高等数学(下)练习题及答案
高数下册试题及答案
高数下册试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. 3x^2 - 3x答案：A2. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 若函数f(x) = e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. x * e^xD. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知曲线y = x^2 + 2x + 1，求该曲线在x = 1处的切线斜率。
答案：42. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。
答案：1/x3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
答案：1/34. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15，求f'(x)。
答案：3x^2 - 12x + 9三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 11/3。
计算f''(x) = 6x - 12，可以判断x = 1处为极大值点，x = 11/3处为极小值点。
极大值为f(1) = 0，极小值为f(11/3) = -2/27。
2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2 - 2x + 1) dx。
答案：首先求原函数F(x) = x^3 - x^2 + x。
高等数学下期末试题(七套附答案)
高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数11z x y x y =++-的定义域为 （2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程2222xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（ ）A.dx dy +B.2dx dy +C.22dx dy +D.2dx dy - （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()xy dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D. 2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12 D. 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂得分阅卷人3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)xf x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体表面的外侧 (10)'2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数24x y z -=的定义域为 ； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则Lyds =⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）；A.2()x ax b e +B.2()xax b xe + C.2()x ax b ce ++ D.2()x ax b cxe ++（4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ ）； A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.200ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.A. 2B. 1C. 122三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧得分阅卷人得分高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰ .5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃（C ）无穷 （D ）振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
大学高数下册试题及答案
大学高数下册试题及答案《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；B．；C．；D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。
令，则由推出，的坐标为附加题：1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。
高等数学下册试题及参考答案
高等数学下册试题一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=5)1(20222=-++.2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221cos 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccos πα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有⎩⎨⎧=+-=+020D B A D A解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程01=-+y x6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D ).A ．3B ．4C ．5D ． 27．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为(A ).A ．3B ．5C ．4D ． 28．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( B ). A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -=9．微分方程323y y ='的一个特解是( B).A ．13+=x yB ．()32+=x yC ．()2C x y +=D ． ()31x C y +=10．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解(C).A ．0=+'y yB ．02=+'y yC ．0=+y y nD ． x y y cos =+'' 11．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的(A)，其中1C ，2C 为任意常数. A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对12．