北京科技大学高等数学下册试题
2010-2011学年度第二学期高等数学期中考试试题答案
北京科技大学2010——2011学年第二学期高 等 数 学A(II) 期中试卷答案一、单项选择题 （本题共45分，每小题5分）1. C2. B3. C A. 5. C 6. B 7. D 8. A 9. C二、填空题 （本题共45分，每小题5分）10. 0G ; 11. 12; 12. 222214(1)4x z y y +=+−或 2224174210x y z y −++−=; 13. 3; 14. 123()e 1sin()x y z x f f f x z x ⎛⎞−′′′−++⎜⎟−⎝⎠; 15. 4d 2d x y −; 16. π; 17. 22x y +; 18. 2(22)9i j k +−G G G 或244,,999⎛⎞−⎜⎟⎝⎠. 三、应用与证明题（共10分，每小题5分）19．假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品, 两个市场需求函数分别是11182p θ=−, 2212p θ=−, 其中12,p p 分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨), 1θ和2θ分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量, 单位: 吨), 并且该企业生产这种产品的总成本函数是25C θ=+, 其中θ表示该产品在两个市场的销售量, 即12θθθ=+.(1) 如果该企业实行价格差别策略, 试确定两个市场上该产品的销售量和价格为多少才能使该企业获得最大利润?(2) 如果该企业实行价格无差别策略, 试确定两个市场上该产品的销售量及其统一价格为多少才能使该企业的总利润最大化? 并比较两种价格策略的总利润大小.解 总利润函数为2211221212(25)216105,L R C p p θθθθθθθ=−=+−+=−−++− 则112241602100L L θθθθ∂⎧=−+=⎪∂⎪⎨∂⎪=−+=⎪∂⎩ 124,5,θθ=⎧⇒⎨=⎩ 因此 110p =(万元), 27p =(万元). 由于驻点(4,5)唯一, 所以max 52L =(万元).当实行价格无差别策略时, 12p p =, 从而满足条件1218212θθ−=−, 即12260θθ−−=. 令 2212121212(,,)216105(26),F θθλθθθθλθθ=−−++−+−− 则11221241620,2100,260,F F F θλθθλθθθλ∂⎧=−++=⎪∂⎪∂⎪=−+−=⎨∂⎪⎪∂=−−=⎪∂⎩ 得125,4,2,θθλ=== 从而128p p ==, 此时max 49L =(万元).显然, 企业实行差别之价的总利润大于统一价格的总利润.20．证明: 曲面,0x a y b f z c z c −−⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠的切平面经过一定点. 证明 记(,,),x a y b F x y z f z c z c −−⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠, 则 11(,,),x F x y z f z c ′=− 21(,,),y F x y z f z c′=− []1221(,,)()(),()z F x y z x a f y b f z c −′′=−+−− 故切平面的方程为[]12122111()()()()()0()f X x f Y y x a f y b f Z z z c z c z c ′′′′−+−−−+−−=−−−, 即 [][]12()()()()()()()()0z c X x x a Z z f z c Y y y b Z z f ′′−−−−−+−−−−−=, 显然, 当(,,)(,,)X Y Z a b c =时, 上式左端为零. 故此切平面过点(,,)a b c .。
北京科技大学高代(下)习题解答1.doc
北京科技大学高代（下）习题解答1北京科技大学唐思铭462、设％, %是线性空间V的子空问，给出％U/是V的子空间的充分必要条件。
解：充分必要条件是％匸匕或匕匸必证明：必要性设V,UV2是V的子空间若％匸岭或％匸％不成立，则存在但少纟匕以及&2丘％但勺纟％。
