最新人教A版必修2高中数学 第四章《直线与圆的位置关系》教案
人教版高中必修(2)4.2直线、圆的位置关系教案(10)
课题：直线与圆的位置关系【课程标准】1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.【教材分析】教材选用人民教育出版社A版高中数学必修2，直线与圆的位置关系是第四章第4.2.1节的内容，是继学生学习了直线方程、圆的方程以及点到直线的距离之后进一步研究的问题，为应用解析法研究两类曲线位置关系打下基础.教材由实际问题引入，然后回顾平面几何中的直线与圆的位置关系，接着通过具体的例题总结研究直线与圆的位置关系两种常用方法.在教材的基础上，我通过创设问题情景，引导学生应用《几何画板》进行自主探索学习.【学生分析】学生已经学习了直线方程、圆的方程、两直线的位置关系以及点到直线的距离，具备利用方程研究两条直线的位置关系的基本能力，同时在初中平面几何中已经接触过直线与圆的位置关系，并且会使用《几何画板》软件.【教学目标】〖知识与技能〗1.理解直线与圆的三种位置关系的含义及图示并能判断；2.理解直线与圆的交点坐标的求法；3.能通过直线与圆的位置关系求待定量的取值范围.〖过程与方法〗1.利用《几何画板》探索直线与圆的位置关系；2.应用解析法研究直线与圆的位置关系.〖情感与态度〗1.培养学生的数形结合思想；2.培养学生应用信息技术研究数学问题的意识；3.培养学生科学、严谨的数学思维.【教学重点】判断直线与圆的位置关系并求出交点坐标.【教学难点】通过直线与圆的位置关系求待定量的取值范围.【教学理念】通过创设情景，在教师激励引导下，学生应用《几何画板》自主探索学习，在教学中渗透算法思想. 【教学方法】启发引导式，自主探索学习.【教学媒体】多媒体网络电脑室，《几何画板》软件.教案说明：本节课是研究直线与圆的位置关系的第一课时，以学生应用《几何画板》进行自主探索学习为主线，沿用研究问题的科学方法，首先观察探索、寻找规律，然后猜测、估计结果，最后严格推理求解，同时充分利用信息技术，很好地体现新课程理念.在教学过程中，打破传统课堂模式，首先由实际问题引入，强调研究直线与圆的位置关系的重要意义，充分激发学生求知欲望，接着学生回顾平面几何中直线与圆的位置关系，并由两个问题从不同的侧面探索研究，自主进行学习. 在解决问题的过程中，渗透算法，使思路更加清晰、条理更清楚.这样有利于突出教学重点，突破教学难点. 本节课除了设置两道巩固练习外，还精心编制了两道为教学进一步延伸的问题，给学生课后继续进行自主探索创设问题情景，关注学生的持续学习，培养其自学能力，同时也为后续的教学作好铺垫.本节课采用启发引导式、自主探索学习的教学方法，学生自主参与，充分地体现他们的主体地位. 教师关注学生发展的差异，帮助有困难的学生. 还通过展示学生探索的成果，促进师生之间互相交流，让学生获得成就感，激发学习的兴趣.附表图（2）判断直线与圆的位置关系代数法几何法图（1）图（3）利用直线与圆的位置关系求待定量代数法 几何法图（4）。
新人教版必修二高中数学 《直线与圆的位置关系》教学设计
高中数学 《直线与圆的位置关系》教学设计 新人教版必修2 教学目标： （1）理解直线与圆的位置关系；
（2）掌握直线与圆的位置关系的判定方法；
（3）会用方程思想和数形结合思想处理问题 ；
教学重点：直线和圆的位置关系的判定方法
教学难点：用几何法和代数法判定直线和圆的三种位置关系。
教学设计 1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）
2、归纳：（引导学生完成）
（1）直线与圆有两个公共点；（2）直线和圆有唯一公共点（3）直线和圆没有公共点 从几何角度思考: 可利用 d 与r 的关系
从代数角度思考: 可利用△
y y 22224:6,240:3420203420l y x x y l x y x x x y =++--=++=+-=++=P140练习 ，已知圆判断直线和圆有无公共点，有几个公共点。
3，判断直线和圆 的位置关系
2，已知直线与圆心在原点的圆相切， 求圆的方程。
22240,C x y y +--=和圆心为的圆：试判断直线L 和圆的位置关系；
如果相交，求它们的交点坐标。
:360l x y +-=例题1 :已知直线
思想与方法提炼
1．处理直线与圆的位置问题的主要方法有：（1）代数方法即方程方法（利用△）；
（2）几何方法（利用距离关系）；
2．方程的思想和数形结合的思想是处理解析几何的基本思想．
课后作业Ｐ１４４页２，３．
仅此学习交流之用
谢谢。
人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系教案(1)
教学设计课题：§4.2.1直线与圆的位置关系（第1课时）课题: §4.2.1直线与圆的位置关系（第1课时）【教材分析】直线与圆的位置关系是必修2第4章第2节第一课时内容，是继直线方程、圆的方程之后，研究解析几何曲线与曲线之间位置关系的重要课题之一。
从知识体系上看，它安排在“点和圆的位置关系”之后，“圆与圆的位置关系”之前；从数学思想方法上看，它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的联系。
因此，直线与圆的位置关系在圆的一章中起到承上启下的作用。
直线与圆的位置关系判断的方法、建立过程中蕴涵着诸多的数学思想方法，“坐标法”研究直线与圆的位置关系是对圆的方程应用的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础。
【学情分析】(1)知识储备学生在初中平面几何部分已经学习了直线与圆的位置关系，知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小，判断直线与圆的位置关系。
通过数学文化渗透引导学生感受解析几何产生的背景和价值，为学生感受用代数方法解决几何问题的解析几何思想，为本节课的重点用“坐标法”解决平面解析几何问题做好铺垫。
(2)心理特征上课班级为高级中学理科平行班的学生。
根据高级中学已有学生的数学素养和高一学生的认知特点及心理特征，确定本节课的情感目标为让学生感受数学思想文化的价值。
引导学生感受源远流长的数学文化背景，体会代数方法解决几何问题的奇妙，感受代数与几何对立统一的关系。
博大精深的数学文化可以恰如到好处的满足学生的心理需求，同时在意识领域让学生从数学文化背景中感受古人的智慧，膜拜古人持之以恒追求知识的精神，可以进一步激发学生对知识的渴望、对伟大数学家的仰望和敬意。
而高一阶段的学生逻辑思维较初中学生有了大部分的提升，同时学生的观察能力、想象能力在迅速发展。
这个年龄的学生好奇心强、喜欢表现，注意力容易分散，教师采用生动形象、形式多样的教学方法使学生广泛的、积极主动的参与到教学中，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上。
人教A版高中数学必修2 4.2.1直线与圆的位置关系教学设计
《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2第四章教学设计《4.2.1 直线与圆的位置关系》教学设计【教学目标】知识与技能（1）理解直线与圆的三种位置关系；（2）会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系；（3）能解决与弦有关的一些问题；过程与方法（1）经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式；（2）强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力；情感态度与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想；【重点难点】1、重点：直线与圆的位置关系及其判断方法、解决与弦有关的一些问题；2、难点：体会和理解代数法解决几何问题的数学思想；【教学方法】合作交流,自主探究【教学用具】多媒体【教学过程】一、实例引入一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？（1）以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中取10km为单位长度，你能写出其中的直线方程与圆的方程吗？（2）如何用直线方程与圆的方程判断它们的位置关系，请谈谈你的想法？【解析】（1）直线方程：174x y+=，即47280x y +-=；圆的方程：229x y +=；（2）根据学生已有经验，判断直线与圆的位置关系，一种方法，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后比较这个距离与半径的大小作出位置关系的判断；另一种方法，就是看由它们组成的方程组有无实数解；学生交流，讨论，归纳总结； 二、探究新知探究1：直线与圆的位置关系的判定方法问题1：想一想，平面几何中，直线与圆的位置关系有哪些？在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？现在，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？【典例剖析】例1、如图，已知直线:360l x y +-=和圆心为C 的圆22240x y y +--=， 判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标. 分析：方法一：判断直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系； 【解析】解法一：联立方程22360(1)240(2)x y x y y +-=⎧⎨+--=⎩消去y 得：2320x x -+=， 因为10∆=>，所以直线l 与圆相交，有两个公共点.解法二：圆22240x y y +--=可化为22(1)5x y +-=，圆心(0,1)C ，半径r =(0,1)C 到直线l 的距离d ==<所以直线l 与圆相交，有两个公共点.由2320x x -+=，解得12x =，21x =，把12x =代入方程（1），得10y =；把21x =代入方程（1），得23y =； 所以，直线l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：(2,0),(1,3)A B . 归纳总结:判断直线与圆的位置关系有两种方法：方法一：判断直线圆C 与圆C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l 与圆C 有公共点．有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离．方法二：判断圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系．如果d <r ，直线l 与圆C 相交；如果r d =，直线l 与圆C 相切；如果d >r ，直线l 与圆C 相离．三、巩固练习练习1：直线02=--y x 与圆1)1()1(22=-+-y x 的位置关系是 ； 练习2：直线012=-+y x 与圆01222=+-+-y y x x 的位置关系是 ； 练习3：设直线过点),0(a ，其斜率为1，且与圆222=+y x 相切，则=a 。
高中数学人教A版必修2《4.2.1直线与圆的位置关系》教案5
