2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖北卷,解析版)
【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学理
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)在复平面内，复数(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解析：∵z====1+i，∴=1-i.∴对应的点(1，-1)位于第四象限，答案：D.2.(5分)已知全集为R，集合，则A∩C R B=( )A. {x|x≤0}B. {x|2≤x≤4}C. {x|0≤x＜2或x＞4}D. {x|0＜x≤2或x≥4}解析：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2-6x+8≤0 (x-2)(x-4)≤0，∴2≤x≤4.∴B={x|2≤x≤4}，∴C R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩C R B={x|0≤x＜2或x＞4}，答案：C.3.(5分)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A. (￢p)∨(￢q)B. p∨(￢q)C. (￢p)∧(￢q)D. p∨q解析：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(￢p)V(￢q).答案：A.4.(5分)将函数的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )A.B.C.D.解析：y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2sin(x+)，∴图象向左平移m(m＞0)个单位长度得到y=2sin[(x+m)+]=2sin(x+m+)，∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+(k∈Z)，则m的最小值为.答案：B5.(5分)已知0＜θ＜，则双曲线C1：-=1与C2：-=1的( )A. 实轴长相等B. 虚轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等解析：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同.答案：D.6.(5分)已知点A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )A.B.C.D.解析：，，则向量方向上的投影为：·cos ＜＞=·===，答案：A.7.(5分)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A. 1+25ln5B. 8+25lnC. 4+25ln5D. 4+50ln2解析：令v(t)=7-3t+，化为3t2-4t-32=0，又t＞0，解得t=4.∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5.答案：C.8.(5分)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )A. V1＜V2＜V4＜V3B. V1＜V3＜V2＜V4C. V2＜V1＜V3＜V4D. V2＜V3＜V1＜V4解析：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记λ为V1==.V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4答案：C.9.(5分)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)=( )A.B.C.D.解析：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3.①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P(X=3)=；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P(X=2)=；③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P(X=1)=.④由以上可知：还剩下125-(8+36+54)=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P(X=0)=.故X的分布列为因此E(X)==.答案：B.10.(5分)已知a为常数，函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)( ) A.B.C.D.解析：∵=lnx+1-2ax，(x＞0)令f′(x)=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x1，x2⇔函数g(x)=lnx+1-2ax有且只有两个零点 g′(x)在(0，+∞)上的唯一的极值不等于0..①当a≤0时，g′(x)＞0，f′(x)单调递增，因此g(x)=f′(x)至多有一个零点，不符合题意，应舍去.②当a＞0时，令g′(x)=0，解得x=，∵x，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减.∴x=是函数g(x)的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln(2a)＜0，∴0＜2a＜1，即.∵，f′(x1)=lnx1+1-2ax1=0，f′(x2)=lnx2+1-2ax2=0.且f(x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(2ax1-1-ax1)=x1(ax1-1)＜x1(-ax1)=＜0，f(x2)=x2(lnx2-ax2)=x2(ax2-1)＞=-.().答案：D.二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.)11.(5分)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：(Ⅰ)直方图中x的值为；(Ⅱ)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为.解析：(Ⅰ)依题意及频率分布直方图知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，解得x=0.0044.(II)样本数据落在[100，150)内的频率为0.0036×50=0.18，样本数据落在[150，200)内的频率为0.006×50=0.3.样本数据落在[200，250)内的频率为0.0044×50=0.22，故在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为(0.18+0.30+0.22)×100=70.答案：0.0044；70.12.(5分)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i= .解析：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4，i=1.判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行，i=1+1=2；判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3×5+1=16，i=2+1=3；判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行，i=3+1=4；判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行，i=4+1=5；判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5.答案：5.13.(5分)设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z= . 解析：根据柯西不等式，得(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y2+z2)=14(x2+y2+z2)，当且仅当时，上式的等号成立，∵x2+y2+z2=1，∴(x+2y+3z)2≤14，结合，可得x+2y+3z恰好取到最大值，∴=，可得x=，y=，z=，因此，x+y+z=++=.答案：14.(5分)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N(n，4)=n2，五边形数，六边形数N(n，6)=2n2-n，…可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)= 1000 .解析：原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故=1100-100=1000答案：100015.(5分)(选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD，则的值为.解析：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，∵AB=3AD，∴AD=2x，BD=4x，OD=x又∵点C在直径AB上的射影为D，在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD·BD=8x2，在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE·OC=x2，CD2=CE·OC=8x2，故==8答案：816.(选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为.解析：直线l的极坐标方程分别为为非零常数)化成直角坐标方程为x+y-m=0，它与x轴的交点坐标为(m，0)，由题意知，(m，0)为椭圆的焦点，故|m|=c，又直线l与圆O：ρ=b相切，∴，从而c=b，又b2=a2-c2，∴c2=2(a2-c2)，∴3c2=2a2，∴=.则椭圆C的离心率为. 答案：.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A-3cos(B+C)=1. (Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值.解析：(I)利用倍角公式和诱导公式即可得出；(II)由三角形的面积公式即可得到bc=20.又b=5，解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21，即可得出a.又由正弦定理得即可得到即可得出.答案：(Ⅰ)由cos2A-3cos(B+C)=1，得2cos2A+3cosA-2=0，即(2cosA-1)(cosA+2)=0，解得(舍去).因为0＜A＜π，所以. (Ⅱ)由S===，得到bc=20.又b=5，解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21，故.又由正弦定理得.18.(12分)已知等比数列{a n}满足：|a2-a3|=10，a1a2a3=125.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由.解析：(I)设等比数列{a n}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式(Ⅱ)结合(I)可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断答案：(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q，则由已知可得解得故.(Ⅱ)若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而.若，则是首项为，公比为-1的等比数列，从而故.综上，对任何正整数m，总有.故不存在正整数m，使得成立.19.(12分)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.(Ⅰ)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足.记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E-l-C的大小为β.求证：sinθ=sinαsinβ.解析：(I)直线l∥平面PAC.连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EF∥AC；利用线面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC.由线面平行的性质定理可得EF∥l.再利用线面平行的判定定理即可证明直线l∥平面PAC.(II)综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l⊥平面PBC.连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BC.故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角，即∠CBF=β.已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ.由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；向量法：以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角.答案：(Ⅰ)直线l∥平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，又EF平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l.因为l平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC.(Ⅱ)(综合法)如图，连接BD，由(Ⅰ)可知交线l即为直线BD，且l∥AC.因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC.已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l.而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC.连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF.故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角，即∠CBF=β.由，作DQ∥CP，且.连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD.连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ.又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得，从而.(Ⅱ)(向量法)如图，由，作DQ∥CP，且.连接PQ，EF，BE，BF，BD，由(Ⅰ)可知交线l即为直线BD.以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有C(0，0，0) ，A(a，0，0)，B(0，b，0)，P(0，0，2c)，Q(a，b，c)，E(12a，0，c)，于是，∴=，从而，又取平面ABC的一个法向量为，可得，设平面BEF的一个法向量为，所以由可得.于是，从而.故，即sinθ=sinαsinβ.20.(12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(Ⅰ)求p0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ-σ＜X≤μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ＜X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ-3σ＜X≤μ+3σ)=0.9974.)(Ⅱ)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？答案：(I)变量服从正态分布N(800，502)，即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在(μ-2σ，μ+2σ)内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0.(II)设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解.答案：(Ⅰ)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有μ=800，σ=50，P(700＜X≤900)=0.9544.由正态分布的对称性，可得p0=(P(X≤900)=P(X≤800)+P(800＜X≤900)=(Ⅱ)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y.依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P(X≤36x+60y)≥p0.由(Ⅰ)知，p0=P(X≤900)，故P(X≤360x+60y)≥p0等价于36x+60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6). 由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值.故应配备A型车5辆，B型车12辆.21.(13分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(Ⅰ)当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；(Ⅱ)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由.答案：(Ⅰ)设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值；(Ⅱ)假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围.答案：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，.其中a ＞m＞n＞0，.(Ⅰ)如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以.在C1和C2的方程中分别令x=0，可得y A=m，y B=n，y D=-m，于是.若，则，化简得λ2-2λ-1=0，由λ＞1，解得.故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则.(Ⅱ)如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx(k＞0)，点M(-a，0)，N(a，0)到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2.又，所以，即|BD|=λ|AB|.由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|，于是.将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知x C=-x B，x D=-x A，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得. 因为k≠0，所以k2＞0.于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2.22.(14分)设n是正整数，r为正有理数.(Ⅰ)求函数f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x＞-1)的最小值；(Ⅱ)证明：；(Ⅲ)设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如.令的值.(参考数据：.答案：(Ⅰ)先求出函数f(x)的导函数f′(x)，令f'(x)=0，解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为f(0)=0；(Ⅱ)根据(Ⅰ)知，即(1+x)r+1≥1+(r+1)x，令代入并化简得，再令得，，即结论得到证明；(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论，令，n分别取值81，82，83，…，125，分别列出不等式，再将各式相加得，，再由参考数据和条件进行求解.答案：(Ⅰ)由题意得f'(x)=(r+1)(1+x)r-(r+1)=(r+1)[(1+x)r-1]，令f'(x)=0，解得x=0.当-1＜x＜0时，f'(x)＜0，∴f(x)在(-1，0)内是减函数；当x＞0时，f'(x)＞0，∴f(x)在(0，+∞)内是增函数.故函数f(x)在x=0处，取得最小值为f(0)=0.(Ⅱ)由(Ⅰ)，当x∈(-1，+∞)时，有f(x)≥f(0)=0，即(1+x)r+1≥1+(r+1)x，且等号当且仅当x=0时成立，故当x＞-1且x≠0，有(1+x)r+1＞1+(r+1)x，①在①中，令(这时x＞-1且x≠0)，得.上式两边同乘n r+1，得(n+1)r+1＞n r+1+n r(r+1)，即，②当n＞1时，在①中令(这时x＞-1且x≠0)，类似可得，③且当n=1时，③也成立.综合②，③得，④(Ⅲ)在④中，令，n分别取值81，82，83， (125)得，，，…，将以上各式相加，并整理得.代入数据计算，可得由[S]的定义，得[S]=211.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2013高考 数学(理)真题专业解析(湖北卷)汇总