因为v.uv2是u的子空间, 所以，^! + cr2 G U V2 ,因此有，（7] + （72 G V（或0+色丘匕，但是，如果a}+a2eV},由a} eV}可得，a2 e V},矛盾；而如果a}+a2^V2,由a. e V2又i可得，a} eV2,矛盾。
所以，V,cV2或匕uK充分性是显然的，证毕4.6.4、设a〕=（1, 一1,0）,设色=（一1,2,1）,求向星色，使得，span{a} ,a2,a3] = /?3解：设V；=span[a l 9a2 },易知，dim% = 2, （3X = a, + cr2 =（0,1,1）eV,,设=（0,0,1）,贝ij% = span {e ,勺} = s P an {e，0i }，e，0i，a3线性无关，所以，span [a l ,a2y ct.} = span {a} ,^,a3} = R' 4.6.5 >如果况维线性空间的子空间序列匕，i = l,2,…，满足条件，叫^岭匸…^匕匸…则存在自然数，使得，匕*严匕七=••• = %=•••证明（提示）:q =dim匕，j = 1, 2 ,…，则n x <n2 <-<n,467、若线性空间V的子空间％,岭的维数分别是人和乙，问：％+%和XU岭的所有可能维数是多少？解：％+岭所有可能维数是mr,+r2Z间的整数。
例如，对于斤+尸5 + 3 = 8,取线性无关的向量组a〕，…，逐，X = span{a} ,a2 ,a3,a4,a5 },贝！J,V2 = span{a3.a A,a5 }时，V} + V2的维数是5；V2= span{a4,a5y a6 }时，％ +岭的维数是6 ;V2= span{a^.a^a q }时，+ 匕的维数是7 ；V2 =span{a6,a7,a s }时,V, +V2的维数是8；V,UV2要成为子空间才有维数,此时V.G K或岭匸«,所以可能维数max{r, , r2}4.7.2、在线性空间疋中，记,硏={（旺,X2,••・,£）€/?" |x,+X2 +••• + X n =0| W2 ={（召,兀2|兀]=兀2 =•••=£}证明：R n =W X㊉怡证明（提示、）：设匕.=耳一勺+J = 1,2…,乃一1 , a“ = q+6 +…匕，贝！J，= span {&],•••, a n_x}, W2 = span {a n}由此易得，R n = W,㊉比证毕4.7.3、在线性空间7?”中,取向量0,也，…4$,记,U = span[a{ ,a2，…,Q$}V = a E R" a t a T = 0, z = 1 , 2,…，s}证明：是V的线性子空间，且R n=U㊉V 证明（提示）：这里是行向量。
北科高等数学AII 2012-2013 期中试卷
x2 2z 11、设 为平面曲线 绕 z 轴旋转一周形成的曲面与平面 z 8 所围区域，则 y 0
x
2
y 2 dxdydz 的值等于【
(B) 1024
】
一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
3
(A)
2
3
(C)
1024 7
(D)
3 8
】
四、证明题
21、设 f x, y在单位圆域上有连续偏导数，且在边界上取值为零，证明：
sin x
(A) (C)
0
1
dy sin x f x, y dx
dy
arcsin x
(B)
dy
0 1
1
f x, y dx
0
f x, y dx
(D)
1 2
.
(C)
zdxdydz 4 zdxdydz.
1 2
(D)
xyzdxdydz 4 xyzdxdydz.
1 2
1/2
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15、设函数 f x, y 连续，则二次积分
1
dx
2
1
f x, y dy 等于【
arcsin y
2
x yf x y f (B) yf1 2xf 11 22 12
2 2
3、 设 f x, y具有一阶连续偏导数，且 u f xy, yz ，则 du
. .
2 2 x 3 yf 2 (C) xf 2 2 xy 3 f1 1 2 x y f1 2
2016-2017 学年第二学期高等数学AII 期末试卷(试卷+A3排版+解析)
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0
13.
设由方程组
y + xyz
z+x =1
=
0
确定的隐函数
y
=
y(x)
及
z
=
z(x)，求
dy dx ,
dz dx
.
14.
设连续函数
f (x)
满足方程
f (x)
=
ˆ
3x
f
() t d t + e2x,
求
f (x).