必修二4.2.1直线与圆的位置关系●三维目标1．知识与技能(1)理解直线与圆的三种位置关系．(2)掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法．2．过程与方法(1)通过直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式．(2)强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过学生的自主探究、小组讨论合作，培养学生的团队精神和主动学习的良好习惯．●重点难点重点：掌握用几何法和解析法判断直线与圆的位置关系；能用直线与圆的方程解决一些简单的实际问题．难点：灵活地运用“数形结合”、解析法来解决直线与圆的相关问题．重难点突破：以平面几何中直线与圆的三种位置关系为切入点，通过对教材实例的探究，结合解析法解决问题的步骤，使学生的思维实现从“形”到“数”的转化，即从“方程”角度来判断直线与圆的三种位置关系，难点顺利突破．为更好的突出用解析法来解决直线与圆的相关问题的优越性，教师可适当引入案例，以帮助学生实现知识的内化．●教学建议本节课既是对直线与圆的方程应用的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系的基础．由于直线与圆的三种位置关系学生已经非常熟悉，且从直线与圆的直观感受上，学生已懂得从圆心到直线的距离与圆的半径相比较来研究直线与圆的位置关系，故本节课的核心是“如何用‘数’的关系来判断直线与圆的位置关系”，引导学生学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础．为此，可类比直线与直线的交点坐标的求法，引导学生用解析法探求直线与圆的位置关系的思想，让学生认识到解析法解决平面几何问题的优越性；在问题解决过程中，提高学生知识水平的同时渗透了“数形结合”的思想方法，培养学生从多角度思考问题的发散性思维能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何判断直线与圆的位置关系？⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握圆的切线方程的求法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握圆的弦长求法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读 1.理解直线和圆的三种位置关系．(重点) 2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．(重点)3.能解决直线与圆位置关系的综合问题．(易错点、难点)直线与圆的位置关系及判断【问题导思】大海上初升的红日，冉冉升起中，展现着迷人的风采，同时也体现了直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．1．如果直线与圆相交，则圆心到直线的距离d同圆的半径r什么关系？【提示】d<r.2．能否利用代数的方法，即通过联立直线和圆的方程，依据方程组解的个数，判定直线和圆的位置关系？【提示】能．直线与圆的位置关系的判定方法(1)代数法：直线与圆的方程联立消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，此方程的判别式为Δ，则直线与圆相交⇔Δ>0；直线与圆相切⇔Δ＝0；直线与圆相离⇔Δ<0.(2)几何法：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d<r；直线与圆相切⇔d＝r；直线与圆相离⇔d>r.直线与圆位置关系的判断图4－2－1如图4－2－1所示，已知直线l ：y ＝kx ＋5与圆C ：(x －1)2＋y 2＝1.(1)当k 为何值时，直线l 与圆C 相交？ (2)当k 为何值时，直线l 与圆C 相切？ (3)当k 为何值时，直线l 与圆C 相离？【思路探究】 思路一：联立l 和C 的方程――→消元一元二次方程――→判断Δ的符号直线与圆的位置关系思路二：求圆心C 到直线l 的距离d ―→比较d 与l 的大小关系―→下结论【自主解答】 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5，(x －1)2＋y 2＝1消去y ，得(x －1)2＋(kx ＋5)2＝1， 即(k 2＋1)x 2＋(10k －2)x ＋25＝0，则Δ＝(10k －2)2－4×25(k 2＋1)＝－96－40k . (1)当Δ>0，即k <－125时，直线l 与圆C 相交．(2)当Δ＝0，即k ＝－125时，直线l 与圆C 相切．(3)当Δ<0，即k >－125时，直线l 与圆C 相离．法二 圆C 的圆心C (1,0)，半径r ＝1，由点到直线的距离公式得圆心C 到直线l 的距离d ＝|k ＋5|1＋k 2. (1)当|k ＋5|1＋k 2<1，即k <－125时，直线l 与圆C 相交．(2)当|k＋5|1＋k2＝1，即k＝－125时，直线l与圆C相切．(3)当|k＋5|1＋k2>1，即k>－125时，直线l与圆C相离．直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．(2012·陕西高考)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能【解析】将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内．∴过点P的直线l定与圆C相交．【答案】 A圆的切线问题(2013·济宁高一检测)若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．【思路探究】判断点P与圆的位置关系―→设l的方程―→利用几何法或代数法求l的方程【自主解答】∵(2－1)2＋(3＋2)2>1，∴点P在圆外．法一①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，因为直线l 与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以|5－k|k2＋1＝1，所以k＝125.所以直线l的方程为y－3＝125(x－2)，即12x－5y－9＝0.②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.法二①若直线l的斜率存在，设l ：y －3＝k (x －2)， 即y ＝k (x －2)＋3， 与圆的方程联立消去y 得： (x －1)2＋[k (x －2)＋3＋2]2＝1，整理得(k 2＋1)x 2－(4k 2－10k ＋2)x ＋4k 2－20k ＋25＝0， ∴Δ＝(4k 2－10k ＋2)2－4(k 2＋1)(4k 2－20k ＋25)＝0， ∴k ＝125.此时直线l 的方程为y －3＝125(x －2)，即12x －5y －9＝0. ②若直线l 的斜率不存在，则直线l ：x ＝2也符合要求． 所以直线l 的方程为12x －5y －9＝0或x ＝2.1．本题求解采用了两种不同的方法，显然方法一较方法二简捷明了，一般地求圆的切线方程或与切线有关的问题常用方法一．2．过圆外一点引圆的切线必定有两条，当用几何法求得切线的斜率值只有一个时，另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合法求得．(2013·临沂高一检测)直线x＋y＝m与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则实数m的值为________．【解析】由题意可知，圆x2＋y2＝m的圆心(0,0)到直线x＋y＝m的距离等于半径．即|m|12＋12＝m.又m>0，∴m＝2.【答案】 2圆的弦长问题求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长．【思路探究】 方程组→解出交点坐标→ 两点间距离即弦长或方程组→得x 1＋x 2与x 1·x 2→弦长公式求弦长或圆心到直线的距离→构造直角三角形求弦长【自主解答】 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，得交点A (1,3)，B (2,0)，∴弦AB 的长为|AB |＝(2－1)2＋(0－3)2＝10.法二 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，消去y 得x 2－3x ＋2＝0.设两交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝2. ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(x 2－x 1)2＋[－3x 2＋6－(－3x 1＋6)]2 ＝(1＋32)(x 2－x 1)2 ＝10[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝10×(32－4×2)＝10， 即弦AB 的长为10.法三 圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0可化为x 2＋(y －1)2＝5，其圆心坐标(0,1)，半径r ＝5，点(0,1)到直线l 的距离为d ＝|3×0＋1－6|32＋12＝102，所以半弦长为|AB |2＝r 2－d 2＝ (5)2－(102)2＝102， 所以弦长|AB |＝10.图1求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有(|AB |2)2＋d 2＝r 2.即|AB |＝2r 2－d 2.图2(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|，其中k为直线l的斜率．(2012·重庆高考)设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝() A．1 B.2 C.3D．2【解析】直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.【答案】D忽略直线斜率不存在的情况致误已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线a过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝23，求直线a的方程．【错解】设直线a的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.如图所示，作MC⊥AB于C，在直角三角形MBC中，BC ＝3，MB ＝2，MC ＝MB 2－BC 2＝1，由点到直线的距离公式得点M (1,1)到直线a 的距离为|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线a 的方程为3x －4y ＋6＝0.【错因分析】 错解忽略了直线a 的斜率不存在的情况．【防范措施】 点斜式方程并不能表示斜率不存在的情况，故在求直线方程时，若设点斜式方程，根据条件求得斜率后，应注意验证斜率不存在的情况是否满足题意．本题就是忽略了斜率不存在的特殊情况而出错的．【正解】 ①当直线a 的斜率存在时，设直线a 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.如错解中的图所示，作MC ⊥AB 于C ，在直角三角形MBC 中， BC ＝3，MB ＝2，MC ＝MB 2－BC 2＝1，由点到直线的距离公式得点M (1,1)到直线a 的距离为|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1， 解得k ＝34，所以直线a 的方程为3x －4y ＋6＝0.②当直线a 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 圆心到此直线的距离也是1，所以适合题意． 综上，直线a 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2.1．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【解析】圆心到直线的距离d＝11＋1＝22<1，又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴直线与圆相交但不过圆心．【答案】 B2．直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于( ) A.3或－ 3 B ．－3或3 3 C ．－33或 3 D ．－33或3 3【解析】 把圆的方程化成标准方程(x －1)2＋y 2＝3， 由已知得|3×1－0＋m |(3)2＋(－1)2＝3，即|m ＋3|＝2 3.∴m ＝－33或m ＝ 3. 【答案】 C3．直线y ＝x 与圆(x －2)2＋y 2＝4交于点A ，B ，则|AB |＝________.【解析】 圆心(2,0)到直线x －y ＝0的距离d ＝|2－0|2＝2，又圆的半径为r ＝2，则(|AB |2)2＋d 2＝r 2.解得|AB |＝2 2. 【答案】 2 24．a 为何值时，直线2x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)相离、相切、相交？ 