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（湖北卷）解析本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．主题1． 在复平面内，复数2i 1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查复数的概念、运算、共轭复数及复平面等知识． 解题思路：先化简复数，然后求出复数对应的点的坐标． 解答过程：因为()()()2i 1i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 2z -+====+++-，所以z 的共轭复数1i z =-．其对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限． 故选D ．规律总结：对于复数的除法运算，一般是分子分母同时乘以分子的共轭复数，从而化简;运算计算时要注意2i 1=-而不是1．主题2． 已知全集为R ，集合1{|()1}2x A x =≤，2{|680}B x x x =-+≤，则A B =R C （ ） A ．{|0}x x ≤ B ．{|24}x x ≤≤ C ．{}|024x x x ≤<>或D ．{}|024x x x <≤≥或答案：C思路分析：考点解剖：本题主要考查合的补集、交集运算，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性等．解题思路：先化简集合，然后求B R C ，A B R C ．解答过程：易知集合{}|0A x x =≥，{}|24B x x =≤≤，故{}|24B x x x =<>R C 或，从而{}|024A B x x x =≤<>R C 或．故选C ．规律总结：集合的基本运算是高考热点之一，一般会与不等式等内容结合起来考查，难度较小．主题3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨ 答案：A思路分析：考点解剖：本题主要考查逻辑联结词、复合命题的判断．解题思路：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲没有降落在指定范围或者乙没有降落在指定范围或者甲乙都没有降落在指定范围．”解答过程：“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：甲没有降落在指定范围或者乙没有降落在指定范围或者甲乙都没有降落在指定范围．又命题p 是“甲降落在指定范围”，可知命题p ⌝是“甲没有降落在指定范围”； 同理，命题q ⌝是“乙没有降落在指定范围”，所以“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()()p q ⌝∨⌝．规律总结：对于逻辑联结词问题，关键是要明白各个常见的逻辑联结词所表示的含义，同时理解命题本身的意义．主题4．将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π答案：B 思路分析：考点解剖：本题主要考查三角函数图象的对称性、奇偶性、平移以及辅助角公式等． 解题思路：先求出平移后函数的解析式，再根据奇偶性列式求解． 解答过程：将函数sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移m 个单位后，得到函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，由题意，函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭关于y 轴对称，所以函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，故()32m k k πππ+=+∈Z ，解得()6m k k ππ=+∈Z ．故当0k =时，m 取得最小正值6π．故选B ．规律总结：若三角函数()sin y a x ωϕ=+为偶函数，则()2k k πϕπ=+∈Z ；若三角函数()sin y a x ωϕ=+为奇函数，则()k k ϕπ=∈Z ．主题5． 已知04πθ<<，则双曲线22221222222:1:1cos sin sin sin tan x y y x C C θθθθθ-=-=与的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查双曲线的实轴、虚轴、焦距、离心率的基本性质以及三角函数的恒等变换．解题思路：根据双曲线的定义求解． 解答过程：因为04πθ<<，所以cos 0sin 0θθ>>，． 对于双曲线1C ，实半轴cos a θ=，虚半轴sin b θ=，则半焦距1c =，故离心率为1cos c e a θ==；对于双曲线2C ，实半轴'sin a θ=，虚半轴2sin 'cos b θθ=，则半焦距sin 'cos c θθ==，故离心率为sin '1cos ''sin cos c e a θθθθ===； 故两双曲线满足离心率相等．故选D ．规律总结：求解本题的关键是要深刻理解双曲线的性质，以及仔细审题，切忌疏忽大意． 主题6．已知点(1,1)(1,2)(2,1)(3,4)A B C D ---、、、，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）AB．2C．2D答案：A 思路分析：考点解剖：本题主要考查向量的基本运算、数量积和向量投影． 解题思路：先求出向量,AB CD 的坐标，然后运用cos AB θ求解．解答过程：由已知得()()2,1,5,5AB CD ==，所以2,15,5cos 5AB CD AB CDθ==10=．故向量AB 在CD 方向上的投影为cos 102AB θ==．故选A ．规律总结：向量a 在b 方向上的投影为cos θ==a b a ba a ab b．主题7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t的单位：s ，v 的单位m/s ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ）A ．1+25ln 5B ．118+25ln3C ．4+25ln 5D ．4+50ln 2 答案：C思路分析：考点解剖：本题主要考查一元二次方程的求解，定积分计算和实际应用． 解题思路：弄清汽车从刹车到停止所花的时间，然后用定积分求解． 解答过程：由()257301v t t t=-+=+，化简得：()()3840t t +-=， 解得83t =-（舍去）或4t =．故汽车行驶4秒后停止． 所以在此期间汽车继续行驶的距离是：()()442400025373725ln 1|425ln 512S v t dt t dt t t t t ⎛⎫⎡⎤==-+=-++=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎰⎰．故选C ．规律总结：定积分在不同的条件下所表达的含义是不一样的．本题中，速度和时间关系式的定积分的意义就是汽车行驶距离．如若未能理解这一点，将难以快速有效的解题．主题8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为1234V V V V ，，，，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<第8题图答案：C 思路分析：考点解剖：本题主要考查空间几何体的体积计算以及旋转体、多面体的三视图的识别． 解题思路：弄清从上到下各几何体的形状，然后运用各尺寸及各形体体积公式求解． 解答过程：根据题目提供的信息：上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，观察几何体的三视图，可知：该几何体从下到上分别是棱台、正方体、圆柱、圆台．根据已知尺寸，可求得各几何体的体积分别为：()117433V πππππ=+=，22122V ππ=⨯⨯=，3328V ==，()412816433V =+=，因为7282833ππ<<<，所以2134V V V V <<<． 故选C ．规律总结：对于三视图求体积问题，一般先要将三视图还原为直观图，然后根据几何体的特征及体积公式求解；圆台（棱台）的体积公式为：()1'3V S S h=+． 主题9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X =（ ）A ．126125B ．65C ．168125D ．75答案：B 思路分析：考点解剖：本题主要考查概率、随机变量的均值，以及空间想象的能力，分类讨论的能力．解题思路：先观察求出面数分别为3，2，1，0的小正方体的个数，然后求各概率． 解答过程：通过观察可知，涂漆面数为3面的小正方体有8个，涂漆面数为2面的小正方体有31236⨯=个，涂漆面数为1面的小正方体有9654⨯=个，则涂漆面数为0面的小正方体有1258365427---=个．则()()()83654,,125125125P P P X X X =3==2==1=，()27125P X =0=．()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．故选B ．规律总结：求解均值关键是求各随机变量取值下的概率，本题难点在于涂漆面数分别为3，2，1的小正方体的个数的求解；另外，牢记一个公式：()()()121n P x P x P x +++=…，对于最后一个不好求的概率，往往可以利用该公式求解，事半功倍．主题10．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A ．121()0,()2f x f x >>-B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查导数的应用，函数的极值，不等关系以及函数与方程思想，数形结合的数学思想等．解题思路：先求出极值点()1212,x x x x <所满足的方程；然后通过假设方程l n 21x a x -+ ()00x =>只有一根，来求出12,,a x x 的范围;最后利用等量关系转化，结合不等式知识与导数知识求()()12,f x f x 的范围．解答过程：因为()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，又12,x x 是函数()f x 的两个极值点，所以12,x x 是方程ln 210x ax -+=的两根．假设方程()ln 2100x ax x -+=>只有一根，数形结合，即：直线21y ax =-与曲线ln y x =相切． 设切点为()00,ln x x ，则切线方程为()0001ln y xx x x -=-，即001ln 1y x x x =+-．又切线方程为21y ax =-，对比得012,1ln 1,a x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得01,21.a x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故若要使直线21y ax =-与曲线ln y x =相交， 即：函数()()ln f x x x ax =-有2个极值点，需满足1210,201,1.a x x ⎧<<⎪⎪<<⎨⎪>⎪⎩因为()()()111111ln 1f x x x ax x ax =-=-（利用11ln 210x ax -+=转化），且易知1112ax <<，所以()1110x ax -<．即()10f x <． 同理，()()()222222222ln 11ln ln ln 122x f x x x ax x x x x +⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭（利用22ln 210x ax -+=转化）． 令()()1ln 12g x x x =-，则()1'ln 2g x x=． 当1x >时，()'0g x >，故函数()g x 在()1,+∞上单调递增．又21x >，所以()()()22211ln 1122g x x x g =->=-．即：()()22211ln 122f x x x =->-．故选D．规律总结：巧妙利用导数求极值，利用数形结合思想解决方程根的问题是解决本题的关键所在．若按常规方法求解，则极易出错或加大解题难度．第Ⅱ卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）主题11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）直方图中x的值为___________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为___________．第11题图答案：（Ⅰ）0.0044；（Ⅱ）70思路分析：考点解剖：本题主要考查频率分布直方图、识图看图的能力．解题思路：（Ⅰ）利用频率和为1求解；（Ⅱ）先求出用电量落在区间[100，250）内的频率，再用100乘以频率，即得用电量落在区间[100，250)内的户数．解答过程：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：()x+++++⨯=，0.00240.00360.00600.00240.0012501解得0.0044x=；（Ⅱ）用电量落在区间[100,250）内的频率是：()++⨯=，0.00360.00600.0044500.7则用户数为1000.770⨯=．规律总结：解决简单的统计知识在实际中的应用的问题的关键是正确识图、提取有用信息，理解统计图中各个量的意义．主题12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=___________．答案：5思路分析：考点解剖：本题主要考查程序框图的应用．解题思路：分步求解,ia=时，输出的i值即为所求．a的值，只到4解答过程：由算法框图知：第一次运行时：5,i2a=；a==，不满足4第二次运行时：16,i3a=；a==，不满足4第三次运行时：8,i4a=；a==，不满足4第四次运行时：4,i5a=，a==，满足4故输出i5=．规律总结：程序框图问题，关键是要根据不同条件，执行不同的步骤，从而推理出正确的结论．主题13．设,,x y z ∈R，且满足：2221,23x y z x y z ++=++=则x y z ++=___________．思路分析：考点解剖：本题主要考查柯西不等式的应用．解题思路：利用柯西不等式，得到等号成立的条件，比较即可求得,,x y z 的值． 解答过程：根据柯西不等式，得：()()()222222212323x y z x y z ++++≥++，当且仅当存在实数k ，使得,2,3x k y k z k ===时，等号成立．由于题目已知2221,23x y z x y z ++=++=所以此时,2,3x k y k z k ===，代入23x y z ++=k =，所以x y ==，z =．所以7x y z ++=． 规律总结：三维形式的柯西不等式为：()()222222123123aa ab b b ++++≥()2112233a b a b a b ++，当且仅当()1,2,3i i a kb i ==时等号成立．主题14．古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(+1)11=+222n n n n ．记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数211(,3)=+22N n n n正方形数 2(,4)=N n n五边形数231(,5)=-22N n n n六边形数2(,6)=2-N n n n………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________________． 答案：1000 思路分析：考点解剖：本题主要考查观察、猜想、推理能力．解题思路：将三角形数、正方形数、五边形数、六边形数的表达式通分，观察分子与项数n 的区别，归纳猜想即可．解答过程：通过观察，表达式可做如下变形： 三角形数：()()()223243,322n n n n N n -+-+==;正方形数：()()()22424420,422n n n n N n -+-+==;五边形数：()()()2252453,522n n n n N n -+--==;六边形数：()()()22624642,622n n n n N n -+--==;……………………………………………观察每个分式的分子，特别是2n 与n 前面系数的变化规律，发现2n 前的系数以1递增，n 前的系数以1递减，于是根据规律，可以推测：()()()224,2k n k n N n k -+-=． 所以()()()2242104241010,2410002N -+-==． 规律总结：在归纳、推理过程中，关键是要有敏锐的观察力．通过变形，找出前几项的表达式与项数之间的关系，从而推出一般形式下的表达式．对于一般表达式，还要代入题目条件进行验证，以免出错．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）主题15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CE EO的值为 ．答案：8 思路分析：考点解剖：本题主要考查几何证明、圆、相似三角形的性质．解题思路：先求出,OD OC 的等量关系；然后利用相似三角形的性质求解． 解答过程：由已知3,2AB AD AB OA ==， 所以23AD OA=， 所以13OD OA=． 又由圆的性质可知，OA OC =，得：13OD OC=． 又因为C 在直径AB 上的射影为D ，D 在半径OC 上的射影为E ， 知：CDO DEO ∆∆，所以ODEO OC OD=，所以19EO OC=． 故8CEEO=．规律总结：几何证明选讲主要考查简单推理证明能力，难度一般较小．在证明过程中要严谨，以免出错．主题16．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在直线坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴为正半轴为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭()m m 为非零常数与=b ρ．若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 ．思路分析：考点解剖：本题主要考查椭圆的参数方程，直线、圆的极坐标方程与平面直角坐标系方程的转化．解题思路：先将参数方程，极坐标方程化为直角坐标方程，进而结合直线与圆的位置关系求解．解答过程：由已知椭圆C 的参数方程cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>），求出其直角坐标方程为()222210x y a b a b +=>>；同样， 由已知条件可求出直线l 与圆O 的直角坐标方程分别为：0x y m +-=，222x y b +=． 因为直线l 经过椭圆C 的焦点，所以||c m =． 又直线l 与圆O 相切，则圆心()0,0O 到直线l的距离为b=，得：||m =．故c =．又因为222a b c =+，所以3ca =， 即：椭圆C规律总结：坐标系和参数方程问题，一般步骤都是将参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，再利用圆锥曲线的性质解题．在不同的坐标系的转化过程中要小心，避免造成不必要的失分．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 主题17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ．已知()cos23cos 1A B C -+=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积S =，5b =，求sin sin B C 的值． 思路分析：考点解剖：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理及余弦定理的应用． 解题思路：（Ⅰ）利用二倍角公式、和角公式进行恒等变换求解；（Ⅱ）先利用三角形的面积公式求得c ，再利用余弦定理求得a ，最后利用正弦定理求解．解答过程：解：（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得：22cos 3cos 20A A +-=， 即：(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得：1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）． 因为0πA <<，所以π3A =．（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得：20bc =． 又5b =，知4c =．由余弦定理得：2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a = 又由正弦定理得：222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．规律总结：解三角形问题主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变换的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形的形状为主，考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力以及转化的数学思想，一般难度不大．主题18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．思路分析：考点解剖：本题主要考查等比数列的性质，通项公式，前n 项和与不等式的综合应用．同时考查分类讨论的数学方法．解题思路：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式表示123,,a a a ，然后联立方程组求解；（Ⅱ）先利用{}na 的通项公式表示出1{}na 的通项公式，然后利用等比数列求和公式及分类讨论求解．解答过程：解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故：1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-． （Ⅱ）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故：1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]11031013mmm n na =⋅-==⋅-<<-∑． 若1(5)(1)n na -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--， 故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列．从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N ,故111m n n a =<∑． 综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑．故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥成立． 