推荐-新人教版必修二高中数学2.2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案
高中数学必修二《空间中直线与直线的位置关系》优秀教学设计
课题空间中直线与直线的位置关系（第一课时）教学目标知识与技能:(1)掌握直线与平面之间的三种位置关系;(2)会判断两直线的异面关系,初步理解异面直线的衬托画法;(3)初步理解与运用公理4 解决问题。
过程与方法:(1)让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识;(2)通过学习经历异面直线的概念的形成过程,借助平面的衬托,体会异面直线的直观画法;(3)借助长方体的模型,发现与感知平行线的传递性。
情感、态度与价值观:(1)让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣;(2)增强动态意识,培养学生观察、对比、分析的思维,通过平移转化渗透数学中的化归与辩证唯物主义思想;(3)把问题交给学生解决,让学生自主发现问题与解决问题,养成独立思考的习惯。
学情分析学生通过前面知识的学习,已经具备了一定的空间意识和空间想象能力,对空间数学的学习有一定的好奇与兴趣,能够积极参与研究,但在分析推理能力、空间想象能力方面有所欠缺,合作交流的意识也不够强,要均衡发展,各个方面的学习都有待加强,即使是在简单的计算问题上也不容马虎。
教学重难点重点:异面直线概念的理解,掌握并会应用平行线的传递性;难点:对异面直线的理解与求法。
教学方法策略采用问题驱动、实例分析、合作探究等方式组织教学活动。
问题——自主、合作——探究教学活动过程活动一【导入】温故知新师:同学们,上节课我们学习了平面的有关知识,那现在大家来齐背一下公理1至3.生:(背诵)【设计意图：检查学生对旧知的掌握情况，为新课作铺垫。
】师:其实除了上节课,早在初中的时候我们已经接触过平面了。
那大家是否还记得,同一平面内的两条直线有几种位置关系?它们分别有几个公共点?生:相交和平行。
相交的两条直线有一个公共点,平行的没有公共点。
【设计意图：唤起学生的记忆，让学生体会到知识的连续性。
】师:既然在平面里两条直线的位置关系只有这两种,那也就是说,平面内不平行的两条直线就一定会?生:相交。
人教高一数学教学设计之《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》
人教高一数学教学设计之《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》一. 教材分析《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》这一节主要让学生了解空间中直线与直线之间的平行和相交两种基本位置关系，以及判断直线与直线位置关系的方法。
教材通过实例引入，引导学生探究和发现规律，从而达到理解并掌握知识的目的。
二. 学情分析高一学生已经学习了平面几何的基础知识，对直线、平面等基本概念有了一定的理解。
但空间想象力相对较弱，对于空间中直线与直线之间的位置关系可能存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要通过大量实例和模型帮助学生建立空间直观感受，提高空间想象力。
三. 教学目标1.了解空间中直线与直线之间的平行和相交两种基本位置关系。
2.学会判断空间中直线与直线位置关系的方法。
3.培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：空间中直线与直线之间的平行和相交两种基本位置关系。
2.难点：判断空间中直线与直线位置关系的方法。
五. 教学方法1.采用实例引入，引导学生探究和发现规律。
2.利用模型和图片帮助学生建立空间直观感受。
3.采用分组讨论和小组合作的方式，提高学生的参与度和合作意识。
4.通过练习和问题引导学生自主学习，培养学生的逻辑思维能力。
六. 教学准备1.准备相关实例和图片，用于引导学生探究和发现规律。
2.准备模型和教具，帮助学生建立空间直观感受。
3.准备练习题和问题，用于巩固和拓展知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例引入本节内容，让学生观察和思考空间中直线与直线之间的位置关系。
2.呈现（10分钟）展示教材中的图片和实例，引导学生观察和分析直线与直线之间的位置关系，让学生通过观察和思考发现规律。
3.操练（10分钟）通过分组讨论和小组合作，让学生运用所学知识判断直线与直线的位置关系。
教师可提供一些模型和教具，帮助学生更好地理解和操作。
4.巩固（10分钟）让学生自主完成教材中的练习题，巩固所学知识。
人教A版高中数学必修二2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》word教案
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系.学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1（二）推进新课、新知探究、提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1,BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？ 通过观察得出结论：BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：a ∥b,b ∥c ⇒a ∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？ 可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a 、b ，在空间中任取一点O ，过点O 分别引a′∥a ，b′∥b ，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O 有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a ，b″∥b ，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O 取在a 或b 上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a 、b 相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5（三）应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，且FG=BD 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG .所以四边形EFGH 为平行四边形. 变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD.求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC ⊥BD.求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD ，所以EF=EH. 因为FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥EH.所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 变式训练如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；（2）求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB 与CC 1； （2）A 1B 1与DC ； （3）A 1C 与D 1B ； （4）DC 与BD 1； （5）D 1E 与CF. 解：（1）∵C ∈平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，又C ∉AB ，C 1∉平面ABCD,∴AB 与CC 1异面.（2）∵A 1B 1∥AB ，AB ∥DC ，∴A 1B 1∥DC.（3）∵A 1D 1∥B 1C 1，B 1C 1∥BC ，∴A 1D 1∥BC ，则A 1、B 、C 、D 1在同一平面内. ∴A 1C 与D 1B 相交.（4）∵B ∈平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，又B ∉DC ，D 1∉平面ABCD,∴DC 与BD 1异面.（5）如图10，CF 与DA 的延长线交于G ，连接D 1G ， ∵AF ∥DC ，F 为AB 中点，∴A 为DG 的中点. 又AE ∥DD 1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG .