高等数学下册试题及答案解析word版本
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高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题大题一二三四五 六七小题12345得分一、填空题：（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分， 把答案直接填在题中横线上 ）r rr rrr rrr1、已知向量 a 、 b 满足 a b0 ， a2， b2 ，则 a b．2、设 zx ln( xy) ，则3z．x y23、曲面 x 2 y 2z 9 在点 (1, 2, 4) 处的切平面方程为．4、设 f ( x) 是周期为2 的周期函数，它在 [, ) 上的表达式为 f (x) x ，则 f ( x) 的傅里叶级数在 x3 处收敛于，在 x处收敛于．5、设 L 为连接 (1, 0) 与 (0,1) 两点的直线段，则(xy)ds．L※以下各题在答题纸上作答， 答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上： 姓名、学号、班级．二、解下列各题：5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）（本题共 1、求曲线2x 2 3y 2 z 2 91,2)z23x2y2在点 M 0 (1, 处的切线及法平面方程．2、求由曲面 z2x 2 2 y 2 及 z 6 x 2 y 2 所围成的立体体积．3、判定级数( 1)nlnn1 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？n 1n4、设 zf (xy, x) sin y ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求z , 2z ．yxx y5、计算曲面积分dS ,其中 是球面 x 2y 2z 2 a 2 被平面 zh (0 h a) 截出的顶部．z三、（本题满分 9 分） 抛物面 zx 2 y 2 被平面 x yz 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分 10 分）计算曲线积分( e x siny m dx ( e x cos y mx dy ，L其中 m 为常数， L 为由点 A(a,0) 至原点 O(0,0) 的上半圆周 x 2y 2ax (a 0) ．四、（本题满分 10 分）x n 求幂级数的收敛域及和函数．n 13n n五、（本题满分 10 分）计算曲面积分I2x3dydz 2y3dzdx 3(z21)dxdy ，其中为曲面 z 1 x2y 2 ( z0) 的上侧．六、（本题满分 6分）设 f ( x) 为连续函数， f (0) a ， F (t )[ z f ( x2y2z2 )]dv ，其中t是由曲面 zx2y2t与 zt2x22所围成的闭区域，求lim F (t)y t 3 ．t 0-------------------------------------备注：①考试时间为 2 小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。
高等数学(下册)试题(含详细解答与点评,2020考研数学参考)
1高等数学（下册）试题（含详细解答与点评）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．在空间直角坐标系下，方程2x 2+3y 2=6表示的图形为（ ） A ．椭圆 B ．柱面 C ．旋转抛物面 D ．球面【答案】B【解析】考查了常见二次曲面的方程。
方程(,)0f x y =在空间表示母线平行于z 轴的柱面。
不难得到答案为B 。
注：一般来讲，关于x 、y 、z 的方程中不含哪一个字母，方程就表示母线平行于哪个轴的柱面。
2．极限021lim →→y x arcsin(x +y 2)=（ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．π【答案】A【解析】考查了二元函数极限的计算。
由于函数2arcsin()x y +在定义区域内是连续的，从而在点1,02⎛⎫⎪⎝⎭处是连续的，所以 221201limarcsin()arcsin(0)26x y x y π→→+=+=。
3．设积分区域22:y x Ω+≤R 2，0≤z ≤1，则三重积分⎰⎰⎰=+Ωdxdydz y x f )(22（ ）A ．⎰⎰⎰π200102)(Rdz r f drd θ B ．⎰⎰⎰π20012)(Rdz r f rdrd θC ．⎰⎰⎰+π20122)(Rrdz y x f drd θD ．⎰⎰⎰π12)(Rdz r f rdrd θ2【答案】B【解析】本题考查了在柱面坐标下二重积分的计算。
积分区域可表示为 :01,(,)z x y D Ω≤≤∈， 其中D 是上述区域在Oxy 平面上的投影，且 :0,02D r R θπ≤≤≤≤， 所以2122220()()()R ΩΩf xy dxdydz f r rdrd dz d rdr f r dz πθθ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
4．以y =sin 3x 为特解的微分方程为（ ） A ．0=+''y y B ．0=-''y y C ．09=+''y y D ．09=-''y y【答案】C【解析】考查了微分方程的解与特解的概念。
高等数学下册试题及答案解析知识讲解
高等数学下册试题及答案解析高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y 的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
高等数学(下册)试题及详细解答
高等数学2一．填空题(每小题3分，本大题满分30分)1．已知(1,2,3)a =，(3,2,1)b = ，则a b ⨯= (4,8,4)--.2．yOz 面上的抛物线21z y =-绕z 轴旋转一周所得曲面方程为221z x y =--.3．(,)(0,2)lim x y →=18. 4．对函数yz x =利用近似计算公式d z z ∆≈，则 2.02(1.04)≈ 1.08.5．曲线2211x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩上点(2,3,5)处的切线方程为35244y z x ---==.6．将下列函数展开成(1)x -的幂级数：13x =-101(1)2n n n x ∞+=-∑，(13x -<<). 7．微分方程xy y e -'+=的通解为y =()x e x C -+.8．微分方程690y y y '''-+=的通解为y =312()xC C x e +.9．设2x f xy '=，2y f x '=，则(1,2)(0,0)f f -=2.10．已知L 为球面2222x y z R ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，则2d Ly s =⎰323R π.二．解答下列各题(每小题8分，本大题满分16分)1．已知(,)z f x y =是由方程2sin z z x y +=确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.解：令2(,,)sin F x y z z z x y =+-，则2x F xy =-，cos 1z F z =+， 2cos 1x z z F xyx F z ∂=-=∂+， 。