¨(
0
3
)
(
)
15. 计算曲面积分 I = x2 − yz d y d z + y2 − zx d z d x + 2z d x d y, 其中 Σ
xOy ydx
平面上一条简单光滑的正向闭曲线，原点在其所围闭区域之外，则
=
【】
C x2 + 4y2
(A) 4π
(B) 0
(C) 2π
(D) π
6. 微分方程 xy′′ − y′ = 0 满足条件 y′(1) = 1, y(1) = 0.5 的解为
【】
(A) y = x2 + 1 44
(B) y = x2 2
1,
√ − ¨x
⩽
y
⩽
√x}，则正确的选x 项为
¨
【】
(A) f (y)g(x) d x d y = 0
(B) f (x)g(y) d x d y = 0
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0
北科高等数学AII 2013-2014 期中试卷
y0
0
x
y
C D
( x, y )(0,0)
lim
f (x, y) f (0, 0) fx (0, 0)x f (0, 0) y 0 x2 y2
( x, y )(0,0)
lim [ f (x, y) f (0, 0) f x (0, 0)x f (0, 0) y] 0
装 订 线 内 不 得 答 题
说明：1、要求正确的写出主要的计算或推倒过程，过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班级、学号、姓名均需全写，不写全的试卷为废卷； 3、涂改学号以及姓名的试卷为废卷； 4、请在试卷上作答，在其它纸上解答一律无效.
10. 已知 f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 的偏导数存在，则（
C
2x 4 y z 5
5. 曲面 x2 y2 z 2 14 在点 (1, 2,3) 处的切平面的方程为
.
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14. 已知函数 f (x, y) 在点 (0, 0) 处的某邻域内有定义，且 f (0, 0) 0 ，
lim
( x, y ) (0,0)
f (x, y) x y
u x
y
u y
xf1 yf2
.
自 觉 遵 守 考 试 规 则 ， 诚 信 考 试 ， 谢 绝 作 弊
装 订 线 内 不 得 答 题
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参考答案 一、填空题
1.
3 5
2.
a3
3 1 2
3. ( f1
6. f (2) 7.
1 )dx ( f x f )dy f2 f 3 1 2 y y2
18 D
北京科技大学2003-2004学年度第二学期高等数学(A)试题及答案
敛区间 t 2 ，即 1 x 3 ， 当 x 3 时级数发散，当 x 1 时级数收敛，故原级数收 敛域为 [ 1, 3) 。 13．解： ï í
ì ïz = ï x= 0 ï ï î
y- 1
绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为： y - 1 = z + x ，
2
2
I=
蝌 邋+
=
A 5
x2 y 1 = [ ] 2 ydy 1 2 y 1 2 5 [ y ( y 2) 2 y 5 ]dy = 5 1 2 8 a n 1 1 tn ， lim ， 收敛半径 R 2 ， 收 n n a 2 n 1 2 n n
12． 解： 令 t x 1 ， 则原级数化为
五．综合题 (10 分)
17 ． 设 曲 线 C 的 起 点 为 A ， 终 点 为 B ，
f ( ) 1 ， 求 函 数 f ( x) ， 使 曲 线 积 分
A，B 两点分别为 (1, 0) 和 ( , ) 时
C
[sin x f ( x)] x dx f ( x)dy 与路径无关，并求当
2 2
x
0
15．解：特征方程 r r 2 0 ， r1 1, r2 2 ， 齐次方程通解为 Y c1e c2e 为求原方程的特解 y 。 ，考虑两个方程，
2
x
2 x
，
， 对于前一方程， 因 0 不是特征根，可设 y ' ' y '2 y x 1 （1）和 y ' ' y '2 y e x （2）
(8 y 1) xdydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy ，
北京科技大学2004-2005学年度第2学期高等数学A试题及答案
北京科技大学2004 — 2005学年度第二学期高等数学（A 卷） 试题 （时间120分钟）学院 考场 班级 学号 姓名一、填空 (每小题3分，共15分)1．设函数22y x z +=，则函数在点)1,1(处的梯度为 j i 22+ 2. 将三次积分)0(),sin ,cos (002022>⎰⎰⎰-a dz z r r f rdr d ar a θθθπ化为球面坐标系下的三次积分(函数),,(z y x f 在已知区域上连续)dr r r r r f d d aφφφθφθφθππsin )cos ,sin sin ,sin cos (22020⋅⎰⎰⎰3. 曲面12-=+z ye x x 在点(0,1,-1)处的切平面与xoy 平面的夹角为a r c =ψ4. 光滑曲面),(y x f z =在坐标平面xoy 的投影区域为D ，那么该曲面的面积可以用二重积分表示为d x d y Z Z Dy x ⎰⎰++2215. 设级数∑∞=+-11)(n n n a a 收敛，且和为s ，则n n a ∞→lims a -1 二、选择 (每小题3分，共15分) 1. 已知函数22),(y x y x y x f -=-+，则=∂∂+∂∂yy x f x y x f ),(),( ( C ) （A ） y x 22-； (B) y x 22+； (C) y x +； (C) y x -2. 设常数k>0, 则级数∑∞=+-12)()1(n n n n k 是 (C ) (A) 发散； (B) 绝对收敛； (C) 条件收敛； (D) 发散与收敛与k 的取值无关3. 微分方程02'=-y xy 的通解是 ( B )(A) Cx y =； (B) 2Cx y =； (C) 3Cx y =； (D) 4Cx y = 4. 二元函数33)(3y x y x z --+=的极大值点是 ( A )(A)（1，1）； (B)（1，-1）； (C)（-1，1）； (D)（-1，-1） 5. 若L 是上半椭圆⎩⎨⎧==tb y ta x sin cos ，取顺时针方向，则⎰-L xdy ydx 的值为 (C )(A) 0 ; (B) 2abπ; (C) ab π; (D) ab π-三、计算 (共70分)1．