4.3动态规划模型
动态规划模型
动态规划模型动态规划（Dynamic Programming）是一种优化问题的求解方法，它将原问题划分为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
动态规划方法适用于满足最优子结构（optimal substructure）和重叠子问题（overlapping subproblems）的问题。
动态规划模型由三个基本要素组成：状态（state）、状态转移方程（state transition equation）和初始条件（initial conditions）。
首先，我们需要定义问题的状态，即将原问题划分为多个子问题，并将子问题的结果组合起来得到原问题的结果。
状态可以是一个整数、一个数组、一个矩阵或者一个串等等。
状态具有两个性质：最优子结构和无后效性。
其次，我们需要确定状态之间的转移关系，即状态转移方程。
状态转移方程描述了一个状态如何从其前一个状态转移到后一个状态。
状态转移方程是问题求解的核心，通过它可以得到问题的最优解。
最后，我们需要确定初始条件，即问题的边界条件或者初始状态。
初始条件提供了问题的起始状态，是递推过程的终止条件。
动态规划模型的求解过程通常包括以下几个步骤：1. 定义状态：确定问题的状态，即将原问题划分为多个子问题，并定义每个子问题的状态。
2. 确定状态转移方程：根据问题的最优子结构性质，确定状态之间的转移关系，即状态转移方程。
3. 确定初始条件：确定问题的边界条件或者初始状态，提供递推过程的终止条件。
4. 设计算法：根据状态转移方程和初始条件，设计算法求解问题。
5. 检验结果：检验算法的正确性和有效性，确保得到的结果是问题的最优解。
动态规划模型的求解过程通常采用自底向上（bottom-up）的方法，即从最小的子问题开始求解，逐步通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
在求解过程中，将子问题的最优解存储起来，避免重复计算，提高求解效率。
总之，动态规划模型是一种有效的求解优化问题的方法，通过将原问题划分为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
决策模型知识点总结
决策模型知识点总结一、决策模型的基本概念1.1 决策模型的定义决策模型是指对决策问题进行形式化描述和分析的数学模型或者计算机模型。
它是对决策问题中的决策者、决策的目标、决策的条件以及可能的决策方案进行系统化的表达、分析和比较的工具。
1.2 决策模型的分类根据不同的分类标准，决策模型可以分为多种类型，常见的分类包括：（1）决策环境的分类：确定性模型、随机模型和不确定性模型；（2）决策者的分类：单人决策模型和多人博弈模型；（3）决策问题的分类：多目标决策模型和单目标决策模型；（4）模型的形式和用途：数学模型、计算机模型、仿真模型等。
1.3 决策模型的特点决策模型具有形式简练、准确性高、计算精密、易于分析和优化等特点，可以帮助决策者做出准确、科学的决策，提高决策效率和决策质量。
二、决策模型的建立与求解2.1 决策模型的建立步骤（1）确定决策者、决策目标和影响决策的条件；（2）确定可能的决策方案；（3）建立决策模型，包括决策变量、决策目标函数、约束条件等；（4）确定求解方法，对决策模型进行求解。
2.2 决策模型的求解方法常见的决策模型求解方法包括：（1）数学规划方法，包括线性规划、整数规划、非线性规划等；（2）决策树方法，包括期望值决策树、价值决策树等；（3）决策支持系统方法，包括专家系统、模拟等。
2.3 决策模型的评价方法决策模型的评价方法包括：（1）灵敏度分析，分析模型中参数变动对决策结果的影响；（2）稳健性分析，评价模型对不确定因素的抗风险能力；（3）效果验证，通过实际运用来验证模型的效果。
三、常见的经典决策模型3.1 线性规划模型线性规划模型是研究一个包含若干线性约束条件下的线性目标函数最优值的数学方法。
线性规划模型适用范围广泛，常用于生产计划、资源配置等领域。
3.2 整数规划模型整数规划模型是在线性规划模型的基础上，限制决策变量为整数的规划模型。
整数规划模型适用于需求具有离散性的问题，如项目选址、设备分配等领域。
第三节 动态规划
和边界条件f 4 ( D) 0.
