2021年高等数学下考试题库(附答案)

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高等数学考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）2ln 2ln f x xg x x和（B ）||f x x 和2g x x（C ）f xx 和2g xx（D ）||x f xx和g x12．函数sin 420ln 10x x f xxax在0x 处连续，则a（）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x 的平行于直线10x y 的切线方程为（）. （A ）1y x （B ）(1)yx （C ）ln 11y x x （D ）y x4．设函数||f x x ，则函数在点0x处（）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微5．点0x 是函数4yx 的（）.（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点6．曲线1||yx 的渐近线情况是（）.（A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线7．211fdx x x 的结果是（）.（A ）1f C x（B ）1fC x（C ）1fC x（D ）1fCx8．xxdxe e的结果是（）.（A ）arctan xeC （B ）arctan xe C （C ）xxeeC （D ）ln()xxee C9．下列定积分为零的是（）.（A ）424arctan 1x dx x（B ）44arcsin x x dx （C ）112xxee dx （D ）121sin xx x dx10．设f x 为连续函数，则102f x dx 等于（）.（A ）20f f （B ）1112f f （C ）1202f f （D ）10f f 二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数2100xex f xx a x在0x 处连续，则a.2．已知曲线y f x 在2x处的切线的倾斜角为56，则2f .3．21x yx的垂直渐近线有条.4．21ln dx x x.5．422sin cos x x x dx.三．计算（每小题5分，共30分）1．求极限①21limxxx x ②2sin 1limx xx x x e 2．求曲线ln yx y 所确定的隐函数的导数x y .3．求不定积分①13dx x x ②220dx a xa③xxe dx四．应用题（每题10分，共20分）1．作出函数323yxx 的图像.2．求曲线22yx 和直线4y x 所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．22．33３．２４．arctanln x c５．２三．计算题１①2e②162.11xyx y3. ①11ln||23xCx②22ln||x a x C③1xe x C四．应用题１．略２．18S《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分)1.下列各组函数中,是相同函数的是().(A)f x x 和2g x x(B) 211xf xx 和1y x (C)f xx 和22(sin cos )g xx xx (D)2ln f x x 和2ln g x x2.设函数2sin 21112111x x x fxx xx，则1lim x f x （）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数y f x 在点0x 处可导，且fx >0, 曲线则yf x 在点00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }.(A)(B)2(C)锐角(D)钝角4.曲线ln y x 上某点的切线平行于直线23y x ,则该点坐标是().(A)12,ln2(B)12,ln2(C) 1,ln 22(D)1,ln 225.函数2xy x e 及图象在1,2内是().(A)单调减少且是凸的(B)单调增加且是凸的(C)单调减少且是凹的(D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是().(A) 若0x 为函数y f x 的驻点,则0x 必为函数y f x 的极值点. (B) 函数y f x 导数不存在的点,一定不是函数y f x 的极值点.(C) 若函数y f x 在0x 处取得极值,且0f x 存在,则必有0fx =0.(D) 若函数yf x 在0x 处连续,则0fx 一定存在.7.设函数y f x 的一个原函数为12xx e ,则f x =().(A) 121x x e (B)12xx e (C)121xx e (D) 12xxe8.若f x dx F x c ,则sin cos xf x dx ( ).(A)sin F xc(B)sin F xc (C) cos F xc(D)cos F x c9.设F x 为连续函数,则102x fdx =().(A)10f f (B)21f f (C)220f f (D) 1202ff 10.定积分badx a b 在几何上的表示().(A) 线段长b a (B) 线段长a b (C) 矩形面积1a b (D) 矩形面积1b a 二.填空题(每题4分,共20分)1.设2ln 101cos 0xx f xxax, 在0x 连续,则a =________.2.设2sin y x , 则dy _________________sin d x .3.函数211x yx的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分ln x xdx ______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x___________.三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:①10lim 12xx x ②arctan 2lim 1xx x2.求由方程1yyxe 所确定的隐函数的导数x y .3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx②220dx a xa③2xx e dx四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313yx x 的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,yx y x 所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD 二填空题： 1.－22.2sinx3.34.2211ln 24x x x c5.2三.计算题：1. ①2e②12.2yxey y 3.①3sec 3x c②22lnxaxc③222xxx ec四.应用题：1.略2.13S《高数》试卷3（上）一、填空题(每小题3分, 共24分)1.函数219y x的定义域为________________________.2.设函数sin 4,0,0xx f xxa x , 则当a=_________时, f x 在0x 处连续.3. 函数221()32x f x xx的无穷型间断点为________________.4.设()f x 可导, ()xyf e , 则____________.y5. 221lim_________________.25xx xx6.321421sin 1x x dx xx=______________.7.20_______________________.x td e dtdx 8. 30yyy是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1.01limsin xx ex;2. 233lim9x x x; 3.1lim 1.2xxx三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分) 1. 2x yx , 求(0)y . 2. cos xy e, 求dy .3. 设x yxye, 求dy dx.四、求下列积分(每小题5分, 共15分)1.12sin x dx x.2.ln(1)x x dx .3.120xe dx五、(8分)求曲线1cos x t yt在2t处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x直线0,0y x 和1x 所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程6130y yy的通解.八、(7分)求微分方程xy ye x满足初始条件10y 的特解.《高数》试卷3参考答案一．1．3x2.4a 3.2x 4.'()xxe f e 5.126.07.22x xe8.二阶二.1.原式=0lim1x x x2.311lim 36x x3.原式=112221lim[(1)]2xx e x三.1.221','(0)(2)2y y x2.cos sin xdyxe dx3.两边对x 求写：'(1')x yyxy ey 'x yx yey xy y y xexxy四.1.原式=lim2cos x x C2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x xx d x x d x x =22111lim(1)lim(1)(1)221221x xxx dxx x dxx x=221lim(1)[lim(1)]222xx x x x C3.原式=12212111(2)(1)222xx e d x ee五.sin 1,122dy dy ttt ydxdx且.切线：1,1022y x y x 即法线：1(),1022y x yx 即六.1221013(1)()22Sxdxx x 1122425210(1)(21)228()5315Vx dx x xdxxxx 七.特征方程:231261332(cos2sin 2)xrr riyeC x C x 八.11()dxdxxxx ye e e dxC 1[(1)]xx e C x由10,yxC1xx yex《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分）1、函数2)1ln(x x y 的定义域是（）. A 1,2 B1,2 C 1,2 D1,22、极限xxe lim 的值是（）.A 、B 、C 、D 、不存在3、211)1sin(limxx x（）. A 、1B 、C 、21D 、214、曲线23xxy 在点)0,1(处的切线方程是（）A 、)1(2x y B 、)1(4x y C 、14xyD 、)1(3x y 5、下列各微分式正确的是（）.A 、)(2x d xdx B 、)2(sin 2cos x d xdxC 、)5(x d dx D 、22)()(dx x d 6、设C x dxx f 2cos2)(，则)(x f （）.A 、2sin xB 、2sinxC 、Cx2sinD 、2sin2x 7、dx xx ln 2（）. A 、C x x 22ln 212B 、Cx 2)ln 2(21C 、Cxln 2ln D 、Cxx 2ln 18、曲线2xy，1x ，0y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积V（）.A 、104dx x B 、1ydy C 、10)1(dyy D 、14)1(dxx 9、11dx eexx（）.A 、21lne B 、22lne C 、31lne D 、221lne 10、微分方程xey yy22的一个特解为（）.A 、xe y273B 、xey73C 、xxey272D 、xey272二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y ，则y；2、如果322sin 3lim 0xmx x , 则m.3、113cos xdxx ；4、微分方程044yyy 的通解是. 5、函数x x x f 2)(在区间4,0上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题5分）1、求极限xxx x11lim；2、求x xysin ln cot 212的导数；3、求函数1133xx y的微分；4、求不定积分11xdx ；5、求定积分eedx x 1ln ；6、解方程21xy x dxdy ；四、应用题（每小题10分）1、求抛物线2xy与22x y 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数323xxy 的图象.参考答案一、1、C ；2、D ；3、C ；4、B ；5、C ；6、B ；7、B ；8、A ；9、A ；10、D ；二、1、xe x )2(；2、94；3、；4、xex C C y221)(；5、8，0三、1、1；2、x 3cot ；3、dxxx 232)1(6；4、C x x )11ln(212；5、)12(2e；6、Cxy2212；四、1、38；2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分）1、函数)1lg(12xxy 的定义域是（）.A 、,01,2B 、),0(0,1C 、),0()0,1(D 、),1(2、下列各式中，极限存在的是（）.A 、x x c o s lim 0B 、x xarctan lim C 、x xsin lim D 、xx2lim 3、xxxx )1(lim （）.A 、eB 、2eC 、1D 、e14、曲线x x y ln 的平行于直线01y x 的切线方程是（）.A 、xyB 、)1)(1(ln x x yC 、1x yD 、)1(xy 5、已知x x y 3sin ，则dy （）.A 、dx x x )3sin 33cos (B 、dx x x x )3cos 33(sinC 、dxx x)3sin 3(cos D 、dxx x x)3cos 3(sin 6、下列等式成立的是（）.A 、Cxdx x 111B 、Cx a dxa xxln C 、C x xdxsin cos D 、Cxxdx 211tan7、计算xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（）. A 、C e x sin B 、Cx e x cos sin C 、C xe x sin sin D 、C x e x )1(sin sin 8、曲线2x y，1x ，0y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积V （）. A 、104dx x B 、10ydyC 、10)1(dyy D 、104)1(dx x 9、设a ﹥0，则dx x a a022（）. A 、2a B 、22a C 、241a 0 D 、241a 10、方程（）是一阶线性微分方程. A 、0ln 2x y yx B 、0y e y x C 、0sin )1(2y y y x D 、0)6(2dy x y dxy x 二、填空题（每小题4分）1、设0,0,1)(x b ax x e x f x ，则有)(lim 0x f x ，)(lim 0x f x ；2、设x xe y ，则y；3、函数)1ln()(2x x f 在区间2,1的最大值是，最小值是；4、113cos xdxx ；5、微分方程023y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分）1、求极限)2311(lim 21x x x x ；2、求x x y arccos 12的导数；3、求函数21x xy 的微分；4、求不定积分dx x x ln 21；5、求定积分eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x 2满足初始条件4)21(y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线22x y 和直线0y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数49623x x x y 的图象.参考答案（B卷）一、1、B ；2、A ；3、D ；4、C ；5、B ；6、C ；7、D ；8、A ；9、D ；10、B. 二、1、2，b ；2、x e x )2(；3、5ln ，0；4、0；5、x x e C e C 221. 三、1、31；2、1arccos 12x x x；3、dxx x 221)1(1；4、C x ln 22；5、)12(2e ；6、x e x y 122；四、1、29；2、图略。