（6分）设)(x y 是04=+'+''y y y 的解，2)0(,41)0(='=y y计算dx x y AA ⎰∞→0)(lim解：特征方程21,2441002r r r -±++=⇒=< )(0)(2121+∞→→+=x e C e C x y x r x r （3分）)(0)(212211'+∞→→+=x e r C e r C x y x r x r32414)()(4)4()(lim0'00'''0=+⨯=--=--=∞+∞++∞+∞→⎰⎰x y x y dx y y dx x y AA （6分） (先求通解，定出常数，再进行积分也可以) 2．（8分）计算二次积分dy e dx x y ⎰⎰-1102解：211100110222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy edxdy e dy e dx Dyy y x y3．（6分）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分dy y x dx y L )2()1(3+++⎰的值最小. 解：344]cos )sin 2()sin 1[()(333a a dx x a x a x x a a f +-=+++=⎰ππ（4分）1,044)(2'==+-=a a a f 唯一驻点，所以 ： 所求曲线x y L sin :=使38)1(-=πf 为最小。
高等数学下考试题库(附答案)
高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。
2014-2015_2_概率统计北科大
A 卷北京科技大学2014—2015学年度第二学期 概率论与数理统计 试题答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共15分） 1. 设事件A 和B 中至少发生一个的概率为56,A 和B 中有且仅有一个发生的概率为23，那么A 和B 同时发生的概率为 .2. 从1,2,3,4中任取一个数记为X ，再从1,,X 中任取一个数记为Y ，则{}2P Y == .3. 设A n 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率,则对于任意的0ε>，lim A n n P p n ε→+∞⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭。
4。
设X 服从区间[]0,θ(0θ>）上的均匀分布，12,,,n X X X 是来自该总体的样本，则θ的矩估计量θ= .5。
设12,,,,1,n X X X n >是来自正态总体()2,N μσ的样本，1111n i i i X X k -+==-∑σ为总体参数σ的无偏估计量，则k = ．填空题答案：1。
25 2.4 3.7.8 4。
195。
X二．选择题(每小题3分，共15分)1．若随机事件A 和B 互斥，且()()0,0P A P B >>,下述关系中正确的是 。
(A ）()()P A B P A = (B)()0P B A > （C ）()()()P AB P A P B = （D ）()0P B A =2．设随机变量X 的概率密度函数是()x ϕ，且有()()x x ϕϕ-=，()F x 是X 的分布函数，则对任意的实数a ,有 。
（A)()()01aF a x dx ϕ-=-⎰(B ）()()012aF a x dx ϕ-=-⎰ (C ）()()F a F a -= (D ）()()21F a F a -=-3. 设,X Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x 和()Y F y ,则{}min ,Z X Y =的分布函数是 。
大学高等数学下考试题库附答案
大学高等数学下考试题库附答案IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）..4 C 向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）.A.a ∥bB.a ⊥b 3,π=b a .4,π=b a 3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.(){}21,22≤+≤y xy x .(){}21,22<+<y x y x (){}21,22≤+<y x y x (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b 垂直的充要条件是（）.0=⋅b a 0 =⨯b a 0 =-b a 0 =+b a 函数xy y x z 333-+=的极小值是（）.2-1-设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πy z ＝（）. 2222-22-若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（）. p 1<1≤p 1>p 1≥p 幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（）.[]1,1-()1,1-[)1,1-(]1,1-幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.x -11x -22x -12x-21微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. x ce y =x e y =x cxe y =cx e y =二.填空题（4分⨯5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂y x z 2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程x e y y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程 .试卷1参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n nx ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+=.三.计算题 1.