（5分）2222(cos 1)2(sin )(cos 1)x z y z xy z z x z ∂+-⋅-⋅=∂+ 22232(cos 1)4sin (cos 1)y z x y z z ++=+. 。
（8分） 2．求函数2(,)624ln f x y x y xy y =+--的极值.解：解方程组2204620x yf x y f x y '=-=⎧⎪⎨'=--=⎪⎩， 得驻点(1,1)，(2,2). 。
高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3 B 。
4 C 。
5 D 。
62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A 。
a ∥bB 。
a ⊥b C.3,π=b a D 。
4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A 。
(){}21,22≤+≤y x y x B 。
(){}21,22<+<y x y xC 。
(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4。
两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A 。
0=⋅b a B.0 =⨯b a C 。
0 =-b a D.0 =+b a5。
函数xy y x z 333-+=的极小值是（ )。
A.2 B.2- C 。
1 D.1- 6。
设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝( ).A 。
22B.22-C.2 D 。
2-7。
若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A 。
p 1< B 。
1≤p C 。
1>p D.1≥p8。
幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（ ）。
A 。
[]1,1-B ()1,1- C.[)1,1- D 。
(]1,1-9。
幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是( ）.A.x -11 B 。
x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）。
A 。
xce y = B 。
xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5)1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2。
函数()xy z sin =的全微分是______________________________。
(完整word版)高等数学下册期末考试试题及答案,推荐文档
高数高等数学A（下册）期末考试试题、填空题：（本题共5小题，每小题4分,满分20分，把答案直接填在题中横线上）r r r r r r r r r1、已知向量a、b满足a b 0, a 2, b 2,则ab .32、设z xln（xy）,贝U ---- 2x y2 23、曲面x y z 9在点（1,2, 4）处的切平面万程为 .4、设f（x）是周期为2的周期函数，它在［,）上的表达式为f（x） x,则f（x）的傅里叶级数在x 3处收敛于,在x 处收敛于.5、设L为连接（1,0）与（0,1）两点的直线段，则L（x y）ds .※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级.・1!■■■■■・ MM ■・・・・・■■■■■ ■ ■・・・■:■»■■■■■、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）C 2 c 2 2 c... 2x 3y z 9» j ....... .. ..1、求曲线2 2 2在点M0 （1, 1,2）处的切线及法平面方程.z 3x y.. 2 2 一 2 2 一2、求由曲面z 2x 2y及z 6 x y所围成的立体体积.n 1 一3、判定级数（1）n ln --- 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?n 1 n2x .......... z z4、设z f （xy,—） sin y ,其中f具有二阶连续偏导数，求一, ------- -y x x ydS 2 2 2 25、计算曲面积分——，其中是球面x y z a被平面z h （0 h a）截出的顶部.z、（本题满分9分）抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.(本题满分10分)计算曲线积分Je x siny m)dx (e x cosy mx)dy ,其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2 y2 ax (a 0).四、(本题满分10分)n求哥级数4—的收敛域及和函数.n i 3 n五、(本题满分10分)计算曲面积分| 2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy,2 2其中为曲面z 1 x y (z 0)的上侧.六、(本题满分6分)设f(x)为连续函数，f (0) a, F(t) [z f(x2 y2 z2)]dv,其中t是由曲面z xx y2t与z t2x2y2所围成的闭区域，求lim F(t ) t3备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面不得带走试卷。
《高等数学(下)》试题及参考答案