因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG=BC 21，FG ∥AD ，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF为所求.由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin ∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ， ∴HG·HE·sin ∠EHG=612sin ∠EHG . ∴612sin ∠EHG=312.∴sin ∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°.（四）知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三（五）拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB 与CD 所在直线垂直；②CD 与EF 所在直线平行；③AB 与MN 所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.③④答案：D（六）课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.（七）作业课本习题2.1 A组3、4.。
《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计
《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计教材版本新课标：人教版《数学2》教学内容分析本节内容是高中数学2第二章第一节“空间中直线与直线的位置关系”第一课时的内容，本节课主要学习两个内容：异面直线的概念平行线的传递性。
本节课主要是在学生已有同一平面内两条直线有两种位置关系的基础之上，从日常生活中的例子和学生所熟悉的长方体模型中引入异面直线的概念。
平行的传递性，是一种非常重要的关系，它不仅应用多，而且是学习直线与平面位置关系的基础，进一步说明可以利用公理4来判定直线与平面平行教学目标一、知识目标：1.异面直线的定义2.异面直线的画法3空间中直线与直线的位置关系 4.平行公理及应用二、能力目标：1.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。
2.会用平面衬托来画异面直线。
3.掌握并会应用平行公理。
三、情感与价值目标1.提高学生的空间想象能力和作图能力。
、2.增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。
3.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。
教学重点、难点教学重点：异面直线的定义；公理4。
教学难点：异面直线的定义；公理4及应用。
教学方法讲授法、讨论法、指导合作探究法教具准备上课用多媒体课作一个、合作探究（一）配套教学模型一个备课札记教学过程一、复习引入1．以长方体模型的12条棱所在直线的位置关系引入课题。
ab二、新课讲解 1．异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
注1：两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内. 2．空间两直线的位置关系按平面基本性质分 （1）同在一个平面内：相交直线、平行直线（2）不同在任何一个平面内：异面直线按公共点个数分 （1）有一个公共点: 相交直线（2）无公共点：平行直线、异面直线例1：下图长方体中(1)说出以下各对线段的位置关系? ①EC 和BH 是 相交 直线 ②BD 和FH 是 平行 直线 ③BH 和DC 是 异面 直线(2)与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条? (3)与面对角线AF 所在直线异面的棱共有_6___条?(4)与体对角线AG 所在直线异面的棱共有_6___条? 3．异面直线的画法说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。
高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：（1）了解空间中两条直线的位置关系，并能判断直线与直线之间的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4，并能运用它证明简单的几何问题。
二、教学重、难点：1．重点: （1）空间中两条直线的位置关系的判定；（2）理解并掌握公理4。
2．难点: 理解异面直线的概念、画法。
三、教具准备多媒体课件长方体模型自制的空间四边形模型四、教学过程：（一）复习引入1前面我们已学习了平面的概念及其基本性质。
回顾一下，怎样确定一个平面呢？（公理3及其三个推论）2 在一个平面内，两直线有哪几种位置关系呢？在空间中呢？（二）新课推进1、空间中两条直线的位置关系以学生身边的实例引出空间两条直线位置关系问题相交：同一平面内，有且只有一个公共点平行：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2、异面直线（1）概念：不同在任何一个平面内的两条直线 （2）判断：下列各图中直线l 与m 是异面直线吗?1 2 34 5 6【设计意图】：让学生直观判断异面直线，既加深了对概念的理解，又可引出异面直线的画法，还为下面的辨析作好铺垫。
（3）画法：用一个或两个平面衬托（4）探究αlm αlmlmαβlmαβαl m l m αβαlml αβm l mαβlm αβ共面直线：①、空间中没有公共点的两条直线是异面直线 ②、分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线 ③、不同在某一平面内的两条直线是异面直线 ④、平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线 ⑤、既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 （以上面（2）判断中的图6做反例）（5）结合实例小结判断异面直线的关键① 例1：如图2.1.2-1，在正方体1111ABCD A B C D 中,哪些棱所在的直线与1BA 成异面直线?图2.1.2-1② 判断异面直线的关键：既不相交，又不平行 如图，正方体ABCD-EFGH 中,O 为侧面ADHE 的中心，求(1)BE 与CG 所成的角？ (2)FO 与BD 所成的角？解：(1)如图: ∵BF ∥CG ，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE 与CG 所成的角， 又 BEF 中∠EBF =45 ， 所以BE 与CG 所成的角是45° （2）略。
高中数学人教版必修2 2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系 教案(系列二)
珍贵文档2.1.2 空间中直线与直线的位置关系姓名： ；班级： 1探究导航[知识要点]1.两条直线的位置关系；2.平行线间的传递性（公理4）；3.空间的等角定理；4.异面直线所成的角（或夹角）；5.空间两条直线互相垂直．[学习要求]1.了解空间中两条直线的位置关系；2.掌握公理4及等角定理3.理解异面直线的概念；4掌握异面直线所成角的求法． 2记忆和理解教材新知知识点一：空间两条直线的位置关系 [提出问题]问题1：在同一平面内，两条直线有怎样的位置关系？ 问题2：若把立交桥抽象成一条直线，它们是否在同一平面内？有何特征？问题3：观察一下，日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在直线，是否也具有类似的特征？ [导入新知] 1．异面直线（1）定义：不同在 的两条直线． （2）异面直线的画法2．空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种． （1）若从公共点的数目分，可以分为： ① 只有一个公共点—— ；② 没有公共点（2）若从平面的基本性质分，可以分为：① 在同一平面内② 不同在任何一个平面内—— ； 思考：若βα⊂⊂b a ,，那么a 与b 一定是异面直线吗？知识点二：平行公理及等角定理 [提出问题]1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行． 问题：空间中是否有类似规律？ 2．观察下图中的AOB ∠与B O A '''∠问题1：这两个对应的两条边之间有什么样的位置关系？问题2：测量一下，这两个角的大小关系如何？[导入新知]1．平行公理（公理4）（1）文字表述：平行于同一直线的两条直线，这一性质叫做空间．符号表述：⇒⎭⎬⎫cbba////．2．等角定理：空间中如果两个角的两边分别，那么这两个角或．3．