规律总结：本题考查等差数列的通项公式、求和公式与解方程、不等式的综合运用．解决数列与其他知识的综合应用问题应对等差、等比数列的概念、性质有深刻的理解，然后运用数列的性质进行分析、转化从而解题．主题19．（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP=．记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=．思路分析：考点解剖：本题主要考查空间中线线、线面、面面关系的应用及空间想象能力，推理能力．解题思路：（Ⅰ）先证明直线//EF 平面ABC ，再证明//EF l ，从而得出：直线//l 平面PAC ；（Ⅱ）方法一：利用线面、面面关系、二面角的性质先找出直线l 为直线BD ，角θ为CDF ∠，角α为BDF ∠，角β为CBF ∠，然后求证．方法二：建立适当的空间直角坐标系，将几何问题转化为向量的坐标运算．解答过程：解：（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC ． 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF平面ABC l =，所以EF ∥l ．因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC ．（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC ． 因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥． 已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥． 而PCBC C =，所以l ⊥平面PBC ．连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥．故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=． 由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12DQ CP=． 连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =． 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD ．连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=． 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CF BF β=，从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=． （Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12DQ CP=． 第19题解答图1 第19题解答图2连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ． 以点C 为原点，向量,,CA CB CP所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===， 则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ，1(,0,),(0,0,)2E a cF c ． 于是1(,0,0)2FE a =，(,,)QP a b c =--，(0,,)BF b c =-， 所以||cos||||FE QP FE QP aα⋅==⋅，从而sin α=又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，可得：||sin ||||QP QP a θ⋅==⋅m m ，设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得：10,20.ax bycz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n ．于是|||cos |||||β⋅=⋅m n m n ，从而sinβ=． 故：sin sin sin αβθ===，即：sin sin sin θαβ=．规律总结：常规方法解决立体几何问题要注意充分利用各种性质定理、判定定理，挖掘出隐含的条件；利用空间向量解决立体几何问题时，关键是建立适当的空间直角坐标系．以上两点，可有效减少出错的几率．主题20．（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p ．（Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=．） （Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?思路分析：考点解剖：本题主要考查正态分布、线性规划的实际应用． 解题思路：（Ⅰ）利用正态分布的定义和性质求解；（Ⅱ）根据题目条件先列出A B 、型号汽车数量需要满足的关系式，然后作图，利用可行域解题．解答过程：解：（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=． (700900)0.9544P X <≤=．由正态分布的对称性，可得：0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=． （Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +． 依题意，, x y 还需满足:021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥．由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥．于是问题等价于求满足约束条件21, 7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y ． 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R ．由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z 最小，即取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．规律总结：线性规划问题，目标函数的最值一般在可行域边界的几个顶点处取得．但当顶点坐标(,)x y 中的,x y 为非整数或负数时，我们还必须注意考虑,x y 的实际意义，以免出错．主题21．（本小题满分13分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为()2,2m n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记m nλ=，BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．思路分析：考点解剖：本题主要考查椭圆的性质、圆锥曲线的综合应用以及分类讨论的思想方法．解题思路：（Ⅰ）方法一：先利用椭圆的代数性质求出12,S S 的值，然后利用方程12S S λ=求解．方法二：利用椭圆的几何性质求出12,S S 的值，然后利用方程12S S λ=求解．（Ⅱ）方法一：先假设存在λ，然后根据12S S λ=得出||||AD BC 关于λ的方程，同时利用直线与椭圆的性质，得出||||AD BC 关于椭圆代数式的方程，最后联立方程组求解．方法二：先假设存在λ，然后根据12S S λ=得出A Bx x 关于λ的方程，同时利用直线与椭圆的性质，得出A Bx x 关于椭圆代数式的方程，最后联立方程组求解．解答过程：解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=．其中0a m n >>>， 1.m n λ=> （Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则： 111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =． 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得：2210λλ--=．由1λ>，可解得：1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=．解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则：||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-;111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=．由1λ>，可解得1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=．（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=．根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则：因为1d ==，2d ==，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=． 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是：||1||1AD BC λλ+=-． ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =，B x =．根据对称性可知C B x x =-，D Ax x =-，于是：2||||2A B x AD BC x ==②从而由①和②式可得第21题解答图1第21题解答图21(1)λλλ+-． ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以20k >．于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0t t λ--<．由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=．解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=．根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则：因为1d ==，2d ==，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==．因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11AB xx λλ+=-．由点(,)A A A x kx ，(,)B BB x kx 分别在C 1，C 2上，可得：222221A A x k x a m +=，222221B Bx k x a n +=，两式相减可得：22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22A Bx x >．所以由上式解得：22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为20k >，所以由2222222()0()A BB A m x x a x x λ->-，可解得：1AB x x λ<<． 从而111λλλ+<<-，解得：1λ>+当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=．规律总结：本题是涉及圆锥曲线的存在性问题，此类问题一般分为探究条件和探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在．若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论．主题22．（本小题满分14分） 设n 是正整数，r 为正有理数．（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值； （Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++；（Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥．令3125S =+，求S ⎡⎤⎢⎥的值．（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）思路分析：考点解剖：本题主要考查导数、函数单调性、不等式证明以及分类讨论、推理能力． 解题思路：（Ⅰ）先求出函数()f x 的导函数，然后利用导函数的性质求最小值； （Ⅱ）通过取11,x x n n==-，利用函数()f x 的单调性求证；（Ⅲ）令13r =，n 分别取值81,82，…，125，利用（Ⅱ）的结论解题．解答过程：解：（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =． 当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数．故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =． （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即：1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x ++>++． ① 在①中，令1x n =（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n+++>+．上式两边同乘1r n +，得：11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即：11(1).1r r rn n n r +++-<+ ②当1n >时，在①中令1x n=-（这时1x >-且0x ≠），类似可得： 11(1).1r r rn n n r ++-->+ ③ 且当1n =时，③也成立． 综合②，③得：1111(1)(1).11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++ ④ （Ⅲ）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得： 44443333338180(8281)44-<-（）， 44443333338281(8382)44--（）， 44443333338382(8483)44-<<-（， ………4444333333125124(126125)44-<<-（）． 将以上各式相加，并整理得：444433333312580(12681)44S -<<-（）． 代入数据计算，可得：4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）．由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥． 规律总结：本题要注意通过取特殊值1x n=-，从而与不等式的证明巧妙的联系在一起．在解题过程中要注意定义域的范围的确定，否则极易出错．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷(数学理)word版含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ðA ．{0}x x ≤B ．{24}x x ≤≤C ．{024}x x x ≤<>或D ．{024}x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4．将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π65．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y xθθθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等6．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为 ABC．D．7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是A ．125ln 5+B ．11825ln 3+C ．425ln 5+D ．450ln 2+第8题图8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X = A ．126125 B ．65C ．168125 D ．7510．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题．．．．．．号．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中x 的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________.第11题图12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =_________.第9题图14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10， ，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出 了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-，六边形数 2(,6)2N n n n =-， ………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为_________． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴 为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数） 与b ρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值. 18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；D E OBA第15题图C（Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q满足12D Q C P =. 记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：s i n s i n s i n θαβ=.20．（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . （Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.）（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?第19题图21．（本小题满分13分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△B D M 和△ABN 的面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由． 22．（本小题满分14分）设n 是正整数，r 为正有理数.（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++； （Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S + S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 二、填空题11．（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 12．5 1314．1000 15．8 16三、解答题 17． （Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=, 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）.第21题图因为0πA <<，所以π3A =.（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =. 由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.18．（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-. （Ⅱ）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013mmm n na =⋅-==⋅-<<-∑.若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N , 故111mn n a =<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑.故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ 成立.19．（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC .（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥.已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥. 而PC BC C = ，所以l ⊥平面PBC .连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥.故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=.由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =， 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=. 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CF BFβ=， 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=. （Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD . 以点C 为原点，向量,,CA CB CP所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ,1(,0,),(0,0,)2E a cF c .于是1(,0,0)2FE a = ，(,,)QP a b c =-- ，(0,,)BF b c =- ，所以||cos ||||FE QP FE QP α⋅==⋅sin α=.又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m，可得||sin ||||QP QP θ⋅==⋅ m m设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n . 第19题解答图1第19题解答图2于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m n，从而sin β==.故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=.20．（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=(700900)0.9544P X <≤=.由正态分布的对称性，可得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=. （Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +.依题意, , x y 还需满足:021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥.由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥. 于是问题等价于求满足约束条件21,7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R .由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z 最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.21． 依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n+=. 其中0a m n >>>， 1.m n λ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则 111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 第20题解若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x == ② 从而由①和②式可得第21题解答图1第21题解答图2令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a tλ-=-.因为0k ≠，所以2k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>，所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=； 当1λ>l 使得12S S λ=.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则 因为1d==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==. 因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >.所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<. 从而111λλλ+<<-，解得1λ> 当11λ<≤+l ，使得12S S λ=； 当1λ>l 使得12S S λ=.22． （Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =.当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即世纪金榜 圆您梦想 第11页（共11页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x ++>++. ① 在①中，令1x n =（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n+++>+. 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+ ② 当1n >时，在①中令1x n =-（这时1x >-且0x ≠），类似可得 11(1).1r r rn n n r ++-->+ ③ 且当1n =时，③也成立. 综合②，③得1111(1)(1).11r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++ ④ （Ⅲ）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得44443333338180(8281)44--（），44443333338281(8382)44-<-（），44443333338382(8483)44-<<-（）， ………4444333333125124(126125)44-<-（. 将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S -<<-（）. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）. 由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥.。
2013年高考数学湖北理(word版含答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）【选择题】【1】．在复平面内，复数2i1+i （i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 （ ）．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【2】．已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680B x x x =-+≤，则R A C B =（ ）．A.{}0x x ≤ B.{}24x x ≤≤C.{02x x ≤<或}4x > D. {02x x <≤或}4x ≥【3】．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）． A.()()p q ⌝∨⌝ B.()p q ∨⌝ C.()()p q ⌝∧⌝ D.p q ∨ 【4】．将函数3cos sin (y x x x =+∈R ）的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m 的最小值是（ ）． A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π【5】．已知04πθ<< ，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）． A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 【6】．已知点()1,1A-，()1,2B ，()2,1C --，()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）． A ．322 B ．3152 C ．-322 D ．-3152【7】．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m /s ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ）． A ．1+25ln 5 B ．118+25ln3C ．4+25ln 5D ．4+50ln 2 【8】．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为1234V V V V ，，，，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）． 1243.AV V V V <<< 1324.BV V V V <<< 2134.CV V V V <<< 2314.DV V V V <<<【9】．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()EX = （ ）． A ．126125 B ．65 C ．168125D ．75第9题图 【10】．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，2x ()12x x <，则（ ）． A ．121()0,()2f x f x >>-B. 121()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121()0,()2f x f x <>- 【填空题】必考题（11—14题）【11】．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.（1）直方图中x 的值为___________；（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为___________.第11题图 【12】．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =___________.第12题图 【13】．设,,x y z ∈R ，且满足：222++=12+3=14xy z x y z ，+，则+x y z +=___________. 【14】．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数为2(+1)11=+222n n n n ，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)=+n 22N n n ， 正方形数 2(,4)=N n n ， 五边形数 23(,5)=2N n n -12n ， 六边形数 2(,6)=2-n N n n……可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________________。
湖北2013年高考理科数学
湖北省教育考试院 保留版权 数学（理工类） 第1页（共6页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ðA ．{0}x x ≤B ．{24}x x ≤≤C ．{024}x x x ≤<>或D ．{024}x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝ C ．()p ⌝∧()q ⌝ D ．p ∨q数学（理工类） 第2页（共6页）4．将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π65．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等6．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD方向上的投影为 ABC． D．7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是A ．125ln 5+B ．11825ln 3+ C ．425ln 5+ D ．450ln 2+8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅 拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X = A ．126125 B ．65C ．168125D ．75第8题图第9题图数学（理工类） 第3页（共6页）10．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中x 的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________.第11题图 第12题图 12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =_________.13．设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++=x y z ++=_________.数学（理工类） 第4页（共6页）14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10， ，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出 了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-，六边形数 2(,6)2N n n n =-， ………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为_________． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴 为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数） 与b ρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.OD EBA第15题图C数学（理工类） 第5页（共6页）18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由.19．（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =. 记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.20．（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . （Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.）（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?第19题图数学（理工类） 第6页（共6页）21．（本小题满分13分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别 为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．22．（本小题满分14分）设n 是正整数，r 为正有理数.（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++； （Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S + S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈，43350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）第21题图。
2013年湖北省高考数学试卷(理科)附送答案
2013年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4} 3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q 4．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．5．（5分）已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等6．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．7．（5分）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A．1+25ln5 B．8+25ln C．4+25ln5 D．4+50ln28．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4 9．（5分）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）A． B．C． D．10．（5分）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）11．（5分）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）直方图中x的值为；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为．12．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=．13．（5分）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=．14．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=．15．（5分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则的值为．16．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．18．（12分）已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC ⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E ﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．20．（12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0．（Ⅰ）求p0的值；（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B型车各多少辆？21．（13分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN 的面积分别为S1和S2．（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．22．（14分）设n是正整数，r为正有理数．（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．（参考数据：．2013年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖北）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案．【解答】解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选D．2．（5分）（2013•湖北）已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4}【分析】利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩C R B．【解答】解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选C．3．（5分）（2013•湖北）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．4．（5分）（2013•湖北）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B5．（5分）（2013•湖北）已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【分析】根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．【解答】解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同．故选D．6．（5分）（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．7．（5分）（2013•湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A．1+25ln5 B．8+25ln C．4+25ln5 D．4+50ln2【分析】令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S=，解出即可．【解答】解：令v（t）=7﹣3t+，化为3t2﹣4t﹣32=0，又t＞0，解得t=4．∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5．故选C．8．（5分）（2013•湖北）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4【分析】利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项．【解答】解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记为V1==．V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4故选C．9．（5分）（2013•湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）A． B．C． D．【分析】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X 的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）=；③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=．④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=．X0123P故X的分布列为因此E（X）==．故选B．10．（5分）（2013•湖北）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax 有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．