《高等数学（下）》习题答案一、单选题1、向量、垂直，则条件：向量、的数量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件2、当x→0时，y=ln(1+x)与下列那个函数不是等价的（C）Ay=x By=sinx Cy=1-cosx Dy=e^x-13、如果在有界闭区域上连续，则在该域上（C）A只能取得一个最大值B只能取得一个最小值C至少存在一个最大值和最小值D至多存在一个最大值和一个最小值4、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件5、向量与向量平行，则条件：其向量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件6、当x→0时,下列变量中（D）为无穷小量Aln∣x∣ Bsin1/x Ccotx De^(-1/x^2)7、为正项级数，设，则当时，级数（C）A发散 B收敛 C不定 D绝对收敛8、设f(x)=2^x-1，则当x→0时,f(x)是x的（D）。
A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无穷9、已知向量，，，求向量在轴上的投影及在轴上的分量（A）A27，51 B25，27 C25，51 D27，2510、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件11、下面哪个是二次曲面中椭圆柱面的表达式（D）A B C D12、曲线y=x/(x+2)的渐进线为(D)Ax=-2 By=1 Cx=0 Dx=-2,y=113、向量、的夹角是，则向量、的数量积是（A）A BC D14、当x→0时,函数(x²-1)/(x-1)的极限 (D)A等于2 B等于0 C为∞ D不存在但不为∞15、平面上的一个方向向量，平面上的一个方向向量，若与垂直，则（C）A BC D16、设φ(x)=(1-x)/(1+x)，ψ(x)=1-³√x则当x→0时（D）Aφ与ψ为等价无穷小 Bφ是比ψ为较高阶的无穷小Cφ是比ψ为较低阶的无穷小 Dφ与ψ是同价无穷小17、在面上求一个垂直于向量，且与等长的向量（D）A B C D18、当x→0时，1/（ax²+bx+c）～1/(x+1)，则a,b,c一定为（B）Aa=b=c=1 Ba=0,b=1,c为任意常数 Ca=0,b,c为任意常数 Da,b,c为任意常数19、对于复合函数有，，则（B）A B C D20、y=1/(a^2+x^2)在区间[-a,a]上应用罗尔定理, 结论中的点ξ=(B).A0 B2 C3/2 D321、设是矩形：，则（A）A B C D22、对于函数的每一个驻点，令，，，若，，则函数（A）A有极大值 B有极小值 C没有极值 D不定23、若无穷级数收敛，且收敛，则称称无穷级数（D）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛24、交错级数，满足，且，则级数（B）A发散 B收敛 C不定 D绝对收敛25、若无穷级数收敛，而发散，则称称无穷级数（C）A发散B收敛 C条件收敛 D绝对收敛26、微分方程的通解是（B）A B C D27、改变常数项无穷级数中的有限项，级数的敛散性将会（B）A受到影响 B不受影响 C变为收敛 D变为发散28、设直线与平面平行，则等于（A）A2 B6 C8 D1029、曲线的方向角、与，则函数关于的方向导数（D）A BC D30、常数项级数收敛，则（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛31、为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛32、下面哪个是二次曲面中椭圆抛物面的表达式（A）A B C D33、已知向量垂直于向量和，且满足于，求（B）A B C D34、平面上的一个方向向量，直线上的一个方向向量，若与垂直，则（B）A B C D35、下面哪个是二次曲面中双曲柱面的表达式（C）A B C D36、若为无穷级数的次部分和，且存在，则称（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛37、已知向量两两相互垂直，且求（C）A1 B2 C4 D838、曲线y=e^x-e^(-x)的凹区间是(B)A(-∞,0) B(0,+∞) C(-∞,1) D(-∞,+∞)39、下面哪个是二次曲面中双曲抛物面的表达式（B）A B C D40、向量与轴与轴构成等角，与轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是的方向（C）A BC D41、下面哪个是二次曲面中单叶双曲面的表达式（A）A BC D42、函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D343、曲线y=lnx在点（A）处的切线平行于直线y=2x-3A(1/2,-1n2) B(1/2,-ln1/2) C(2,ln2) D(2,-ln2)44、若f(x)在x=x0处可导，则∣f(x)∣在x=x0处（C）A可导 B不可导 C连续但未必可导 D不连续45、y=√x-1 在区间[1, 4]上应用拉格朗日定理, 结论中的点ξ=(C).A0 B2 C44078 D346、arcsinx+arccos=(D)A∏ B2∏ C∏/4 D∏/247、函数y=ln(1+x^2)在区间[-1,2]上的最大值为（D）A4 B0 C1 Dln548、函数y=x+√x在区间[0,4]上的最小值为（B）A4 B0 C1 D349、当x→1时，函数(x²-1)/(x-1)*e^[(1/x-1)]的极限 (D)A等于2 B等于0 C为∞ D不存在但不为∞50、函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D3二、判断题1、由及所确定的立体的体积（对）2、y=∣x∣在x=0处不可导（对）3、设，，，且，则（错）4、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）5、二元函数的极小值点是（对）6、若函数f(x)在x0处极限存在，则f(x)在x0处连续（错）7、设是由轴、轴及直线所围城的区域，则的面积为（错）8、函数f(x)在[a,b]在内连续，且f(a)和f(b)异号，则f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数根（对）9、若积分区域是，则（对）10、下列平面中过点（1,1,1）的平面是ｘ＝1（对）11、设，其中，，则（对）12、若函数f(x)在x0的左、右极限都存在但不相等，则x0为f(x)的第一类间断点（对）13、函数的定义域是（对）14、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）15、二元函数的两个驻点是，（对）16、y=ln(1-x)/(1+x)是奇函数（对）17、设表示域：，则（错）18、若函数f(x)在x0处连续，则f(x)在x0处极限存在（对）19、设是曲线与所围成，则（对）20、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）21、设，则（错）22、函数在一点的导数就