其中f k ( sk )为从状态sk出发到终点的最优效益 ， opt min 或 max
按照上述方法我们来求例1图中的最短路线
1 B1 6 8 B2 7 6 3 C1 8 3 C2 5 D2 1 2 3 D3 3 6 D1 2 E1 2 5 5 E2 2 66 E3 F2 3 3 F1 4 G
3、决策(decision) uk(sk) ： 从一个阶段某状态演变到下一个阶段某状 态的选择或决定称为决策。描述决策的变 量称为决策变量，用uk(sk)表示第k阶段当 状态为sk时的决策变量，它是状态sk的函数。 决策变量的取值范围称为决策集合，允许 决策集用Dk(sk)表示。如例1： D1(s1)={u1(A)}={B1,B2}， s1=A D2(s2)={u2(B1)}={C1,C2,C3}, s2=B1 D3(s3)={u3(B2)}={C2,C3,C4}， ……
模型建立： 1、划分阶段：每一季度为一个阶段； 2、设出状态变量：令sk（k=1,2,3,4)表示 第k个季度初的产品数量（库存数量）, s1=0,s5表示年终剩余的产品数量； 3、设出决策变量：令uk(k=1,2,3,4)表示 第k季度的产量,uk≥Ak- sk，Ak表示第k季 度的订货量； 4、状态转移方程：sk+1=sk+uk-Ak, 5、阶段效益：表示该季度的生产费用与库 存费用之和——dk(sk,uk)=1*sk+0.005uk2;
6、基本方程：
f k ( sk ) min d k ( sk , uk ) f k 1 ( sk 1 ) uk Ak k 1 ( sk 1 )} uk Ak sk f 5 ( s5 ) 0, k 4,3,2,1
建立动态规划数学模型的步骤
例2（带回收的资源分配问题）某厂新购某种机床125台。据估计，这种设备5年后将被其它设备所代替。此机床如在高负荷状态下工作，年损坏率为1/2，年利润为10万元；如在低负荷状态下工作，年损坏率为1/5，年利润为6万元。问应如何安排这些机床的生产负荷，才能使5年内获得的利润最大？
解：以年为阶段，k=1，2，3，4，5 取k年初完好的机床数为状态变量xk 以k年初投入高负荷运行的机床数为决策变量uk，则低负荷运行机床数是xk-uk，于是状态转移方程为： xk+1=1/2uk+4/5（xk-uk）=0.8xk-0.3uk 以利润为目标函数，则k年利润为： 10uk+6（xk-uk）=4uk+6xk 记fk（xk）为k年至5年末最大总利润，则动态规划基本方程为： fk（xk）= max｛ 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝ 0≤uk≤xk f6（x6）=0 k=5,4,3,2,1
动态规划基本方程为： fk（xk）= max｛ 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝
当k=2时 f2（x2）= max｛ 4u2+6x2+f3（0.8x2-0.3u2）｝ 0≤u2≤x2 = max｛ 4u2+6x2+18（0.8x2-0.3u2）｝ 0≤u2≤x2 = max｛-1.4u2+20.4x2｝=20.4x2 u2=0 0≤u2≤x2 当k=1时 f1（x1）= max｛ 4u1+6x1+f2（0.8x1-0.3u1）｝ 0≤u1≤x1 = max｛ 4u1+6x1+20.4（0.8x1-0.3u1）｝ 0≤u1≤x1 = max｛ -2.12u1+22.32x1｝=22.32x1 u1=0 0≤u1≤x1 =22.32×125=2790（万元）
运筹学模型的类型
运筹学模型的类型运筹学模型是指通过数学方法来描述和解决复杂问题的一种工具。
根据问题的性质和要求，运筹学模型可以分为以下几种类型：1. 线性规划模型（Linear Programming Model，简称LP）：线性规划是一种优化问题，它的目标是在满足一些约束条件下，使某个线性函数取得最大或最小值。
线性规划模型广泛应用于生产调度、资源分配、物流运输等领域。
2. 整数规划模型（Integer Programming Model，简称IP）：整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量只能取整数值。
整数规划模型常用于生产调度、排产计划、网络设计等问题。
3. 非线性规划模型（Nonlinear Programming Model，简称NLP）：非线性规划是一种优化问题，它的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划模型广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。
4. 动态规划模型（Dynamic Programming Model，简称DP）：动态规划是一种优化方法，它将一个复杂问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。
动态规划模型常用于生产调度、资源分配、投资决策等问题。
5. 排队论模型（Queuing Theory Model，简称QT）：排队论是一种研究等待线性的数学理论，它可以用来描述和分析顾客到达、服务时间、系统容量等因素对系统性能的影响。
排队论模型广泛应用于交通运输、通信网络、医疗卫生等领域。
6. 决策树模型（Decision Tree Model，简称DT）：决策树是一种分类和回归的方法，它可以将一个问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。
决策树模型常用于金融风险评估、医学诊断、市场营销等领域。
总之，不同类型的运筹学模型适用于不同的问题领域和求解目标，选择合适的模型可以帮助我们更好地解决实际问题。
运筹学模型的分类和类型
运筹学模型的分类和类型运筹学是一门应用于决策制定和问题解决的学科，它通过数学模型和分析方法来优化资源的利用。
运筹学模型是在特定情境中描述问题和优化目标的数学表示。
根据问题的性质和优化目标的类型，运筹学模型可以被分类为多种类型。
