y u x y e =++，求全微分. du 3. 求由方程33z x 1yz −=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（2,1,1）处的全微分.4. 设,,xy x z f e y −⎛⎞=⎜⎝⎠⎟ 且f 具有二阶连续偏导数，求22,z z xx ∂∂∂∂. 5. 计算(D,x σ+∫∫其中D: 221x y +≤.6. 计算，其中由zdv Ω∫∫∫Ω2z x 2y =+及平面1z =所围成的闭区域.7. 计算222(1)(2),Lx y dx x x y dy −+++∫L ：从沿上半圆(4,0)A y =的一段圆弧.(0,0)O 8. 计算其中Σ是曲面,zdxdy Σ∫∫22z x 2y =+介于0z =及1z =之间的部分的外侧.三、解答下列各题（20分）1. 判定级数21(1)3nn n n ∞=−∑的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 2. 求幂级数1n n x n ∞=∑的收敛域及和函数()s x ，并计算和11(3)n n n ∞=−∑. 3. 将函数21()2f x x x =−−展开为x 的幂级数. 4. 设(),0f x x x π=≤≤，将()f x 展开为正弦级数，（1）求的值；（2）记1sin n n b n ∞=∑x 2b 1()sin n n s x b ∞==∑nx ，则()s π= .。

高数一第三章测试题

第三章测试题一、单项选择题）存在，1.如果f ′（x点可微是f（x）在该点可导的2.设函数f（x）在xA.充分必要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件3.设函数y=2f（x2），则y′=4.下列函数中，在点x=1处连续且可导的函数为5.过点（1，-2）且切线斜率为2x+1的曲线方程y=y（x）应满足的关系是A.y′=2x+1B.y′′=2x+1C.y′=2x+1，y（1）=2D.y′=2x+1，y（1）=-26.设y=f（-x），7.函数，在点x=2处A.无定义B.间断C.不可导D.f′（2）=08.A.0B.-2C.不存在D.29.设A.1B.∞C.0D.210.11.设，则f（x）不可导的点为A.x=0B.x=0、x=1C.x=-1D.x=112.设y=x（x-1）（x-2）…（x-20），则f′（0）=A.20！B.0C.∞D.-20！13.设f（x）为可微函数，则在点x处，当△x→0时，△y-dy是关于△x的（）A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小14.设y=（1-x）-2，则y（n）=A.n!（1-x）n+1B.（n+1）!（1-x）-（n+2）C.-n!（1-x）n+1D.-（n+1）（1-x）n+215.设f（x）在（-∞，+∞）内为可微的奇函数。

若f′（x0）=b≠0，则f′（-x）=A.0B.C.-bD.b16.如果f（x）在x点可微，则A.∞B.0C.1D.-117.当|△x|很小且f′（x0）≠0,函数在x=x处改变量△y与微分dy的关系是（）。

A.△y< dyB.△y>dyC.△y=dyD.△y≈dy18.设y=lnx，则y（n）=A.（-1）n n!x-nB.（-1）n（n-1）!x-2nC.（-1）n-1（n-1）!x-nD.（-1）n-1n!x-n+119.设在x可导，则A.m=x，n=0B.n=0，n=x2C.m=2 x0，n=-x2D.m=2 x0，n=x220.某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=f（P），且当P=P时，需求弹性为0.8，若此时再涨价2%，需求将减少（）A.1.6B.1.6%C.0.8D.0.8%21.y=|sinx|在点x=π处的导数是（）A.0B.1C.-1D.不存在22.设A.0B.an!C.aD.an二、计算题（一）。