故当0＜a＜时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a ＞0，∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）11．（5分）（2013•湖北）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）直方图中x的值为0.0044；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为70．【分析】（I）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案．（II）由已知中的频率分布直方图，利用[100，250）之间各小组的纵坐标（矩形的高）乘以组距得到[100，250）的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数．【解答】解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，解得x=0.0044．（II）样本数据落在[100，150）内的频率为0.0036×50=0.18，样本数据落在[150，200）内的频率为0.006×50=0.3．样本数据落在[200，250）内的频率为0.0044×50=0.22，故在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为（0.18+0.30+0.22）×100=70．故答案为：0.0044；70．12．（5分）（2013•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=5．【分析】框图首先给变量a和变量i赋值，然后对a是否等于4进行判断，不等于4，继续判断a是否为奇数，是执行路径a=3a+1，否执行路径，再执行i=i+1，依次循环执行，当a等于4时跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4，i=1．判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行，i=1+1=2；判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3×5+1=16，i=2+1=3；判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行，i=3+1=4；判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行，i=4+1=5；判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5．故答案是5．13．（5分）（2013•湖北）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=．【分析】根据柯西不等式，算出（x+2y+3z）2≤14（x2+y2+z2）=14，从而得到x+2y+3z 恰好取到最大值，由不等式的等号成立的条件解出x=、y=且z=，由此即可得到x+y+z的值．【解答】解：根据柯西不等式，得（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）当且仅当时，上式的等号成立∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，结合，可得x+2y+3z恰好取到最大值∴=，可得x=，y=，z=因此，x+y+z=++=故答案为：14．（5分）（2013•湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=1000．【分析】观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得，把n=10，k=24代入可得答案．【解答】解：原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故=1100﹣100=1000故答案为：100015．（5分）（2013•湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则的值为8．【分析】设圆O的半径为3x，根据射影定理，可以求出OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，进而得到的值．【解答】解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，∵AB=3AD，∴AD=2x，BD=4x，OD=x又∵点C在直径AB上的射影为D，在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD•BD=8x2，在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，故==8故答案为：816．（2013•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为．【分析】先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程，再利用直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，从而得到c=b，又b2=a2﹣c2，消去b后得到关于a，c的等式，即可求出椭圆C的离心率．【解答】解：直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程为x+y﹣m=0，它与x轴的交点坐标为（m，0），由题意知，（m，0）为椭圆的焦点，故|m|=c，又直线l与圆O：ρ=b相切，∴，从而c=b，又b2=a2﹣c2，∴c2=2（a2﹣c2），∴3c2=2a2，∴=．则椭圆C的离心率为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．18．（12分）（2013•湖北）已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式（Ⅱ）结合（I）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则由已知可得解得故．（Ⅱ）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而．若，则是首项为，公比为﹣1的等比数列，从而故．综上，对任何正整数m，总有．故不存在正整数m，使得成立．19．（12分）（2013•湖北）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B 的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E ﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．【分析】（I）直线l∥平面PAC．连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EF∥AC；利用线面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC．由线面平行的性质定理可得EF∥l．再利用线面平行的判定定理即可证明直线l∥平面PAC．（II）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BC．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ 与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；向量法：以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．【解答】解：（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC．（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l．而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．由，作DQ∥CP，且．连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得，从而．（Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且．连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD．以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有．于是，∴=，从而，又取平面ABC的一个法向量为，可得，设平面BEF的一个法向量为，所以由可得取=（0，c，b），于是，从而．故，即sinθ=sinαsinβ．20．（12分）（2013•湖北）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0．（Ⅰ）求p0的值；（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B型车各多少辆？【分析】（I）变量服从正态分布N（800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0．（II）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．【解答】解：（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=（Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y．依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0．由（Ⅰ）知，p0=P（X≤900），故P（X≤36x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900．于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R （15，6）．由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆，B型车12辆．21．（13分）（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．【分析】（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值；（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．【解答】解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，．其中a＞m＞n＞0，＞1．（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以．在C1和C2的方程中分别令x=0，可得y A=m，y B=n，y D=﹣m，于是．若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k＞0），点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2．又，所以，即|BD|=λ|AB|．由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知x C=﹣x B，x D=﹣x A，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．22．（14分）（2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．（参考数据：．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为f（0）=0；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，令代入并化简得，再令得，，即结论得到证明；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，令，n分别取值81，82，83，…，125，分别列出不等式，再将各式相加得，，再由参考数据和条件进行求解．【解答】解；（Ⅰ）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）r﹣（r+1）=（r+1）[（1+x）r﹣1]，令f'（x）=0，解得x=0．当﹣1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）内是减函数；当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ），当x∈（﹣1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，故当x＞﹣1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①在①中，令（这时x＞﹣1且x≠0），得．上式两边同乘n r+1，得（n+1）r+1＞n r+1+n r（r+1），即，②当n＞1时，在①中令（这时x＞﹣1且x≠0），类似可得，③且当n=1时，③也成立．综合②，③得，④（Ⅲ）在④中，令，n分别取值81，82，83， (125)得，，，…，将以上各式相加，并整理得．代入数据计算，可得由[S]的定义，得[S]=211．。
13年高考真题——理科数学(湖北卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）一．选择题1．在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2．已知全集为R ，集合(){}|121xA x =≤，集合{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =（ ） （A ）{}|0x x ≤ （B ）{}|24x x ≤≤（C ）{}|024x x x ≤<>或 （D ）{}|024x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） （A ）()()p q ⌝∨⌝ （B ）()p q ∨⌝ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）p q ∨4．将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） （A ）12π （B ）6π （C ）3π （D ）56π5．已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ） （A ）实轴长相等 （B ）虚轴长相等 （C ）焦距相等 （D ）离心率相等6．已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） （A （B （C ） （D ）7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。
在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（ ）（A ）125ln5+ （B ）11825ln 3+（C ）425ln5+ （D ）450ln 2+8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）（A ）1243V V V V <<< （B ）1324V V V V <<< （C ）2134V V V V <<< （D ）2314V V V V <<< 9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。
2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析
2013年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖北）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2013•湖北）已知全集为R，集合，则A∩∁R B=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4} C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4}3．（5分）（2013•湖北）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（¬p）∨（¬q）B．p∨（¬q）C．（¬p）∧（¬q）D．p∨q4．（5分）（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．5．（5分）（2013•湖北）已知，则双曲线的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等6．（5分）（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．7．（5分）（2013•湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A．1+25ln5 B．C．4+25ln5 D．4+50ln28+25ln8．（5分）（2013•湖北）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V49．（5分）（2013•湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）A．B．C．D．10．（5分）（2013•湖北）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）11．（5分）（2013•湖北）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）直方图中x的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为_________．12．（5分）（2013•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=_________．13．（5分）（2013•湖北）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=_________．14．（5分）（2013•湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=_________．15．（5分）（2013•湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则的值为_________．16．（2013•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积，求sinBsinC的值．18．（12分）（2013•湖北）已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）（2013•湖北）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F 分别是PA，PC的中点．（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．20．（12分）（2013•湖北）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0．（Ⅰ）求p0的值；（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？21．（13分）（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．22．（14分）（2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．（参考数据：．2013年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案．解答：解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选D．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）考点：其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩C R B．解答：解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选C．点评：本题考查指数函数的性质与元二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于中档题．3．（5分）考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．解答：解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．点评：本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4．（5分）考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．解答：解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（5分）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．解答：解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同．故选D．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题．6．（5分）考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．解答：解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．点评：本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．7．（5分）考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S=，解出即可．