A4205终极修改版

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：A4205所属学校（请填写完整的全名）：北京航空航天大学北海学院参赛队员(打印并签名) ：1. 毛超2. 姚文杰3. 丁梓育指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：陈盼盼日期： 2012 年 9 月 7 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：摘要本文主要运用各种统计分析方法研究了酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的关系及其对葡萄酒质量的影响等问题．对于问题1，首先对数据进行预处理,计算出两组评酒员对不同葡萄酒样品的打分情况,采用T检验法进行统计分析,得出两组评酒员的评价结果有显著差异性,应用Alpha信度系数法,判断出第二组的评价结果更可信.对于问题2,由于酿酒葡萄的理化指标个数多于样本个数,我们首先采用主成分分析的方法对数据进行降维处理,从原有的30个指标中提取出了8个主成分;然后对样品进行聚类分析,将酿酒葡萄进行分类,并结合葡萄酒的质量得分划分出合理等级,其中红葡萄样品1,2,3,8,9,21,23为优级,样品11为劣级,其余样品为中级；白葡萄样品24,27为优级,样品1,6,7,13,15,18为劣级，其余样品为中级．对于问题3,首先对葡萄酒和酿酒葡萄的指标进行相关性分析,可知两组数据之间有较强的相关性；然后应用葡萄酒的各项一级指标分别对酿酒葡萄的30个一级指标做逐步回归分析,得到指标之间的线性关系；最后,进一步从整体上考虑葡萄酒的理化指标和酿酒葡萄的理化指标之间的联系,建立多因变量多元回归分析模型,从而说明它们之间有着较强的相关关系．对于问题4,运用逐步回归方法,分别讨论了酿酒葡萄的理化指标和芳香物质指标对葡萄酒质量的影响以及葡萄酒的理化指标和芳香物质指标对葡萄酒质量的影响，从结果可以看出红葡萄和红葡萄酒的理化指标及芳香物质对葡萄酒质量的影响较为显著,可以用来评价葡萄酒的质量,而白葡萄和白葡萄酒则效果较差.另外，本文也对比了加入芳香物质和不加入芳香物质时的拟合结果,可以看出,芳香物质的含量对葡萄酒的质量存在一定影响．最后,我们对所建模型的科学性进行了综合阐述,并对模型进行整体评价.关键字：理化指标；T检验；主成分分析法；聚类分析法；多因变量多元线性回归一、问题的重述与分析1.问题的重述确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。

每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。

酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。

附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。

请尝试建立数学模型讨论下列问题：1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。

3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？2.问题的分析从问题以及附件可以了解到本文数据量大，而且不规则。

首先针对问题1，对附件1的数据进行处理。

再看两组品酒员的评价结果，对其进行成对样本T检验，分析是否有差异性。

再用Alpha信度系数法分析看那组结果更可信。

问题2首先分析附件2中的葡萄酒和葡萄的理化指标数据，然后利用主成分分析法对数据中的理化指标，利用聚类分析法进行分级，最后结合问题1中品酒员的打分对分级结果进行合理的分析。

问题3需要分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系，那么首先考虑简单的相关性分析模型，再进而局部考虑逐步回归分析模型，最后从整体出发建立多因变量多元回归模型分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标之间的联系。

问题4结合葡萄和葡萄酒中的芳香物质含量来研究酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响。

运用逐步回归方法，建立回归方程度量他们之间的关系。

三、符号说明四、模型假设1、两组品酒员对葡萄酒分类指标打分是相对独立的。

2、问题中所给出的数据能客观的反应，真实可信。

3、不考虑取样环节的再次污染及成分流失。

4、不需考虑除葡萄酒品尝得分表、葡萄和葡萄酒理化指标和芳香物质以外的因素。

5、在第一组红葡萄酒检测中样品20的4号品酒员某一指标缺失，我们将所缺失的指标设为零。

五、模型的建立与求解5.1对问题1，两组评酒员的显著性差异建立分析模型问题1需要分析两组评酒员的评价结果有无显著差异性，可以先对评价结果进行成对样本T 检验，判断是否有无显著差异性，然后再用Alpha 信度系数法，判断哪组结果更可信。

5.1.1成对样本T 检验对问题1中的两组品酒员的打分数据可以看成是两个独立样本各自接受相同的测量。

假设两样本的样品个数分别为m ，n ，检验两样本均值是否相等，可分为以下两种情况考虑[1]。

1. 两总体方差2212,σσ未知，但他们相等。

此时相当于两样本的等方差T 检验，对应的统计量t 为：统计量t 服从自由度为(2)m n +-的t 分布。

2.两总体方差2212,σσ未知，但它们不相等。

此时相当于两样本异方差的T 检验，对应的统计量t 为t =其自由度为：122(1)11k k df m n -⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭其中212212()s mk s s m n=+由于总体方差未知，因此在进行独立双样本T 检验是首先需要进行方差是否相等的检验，这是选择统计量进行双样本T 检验的基础。