y y ='满足2|0==x y 的特解是( B).A ．1+=x e yB ．xe y 2= C ．22x e y ⋅= D ． x e y ⋅=3 13．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( C ). A ．x a y sin *= B ．x a y cos *⋅= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 14．下列微分方程中，( A )是二阶常系数齐次线性微分方程. A ．02=-''y y B ．032=+'-''y y x y C ．045=-''x y D ． 012=+'-''y y15．微分方程0=-'y y 满足初始条件()10=y 的特解为( A ). A ．x e B ．1-x e C ．1+x e D ． x e -216．在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是( C ). A ．1=y B ．x y = C ．x y sin = D ． x e y =17．过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系是( C ). A ．x y 2=' B ．x y 2='' C ．x y 2='，()31=y D ． x y 2=''，()31=y 18．下列微分方程中，可分离变量的是( B ). A ．e x y dx dy =+ B ．()()y b a x k dx dy--=(k ,a ,b 是常数) C ．x y dxdy=-sin D ． x e y xy y ⋅=+'219．方程02=-'y y 的通解是( C ).A ．x y sin =B ．x e y 24⋅=C ．x e C y 2⋅=D ．x e y =20．微分方程0=+xdy y dx 满足4|3==x y 的特解是( A ). A ．2522=+y x B ．C y x =+43 C ．C y x =+22 D ． 722=-y x 21．微分方程01=⋅-y xdx dy 的通解是=y ( B ). A ．xC B ．Cx C ．C x +1D ． C x +22．微分方程0=+'y y 的解为( B ).A ．x eB ．x e -C ．x x e e -+D ． x e -23．下列函数中，为微分方程0=+ydy xdx 的通解是( B ).A ．C y x =+B ．C y x =+22 C ．0=+y CxD ． 02=+y Cx 24．微分方程02=-dx ydy 的通解为( A ).A ．C x y =-2B ．C x y =- C ．C x y +=D ．C x y +-= 25．微分方程xdx ydy sin cos =的通解是( D ). A ．C y x =+cos sin B ．C x y =-sin cos C ．C y x =-sin cos D ． C y x =+sin cos 26．x e y -=''的通解为=y ( C ).A ．x e --B ．x e -C ．21C x C e x ++-D ．21C x C e x ++-- 27．按照微分方程通解定义，x y sin =''的通解是( A ). A ．21sin C x C x ++- B ．21sin C C x ++- C ．21sin C x C x ++ D ． 21sin C C x ++一、单项选择题2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). CA. 若0lim (,)x xy y f x y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处z x ∂∂和zy ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处z x ∂∂和zy∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微;D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22z y ∂∂.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-r r ，则a b =rr g （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B) ;(C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_________. DA. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 10(,)x I dx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I = BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰ B. ln330(,)y e dy f x y dx ⎰⎰C. ln330(,)dy f x y dx ⎰⎰D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 1(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:， 则()=⎰Ldx y x P ,（ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P ,（ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n nu,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的（ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n nnx的收径半径R =（ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R（ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n nx a的收敛半径为（ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散 18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛BC. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( )AA. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( ) BA. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题（每题4分，共20分）1. a ∙b = （公式）答案∣a ∣∙∣b ∣cos(∧b a ,)2. a =(a x ，a y ，a z )，b=(b x ，b y ，z b z )则 a ·b = （计算） 答案a x b x +a y b y +a z b z3. .