高等数学下册试题及答案解析

高等数学下册试题及答案解析

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、 z =

)

0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= . 2、二重积分⎰⎰

≤++1

||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 .

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值

为 .

4、设曲线L 的参数方程表示为),

()()(βαψϕ≤≤⎩

⎨

⎧==x t y t x 则弧长元素=ds .

5、设曲面∑为92

2

=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则

=

++⎰⎰

∑

ds y x )122

（ .

6、微分方程x y

x

y dx dy tan

+=的通解为 . 7、方程04)

4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑

∞

=+1)1(1n n n 的和为 .

二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数),(y x f z =在)

,(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在)

,(00y x 处连续；

（B ）

)

,(y x f x '，

)

,(y x f y '在

)

,(00y x 的某邻域内存在；

（C ） y

y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当

0)()(2

2→∆+∆y x 时，是无穷小；

（D ）0)()(),(),(lim 2

200000

0=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x y y x f x y x f z y x y x .

2、设

),

()(x y

xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ∂∂+∂∂等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 .

3、设Ω：,0,12

2

2

≥≤++z z y x 则三重积分

⎰⎰⎰Ω

=zdV

I 等于（ ）

（A ）4

⎰⎰⎰20

20

1

3cos sin π

π

ϕϕϕθdr

r d d ；

（B ）

⎰

⎰⎰20

1

2sin π

πϕϕθdr

r d d ；

（C ）

⎰⎰⎰ππ

ϕϕϕθ20

2

1

3cos sin dr

r d d ； （D ）

⎰

⎰⎰ππϕϕϕθ200

1

3cos sin dr

r d d .

4、球面2

2

2

2

4a z y x =++与柱面ax y x 22

2

=+所围成的立体体积V=（ ）

（A ）⎰⎰

-20

cos 20

2244π

θθa dr

r a d ； （B ）⎰⎰

-20

cos 202244π

θθa dr r a r d ； （C ）

⎰⎰

-20

cos 20

2248π

θθa dr

r a r d ；

（D ）

⎰⎰

--22

cos 20

224π

πθθa dr

r a r d .

5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续

偏导数，则

⎰=+L

Qdy Pdx )

(

（A ）

⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy x Q y P )(

； （B ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(；

（C ）⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy y Q x P )(

； （D ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y P x Q )(.

6、下列说法中错误的是（ ）

（A ） 方程

022

=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dx dy x dx dy y

sin =+是一阶微分方程； （C ） 方程

0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程x y x dx dy 22

1=

+是伯努利方程. 7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）

（A ）x e x 2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x -； （C ）)2sin 2(cos x x e x -； （D ）x e x 2sin .

8、设0

lim =∞

→n n nu , 则∑∞

=1

n n

u

（ ）

（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛. 三、求解下列问题（共计15分）

1、（7分）设g f ,均为连续可微函数.)(),,(xy x g v xy x f u +==，求y u x u ∂∂∂∂,

.

2、（8分）设⎰+-=t x t x dz

z f t x u )(),(，求

t u

x u ∂∂∂∂,.