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5. y x3 .
三 .计算题
1. 8i 3 j 2k .
z
2.
3x 2 sin y cos y cos y
z sin y ,
x
y
2 x 3 sin y cos y sin y cos y x 3 sin 3 y cos3 y .
z
yz z
xz
3.
x
xy z 2 , y
xy z2 .
4. 32 a 3
）.
A.3
B.4
C.5
5.函数 z 2xy 3 x2 2 y 2 的极大值为（
D.6 ）.
A.0
B.1
C. 1
6.设 z
x2
3 xy
y 2 ，则
z x 1,2
（
A.6
B.7
C.8
1
D.
2
）. D.9
7.若几何级数
ar n 是收敛的，则（
）.
n0
A. r 1
B. r 1 C. r 1
D. r 1
8.幂级数
2
.
3 23
四 .应用题
16
1. .
3
《高等数学》试卷 3（下）
一、选择题（本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
1、二阶行列式 2 -3 的值为（
）
45
A 、10 B 、 20 C、 24 D 、 22
2、设 a=i+2j-k,b=2j+3k ，则 a 与 b 的向量积为（
）
A 、i-j+2k
2
1
x1 y 2 z
直线 L 3：
与平面 3x 2y 6z 0之间的夹角为 ____________ 。

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精品文档n 02《高等数学》试卷1 （下）•选择题（3分10）n 1n A. p 1B. p 1C. p 1D. p 18.幕级数n x的收敛域为（).n 1nA. 1,1 B1,1C.1,1 D. 1,1A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 05屈数z 33x y3xy 的极小值是（）.A.2B. 2C.1D. 1z =( ).6.设zxsin y ，贝U —y1, 4昴A. 一B. ——C. <2D.42.2 2a 与b 垂直的充要条件是（ 4.两个向量 17.若p 级数—收敛，则（）1.点 M 1 2,3,1 到点 M 2 2,7,4 的距离M 1M 2A.3B.4C.5D.62.向量a i 2j k,b2ij ，则有（A. a // bB. a 丄 bC. a 4 -D. ： a,b3屈数y1 x2 y 2 1的定义域是A. x, y 1 x 2B. x,y 1 x 2C. x, y 1x 2D x, y 1x 29.幕级数x n在收敛域内的和函数是（)n 0 21 A.1 x2 2C ・-1 x1D.-2 xB・2 x10・微分方程xy yin y0的通解为（)•xB・ xxD. y eA. y cey e C. y cxe填空题（4分5）2•函数 z sin xy 的全微分是 ____________________________________1 4.^^的麦克劳林级数是 ___________________________________2 x5.微分方程y 4y 4y 0的通解为三.计算题（5分6）1.设 z e u sin v ,而 u xy, v xy ，求-^,x zy2.已知隐函数z z x, y由方程x C222y z4x 2z 50确定，求,x y/ 2 23.计算 sin 、x y d ，其中D2 2x 2 2y 4 .D 四•应用题（10分2）1•一平面过点A 0,0,3且垂直于直线 AB ，其中点B 2, 1,1，则此平面方程为 _________________________ 532^33•设 z x y 3xy2/ 小 zxy 1，贝U ------x y4•如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ R 为半径）2x5•求微分方程y 3y e 在y xo 0条件下的特解1•要用铁板做一个体积为2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省?2..曲线y f x上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的求此曲线方程2倍，且曲线过点1,3一.选择题 CBCAD ACCBD 二填空题1.2x y2z 6 0.2. cos xy ydx xdy .3.6x 2y9y 2 1 .三.计算题Z xy, e xsin x y cos x y yz2.— X 2 X J 1 zy2y z 1 .z 2 23.dsind 6 216 34.- R 3 . 33x 2x5. y e e四.应用题1. 长、宽、高均为3 2m 时，用料最省1 2 2. y x .3《高数》试卷2 （下）一.选择题（3分10）1.点 M 1 4,3,1，M 2 7,1,2 的距离 M 1M 2 （）.2.设两平面方程分别为 x 2y 2z 1 0和 x y 5 0，则两平面的夹角为（试卷1参考答案4.1n2n5. yC i C 2X e2x.z xy .1. e ysin x xcos x y A. 12B. 13C. 14D. 15A. 6B.4C. 3D.?3.函数 z arcs in x 2 y 2的定义域为（ A. x, y 0B. x,y 0 y 2 1C. x, y 0 x 2D. x,y 0 x 2 4•点P 1, 2,1 到平面 x 2y 2z 0的距离为（ A.3 B.4 C.5 D.6 5屈数z 2xy 3x 2 2y 2的极大值为（） A.0 B.1 C. 1 1 D.- 26.设z2 小 x 3xy y 2，则—1 x 1,2 ( ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数 ar n 是收敛的，则（）.n 0A. r 1B. r 1C. ” 1D. r8.幕级数 n 1 x n 的收敛域为 ( )n 0A. 1,1B. 1,1C. 1,1D.1,1sin na 9.级数 4 疋（）. n 1 nA.条件收敛B.绝对收敛 c.发散 10.微分方程xy yl ny 0的通解为（ A. y e cx B. x — y ceC. y x e 二填空题（4分 5) x 3 1.直线l 过点A 2,2, 1且与直线y t)•D. D.不能确定 xy cxe平行，则直线I 的方程为2t2.函数z e xy 的全微分为3•曲面z 2x2 4y2在点2,1,4 处的切平面方程为 _______________________________________________ 14. 12的麦克劳林级数是__________________________ •1 x25•微分方程xdy 3ydx 0在y x11条件下的特解为________________________________ •三•计算题（5分6）1. 设a i 2j k,b2j 3k ,求a b.四.应用题（10分2）2.设z u2v uv2，而u xcosy,v xsin y，求—z3.已知隐函数z z x,y3由x 3xyz 2确定，求5.求微分方程y 3y2ax（a 0）所围的几何体的体积4a2与圆柱面x2 2 y2y 0的通解.1.试用二重积分计算由y x,y 2 x和x 4所围图形的面积.2.如图，以初速度v。

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《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）..4 C2.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x【4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. B.2- D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-）9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分⨯6）.1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD | 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-."4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）.!A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）. .4 C5.函数22232y x xy z --=的极大值为（）. B.1 C.1- D.21】6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （）..7 C 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.￥2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ∂∂∂∂3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.%试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.!2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ .3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂.4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.￥《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、z yz R x ,-- D 、zyz R x ,- 》6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（）A 、2B 、21C 、1D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

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高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。