=⨯b a ρρ答案zy x z y xb b b a a a k j i ρρρ 4. ][c b a ρρρ= 答案xy z xy z xyza a ab b bc c c 5. 平面的点法式方程是 答案0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A6.设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为 ((){}0,1,22≥>≤+x y y xy x )7.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xyy x y x f ，则()=1,0x f (()11,0=x f )8.()y x f ,在点()y x ,处可微分是()y x f ,在该点连续的 的条件，()y x f ,在点()y x ,处连续是()y x f ,在该点可微分的 的条件. (充分，必要)9.()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是()y x f ,在该点可微分的 条件.(必要)10.在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 方程的名称是 答案 可分离变量微分方程；②()()022=-++dy y x y dx x xy 方程的名称是 答案 可分离变量微分方程； ③xyy dx dy xln ⋅=方程的名称是 答案 齐次方程；④x x y y x sin 2+='方程的名称是 答案 一阶线性微分方程；⑤02=-'+''y y y 方程的名称是 答案 二阶常系数齐次线性微分方程.11. 在空间直角坐标系{O ;k j i ρρρ,,}下，求P (2,－3,－1)，M (a , b , c )关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a , b , c )关于xOy 平面的对称点坐标为(a , b , －c )，M (a , b , c )关于yOz 平面的对称点坐标为(－a , b , c )， M (a , b , c )关于xOz 平面的对称点坐标为(a ,－b , c )， M (a , b , c )关于x 轴平面的对称点坐标为(a ,－b ,－c )， M (a , b , c )关于y 轴的对称点的坐标为(－a , b ,－c )， M (a , b , c )关于z 轴的对称点的坐标为(－a ,－b , c ). 类似考虑P (2,－3，－1)即可.12.要使下列各式成立，矢量,应满足什么条件？（1-=+ （2+=+（3=+ （4+=-（5-=-[解]：（1）b a ,=+；（2）b a ,+=+（3≥且b a ,-=+（4）b a ,+=-（5）b a ,≥=-13.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆（3）直线； （4）相距为2的两点二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则 )1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是 ()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 .7． 设D 由曲线sin ,a a ρθρ==所围成, 则Ddxdy =⎰⎰234a π 8． 设积分区域D 为2214x y ≤+≤, 2Ddxdy =⎰⎰6π9．设()y x f ,在[0， 1]上连续，如果()31=⎰dx x f ，则()()⎰⎰11dy y f x f dx =_____9________.10．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰11．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则 ().___________=-⎰Lds y x 012．等比级数∑∞=1n naq )0(≠a 当 1q < 时，等比级数∑∞=1n n aq 收敛.13．当__1ρ>__时，-p 级数∑∞=11n p n是收敛的.14．当_________时,级数()∑∞=--1111n p n n是绝对收敛的. 1ρ>15．若(,)f x y =则(2,1)_________.x f = 12,16．若23(,)(1)arccos 2y f x y xy x x=+-, 则(1,)_________.y f y = 23y17．设x y u z =, 则_________.du = ln ln x y xy z y xdx x zdy dz z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭18．设ln xz y=, 则22__________.z x ∂=∂ ln 2ln (ln 1)xy y y x -19. 积分2220y x dx e dy -⎰⎰的值等于_________. 41(1)2e --,20.设D 为园域222x y a +≤, 若()228Dx y dxdy π+=⎰⎰, 则_______.a = 221.设2I dxdydz Ω=⎰⎰⎰, 其中2222:,0x y z a z Ω++≤≥, 则_______.I =343a π三、是非题（每题4分，共20分）1. 初等函数的定义域是其自然定义域的真子集. ( ⅹ )2. sin lim1x xx→∞=. ( ⅹ )3. 22lim33x x x →∞-=-+. (ⅹ )4. 对于任意实数x , 恒有sin x x ≤成立. (ⅹ )5. 0xy =是指数函数. ( ⅹ )6. 函数()log 01a y x a = <<的定义域是()0, +∞. (ⅹ )7. 23log 3log 21⋅=. (√ )8. 如果对于任意实数x R ∈, 恒有()0f x '=, 那么()y f x =为常函数. (√ ) 9. 存在既为等差数列, 又为等比数列的数列. ( √ ) 10. 指数函数是基本初等函数. (√ )11.0x →=. ( √ ) 12. 函数3234y x x =++为基本初等函数. (√ )13.111a a x dx x C a +=++⎰. ( ⅹ ) 14. ()arcsin x π+是基本初等函数. ( ⅹ ) 15. sin x 与x 是等价无穷小量. (ⅹ ) 16. 1xe -与x 为等价无穷小量. ( ⅹ )17. 若函数()f x 在区间[],a b 上单调递增, 那么对于任意[],x a b ∈ , 恒有()0f x '>. ( ⅹ )18. 存在既为奇函数又为偶函数的函数. ( ⅹ )19. 当奇函数()f x 在原点处有定义时, 一定成立()00f =. (√ )20. 若偶函数()[]()1,1y f x x = ∈- 连续, 那么函数()()()1,1y f x x '= ∈- 为奇函数. (√ )21. 若奇函数()[]()1,1y f x x =∈- 连续, 那么函数()()()1,1y f x x '= ∈- 为偶函数. (√ )22. 偶函数与奇函数的乘积为奇函数. (√ ) 23. 奇函数与奇函数的乘积为偶函数. ( √ )24. 若函数()f x 为奇函数, 那么一定成立()00f =. (√ ) 25. 