()()[]y x y x y e x zxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y zxy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z.3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-. 4.3316R .5.x x e e y 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）. 12131415设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）.6π4π3π2π函数()22arcsin y x z +=的定义域为（）.(){}10,22≤+≤y x y x .(){}10,22<+<y x y x()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x .()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）..4 C 函数22232y x xy z --=的极大值为（）..1 C 1-21设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （）..7 C 若几何级数∑∞=0n n ar 是收敛的，则（）.1≤r 1≥r 1<r 1≤r 幂级数()n n x n ∑∞=+01的收敛域为（）.[]1,1-[)1,1-(]1,1-()1,1-级数∑∞=14sinn nna 是（）. A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.cx e y =x ce y =x e y =x cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xy e z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x +的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a 32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ∂∂∂∂3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解.四.应用题（10分⨯2）1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dt x d -=22.当0=t 时，有0x x =，0v dt dx=）试卷2参考答案一.选择题CBABACCDBA.二.填空题 1.211212+=-=-z y x .2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x .5.3x y =.三.计算题1.k j i 238+-.2.()()()y y x y y y y x y z y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂. 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x x e C e C y --+=221.四.应用题 1.316. 2.00221x t v gt x ++-=. 《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）1、二阶行列式2-3的值为（）45A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（）A 、i-j+2kB 、8i-j+2kC 、8i-3j+2kD 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（）A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22,22B 、,2222-C 、22-22-D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则y z x z ∂∂∂∂,分别为（） A 、z y z R x --,B 、z y z R x ---,C 、z y z R x ,--D 、zy z R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（） A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n )!12(12--n x n 9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（）A 、一阶B 、二阶C 、三阶D 、四阶10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（）A 、-2，-1B 、2，1C 、-2，1D 、1，-2二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
北京科技大学线性代数期末考试试卷4及答案
（1）向量组的秩是 3，且α1,α2 ,α4 可以构成一个极大线性无关组。
（2）α3 = 3α1 − 2α2 。
（3）极大无关组必然含有α4 ，其余三个向量任选两个即可，因此，有三个极大线性无关组。
六、（本题 12 分）
当 λ ≠ 1, −2 时，方程组有唯一解。
当 λ = −2 时，系数矩阵的秩是 2，增广矩阵的秩是 3，方程组没有解。
（2）特征值为 1，1，－8
⎛ −2 2 −1⎞
⎛1 0 0 ⎞
（3）构造矩阵
P
=
⎜ ⎜
1
0
−2
⎟ ⎟
，则
P
−1 AP
=
Λ
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
。
⎜⎝ 0 1 2 ⎟⎠
⎜⎝ 0 0 −8⎟⎠
（4）由于ϕ (Λ ) = O ，因此ϕ ( A) = Pϕ (Λ ) P−1 = O 。
八、（本题 10 分） 略
系， k1, k2 是任意常数，则 Ax = b 的通解可以表示为
。
（A）
k1α1
+
k2α
2
+
1 2
(β1
−
β
2
)
（B）
k1α1
++
β2
)
（C） k1β1 + k2 β2 + α1
（D）
k1β1
+
k2 β 2
+
1 2
(α1
+
α2
)
5. 设 n 维向量组α1,α2 ,",αm (m ≥ 2) 线性无关，则
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 1⎞
高等数学(下)试卷