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《高等数学》试卷1（下）一 .选择题（ 3 分10）1.点M12,3,1到点 M 2 2,7,4的距离 M1M 2（） .A.3B.4C.5D.62.向量a i 2 j k ,b2i j ，则有（） .A. a∥bB. a⊥bC. a,b3D. a, b43.函数y2x2y 21的定义域是（） .x2y21A.x, y 1 x2y 22B.x, y 1 x 2y22C. x, y 1 x2y 22 D x, y 1 x2y224.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 05.函数z x3y33xy的极小值是（） .A.2B.2C.1D.16.设z xsin y ，则z＝（） . y 1,4A.2B.2C.2D.2 227.若p级数1收敛，则（） .n 1 n pA. p 1B. p1C. p1D. p18.幂级数x n的收敛域为（） .n 1 nA.1,1B1,1 C.1,1 D.1,1x n9.幂级数在收敛域内的和函数是（） .n 021 B.2 C.2 D.1A.1212x x x x10.微分方程 xy y ln y0 的通解为（）.A.y ce xB. y e xC. y cxe xD. y e cx二 .填空题（ 4 分5）1.一平面过点A 0,0,3且垂直于直线AB ，其中点B 2, 1,1，则此平面方程为______________________.2.函数z sin xy的全微分是 ______________________________.3.设z x3 y 23xy3xy 1 ，则 2 z_____________________________.x y1的麦克劳林级数是 ___________________________.4.2x5.微分方程y 4 y 4 y 0 的通解为_________________________________.三 .计算题（ 5 分6）1.设z e u sin v ，而 u xy, v x y ，求z , z.x y2.已知隐函数z z x, y由方程 x 2 2 y2z24x2z 5 0 确定，求z ,z .x y3.计算sin x2y 2 d，其中 D:2x 2y242.D4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程y 3 y e2 x在 y x 00 条件下的特解.四 .应用题（ 10 分2）1.要用铁板做一个体积为 2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？1 2..曲线y f x 上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2 倍，且曲线过点1,，3求此曲线方程.试卷 1 参考答案一 .选择题 CBCAD ACCBD 二 .填空题 1. 2xy 2 z 6 0.2. cos xy ydx xdy .3. 6x2y 9 y 2 1 .4.1 nxn.n 1n 025. y C 1 C 2 x e 2 x.三 .计算题1.z e xyy sin xycos x y ，z e xy x sin x y cos x y .xy2.z 2 x , z 2 y . xz 1 yz 122sind 6 2.3.d4. 16R 3 .35. y e 3 x e 2x .四 .应用题1.长、宽、高均为 3 2m 时，用料最省 .2. y1 x2 .3《高数》试卷 2（下）一 .选择题（ 3 分 10）1.点 M 1 4,3,1 ， M 2 7,1,2 的距离 M 1 M 2 （） .A. 12B. 13C. 14D. 152.设两平面方程分别为x 2y 2z 1 0和 x y 5 0 ，则两平面的夹角为（）.A. B. C.3D.6423.函数z arcsin x 2y 2的定义域为（） .A.x, y 0 x 2y21B.x, y 0 x 2y21C. x, y 0 x2y 2D. x, y 0 x2y2224.点P1,2,1 到平面x 2 y2z50 的距离为（）.A.3B.4C.5D.65.函数z2xy3x2 2 y 2的极大值为（） .A.0B.1C.11 D. 26.设z x23xy y 2，则z1,2（） .xA.6B.7C.8D.97.若几何级数ar n是收敛的，则（） .n 0A. r1B. r1C. r1D. r18.幂级数n 1 x n的收敛域为（）.n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,19.级数sin na是（） .n 1n4A. 条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10.微分方程xy y ln y0的通解为（）.A. y e cxB.y ce xC. y e xD. y cxe x二 .填空题（ 4 分5）x3t1.直线l过点A 2,2, 1 且与直线y t平行，则直线 l的方程为 __________________________.z12t2.函数z e xy的全微分为___________________________.3.曲面z2x 2 4 y 2在点 2,1,4 处的切平面方程为_____________________________________.1的麦克劳林级数是 ______________________.4.1 x25.微分方程xdy 3 ydx0 在y x 11条件下的特解为 ______________________________.三 .计算题（ 5 分6）1.设a i 2 j k , b 2 j 3k ，求 a b.2.设z u2 v uv2，而 u x cos y,v x sin y ，求z ,z .x y3.已知隐函数z z x, y由 x33xyz 2 确定，求z ,z .x y4.如图，求球面x 2y 2z24a 2与圆柱面 x 2y 22ax （a0 ）所围的几何体的体积.5.求微分方程y3y 2y 0 的通解.四 .应用题（ 10 分2）1.试用二重积分计算由yx , y 2 x 和x 4 所围图形的面积.2.如图，以初速度v0将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律x x t .d 2 xg .（提示：当 t 0dt 2时，有 x x0，dxv0）dt试卷 2 参考答案一.选择题 CBABA CCDBA.二 .填空题x 2y 2 z11..1122.e xy ydx xdy .3. 8x8 y z 4 .4. 1 n x2n.n 05.y x3.三 .计算题1. 8i 3 j2k .2.z3x2sin ycos y cosy sin y ,z2x3sin ycosy sin y cosy x3sin3y cos3y.x yz yz z xz3.x xy z2,y xy z2.4.32 a32.3 2 35.y C1 e 2 x C2 e x.四 .应用题161..31 gt22. x v0t x0.2《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10 小题，每题 3 分，共 30 分）1、二阶行列式2-3的值为（）45A 、10B、20C、 24D、222、设 a=i+2j-k,b=2j+3k，则 a 与 b 的向量积为（）A 、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、点 P（ -1、 -2、 1）到平面x+2y-2z-5=0 的距离为（）A 、2B、 3C、 4D、 54、函数 z=xsiny 在点（ 1，）处的两个偏导数分别为（）4A 、 2 ,2,B、 2 ,2C、22225、设 x2+y 2+z2 =2Rx ，则z ,z分别为（）x y 22 D 、2 2 , 2222A 、x R,y B 、x R ,y C、x R , y D、x R,y z z z z z z z z6、设圆心在原点，半径为R，面密度为x2y2的薄板的质量为（）（面积 A=R 2）2B、2212A、R A2R A C、3R A D、R A27、级数(1)n x n）n的收敛半径为（n 1A 、2B、1C、 1D、 3 28、 cosx 的麦克劳林级数为（）A 、( 1)nx 2nB、( 1)n x 2n C、( 1)n x 2 n D、( 1)nx2n 1 ( 2n)!(2n)!(2n)!( 2n 1)!n0n1n 0n 09、微分方程 (y``) 4+(y`) 5+y`+2=0 的阶数是（）A 、一阶B 、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程 y``+3y`+2y=0的特征根为（）A 、-2， -1B、 2，1C、-2， 1 D 、 1，-2二、填空题（本题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）1、直线 L1： x=y=z 与直线 L ：x1y3z的夹角为___________。

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《高等数学》试卷1(下）一。

选择题（3分10）1。

点到点的距离( ）.A.3 B。

4 C。

5 D.62.向量，则有（）.A。

∥B。

⊥ C. D。

3.函数的定义域是( ）.A. B.C。

D4。

两个向量与垂直的充要条件是( ）.A. B. C. D.5.函数的极小值是( ）.A。

2 B。

C。

1 D。

6。

设，则＝（）。

A. B. C. D。

7.若级数收敛,则（）。

A. B。

C。

D.8。

幂级数的收敛域为（）.A. B C。

D。

9。

幂级数在收敛域内的和函数是( ）.A. B。

C。

D。

10。

微分方程的通解为（）.A. B. C。

D。

二.填空题（4分5）1.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为______________________.2。

函数的全微分是______________________________.3.设，则_____________________________。

4.的麦克劳林级数是___________________________.5。

微分方程的通解为_________________________________.三。

计算题（5分6）1.设，而,求2。

已知隐函数由方程确定，求3.计算，其中.4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(为半径）。

5.求微分方程在条件下的特解。

四.应用题（10分2）1.要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2。

曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点,求此曲线方程.《高数》试卷2（下）一。

选择题（3分10）1.点,的距离( )。

A. B. C. D.2.设两平面方程分别为和,则两平面的夹角为（）.A。

B。

C. D。

3。

函数的定义域为（）。

A. B.C。

D.4。

点到平面的距离为( ）。

A。

3 B.4 C。

5 D.65.函数的极大值为（）。

A.0B.1C.D.6。

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最新《高数》题库一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x= 和 ()g x =1 2．函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（）.（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dx x x ++⎰②()0a > ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1．作出函数323y x x =-的图像.。

(完整)高等数学考试题库(附答案)

高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。

2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。

3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。

6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。

7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。

8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。

9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。

10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。

11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。

12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。

13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。

18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。

20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

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一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2.则有（）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =.则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（）.A.22 B.22- C.2 D.2- 7.若p 级数∑∞=11n pn收敛.则（）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-2110.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB .其中点()1,1,2-B .则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z .则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =.而y x v xy u +==,.求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定.求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin .其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱.问长、宽、高各取怎样的尺寸时.才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍.且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1.求此曲线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin .()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时.用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M .()2,1,72M 的距离=21M M （）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x .则两平面的夹角为（）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（）. A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=.则()=∂∂2,1xz （）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的.则（）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n n na是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行.则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=.求.b a ⨯2.设22uv v u z -=.而y x v y x u sin ,cos ==.求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定.求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图.求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 四.应用题 1.316.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题.每题3分.共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k.则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1.4π）处的两个偏导数分别为（）A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx.则yzx z ∂∂∂∂,分别为（） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点.半径为R.面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2A D 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（） A 、-2.-1 B 、2.1 C 、-2.1 D 、1.-2 二、填空题（本题共5小题.每题4分.共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

2021年河南省专升本高等数学真题(带答案详解)

2021年河南省专升本高等数学真题（带答案详解）2021年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号分值一二三四五总分 150 60 30 40 14 6注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考生号涂写在答题卡上。