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线ba,，经过空间任意一点O作直线bbaa//,//''，我们把a'与b'所成的（或）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（2）异面直线所成的角θ的取值范围：．（3）当=θ时，异面直线a与b垂直，记作：．3突破常考题型题型一：两条直线位置关系的判定[例1]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是；②直线A1B与直线B1C的位置关系是；③直线D1D与直线D1C的位置关系是；④直线AB与直线B1C的位置关系是．[活学活用]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和B1C1的中点，问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．题型二：平行公理及等角定理的应用[例2]在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD和AD的中点．（1）求证：四边形MN A1C1是梯形；（2）求证：111CADDNM∠=∠珍贵文档[活学活用]已知如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．题型三：两异面直线所成的角[例3]如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求异面直线CD1，EF所成角的大小．[活学活用]已知正方体ABCD-A1B1C1D1．（1）哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？（2）直线BA1和CC1的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？珍贵文档珍贵文档4应用落实体验 [随堂即时演练]1．如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与AA 1平行和异面的棱的条数是（ ）A ．6，4B ．3，4C ．5,，8D ．8，42．已知如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，2321===AA AD AB ,．BC 和A 1C 1以及BC 1和AB 1所成的角分别是（ ）A ．6045, B ．4545, C ．9060, D ．6030, 3．如果B O OB A O OA ''''//,//，那么AOB ∠和B O A '''∠ ．4．已知b a ,是异面直线，直线c //直线a ，那么c 与b 的位置关系 ．5．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB=CD ，CD AB ⊥， E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．5课时跟踪检测A 组基础达标1．空间两个角βα,，且α与β的两边对应平行，60=α，则β为（ ）A ． 60B ． 120C ． 30D ． 60或 120 2．给出下列四个命题：①若b a ,是异面直线，c b ,是异面直线，则c a ,异面； ②若直线b a ,相交，c b ,相交，则c a ,相交； ③若b a //，则b a ,与c 所成的角相等； ④若c b b a ⊥⊥,，则c a //． 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（ ）A．梯形B．矩形C．平行四边形D．正方形4．在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且352===PRQRPQ,,，那么异面直线AC和BD所成的角是（）A．90B．60C．45D．305．在三棱锥A—BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角是60，那么FEG∠为（）A．60B．30C．120D．60或1206．如图，将无盖的正方体纸盒展开，直线AB，CD，在原正方体的位置关系是（）A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成607．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是．8．已知ba,为不垂直的异面直线，α是一个平面，则ba,在α上的射影有可能的是（）①两条平行的直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在以上结论中，正确的是（写出所有正确的结论的编号）9．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别AA1，CC1是的中点．求证：1EDBF//且1EDBF=10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求（1）AA1与B1C所成的角；（2）A1B与B1C所成的角．珍贵文档珍贵文档B 能力提升11．如图，在空间四边形ABCD 中，两条对边3==CD AB ，E ，F 分别是另外两条对边AD ，BC 上的点，且521===EF FC BF ED AE ,，求AB 和CD 所成的角的大小．。
人教课标版高中数学必修2《空间中直线与直线之间的位置关系(第1课时)》教学设计
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系（一）一、教学目标（一）核心素养增强动态意识，培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想.（二）学习目标1.正确理解异面直线的定义；2.会判断空间两条直线的位置关系；3.掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4.会求异面直线所成角的大小.（三）学习重点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．（四）学习难点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（预习教材第44至47页，找出疑惑之处）2．预习自测问题1：下列说法正确的个数是()(1)某平面内的一条直线和与这个平面平行的直线是异面直线.(2)空间中没有公共点的两条直线是异面直线.(3)若两条直线和第三条直线所成的角相等则这两条直线必平行.(4)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直.A．1个B．2个C．3个D．4个解析:(1)中两直线可能平行,也可能异面,故(1)不正确;(2)中两直线可能平行,故(2)不正确;(3)中两直线可能相交,也可能异面,故(3)不正确;由异面直线所成角定义知(4)正确.【答案】A问题2：如图所示,已知正方体1111D C B A ABCD 中，F E ,分别是1,AA AD 的中点.(1)直线1AB 和1CC 所成的角为 ;(2)直线1AB 和EF 所成的角为 .解析:(1)因为BB 1∥CC 1,所以∠AB 1B 即为异面直线AB 1与CC 1所成的角, ∠AB 1B=45°.(2)连接B 1C,易得EF ∥B 1C,所以∠AB 1C 即为直线AB 1和EF 所成的角. 连接AC,则△AB 1C 为正三角形,所以∠AB 1C=60°．【答案】(1) 45(2) 60(二)课堂设计1．知识回顾复习1：平面的特点是______、_______、_______.【答案】平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.复习2：平面性质(三公理)公理1___________________________________；公理2___________________________________；公理3___________________________________.【答案】公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2．问题探究探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线A B'与CC'的位置关系如何？结论：直线A B'与CC'既不相交，也不平行.新知1：像直线A B'与CC'这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线C D ''∥A B ''，AB ∥A B ''，那么直线AB 与C D ''平行吗?图2-1新知3:公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?新知4:定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 探究3：异面直线所成的角已知异面直线b a ,，经过空间中任一点O 作直线a ' ∥a ,b ' ∥b ，把a ' 与b ' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）. 