解答：解：令v（t）=7﹣3t+，化为3t2﹣4t﹣32=0，又t＞0，解得t=4．∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5．故选C．点评：熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键．8．（5分）考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项．解答：解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记λ为V1==．V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4故选C．点评：本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键．9．（5分）考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：压轴题；概率与统计．分析：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8=36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．解答：解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）=；③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=．④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=．X 0 1 2 3P故X的分布列为因此E（X）==．故选B．点评：正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键．考点：利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．解答：解：∵=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．∵，f′（x1）=lnx1+1﹣2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1﹣2ax2=0．且f（x1）=x1（lnx1﹣ax1）=x1（2ax1﹣1﹣ax1）=x1（ax1﹣1）=﹣＜0，f（x2）=x2（lnx2﹣ax2）=x2（ax2﹣1）＞=﹣．（）．故选D．点评：熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）11．（5分）考点：频率分布直方图．专题：图表型．分析：（I）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案．（II）由已知中的频率分布直方图，利用[100，250）之间各小组的纵坐标（矩形的高）乘以组距得到[100，250）的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数．解答：解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，解得x=0.0044．（II）样本数据落在[100，150）内的频率为0.0036×50=0.18，样本数据落在[150，200）内的频率为0.006×50=0.3．样本数据落在[200，250）内的频率为0.0044×50=0.22，故在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为（0.18+0.30+0.22）×100=70．故答案为：0.0044；70．点评：根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高考的重要考点．对于“频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图．考点：程序框图．分析：框图首先给变量a和变量i赋值，然后对a是否等于4进行判断，不等于4，继续判断a是否为奇数，是执行路径a=3a+1，否执行路径，再执行i=i+1，依次循环执行，当a等于4时跳出循环，输出i的值．解答：解：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4，i=1．判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行，i=1+1=2；判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3×5+1=16，i=2+1=3；判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行，i=3+1=4；判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行，i=4+1=5；判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5．故答案是5．点评：本题考查了程序框图，循环结构中含有条件结构，外面的循环结构为直到型，即不满足条件执行循环，直到条件满足跳出循环．是基础题．13．（5分）考点：一般形式的柯西不等式；进行简单的合情推理．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式，算出（x+2y+3z）2≤14（x2+y2+z2）=14，从而得到x+2y+3z恰好取到最大值，由不等式的等号成立的条件解出x=、y=且z=，由此即可得到x+y+z的值．解答：解：根据柯西不等式，得（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）当且仅当时，上式的等号成立∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，结合，可得x+2y+3z恰好取到最大值∴=，可得x=，y=，z=因此，x+y+z=++=故答案为：点评：本题给出x、y、z的平方和等于1，在x+2y+3z恰好取到最大值的情况下求x+y+z的值．着重考查了运用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．抓住柯西不等式的等号成立的条件，是本题得以解决的关键．14．（5分）考点：归纳推理．专题：计算题．分析：观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得，把n=10，k=24代入可得答案．解答：解：原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故=1100﹣100=1000故答案为：1000点评：本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，属基础题．15．（5分）考点：与圆有关的比例线段；直角三角形的射影定理．专题：压轴题；选作题．分析：设圆O的半径为3x，根据射影定理，可以求出OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，进而得到的值．解答：解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，∵AB=3AD，∴AD=2x，BD=4x，OD=x又∵点C在直径AB上的射影为D，在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD•BD=8x2，在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，故==8故答案为：8点评：本题考查的知识点是直角三角形射影定理，射影定理在使用时一定要注意其使用范围…“双垂直”．16．（2013•湖北）考点：参数方程化成普通方程；椭圆的简单性质；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程，再利用直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，从而得到c=b，又b2=a2﹣c2，消去b后得到关于a，c的等式，即可求出椭圆C的离心率．解答：解：直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程为x+y﹣m=0，它与x轴的交点坐标为（m，0），由题意知，（m，0）为椭圆的焦点，故|m|=c，又直线l与圆O：ρ=b相切，∴，从而c=b，又b2=a2﹣c2，∴c2=2（a2﹣c2），∴3c2=2a2，∴=．则椭圆C的离心率为．故答案为：．点评：本题考查了椭圆的离心率，考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化，考查提高学生分析问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．解答：解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．点评：熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．18．（12分）考点：数列的求和；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）设等比数列{a n}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式（Ⅱ）结合（I）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则由已知可得解得故．（Ⅱ）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而．若，则是首项为，公比为﹣1的等比数列，从而故．综上，对任何正整数m ，总有．故不存在正整数m ，使得成立．点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力 19．（12分）考点： 用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析： （I ）直线l ∥平面PAC ．连接EF ，利用三角形的中位线定理可得，EF ∥AC ；利用线面平行的判定定理即可得到EF ∥平面ABC ．由线面平行的性质定理可得EF ∥l ．再利用线面平行的判定定理即可证明直线l ∥平面PAC ．（II ）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l ⊥平面PBC ．连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l ⊥BC ．故∠CBF 就是二面角E ﹣l ﹣C 的平面角，即∠CBF=β．已知PC ⊥平面ABC ，可知CD 是FD 在平面ABC 内的射影，故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF=θ．由BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；向量法：以点C 为原点，向量所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角． 解答： 解：（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下： 连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC ，又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC=l ，所以EF ∥l ． 因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC ． （Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC ． 因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BC ，于是l ⊥BC ． 已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC ⊥l ． 而PC ∩BC=C ，所以l ⊥平面PBC ．连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l ⊥BF ．故∠CBF 就是二面角E ﹣l ﹣C 的平面角，即∠CBF=β．由，作DQ ∥CP ，且．连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP=2PF ，所以DQ=PF ， 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD ．连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF=θ． 又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF=α， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得，从而． （Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ ∥CP ，且．连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ．以点C 为原点，向量所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a ，CB=b ，CP=2c ，则有． 于是，∴=，从而，又取平面ABC 的一个法向量为，可得，设平面BEF 的一个法向量为，所以由可得．于是，从而．故，即sin θ=sin αsin β．点评： 本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力． 20．（12分）考点： 简单线性规划；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题： 不等式的解法及应用；概率与统计． 分析： （I ）变量服从正态分布N （800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X ≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p 0．（II ）设每天应派出A 型x 辆、B 型车y 辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．解答： 解：（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布N （800，502），故有μ=800，σ=50，P （700＜X ≤900）=0.9544．由正态分布的对称性，可得p 0=（P （X ≤900）=P （X ≤800）+P （800＜X ≤900）=（Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1600x+2400y ．依题意，x ，y 还需满足：x+y ≤21，y ≤x+7，P （X ≤36x+60y ）≥p 0．由（Ⅰ）知，p0=P（X≤900），故P（X≤360x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900．于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆，B型车12辆．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划．本题解题的关键是列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．21．（13分）考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；点到直线的距离公式．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值；（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．解答：解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，．其中a＞m＞n＞0，．（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以．在C1和C2的方程中分别令x=0，可得y A=m，y B=n，y D=﹣m，于是．若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k＞0），点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2．又，所以，即|BD|=λ|AB|．由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知x C=﹣x B，x D=﹣x A，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．点评： 本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（Ⅱ）中判断λ的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法．22．（14分）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；数列的求和；不等式的证明． 专题：压轴题；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 分析： （Ⅰ）先求出函数f （x ）的导函数f ′（x ），令f'（x ）=0，解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为f （0）=0；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，即（1+x ）r+1≥1+（r+1）x ，令代入并化简得，再令得，，即结论得到证明；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，令，n 分别取值81，82，83，…，125，分别列出不等式，再将各式相加得，，再由参考数据和条件进行求解．解答： 解；（Ⅰ）由题意得f'（x ）=（r+1）（1+x ）r ﹣（r+1）=（r+1）[（1+x ）r ﹣1]， 令f'（x ）=0，解得x=0．当﹣1＜x ＜0时，f'（x ）＜0，∴f （x ）在（﹣1，0）内是减函数； 当x ＞0时，f'（x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）内是增函数． 故函数f （x ）在x=0处，取得最小值为f （0）=0． （Ⅱ）由（Ⅰ），当x ∈（﹣1，+∞）时，有f （x ）≥f （0）=0， 即（1+x ）r+1≥1+（r+1）x ，且等号当且仅当x=0时成立， 故当x ＞﹣1且x ≠0，有（1+x ）r+1＞1+（r+1）x ，①在①中，令（这时x ＞﹣1且x ≠0），得．上式两边同乘n r+1，得（n+1）r+1＞n r+1+n r （r+1）， 即，②当n ＞1时，在①中令（这时x ＞﹣1且x ≠0），类似可得，③且当n=1时，③也成立． 综合②，③得，④（Ⅲ）在④中，令，n 分别取值81，82，83， (125)得，，，…，将以上各式相加，并整理得．代入数据计算，可得由[S ]的定义，得[S ]=211．点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性和求最值，以及学生的创新精神，是否会观察，会抽象概括，会用类比的方法得出其它结论，难度较大，注意利用上一问的结论．。
2013湖北卷 (理数)真题解析
数学（理工类） 第1页（共19页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D考点：复数的概念与除法运算 分析：复数的基本运算解答：2i 11i z i = =+，2i1iz =+的共轭复数1i ，故答案为D.备注：考点：复数的基本运算．难度A ．2．已知全集为R ，集合1{()1}2x A x = ，2{680}B x x x = ，则A B =R IA ．{0}x xB ．{24}x xC ．{024}x x x <或D ．{024}x x x < 或答案：C数学（理工类） 第2页（共6页）考点：集合分析：集合的基本运算解答：{0}A x x = ，{24}B x x = ，故答案为C. 备注：考点：集合的基本运算．难度A ．3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ∨()q B ．p ∨()qC ．()p ∧()qD ．p ∨q答案：A考点：逻辑连接词或、且、非 分析：p 与p解答：设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ∨()q故答案为A.备注：考点：逻辑连接词或、且、非．难度A ．4．将函数sin ()y x x x = +R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6答案：B考点：三角函数的图像平移与函数的对称性分析：sin 2sin()3y x x x= + ，2cos y x =为偶函数解答：sin 2sin()3y x x x= + ，2cos y x =为偶函数，故左移π6，故答案为B备注：考点：三角函数的图像平移与函数的对称性．难度A ．5．已知π04 < ，则双曲线1C ：22221cos sin x y 与2C ：222221sin sin tan y x的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 答案：D考点：双曲线的标准方程与几何性质 分析：双曲线的标准方程与几何性质解答：22220cos sin x y 与222220sin sin tan y x 等价，故渐近线相同，所以离心率一样，故答案为C.备注：考点：双曲线的标准方程与几何性质．难度A ．6．已知点(1,1)A 、(1,2)B 、(2,1)C 、(3,4)D ，则向量AB uðu ð在CD uðu ð方向上的投影为数学（理工类） 第3页（共6页）ABC． D． 答案：A考点：平面向量分析：平面向量的投影的计算解答：向量AB uðu ð在CD uðu ð方向上的投影为AB CD CD ×uðu ðuðr ð,(2,1)AB =uðu ð,(5,5)CD =uðu ð,AB CD CD ×=uðu ðuðr ð故答案为A.备注：考点：平面向量．难度A ．7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=+（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是A ．125ln 5+B ．11825ln 3+ C ．425ln 5+ D ．450ln 2+答案：C.考点：定积分的意义分析：0)(=t v 时即停止，由4012537)(= =++=t tt t v ，即行驶第4s 时停止。