高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y 的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰20213cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
北京科技大学高等数学下册试题
高等数学试题一、填空题1.设sin z xyz 1,-=则z yz x cos z xy∂=∂-. 2.设L 为圆周22xy 4+=，则对弧长曲线积分22L x +y +5dS =12π⎰. 3.交换积分次序()222y 410y 0x 2dy f x,y dx =dx y)dy ⎰⎰⎰⎰.4.方程2x y"4y'4ye -++=的一个特解是2x x e -212. 二、选择题 1.函数()2222x y 0f x,y 0x y 0+≠=+=⎩在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0C.两个偏导数都存在，但不为0D.全微分存在2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥；2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C .A.12xdv 4xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰B.12ydv 4ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.12zdv 4zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰D.12xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222x dydz x y z ∑++⎰⎰等于C . A. 0B.22y z 1+≤⎰⎰C.43πD.22x z 1+≤-⎰⎰ 4.下列微分方程中，通解为()2x 12ye c cos x c sin x =+的方程是B . A.y"4y'5y 0--= B.y"4y'5y 0-+=C.y"2y'5y 0-+=D.2x y"4y'5y e -+= 三、计算二重积分2y 2De dxdy y ⎰⎰.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 四、设y u yf 2x,x ⎛⎫=⎪ ⎭⎝，f 具有二阶连续偏导数，求 2211222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x∂''''''=+--∂∂. 五、设()fx 是一个连续函数，证明：（1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰，其中22u x y =+. 证明：（1）()()()()222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y(yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x yf x y xdx ydy ++=+++∂+'=+∂∂+∂+'=+=∂∂∴++ （2） ()()22u x y 2222002222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭=++=++⎰⎰ 六、求：由曲面2222z0,z x y 1,x y 4==+=+=所围空间立体Ω的体积.解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰七、计算曲面积分2∑⎰⎰，其中∑为下半球面z =.是一个全微分。
高等数学下册试题(题库)及参考答案,DOC
高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分）1.已知A (1,0,2),B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（A ） A ）5B ）3C ）6D ）9解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，|2.A 解(1)3.A 解4.A 解5.A C 解 因为平面过1M 、2M 两点，所以有解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是(D)。
A ．3B ．4C ．5D ．27．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为(A)。
A ．3B ．5C ．4D ．28．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解(B)。
A ．x y 2=B ．2x y =C ．x y 2-=D ．x y -= 9．微分方程323y y ='的一个特解是(B)。
A ．13+=x yB ．()32+=x yC ．()2C x y +=D ．()31x C y += 10．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解(C)。
16．在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是(C)。
A ．1=y B ．x y =C ．x y sin =D ．x e y =17．过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系是(C)。
A ．x y 2='B ．x y 2=''C ．x y 2='，()31=y D ．x y 2=''，()31=y 18．下列微分方程中，可分离变量的是(B)。
A ．e x y dx dy =+B ．()()y b a x k dx dy --=(k ,a ,b 是常数) C ．x y dxdy=-sin D ．x e y xy y ⋅=+'219．方程02=-'y y 的通解是(C)。
北科大2011-2012学年度第二学期高等数学期中考试试题答案