范围：]2,0(πθ∈.思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O 位置的不同而改变？ 点O 可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点.●活动② 互动交流，初步实践若c b a 、、是空间3条直线，a ∥b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合与分类讨论的思想.【解题过程】若b 与c 平行，因为a ∥b ，所以a 与c 平行与已知条件矛盾，容易画出异面或相交的情形．【思路点拨】通过直观的模型解决问题．【答案】D●活动③ 巩固基础，检查反馈【设计意图】巩固检查对异面直线的理解与认识．例1 如下图所示正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是1111,C B B A 的中点．问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由．(2)B D 1和1CC 是否是异面直线？说明理由．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)不是异面直线．理由：N M 、 分别是1111C B B A 、的中点． ∴11C A MN ∥又∵11ACC A 为平行四边形．∴AC ∥11C A ，得到MN ∥AC ，∴AM 和CN 不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设B D 1和1CC 在同一个平面1DCC 内，则1DCC B ∈，1DCC C ∈D CC BC 1⊂∴，D D CC B 11∈∴，这与1111D C B A ABCD -是正方体相矛盾．∴假设不成立，故B D 1和1CC 是异面直线．【思路点拨】利用定义与反证法．【答案】已证．同类训练 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么GH EF CD AB ,,,这四条线段所在的直线是异面直线的有 对．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图：AB 与CD ，AB 与GH ，EF 与GH【思路点拨】平面与空间的相互转化．【答案】3对●活动④ 强化提升，灵活应用例 2 如图,在三棱锥BCD A -中，G F E 、、分别是AD BC AB 、、的中点， 120=∠GEF ，则BD 和AC 所成角的度数为 .【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】依题意知,EG ∥BD,EF ∥AC,所以∠GEF 所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD 所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD 与AC 所成的角为60°．【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果.（4）结论.简记为“作（或找）——证——算——答”.同类训练 在正方体1111ABCD A B C D 中，H G F E ,,,分别为1111,,,C B BB AB AA 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接1A B 、1BC 、11A C ，由于EF ∥A 1B ，GH ∥BC 1，所以A 1B 与BC 1所成的角即为EF 与GH 所成的角，由于△A 1BC 1为正三角形，所以A 1B 与BC 1所成的角为 60，即异面直线EF 与GH 所成的角为 60.【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60例3.空间四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别是DA CD BC AB 、、、的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形.【知识点】平行公理的应用．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接BD ，因为EH 是三角形ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且BD EH 21=；同理FG ∥BD ，且BD FG 21=；所以EH ∥FG ，且EH FG =，所以四边形EFGH 为平行四边形.【思路点拨】通过平行公理产生边与边的关系．【答案】已证．探究：如果再加上条件BD AC =，那么四边形EFGH 是什么图形？（菱形） 拓展：若BD AC ⊥，则四边形EFGH 又是什么图形？（矩形）3.课堂总结知识梳理（1）异面直线的定义、夹角的定义及求法．（2）空间直线的位置关系．（3）平行公理及空间等角定理．重难点归纳（1）空间直线的位置关系判定．（2）平行公理及空间等角定理．（3）求异面直线所成角的大小．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列四个命题中错误的是（ ）A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 可以确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线或是平行直线．显然答案C 中的命题错误．故选C ．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】C2．在正方体1111D C B A ABCD -中，B A 1与C B 1所在直线所成角的大小是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连接1D C ，则11A B D C ，连接11B D ，易证11B CD ∠就是B A 1与C B 1所在直线所成角，由于11B CD 是等边三角形，因此1160B CD ∠=︒，故选C.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】C3. c,是空间中的三条直线,下面给出四个命题:a,b①若a∥b,b∥c,则a∥c；②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交；③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a、b一定是异面直线；④若a、b与c成等角,则a∥b.上述命题中正确的命题是(只填序号).【知识点】点线面的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】①中,由公理4知,正确；②中,a与c可相交、可平行、可异面,错误；③中,a、b可能平行、相交、异面,故错；④中,a、b可能平行、相交、异面,故错. 【思路点拨】找模型，数形结合．【答案】①4．如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;60角;③CN与BM成④DM与BN是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【知识点】异面直线的判定与所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由题意画出正方体的图形如图:显然①②不正确;③CN 与BM 成60°角,即∠ANC=60°,正确;④正确, 故选C.【思路点拨】平面图形还原为空间图形.【答案】C5．如图,已知正方体D C B A ABCD ''''-.(1)哪些棱所在直线与直线A B '是异面直线?(2)直线A B '和C C '的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线A A '垂直?【知识点】异面直线的基本知识．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)由异面直线的定义可知,棱AD 、DC 、CC'、DD'、D'C 、'B'C'所在直线分别与BA'是异面直线.(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA'是异面直线BA'和CC'的夹角,∠B'BA'=45°,所以直线BA'和CC'的夹角为45°.(3)直线A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、分别与直线AA'垂直.【思路点拨】根据异面直线所成的基本知识与方法．