【解】 由圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)，知圆心为O (0,0)，半径为a ，O 到直线2x －y ＋1＝0的距离为d ＝122＋12＝55. (1)若直线与圆相离，则d >r ，即55>a ，∴0<a <55. (2)若直线与圆相切，则d ＝r ，即a ＝55. (3)若直线与圆相交，则d <r ，即a >55. 综上所述，当0<a <55时，直线与圆相离；当a ＝55时，直线与圆相切；当a >55时，直线与圆相交.一、选择题1．(2012·辽宁高考)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0【解析】因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.【答案】 C2．(2013·长沙高一检测)以(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9【解析】根据题意知点(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离与半径长相等，所以r＝|6＋4＋5|＝3，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.32＋(－4)2【答案】 C3．(2012·湛江高二检测)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相交B．相离C．相交或相切D．相切【解析】直线x－ky＋1＝0过定点(－1,0)，而点(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交．【答案】 C4．(2012·衢州高二检测)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0 B．x－3y＋2＝0C．x－3y＋4＝0 D．x＋3y－4＝0【解析】 ∵12＋(3)2－4×1＝0，∴点P (1，3)在圆上．又圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心A (2,0)，又题意可知切线与直线P A 垂直． 又k P A ＝31－2＝－3，∴所求切线的斜率k ＝33.由点斜式得y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 【答案】 B5．(思维拓展题)在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，故圆上有3个点满足题意．【答案】 C 二、填空题6．设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于点A ，B ，则弦AB 的垂直平分线的方程是________．【解析】 将x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准形式为(x －1)2＋y 2＝4，圆心为(1,0)．直线2x ＋3y ＋1＝0的斜率k ＝－23，∴AB 的垂直平分线的斜率为32，∴AB 的垂直平分线为y －0＝32(x－1)，即3x －2y －3＝0.【答案】 3x －2y －3＝07．(2013·开封高一检测)圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是________．【解析】 圆的方程化为标准式得(x －2)2＋(y －2)2＝18. 圆心(2,2)到直线x ＋y －14＝0的距离 d ＝|2＋2－14|2＝52，直线与圆相离，从而圆上点到直线的最小距离为52－r ＝52－32＝22，最大距离为52＋32＝82，故最大距离与最小距离的差是6 2.【答案】 6 28．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．【解析】 由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k ，则直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，又圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，∴圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|1＋k 2＝1－(22)2，解得k ＝1或177. 【答案】 1或177三、解答题9．已知圆x 2＋y 2＝2和直线y ＝x ＋b ，当b 为何值时，直线与圆 (1)相交；(2)相切；(3)相离？【解】 圆心(0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离d ＝|b |2，圆的半径为r ＝ 2. (1)当d <r ，即－2<b <2时，直线与圆相交； (2)当d ＝r ，即b ＝±2时，直线与圆相切； (3)当d >r ，即b <－2或b >2时，直线与圆相离． 10．(2013·济宁高一检测)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4. (1)求过点P (1,2)且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程． 【解】 (1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)，则由|2－k |k 2＋1＝2得k 1＝0，k 2＝－43，故所求的切线方程为y ＝2或4x ＋3y －10＝0.(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2，∴d ＝1，∴1＝|－k ＋2|k 2＋1，∴k ＝34，此时直线方程为3x－4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )． (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程．【解】 (1)证明：因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即l 恒过定点A (3,1)．因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)， 所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点． (2)由题意可知弦长最小时，l ⊥AC . 因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2.又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0， 求：(1)yx的最大值；(2)y －x 的最小值．【思路探究】 将x 2＋y 2－4x ＋1＝0，yx ，y －x 赋予几何意义，利用数形结合来解决．【自主解答】 将实数x ，y 看作点P (x ，y )的坐标，满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0的点P (x ，y )组成的图形是以M (2,0)为圆心，3为半径的圆，如图所示．(1)设y x ＝y －0x －0＝k ，即y x是圆上的点P 与原点O 连线的斜率． 由图知，直线y ＝kx 和圆M 在第一象限相切时，k 取最大值．此时有OP ⊥PM ，|PM |＝3，|OM |＝2，∴∠POM ＝60°.此时k ＝tan 60°＝3，∴y x 的最大值为 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，b 是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．由图知，当直线y ＝x＋b 和圆M 在第四象限相切时，b (b <0)取最小值，此时有|2＋b |2＝3，解得b ＝－6－2， ∴y －x 的最小值是－6－2.利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，把问题转化为求此几何量的最值问题；再从几何直观出发，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题．这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形结合．常见的数形结合点是直线方程、圆的方程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y 轴上的截距等．如果实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求y x的最大值与最小值．【解】 设P (x ，y )，则P 点的轨迹就是已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝6.而y x的几何意义就是直线OP 的斜率， 设y x＝k ，则直线OP 的方程为y ＝kx . 由图可知，当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．∵点C(3,3)到直线y＝kx的距离d＝|3k－3|k2＋1，∴当|3k－3|k2＋1＝6，即k＝3±22时，直线OP与圆相切．∴yx的最大值与最小值分别是3＋22与3－2 2.。
人教A版高中数学必修2 4.2.1直线与圆的位置关系(教学设计)
人教A版高中数学必修2课题：4.2.1直线与圆的位置关系【教材分析】《直线、圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容。
它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用解析法进一步研究直线与圆的位置关系，它既是对圆的方程的应用和拓展，又是研究圆和圆的位置关系的基础，并且为后续研究直线和圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。
【学生学情分析】在初中，学生已经直观的讨论过直线与圆的位置关系,前阶段又学习了直线方程和圆的方程。
本节课主要以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，让学生利用已有的知识，探究直线与圆的位置关系的判断方法。
通过学生参与问题的解决，让学生体验有关的数学思想，培养“数形结合”的意识。
【教学目标】（一）知识与技能：理解直线与圆三种位置关系；能根据直线、圆的方程，用代数法和几何法判断直线与圆位置关系；掌握直线和圆的位置关系判定的应用，会求弦长.（二）方法与过程：通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、合作交流的学习方式；强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．（三）情感态度与价值观：让学生亲生经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“数形结合”等数学思想的内涵，养成良好的思维习惯.【教学重点与难点】重点：直线与圆的位置关系的判断方法.难点：灵活的运用“数形结合”解决直线和圆相关的问题．【课型】新课【课时安排】1节课【教法、学法指导、教学手段】教法“引导-探究”教学法、“命名”教学法、“题组”教学法；学法：观察发现、自主探究、合作交流、变式学习、归纳总结、应用提高;教学手段：多媒体教学【教学准备】学生学情，课件、教学设计，学生课堂练习题；彩色粉笔，翻页笔。
间的位置关系呢？方法一：可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的方法二，由直线l(–问题6过点M【板书设计】有两个公共点直线和圆相交有惟一公共点直线和圆相切直线和圆相离。
4.2《直线与圆的位置关系》教案(新人教必修2)
《直线与圆的地点关系》的教课方案青岛第十五中学苏延红A 版数学②第四章第一、教课课题：人民教育第一版社第一版的一般高中课程标准实验教科书二节“直线与圆的地点关系”第一课时。
二、设计重点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种地点关系，在前方几节课学习了直线与圆的方程，所以，本节课主要以问题为载体，经过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去研究用坐标法研究直线与圆的地点关系的方法。