2013年高考理科数学(湖北卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共22题，其中15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2、已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =A.{}|0x x ≤B. }42|{≤≤x xC. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A.()()p q ⌝∨⌝ B. ()p q ∨⌝ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.p q ∨4、将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是 A.12πB.6π C. 3π D. 56π 5、已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等6、已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB 在CD方向上的投影为A.C. D. 7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。
在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是A. 125ln5+B. 11825ln 3+C. 425ln5+D. 450ln 2+8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<< C. 2134V V V V <<< D. 2314V V V V <<< 9、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。
2013湖北高考数学(理)试题及解析 免费
2013年湖北省数学高考试题（理）一．选择题 1．在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =（ ）A.{}|0x x ≤B.{}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A.()()p q ⌝∨⌝ B. ()p q ∨⌝ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.p q ∨4．将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.12πB.6πC.3πD.56π5．已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等6．已知点()1,1A -．()1,2B ．()2,1C --．()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A.C. D.7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。
在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（ ） A. 125ln5+ B. 11825ln3+ C. 425ln5+ D. 450ln 2+ 8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）A. 1243V V V V <<<B. 1324V V V V <<<C. 2134V V V V <<<D. 2314V V V V <<<9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。
高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年湖北，理1，5分】在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D【解析】2ii(1i)1i 1iz ==-=++，则1i z =-，其对应点()1,1Z -位于第四象限，故选D ．（2）【2013年湖北，理2，5分】已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ð（ ）（A ）{0}x x ≤ （B ）{24}x x ≤≤ （C ）{024}x x x ≤<>或 （D ）{024}x x x <≤≥或 【答案】C【解析】∵26802,4x x x x -+>⇔<>，1102xx ⎛⎫≤⇔≥ ⎪⎝⎭，∴A B =R ð{024}x x x ≤<>或，故选C ．（3）【2013年湖北，理3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） （A ）()p ⌝∨()q ⌝ （B ）p ∨()q ⌝ （C ）()p ⌝∧()q ⌝ （D ）p ∨q【答案】A【解析】因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙 没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝，故选A ．（4）【2013年湖北，理4，5分】将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）（A ）π12 （B ）π6 （C ）π3 （D ）5π6【答案】B【解析】因为sin ()y x x x +∈R 可化为()2cos()6y x x R π=-∈，将它向左平移6π个单位得2cos ()2cos 66y x x ππ⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦，其图像关于y 轴对称，故选B ．（5）【2013年湖北，理5，5分】已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的 （ ）（A ）实轴长相等 （B ）虚轴长相等 （C ）焦距相等 （D ）离心率相等 【答案】D【解析】对于双曲线1C ，有1sin cos 222=+=θθc ，θcos 1==a c e ． 对于双曲线2C ，有θθθθθ222222tan sec sin )tan 1(sin =⋅=+=c ，θθθcos 1sin tan ===a c e ．即这两双曲线的离心率相等，故选D ．（6）【2013年湖北，理6，5分】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）（A （B （C ）（D ）【答案】A【解析】2,1AB =（），5,5CD =（），则AB 在CD 方向上的射影为cos AB CD AB CD θ⋅==故选A ．（7）【2013年湖北，理7，5分】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t =-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止． 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ）（A ）125ln5+ （B ）11825ln 3+ （C ）425ln5+ （D ）450ln 2+【答案】C【解析】令25()731v t t t =-++=0，解得4t =或83t =-（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为4442000253()d (73)d 725ln(1)425ln 512v t t t t t t t t ⎛⎫=-+==-++=+ ⎪+⎝⎭⎰⎰，故选C ． （8）【2013年湖北，理8，5分】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）（A ）1243V V V V <<< （B ）1324V V V V <<<（C ）2134V V V V <<< （D ）2314V V V V <<< 【答案】C【解析】显然23V V <，所以B 不正确． 又2217(2121)33V ππ=++⨯=，22122V ππ=⋅⋅=，3328V ==，224128(4242)33V =++⨯=，从而2134V V V V <<<，故选C ． （9）【2013年湖北，理9，5分】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值 ()E X =（ ）（A ）126125 （B ）65（C ）168125 （D ）75【答案】B【解析】125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750，涂了油漆的面数有25×6=150．每一个小正方体的一个面涂漆的频率为15017505=，则它的涂漆面数为X 的均值()E X =16655⨯=，故选B ． （10）【2013年湖北，理10，5分】已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则（ ）（A ）1()0f x >，21()2f x >- （B ）1()0f x <，21()2f x <-（C ）1()0f x >，21()2f x <- （D ）1()0f x <，21()2f x >-【答案】D【解析】'()ln 12f x x ax =+-，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得'()0f x =有两个不等的实数解，即ln 21x ax =-有两个实数解，从而直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点． 过点()0,1-作ln y x =的切线，设切点为()00,x y ，则切线的斜率01k x =，切线方程为011y x x =-．切点在切线上，则00010x y x =-=，又切点在曲线ln y x =上，则00ln 01x x =⇒=，即切点为()1,0，切线方程为1y x =-． 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，如图所示，其斜率2a 满足：021a <<，解得102a <<． 则这函数的两个极点12,x x 满足1201x x <<<，所以12()(1)()f x f f x <<，而1(1)(,0)2f a =-∈-，即12()()f x a f x <-<，所以121()0,()2f x f x <>-，故选D ． 二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2013年湖北，理11，5分】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示（1）直方图中x 的 值为_________；（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数 为 ． 【答案】（1）0.0044 （2）70【解析】（1）1[150(0.00600.003620.00240.0012)]0.004450x =-++⨯+=．（2）用电量落在区间[100,250)内的户数为(0.00360.00600.0044)5010070++⨯⨯=．（12）【2013年湖北，理12，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = ． 【答案】5 【解析】已知初始值10,1a i ==，∵104a =≠，则执行程序，得5,2a i ==；因为54a =≠，则执行程序，得16,3a i ==；164a =≠，则第三次执行程序，得8,4a i ==；∵84a =≠，则第四次执行程序，得4,5a i ==；∵4a =，执行输出i ，5i =．（13）【2013年湖北，理13，5分】设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++=则x y z ++= ．【解析】由柯西不等式得2222222()()1(23)32x y z x y z ≥＋＋＋＋＋＋当且仅当1x y z==时等号成立，此时2y x =，3z x =．∵2221x y z ＋＋=，23x y z =++∴x =，y =，z =∴x y z ++= （14）【2013年湖北，理14，5分】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数． 如三角形数1，3，6，10，，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+． 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数231(,5)22N n n n =-，六边形数 2(,6)2N n nn =-，…………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =________．【答案】1000【解析】由题中数据可猜想：含2n 项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是12-的等差数列，因此22111124()33222222N n k k k k n k n n n ⎡⎤--⎡⎤⎛⎫=+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，． 故()2210,241110111010101000N n n =-=⨯-⨯=．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2013年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为_______．【答案】8【解析】根据题设，易知3OC AO DO ==，Rt Rt Rt ODE DCE OCD ∆∆∆∽∽，∴31OD CD OC OE DE OD ===，即39CO OD OE ==，在Rt ODE ∆中，22222298DE DO OE OE OE OE =-=-=，在Rt CDE ∆中，2222229864C E C D D E D E D E D E O E =-=-==，即2264CE EO =，∴8CE EO=．（16）【2013年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴 正半轴为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数）与b ρ=． 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 ．【解析】椭圆C 的方程可以化为22221x y a b+=，圆O 的方程可化为222x y b +=，直线l 的方程可化为x y m +=，因为直线l 经过椭圆的焦点，且与圆O 相切，则c m =，b =，a ==，所以椭圆的离心率c e a ==三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2013年湖北，理17，11分】在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ． 已知cos23cos()1A B C -+=． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC的面积S =5b =，求sin sin B C 的值．解：（1）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍因为0πA <<，所以π3A =．（2）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =．又5b =，知4c =．由余弦定理故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．（18）【2013年湖北，理18，12分】已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m ，使得121111m a a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由． 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125||10a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得1533a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或151a q =-⎧⎨=-⎩． 故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-．（2）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑．若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而11,21()1502()mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑,N N ，故111m n n a =<∑．综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑．故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥成立． （19）【2013年湖北，理19，12分】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =． 记直线PQ与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的 大小为β，求证：sin sin sin θαβ=．解：（1）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC ． 又EF ⊄平面ABC ， 且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l ． 因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC ． （2）解法一：（综合法）如图，连接BD ，由（1）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC ．因为AB 是O 的直径， 所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥．已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥．而PC BC C =，所以l ⊥平面PBC ．连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥．故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=．由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12D Q C P =．连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =，从而四边形DQPF 是平行四边形， PQ ∥FD ．连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影，故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=．又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥， 知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CFBFβ=， 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=．解法二：（向量法）如图，由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12D Q C P =．连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（1）可知交线l 即为直线BD ．以点C 为原点，向量,,CA CB CP 所在直线分别为 ,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ，1(,0,),(0,0,)2E a cF c ．于是1(,0,0)2FE a =，(,,)QP a b c =--，(0,,)BF b c =-，所以||cos||||FE QP FE QP a α⋅==⋅，从而2sin a α==+又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，可得||sin ||||QP QP a θ⋅==⋅m m ，设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由00FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，可得1020ax by cz⎧=⎪⎨⎪-+=⎩．取(0,,)c b =n ．于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m n sin β．故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=．（20）【2013年湖北，理20，12分】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p ．（1）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）； （2）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆． 公 司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆． 若每天要以不小于0p 的 概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车 各多少辆?解：（1）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=，(700900)0.9544P X <≤=．