【答案】(1)C B C D D D C C DC AD ''''''、、、、、；(2) 45；(3)A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、．能力型 师生共研6．已知三棱锥BCD A -中，CD AB =，且直线AB 与CD 成60角，点N M ,分别是AD BC ,的中点，求直线AB 和MN 所成的角．【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN.①若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上可知：AB 与MN 所成角为60°或30°.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】60或 30． 探究型 多维突破7．如下图所示，点S R Q P 、、、分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论与数形结合的思想.【解题过程】显然①②平行，④相交，③异面．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】③自助餐1．如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】平面图形还原为空间图形，容易观察得出选D．【思路点拨】平面图形还原为空间图形．【答案】D2．下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】等角定理，公理4的理解与应用．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由等角定理知道①错误，②③正确；由公理4知道④正确，选C .【思路点拨】找点线面的关系．【答案】C3．已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与11B A 所成的角的余弦值为________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】显然1AED ∠为异面直线AE 与11B A 所成的角（或补角），容易求得余弦值为31． 【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】31 4．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是11,BC AB 的中点，则以下结论：①EF 与1CC 垂直；②EF 与BD 垂直；③EF 与11C A 异面；④EF 与1AD 异面，其中不成立的序号是________.【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连结A 1B ，在△A 1BC 1中，EF ∥A 1C 1，所以①，②，④正确，③错．【思路点拨】找点线面的关系．【答案】③5．在三棱锥A BCD -中，2==BC AD ，F E 、分别是CD AB 、的中点，2=EF ，则异面直线AD 与BC 所成的角为________．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】取AC 中点P ，连接PF PE 、．则ABC ∆中，PE ∥BC 且121==BC PE ，ACD ∆中，PF ∥AD 且121==AD PF ，所以EPF ∠为所求．EPF ∆中，2,1===EF PF PE ，所以︒=∠90EPF ．【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】︒906．正方体1111D C B A ABCD -中．(1)求AC 与D A 1所成角的大小；(2)若F E 、分别为AD AB 、的中点，求11C A 与EF 所成角的大小．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)如图所示，连接B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角． ∵AB 1＝AC ＝B 1C ，∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC 、BD ，在正方体1111D C B A ABCD -中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC . ∴EF ⊥A 1C 1. 即A 1C 1与EF 所成的角为90°.【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】(1)︒60；(2) 907．长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ，求异面直线11C A 与1BD 所成角的余弦值.【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】设11C A 与11D B 交于O ，取1BB 中点E ，连接OE ，因为OE //B D 1，所以OE C 1∠或其补角就是异面直线11C A 与1BD 所成的角或其补角.在OE C 1∆中，1111522OC A C ==，221113221222OE BD ==++=， 22221111112C E B C B E =+=+=， 所以222222111153()()(2)522cos 2553222OC OE C E C OE OC OE +-+-∠===⋅⨯⨯，所以异面直线11C A 与1BD 所成的角的余弦值为55.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】55。
高中数学 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系全册精品教案 新人教A版必修2
第二课时空间中直线与直线之间的位置关系〔一〕教学目标1．知识与技能〔1〕了解空间中两条直线的位置关系；〔2〕理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；〔3〕理解并掌握公理4；〔4〕理解并掌握等角公理；〔5〕异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.〔二〕教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.〔三〕教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……师〔肯定〕：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.探索新知1．空间的两条直线位置关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点②平行直线—在同一平面内，没有公共点.相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.随堂练习：如下图P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG. 现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师〔肯定〕所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交〞那么“不同在任何一个平面内〞是否可改为“不在一个平面内呢〞学生讨论发现不能去掉“任何〞师：“不同在任何一个平面内〞可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内〞培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解〔1〕公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行〔2〕定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例 2 如下图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.师〔肯定〕下面我们来看培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解题能力.所以EH∥BD，且12EH BD=.同理FG∥BD，且12FG BD=.因为EH∥FG，且EH = FG，所以四边形EFGH为平行四边形. 一个例子观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，∠ADC = ∠A′D′C′，∠ADC + ∠A′B′C′=180°师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.探索新知3．异面直线所成的角〔1〕异面直线所成角的概念.