若函数()f x 为偶函数, 那么一定成立()00f '=. ( ⅹ )26. ()()sin cos x x π'+=. (ⅹ )27. sin cos sin 2x x x =. (ⅹ ) 28. ()xxa a '=. (ⅹ )29. ()sin sin x x x π+=. ( ⅹ )30. 单调函数一定存在最大值与最小值. ( ⅹ ) 31. 单调函数一定存在反函数. (√ )32. 互为反函数的两个函数的图像关于直线y x =对称. ( √ )33. 若定义域为[]0,1 的函数()f x 存在反函数, 那么()f x 在区间[]0,1 上单调. ( √ )34. 221lim 212n n x n →∞+=+. (√ )35. 对于任意的,a b R +∈, 恒有a b +≥ √ )36. 函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )37. 若函数()f x 在其定义域内处处有切线, 那么该函数在其定义域内处处可导. (ⅹ ) 38. 空集是任意初等函数的定义域的真子集. (ⅹ )39.sinii x +∞=∑为初等函数. (ⅹ )40. 对于任意的x R ∈, 恒有1x +≥ ⅹ ) 41. 左右导数处处存在的函数, 一定处处可导. ( ⅹ )下列题（1．×；2．×；3． √；4．×；5．√）1．任意微分方程都有通解.( × )2．微分方程的通解中包含了它所有的解.(× )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解.( √ ) 4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解.(×) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数).(√ ) 下列是非题（1．×；2．√；3．√；4．×；5．×）1．可分离变量微分方程不都是全微分方程.( )2．若()x y 1，()x y 2都是()()x Q y x P y =+'的特解，且()x y 1与()x y 2线性无关，则通解可表为()()()()[]x y x y C x y x y 211-+=.( )3．函数x x e e y 21λλ+=是微分方程()02121=+'+-''y y y λλλλ的解.( ) 4．曲线在点()y x ,处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是C x y +='2(C 是任意常数).( )5．微分方程y x e y -='2，满足初始条件0|0==x y 的特解为1212+=xy e e .( ) 是非题（1．×；2．√；）1．只要给出n 阶线性微分方程的n 个特解，就能写出其通解.2．已知二阶线性齐次方程()()0=⋅+'⋅+''y x Q y x P y 的一个非零解y ，即可 四、计算证明题（每题10分，共40分）1、判断积数收敛性∑∞=-1!2)1(2n n nn 解： 12lim )!1(2!2lim lim 12)1(122>∞==-=-∞→-∞→-∞→n n n u u n n n n n n n n由比值法，级数∑∞=-1!2)1(2n n nn 发散 2．ydy x xdy ydx 2=-解：两边同除以2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x y d+-=221即c y x y =+221 3．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u xy= 则dxduxu dx dy += 即dx duxu dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解.4．()01=-+xdy ydx xy解：0=+-xydx xdy ydxxdx yxdyydx -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221 即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解.5．求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x+=-.6.求.解7．求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x xe C eC y 231+=- 8.证明()()()222220,0,limy x y x y x y x -+→极限不存在8)因为()1lim222220=-+=→y x y x y x yx x ,()0lim2222220=-+=→y x y x y x xy x 所以极限不存在9.证明()()4220,0,lim y x xy y x +→极限不存在9)设y 2=kx ，1lim 242202+=+=→k ky x xy kyx y 不等于定值，极限不存在 10.计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由直线y =1、x =2及y =x 所围成的闭区域.解: 画出区域D .可把D 看成是X --型区域: 1≤x ≤2, 1≤y ≤x . 于是⎰⎰⎰⎰=211][x Ddx xydy d xy σ⎰⎰-=⋅=2132112)(21]2[dx x x dx y x x 89]24[212124=-=x x . 注: 积分还可以写成⎰⎰⎰⎰⎰⎰==211211xx Dydy xdx xydy dx d xy σ.11．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+cy=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .12. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：y 2dx=-(x+1)dy2ydydy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c13. 0)2()(2=-++dy y x dx y x 解：1=∂∂y M ，xN∂∂=1 . 则xN y M ∂∂=∂∂ 所以此方程是恰当方程.凑微分，0)(22=++-xdy ydx ydy dx x 得 ：C y xy x =-+233114． 0)4()3(2=---dy x y dx x y解：1=∂∂y M ，1=∂∂xN. 则xN y M ∂∂=∂∂ . 所以此方程为恰当方程. 凑微分，0432=--+ydy dx x xdy ydx 得 C y xy x =+-23215. 求xyxy y x 11lim)0 ,0(),(-+→. 解:)11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x .16. 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解 y x xz 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂. 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x x z, 7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz . 17. 设z =x 3y 2-3xy 3-xy +1, 求22x z ∂∂、33xz ∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2. 解 y y y x xz --=∂∂32233, x xy y x y z --=∂∂2392;2226xy xz =∂∂, 2336yx z =∂∂;196222--=∂∂∂y y x y x z , 196222--=∂∂∂y y x xy z .18. 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z. 证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以22yx x x z +=∂∂, 22y x yy z +=∂∂,222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+⋅-+=∂∂, 222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+⋅-+=∂∂. 因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z . 19. 计算函数z =x 2y +y 2的全微分. 解 因为xy x z 2=∂∂, y x y z 22+=∂∂,所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .20. 函数z =3x 2+4y 2在点(0, 0)处有极小值.当(x , y )=(0, 0)时, z =0, 而当(x , y )≠(0, 0)时, z >0. 因此z =0是函数的极小值. 21.函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值.当(x , y )=(0, 0)时, z =0, 而当(x , y )≠(0, 0)时, z <0. 因此z =0是函数的极大值. 22. 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积.解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC 的面积→→→→||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆.由于→AB =(2, 2, 2), →AC =(1, 2, 4), 因此→→421222kj i =⨯AC AB =4i -6j +2k .于是 142)6(421|264|21222=+-+=+-=∆k j i ABC S .23. 设有点A (1, 2, 3)和B (2, -1, 4), 求线段AB 的垂直平分面的方程.解 由题意知道, 所求的平面就是与A 和B 等距离的点的几何轨迹. 设M (x , y , z )为所求平面上的任一点, 则有|AM |=|BM |,即 222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x . 等式两边平方, 然后化简得2x -6y +2z -7=0.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程, 所以这个方程就是所求平面的方程.24. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x -2)-2(y +3)+3z =0, 即 x -2y +3z -8=0.25.求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为 By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B -C =0,或 C =-3B .将其代入所设方程并除以B (B ≠0), 便得所求的平面方程为 y -3z =0. 26.求直线L 1:13411+=-=-z y x 和L 2:1222-=-+=z y x 的夹角. 解 两直线的方向向量分别为s 1 = (1, -4, 1)和s 2 = (2, -2, -1). 设两直线的夹角为ϕ , 则2221)1()2(21)4(1|)1(1)2()4(21|cos 222222==-+-+⋅+-+-⨯+-⨯-+⨯=ϕ ,所以4πϕ=.例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑n x x x x n x n n n nn 的收敛半径与收敛域.解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n!1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域.解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞).例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例5 计算⎰+L dy x xydx 22, 其中L 为抛物线y =x 2上从O (0, 0)到B (1, 1)的一段弧.解: 因为xxQ y P 2=∂∂=∂∂在整个xOy 面内都成立,所以在整个xOy 面内, 积分⎰+L dy x xydx 22与路径无关.⎰⎰⎰+++=+AB OA L dy x xydx dy x xydx dy x xydx 2222221112==⎰dy .讨论: 设L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向, 问022=+-⎰L y x ydxxdy 是否一定成立？提示:这里22y x y P +-=和22y x x Q +=在点(0, 0)不连续.因为当x 2+y 2≠0时,yP y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(, 所以如果(0, 0)不在L 所围成的区域内, 则结论成立, 而当(0, 0)在L 所围成的区域内时, 结论未必成立.例6 验证: 在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解 这里P =xy 2, Q =x 2y .因为P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 且有yP xy x Q∂∂==∂∂2, 所以在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分.取积分路线为从O (0, 0)到A (x , 0)再到B (x , y )的折线, 则所求函数为 ⎰+=),()0 ,0(22),(y x ydy xdx xy y x u 2022022y x ydy xydy x yy==+=⎰⎰.。
大学高等数学下考试题库(附答案)
5. y x3 .
三 .计算题
1. 8i 3 j 2k .
z
2.
3x 2 sin y cos y cos y
z sin y ,
x
y
2 x 3 sin y cos y sin y cos y x 3 sin 3 y cos3 y .
z
yz z
xz
3.
x
xy z 2 , y
xy z2 .