本试卷的试题答案在答题卡上，答试卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，有铅笔把答题卡上对应的题目的标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.1.下列函数相等的是（）x2 A.y?，y?x B. y?x2，y?xx C.y?x，y?(x)2 D. y?x，y?x2 【答案】D.解：注意函数的定义范围、解析式，应选D.2.下列函数中为奇函数的是（）ex?e?x A.f(x)? B. f(x)?xtanx2 C. f(x)?ln(x?x2?1) D. f(x)?【答案】C.解: f(?x)?ln(?x?x2?1)，x 1?xf(x)?f(?x)?ln(?x?x2?1)?ln(x?x2?1)?ln1?0f(?x)??f(x)，选C.3．极限limx?1的值是 ( ) x?1x?1A.1 B.?1 C.0 D.不存在【答案】D. 解：limx?1x?1，x?1??1limx?1?x?1??1，应选D.x?14.当x?0时，下列无穷小量中与x等价是（）2x2?x B.3x C. ln(1?x) D. sin2x 【答案】C.解: 由等价无穷小量公式，应选C.5.设f(x)?ex?1x，则x?0是f(x)的（）连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点【答案】B.解: limex?1x?0f(x)?limx?0x?1?x?0是f(x)的可去间断点,应选B. 6. 已知函数f(x)可导，且limf(1)?f(1?x)x?02x??1，则f?(1)? （ A. 2 B. -1 C.1 D. -2 【答案】D. 解：limf(1)?f(1?x)x?02x?12f?(1)??1?f?(1)??2，应选D.7.设f(x)具有四阶导数且f??(x)?x，则f(4)(x)? （ 12xB．x C．1 D．?14x?3A．2【答案】D. 解：f(3)?1x?1，f(x)??1x?3(x)2(4)224，应选D.8.曲线??y?sin2t在?x?costt?π4对应点处的法线方程（）） A.A.）A. x?2B. y?1C. y?x?1D. y?x?1 2【答案】A. 解：dy2cos2t2，应选A. ??k切?0?x?x0?dxsint2?xx?ef(x)?edx，且f(0)?0，则f(x)? （） 9.已知d???A．e2x?ex B. e2x?ex C. e2x?e?x D. e2x?e?x 【答案】B.?xx?ef(x)?edx得解:由d????xx?xx2xxd??ef(x)???d(e)?ef(x)?e?C?f(x)?e?Ce，把f(0)?0代入得C??1,所以f(x)?e2x?ex,应选B.10.函数在某点处连续是其在该点处可导的（） A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 无关条件【答案】A.解:根据可导与连续的关系知，应选A.11.曲线y?x4?24x2?6x的凸区间为（） A.(?2,2) B. (??,0)C.(0,??)D. (??,??) 【答案】A.解: y??4x3?48x?6，y???12x2?48?0?x?(?2,2)，应选A.ex12. 设y? （）xA.仅有水平渐近线 B.既有水平又有垂直渐近线 C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线【答案】B.exex?0，lim??，应选B. 解: limx???xx?0x13.下列说法正确的是（）A. 函数的极值点一定是函数的驻点B. 函数的驻点一定是函数的极值点C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点 D. 以上说法都不对【答案】D.解: 根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选D.14. 设函数f(x)在[a,b]连续，且不是常数函数,若f(a)?f(b)，则在(a,b) 内（）A. 必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C. 既有极大值又有极小值 D. 至少存在一点?，使f?(?)?0 【答案】A.解:根据连续函数在闭区间上的性质及f(a)?f(b)的条件,在对应的开区间内至少有一个最值,应选A.15.若f(x)的一个原函数为lnx ，则f?(x)? （） A.11 B.?2 C. lnx D. xlnx xx【答案】B.11解: f(x)??lnx???? f?(x)??2,应选B.xx16.若?f(x)dx?x2?C，则?xf(1?x2)dx? （）A. ?2(1?x2)2?CB. 2(1?x2)2?C11 C. ?(1?x2)2?C D. (1?x2)2?C22【答案】C.解: ?xf(1?x2)dx??1122f(1?x)d(1?x)?(1?x2)2?C,应选C. =?22?2021.下列不等式不成立的是（）A. ?lnxdx??(lnx)dxB. ?2sinxdx??2xdx11022?C. ?ln(1?x)dx??xdx D. ?exdx??(1?x)dx00002222【答案】D.解: 根据定积分的保序性定理，应有?exdx??(1?x)dx，应选D.002218.?1lnxdx= （）eeA. ?1lnxdx??lnxdx B. ?1lnxdx??lnxdxe1e11e1eC. ??1lnxdx??lnxdx D. ??1lnxdx??lnxdxe1e11e1e【答案】C.1??lnx,?x?1?解:因|lnx|??,考察积分的可加性有e??lnx,1?x?e?e1elnxdx???1lnxdx??lnxdx，应选C.e11e19．下列广义积分收敛的是（）A.?????????lnx111dxB. ?dxC. ?D. dx?ex?3lnxdx eexxlnxx(lnx)2e【答案】C.解:由广义积分性质和结论可知:???e1dx是p?2的积分,收敛的,应选C. 2x(lnx)20.方程x2?y2?z?0在空间直角坐标系中表示的曲面是（） A.球面B.圆锥面C. 旋转抛物面D.圆柱面【答案】C.解:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程x2?y2?z?0在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选C.????21. 设a???1,1,2?，b??2,0,1?，则a与b的夹角为（）A．0 B．??? C． D． 642【答案】D.???????b?0?a?b?(a,b)?,应选D. 解:a?2感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷(含答案)

2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷适用专业：应化考试日期：年月试卷类型：闭卷考试时间：120分钟试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间[1,1]-的定义为22,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在2x =收敛于 1 ． 2.设y zx =，则x z =1y yx - ; y z =ln y x x3.改变积分顺序1(,)dy f x y dx ⎰= 211(,)xdx f x y dy ⎰⎰ .4.将函数sin xx 展开成x 的幂级数为 ()()20121nn n x n ∞=-+∑5.设L 为圆周224x y +=，则22Lx y ds +⎰8π .二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1.设D 为圆域: 224x y +≤,曲面1D 是D 在第一象限中的部分.则有( D ). (A) 14DD xd xd σσ=⎰⎰⎰⎰ (B) 14DD yd yd σσ=⎰⎰⎰⎰(C) 14DD xyd xyd σσ=⎰⎰⎰⎰ (D) 122224DD x y d x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.2.lim 0n n u →∞≠是级数1nn u∞=∑发散的（ A ）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件 3.设∑为曲面3z = ()221x y +≤则下面积分中不为0的是( D ) (A)xyzdydz ∑⎰⎰ (B)xyzdxdy ∑⎰⎰ (C)xyzdzdx ∑⎰⎰ (D)zdS ∑⎰⎰4.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()ay by cy f x '''++=的三个线性无关的解，则0ay by cy '''++=的通解为( C ).(A)1122c y c y + (B)1223c y c y + (C) ()1122123c y c y c c y +-+ (D) 112233c y c y c y ++5.设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则⎰⎰∑++dS y x ey x )sin(2222＝（ D ）.(A) 0 (B)2sin Re R R π (C) R π4 (D)2sin Re 2R R π 三、解下列各题。

高等数学下考试题库(附答案)

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分10）1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（）.A.3B.4C.5D.62.向量ai2jk,b2ij，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC. a,bD.3 a,b43.函数122y2xy的定义域是（）.22xy12y2y22A.x,y1x2B.x,y1x22y2y22C.x,y1x2Dx,y1x24.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.ab0B.ab0C.ab0D.ab0335.函数zxy3xy 的极小值是（）.A.2B.2C.1D.16.设zxsiny，则zy 1, 4＝（）.A.22B.22C.2D.27.若p级数n1 1 pn收敛，则（）.A.p1B.p1C.p1D.p18.幂级数n1nxn的收敛域为（）.A.1,1B1,1C.1,1D.1,19.幂级数nx02n在收敛域内的和函数是（）.1221A.B.C.D.1x2x1x2x 10.微分方程xyylny0的通解为（）.A. xyceB.xyeC.xycxeD. ycxe二.填空题（4分5）1.一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB，其中点B2,1,1，则此平面方程为______________________.2.函数zsinxy的全微分是______________________________.3yxy3xy2 3.设zx31，则2zxy_____________________________.1的麦克劳林级数是___________________________.4.2x三.计算题（5分6）zzu sin，而uxy,vxy，求,.1.设zevxyzz2yzxz222.已知隐函数zzx,y由方程x24250确定，求,.xy22 3.计算sinxyd，其中24222 D:xy.D4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.四.应用题（10分2）1.要用铁板做一个体积为23m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？.试卷1参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.2xy2z60.2.cosxyydxxdy.2yy23.6x91.4.n0n1n12nx.11.y2x CCxe1.2三.计算题zxyzxy4.eysinxycosxy，exsinxycosxy.xy5.zx2zx1,zy2zy1.6.22dsind26.7.1633R.8.y3xe2ex.四.应用题5.长、宽、高均为m32时，用料最省.126.yx.3《高数》试卷2（下）一.选择题（3分10）2.点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.A.12B.13C.14D.153.设两平面方程分别为x2y2z10和xy50，则两平面的夹角为（）.A.B.C.D.64324.函数22zarcsinxy的定义域为（）.2y2y22A.x,y0x1B.x,y0x1C. 2y2x,y0xD.2 x,y0x 2y225.点P1,2,1到平面x2y2z50的距离为（）.A.3B.4C.5D.66.函数222z2xy3xy的极大值为（）.A.0B.1C.1D. 1 212.设z 23xyy2zx，则1,2x（）.A.6B.7C.8D.913.若几何级数nar是收敛的，则（）. n0A.r1B.r1C.r1D.r114.幂级数nn1x的收敛域为（）.n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,115.级数sinnn1n a4 是（）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定二.填空题（4分5）x3t9.直线l过点A2,2,1且与直线yt 平行，则直线l的方程为__________________________.z12t10.函数xyze的全微分为___________________________.11.曲面242z2xy在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分6）7.设ai2jk,b2j3k，求ab.8.设zz 2zu，而uxcosy,vxsiny，求,.2vuvxyzz3xyz9.已知隐函数zzx,y由x32确定，求,.xy10.如图，求球面2y2z24a22 2x与圆柱面xy2ax（a0）所围的几何体的体积.四.应用题（10分2）16.试用二重积分计算由yx ,y2x 和x4所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题CBABACCDBA. 二.填空题 12.x 2y2z 112 1 . xy13.eydxxdy.14.8x8y z4.15.1n0nx 2n. 16.3 yx. 三.计算题11.8i3j2k.z 2z 333312.3xsinycosycosysiny,2xsinycosysinycosyxsinycosy .xy zyzzxz 13.2,2xxyzyxyz. 14. 3232 a.323 15. 2xxCeyCe21.四.应用题17. 16 3.12xgtvtx.2.002《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（） 42A 、,22 2,2 B 、,22 2C 、2 22 2D 、2 22 2, 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则2+y 2+z 2=2Rx ，则z x z,分别为（）yA 、x R z yx ,B 、 z z R yxRy ,C 、,D 、 zzzx z R , y z 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为2y 2 x 的薄板的质量为（）（面积A= 2 R ）1A 、R2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、RA22n xn7、级数(1)的收敛半径为（）nn1A 、2B 、1 2C 、1D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、 ( n0 n 1) ( 2n x 2n)!B 、 (1) n1n 2n x (2n)! C 、 n 0 ( 1) n 2n x (2n)!D 、 n 0 ( 1) n ( 2n x 2n 1 1)!二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）___________。