在本文中，我将介绍一些常见的运筹学模型分类。
一、线性规划模型：线性规划模型是最基本的运筹学模型之一。
它的特点是目标函数和约束条件均为线性的。
线性规划模型常用于求解资源分配、生产计划、物流运输等问题。
通过线性规划模型，我们可以找到使资源利用最优化的决策方案。
某公司需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，且需满足各种资源约束条件，这时可以使用线性规划模型进行求解。
二、整数规划模型：整数规划模型是在线性规划模型的基础上引入整数变量的扩展。
在某些情况下，问题的决策变量只能取整数值，这时就需要使用整数规划模型进行求解。
某物流公司需要确定车辆的调度方案，每辆车的装载量可以是整数，这时可以使用整数规划模型来求解最佳调度方案。
三、动态规划模型：动态规划模型是一种考虑时间因素的决策模型。
它通常用于求解多阶段决策问题。
动态规划模型通过将问题划分为多个阶段，并建立各阶段之间的转移方程，来寻找最优决策序列。
在项目管理中，我们需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总工期和成本，这时可以使用动态规划模型进行求解。
四、网络流模型：网络流模型是一种描述网络中资源分配和流量传输的模型。
它通常用于求解网络优化问题，如最小费用流问题、最大流问题等。
网络流模型中，节点表示资源或流量的源点、汇点和中间节点，边表示资源或流量的传输通道。
通过建立网络流模型，我们可以确定资源的最优分配方案，以及网络中的最大流量或最小成本。
在供应链管理中，我们需要确定货物从生产商到消费者的最佳流向，以最小化总运输成本，这时可以使用网络流模型进行求解。
五、排队论模型：排队论模型是一种描述排队系统的模型。
它通常用于评估系统性能指标，如平均等待时间、平均逗留时间等。
动态规划模型及求解方法
dh2 dx2
2x2 s2 3x22
0
解得：
2 x2 3 s2
x2=0（舍）
d 2h2 dx22
2s2
6x2
d 2h2 dx22
x2
2 3
s2
是极大值点。
x2
2 3
s2
2s2
0
f2
(s2
)
(2 3
s2
)2 (s2
2 3
s2 )
4 27
s
3 2
x2*
2 3
s2
k=1时，
f1 (s1 )
max
k=3时，
f3 (s3 )
max
x3D3 (s3
)[v3
(
x3
)
f4 (s4 )]
max(
x3 s3
x3
)
s3
k=2时，
x3*=s3
f2 (s2 )
max
x2D2 (s2
)[v2
(
x2
)
f3 (s3 )]
max
0x2 s2
(
x22
s3 )
max [
0x2 s2
x22
(s2
x2 )]
令h2（s2，x2）=x22（s2－x2）
运筹学
动态规划模型及求解方法
一、动态规划的数学模型
1. 动态规划的基本方程
设第k阶段处于状态sk，决策是uk（sk），状态转移方程为 sk+1=Tk（sk，uk），k阶段和k+1阶段的递推关系式可写为：
fk
(sk
)
opt [vk
uk Dk ( sk )
(sk
,uk
建立动态规划数学模型的步骤
建立动态规划数学模型的步骤动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，它将问题分为若干阶段，每个阶段采取一个最优决策，通过递推的方式得到问题的最优解。
建立动态规划数学模型的步骤主要包括以下几个方面。
第一步，明确问题：首先要明确要解决的问题是什么，分析问题的特点和要求，明确决策的目标和约束条件。
例如，我们可以考虑求解一个最优化问题，使一些目标函数取得最大（或最小）值。
第二步，定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。
状态是问题的一个关键特征，它描述了问题在每个阶段的情况，通常用一个或多个变量表示。
状态可以是离散的，也可以是连续的。
例如，假设我们要解决一个装箱问题，可以将状态定义为装箱剩余空间的大小。
第三步，确定决策变量：决策变量是问题中可以通过决策调整的变量，其取值将影响问题的解。
决策变量通常与状态有关，帮助我们在每个阶段做出最优决策。
继续以装箱问题为例，决策变量可以是选择放入的物品或物品的数量。
第四步，建立状态转移方程：通过分析问题的特点和约束条件，建立各个阶段之间的状态转移方程。
状态转移方程描述了问题中不同状态之间的关系，即通过做出一些决策后，当前状态如何转移到下一个状态。
状态转移方程通常由决策变量和前一阶段的状态变量表示。
在装箱问题中，状态转移方程可以描述为剩余空间等于前一阶段的剩余空间减去当前决策变量所占空间。
第五步，确定边界条件：边界条件是求解动态规划问题的关键，它们表示问题的起始状态和结束状态。
通常，起始状态是已知的，而结束状态需要根据问题的要求进行分析确定。
例如，装箱问题的起始状态可以是剩余空间等于货柜的总容量，结束状态可以是没有物品剩余可以放入货柜。
第六步，确定目标函数：目标函数是求解最优化问题时需要优化的目标。
在动态规划中，目标函数通常与状态有关，它表示在每个阶段的状态下所要最大（或最小）化的目标量。
例如，在装箱问题中，目标函数可以是放入货柜的物品总价值。
第七步，建立递推关系：根据状态转移方程和边界条件，可以利用递推的方法从起始状态逐步计算到结束状态。
动态规划数学模型
• fk(sk)=opt{Vk,n }
3
MOR：SM
SHUFE
第一节 动态规划数学模型
例：有供应商要运输一批货物去公司,试求一条运输路径最短。
2 S1 4
4
供
应 商
阶段1
S12 7 4
3
4
S2 2
3
4
5
1 S32 5
出
口 港
阶段2
S13 1 4
6 S23
2. 动态规划模型分类
过程 变量
离散
连续
确定 离散确定型 连续确定型
随机 离散随机型 连续随机型
7
MOR：SM
• 是状态变量和相应决策变量的函数，即vk = vk(sk , xk ) 过程指标函数Vk,n