北京科技大学2011——2012学年第二学期高 等 数 学AII 期中试卷答案一、填空题（本题共36分，每小题4分）1. 361a π; 2. 3)3,12(=-A k j i 38-+， 3.z y d f y x d f du 21'+'=dz f z y dy f y x f z dx f y 22122111'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+'= ; 4. ⎰-x d f x 02)()(21ζζζ; 5. 61; 6. 40; 7.⎪⎭⎫ ⎝⎛'''r r f z r r f y rr f x )(,)(,)(; 8.π; 9.40x y z +-=. 二、选择题（本题共36分，每小题4分）10. C; 11. B; 12. A; 13. D; 14. A; 15. B; 16. D; 17. C; 18. D三、解答题(本题共2小题,每题9分，满分18分)19.在x x x u =)2,(两边对x 求偏导数，有12(,2)2(,2)1u x x u x x ''+=， 两边再对x 求偏导数，则()11122122(,2)2(,2)2(,2)2(,2)0u x x u x x u x x u x x ''''''''+++=，又因为),(y x u 具有二阶连续偏导数，且22220u u x y∂∂-=∂∂，所以 (*)0451211=''+''u u ， -----------5分 再在21)2,(x x x u ='两边x 求偏导数，有x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=''+''， 故由(*)式有 x x x u x x x u x x u 35)2,(,34)2,()2,(122211=''-=''=''. ----------9分 20. 设椭圆上任意点的坐标为),,(z y x ，令 22222(,,,,)()(1)F x y z x y z z x y x y z λμλμ=+++--+++- -----3分由2222022020010x y z F x x F y y F z F z x y F x y z λμλμλμλμ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=--=⎪⎪=++-=⎩得两点11222⎛-+-+- ⎝，11222⎛----+ ⎝， ------6分 由题意所求最值一定存在，且一定在此两点取得，故所求最长距离与最短距离分别为359+和35-9. -----9分四、证明题(本题共2小题,每题5分，满分10分) 21. dr r r f dr r r f d d t F t t 200222020)(4sin )()(⎰⎰⎰⎰==πϕϕθππ, -----3分πππ54)0(54)(4lim )(lim 5202050='==⎰++→→f t drr r f t t F t t t --------5分 22. 因为()0)()(2≥-y f x f ， --------- 2分 所以在b y a b x a D ≤≤≤≤,:上，有dxdy y f y f x f x f d y f x f D D ))()()(2)(())()((022⎰⎰⎰⎰+-=-≤σ，即有 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-≤ba b a b a b a b a b a b a ba dx x f dx x f ab dy y f dx dy y f dx x f dy dx x f 2)(2)()(2)()()(2)(0222 ⎰⎰-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a dx x f a b dx x f )()()(22 ----------5分。
北京科技大学《高等数学》2006-2007学年第二学期期末试卷A卷
北京科技大学 2006 --2007 学年第二学期高等数学 试卷 （A ）院(系) 班级 学号 姓名试卷卷面成绩占课程考核成绩80 % 平时成绩 占 20 %课程考核 成绩 题号 一二 三 四 五 六 七 小计 得分阅卷审核一、填空题（15 分）1．曲面z =+ y 2 在点(2,1, 3) 的切平面方程为2．交换积分次序 dx ∫0ln x f (x , y )dy =3．设l 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 与平面 x + y + z = 0 的交线，则(x 2 + y 2 + z 2 )dl = 4．级数x 2n −1 的收敛半径是5．求微分方程 y "+ y '− 2y = 0 的通解 y =二、单选题（15 分）1．设u = f (x + y , xz ) 有二阶连续偏导数，则= （ ）（ A ） f '2+ (x + z )f 12'' + xzf '2'2 （B ） x f 12''+ xzf '2'2（ C ） f '2 + xf 12''+ xzf '2'2 （D ） x zf '2'2得 分得 分自 觉 遵 守 考 试 规 则， 诚 信 考 试， 绝 不 作 弊装 订 线 内 不 得 答 题2． 若 f (x , y )dxdy = ∫d θcos θf (r cos θ, r sin θ)rdr ， 其中a > 0 为常数， 则积分区域 D 是D 2（ ）（ A ） x 2 + y 2 ≤ a 2 （B ） x 2 + y 2 ≤ a 2 , x > 0 （ C ） x 2 + y 2 ≤ ax （D ） x 2 + y 2 ≤ ay3． 设∑ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1， ∑1 为上半球面 z = ， D xy 为曲面 ∑ 在 xoy 平面上的投影区域，则下列等式成立的是（ ） （ A ） ∫ zdS = 2∫ zdS （B ）∫ zdS = 0 ∑ ∑1 ∑（ C ） ∫ z 2 dS = 2∫ z 2dxdy （D ）∫ z 2dS = 2∫ z 2dxdy ∑ ∑1 ∑ D xy4．设幂级数a n (x − 1)n 在 x = 2 处条件收敛，则该级数在x = 处是（ ）（ A ） 条件收敛 （B ）绝对收敛 （ C ） 发散 （D ）敛散性不一定5． 设线性无关的函数 y 1 , y 2 , y 3 都是二阶非齐次线性方程 y "+ p (x )y '+ q (x )y = f (x ) 的解， c 1 , c 2 为任意常数，则该方程的通解是（ ）（ A ） c 1y 1 + c 2 y 2 + y 3 （B ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (c 1 + c 2 )y 3 （ C ） c 1y 1 + c 2 y 2 − (1 − c 1 − c 2 )y 3 （D ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (1 − c 1 − c 2 )y 31．（8 分） 设u = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + xy + 3x − 2y − 6z ， 求点 P 0 (1,1,1) 处从点 P 0 到点 P 1 (3, 0, − 1) 方 向的方向导数P 0 和在点 P 0 处的梯度 gradu (1,1,1)2．（8 分）计算 I = x 2 + y 2 − 4 dxdy , 其中 D : x 2 + y 2 ≤ 9D3．（8 分） 计算∫∫ (x2+ y 2 )dv ， 其中Ω 是由曲线绕 z 轴旋转一周而成的曲面与两平面 z = 2， z = 8 所围成的区域。