方差是否相等一般采用F 检验：统计量t 服从自由度为(1,1)m n --的F 分布。

5.1.2 Alpha 信度系数法[2]克伦巴赫alpha 系数是一套常用的衡量测验可靠性的方法,依一定公式估量测验的内部一致性.作为信度的指标.它克服部分折半法的缺点,是目前社会研究最常使用的信度指标,它是测量一组同义或平行测"总和"的信度.其公式为:a=[K/(K-1)][1-(∑S2i)/(S2x)]其中,K 为量表中题项的总数,S2i 为第i 题得分的题内方差,S2x 为全部题项总得分的方差.从公式中可以看出,a 系数评价的是量表中各题项得分间的一致性,属于内在一致性系数.5．1.3对问题1的模型求解首先，对附件1的各组数据进行加权求和，再得到每组品酒员对每个样品打分的均值。

利用spss 软件进行成对样本T 检验，结果如下：0.001，比设置的置信水平0.05要小，即拒绝原假设，第1组与第2组有显著性差异。

然后给出Alpha 信度系数法求解结果：通常认为，信度系数应该在0～1之间，如果量表的信度系数在0.9以上，表示量表的信度很好；如果量表的信度系数在0.8～0.9之间，表示量表的信度可以接受； 如果量表的信度系数在0.7～0.8之间，表示量表有些项目需要修订； 如果量表的信度系数在 0.7以下，表示量表有些项目需要抛弃。

从上表可知，两个组的Alpha 信度系数分别是：第1组0.825＜第2组0.836。

如此可以得到第二组的评分结果更可信。

5.2问题2，利用主成分分析法和聚类分析法对酿酒葡萄进行分级问题2需要根据酝酿葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对酝酿葡萄进行分级，因为理化指标很多，所以先进行主成分分析来降维，然后根据聚类分析法中的加权类平均法对葡萄进行分级。

5.2.1主成分分析原理及其数学模型假设我们收集到n 个样品，每个样品观测到p 个变量（记为12,,,p x x x ，为简单起见，可以设i x 均值为0，方差为1，1i p ≤≤），构成一个n p ⨯阶的数据矩阵x ：111212122212p p n n np x x x x x x X x x x ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭主成分分析的目的在于利用p 个原始变量（12,,,p x x x ）构造少数几个新的综合变量，使得新变量为原始变量的线性组合，新变量互不相关，新变量包含p 个原始变量的绝大部分信息。

这样定义12,,,p x x x 为原变量指标，12,,,()m z z z m p ≤ 为新的综合变量指标，每个新综合标量指标是p 个原始变量的线性组合：111112212211222231122p pp p m m mp pz l x l x l x z l x l x l x z l x l x l x ⎧=+++⎪=+++⎪⎪⎨⎪⎪=+++⎪⎩ 需要同时满足以下几个条件：（1）i z 与j z (;,1,2,,)i j i j m ≠= 互相无关； （2）i z 是12,,,p x x x 的一切线性组合中方差最大者；2z 是与1z 不相关的12,,,p x x x 的所有线性组合中方差最大者；m z 是与121,,,m z z z - 都不相关的12,,,p x x x 的所有线性组合中方差最大者。

则新变量12,,,m z z z 分别称为原变量12,,,p x x x 的第一，第二，…，第m 主成分。

从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量(1,2,...,)j x j p =在诸主成分(1,2,...,)i z i m =的系数(1,2,...,;1,2,...,)ij l i m j p ==。

从数学上可以证明，它们分别是p 个原始变量（12,,,p x x x ）相关矩阵的前m 个具有较大特征值所对应的特征向量，而各个综合变量i z 的方差var()i z 恰好是相应的特征根i λ。

各主成分的方差贡献大小按特征根顺序排列，是依次递减的，即12...0p λλλ≥≥≥≥。

5.2.2聚类分析法原理及其数学模型 （1）距离系数-明式距离明式距离计算公式：11()()pqq ij ia ja a d q x x ==-∑当q=1时，计算公式：1(1)pij ia ja a d x x ==-∑ 即绝对值距离当q=2时，计算公式：1221(2)()pij ia ja a d x x =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ 即欧式距离 当q=∞时，计算公式：1()max ij ia ja a pd x x ≤≤∞=- 即切比雪夫距离（2）距离系数-马氏距离设∑表示变量的协差阵，计算公式如下：()ij p pσ⨯=∑其中11()()1ni j ij ai aj a x x x x n σ==---∑ ,1,,i j p =11nai a Xi X n ==∑11naj a Xj X n ==∑如果1-∑存在，则两个样品之间的马氏距离为：21()()()ij i j i j d M x x x x --'=-∑（3）相似系数-马氏距离当我们研究样品之间的关系，除了用距离表示外，还有相似系数，即描写样品之间相似程度的一个量，常用相关系数和夹角余弦。