• 从第k阶段的状态sk出发到最后阶段结束的综合绩效度量 • 取决于阶段k到阶段n所采取的策略，即Vk,n (sk,xk,xk+1 ,…,sn) • 指标函数Vk,n可以是各阶段指标的和或积
最优指标函数值fk(sk)
状态表示过程发展中某阶段的起始状况 描述各阶段状态演进的变量，称为状态变量，用Sk表示
• 第 k 阶段可能有若干状态，用Sk 表示阶段k的状态集合
• sk(i)表示第k阶段的第 i 个状态
选取的状态变量必须满足无后效性
1
MOR：SM
SHUFE
第一节 动态规划数学模型
一、动态规划的基本概念
• 决策变量
变量xk(sk)表示阶段k状态sk的决策，称为决策变量，简记xk 决策变量取值被限制在某一范围内，称允许决策集合Xk(sk) 决策变量组成的序列，称为策略
动态规划模型的建立与求解步骤
动态规划模型的建立与求解步骤动态规划（Dynamic Programming）是一种通过分解复杂问题为简单的子问题，并将其结果保存起来以便重复使用的方法。
其基本思想是从问题的边界条件开始，通过递推式逐步求解更大规模的子问题，直到最终解决整个问题。
动态规划常见的应用包括路径规划、背包问题、字符串匹配等。
下面将介绍动态规划模型的建立与求解步骤，以了解如何使用动态规划解决实际问题。
一、确定状态：在使用动态规划解决问题之前，首先需要确定问题的状态。
状态就是问题需要求解的子问题的集合，每个状态都对应一个解。
二、确定初始条件：初始条件是指在递推关系中最小的、无需依赖于其他状态的子问题的解。
它们可以给出问题的边界，为递推过程提供起点。
三、确定状态转移方程：状态转移方程是把大问题分解为小问题的规律。
通过观察和思考，可以找出问题的递推关系，即大问题如何由小问题组成。
四、确定计算顺序：确定计算顺序是指确定问题的求解顺序，通常是按照自底向上或自顶向下的顺序进行计算。
自底向上是从初始条件开始，逐步计算直到求解整个问题；自顶向下是从大问题开始逐步分解为小问题，直到达到初始条件。
五、实现状态转移方程：通过编程实现状态转移方程，并根据计算顺序逐步求解子问题。
可以使用递归或循环的方法进行实现。
六、求解最优解：根据问题的定义和要求，确定如何从求解的子问题中得到最优解。
通常最优解是基于一些目标函数或约束条件来定义的。
七、分析复杂度：分析算法的时间复杂度和空间复杂度，以确定算法的效率和可行性。
综上所述，建立和求解动态规划模型的步骤可以概括为以下几个阶段：确定状态、确定初始条件、确定状态转移方程、确定计算顺序、实现状态转移方程、求解最优解和分析复杂度。
根据具体问题的特点和要求，可以灵活选择和调整这些步骤，以得到最优的解决方案。
应用性问题中常见的数学建模
应用性问题中常见的数学建模【摘要】数统计、格式要求等。
谢谢！在解决实际应用性问题时，数学建模是一个重要的工具。
本文将介绍常见的数学建模方法，包括线性规划模型、整数规划模型、图论模型、动态规划模型和概率模型。
通过这些建模方法，我们可以有效地分析和解决各种实际问题。
结合实际情况进行灵活应用是数学建模的关键，不同类型的数学建模适用于不同类型的应用性问题。
数学建模在解决实际问题中起着重要作用，并且为决策提供了有力的支持。
通过数学建模，我们可以更好地理解问题的本质、优化决策方案，并提高解决问题的效率和准确性。
掌握不同类型的数学建模方法对于解决实际问题具有重要意义。
【关键词】数学建模、应用性问题、线性规划、整数规划、图论、动态规划、概率、实际问题、重要作用、灵活应用1. 引言1.1 应用性问题中常见的数学建模应用性问题中常见的数学建模指的是将实际生活中的问题抽象化为数学形式，并通过数学方法进行求解和分析的过程。
数学建模可以帮助人们更好地理解和解决各种实际问题，包括工程、经济、环境等领域的相关问题。
在现实生活中，人们遇到的问题往往是复杂多样的，而数学建模能够帮助我们系统地分析和解决这些问题。
数学建模的过程通常包括问题的定义、建立数学模型、模型求解和结果的分析等步骤。
通过数学建模，我们可以利用数学工具和方法对问题进行深入分析，并找到最优解或者最优策略。
在实际应用中，数学建模多种多样，包括线性规划模型、整数规划模型、图论模型、动态规划模型、概率模型等。
通过数学建模，我们可以更好地理解实际问题的本质，为决策提供科学依据。
数学建模在解决实际问题中起着重要作用，不同类型的数学建模适用于不同类型的应用性问题，同时数学建模需要结合实际情况进行灵活应用。
数学建模的发展将为人类社会的进步和发展提供更多可能性和机会。
2. 正文2.1 线性规划模型线性规划模型是一种常见的数学建模方法，它在解决各种应用性问题中都具有重要作用。
在线性规划模型中，我们需要定义一个目标函数以及一组约束条件，通过最大化或最小化目标函数来找到最优解。
4种常见的动态规划模型
例谈四种常见的动态规划模型动态规划是解决多阶段决策最优化问题的一种思想方法，本文主要结合一些例题，把一些常见的动态规划模型，进行归纳总结。
（一）、背包模型可用动态规划解决的背包问题，主要有01背包和完全背包。
对于背包的类型，这边就做个简单的描述：n个物品要放到一个背包里，背包有个总容量m，每个物品都有一个体积w[i]和价值v[i]，问如何装这些物品,使得背包里放的物品价值最大。
这类型的题目，状态表示为：f[j]表示背包容量不超过j时能够装的最大价值，则状态转移方程为：f[j]:=max{f[j-w[i]]+v[i]},边界：f[0]:=0;简单的程序框架为：beginreadln(m,n);for i:=1 to n do readln(w[i],v[i]);f[0]:=0;for i:=1 to m dofor j:=1 to n dobeginif i>=w[j] then t:=f[i-w[j]]+v[j];if t>f[i] then f[i]:=t;end;writeln(f[m]);end.这类型的题目应用挺广的（noip1996提高组第4题，noip2001普及组装箱问题，noip2005普及组采药等），下面一个例子，也是背包模型的简单转化。
货币系统(money)【问题描述】母牛们不但创建了他们自己的政府而且选择了建立了自己的货币系统。