两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).〔2〕异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.例3 如图，正方体ABCD–A′B′C′D′.师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；②两条异面直线所成的角(0,]2πθ∈；③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.〔1〕哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？〔2〕直线BA′和CC′的夹角是多少？〔3〕哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？解：〔1〕由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.〔2〕由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°.〔3〕直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 条上；④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动〔作平行线〕，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a 和b互相垂直，也记作a⊥b；⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题随堂练习1．填空题：〔1〕如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.〔2〕如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ .答案：〔1〕3条. 分别是BB′，CC′，DD′；〔2〕相等或互补.2．如图，长方体ABCD–学生独立完成答案：.2．〔1〕因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=23，B′C′=23，所以∠B′C′A′ = 45°.〔2〕因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′ 所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′= AD =23，BB′= AA′=2，所以BC′= 4，∠B′BC′=60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.附加例题例1 “a、b为异面直线〞是指：①a∩b =∅，且a∥b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b =∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β=∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立.上述结论中，正确的选项是〔〕A．①④⑤正确B．①③④正确C．仅②④正确D．仅①⑤正确[解析] ①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.应选D例2 如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，那么过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有 条.[解析]如下图，过定点P 作a 、b 的平行线a ′、b ′，因a 、b 成50°角，∴a ′与b ′也成50°角.过P 作∠A ′PB ′的平分线，取较小的角有∠A ′PO =∠B ′PO = 25°. ∵∠APA ′＞A ′PO ，∴过P 作直线l 与a ′、b ′成30°角的直线有2条.例3 空间四边形ABCD ，AD =1，BD =3，且AD ⊥BC ，对角线BD =132，AC =32，求AC 和BD 所成的角。
高中数学必修2《空间中直线与直线之间的位置关系》教案共5页
广东省中学青年数学教师优秀课评比参赛课例——教案课题：《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》授课老师：潮州市湘桥区南春中学郑珠珠教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修21、教学目标（1）知识目标：掌握空间中两条直线的位置关系，理解异面直线的概念；以公理4和等角定理为基础，理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。
（2）能力目标：通过研究空间中两直线的位置关系以及异面直线所成的角，培养学生的空间想象力、观察能力和分析问题的能力。
（3）情感目标：让学生体验从具体到抽象的学习规律，在探究活动中增强学生的合作意识和动手能力，激发学生的学习兴趣。
2、教学重点、难点重点：（1）空间中两条直线之间的位置关系；（2）异面直线及其所成角的概念。
难点：理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。
3、教学方法与手段本节课应该始终贯彻“以学生为主体，以教师为主导，以观察、探究为主线”的教学理念，坚持具体与抽象相结合的原则，采用“启发式”、“讨论式”等教学方法，并充分利用多媒体和实物模型辅助教学，化静为动，进一步培养学生的空间想象力和观察能力，并在动手、讨论的过程中培养学生合作、探究的能力。
4、教学过程（一）创设情境，提出问题1、思考：同一平面内两直线有几种位置关系？学生：相交、平行。
老师：那么空间中的两条直线呢？引出本节课的课题：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2、让学生观察两个生活实例，直观感知异面直线不平行、不相交的特征：（1）天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线，既不平行，也不相交；（2）立交桥上下两层桥面所在直线，既不平行，也不相交。
（二）启发引导，构建概念1、让学生观察长方体模型（如图），发现：直线'A B与直线'C C既不平行也不相交。
学生在几何模型中进一步体会异面直线不平行、不相交的特征，从而构建：【异面直线的概念】不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
注1：对“任何”这个词的理解。
高中数学2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案新人教A版必修2
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系教材版本人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书A版数学必修2教材分析空间中直线与直线的位置关系是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质的基础上提出来的。
它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础，是我们研究的重点。
学情分析本班学生为省级重点高中学生，初中基础较好，理解力较强。
空间直线的三种位置关系在现实中大量存在，学生对它们已有一定的感性认识。
其中，相交直线与平行直线是平面几何的内容，同学们已经非常熟悉。
异面直线的概念是学生比较生疏的，也是本节的重点和难点。
设计思想从日常生活中的实例入手，直观感知异面直线不同于相交直线、平行直线的特点，抽象概括出异面直线的定义；通过对位置关系的内涵的探讨，同时类比平面内两直线的位置关系的量化研究，引导学生发现两条异面直线的位置关系应包含角度与距离两项指标；让全体学生经历异面直线所成的角的科学性研究，引导学生发现公理4与等角定理两个理论依据，以及体会空间图形问题转化为平面图形问题的降维转化思想；例题的分析与讲解让学生加深对异面直线所成角的定义的理解，同时初步掌握平移的方法求异面直线所成的角.教学目标［知识与技能］1.知道空间直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，初步掌握判断两直线的异面关系的方法，掌握异面直线的衬托画法；2.以公理4和等角定理为基础，初步理解异面直线所成角的概念，运用平移的方法求异面直线所成的角.［过程与方法］1. 从日常生活中的实例入手，让学生经历直观感知异面直线特点，并抽象概念出异面直线定义的过程；2. 通过类比日常生活中确定两个物体位置关系、以及平面几何中研究两直线位置关系的量化方法，发现研究异面直线位置关系的两个数量：角及距离；3. 让学生经历对异面直线所成的角定义的科学性的探究，发现公理4及等角定理是异面直线所成的角定义的科学性的理论依据；4. 经过对异面直线所成角的学习，让学生体会空间图形问题往往降维处理，转化成平面图形问题解决的思想.［情感、态度与价值观］由一系列问题引发学生思考，深化对概念的理解与应用，养成独立思考的习惯，形成严谨的科学研究态度。