2021年高等数学考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）欧阳光明（2021.03.07）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x = （D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()()20ln 10x f x x a x ≠⎪=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（）.（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1||y x =的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（）.（A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x xdx e e -+⎰的结果是（）.（A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()102f x dx '⎰等于（）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()2100x e x f x xa x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰. 5．()422sin cos x x x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭②()2sin 1limx x x x x e →--2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰②()0a >③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分）1．作出函数323y x x=-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积. 《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．2- 2．- ３．２４．arctanln x c + ５．２三．计算题１①2e ②162.11x y x y '=+-3. ①11ln ||23x C x +++②ln ||x C +③()1x e x C --++四．应用题１．略２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ). (A)()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+(C)()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D)()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B) 2π(C) 锐角 (D) 钝角4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ).(A) 12,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的 6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ). (A) ()121x x e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C)()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D)()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分ba dx ⎰()ab <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分) 1.设()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1y y xe =-所确定的隐函数的导数x y '.3.求下列不定积分: ①3tan sec x xdx ⎰②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分)1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π 三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc +②()22ln x a x c +++③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、填空题(每小题3分, 共24分)1. 函数219y x=-的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()x y f e =, 则____________.y '=5. 221lim_________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________.7. 20_______________________.x td e dt dx-=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程. 二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1.01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1.2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx.四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1.12sin x dx x⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2. ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解.八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解.《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+ 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy t t t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰由10,0y x C ==⇒=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分）1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（）. A []1,2- B [)1,2- C (]1,2- D ()1,2-2、极限x x e ∞→lim 的值是（）. A 、 ∞+ B 、 0 C 、∞- D 、不存在 3、=--→211)1sin(limxx x （）. A 、1 B 、 0 C 、 21- D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（）.A 、)(2x d xdx =B 、)2(sin 2cos x d xdx =C 、)5(x d dx --=D 、22)()(dx x d = 6、设 ⎰+=C x dx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （）.A 、2sin xB 、 2sin x -C 、 C x +2sinD 、2sin2x - 7、⎰=+dx x x ln 2（）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 18、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、⎰104dx x π B 、⎰10ydy π C 、⎰-10)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e+ 10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（）.A 、x e y 273=*B 、x e y 73=*C 、x xe y 272=*D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数x xe y =，则 =''y ；2、如果322sin 3lim=→x mx x , 则 =m . 3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是.5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 xxx x --+→11lim 0； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21x y xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、求抛物线2xy = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、x e x )2(+； 2、94； 3、0 ； 4、x e x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ；四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（）.A 、 x x cos lim 0→B 、x x arctan lim ∞→C 、x x sin lim ∞→D 、x x 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（）. A 、C e x +sin B 、C x e x +cos sinC 、C x e x +sin sinD 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、⎰104dx x π B 、⎰10ydy π C 、⎰-10)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π 9、设 a ﹥0，则 =-⎰dx x a a022（）. A 、2a B 、22a πC 、241a 0D 、241a π10、方程（）是一阶线性微分方程. A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x 二、填空题（每小题4分） 1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 x xe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是，最小值是；4、=⎰-113cos xdx x ；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是.三、计算题（每小题5分）1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ； 2、求 x x y arccos 12-= 的导数； 3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xx ln 21；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2 满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B. 二、1、 2 ，b ； 2、x e x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、x x e C e C 221+. 三、1、31 ； 2、1arccos 12---x xx ； 3、dx xx 221)1(1-- ；4、C x ++ln 22 ；5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略。