他们对货币的数值感到好奇。
传统地，一个货币系统是由1，5，10，20或25，50，100的单位面值组成的。
母牛想知道用货币系统中的货币来构造一个确定的面值，有多少种不同的方法。
使用一个货币系统{1,2,5,10,..}产生18单位面值的一些可能的方法是:18×1,9×2,8×2+2×1,3×5+2+1等等其它。
写一个程序来计算有多少种方法用给定的货币系统来构造一个确定的面值。
【输入格式】货币系统中货币的种类数目是v(1≤v≤25)；要构造的面值是n(1≤n≤10,000)；第1行:二个整数，v和n；第2..v+1行：可用的货币v个整数(每行一个)。
动态规划模型
第2讲动态规划模型动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
1951年美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人，根据一类多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优性原理”，研究了许多实际问题，从而创建了解决最优化问题的一种新方法——动态规划。
动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题。
下面，以最短路径问题为例，说明动态规划的基本思想方法和特点。
（一）、最短路径问题1、问题提出如图1-10所示（P56），从0A地要铺设一条管道到6A 地，中间必须经过五个中间站，第一站可以在11,B A 两地中任选一个，类似的，第二、三、四、五站可供选择的地点分别是{}{}{}{}554443332222,,,,,,,,,,,B A C B A C B A D C B A 连接两点间的距离用图上两点连线上的数字表示，两点间没有连线的表示相应两点不能铺设管道，现要选择一条从0A 到6A 的铺 管线路，使总距离最短。
2、问题分析解决最短路径问题，最容易想到的方法是穷举法，即列出所有可能发生的方案和结果，再针对题目的要求对它们一一进行比较，求出最优方案。
这种方法，在变量（或节点）的数目较小时有效；在变量数目很大时，计算量将会变得十分庞大，行不通。
因此，需要根据问题的特性，寻求一种简便的算法。
最短路径问题有一个特性：如果最短路径在第k 站通过点k x ，则这一线路在由kx出发到达终点的那一部分线路，对于从点k x 终点的所有可能选择的不同线路来说，必定也是距离最短的。
这就是最优性原理。
这就启发我们从最后一段开始，采用从后向前逐步递推的方法，求出各点到6A 的最短线路，最后求得从0A 到6A 的最短线路。
（归结为一句话：最有策略的子策略仍然是最优策略）3、问题求解为求解方便，将整个过程分为6个阶段，用)6,,2,1( =k k 表示。
动态规划模型
第2讲动态规划模型动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
1951年美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人，根据一类多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优性原理”，研究了许多实际问题，从而创建了解决最优化问题的一种新方法——动态规划。
动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题。
下面，以最短路径问题为例，说明动态规划的基本思想方法和特点。
（一）、最短路径问题1、问题提出如图1-10所示（P56），从0A地要铺设一条管道到6A 地，中间必须经过五个中间站，第一站可以在11,B A 两地中任选一个，类似的，第二、三、四、五站可供选择的地点分别是{}{}{}{}554443332222,,,,,,,,,,,B A C B A C B A D C B A 连接两点间的距离用图上两点连线上的数字表示，两点间没有连线的表示相应两点不能铺设管道，现要选择一条从0A 到6A 的铺 管线路，使总距离最短。
2、问题分析解决最短路径问题，最容易想到的方法是穷举法，即列出所有可能发生的方案和结果，再针对题目的要求对它们一一进行比较，求出最优方案。
这种方法，在变量（或节点）的数目较小时有效；在变量数目很大时，计算量将会变得十分庞大，行不通。
因此，需要根据问题的特性，寻求一种简便的算法。
最短路径问题有一个特性：如果最短路径在第k 站通过点k x ，则这一线路在由kx出发到达终点的那一部分线路，对于从点k x 终点的所有可能选择的不同线路来说，必定也是距离最短的。
这就是最优性原理。
这就启发我们从最后一段开始，采用从后向前逐步递推的方法，求出各点到6A 的最短线路，最后求得从0A 到6A 的最短线路。
（归结为一句话：最有策略的子策略仍然是最优策略） 3、问题求解 为求解方便，将整个过程分为6个阶段，用)6,,2,1( =k k 表示。
动态规划（2）——常见动态规划模型
动态规划（2）——常见动态规划模型1.数字三⾓形每次可以往右下或者左下⾛⼀格，求路径的最⼤权值.d(i,j)=max(d(i+1,j),d(i+1,j+1))+a(i,j).边界是d(n+1,j)=0，从下往上推（因为要保证i+1⾏在第i⾏之前更新）for(int i=1;i<=n+1;++i) d[n+1][i]=0;for(int i=n;i>=1;--i){for(int j=1;j<=i;++j){d[i][j]=max(d[i+1][j],d[i+1][j+1])+a[i][j];}}2.嵌套矩形有n个矩形，每个矩形⽤⼀个⼆元组(a,b)表⽰。
我们规定矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d，或者b<c,a<d（旋转了90度）。
选出尽量多的矩形排成⼀⾏，使得除了最后⼀个之外，每个矩形都能嵌套在下⼀个矩形内。