由正态分布的对称性，得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=．（2）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +．依题意， , x y 还需满足：021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥．由（1）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥．于是问题等价于求满足约束条件2173660900, 0, x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩，N，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y ．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R ．由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆． （21）【2013年湖北，理21，14分】如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（1）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=．其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（1）解法一：如图，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =． 在C 1和C 2的方程中分别令0x =， 可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---． 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=． 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=+． 解法二：如图，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--． 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=． 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=+．（2）解法一：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =． 又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=．由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-．① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A xB x = 根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A Bx AD BC x ==1(1)λλλ+=-．③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解 得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以20k >． 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<． 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=．解法二：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则1d ==2d ==，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==．因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-． 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n+=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=，依题意0A Bx x >>，所以22A B x x >．所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A Bx x λ<<．从而111λλλ+<<-，解得1λ>11λ<≤l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=（22）【2013年湖北，理22，14分】设n 是正整数，r 为正有理数．（1）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（2）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++；（3）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥．令3125S +，求S ⎡⎤⎢⎥的值．（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）解：（1）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =．当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数；当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数．故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =． （2）由（1），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，1(1)1(1)r x r x ++>++．①在①中，令1x n =（1x >-且0x ≠），111(1)1r r n n +++>+． 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+②当1n >时，在①中令1x n =-（这时1x >-且0x ≠），类似可得11(1).1r r rn n n r ++-->+③且当1n =时，③也成立．综合②，③得1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++． ④（3）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得44443333338180(8281)44-<-（），44443333338281(8382)44--（），44443333338382(8483)44-<-（）， (4444)333333125124(126125)44-<<-（）．将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S -<<-（）．代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）．由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥．。
2013年高考真题解析湖北(理科)数学解析版 Word版含每题详细答案精校版
2013年湖北省理科数学高考试题解析版一、选择题 1、在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析与答案】211iz i i==++，1z i ∴=-。
故选D 【相关知识点】复数的运算 2、已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B = （ ）A. A.{}|0x x ≤B.{}24x x ≤≤B.C.{}|024x x x ≤<>或 D.{}|024x x x <≤≥或【解析与答案】[)0,A =+∞，[]2,4B =，[)()0,24,R A C B ∴=+∞ 。
故选C 【相关知识点】不等式的求解，集合的运算3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A.()()p q ⌝∨⌝ B. ()p q ∨⌝ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.p q ∨【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。
故选A 。
【相关知识点】命题及逻辑连接词4、将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.12π B.6π C.3π D.56π【解析与答案】2cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个长度单位后变成2cos 6y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以m 的最小值是6π。
故选B 。
【相关知识点】三角函数图象及其变换 5、已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等 【解析与答案】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是21cos e θ==，故选D 【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形6、已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB 在CD方向上的投影为（ ）A.C. D.【解析与答案】()2,1AB = ，()5,5CD = ，AB CD CD∴==A 。
2013湖北高考(理科)数学试题及答案(完整版)
2013年湖北高考数学试卷（理科）WORD 版绝密 ★ 启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理科）4．将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π 5．已知04πθ<<，则双曲线22221222222:1:1cos sin sin sin tan x y y x C C θθθθθ-=-=与的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等6．已知点A （-1,1）、B （1,2）、C （-2,1）、D （3,4），则向量AB 和CD 方向上的投影为A ．322 B ．3152 C ．322 D ．31527．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()73(,/)1v t t t s v m s t=-++的单位：的单位：行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是 A ．1+25ln5 B ．118+25ln3C ．4+25ln5D ．4+50ln 2 8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为1234V V V V ，，，，这四个几何体为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有1243.AV V V V <<< 1324.BV V V V <<< 2134.C V V V V <<< 2314.DV V V V <<<9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)= A ．126125 B ．65 C ．168125 D ．7511．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示。
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2013年湖北省理科数学高考试题WORD 解析版一、选择题 1、在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析与答案】211iz i i==++，1z i ∴=-。
故选D【相关知识点】复数的运算2、已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B = （ ）A.{}|0x x ≤B.C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或【解析与答案】[)0,A =+∞，[]2,4B =，[)()0,24,R A C B ∴=+∞ 。
故选C【相关知识点】不等式的求解，集合的运算3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A.()()p q ⌝∨⌝ B. ()p q ∨⌝ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.p q ∨ 【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围” 即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。
故选A 。
【相关知识点】命题及逻辑连接词4、将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.12π B.6π C.3π D.56π【解析与答案】2cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个长度单位后变成2cos 6y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以m 的最小值是6π。
故选B 。
【相关知识点】三角函数图象及其变换5、已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等 【解析与答案】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是21cos e θ==，故选D 【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形6、已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB 在CD方向上的投影为（ ）C.【解析与答案】()2,1AB = ，()5,5CD = ，AB CD CD∴==A 。
【相关知识点】向量的坐标运算，向量的投影7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。
在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（ ）A. 125ln5+B. 11825ln3+ C. 425ln5+ D. 450ln 2+ 【解析与答案】令 ()257301v t t t=-+=+，则4t =。
汽车刹车的距离是402573425ln51t dt t ⎛⎫-+=+ ⎪+⎝⎭⎰，故选C 。
【相关知识点】定积分在实际问题中的应用8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）A. 1243V V V V <<<B. 1324V V V V <<<C. 2134V V V V <<<D. 2314V V V V <<<【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C 【相关知识点】三视图，简单几何体体积9、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。
经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为()E X = A.126125 B. 65 C. 168125 D. 75第9题图【解析与答案】三面涂有油漆的有8块，两面涂有油漆的有36块，一面涂有油漆的有54块，没有涂有油漆的有27块，所以()8365463211251251255E X =⨯+⨯+⨯=。
故选B 。
【相关知识点】古典概型，数学期望10、已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A.121()0,()2f x f x >>- B. 121()0,()2f x f x <<- C.121()0,()2f x f x ><-D. 121()0,()2f x f x <>-【解析与答案】令()12ln 0f x ax x '=-+=得021a <<，ln 21(1,2)i i x ax i =-=。
又102f a ⎛⎫'>⎪⎝⎭，121012x x a ∴<<<<。
()222111111111()ln 210f x x x ax x ax ax ax x ∴=-=--=-<，()222222211()11122f x ax x x ax ax a a =-=->->⨯-=- 故选D 。
【相关知识点】函数导数与极值，函数的性质 二、填空题 （一）必考题11、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示。
（I ）直方图中x 的值为 ；（II ）在这些用户中，用电量落在区间[)100,250内的户数为 。
第11题图【解析与答案】()0.0060.00360.002420.0012501x ++⨯++⨯=，0.0044x =()0.00360.0060.00445010070++⨯⨯=【相关知识点】频率分布直方图12、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = 。
【相关知识点】程序框图13、设,,x y z R ∈，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++=，则x y z ++= 。
【解析与答案】由柯西不等式知()()()222222212323xy z x y z ++++≥++，结合已知条件得123x y z ==，从而解得123x y z ===x y z ++=。
【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件）14、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。
如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+。
记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =-……可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = 。
【解析与答案】观察2n 和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故()2,241110N n n n =-，()10,241000N ∴=【相关知识点】归纳推理，等差数列 （二）选考题15、如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E 。
若3AB AD =，则CEEO的值为 。
【解析与答案】由射影定理知()()2222812AD AB AD CE CD AD BDEO OD OA AD AB AD -====-⎛⎫- ⎪⎝⎭【相关知识点】射影定理，圆幂定理16、在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，。
在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=。
若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 。
【解析与答案】直线l 的方程是x y m +=，作出图形借助直线的斜率可得c =，所以()2222c a c =-，e =【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化，椭圆的几何性质，直线与圆 三、解答题17、在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 。
已知()cos23cos 1A B C -+=。
（I ）求角A 的大小；OD EBA第15题图C（II ）若ABC ∆的面积S =，5b =，求sin sin B C 的值。
【解析与答案】（I ）由已知条件得：cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=，解得1cos 2A =，角60A =︒ （II）1sin 2S bc A ==4c ⇒=，由余弦定理得：221a =，()222228sin a R A == 25sin sin 47bc B C R ∴== 【相关知识点】二倍角公式，解三角函数方程，三角形面积，正余弦定理 18、已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =。
（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由。
【解析与答案】（I ）由已知条件得：25a =，又2110a q -=，13q ∴=-或， 所以数列{}n a 的通项或253n n a -=⨯（II ）若1q =-，12111105m a a a +++=- 或，不存在这样的正整数m ； 若3q =，12111919110310mm a a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，不存在这样的正整数m 。
【相关知识点】等比数列性质及其求和19、如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点。
（I ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（II ）设（I ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =。
记直线PQ与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=。
【解析与答案】（I ）EF AC ，AC ABC ⊆平面，EF ABC ⊆平面EF ABC ∴ 平面又EF BEF ⊆平面EF l ∴ l PAC ∴ 平面（II ）连接DF ，用几何方法很快就可以得到求证。