2021年大学高等数学考试试题及解析

2021年大学高等数学考试试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 011limcot ()sin x x x x→-=_____________. (2) 曲面23zz e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3) 设sin xx u e y -=,则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4) 幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R =______________. (5) 设三阶方阵A 、B 满足关系式：16A BA A BA -=+,且100310041007A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则B = ______________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设有直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4230x y z ∏-+-=,则直线L ( )(A) 平行于∏ (B) 在∏上 (C) 垂直于∏ (D) 与∏斜交 (2) 设在[0,1]上()0f x ''>,则(0)f '、(1)f '、(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是( )(A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (3) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件(C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4) 2tan (1cos )lim2ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有 ( )(A) 4b d = (B) 4b d =- (C) 4a c = (D) 4a c =-(5) 已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组 ( ) (A) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关 (B) 12αα-、23αα-、34αα-、41αα-线性无关(C) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα-线性无关 (D) 12αα+、23αα+、34αα-、41αα-线性无关三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)设2221cos(),cos(),t x t y t t udu ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰ 求dy dx 、22d y dx在t =. (2) 将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数. (3) 求sin 22sin dxx x +⎰.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分zdS ∑⎰⎰,其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分. (2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续导数,(0)0,(0)1f f '==,且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰,求(,)Q x y .七、(本题满分6分)已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕z 轴旋转一周所围成的旋转曲面为S .求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、(本题满分7分)设三阶实对称矩阵A 的特征值为11λ=-,231λλ==,对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=,求A .九、(本题满分6分)设A 为n 阶非零方阵,*A 是A 的伴随矩阵,T A 是A 的转置矩阵,当*T A A =时,证明||0A ≠.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =___________. (2) 设X 和Y 为两个随机变量,且{}30,07P X Y ≥≥=, 4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=, 则{}max(,)0P X Y ≥=___________.十一、(本题满分6分)已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4)N ,X 与Y 的相关系数12XY ρ=-,设32X YZ =+,(1) 求Z 的数学期望()E Z 和方差()D Z ； (2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ； (3) 问X 与Z 是否相互独立？为什么？2021年大学高等数学考试试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】16【解析】原式变形后为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式20cos (sin )limsin x x x x x x →-=300sin limcos lim x x x xx x→→-=⋅ 2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-===. (由重要极限0sin lim 1x xx→=) (2)【答案】240x y +-=【解析】所求平面的法向量n 为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l ,取n l =,又平面过已知点(1,2,0)M .已知平面的法向量(,,)A B C 和过已知点000(,,)x y z 可唯一确定这个平面：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.因点(1,2,0)在曲面(,,)0F x y z =上.曲面方程(,,)23zF x y z z e xy =-+-. 曲面在该点的法向量{}{}{}(1,2,0)(1,2,0),,2,2,14,2,022,1,0z F F F n y x e x y z ⎧⎫∂∂∂ ==-==⎨⎬∂∂∂⎩⎭, 故切平面方程为 2(1)(2)0x y -+-=, 即 240x y +-=.(3)【答案】22eπ【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求u y ∂∂,再求u x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭. 2cos x u x xe y y y-∂=-∂, ()2221112(2,)(2,)2cos x y x x u u uxe x x y y x x y xπππππ-===⎛⎫∂∂∂∂∂===-⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭2222((1)cos )0xx e x x e πππ-==--+=.(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (4)【解析】令212(3)n n n nna x -=+-,则当n →∞时,有 2(1)1111212211112(3)limlim 2(3)23(1)311lim ,323(1)3n n n n n n n nn n nn n n n n n n xa a nx n x x n +-+++→∞→∞-+→∞++++-=+-⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=⋅⋅=⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦而当2113x <时,幂级数收敛,即||x <,此幂级数收敛,当2113x >时,即||x >时,此幂级数发散,因此收敛半径为R =(5)【答案】300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【解析】在已知等式16A BA A BA -=+两边右乘以1A -,得16AB E B -=+,即1()6A E B E --=.因为 1300040007A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以116()6B A E --=-=1200030006-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题.直线L 的方向向量132281477(42)2110i jk l i j k i j k ⎛⎫ ⎪==-+-=--+ ⎪ ⎪--⎝⎭, 平面∏的法向量42n i j k =-+,l n ,L ⊥∏.应选(C). (2)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格单调递增函数,故(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<故应选择(B).(3)【答案】(A) 【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f =,所以000()(1sin )()(0)()()(0)limlim lim lim (0)x x x x f x x F x F f x f x f f x x x x→→→→+--'====, 由此可得 ()F x 在0x =处可导.必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知0()sin ()sin lim lim x x f x x f x xx x-+→→⋅⋅=. ①根据重要极限0sin lim1x xx→=,可得00sin sin lim lim 1x x x x x x --→→=-=-,00sin sin lim lim 1x x x xx x++→→==, ② 结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选(A). (4)【答案】(D)【解析】因为 22211cos (),1()2x xx o x e x o x --=-=,故 tan (1cos ) (0)a x b x ax a +-≠,2ln(12)(1)2 (0)x c x d ecx c --+--≠,因此,原式左边0lim222x ax acx c→====--原式右边,4a c ⇒=-.当0,0a c =≠时,极限为0；当0,0a c ≠=时,极限为∞,均与题设矛盾,应选(D). 【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim.()x l x αβ= （1）若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小；（2）若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；（3）若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=.若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. 2. 无穷小量的性质：当0x x →时,(),()x x αβ为无穷小,则()()()()(())x x x x o x αβαββ⇔=+.(5)【答案】(C)【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式. (A)：由于()()()()122334410αααααααα+-+++-+=,所以(A)线性相关. (B)：由于()()()()122334410αααααααα-+-+-+-=,所以(B)线性相关.对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由α的系数构成的行列式,即100111002001100011-=≠,由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C). 当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由12233441()()()()0αααααααα+-++-+-=,知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C). 【相关知识点】12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=可以由111,,,,i i s αααα-+线性表出.12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=均不能由111,,,,i i s αααα-+线性表出.三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)【解析】dy dy dt dy dx dtdtdx dt dx =⋅=222221cos 2sin cos 22(0),2sin t t t t t t t y t t t x t t--⋅'===>'- 同理 2()12sin x txx t y y x t t''''=='-, 代入参数值t =则xt y '=xxt y ''=【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. 2.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(2)【解析】111()ln(1)ln(1)arctan 442f x x x x x =+--+-. 先求()f x '的展开式.将()f x 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由2(1)(1)(1)(1)1,2!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++(11)x -<<该级数在端点1x =±处的收敛性,视α而定.特别地,当1α=-时,有2311(1),1n n x x x x x =-+-++-++ (11)x -<< 2311,1n x x x x x =++++++- (11)x -<< 得 2221111111111()114141212121f x x x x x x '=++-=+-+-+-+44401111(||1)1n n n n x x x x ∞∞===-=-=<-∑∑, 积分,由牛顿-莱布尼茨公式得4140011()(0)() (||1)41n xx nn n x f x f f x dx t dt x n +∞∞=='=+==<+∑∑⎰⎰.(3)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sin cos ααα=⋅,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得sin 22sin 2sin (cos 1)dx dxx x x x =++⎰⎰22sin 11cos 2sin (cos 1)2(1)(1)xdx x u du x x u u ==-+-+⎰⎰ (22sin 1cos x x =-)221(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)u u du du u u u u u ++-=-=-++-+-++⎰⎰12ln |1|ln |1|8(1)u u C u ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦, 其中C 为任意常数.方法2：换元cos x u =后,有原式22sin 12sin (cos 1)2sin (cos 1)2(1)(1)dx xdx dux x x x u u ===-++-+⎰⎰⎰.用待定系数法将被积函数分解:221(1)(1)11(1)A B Du u u u u =++-+-++22()(2)()(1)(1)A B u A D u A B D u u -+-+++=-+,1120,421A B A D A B D A B D -=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎪++=⎩.于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81du u u C u u u u ⎡⎤-++=--+++⎢⎥-+++⎣⎦⎰原式＝ ()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1)【解析】将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰.首先确定被积函数 2222(,)12x y f x y z z z x y =++=+,对锥面22z x y =+而言, 22222222112x yx y z z x y x y++=++=++. 其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域xy D (见右图),按题意：22:2xy D x y x +≤,即22(1)1x y -+≤.222xyD I x y dxdy =+⎰⎰.作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则:02cos ,22xy D r ππθθ≤≤-≤≤,因此 2cos 2cos 3220002132222239I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰⎰⎰. (2)【解析】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得()f x 的傅氏系数：0(1,2,3,)n b n ==2002200222220222()cos 2(1)cos 222(1)sin sin 2244cos ((1)1)28,21,(21)1,2,3,0,2,l n n n x n a f x dx l x xdx l l n n x d x xdx n n n x n n n k k k n k ππππππππππ==-=-=-==---⎧=-⎪-==⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰2222000021()(1)(1)022a f x dx x dx x ==-=-=⎰⎰.由于(延拓后)()f x 在[2,2]-分段单调、连续且(1)1f -=.于是()f x 有展开式22181(21)()cos ,[0,2](21)2n n f x x x n ππ∞=-=-∈-∑.五、(本题满分9分)【解析】由全微分方程的条件,有2[()()][()]xy x y f x y f x x y y x∂∂'+-=+∂∂, 即 22()()2x xy f x f x xy ''+-=+,亦即 2()()f x f x x ''+=.因而是初值问题 200,0,1,x x y y x y y ==''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩ 的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=的根为1,2r i =±,原方程右端202x x e x =⋅中的0λ=,不同于两个特征根,所以方程有特解形如 2Y Ax Bx C =++. 代入方程可求得 1,0,2A B C ===,则特解为22x -.由题给(0)0,(0)1f f '==,解得 2()2cos sin 2f x x x x =++-.()f x 的解析式代入原方程,则有22[2(2cos sin )][22sin cos ]0xy y x x y dx x y x x x dy +-+++-+=.先用凑微分法求左端微分式的原函数：222211()2()(2sin cos )(2sin cos )022y dx x dy ydx xdy yd x x x x dy +++----=, 221(2(cos 2sin ))02d x y xy y x x ++-=. 其通解为 2212(cos 2sin )2x y xy y x x C ++-= 其中C 为任意常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .x y e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分8分)【解析】在平面上LPdx Qdy +⎰与路径无关(其中,P Q 有连续偏导数),⇔P Q y x ∂∂=∂∂,即 2Q x x∂=∂. 对x 积分得 2(,)()Q x y x y ϕ=+,其中()y ϕ待定.代入另一等式得对t ∀,()()(,1)(1,)(0,0)2(0)2,0()()22t t xydx dy xydx d x y y x y ϕϕ+=+++⎰⎰. ①下面由此等式求()y ϕ.方法一：易求得原函数()()()022222()()2(()()).yyxydx dy ydx dyd x y dd x y x s d x dy y s s y ds ϕϕϕϕ+=+=+=+++⎰⎰于是由①式得 ()()(,1)(1,)22(0,0)(0,0)()()t t yyx y dsx y d s s sϕϕ+=+⎰⎰.即 12()()tt ds t ds s s ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ts t t ds ϕ=+⎰.求导得 )2(1t t ϕ=+,即 ()21t t ϕ=-. 因此 2(,)21Q x y x y =+-.方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.于是得()()120()1()tt dy dy y y ϕϕ+=+⎰⎰.即 12()()tt dy t dy y y ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ty tt dy ϕ=+⎰.其余与方法一相同.七、(本题满分6分) 【解析】方法1：用定积分.设高度为z 处的截面z D 的面积为()S z ,则所求体积1()V S z dz =⎰.,A B 所在的直线的方向向量为()()01,10,101,1,1---=-,且过A 点,所以,A B 所在的直线方程为1111x y z -== - 或 1x z y z=-⎧⎨=⎩. 截面z D 是个圆形,其半径的平方 22222(1)R x y z z =+=-+,则面积222()[(1)]S z R z z ππ==-+,由此 1220[(1)]V z z dz π=-+⎰()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=.方法2：用三重积分.2123V dV d dz ππθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰, 或者 1122[(1)]zD V dV dz d z z dz σπΩ===-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=.八、(本题满分7分)【解析】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)Tx x x ξ=,因为A 为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故10Tξξ=,即230x x +=. 解之得 23(1,0,0),(0,1,1)T Tξξ==-.于是有 123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=, 所以 1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-=1010010100101101001101101010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.九、(本题满分6分)【解析】证法一：由于 *TA A =,根据*A 的定义有(,1,2,,)ij ij A a i j n =∀=,其中ij A 是行列式||A 中ij a 的代数余子式.由于0A ≠,不妨设0ij a ≠,那么2222112212||0ij i i i i in in i i in A a A a A a A a a a a =+++=+++≥>,故 ||0A ≠.证法二：(反证法)若||0A =,则*T AA AA ==||0A E =. 设A 的行向量为(1,2,,)i i n α=,则 222120T i i i i in a a a αα=+++= (1,2,,)i n =.于是 12(,,,)0i i i in a a a α== (1,2,,)i n =.进而有0A =,这与A 是非零矩阵相矛盾.故||0A ≠.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X 服从10,0.4n p ==的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式,有()4,()(1) 2.4E X np D X np p ===-=,根据方差性质有 22()()[()]18.4E X D X E X =+=. (2)【解析】令{0},{0}A X B Y =<=<,则{max(,)0}1{max(,)0}1{0,0}P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<<.由概率的广义加法公式 ()()()()P AB P A P B P AB =+-,有{max(,)0}1[1()]()()()()P X Y P AB P A B P A p B P AB ≥=--=+=+-4435.7777=+-=十一、(本题满分6分)【解析】此题的第一小问是求数学期望()E Z 和方差()D Z ,是个常规问题；(2)求相关系数XZ ρ,关键是计算X 与Z 的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.(1) 由2(1,3)XN ,2(0,4)Y N ,知()1,()9,()0,()16E X D X E Y D Y ====.由数学期望和方差的性质：()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()2Cov(,)D aX bY c a D X b D Y ab X Y ++=++,其中,,a b c 为常数.得 111,323EZ EX EY =+= 111Cov(,)943DZ DX DY X Y =++111916943XY ρ=⨯+⨯+115()34 3.32=+⨯-⨯⨯=(2) 因为11Cov(,)Cov(,)32X Z X X Y =+11Cov(,)Cov(,)32X X X Y =+2113(6)032=⋅+-= 所以 0XZ ρ==.(3) 由于(,)X Y 服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而32X YZ =+,0X X Y =+,故X 和Z 都是其线性组合,则(,)X Z 服从二维正态分布,根据 0XZ ρ==,所以X 与Z 是相互独立的.。

2021年全国大学高等数学考试试题及解析A

2021年全国大学高等数学考试试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。

把正确答案填写在题中横线上。

) (1) 2011lim tan x x x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰ (3) 2"4xy y e -= 的通解为y =(4) 设A 为n 阶矩阵,0A ≠,*A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值λ,则*2()A E +必有特征值 . (5) 设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,y x x e ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为 _ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1) 设()f x 连续,则220()x d tf x t dt dx-=⎰ ( ) (A) 2()xf x (B) 2()xf x - (C) 22()xf x (D) 22()xf x - (2) 函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是 ( )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (3) 已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy xα∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于 ( )(A) 2π (B) π (C) 4e π (D) 4e ππ(4)设A 是m n ⨯矩阵， B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠ (B)当m n >时，必有行列式AB 0= (C)当n m >时，必有行列式AB 0≠ (D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A) {}10.2P X Y +≤= (B) {}1P X+Y 1.2≤= (C) {}1P X-Y 0.2≤= (D) {}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdx。

