高等数学下册试题及答案解析

高等数学(下册)试卷(一)一、填空题(每小题3分,共计24分)1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。

7、方程04)4(=-y y的通解为 。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的与为 。

二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件就是( ) (A)),(y x f 在),(00y x 处连续;(B)),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在;(C) y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时,就是无穷小;(D)0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于( )(A)y x +; (B)x ; (C)y ; (D)0 。

3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于( )(A)4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ;(B)⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ;(C)⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ;(D)⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。

4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=( )(A)⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a d ;(B)⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a r d ;(C)⎰⎰-20cos 202248πθθa dr r a r d ;(D)⎰⎰--22cos 20224ππθθa dr r a r d 。

5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成,L 取正向,函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数,则⎰=+LQdy Pdx )((A)⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(; (B)⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(; (C)⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(; (D)⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y P x Q )(。

6、下列说法中错误的就是( )（A ） 方程022=+''+'''y x y y x 就是三阶微分方程; （B ） 方程x y dxdyx dx dy ysin =+就是一阶微分方程; （C ） 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 就是全微分方程; （D ） 方程xy x dx dy 221=+就是伯努利方程。

7、已知曲线)(x y y =经过原点,且在原点处的切线与直线062=++y x 平行,而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ,则曲线的方程为=y ( )(A)x e x2sin -; (B))2cos 2(sin x x e x-; (C))2sin 2(cos x x e x-; (D)x e x2sin 。

8、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n nu( )(A)收敛; (B)发散; (C)不一定; (D)绝对收敛。

三、求解下列问题(共计15分)1、(7分)设g f ,均为连续可微函数。

)(),,(xy x g v xy x f u +==,求yux u ∂∂∂∂,。

2、(8分)设⎰+-=t x tx dz z f t x u )(),(,求tu x u ∂∂∂∂,。

四、求解下列问题(共计15分)。

1、计算=I ⎰⎰-2022xy dy e dx 。

(7分)2、计算⎰⎰⎰Ω+=dV y x I )(22,其中Ω就是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域(8分)。

五、(13分)计算⎰++-=L yx ydxxdy I 22,其中L 就是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。

六、(9分)设对任意)(,,x f y x 满足方程)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+,且)0(f '存在,求)(x f 。

七、(8分)求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛区间。

高等数学(下册)试卷(二)一、填空题(每小题3分,共计24分)1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+,则=∂∂+∂∂yz x z 。

2、=+-→→xyxyy x 93lim0 。

3、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ,交换积分次序后,=I 。

4、设)(u f 为可微函数,且,0)0(=f 则⎰⎰≤+→=++222)(1lim 223t y x t d y x f t σπ 。

5、设L 为取正向的圆周422=+y x ,则曲线积分⎰=-++Lx x dy x ye dx ye y )2()1( 。

6、设→→→+++++=k xy z j xz y i yz x )()()(222,则=A div 。

7、通解为xxec e c y 221-+=的微分方程就是 。

8、设⎩⎨⎧<<<≤--=ππx x x f 0,10,1)(,则它的Fourier 展开式中的=n a 。

二、选择题(每小题2分,共计16分)。

1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x yx xy y x f ,则在点(0,0)处( )(A)连续且偏导数存在; (B)连续但偏导数不存在; (C)不连续但偏导数存在; (D)不连续且偏导数不存在。

2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数,且满足02≠∂∂∂y x u及 +∂∂22x u 022=∂∂yu ,则( )(A)最大值点与最小值点必定都在D 的内部; (B)最大值点与最小值点必定都在D 的边界上; (C)最大值点在D 的内部,最小值点在D 的边界上; (D)最小值点在D 的内部,最大值点在D 的边界上。

3、设平面区域D:1)1()2(22≤-+-y x ,若⎰⎰+=Dd y x I σ21)(,⎰⎰+=Dd y x I σ32)( 则有( )(A)21I I <; (B) 21I I =; (C)21I I >; (D)不能比较。

4、设Ω就是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域,则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32 =( ) (A)3611; (B)3621; (C)3631 ; (D)3641。

5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ )(βα≤≤t ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ, 则曲线积分⎰=Lds y x f ),(( )(A) ⎰βαψϕdt t t f ))(),((; (B)⎰'+'αβψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22 ;(C)⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22; (D)⎰αβψϕdt t t f ))(),((。

6、设∑就是取外侧的单位球面1222=++z y x , 则曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz =( )(A) 0 ; (B) π2 ; (C)π ; (D)π4。

7、下列方程中,设21,y y 就是它的解,可以推知21y y +也就是它的解的方程就是( ) (A) 0)()(=++'x q y x p y ; (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ; (C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''; (D) 0)()(=+'+''x q y x p y 。

8、设级数∑∞=1n na为一交错级数,则( )(A)该级数必收敛; (B)该级数必发散;(C)该级数可能收敛也可能发散; (D)若)0(0→→n a n ,则必收敛。

三、求解下列问题(共计15分) 1、(8分)求函数)ln(22z y x u ++=在点A(0,1,0)沿A 指向点B(3,-2,2)的方向的方向导数。

2、(7分)求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值与最小值。

四、求解下列问题(共计15分) 1、(7分)计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ,其中Ω就是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。

2、(8分)设)(x f 为连续函数,定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222, 其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω,求dtdF 。

五、求解下列问题(15分) 1、(8分)求⎰-+-=Lx x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (,其中L 就是从A(a,0)经2x ax y -=到O(0,0)的弧。

2、(7分)计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 222,其中∑就是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧。

六、(15分)设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数,并使曲线积分⎰'++-'Lx dy x ydx xe x x )(])(2)(3[2ϕϕϕ与路径无关,求函数)(x ϕ。