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高等数学试题
一、填空题
1.设sin z xyz 1,-=则
z yz x cos z xy ∂=∂-. 2.设L 为圆周22x y 4+=
，则对弧长曲线积分=12π⎰ . 3.交换积分次序(
)22
2y 410y 0x
2dy f x,y dx =dx y)dy ⎰⎰⎰⎰. 4.方程2x y"4y'4y e -++=的一个特解是2x x e -212
. 二、选择题
1.函数(
)2222x y 0f x,y 0x y 0
+≠=+=⎩在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0
C.两个偏导数都存在，但不为0
D.全微分存在
2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥；
2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C .
A.12xdv 4xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
B.12
ydv 4ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
C.12zdv 4zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
D.12
xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222
x dydz x y z ∑++⎰⎰ 等于C . A.0
B.
22y z 1+≤⎰⎰
C.43π
D.22x z 1
+≤-⎰⎰ 4.下列微分方程中，通解为()2x 12y e c cos x c sin x =+的方程是B .
A.y"4y'5y 0--=
B.y"4y'5y 0-+=
C.y"2y'5y 0-+=
D.2x y"4y'5y e
-+= 三、计算二重积分2y 2D
e dxdy y ⎰⎰.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 五、设y u y
f 2x,x ⎛⎫=⎪ ⎭⎝，f 具有二阶连续偏导数，求 22
11222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x
∂''''''=+--∂∂. 六、设()f x 是一个连续函数，证明：
（1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
⎰，其中22u x y =+. 证明：（1）
()()()(
)
222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y
(yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x y
f x y xdx ydy ++=+++∂+'=+∂∂+∂+'=+=∂∂∴++
（2） ()()22
u x y 2222002222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2
+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭=++=++⎰⎰ 七、求：由曲面2222z 0,z y 1,x y 4==
+=+=所围空间立体Ω的体积.
解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ
====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
是一个全微分。
九、
计算曲面积分2∑，其中∑
为下半球面z =上侧.
解：补充曲面∑‘：z=0并取其下侧。
xy
222210002D 2
xdydz (z 1)dxdy xdydz (z 1)dxdy (2z 3)dxdydz 1022zdxdydz 22d d 3xdydz (z 1)dxdy dxdy πππθρρππ∑
∑'∑+∑ΩΩ'∑=++++=-+=--=--=-++=-=-∴⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2
7xdydz (z 1)dxdy 3π∑∑=++=-⎰⎰ 十、设()f x 二阶可微，且()1
f 03=，()f 01'=-，确定()f x 使积分
()()()2L 1312yf x 3yf x y dx f x x x dy 222⎛⎫⎛⎫''+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎰与路径无关. 解：
()()()2L 212x 3x
012**'*''01000101*1312yf x 3yf x y dx f x x x dy 222P Q 112f (x)3f (x)f (x)3x y x 22f (x)2f (x)3f (x)3x 1
2301,3
y C e C e y a x a y a y 0
02a 3a x 3a 3x 1
12a ,a 39
1y λλλλ-⎛⎫⎛⎫''+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭∂∂'''=→++=--∂∂'''--=+--=→=-==+=+→=→=---=+=-==-⎰x 3x 121212x 3x 2x 39
12f (x)C e C e x 39
21f (0)C C 93
11f (0)C 3C 33
1112f (x)e e x 123639--+=+-+=++='=-+-=-=+-+。