2021年全国大学高等数学考试试题及解析B

2021年全国大学高等数学试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数()y y x =由方程cos()0x yexy ++=确定,则dydx=____________. (2) 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度M gradu =____________. (3) 设21, <0,()1, 0<,x f x x x ππ--≤⎧=⎨+≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于____________.(4)设数量场u =则(grad )div u =______________.(5) 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1n -,则线性方程组0Ax =的通解为______________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设sin 20()sin()xf x t dt =⎰,34()g x x x =+则当0x →时,()f x 是()g x 的 ( )(A) 等价无穷小 (B) 同阶但非等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小(2) 双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为 ( )(A) 402cos 2d πθθ⎰ (B) 404cos 2d πθθ⎰(C) 2θ (D) 2401(cos 2)2d πθθ⎰(3) 设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩,则1L 与2L 的夹角为 ( ) (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π(4) 设32()3||f x x x x =+,则使(0)nf 存在的最高阶数n 为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(5) 要使121 00, 121ξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦都是线性方程组0Ax =的解,只要系数矩阵A 为 ( ) (A) ()2 1 1- (B) 2 0 1 0 1 1-⎛⎫⎪⎝⎭(C) 1 0 2 0 1 1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (D) 011422011-⎛⎫⎪-- ⎪⎪⎝⎭三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求x x →.(2) 设22(sin ,)xz f e y x y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂.(3) 设21, 0,(), >0,x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨⎪⎩求31(2)f x dx -⎰.四、(本题满分6分)计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰,其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()()x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰,其中∑为上半球面z =.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,+)∞内有且仅有一个零点.(2) 设b a e >>,证明b a a b >.七、(本题满分8分)在变力F yz zx xy i j k =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦限的点(,,)M ξηζ,问当,,ξηζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、(本题满分6分)设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中n m <,E 是n 阶单位矩阵,若AB E =,证明B 的列向量组线性无关.九、(本题满分7分)设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3λλλ===,对应的特征向量依次为1231111,2,3149ξξξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,又向量123β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, (1) 将β用123,,ξξξ线性表出. (2) 求nA β(n 为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)(1) 一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_______.(2) 设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =_______.十一、(本题满分6分)设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,)N μσ,Y 服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数()x φ表示,其中22()t xx e dt φ--∞=).2021年全国大学高等数学考试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】sin()sin()x y x y e y xy e x xy ++---【解析】函数()y y x =是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对x 求导,将y 看做x 的函数,得(1)sin()()0x yey xy xy y +''+++=.解出y ',即sin()sin()x y x y dy e y xy y dx e x xy ++-'==--. 【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. 2.两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.(2)【答案】{}21,2,29- 【解析】对函数u 求各个分量的偏导数,有2222u x x x y z ∂=∂++；2222u y y x y z ∂=∂++；2222u z z x y z∂=∂++. 由函数的梯度(向量)的定义,有{}2221,,2,2,2u u u gradu x y z x y z x y z ⎧⎫∂∂∂==⎨⎬∂∂∂++⎩⎭, 所以 {}{}222122,4,41,2,212(2)9Mgradu=-=-++-.【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. (3)【答案】212π【解析】x π=是[,]ππ-区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在x π=处收敛于22111[(0)(0)][11]222f f ππππ-++-=-++=. 【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：函数()f x 在区间[,]l l -上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有限个极值点.则()f x 在[,]l l -上的傅里叶级数收敛,而且01(cos sin )2n n n a n n a x b x l lππ∞=++∑ [][] (), (,)()1(0)(0), (,)()21(0)(0), .2f x x l l f x f x f x x l l f x f l f l x l ⎧⎪∈-⎪⎪=++-∈-⎨⎪⎪-++-=±⎪⎩若为的连续点,若为的第一类间断点,若 (4)【答案】2221x y z++ 【解析】先计算u 的梯度,再计算该梯度的散度. 因为 grad u u u u i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂, 所以 222222(grad ),,u u u u u udiv u div x y z x y z ⎧⎫∂∂∂∂∂∂==++⎨⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭.数量场u =,,x y z 求偏导数,得222uxxx y z ∂==∂++, 由对称性知222u y y x y z ∂=∂++, 222u z z x y z ∂=∂++,将,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂分别对,,x y z 求偏导,得 2222222222222222()2()()u x y z x x y z x x x y z x y z ∂++-⋅+-==∂++++, 222222222()u z x y y x y z ∂+-=∂++, 222222222()u x y z z x y z ∂+-=∂++, 因此, 2222222221(grad )u u u div u x y z x y z∂∂∂=++=∂∂∂++. (5)【答案】(1,1,,1)T k【解析】因为()1r A n =-,由()1n r A -=知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故0Ax =的通解形式为k η.下面根据已知条件“A 的各行元素之和均为零”来分析推导0Ax =的一个非零解,它就是0Ax =的基础解系.各行元素的和均为0,即111212122212000n n n n nn a a a a a a a a a ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩,而齐次方程组0Ax =为111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩. 两者比较,可知121n x x x ====是0Ax =的解.所以应填(1,1,,1)T k .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B) 【解析】0()lim()x f x g x →为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在, 运用洛必达法则,有sin 222034232300000sin()()sin(sin )cos sin(sin )lim lim lim lim lim cos ()3434xx x x x x t dt f x x x x x g x x x x x x x →→→→→===⋅+++⎰洛2230sin(sin )lim 34x x x x →=+.因为当0x →,sin 0,x →所以222sin(sin )sin x x x ,所以222323000sin(sin )11lim lim lim 3434343x x x x x x x x x x →→→===+++, 所以()f x 与()g x 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B). 【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(A)【解析】由方程可以看出双纽线关于x 轴、y 轴对称,(如草图) 只需计算所围图形在第一象限部分的面积；双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程较为简单：2cos 2ρθ=.显然,在第一象限部分θ的变化范围是[0,]4πθ∈.再由对称性得2441001442cos 22S S d d ππρθθθ==⋅=⎰⎰,应选(A). (3)【答案】(C)【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题,1L 与2L 的方向向量分别是12(1,2,1),110(1,1,2)021i j k l l =- =-=--,1L 与2L 的夹角ϕ的余弦为121212||31cos |cos(,)|2||||6l l l l l l ϕ⋅====,所以3πϕ=,应选(C).(4)【答案】(C)【解析】因33x 处处任意阶可导,只需考查2||()x x x ϕ,它是分段函数,0x =是连接点. 所以,写成分段函数的形式,有33,0,(), 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩ 对分段函数在对应区间上求微分,223,0,()3, 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪'⇒=⎨>⎪⎩ 再考查()x ϕ在连接点0x =处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.30(0)()0x x ϕ++=''==,3(0)()0(0)0x x ϕϕ--='''=-=⇒=,即 223,0,()3, 0.x x x x x ϕ⎧-≤⎪'=⎨>⎪⎩同理可得 6,0,()6, 0,x x x x x ϕ-<⎧''=⎨ >⎩ (0)0ϕ''=,即 6,0()6||6, 0x x x x x x ϕ-≤⎧''==⎨>⎩.对于y x =有(0)1,(0) 1.y y +-''==- 所以y x =在0x =不可导,(0)ϕ'''⇒不存在,应选(C). (5)【答案】(A)【解析】1ξ,2ξ向量对应的分量不成比例,所以1ξ,2ξ是0Ax =两个线性无关的解,故()2n r A -≥.由3n =知()1r A ≤.再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2；而(D)选项秩为3.故本题选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax =,有定理如下:对矩阵A 按列分块,有()12n A ,,,ααα=,则0Ax =的向量形式为11220n n x x x .ααα+++=那么, 0Ax =有非零解 12n ,,,ααα⇔线性相关()12n r ,,,n ααα⇔< ()r A n.⇔<三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1)【解析】由等价无穷小有0x →时,22111()22x x --=, 原式=0021sin lim 12x x x x e xx →→--=, 上式为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式00cos sin lim lim 1x x x x e x e x x →→-+洛必达洛必达1011+==.(2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求zx∂∂,再求()z y x ∂∂∂∂. 由复合函数求导法则得221212(sin )()sin 2x x z f e y f x y f e y f x x x x∂∂∂''''=++=⋅+⋅∂∂∂, 212(sin 2)x z f e y f x x y y∂∂''=+∂∂∂ 111212122(cos 2)sin cos (cos 2)2x x x x f e y f y e y f e y f e y f y x '''''''''=++++ 21112221sin cos 2(sin cos )4cos x x x f e y y f e y y x y f xy f e y '''''''=⋅+⋅++⋅+⋅. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令2x t -=,则.dx dt =当1x =时,1t =-；当3x =时,1t =,于是()31121110(2)()1tf x dx f t dt t dt e dt ----=++⎰⎰⎰⎰分段01301171.33t t t e e --⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭四、(本题满分6分) 【解析】将I 表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则22P Q R z z z z x y z∂∂∂++=+-=∂∂∂. 又∑是封闭曲面,可直接用高斯公式计算.记∑围成区域Ω,见草图,∑取外侧,由高斯公式得P Q R I dV zdV x y z ΩΩ⎛⎫∂∂∂=++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求这个三重积分.在球坐标变换下,Ω为：02,0,024πθπϕρ≤≤≤≤≤≤,于是22240cos sin I zdV d d d ππθϕρϕρϕρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰23402sin sin d d ππϕϕρρ=⋅⎰⎰242401112sin 212442πππϕρπ⎡⎤⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.五、(本题满分8分) 【解析】将原式表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则2223()P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂. 以考虑用高斯公式来求解,但曲面∑不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.添加辅助面222:0()S z x y a =+≤,法向量朝下,S 与∑围成区域Ω,S 与∑取Ω的外法向量.在Ω上用高斯公式得323232222()()()3()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy x y z dV Ω++++++=++⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求右端的三重积分得222222203()3sin ax y z dV d d d ππθϕϕρρρΩ++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰4552001632sin 32155a d d a a ππϕϕρρππ=⨯=⨯⨯⨯=⎰⎰.注意S 垂直于平面yOz 与平面xOz ,将积分投影到xOy 平面上,所以左端S 上的曲面积分为SPdydzdx Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰2200(,,0)xySSD R x y dxdy ay dxdy a y dxdy =++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2220sin a a d r rdr πθθ=-⋅⎰⎰ (极坐标变换)422350sin 44aa a d r dr a a ππθθπ=-=-⨯⨯=-⎰⎰.因此 5556295420I a a a πππ=+=. 【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式. 2.对于球面坐标与直角坐标的关系为：sin cos ,sin sin ,cos ,x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩其中ϕ为向量与z 轴正向的夹角,0ϕπ≤≤；θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到向量在xOy 平面上投影线段的角,02θπ≤≤；r 为向量的模长,0r ≤<+∞.球面坐标系中的体积元素为2sin ,dv r drd d ϕϕθ=则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin .f x y z dxdydz f r r r rdrd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】证法一：由拉格朗日中值定理可知,在(0,)x 存在一点ξ,使得()(0)()(0)()f x f f x xf ξξ''-=-=,即 ()()(0)f x xf f ξ'=+.因为()0f k ξ'≥>,所以当x →+∞时,()xf ξ'→+∞,故()f x →+∞. 由(0)0f <,所以在(0,)x 上由介值定理可知,必有一点(0,)x η∈使得()0f η=.又因为()0f k ξ'≥>,故()f x 为严格单调增函数,故η值唯一. 证法二：用牛顿-莱布尼兹公式,由于()(0)()(0)(0)xxf x f f t dt f kdt f kx '=+≥+=+⎰⎰,以下同方法1.(2)【解析】先将不等式做恒等变形:因为b a e >>,故原不等式等价于ln ln b a a b >或ln ln a ba b>. 证法一：令()ln ln ,()f x x a a x x a e =- >>,则 ()ln af x a x'=-.因为x a e >>,所以ln 1,1a a x ><,故()ln 0af x a x'=->. 从而()f x 在x a e >>时为严格的单调递增函数,故 ()()0,()f x f a x a e >= >>. 由此 ()ln ln 0f b b a a b =->,即 b a a b >. 证法二：令ln ()()x f x x e x =>,则 21ln ()xf x x -'=. 当(,)x e ∈+∞时,()0f x '<,所以()f x 为严格的单调递减函数,故存在b a e >>使得ln ln ()()b af b f a b a=<=成立.即b a a b >.七、(本题满分8分)【解析】(1)先求出在变力F 的作用下质点由原点沿直线运动到点(,,)M ξηζ时所作的功W 的表达式.点O 到点M 的线段记为L ,则LLW F ds yzdx zxdy xydz =⋅=++⎰⎰.(2)计算曲线积分：L 的参数方程是 ,,,x t y t z t ξηζ===t 从0到1,1122220()3W t t t dt t dt ηζξξζηξηζξηζξηζ⇒=⋅+⋅+⋅==⎰⎰.化为最值问题并求解：问题变成求W ξηζ=在条件2222221(0,0,0)a b c ξηζξηζ++=≥≥≥下的最大值与最大值点.用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为222222(,,,)1F a b c ξηζξηζλξηζλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭,则有22222222220,20,20,10.Fa Fb F cF a b c ξηζλξηξζληζξηλγξηζλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎪∂⎪=++-=⎪∂⎩解此方程组：对前三个方程,分别乘以,,ξηζ得222222,a b c ξηζ==(0λ≠时)代入第四个方程得,,ξηζ===. 相应的9W ==.当0λ=时相应的,,ξηζ得 0W =. 因为实际问题存在最大值,所以当(,,)a ξηγ=时W. 【相关知识点】拉格朗日乘子法：要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.八、(本题满分6分)【解析】证法一：对B 按列分块,记12(,,)n B βββ=,若11220n n k k k βββ+++=,即 1212(,,,)0n n k kk βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 亦即 120n k k B k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.两边左乘A ,得 120n k k AB k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即 120n k k E k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,亦即 120n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.所以12,,n βββ线性无关.证法二：因为B 是m n ⨯矩阵,n m <,所以()r B n ≤. 又因()()()r B r AB r E n ≥==,故()r B n =.所以12,,n βββ线性无关.【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．2. 矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩九、(本题满分7分)【解析】(1)设112233x x x βξξξ=++,即是求此方程组的解.对增广矩阵123(,,,)ξξξβ作初等行变换,第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以()3-加到第三行上,第三行自乘12,有 111111111111123101200120149303820011 ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 第三行乘以()2-、()1-分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以()1-加到第一行上,有增广矩阵10020102001 1 ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭.解出31x =,22x =-,12x =,故12322βξξξ=-+.(2) 由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘A ,得22()()A A A A A ααλαλαλα====,再一直这样操作下去,有n n A αλα=.因为0α≠,故0λ≠.按特征值定义知nλ是nA 的特征值,且α为相应的特征向量.所以有,(1,2,3)n ni i i i i i A A i ξλξξλξ===,据(1)结论12322βξξξ=-+,有123123(22)22A A A A A βξξξξξξ=-+=-+,于是 123123112233(22)2222n n n n n n n nA A A A A βξξξξξξλξλξλξ=-+=-+=-+121322231112122233223149223n nn n n n n n +++++⎡⎤-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⋅+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.) (1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽签原理.方法一：从直观上看,第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关,所以考虑用全概率公式计算.设事件i B =“第i 次抽出次品”1,2,i =由已知得11210(),(),1212P B P B == 121212(|),(|)1111P B B P B B ==.应用全概率公式 1121212211021()()(|)()(|)121112116P B P B P B B P B P B B =+=⨯+⨯=. 方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果.由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得次品的概率相同,都是21126=. (2)【解析】方法一：可以用分布函数法,即先求出分布函数,再求导得到概率密度函数.由已知条件,X 在区间(0,2)上服从均匀分布,得X 的概率密度函数为1,02()20,X x F x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它. 先求F 的分布函数2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤.当0y ≤时,()0Y F y =；当4y ≥时,()1Y F y =；当04y <<时,{}{}{2()Y F y P Y y P X y P X =≤=≤=≤≤1()2X x dx dx dx ==+=⎰. 即0,0()04,1, 4.Y y F y y y ≤ ,⎧=<<⎪≥⎪⎩于是,对分布函数求导得密度函数04()()0,Y Y y f y F y <<'== ⎩其他.故随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =方法二：也可以应用单调函数公式法.由于2y x =在(0,4)内单调,反函数()x h y ==(0,2)内可导,且导数()h y '=恒不为零,因此,由连续型随机变量函数的密度公式,得到随机变量Y 的概率密度为[]1,04,04,()(),042()0,0,0,X Y y y h y f h y y f y << <<'⎧ <<⎪===⎨ ⎪⎩ ⎩⎩其他其他,其他.故随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =十一、(本题满分6分)【解析】方法一：利用分布函数求密度函数：首先,因2(,)XN μσ,所以X的密度函数为22()()x X f x μσ--=,因Y 服从[,]ππ-上的均匀分布,故Y 的密度函数为11()()2Y f y πππ==--.因为随机变量X 与Y 相互独立,所以二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)()()X Y f x y f x f y =.要求Z 的密度函数,先求Z 的分布函数()()()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤(,)x y zf x y dxdy +≤=⎰⎰()()X Y x y zf x f y dxdy +≤=⎰⎰22()12x x y zdxdy μσπ--+≤=⎰⎰.2222()()1122x x z yz ydy dx dy dx μμππσσππππ--------∞--∞==⎰⎰⎰⎰12z y dy ππμπσ---⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰(由标准正态分布来表示一般正态分布) 求出Z 的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,Z 的密度函数为11()()2Z Z z y f z F z dy ππμϕπσσ---⎛⎫'==⎪⎝⎭⎰ 其中()x ϕ 是标准正态分布的概率分布密度.由于()x ϕ 是偶函数,故有z y y z μμϕϕσσ--+-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是 111()22Z y z z z f z dy ππμπμπμϕπσσπσσ-+-⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰. 最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度. 方法二：用卷积公式直接计算：直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求()Z f z 更为简单. 因为随机变量X 与Y 相互独立,由卷积公式1()()()2Z X Y f z f z y f y dy π+∞-∞=-⎰2222()()1122z y z y dy dy μμππσσππππ--------==⎰⎰22()12y z dy μπσππ+---=⎰12y z dy ππμπσ-+-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰ 112y z dy ππμϕπσσ-+-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰ 12z z πμπμπσσ⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度.。