用过学生的参加和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提升学生自主学习、剖析问题和解决问题的能力，培育学生“用数学”及合作学习的意识。
三、教课目的：1．知识目标：能依据给定直线、圆的方程判断直线与圆的地点关系，并解决有关的问题；2 ．能力目标：经过理论联系实质培育学生建模能力，培育学生数形联合思想与方程的思想；3．感情目标：经过学生的自主研究，培育学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。
四、教课重点、难点、重点：（1 ）重点：用坐标法判断直线与圆的地点关系（2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的地点关系方法的理解（3）重点：显现数与形的关系，启示学生思虑、研究。
五、教课方法与手段：1．教课方法：研究式教课法2。
教课手段：多媒体、实物投影仪六、教课过程：1．创建情境，提出问题教师利用多媒体显现以下问题：问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预告：台风中心位于轮船正西50km 处，遇到影响的范围是半径长为 30km的圆形地区，已知港口位于台风中心正北50km 处，假如这艘轮船不改变航线，那么它能否会遇到台风的影响？教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们着手试试看。
设计企图：让学生从数学角度看平时生活中的问题，体验数学与生活的亲密联系，激发学生的研究热忱。
2．切入主题，提出课题（1）由学生将问题数学建模，显现平面几何解决方法，得出结论。
教师率领学生一同回首初中所学直线与圆的三种地点关系及判断方法。
高中数学必修2(人教A版)教案—4.2.1直线与圆的位置关系
4. 2.1 直线与圆的位置关系【教学目标】１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．【教学重难点】教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 【教学过程】㈠情景导入、展示目标 问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km 处，受影响的范围是半径长为30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？运用平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下. ㈡检查预习、交流展示1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？ 2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？ ㈢合作探究、精讲精练探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？教师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这个实际问题中如何建立直角坐标系？学生：以台风中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立直角坐标系，其中，取10km 为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O 的圆的方程为922=+y x轮船航线所在直线 l 的方程为082=-+y x .教师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系. 让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。
教师对学生在知识上进行适当的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究. 由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法： 方法一：代数法由直线与圆的方程，得：⎩⎨⎧=-+=+082922y x y x 消去y ，得0,74x 2x 2=+-因为040724(-4)2＜△-=⨯⨯-= 所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。
高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系教案 新人教A版必修2
4.2.1 直线与圆的位置关系（一）教学目标1．知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.（二）过程与方法设直线l ：ax + by + c = 0，圆C ：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r ，圆心(,)22D E --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当d ＞r 时，直线l 与圆C 相离；（2）当d ＝r 时，直线l 与圆C 相切；（3）当d ＜r 时，直线l 与圆C 相交3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.（二）教学重点、难点重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系.分析：方法一：由直与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直即圆心到所求直线l的距离为因为直线l过点M (–所以可设所求直线l的方程为 + 3 = k (x + 3)，k x–y + 3k–3 = 0.例1 已知圆的方程x 2 + y 2 = 2，直线y = x + b ，当b 为何值时， （1）圆与直线有两个公共点； （2）圆与直线只有一个公共点； （3）圆与直线没有公共点.解法1：圆心O (，0)到直线y = x + b 的距离为d =r =（1）当d ＜r ，即–2＜b ＜2时，直线与圆相交，有两个公共点； （2）当d = r ，即b = 2±时，直线与圆相切，有一个公共点； （3）当d ＞r ，即b ＞2或b ＜–2时，直线与圆相离， 无公共点.解法2：联立两个方程得方程组222x y y x b⎧+=⎨=+⎩.消去y 2得2x 2 + 2bx + b 2 – 2 = 0，∆=16 – 4b 2.（1）当∆＞0，即–2 ＜b ＜2时，直线与圆有两个公共点；（2）当∆＝0，即2b =±时，直线与圆有一个公共点； （3）当∆＜0即b ＞2或b ＜–2时，直线与圆无公共点.例2 直线m 经过点P (5，5)且和圆C ：x 2 + y 2 = 25相交，截得弦长l 为m 的方程.【解析】设圆心到直线m 的距离为 d ，由于圆的半径r = 5，弦长的一半2l=，所以由勾股定理，得：d 所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即kx – y + 5 – 5k = 0.=，得12k =或k = 2. 所以直线m 的方程为x – 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0.例3 已知圆C ：x 2 + y 2 – 2x + 4y – 4 = 0. 问是否存在斜率为1的直线l ， 使l 被圆C 截得弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点.【解析】假设存在且设l 为：y = x + m ，圆C 化为(x – 1)2 – (y + 2)2 = 9，圆心C (1，–2).解方程组2(1)y x m y x =+⎧⎨+=--⎩得AB 的中点N 的坐标11(,)22m m N +--，由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN | = |ON |.又||AN ==，||ON =所以22(3)(1)19()222m m m ++--=+解得m = 1或m = –4.所以存在直线l ，方程为x – y + 1 = 0和x – y – 4 = 0， 并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的.。
【高中数学】新人教版必修二高中数学直线与圆的位置关系教案
【高中数学】新人教版必修二高中数学直线与圆的位置关系教案新人教版A版必修2 课程标准1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系。
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3、在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
学习目标重点难点重点：1、判断直线与圆的位置关系；2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
难点：直线与圆的方程的应用。
知识树学习过程学习内容（任务）及问题学习活动及行为【模块一】直线与圆的位置关系的判定问题1、初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？我们是怎样判断直线与圆的位置关系的？问题2、通过学习教科书的例1第1问，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？练习1、判断直线与圆的位置关系。
3420l :x y ++=22:20C x y x +-= 练习2、已知直线和圆，当实数取何值时，直线与圆相交、相切、相离？:=+l y x b 22:+=4C x y b 评价：学生能正确利用几何方法判断直线与圆的位置关系。
【模块二】直线被圆截得的弦长问题问题1、阅读教材例1第2问和例2，你能找到求弦长的方法吗？分别从几何和代数两个角度阐述求弦长的方法。
问题2、总结用几何法求圆内弦长的步骤。
练习1. 求直线被圆所截得的弦的长度。
21=0x y --22+21=0x y y -- 练习2. 已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程。
M （-3,-3）l 22+421=0x y y +-5l拓展变式：已知过点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方程。
M （-3,-3）l 22+421=0x y y +-l 练习3. 已知为圆内一定点，(1,2)P -228x y +=求（1）过点且被圆所截得的弦最短的直线方程；P （2）过点且被圆所截得的弦最长的直线方程。
P拓展练习：过点作圆的弦，其中弦长为整数的直线共有条。
(11,2)A 22+24164=0x y x y +-- 练习 4. 自圆上的点引圆的弦，求弦的中点的轨迹方程。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》教案2