若有多解，保证字典序尽量⼩DAG最长路问题//dp[i]表⽰的是从i点出发的最长路int dp(int x){int &ans=d[x];if(ans) return ans;for(int i=1;i<=n;++i){if(G[x][i]){ans=max(ans,dp(i)+1);//注意记录的是从终点到起点的距离，这是为了⽅便字典序最⼩⽅案的输出}}d[x]=ans;return ans;}void print(int i){printf("%d ",i);for(int j=1;j<=n;++j){if(G[i][j]&&d[j]+1==d[i]){print(j);}}}for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);if(a[i]>b[i]) swap(a[i],b[i]);}for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=n;++j){if(a[i]>a[j]&b[i]>b[j]){G[j][i]=1;}}}int Max=0;int endpos;for(int i=1;i<=n;++i){if(dp(i)>Max){Max=dp[i];endpos=i;}}print(endpos);3.硬币问题f(i)=min(inf,f[i−Vi]+1|Vi<=i),g(i)=max(−inf,g[i−Vi]+1|Vi<=i)(Vi为硬币的⾯值)4.01背包已有专门专题详细讲解5.点集配对问题（状压dp)d(S) 表⽰集合S配对之后的最短距离double dis(int i,int j){return sqrt((a[i].x-a[j].x)*(a[i].x-a[j].x)+(a[i].y-a[j].y)*(a[i].y-a[j].y));}int main(){int n;scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;++i) scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);memset(d,0x7f,sizeof(d));d[0]=0;for(int i=1;i<(1<<n);++i)//由于第⼀个点⽆论如何都是要配对的，所以⽆需枚举（否则时间复杂度会{ //乘上⼀个n）int k=0;while(!(i&(1<<k))) ++k;for(int j=k+1;j<n;++j){if(i&(1<<j)) d[i]=min(d[i],d[i^(1<<k)^(1<<j)]+dis(k,j));}}}6.最长上升⼦序列问题（LIS）初级：O(n2) （不过太不优秀了，我学会了第⼆种，就从没⽤过它）进阶：O(nlogn) d[i]表⽰以a[i]结尾的最长上升⼦序列的长度for(int i=1;i<=n;+i) g[i]=inf;for(int i=0;i<n;++i){int k=lower_bound(g+1,g+n+1,a[i])-g;d[i]=k;g[k]=a[i];}7.最长公共⼦序列问题(LCS)[ 注意：LCS有时也指最长公共后缀，与LCP最长公共前缀对应 ]for(int i=0;i<la;++i){for(int j=0;j<lb;++j){if(a[i]==b[j]){d[i][j]=max(d[i][j],d[i-1][j-1]+1);}else if(a[i]!=b[j]){d[i][j]=max(d[i-1][j],d[i][j-1]);}}}还可以滚动数组优化int f=0;for(int i=0;i<la;++i){f^=1;for(int j=0;j<lb;++j){if(a[i]==b[j]){d[f][j]=max(d[f][j],[f^1][j-1]+1);}else if(a[i]!=b[j]){d[f][j]=max(d[f^1][j],d[f][j-1]);}}}8.最⼤连续和前缀和做法：for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%d",&a[i]);sum[i]=sum[i-1]+a[i];}int Maxn=sum[n],Max=0;for(int i=n-1;i>=1;--i){Max=max(Max,Maxn-sum[i]);Maxn=max(Maxn,sum[i]);}动态规划做法：d[i]表⽰以i结尾的最⼤连续和for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);for(int i=1;i<=n;++i){d[i]=max(0,d[i-1])+a[i];}Processing math: 100%。
动态规划模型总结
第二步：(第三、四季度) 总效果
s4 s3 u3 A3 s3 u3 500
2 f3 ( s3 ) min {0.005u3 s3 7200 11(u3 s3 500) u3 500 s3
0.005(u3 s3 500)2 } 2 2 0.01u3 0.01u3s3 16u3 0.005s3 15s3 13950
B1 1
7 1 6 C1 2 1
A
4
6
B2
B3
5
D
8
C2
d 2 (B1 ,C1 ) f3 (C1 ) 7 2 f 2 (B1 ) min min 7 6 1 d 2 (B1 ,C2 ) f3 (C2 )
决策u2(B1)=C2， 最短路线为B1—C2—D。
s2 s1 u1 600 u1 600
f1 (s1 ) min{s1 0.005u12 10000 6(u1 600)
u1 600
(0.005 3)(u1 600)2 }
f1 (0.04 3)u1 8 0 u1
u 600
代入 f1(s1) 得
决策u1(A)=B2， 最短路线为A—B2—C1—D。
动态规划的一般模型
f k (sk ) opt {dk ( sk , uk ) f k 1 (uk ( sk ))} uk Dk ( sk ) f n1 (sn1 ) 0, k n, n 1,...,1
第九节
动态规划
(Dynamic Programming).