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《高等数学》试卷1（下）欧阳光明（2021.03.07）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b a D.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y xB.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y x y x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a与b 垂直的充要条件是（）. A.0=⋅b a B.0 =⨯b a C.0 =-b a D.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. A.2 B.2- C.1 D.1-6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（）.A.22 B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n pn收敛，则（）.A.p 1<B.1≤pC.1>pD.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D .4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4. ()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-. 4.3316R . 5.x x e e y 23-=. 四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）.A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin y x z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.65.函数22232y x xy z --=的极大值为（）. A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n n ar 是收敛的，则（）.A.1≤rB.1≥rC.1<rD.1≤r 8.幂级数()n n x n ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5） 1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z ty tx 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xy e z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a 32,2+=-+=，求.b a⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2）1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx e xy +. 3.488=--z y x . 4.()∑∞=-021n n n x .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xzy z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x x e C e C y --+=221. 四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22,22 B 、,2222-C 、22-22- D 、22-,225、设x2+y2+z2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（） A 、z y z R x --, B 、zyz R x ---, C 、zyz R x ,--D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R2AB 、2R2AC 、3R2AD 、A R 2217、级数∑∞=-1)1(n n nn x 的收敛半径为（）A 、2B 、21 C 、1 D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L1：x=y=z 与直线L2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

直线L3：之间的夹角为与平面062321221=-+=-+=-z y x zy x ____________。

2、（0.98）2.03的近似值为________,sin100的近似值为___________。

3、二重积分⎰⎰≤+Dy x D d 的值为1:,22σ___________。

4、幂级数的收敛半径为∑∞=0!n nx n __________，∑∞=0!n nn x 的收敛半径为__________。

三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.3、计算⎰⎰===Dx y x y D ，xyd 围成及由直线其中2,1σ.4、问级数∑∞=-11sin )1(n n ？，？n收敛则是条件收敛还是绝对若收敛收敛吗5、将函数f(x)=e3x 展成麦克劳林级数四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。

参考答案一、选择题1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B 10,A二、填空题 1、218arcsin,182cosar 2、0.96，0.17365 3、л 4、0，+∞ 5、ycx ce y x 11,22-== 三、计算题2、解：因为x=t,y=t2,z=t3, 所以xt=1,yt=2t,zt=3t2，所以xt|t=1=1, yt|t=1=2, zt|t=1=3 故切线方程为：312111-=-=-z y x 法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0 即x+2y+3z=63、解：因为D 由直线y=1,x=2,y=x 围成，所以 D ：1≤y≤2y≤x≤2故：⎰⎰⎰⎰⎰=-==212132811)22(][dy y y dy xydx xyd y Dσ4、解：这是交错级数，因为。

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