《直线与圆的位置关系》教案教学目标1. 了解直线和圆的位置关系，能判断直线和圆的位置关系；掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题．2. 理解直线和圆的三种位置关系，感受直线和圆的位置与它们的方程之间代数与几何之间的转化关系；体验通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小及通过方程组的解的个数判断直线与圆的位置关系，能用直线和圆的方程解决一些条件下圆的切线问题；领会数形结合的数学思想方法，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.3. 通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度.教学重点难点1．重点：（1）能根据给定直线、圆的方程，判断直线和圆的位置关系．（2）能用直线与圆的方程解决一些简单的问题.2．难点：直线与圆的方程的应用．教法与学法1．教法选择：创设情境，激发兴趣——讨论归纳，得出新知——尝试练习，感知新知——典例分析，应用新知——归纳方法，知识升华——课堂练习、体验成功——师生归纳，形成体系——分层作业，拓展提高．2．学法指导：（1）让学生从代数和几何两个角度来解决直线与圆的位置关系问题，并体会几何法的优越性．（2）在用代数法解决直线与圆的位置关系时，要能够明确运算方向，把握关键步骤，正确的处理较为复杂数据.教学过程：一、创设情境激发兴趣讨论归纳得出新知直线与圆的位置关系的探究（一）除了利用公共点个数判断直线与圆的位置关系，还有其他的方法吗？教师引导学生观察图形，由学生归纳得到.1.（动手操作）利用公共点个数判断直线4340x y+=和圆22100x y+=的的位置关系.学生通过观察，从两直线的交点坐标的求解是联立方程组得到的这一思想出发，可初步得到求直线与圆的交点的坐标也可转化为求224340100x yx y+=⎧⎨+=⎩的解.在引导学生解决问题的同时，诱导学生对于方程组的解的个数与交点的个数，及直线与圆的位置关系的进一步的认识和归纳.总结直线与圆的位置关系：（1）方程解的个数①圆与直线相切，方程组有唯一解；②圆与直线相交，方程组有两组解；③圆与直线相离，方程组有无解．（2）判断△的符号：若△＞0，则直线与圆相交；若△＝0，则直线与圆相切；若△＜0，则直线与圆相离．2.利用半径与距离来判断直线4340x y+=和圆22100x y+=的的位置关系.引导学生先求圆心坐标，R，再求距离，最后比较半径与距离的关系.总结直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.仔细观察后填空：身于实际的问题中，经历具体的问题的求解，从而升华为解决问题的思想方法，体现了由特殊到一般的思想三、思维拓展，课堂交流四、归纳小结，课堂延展1．教材地位分析：《直线与圆的位置关系》是圆的方程应用的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础.在直线与圆的位置关系的内容中，其中蕴涵着诸多的数学思想方法，这对于进一步探索、研究后续内容有很强的启发与示范作用.因此，直线和圆的位置关系在圆一章中起着承上启下的作用.2．学生现实状况分析：对于直线的方程和圆的方程，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交.从直线与圆的直观感受上，学生懂得从圆心到直线的距离与圆的半径相比较来研究直线与圆的位置关系.但是学生知识系统化，结构化有待加强.3. 教学中应根据高中学生的认知规律和特点，按照由浅入深、由易到难的原则.通过生活实例创设情境，进而迁移到研究直线与圆的位置关系.通过建系量化图形，联立方程，计算交点来研究微观中的几何图形的性质，再到利用半径与距离关系研究几何图形的性质，使学生明白“条条道路通罗马”的道理，增强了学生分析问题和解决问题的信息.4．让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“坐标法”等数学思想的内涵，感受“形”与“数”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用，养成良好的思维习惯.。
人教课标版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》教案-新版
人教课标版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》教案-新版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN4.2.1 直线与圆的位置关系（一）核心素养通过学习直线与圆的位置关系，掌握解决问题的方法——代数法、几何法.（二）学习目标1.清楚圆与直线的三种位置关系.2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法.4.求过点的圆的切线方程.（三）学习重点1.直线与圆的位置关系的判断方法.2.用直线和圆的方程解决问题.（四）学习难点1.用直线和圆的方程解决问题.2.用坐标法判直线与圆的位置关系.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材，填空：直线与圆的三种位置关系的几何含义是：直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系图形相交2个d<r相切1个d=r相离0个d>r（2）记一记：直线与圆的位置关系的判断方法方法一：代数方法步骤：1.将直线方程与圆的方程联立成方程组.2.利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.3.求出其判别式Δ的值.4.比较Δ与0的大小关系，若Δ＞0，则直线与圆相交；若Δ=0，则直线与圆相切；若Δ＜0，则直线与圆相离.反之也成立.方法二：几何法1.利用点到直线距离公式计算圆心到直线的距离d.2.计算出圆的半径为r.3.比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系，若d＞r，则直线与圆相离；若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切. 反之也成立.2.预习自测（1）直线与圆有一个交点称为_____，有两个交点称为_____，没有交点称为____.【知识点】直线与圆位置关系定义【数学思想】分类与整合【解题过程】根据定义填空【思路点拨】看图理解定义【答案】相切、相交、相离.（2）直线与圆的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆，若方程组仅有一组解，则直线与圆，若方程组有两组不同的解，则直线与圆_____. 【知识点】直线与圆位置关系定义【数学思想】分类与整合、数形结合【解题过程】根据定义填空【思路点拨】理解方程的解的定义【答案】相离、相切、相交.（3）直线210x y +-=与圆()()()222110x y r r -+-=>相交，求r 的取值范围. 【知识点】直线与圆位置关系 【数学思想】 函数与方程 【解题过程】圆心到直线的距离d =，因为相交，所以r d >= 【思路点拨】圆心到直线的距离与半径的关系 【答案】552r >（4）判定直线34120x y +-=与圆22(3)(2)4x y -+-=位置关系是 . 【知识点】直线与圆位置关系【解题过程】圆心(3,2)到直线的距离1d =，d r <，所以相交 【思路点拨】圆心到直线的距离与半径的关系 【答案】相交. (二)课堂设计 1.知识回顾（1）直线与圆的方程（2）直线与圆的位置关系和等价条件 （3）两点间的距离和点到直线的距离公式 2.问题探究探究一 结合实例，认识圆与直线的平面位置关系★ ●活动① 清楚圆与直线的位置关系我们清楚两个物体在空间位置关系有上下前后左右这几种，那么我们了解在名片上两个图形同样也有上下左右的位置关系.那么圆和直线这两种图形的位置关系我们应该如何称呼呢？首先我们设想自己正在海边观看日出：当看到太阳从海岸线上升起的时候，太阳和地平线之间的位置关系叫什么呢？当看到太阳与海岸线相切的时候呢太阳完全升起来的时候呢根据课本知识和图像我们知道直线与圆的位置关系根据两个图形的交点个数可以分为相交、相切、相离三种.请完成下列空格：直线与圆有一个交点称为_____，有两个交点称为_____，没有交点称为____. 【答案】相切、相交、相离【设计意图】从实际问题中引入圆与直线位置关系，并运用课本中知识来解答实际问题，巩固预习成果，明确直线与圆的位置关系.●活动②辨析概念、学会根据图像判别直线与圆的位置关系请看图判断直线与圆位置的关系.【答案】相离、相切、相交.【设计意图】通过图片显示直线与圆的位置关系并让同学们加以辨析，明确概念理解与专业名词的运用，加深记忆同时检验预习成果. 探究二 探究判断圆与直线位置关系的方法 ●活动① 回顾直线与圆的方程大家能够说出直线解析式的通式吗（抢答） (1)点斜式：11()y y k x x -=- (2)斜截式：y kx b =+ (3)两点式：1121212121(,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠-- (4)截距式：1(0,0)x ya b a b+=≠≠ (5)一般式：0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0). 大家能够说出圆的三种方程吗（抢答）(1)圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=(2)圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=(D 2＋E 2－4F ＞0).(3)圆的直径式方程：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的两端点是1122(,),(,)A x y B x y .【设计意图】通过回顾直线和圆方程的知识，为后面学习使用代数方法求直线与圆位置关系打下基础.●活动② 做例题初步认识代数和几何方法的解题思路已知直线:360l x y +-=圆心为C 的圆22240x y y +--=,判断直线l 与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标. （书本例题）【设计意图】从课本的例子出发，让同学们初步建立代数方法和几何方法解决此类问题的解题方法和思路.●活动③ 直线与圆位置关系中的参数取值问题例1 已知圆的方程是222x y +=,直线y x b =+,当b 为何值时,（1）圆与直线有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点. 【知识点】直线与圆的位置关系、不等式 【数学思想】分类讨论【解题过程】联立方程求判别式或者计算距离【思路点拨】判别式法或者圆心到直线的距离与半径比较 【答案】（1）22-<>b b 或（2）22-==b b 或（3）22<<-b同类训练 设m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,则的取+m n 值范围（ ）.A [1- .B (,1[1+3,+)-∞∞.C [2-.D (,2[2+22,+)-∞-∞【知识点】直线与圆的位置关系、不等式 【数学思想】方程不等式【解题过程】利用相切求出,m n 关系，再用重要不等式求出范围 【思路点拨】利用相切找条件 【答案】D探究三 直线被圆截得的弦长的常用方法★ ●活动① 直接求弦长的方法例2 在平面直角坐标系xoy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为5552. 【知识点】垂径定理、弦长公式 【数学思想】数形结合【解题过程】 解法一：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ==所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为=解法二：利用韦达定理得到直线与圆的两个交点()11,y x 和()22,y x 有5525;5262121===⋅-=-=+a c x x a b x x 2x -求出弦长. 【思路点拨】垂径定理、韦达定理【答案】5同类训练 求直线0x -+=被圆224x y +=截得的弦长. 【知识点】垂径定理、弦长公式 【数学思想】数形结合【解题过程】法一：求出圆心到直线距离，利用垂径定理； 法二：韦达定理，弦长公式 【思路点拨】垂径定理、韦达定理 【答案】2●活动② 已知弦长，转化为圆心到直线的距离来求参数例3 已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ).A 2- B .4- C .6- D .8- 【知识点】垂径定理 【数学思想】数形结合【解题过程】圆的标准方程为()()a y x -=-++21122，圆心C (－1，1)，半径r满足a r -=22，则圆心C 到直线02=++y x 的距离d ==所以2r ＝4＋2＝2－a .4a =- 【思路点拨】垂径定理 【答案】B同类训练 已知过点(3,3)M --的直线l 被圆224210x y y ++-=所截得的弦长为45,求直线l 的方程.【知识点】直线的点斜式、弦长公式 【数学思想】分类讨论、转化思想【解题过程】(0,2),5,r -=圆心设直线为3(3),330y k x kx y k +=+-+-=即，l d d ===弦长可得又212-==k k 或， 所以直线方程为290x y ++=，230x y -+=【思路点拨】再利用垂径定理解决问题 【答案】290x y ++=，230x y -+=●活动③ 过圆内一点的最长弦和最短弦方程问题例4 已知圆()()51422=-+-y x ，求过圆内一点()03，P 的最长弦和最短弦所在直线方程【知识点】直线方程、圆的几何性质 【数学思想】数形结合【解题过程】圆心(4,1)A ，最长弦一定为直径，即直线AP ，则最长弦的方程为03=--y x .