4. 32 a 3
）.
A.3
B.4
C.5
5.函数 z 2xy 3 x2 2 y 2 的极大值为（
D.6 ）.
A.0
B.1
C. 1
6.设 z
x2
3 xy
y 2 ，则
z x 1,2
（
A.6
B.7
C.8
1
D.
2
）. D.9
7.若几何级数
ar n 是收敛的，则（
）.
n0
A. r 1
B. r 1 C. r 1
D. r 1
8.幂级数
2
.
3 23
四 .应用题
16
1. .
3
《高等数学》试卷 3（下）
一、选择题（本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
1、二阶行列式 2 -3 的值为（
）
45
A 、10 B 、 20 C、 24 D 、 22
2、设 a=i+2j-k,b=2j+3k ， 则 a 与 b 的向量积为（
）
A 、i-j+2k
2
1
x1 y 2 z
直线 L 3：
与平面 3x 2y 6z 0之间的夹角为 ____________ 。
高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）..4 C2.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x【4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. B.2- D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-）9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分⨯6）.1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD | 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-."4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）.!A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. .4 C5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. B.1 C.1- D.21】6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）..7 C 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.￥2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ∂∂∂∂3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.%试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.!2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ .3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂.4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.￥《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、z yz R x ,-- D 、zyz R x ,- 》6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
大一高数下考试题及答案
大一高数下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，是指对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
这个定义描述的是（）。
A. 函数在某点的连续性B. 函数在某点的可导性C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的间断性答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 以下哪个积分是收敛的？（）A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到∞D. ∫(1/x)dx 从0到1答案：B4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：D5. 以下哪个是二阶导数？（）A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是________。
答案：02. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是________。
答案：-cos(x) + C4. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分是________。
答案：1/35. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点是________。
答案：x = -1三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。
高等数学下考试题库(附答案)
高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。
高等数学下册试题题库及参考答案