1、 动态规划的发展及研究内容
动态规划 (dynamic programming) 是运筹学的 一个分支，是求解多阶段决策问题的最优化方法。 20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决 策过程(multistep decision process)的优化问题时， 提出了著名的最优性原理(principle of optimality)， 把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解， 创立了解决这类过程优化问题的新方法 — 动态规
动态规划模型的建立与求解步骤
量值系列)和最优状态变化路线。
• 状态变量应当满足无后效性要求。 • 明确指标函数，给出最优函数递推方程，
递推方程的形式应当与递推顺序一致。
运筹学
二、动态规划的求解步骤
• 正确划分阶段。 • 确定状态变量和决策变量，并给出状态变
量和决策变量的可行集合。 • 确定求解的递推顺序，给出状态转移方程。 • 确定阶段、子过程(子策略)的指标函数，确
运筹学
§3.2 动态规划建模与求解步骤
• 建立动态规划模型的基本要求 • 动态规划的求解步骤
运筹学
一、建立动态规划模型的基本要求
• 将问题划分成若干阶段。有的问题的阶 段性很明显，有的则不明显，需要分析 后人为假设。
• 确定各阶段的状态变量，并给出状态转 移方程，状态转移方程的形式应当与递 推顺序一致。
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B1 1
7 1 6 5 8 C1 2 1
A
4
6
B2
B3
D
C2
(2) k=2, 第二阶段 三个初始状态，B1,B2,B3，若最短路线经过B1，则 由B1到D有两条支路，B1—C1—D， B1—C2—D。
三个初始状态，B1,B2,B3，若最短路线经过B1，则 由B1到D有两条路线，为f3(C1)=2，决策u3(C1)=D。 若最短路线经过C2，则f3(C2)=1，决策u3(C2)=D。
B1 1
7 1 6 5 8 C1 2 1
A
4
6
B2
B3
D
C2
求最短路线的方法就是从最后一段开始，由后向 前逐步递推求各点到D的最短路线。 逆序法递推计算
B1 1
7 1 6 5 8 C1 2 1
A
4
6
B2
B3
D
C2
多阶段决策过程 (1) k=3 第三阶段
有两个初始状态，C1,C2，全过程的最短路线究竟 是经过C1还是C2，目前无法确定，只能将各种情 况都考虑，若最短路线经过C1，则由C1到D的最 短路线为f3(C1)=2，决策u3(C1)=D。 若最短路线经过C2，则f3(C2)=1，决策u3(C2)=D。
dS dt
S (N S )
分离变量，积分，得 代入初始条件
S (0) S 0
1 N
ln
S N S
1 N ln
t C
S0 I0
C
代入上式，得
S (t )
NS0 S 0 I 0e
Nt
I (t ) N S (t )
NI0 I0 S 0e
N t
决策：在每一个阶段作出的选择。
决策从本阶段的起始状态演变到下一个阶段的哪 一个起始状态。
B1 1
7 1 6 5 8 C1 2 1
A
4
6
B2
B3
D
C2
在第一阶段从A到B1、 B2、 B3哪个好，不能从这 一阶段本身考虑，还影响到第二，第三阶段的状 态和决策，从全过程看B1不一定是最好的。 从A到D共有5条不同的路线，其中存在一条从全 过程看最好的路线，称为最佳路线。 最佳路线的性质：最佳路线上的子路径也是到目的 节点D的最佳路线.