最短弦和直径垂直，最长弦即直径所在直线的斜率是1，所以最短弦斜率是-1，过因为过点P ，则最短弦的方程为03=-+y x . 【思路点拨】利用几何关系得出结论 【答案】03=--y x ，03=-+y x同类训练 设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______.【知识点】圆的几何性质 【数学思想】数形结合【解题过程】求出圆心到直线的距离1d =再加上半径，则最大距离1d =+ 【思路点拨】利用几何关系得出结论【答案】5212d =+ ●活动② 互动交流、初步实践组织课堂讨论：我们能否根据不同的点与圆的位置关系求出切线方程？ 在直线与圆的位置关系中求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论.过圆222r y x =+上一点A ()00,y x 的切线方程为200r yy xx =+在运用这个结论的时候要注意些什么呢？我们可以来看一道例题：例5 求过点A ()1,2向圆422=+y x 所引的切线方程. 【知识点】圆的切线 【数学思想】分类讨论 【解题过程】解法一设切点为B ()00,y x ，则过B 点的切线方程为40000=+y y x x ，又点A ()1,2在切线上∴ ⎩⎨⎧=+=+442202000y x y x 联立可以解得切点(2,0)B ，68(,)55B 则最终解得切线方程2x =，01043=-+y x .解法二（1）当斜率不存在的时候，2x =满足；（2）当斜率存在的时候，设切线方程()21-=-x k y ，即012=+--y k kx , ∵圆心（0,0）到切线的距离是2，∴22121k k -+=+解得34k =-∴所求切线方程为01043=-+y x .综上所述：切线方程2x =，01043=-+y x . 【思路点拨】利用结论、求切线的通法 【答案】2x =，01043=-+y x .同类训练 从点(,3),P x x R ∈向圆22(2)(2)1x y +++=作切线，求切线段长度最小的切线方程【知识点】圆的切线【数学思想】数形结合【解题过程】分析可知切线段最小，则点到圆心距离最小的点为所求，即(2,3)P -,求得直线为32)y x -=±+【思路点拨】找出切线段最小的那个点P .【答案】32)y x -=±+.3.课堂总结知识梳理（1）直线与圆的位置关系根据两个图形的交点个数可以分为相交、相切、相离三种.（2）解决直线与圆位置关系的方法：几何法，代数法.（3）与圆相交的直线被圆所截得的弦长的计算.（4）过点求圆的切线方程的方法.重难点归纳（1）解决直线与圆位置关系题目的方法有代数法和几何法（2）使用直线和圆的方程来计算所截弦长、以及圆的切线方程.（三）课后作业基础型 自主突破1.对任意的实数k ,直线1y kx =+与圆222=+y x 的位置关系一定是（ ）A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心【知识点】直线与圆位置判别【数学思想】数形结合【解题过程】直线1y kx =+必过点(0,1)【思路点拨】根据该点与圆心的距离和圆半径大小的比较进行判断.【答案】C2.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A .2 B.21+ C.221+ D.221+ 【知识点】点到直线距离公式【数学思想】数形结合【解题过程】22(1)(1)1,(1,1),1x y r -+-==圆心,圆心到直线距离公式求出圆心到直线的距离1d =1，则1d =+【思路点拨】加上半径是关键.【答案】B.3.直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN 则k 的取值范围是( )A .3[,0]4- B.[ C. [ D.2[,0]3- 【知识点】已知关系求参数的取值范围【数学思想】转化思想【解题过程】(2,3),2,r =圆心直线为30kx y -+=，1,d d k =≥≤=≤≤弦长MN 可得又解得【思路点拨】找到正确的方法对k 进行求【答案】B4.直线32+=x y 被圆08622=--+y x y x 所截得的弦长等于_______.【知识点】弦长公式【数学思想】方程思想【解题过程】22(3)(4)25,x y -+-=圆心（3,4），5,r d l ====54【思路点拨】圆中的弦长公式 【答案】54.5.过点A )1,2(的直线中被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程 是( ).A 053=--y x B .073=-+y x .C 053=-+y x .D 053=+-y x【知识点】最值问题【数学思想】数形结合【解题过程】22(1)(2)5,x y -++=圆心（1,-2），圆心B (1,2)-，则直线为053=--y x【思路点拨】该弦所在直线过圆心【答案】A6.圆222r y x =+上有某点）（00,y x P ，求过此点的切线方程.【知识点】圆的切线【数学思想】数形结合【解题过程】圆心（0,0），半径r ,切线斜率与点）（00,y x P 与圆心直线斜率乘积为1- ，00100,y x k k x y ==-，0000:(),x l y y x x y -=--化简得200r y y x x =+ 【思路点拨】点斜式求直线【答案】200r y y x x =+能力型 师生共研7.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）.A 023=-+y x B .043=-+y x .C 043=+-y x .D 023=+-y x【知识点】圆的切线【数学思想】数形结合【解题过程】22(2)4,x y -+=圆心（2,0），点P 在圆上，圆心与P 的直线斜率1k k =∴=023=+-y x 【思路点拨】抓住点在圆上，该点处的切线的斜率特点.【答案】D8.0y +-=截圆224x y +=得的劣弧的圆心角为__________.【知识点】弦长、圆心角【数学思想】数形结合【解题过程】直线与圆交于AB ，可求得2AB =.又2OA OB ==，所以AOB ∆是等边三角形，AOB ∠＝3π. 【思路点拨】求出AB ，解AOB ∆ 【答案】3π 探究型 多维突破9.已知圆C ：222430x y x y ++-+=.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程.【知识点】求切线方程【数学思想】分类讨论【解题过程】∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1或过原点,故所求切线方程为：x ＋y －3＝0，x ＋y ＋1＝0，x －y ＋5＝0，x －y ＋1＝0.(2y x =±【思路点拨】利用截距绝对值相等【答案】x ＋y －3＝0，x ＋y ＋1＝0，x －y ＋5＝0，x －y ＋1＝0.(2y x =±10.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.从圆C 外一点P (x 1，y 1)向圆引一条切线，切点为M ，O 为原点，且有PM ＝PO ，求使PM 最小的点P 的坐标.【知识点】圆的切线【数学思想】方程思想【解题过程】∵切线PM 与CM 垂直，∴222PM PC CM =-,又∵PM ＝PO ，(,)P x y ，坐标代入化简得2430x y -+=.PM 最小时即PO 最小，而PO 最小，即过O 点作直线2430x y -+=的垂线与之交点即为P ， 从而解方程组24302x y y x -+=⎧⎨=-⎩得满足条件的点P 坐标为33(,)105P -. 【思路点拨】找出P 满足的条件，找到最小值得位置 【答案】33(,)105P -.自助餐1.直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为（ ）.A 1 .B .C .D 3【知识点】圆的切线【数学思想】转化思想【解题过程】l d =切线段的长度为圆心（3,0）到直线上的点的距离，所以切线段最短，则当d 最短时取得，min d =，min l ==【思路点拨】利用切线长的公式.【答案】C.2.直线x y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于__________.【知识点】弦长【解题过程】根据圆的方程知，圆的圆心坐标为(0，0)，半径R ＝2，弦心距1,d ==，所以弦长AB == 【思路点拨】弦长公式.【答案】3.圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4 (m ∈R).(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒相交于两点；(2)求⊙C 与直线l 相交弦长的最小值.【知识点】直线与圆位置关系、弦长最值问题【数学思想】数形结合，转化思想【解题过程】(1)将方程(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，变形为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0.直线l 恒过两直线2x ＋y －7＝0和x ＋y －4＝0的交点，交点M (3,1).又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴点M (3,1)在圆C 内，∴直线l 与圆C 恒两个交点.(2)由圆的性质可知，当l ⊥CM 时，弦长最短.又||CM ==∴弦长为l ===【思路点拨】.找到几何关系【答案】4 54.已知过点()3,3M --的直线l 与圆224210x y y ++-=相交于,A B 两点，（1）若弦AB 的长为l 的方程；（2）设弦AB 的中点为P ，求动点P 的轨迹方程.【知识点】弦长、直线方程、轨迹问题【数学思想】方程思想【解题过程】（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为3x =-，此时有24120y y +-=，弦()||||268A B AB y y =-=--=，所以不合题意.故设直线l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=.将圆的方程写成标准式得()22225x y ++=，所以圆心()0,2-，半径5r =. 圆心()0,2-到直线l 的距离d =，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以()22231251k k -+=+，即()230k +=，所以3k =-. 所求直线l 的方程为3120x y ++=.（2）设(),P x y ，圆心()10,2O -，连接1O P ，则1O P ⊥AB .当0x ≠且3x ≠-时，11O P AB k k ⋅=-，又(3)(3)AB MP y k k x --==--， 则有()()()23103y y x x ----⋅=----，化简得22355222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭......（1） 当0x =或3x =-时，P 点的坐标为()()()()0,2,0,3,3,2,3,3------都是方程（1）的解，所以弦AB 中点P 的轨迹方程为22355222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【思路点拨】.解析法求轨迹【答案】3120x y ++= 22355222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5.过直线x ＋y －0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线夹角是60°，则点P 的坐标是__________.【知识点】圆的切线【数学思想】转化思想【解题过程】如图所示，过点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，OP .由已知得，∠APO ＝30°，所以PO ＝2.设P 坐标为(,)x y ，则2204x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，所求坐标为). 【思路点拨】角度转化为长度【答案】6.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ).A 相离 .B 相切 .C 相交 .D 不确定【知识点】点与圆、直线与圆位置判别【解题过程】M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则122>+b a ，【思路点拨】直接转化条件【答案】C。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆、圆与圆的位置关系(二)》教案