高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9解 AB ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221cos 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccos πα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为因为平面过1M 、2M 两点，所以有解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
高等数学下典型习题及参考答案
(A )椭圆抛物面 (B )椭球面、填空题、选择题1、 点M(4, 1,3)到y 轴的距离是_2、 平行于向量a { 1,2,1}的单位向量为3、过点0,2, 1且与平面x y 3z 4 0垂直的直线为x 9、设空间三直线的方程分别为L 1 :-1则必有(2 2 211、方程匚yJ 0所表示的曲面是3 3 5第八章典型习题(A) L 1//L 3 (B) L 1 L 2(C)L2L3(D) L 1 //L 210、设平面的一般式方程为Ax By CzB 0时, 该平面必((A)垂直于x 轴 (B)垂直于y 轴(C) 垂直于xoy 面(D) 平行于xoy 面4、曲线：z 10在xoz 面上的投影柱面方程是5、设直线 l 1:宁 宁七与l 2专孑三平行，则—6、已知a 2i j2k , b 3i 4j 5k ,则与3a b 平行的单位向量为( (A ){3,7,11}(B ){3, 7,11} ( C )——{3, 7,11}129(D )_V9{3,7,11}x 27、曲线zz 2 9在xoy 平面上投影曲线的方程为(x 25( B )x 20y 2z 29( C )x 2 y 2 58、设平面的一般式方程为Ax By Cz D 0时，该平面必((A)平行于y 轴(B)垂直于z 轴 (C)垂直于y 轴(D) 通过x 轴L 2:3 冷(C )旋转曲面(D )单叶双曲面二、解答题x 01、设一平面垂直于平面z 0,并通过从点P(1, 1,1)到直线的垂线，求该平面方y z 1 0程。
x 32、求过直线 2y 4 z 23且平行于直线 x 4 --一 ——的平面方程. 7 2 3、求过点 1,2,1 x v 2z且平行于直线 71 0的直线方程•x 2y z 1 02x y 2 04、已知平面 :y2x 2 0与直线L:，求通过L 且与垂直的平面方程3y 2z 2 05、求过球面x2 y 2 z 22X 2y 4Z 0的球心且与直线写 专 盘垂直的平面方程第九章典型习题、填空题、选择题xy z 0，求-z ;由方程e x y xyze z 确定了函数z z x, y ，求—z。
高等数学下册试题及答案解析.doc
高等数学下册试题及答案解析一、填空题（每小题3 分，共计 24 分）1、 z=log a ( x 2y 2) (a0)的定义域为 D=.ln( x 2 y 2 )dxdy2、二重积分 |x| | y| 1的符号为.3、由曲线y ln x及直线xy e 1， y1所围图形的面积用二重积分表示为，其值为.x (t ) (x ),y(t)4、设曲线 L 的参数方程表示为则弧长元素 ds.5、设曲面∑为 x2y29介于 z0 及 z3间的部分的外侧，则（x 2 y 2 1)ds.dyyy6、微分方程 dxtanx 的通解为.x7、方程 y(4 )4 y 0的通解为.18、级数 n 1 n( n1)的和为.二、选择题（每小题2 分，共计 16 分）1、二元函数zf ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 处可微的充分条件是（）（A ） f ( x, y) 在 ( x 0, y 0) 处连续；（ B） f x( x, y)， f y( x, y)在( x 0, y 0 )的某邻域内存在；zf x ( x 0 , y 0 ) x f y ( x 0 , y 0 ) y当( x)2（ C ）limz f x (x 0 , y 0 ) xf y ( x 0 , y 0 ) y 0x 0 ( x)2( y)2（ D ）y 0.u yf ( x)xf ( y),f2、设y x 其中 具有二阶连续导数，则（ A ）xy ； （ B ） x； (C) y；(D)0 .2 ( y)时，是无穷小；2u2ux2y2x y 等于（）： x2y2z2IzdV3、设1, z0,则三重积分等于（）2d 2d13sin cos dr（A ）4r0 0；2dd12sin dr（B ） 0 r；22d1r 3sin cosdrd（C ） 0；2d1r 3sin cos drd（D ） 0.4、球面 x2y 2z 24a 2 与柱面 x 2y 22ax所围成的立体体积 V= （）42d2a cos4a2r 2dr（ A ）；42 d2a cos 4a 2 r 2 drr （ B ）；82 d2 a cos 4a 2r2drr（ C ）；2d2 a cos4a 2 r 2 drr（ D ）2.5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成， L 取正向，函数 P( x, y), Q (x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则Pdx Qdy( )L( P Q) dxdy（A ） Dyx ；（ B ） ( P Q)dxdy（C ） Dxy ； （D ）6、下列说法中错误的是（）DDQ P()dxdyyx；(QP)dxdyxy.