是在一点的微分（错）23、函数在间断（对）24、罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件（对）25、设不全为0的实数使，则三个向量共面（对）26、函数z=xsiny在点（1，∏/4）处的两个偏导数分别为1,1（错）27、微分方程的一个特解应具有的形式是（对）28、设圆心在原点，半径为R，面密度为a=x²+y²的薄板的质量为RA（面积A=∏R²）（错）29、函数的定义域是整个平面（对）30、1/(2+x)的麦克劳林级数是2（错）31、微分方程的通解为（错）32、等比数列的极限一定存在（错）33、设区域，则在极坐标系下（对）34、函数极限是数列极限的特殊情况（错）35、,,则（对）36、sin10^0的近似值为017365（对）37、二元函数的极大值点是（对）38、定义函数极限的前提是该函数需要在定义处的邻域内有意义（对）39、将在直角坐标下的三次积分化为在球坐标下的三次积分，则（对）40、微分是函数增量与自变量增量的比值的极限（错）41、方程x=cos在（0，∏/2）内至少有一实根（错）42、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为1,2（错）43、f〞(x)=0对应的点不一定是曲线的拐点（对）44、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的法平面方程为（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0（对）45、1/x的极限为0（错）46、y=e^(-x^2) 在区间(-∞,0)(1,∞)内分别是单调增加，单调增加（错）47、导数和微分没有任何联系，完全是两个不同的概念（错）48、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）49、求导数与求微分是一样的，所以两者可以相互转化（对）50、在空间直角坐标系中，方程x²+y²=2表示圆柱面（对）。
高等数学下册试题及答案解析.docx
高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题 3 分，共计24 分）1、z =log a ( x2y 2 )( a 0) 的定义域为D=。
2、二重积分ln( x2y 2 )dxdy 的符号为。
|x| |y| 13 、由曲线y ln x 及直线x y e 1 ， y 1 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4L 的参数方程表示为x(t)(x),则弧长元素ds。
、设曲线y(t)5 、设曲面∑为x2y 29 介于z0 及 z 3 间的部分的外侧，则（x2y21)ds。
6、微分方程dyy tany的通解为。
dx x x7、方程y( 4) 4 y0 的通解为。
8、级数1的和为。
n1n(n1)二、选择题（每小题 2 分，共计16 分）1、二元函数z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处可微的充分条件是（）（A）f ( x, y)在(x0, y0)处连续；（B）f x( x, y)，f y( x, y)在( x0, y0)的某邻域内存在；（ C）z f x (x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 ) y 当( x) 2(y) 20 时，是无穷小；（ D）lim z f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y0。
22x0(x)( y) y02、设u yf ( x)xf (y), 其中 f 具有二阶连续导数，则x2u y 2 u等于（）y x x 2y 2（A）x y ；（ B）x；(C) y；(D)0。
3、设： x 2y 2z21, z0, 则三重积分I zdV 等于（）（ A ） 4 2d2 d1 3sin cos dr ；r 02 dd 1 dr ；（ B ）r 2 sin0 022 d13sin cos dr ；（ C ）dr0 02d 13sin cos dr 。
（ D ）dr0 04、球面 x 2 y 2z 2 4a 2 与柱面 x 2 y 22ax 所围成的立体体积 V=（）（A ） 4 2d2 a cos 4a2r 2dr ；（B ） 4 2d2 a cos r 4a2r 2dr ；（C ） 8 2d2 a cos r 4a2r 2dr ；（D ）2d2a cos r 4a2r 2dr 。
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高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。
4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（ ）（A ）⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a d ；（B ）⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a r d ；（C ）⎰⎰-20cos 202248πθθa dr r a r d ；（D ）⎰⎰--22cos 20224ππθθa dr r a r d 。
5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰=+LQdy Pdx )(（A ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(； （B ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(； （C ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(； （D ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y P x Q )(。
6、下列说法中错误的是（ ）（A ） 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dxdyx dx dy ysin =+是一阶微分方程； （C ） 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程xy x dx dy 221=+是伯努利方程。
7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）（A ）x e x2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x-； （C ）)2sin 2(cos x x e x-； （D ）x e x2sin 。