2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系（二）圆与圆的位置关系整体设计教学分析本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.三维目标使学生理解并掌握圆和圆的位置关系及其判定方法.培养学生自主探究的能力.通过用代数的方法分析圆与圆的位置关系,使学生体验几何问题代数化的思想,深入了解解析几何的本质,同时培养学生分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想.重点难点教学重点：求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.教学难点:判断圆和圆的位置关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系.思路2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种？②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗？③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？④根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？⑤如何判断两个圆的位置关系呢？⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么？⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？活动：教师引导学生回顾学过的知识、举例,并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时,可互相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考,发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解,对这些学生应该给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径. 讨论结果:①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相交、内切、内含.②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.③略.④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(r,R)的和与差之间的关系.⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为d,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1°当d>R+r时,圆C1与圆C2外离；2°当d=R+r时,圆C1与圆C2外切；3°当|R-r|<d<R+r时,圆C1与圆C2相交；4°当d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切；5°当d<|R-r|时,圆C1与圆C2内含；二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.总结比较两种方法的优缺点.几何方法：直观,容易理解,但不能求出交点坐标.代数方法：1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无交点时不能判断内含还是外离).2°优点是可以求出公共点.⑥若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,即直线方程,由于它过两圆的交点,所以它是相交两圆的公共弦的方程.⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断.应用示例思路1例1 在平面直角坐标系中分别作出圆心为C1（0，0），C2（1，1），半径分别为1,2的两圆，并判断两圆的位置关系.解:作出两圆，如图1.图1两圆半径分别记作r 1和r 2,则r 1=1,r 2=2，圆心距d=|C 1C 2|=21)10()10(-+-=2,于是，1=|r 1-r 2|<d<r 1+r 2=3，所以两圆相交.例2 判断圆C 1：x 2+y 2+2x-6y-26=0与圆C 2:x 2+y 2-4x+2y+4=0的位置关系，并画出图形. 解:由已知得圆C 1:(x+1)2+(y-3)2=36,其圆心C 1(-1,3)，半径r 1=6;圆C 2:(x-2)2+(y+1)2=1,其圆心C 2(2,-1)，半径r 2=1.于是|C 1C 2|=22)31()12(--++=5.又|r 1-r 2|=5,即|C 1C 2|=|r 1-r 2|,所以两圆内切.如图2.图2变式训练判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16;(2)x 2+y 2+6x-7=0与x 2+y 2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r 1=1和r 2=4,两圆的圆心距d=22)25()]2(2[-+--=5.因为d=r 1+r 2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y 2=16,x 2+(y+3)2=36.故两圆的半径分别为r 1=4和r 2=6,两圆的圆心距d=22)03()30(--+-=32.因为|r 1-r 2|<d<r 1+r 2,所以两圆相交.例3 已知圆C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0,圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.活动：学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x 2项、y 2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解:设两圆交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-++)2(.01124)1(,01622222y x y x y x y x①-②,得3x-4y+6=0.因为A 、B 两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(-1,3),半径r=3.又点C 1到直线的距离为d=59)4(3|63431|22=-++⨯-⨯-. 所以AB=222d r -=524)59(3222=-,即两圆的公共弦长为524. 点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.思路2例1 求过点A(0,6)且与圆C:x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.活动:学生思考交流,回顾圆的方程的求法,教师引导学生注意题目的条件,灵活处理,如图 3.所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.图3解:将圆C 化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为25.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.由题意,知O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-,0,)6()0(,)0()0(222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.23,3,3r b a于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.点评:求圆的方程,一般可从圆的标准方程和一般方程入手,至于选择哪一种方程形式更恰当,要根据题目的条件而定,总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.例2 已知⊙O 方程为x 2+y 2=4,定点A(4,0),求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程. 活动：教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程.解:设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以|PA|即为动圆半径.当动圆P 与⊙O 外切时,|PO|=|PA|+2；当动圆P 与⊙O 内切时,|PO|=|PA|－2.综合这两种情况,得||PO|－|PA||=2.将此关系式坐标化,得|2222)4(y x y x +--+|=2.化简可得(x －2)232y -=1. 点评：解题的过程就是实现条件向结论转化的过程,对于圆与圆,要综合平面几何知识、解析几何、代数知识,将条件转化成我们熟悉的形式,利用常规思路去解,求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.知能训练1.已知圆C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0，圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0，判断两圆的位置关系.解法一：圆C 1与圆C 2的方程联立得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---+=-+++)2(,0244)1(,08822222y x y x y x y x①-②得x+2y-1=0③,由③得y=21x -，把上式代入①并整理得x 2-2x-3=0④. 方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,所以方程④有两个不相等的实数根，即圆C 1与圆C 2相交.解法二：把圆C 1：x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0,化为标准方程，得(x+1)2+(y+4)2=25与（x-2）2+(y-2)2=10，圆C 1的圆心是点（-1，-4），半径长r 1=5;圆C 2的圆心是点（2，2），半径长r 2=10.圆C 1圆C 2的连心线的长为22)24()21(--+--=35,圆C 1、圆C 2的半径长之和为r 1+r 2=5+10,半径长之差为r 1-r 2=510-.而510-<35<5+10,即r 1-r 2<35<r 1+r 2,所以圆C 1与圆C 2相交.点评：判断两圆的位置关系一般情况下，先化为标准方程，再利用几何法判断较为准确直观.2.求经过原点，且过圆x 2+y 2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程. 解法一：由⎩⎨⎧=+-=+-++,05,0216822y x y x y x 求得交点(-2,3)或(-4,1). 