人教版高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系》教案
人教版高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系》教案必修Ⅱ2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系（第一课时）教案一、教材分析：1.教材的地位和作用（1）本节课是人教版数学必修2的2.1.2第一课时的内容，主要研究空间中直线与直线之间的三种位置关系及公理4。
（2）教材在编写时注意从平面到空间的扩充，通过观察实物，直观感知，进而抽象概括出定义及定理，培养学生的观察能力和分析问题的能力。
2.教学重点与难点教学重点：异面直线的概念的理解及其判断，公理4的学习。
教学难点：异面直线的理解，空间中直线与直线之间的位置关系的分类。
3.教学目标知识与技能：（1）理解异面直线的概念；（2）了解空间中两条直线的位置关系；（3）理解并掌握公理4及其应用。
过程与方法：（1）教学过程中引导学生从生活中的实例出发，联系旧知识来提出所要探究的问题；（2）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合.情感态度与价值观：通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成善于观察、合作探索、科学研究的好习惯。
、二、教法设计：1、多媒体辅助教学：易于突破难点，增强形象性、直观性。
2、探究式教学：给学生提供从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程获取知识。
3、讲议结合教学：教师耐心引导、分析、讲解和提问，并及时对学生的意见进行肯定与评议。
4、分层教学：面向全体学生，充分调动不同层次学生的积极性。
三、学法设计：1.本节知识与生活的联系密切，可以引导学生从生活中去找模型，将所要学习的知识与周围的事物结合起来，同时还注重让学生经历从实际背景中抽象出空间图形的学习过程。
2.学生能够在老师的引导下自己去发现问题，共同讨论，自主合作探究。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
四、教学过程：1.创设情境，引出问题思考：(1)同一个平面内的两条直线有几种位置关系？(2)空间中两条直线有哪些位置关系呢？找一找，说一说：同桌两位同学中一人在教室里任意找两条直线，另一同学说出这两条直线的位置关系。
空间中直线与直线之间的位置关系教案
空间中直线与直线的位置关系
王罗成 2008211976
一、教材分析 本节内容是人教版新课标数学必修二 2.1.2 节《空间中直线与直线之间的位置关系》 标志着学生自接触立体几何的知识后正式进入其论证部分的学习。学生在之前的立体几 何的学习中，只是笼统的学习了空间几何体得相关知识，由本章开始，学生就要通过研 究空间中具体的点、线、面的相互关系，更加具体细致的学习空间几何体的相关性质， 进一步能够对一些简单的结论进行论证。学情分析 二、学情分析 由于学生刚刚接触立体几何部分的知识，在学习本节内容之前，学生只是学习了简 单的空间几何体，并没有进行细致的研究，其空间想象能力有待进一步的提高。但是立 体几何与日常生活联系的十分紧密，对于很多立体图形和相关概念结论学生已经有了一 种直观的印象，只是没有经过数学化得处理，因此在本节的学习和教学中，应该注意这 一点。 三、教法分析 本节课属于概念教学，重点是帮助学生形成“异面直线”的概念。根据概念形成的 一般教学模式，需要四个步骤：第一，对异面直线不同例子的外部特征进行辨认；第二， 抽象出各个例子的共同本质属性；第三，概括出本质属性与原有概念的联系，扩大原有 的数学知识结构；第四，将本质属性推广到所有异面直线的对象中来，明确概念的内涵 和外延。本节课将采用问答法进行教学，突出师生的互动。 四、教学目标 知识目标：理解异面直线的概念，能够判断两条直线是否是异面直线，掌握空间中直线 与直线的位置关系分类。 能力目标： 通过观察和抽象， 形成异面直线的相关概念， 培养抽象能力和空间想象能力。 情感目标：体会数学与现实生活的联系，增强学生学习数学的兴趣。 五、教学重难点 教学重点：空间中直线与直线位置关系的分类，异面直线的概念，两条直线位置关系的 判断。 教学难点：异面直线的概念的理解。 六、教学过程 1、 复习引入 问题一： 直线与直线的位置关系这个概念我们已经不陌生， 同学们能不能回忆起来 平面中两直线的位置关系有哪些？ 【设计意图】由本节内容的题目引发思考，过度自然，易于新知的建构和理解。 2、 新课讲解 问题二：平面与空间的关系如何？ 【设计意图】 由第一个问题深入， 进一步比较平面中两直线的位置关系和空间中两 直线位置关系的区别和联系，易于学生打开思路，联想自然合理，易于理解。 问题三： 通过观察我们周围的环境， 同学们能不能举出一种空间中两直线的位置关 系，其既不平行又不相交？ 【设计意图】 一方面引导学生观察身边的两直线的位置关系， 使学生意识到数学的 实用性，另一方面有上一个问题层层深入，思路自然合理，便于理解，就此完成对 异面直线外部特赛
高中数学人教版必修二 空间中直线与直线之间的位置关系 教案
“主体性优效课堂”学科教学设计课题空间中直线与直线之间的位置关系序号课型新课上课时间月日班级教[来源:学科网ZXX K]学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣[来源: Z.x x.k.Co m]重点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理难点：异面直线所成角的计算1．空间的两条直线位置关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点随堂练习：如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG.（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例2如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且同理FG∥BD，且因为EH∥FG，且EH=FG，所以四边形EFGH为平行四边形.教学程序设计教学设计意图3．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的概念已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)（2）异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.例3如图，已知正方体ABCD–A′B′C′D′.（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？归纳总结1．空间中两条直线的位置关系.2．平行公理及等角定理.3．异面直线所成的角.教学反思问题梳理改进措施学生主体性教师主导性。
2.1.2空间直线与直线之间的位置关系教案
（一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理 4； （4）理解并掌握等角公理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2．过程与方法 让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识. 3．情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
师：现在请大家思考公理 4 是否可以推广，它有什么作 用.
生：推广空间平行于一条 直线的所有直线都互相平行.它 可以用来 证明两条 直线平 行.
师 （肯定）下面我们来看一个例 子
观察图，在长方体 ABCD – A′ B′ C′ D′ 中 ， ∠ADC 与 ∠ A′ D′ C′ ， ∠ ADC 与 ∠A′B′C′的两边分别对应
（二）教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念； 难点：异面直线所成角的计算.
2、公理 4 及等角定理.
（三）教学方法 师生的共同讨论与讲授法相结合；
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题：在同一平面内，两 师投影问题，学生讨论回答
条直线有几种位置关系？空间
生 1：在同一平面内，两
的两条直线还有没有其他位置 条直线的位置关系有：平行与
师打出投影片让学生尝试
作图，在作图的基础上猜想平 行的直线并试图证明. 师：在图中 EH、FG 有怎样的
3．异面直线所成的角 （ 1） 异 面直线所成角的 概念.