8、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n nu（ ）（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛。
三、求解下列问题（共计15分）1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。
)(),,(xy x g v xy x f u +==，求yu x u ∂∂∂∂,。
2、（8分）设⎰+-=t x tx dz z f t x u )(),(，求tux u ∂∂∂∂,。
四、求解下列问题（共计15分）。
1、计算=I ⎰⎰-2022xy dy e dx 。
（7分）2、计算⎰⎰⎰Ω+=dV y x I )(22，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）。
五、（13分）计算⎰++-=L yx ydxxdy I 22，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。
六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+，且)0(f '存在，求)(x f 。
七、（8分）求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛区间。
高等数学（下册）试卷（二）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则=∂∂+∂∂yz x z 。
2、=+-→→xyxyy x 93lim0 。
3、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则⎰⎰≤+→=++222)(1lim 223t y x t d y x f t σπ 。
5、设L 为取正向的圆周422=+y x ，则曲线积分⎰=-++Lx x dy x ye dx ye y )2()1( 。
6、设→→→+++++=k xy z j xz y i yz x A )()()(222，则=A div 。
7、通解为xxe c e c y 221-+=的微分方程是 。
8、设⎩⎨⎧<<<≤--=ππx x x f 0,10,1)(，则它的Fourier 展开式中的=n a 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）。
1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x yx xy y x f ,则在点（0，0）处（ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及 +∂∂22x u 022=∂∂yu ，则（ ）（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；（C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上。
3、设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若⎰⎰+=Dd y x I σ21)(，⎰⎰+=Dd y x I σ32)(则有（ ）（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较。
4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy32=（ ） （A ）3611； （B ）3621； （C ）3631 ； （D ）3641。
5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ )(βα≤≤t ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ， 则曲线积分⎰=Lds y x f ),(（ ）(A) ⎰βαψϕdt t t f ))(),((； (B)⎰'+'αβψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22 ；(C)⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22； (D)⎰αβψϕdt t t f ))(),((。
6、设∑是取外侧的单位球面1222=++z y x ， 则曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz =（ ）(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4。
7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ） (A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ； (C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y 。
8、设级数∑∞=1n na为一交错级数，则（ ）(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)0(0→→n a n ，则必收敛。
三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。
2、（7分）求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。
四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f zt F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。
五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求⎰-+-=Lx x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2x ax y -=到O （0，0）的弧。
2、（7分）计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 222，其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧。
六、（15分）设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数，并使曲线积分⎰'++-'Lx dy x ydx xe x x )(])(2)(3[2ϕϕϕ与路径无关，求函数)(x ϕ。