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为（0,0），（-2 3），（-4，1）三点在圆上，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=++-+=,04116,03294,0F E D F E D F 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==.519,59,0D E F 所以所求圆的方程为x 2+y 2+519x 59-y=0. 解法二：设过交点的圆系方程为:x 2+y 2+8x-6y+21+λ(x -y+5)=0(λ为参数).将原点（0，0）代入上述方程得λ=521-.则所求方程为：x 2+y 2+519x 59-=0. 拓展提升求以圆C 1：x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2：x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程.解法一：联立两圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=---+,0251612,0132122222y x y x y x y x 相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.解方程组⎩⎨⎧=---+=-+,013212,023422y x y x y x 得两圆交点坐标A （-1，2），B （5，-6），因为所求圆以AB 为直径，所以圆心是AB 的中点M （2，-2），圆的半径为r=21|AB|=5. 于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.解法二：设所求圆的方程为：x 2+y 2-12x-2y-13+λ(x 2+y 2+12x+16y-25)=0(λ为参数). 得圆心C()1(21212λλ+--,)1(2216λλ+--),即(λλ+-166,λλ+-181). 因为圆心C 应在公共弦AB 所在直线上，所以4·λλ+-166+3·λλ+-181-2=0，解得λ=21. 所以所求圆的方程为x 2+y 2-4x+4y-17=0.点评：解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法；解法二采取了圆系方程求待定系数，解法比较简练.课堂小结本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法.作业习题2-2 A 组5;B 组2、3.设计感想这堂课是建立在初中已经对圆与圆的位置关系有个粗略地了解的基础上,对这个位置关系的了解进一步深化,而且前一堂课学习过直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系的研究和直线与圆的位置关系的研究方法是类似的,所以可以用类比的思想来引导学生自主地探究圆与圆的位置关系.作为解析几何的一堂课,判断圆与圆的位置关系,体现的正是解析几何的思想：用代数方法处理几何问题,用几何方法处理代数问题.所以在教材处理上,对判断两圆位置关系用了代数和几何两种方法,两种方法贯穿始终,使学生对解析几何的本质有所了解.。
高中数学 4.2 直线、圆的位置关系教案 新人教A版必修2
直线与圆的位置关系一、教学目标 1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； （3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 2、过程与方法设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(ED --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离； （2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交； 3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 三、教学设想圆与圆的位置关系一、教学目标 1、知识与技能（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长； （3）会用连心线长判断两圆的位置关系． 2、过程与方法设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交； （4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含； 3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点：重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系． 三、教学设想直线与圆的方程的应用一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．二、教学重点、难点：重点与难点：直线与圆的方程的应用．三、教学设想。
4.2《直线与圆的位置关系》教案(新人教必修2)
《直线与圆的位置关系》的教学设计青岛第十五中学苏延红一、教学课题：人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书A版数学②第四章第二节“直线与圆的位置关系”第一课时。
二、设计要点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，在前面几节课学习了直线与圆的方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。
用过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生“用数学”及合作学习的意识。
三、教学目标：1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题；2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想；3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。
四、教学重点、难点、关键：（1）重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系（2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解（3）关键：展现数与形的关系，启发学生思考、探索。
五、教学方法与手段：1．教学方法：探究式教学法2。
教学手段：多媒体、实物投影仪六、教学过程：1．创设情境，提出问题教师利用多媒体展示如下问题：问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km处，受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。
设计意图：让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系，激发学生的探索热情。
2．切入主题，提出课题（1）由学生将问题数学建模，展示平面几何解决方法，得出结论。
教师带领学生一起回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法。
高中数学 第四章《直线与圆的位置关系》教案 新人教A版必修2
某某省淳安县威坪中学高中数学 第四章《直线与圆的位置关系》教案 新人教A版必修21、直线03=+-m y x 与圆02222=--+x y x 相切，则=m 。
2、若直线l 过)1,3(--P ，且被圆2522=+y x 所截得的弦长为8，则直线l 的方程是。
3、从圆1)1()1(22=-+-y x 外一点)3,2(P 向这个圆引切线，则切线长为。
4、若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相离，则点),(b a P 与圆的位置关系是________。
5、求圆心在)1,1(且与直线04=-+y x 相切的圆的方程是________________。
6、当m 取什么值时，直线0=+-m y x l ：与圆：C 9)2(22=++y x 。
（1）相切；（2）相交；（3）相离？7、已知直线01=+-y mx l ：与圆：C 9)2(22=++y x （1）判断直线与圆的位置关系（2）求当m 取何值时，直线被圆截得的弦长最短，并求最短弦所在直线方程。
9、光线由)3,5(-P 照射到x 轴上反射后与曲线01466:22=+--+y x y x C 相切于,M求：)1(入射光线所在直线方程；)2(光线经点P 到点M 走过的路程.10、圆O ：822=+y x 内有点P （–1，2），AB 为过P （–1，2）且倾斜角为α的弦.（1）当倾斜角为1350时，弦AB 的长；（2）当弦AB 被P 平分时，求弦AB 所在直线方程。
直线与圆的位置关系作业 某某1、直线03=+-m y x 与圆02222=--+x y x 相切，则=m 。
2、若直线l 过)1,3(--P ，且被圆2522=+y x 所截得的弦长为8，则直线l 的方程是。
3、从圆1)1()1(22=-+-y x 外一点)3,2(P 向这个圆引切线，则切线长为。
4、若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相离，则点),(b a P 与圆的位置关系是________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学 第四章《直线与圆的位置关系》教案 新人教A 版必修2
1、直线03=+-m y x 与圆02222=--+x y x 相切，则=m 。
2、若直线l 过)1,3(--P ，且被圆2522=+y x 所截得的弦长为8，则直线l 的方程是 。
3、从圆1)1()1(22=-+-y x 外一点)3,2(P 向这个圆引切线，则切线长为 。
4、若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相离，则点),(b a P 与圆的位置关系是________。
5、求圆心在)1,1(且与直线04=-+y x 相切的圆的方程是________________。
6、当m 取什么值时，直线0=+-m y x l ：与圆：C 9)2(22=++y x 。
（1）相切；（2）相交；（3）相离？
7、已知直线01=+-y mx l ：与圆：C 9)2(22=++y x
（1）判断直线与圆的位置关系
（2）求当m 取何值时，直线被圆截得的弦长最短，并求最短弦所在直线方程。
9、光线由)3,5(-P 照射到x 轴上反射后与曲线01466:2
2=+--+y x y x C 相切于,M 求：)1(入射光线所在直线方程；)2(光线经点P 到点M 走过的路程.
10、圆O ：822=+y x 内有点P （–1，2），AB 为过P （–1，2）且倾斜角为α的弦.
（1）当倾斜角为1350
时，弦AB 的长；（2）当弦AB 被P 平分时，求弦AB 所在直线方程。
直线与圆的位置关系作业 姓名
1、直线03=+-m y x 与圆02222=--+x y x 相切，则=m 。
2、若直线l 过)1,3(--P ，且被圆2522=+y x 所截得的弦长为8，则直线l 的方程是 。
3、从圆1)1()1(22=-+-y x 外一点)3,2(P 向这个圆引切线，则切线长为 。
4、若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相离，则点),(b a P 与圆的位置关系是________。
5、求圆心在)1,1(且与直线04=-+y x 相切的圆的方程是________________。
6、当m 取什么值时，直线0=+-m y x l ：与圆：C 9)2(2
2=++y x 。
（1）相切；（2）相交；（3）相离？
7、已知直线01=+-y mx l ：与圆：C 9)2(22=++y x
（1）判断直线与圆的位置关系
（2）求当m 取何值时，直线被圆截得的弦长最短，并求最短弦所在直线方程。
9、光线由)3,5(-P 照射到x 轴上反射后与曲线01466:22=+--+y x y x C 相切于,M 求：)1(入射光线所在直线方程；)2(光线经点P 到点M 走过的路程.
10、圆O ：822=+y x 内有点P （–1，2），AB 为过P （–1，2）且倾斜角为α的弦.
（1）当倾斜角为1350
时，弦AB 的长；（2）当弦AB 被P 平分时，求弦AB 所在直线方程。