特点？它们有直接的联系吗？ 引导学生找出证明思路.
师讲述异面直线所成的角 的定义，然后学生共同对定义 进行分析，得出如下结论.
已知两条异面直线 a、b， 经过空间任一点 O 作直线 a′ ∥a，b′∥b，我们把 a′与 b ′ 所 成 的 锐 角 (或 直 角 )叫 做 异 面 直 线 a 与 b 所 成 的 角 (或 夹 角).
高中数学 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系全册精品教案 新人教A版必修2
第二课时空间中直线与直线之间的位置关系（一）教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.（三）教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 有一个公共点②平行直线—在同一平面内，没有公共点.③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.随堂练习：如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有对.答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG. 现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”学生讨论发现不能去掉“任何”师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例 2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且12EH BD=.同理FG∥BD，且12FG BD=.因为EH∥FG，且EH = FG，所以四边形EFGH为平行四边形. 它可以用来证明两条直线平行.师（肯定）下面我们来看一个例子观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，∠ADC = ∠A′D′C′，∠ADC + ∠A′B′C′=180°师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.题能力.探索新知3．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).（2）异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；②两条异面直线所成的角(0,]2πθ∈；③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.异面直线a、b，记作a⊥b.例 3 如图，已知正方体ABCD–A′B′C′D′.（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°.（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a 和b互相垂直，也记作a⊥b；⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题随堂练习1．填空题：（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ .答案：（1）3条. 分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.学生独立完成答案：.2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=23，B′C′=23，所以∠B′C′A′ = 45°.（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′ 所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′= AD =23，BB′= AA′=2，所以BC′= 4，∠B′BC′=2．如图，已知长方体ABCD –A′B′C′D′中，AB=23，AD =23，AA′ =2.（1）BC和A′C′所成的角是多少度？（2）AA′和BC′所成的角是多少度？60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.归纳总结1．空间中两条直线的位置关系.2．平行公理及等角定理.3．异面直线所成的角.学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.作业 2.1 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力附加例题例1 “a、b为异面直线”是指：①a∩b =∅，且a∥b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b =∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β=∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立.上述结论中，正确的是（）A．①④⑤正确B．①③④正确C．仅②④正确D．仅①⑤正确【解析】①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a 、b 是异面直线.故选D例2 如果异面直线a 与b 所成角为50°，P 为空间一定点，则过点P 与a 、b 所成的角都是30°的直线有且仅有条.【解析】如图所示，过定点P 作a 、b 的平行线a ′、b ′，因a 、b 成50°角，∴a ′与b ′也成50°角.过P 作∠A ′PB ′的平分线，取较小的角有∠A ′PO =∠B ′PO = 25°. ∵∠APA ′＞A ′PO ，∴过P 作直线l 与a ′、b ′成30°角的直线有2条.例3 空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD =3，且AD ⊥BC ，对角线BD =132，AC =32，求AC 和BD 所成的角。
高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计 (1)
【课题】：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系【随笔】【学习目标】：1.掌握空间直线位置关系，理解异面直线概念，判断位置关系；2.理解公理4并能应用它证明简单的几何题。
【教学重点、难点】教学重点：(1)异面直线的概念；（2）公理4及其运用。
教学难点：异面直线的概念、异面直线的画法，公理4及其运用。
【自主学习】：1. 同一平面内直线与直线的位置关系：(1)_________________ (2)__________________2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，说出下列各对线段的位置关系（1）AB和BD1 ____________（2）A1A和D1D____________（3）AB和CC1____________________（4）AC和B1D1_________________(PPT演示图片)在空间中，两直线除了相交、平行的位置关系以外，还有其他的位置关系。
【合作探究】探究（一）学生观察（PPT）上述例子中的两直线是否在同一个平面内？这种位置关系我们定义为异面直线。
（1）异面直线的定义：把不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线．思考：上述长方体的棱所在的直线中，哪些与AB，AC，A1A,异面？（2）空间直线的位置关系：(1)__________（2）__________ （3）___________（3）异面直线画法：○1．一个平面衬托画法：○2．两个平面衬托画法例1.判断下列命题是否正确?①没有公共点的两条直线是异面直线．②互不平行的两条直线是异面直线．③分别在两个平面内的两条直线一定异面.④平面内的直线与这个平面外的直线一定异面.⑤分别与两条相交直线都相交的两条直线共面．⑥分别与两条异面直线都相交的两条直线异面.探究（二）我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,那么,这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?公理4：在空间,平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号语言：________________________________________.公理性质：________________________________________.公理作用：________________________________________.ABDEFGHC例2.已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点，连结EF，FG， GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形。
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空间中直线与直线之间的位置关系
课型：新授课
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法
（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；
（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念；
2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板
四、教学思想
（一）创设情景、导入课题
1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）
（二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：
2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？
共面直线
生：平行
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1、 空间四边形ABCD ，E 、F 、H 、G 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形
EFGH 是平行四边形
3 让学生观察、思考右图：
∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800
教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b ，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。
（2）强
调：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ②两条异面直线所成的角θ∈(0，
)
③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
（3）例2（教材P47页例3）
（三）课堂练习
练习1、2
（四）课堂小结在师生互动中让学生了解：
（1）本节课学习了哪些知识内容？
（2）计算异面直线所成的角应注意什么？ =>a ∥c
2。