完整版)高等数学测试题及答案

完整版)高等数学测试题及答案高等数学测试试题一、是非题（3’×6=18’）1、$\lim_{x\to 1}(1-x)=e$。

（×）2、函数$f(x)$在点$x=x_0$处连续，则它在该点处必可导。

（×）3、函数的极大值一定是它的最大值。

（×）4、设$G(x)=f(x)$，则$G(x)$为$f(x)$的一个原函数。

（√）5、定积分$\int_{-1}^1 x\cos x dx=0$.（√）6、函数$y=x-2$是微分方程$x\frac{dy}{dx}+2y$的解。

（√）二、选择题（4’×5=20’）7、函数$f(x)=\sin\frac{1}{x}$是定义域内的（）A、单调函数B、有界函数C、无界函数D、周期函数答案：C8、设$y=1+2x$，则$dy$=（）A、$2xdx$B、$2x\ln2$C、$2x\ln2dx$D、$(1+2x\ln2)dx$答案：A9、设在区间$[a,b]$上$f'(x)>0$，$f''(x)>0$，则曲线$y=f(x)$在该区间上沿着$x$轴正向A、上升且为凹弧B、上升且为凸弧C、下降且为凹弧D、下降且为凸弧答案：B10、下列等式正确的是（）A、$\int f'(x)dx=f(x)$B、$\int f(x)dx=f'(x)$C、$\int f'(x)dx=f(x)+C$D、$\int f(x)dx=f'(x)+C$答案：C11、$P=-\int \cos^2 x dx$，$Q=3\int dx$，$R=\int xdx$，则int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx < \int_0^1 \sin^2 x dx <\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$A、$P<Q<R$B、$Q<P<R$C、$P<R<Q$D、$R<Q<P$答案：D三、选择题（4’×5=20’）12．函数$f(x)=\frac{x^2}{3x-3}$的间断点为（）A、3B、4C、5D、6答案：A13、设函数$f(x)$在点$x=0$处可导，且$\lim_{h\to 0}\frac{f(-h)-f(0)}{h}=\frac{1}{2}$，则$f'(0)$=（）A、2B、1C、-1D、-2答案：B14、设函数$f(x)=x^2\ln x$，则$f''(1)$=（）A、2B、3C、4D、5答案：B15、$\frac{d}{dx}\int_0^{\ln(1+x)}\ln(1+t)dt=$A、$\ln(1+x)$B、$\ln(1+x^2)$C、$2x\ln(1+x^2)$D、$x^2\ln(1+x^2)$答案：C16、$\int f'(e^x)e^xdx=$A、$f(e^x)$B、$f(e^x)+C$C、$f'(e^x)$D、$f'(e^x)+C$答案：B四、选择题（7’×6=42’）17、$\lim_{x\to 2x-2}\frac{x^2+x-6}{x-2x+2}=$A、5B、6C、7D、8答案：B18、函数$y=x^3-3x$的单调减少区间为（）A、$(-\infty,-1)$B、$(-\infty,1)$C、$(-1,+\infty)$D、$[-1,1]$答案：A19、已知曲线方程$y=\ln(2+x)$，则点$M(0,\ln2)$处的切线方程为（）A、$y=\frac{x}{2}+\ln2$B、$y=\frac{x}{2}-\ln2$C、$y=2x+\ln2$D、$y=2x-\ln2$答案：AB、y=x+1C、y=x^2+ln2D、y=x+ln2x10、函数f(x)=∫lntdt的极值点与极值分别为：A、x=2，极小值f(2)=1B、x=1，极小值f(1)=1/2(ln2-1)C、x=2，极大值f(2)=1D、x=1，极大值f(1)=1/2(ln2-1)21、曲线y=4-x^2，x∈[0,4]与x轴，y轴以及x=4所围的平面图形的面积值S=A、4B、8C、16D、3222、微分方程dy/dx=ex-2y满足初始条件y(0)=1的特解为：A、lny=ex-1B、e2y=2ex-1C、e2y=ex-1D、e2y=e2x-1。

高数各章综合测试题与答案

第十一章无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)nnn a x ∞=+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然（） (A) 绝对收敛； (B ）条件收敛; (C) 发散；（D ）收敛性不定。

2、下列级数条件收敛的是（）.（A ） 1(1);210n n nn ∞=-+∑（B) 11n n -∞= （C ）111(1)();2nn n ∞-=-∑ （D) 11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1nn a∞=∑收敛于S ,则级数()121nn n n aa a ∞++=++=∑（ )(A) 1;S a + （B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑( ）.(A ）绝对收敛；（B) 条件收敛； (C ）发散; （D ）收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑,其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰,则1()2S -等于（）（A) 1;2- （B ） 1;4- （C) 1;4 （D) 12。

二、填空题1、设14n n u ∞==∑,则111()22n nn u ∞=-=∑（ ) 2、设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数()11nnn na x ∞=+∑的收敛区间为( ）3、设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于（ ) 4、设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =( )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为（）三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f+4、求2012!nnn n x n ∞=+∑的和函数 5、已知()n f x 满足1()()e n xn n f x f x x -'=+，n 为正整数,且e(1)n f n=，求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数.6、设有方程10n x nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ,并证明当1α>时，级数1n n x α∞=∑收敛.四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1）求()211n n n a a n∞+=+∑ （2）试证:对任意常数0λ>，级数1nn a n λ∞=∑收敛提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑。

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大一上学期高数期末考试
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. .
（A ）（B ）（C ）（D ）不可导.
2. .
（A ）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）是等价无穷小；
（C ）是比高阶的无穷小；（D ）是比高阶的无穷小.
3. 若
，其中在区间上二阶可导且
，则（）.
（A ）函数必在处取得极大值；（B ）函数必在处取得极小值；
（C ）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D ）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。

4.
（A ）（B ）（C ）（D ）.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. .
6.
.
7.
.
8. .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数由方程
确定，求以及.
)(
0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f (0)2f '=(0)1f '=(0)0f '=()f x ）
时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x
x βα()()x x αβ与()()
x x αβ与()x α()x β()x β()x α()()()0
2x
F x t x f t dt
=-⎰()f x (1,1)-'>()0f x ()F x 0x =()F x 0x =()F x 0x =(0,(0))F ()y F x =()F x 0x =(0,(0))F ()y F x =)
(
)( , )(2)( )(1
=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设22x 2
2
2x
+1x -2x +=
+→x
x x sin 2
)
31(l i m ,)(cos 的一个原函数是已知
x f x
x
=
⋅⎰x x x
x f d cos )(则lim
(cos cos cos )→∞-+++=2
2
2
21
n n n
n
n
n π
π
ππ=
-+⎰
2
1
2
1
2
211
arcsin －
dx x
x x =()y y x sin()1x y e xy ++='()y x '(0)y
10. 设函数连续，，且，为常数. 求
并讨论在处的连续性.
11. 求微分方程满足的y 的表达式.
四、证明题（本大题10分）
12. 设函数在上连续，且
，
.证明：在内至少存在两个不同的点，
使
（提示：设
）
)(x f =⎰1
()()g x f xt dt
→=0
()
lim
x f x A x A '()g x '()g x =0x 2ln xy y x x '+==-
1
(1)9y )(x f []π,00
)(0
=⎰
π
x d x f 0
cos )(0
=⎰
π
dx x x f ()π,021,ξξ.0)()(21==ξξf f ⎰=
x
dx
x f x F 0
)()(。