t
结果表明，随着t的增加，病人人数I(t) 无限增长，这显然不符合实际。 建模失败的原因在于：在病人有效接 触的人群中，有健康人也有病人，而其中 只有健康人才可以被传染为病人，所以在 改进的模型中必须区别这两种人。
模型2（SI模型）
模型假设 1.在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人 群 分 为 易 感 染 者 (Susceptible) 和 感 染 者 (Infective)两类，以下简称健康者和病人。 I 时刻t这两类人数分别记作S(t)和I(t)。 (0 ) I
的所有起始点的集合。
• 决策：当过程处于某一阶段的某一个状态时，可以作出不同的
决定，称为决策。
• 策略：按顺序排列的决策的集合。
随着卫生设施的改善、医疗水平的提高 以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花 等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效 的控制。但是一些新的、不断变异着的传染 病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分 险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极 大的危害。 2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间， 给人们的生命财产带来极大的危害。长期以 来，建立传染病的数学模型来描述传染病的 传播过程，分析受感染人数的变化规律，探 索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及 全世界有关专家和官员关注的课题。
最优性原理：无论过程的初始状态和初始决策是什么，其余
的决策都必须相对于初始决策所产生的状态，构成一个最优决策 序列。 说明：如所求解问题的最优性原理成立，且动态规划方法有可 能解决该问题，而解决问题的关键在于获取各阶段的递推关系式
几个概念
• 阶段：把过程分成n个阶段。 • 状态：每个阶段开始处的条件，如第i阶段的状态就是第i阶段
病人增加的速度
dS dt
S (t ) I (t ) N
I (0) I 0 , S (0) S 0 N I 0
S (t ) I (t )
dI dt
S (t ) I (t )
S (t ) I (t ) N
I (0) I 0 , S (0) S0
0
0 dI I (S ) 0 dt 0
0
表明 t 之前感染人数在增加，t 之后在减少， 疾病基本得到控制。 (3)若 I ( t ) 0 ，则
dS dt dI dt dR dt 0
疾病流行完全终止。
(4)S与R之间的关系： 由
dS dR S
传染病流行曲线
I
N
dI dt
dI dt m
N 2
I0
O
tm
t
O
图1 SI模型的I～t曲线
I dI 图2 SI模型的 dt～I曲线
N 2
N
模型分析 (1)流行曲线的峰值与出现峰值的时间. 由图2可知，当 I N / 2 时，d t 达到最大值 即
I N 2 NI0 I 0 S 0e 1 ln
N t
dI
2 1
S0 I0
e
N t
t tm
S0 I0
N
这时病人增加的最快，可以认为是医院的门 诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来， 是医疗卫生部门关注的时刻。
增大或总人数增多，可使传 染病高峰期提前，而 反映当地的卫生水平， 越小，卫生水平越高。所以改善保健设施、提 高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。 (2)当 t 时，I N ，即所有人终将被传染， 全变为病人，这显然不符合实际情况。
一个简单例子：最短路
找出从起点A到终点D的最短路径
B1 1 7
A
4
6
B2
B3
1 6
5 8
C1
2
1
D
C2
• 最短路(A->B2->C1->D)上的子路径也是到目的节 点7的最短路.例如, (B2->C1->D) • 无论最短路的下一个是{B1,B2,B3}中的那个节点, 其后的路径也应是最短路
• 多阶段决策问题：这一类问题，其活动过程可分为若 干阶段，而且在任一阶段后的行为都仅依赖于i阶段的 过程状态，而与i阶段之前的过程如何达到这种状态的 方式无关，这样的过程构成一个多阶段决策过程。 • 动态规划：解决多阶段决策问题的优化方法 • 解释：在多阶段决策过程的每一阶段，都有多种可供 选择的决策，从中选取一种决策，一旦各个阶段的决 策选定之后，就构成了解决这一问题的一个决策序列， 动态规划的目标：在所有容许选择的决策序列中选取 一个会获得问题最优的决策序列，即最优决策序列。(N I ) I dt I (0 ) I 0
令
：相对移除率
dI dt I ( N I ) I [( N ) I ]
传染病流行曲线
I
N
N 2
dI dt
dI dt m
状态1 决策1 状态2 决策2
1
2
一个简单例子：最短路问题
找出从起点A到终点D的最短路径
B1 1
7 1 6 5 8 C1 2 1
A
4
6
B2
B3
D
C2
B1 1
7 1 6 5 8 C1 2 1
A
4
6
B2
B3
D
C2
从A到D分为三个阶段，A到B为第一阶段，B到C 为第二阶段，C到D为第三阶段。 初始状态：每一个阶段的起点；
每天每个病人有效接触(足使人致病)的人数 为 ，考察t到△t时间段病人人数的增加
I ( t t ) I ( t )= I ( t ) t
设t=0时有I0个病人，则有微分方程
dI I, dt I (0 ) I 0
上述方程的解为
I (t ) I 0 e
§3
动态规划
(Dynamic Programming).
1、 动态规划的发展及研究内容
动态规划(dynamic programming)是运筹学的 一个分支，是求解多阶段决策问题的最优化方法。 20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决 策过程(multistep decision process)的优化问题时， 提出了著名的最优性原理(principle of optimality)， 把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解， 创立了解决这类过程优化问题的新方法— 动态规
问题 • 按照传播过程的一般规律，建立模型 • 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段
不同类型传染病的传播过程有其各自不 同的特点，弄清这些特点需要相当多的病 理知识，这里不可能从医学的角度一一分 析各种传染病的传播，而只是按照一般的 传播模型机理建立几种模型。 模型1 设时刻t的病人人数I(t)是连续、可微函数，
t m 与 , N 成反比，
其原因是模型中没有考虑到病人可以 治愈，人群中的健康者只能变成病人，病 人不会再变成健康者。
模型3（SIS模型） 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低， 可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成 健康者，健康者还可以被感染再变成病人， 所以这个模型称SIS模型。 模型假设 SIS模型的假设条件1，2与SI模型相同， 增加的条件为 3．每天被治愈的病人数占病人总数的 比例为常数 ，称为日治愈率，病人治愈后 成为仍可被感染的健康者。显然 1 / 是这种 传染病的平均传染期。