（ A ） 方程xy2 y x 2 y 0是三阶微分方程；y dy x dyy sin x（B ） 方程 dxdx是一阶微分方程；（ C ） 方程 ( x22xy 3 ) dx ( y 2 3x 2 y 2)dy 0 是全微分方程；dy 1 2y（ D ） 方程 dx xx2 是伯努利方程 .7、已知曲线 y y( x)经过原点，且在原点处的切线与直线2xy 6平行，而y(x)满足微分方程y 2 y 5y，则曲线的方程为y （）（ A ） e xsin 2x ；（ B ） e x(sin 2xcos 2x) ；（ C ） e x(cos 2 xsin 2 x) ；（ D ） e xsin 2x .lim nu n 0, 则 n 1 u n8、设 n （ ）（ A ）收敛； （ B ）发散； （ C ）不一定；（ D ）绝对收敛 .三、求解下列问题（共计 15 分）1、（ 7 分）设f , g均为连续可微函数 .uu , uf ( x , xy ), vg ( xxy ) ，求 xy .u( x,t )x tu ,ux f (z)dzt四、求解下列问题（共计 15分）.22y 2 dy1、计算Idx ex.（ 7 分）I(x 2 y 2 )dV是由x2y22z, z 1及 z2所围成的空间闭区域（ 8分）.2、计算，其中Ixdy ydxL22五、 （ 13 分）计算 xy，其中 L 是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点O (0,0)的封闭曲线的逆时针方向 .f ( x) f ( y)x, y, f ( x) 满足方程f (x y)六、 （ 9 分）设对任意 1 f ( x) f ( y) ，且 f (0) 存在，求 f ( x) .( 1)n ( x2) 2n1七、（ 8 分）求级数 n 12n 1 的收敛区间 .高等数学（下册）试卷（二）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）zz1、设 2sin( x2y 3z)x 2 y 3z ，则 xy.39 xylimxy x 02、y.I2 2 x f ( x, y)dydxxI3、设，交换积分次序后，.lim 1 3f ( x 2 y 2 )d4、设 f (u) 为可微函数，且f (0)tt.0, 则x 2 y 2 t 25、设 L 为取正向的圆周x 2y24，则曲线积分y( ye x1)dx (2 ye x x)dyL.6、设A( x2yz) i ( y2xz) j (z2xy) k，则 div A.7、通解为yc 1e xc 2e2 x的微分方程是.f ( x)1,x0 xa n8、设1, ，则它的 Fourier 展开式中的 .二、选择题（每小题 2 分，共计16分）.f ( x, y)xy 2 , x 2 y 2 0x 2 y 41、设函数0,x 2y 2）,则在点（ 0， 0）处（ （ A ）连续且偏导数存在；（ C ）不连续但偏导数存在；2、设u(x, y)在平面有界区域2u2ux y及 x2则（）（ B ）连续但偏导数不存在； （D ）不连续且偏导数不存在 .D 上具有二阶连续偏导数，且满足2uy 2，（ A ）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部；（ B ）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上； （ C ）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上； （ D ）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上 .D ： ( x 2) 2 ( y 1) 21，若 I 1( x y) 2 dI 2( x y)3 d3、设平面区域D，D则有（ ）（A ）I 1I2； （B ） I 1 I 2 ；（C ） I 1I 2 ； （D ）不能比较 .是由曲面zxy, y x, x 1及 z所围成的空间区域，则xy 2 z 3 dxdydz4、设=（）1111（A ）361； （B ）362； （C ）363； （D ）364.x (t)5、设f ( x, y)在曲线弧 L 上有定义且连续， L 的参数方程为y(t) (t)，其中(t ), (t ) 在 [ ,]上具有一阶连续导数，且2(t )2(t )， 则曲线积分f ( x, y)dsL（）f ( (t), (t))dt(B)f ( (t ), (t))2(t )2(t) dt(A)；； (C)f ( (t ), (t ))2(t ) 2(t )dt； (D)f ( (t ), (t ))dt.6、设是取外侧的单位球面 x 2 y 2 z 21， 则曲面积分xdydz ydzdx zdxdy=（）(A)0 ； (B)2； (C)； (D)4.7、下列方程中，设y 1, y2是它的解，可以推知(A) y p(x) y q( x) 0 ；(B)y(C) yp(x) y q( x) y f (x) ； (D)a ny 1y2 也是它的解的方程是（ ）p(x) y q(x) y 0 ；yp( x) y q(x) 0 .8、设级数 n 1 为一交错级数，则（ ） (A) 该级数必收敛； (B) 该级数必发散；(C) 该级数可能收敛也可能发散；(D) 若a n0 ( n0)，则必收敛.三、求解下列问题（共计 15 分）1、（ 8 分）求函数uln( xy2z 2 )在点 A （ 0， 1，0）沿 A 指向点 B （ 3， -2， 2）的方向的方向导数 .2、（ 7 分）求函数f ( x, y)x 2 y(4 x y) 在由直线 x y6, y 0, x 0 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值 .四、求解下列问题（共计15 分）dvI31、（ 7 分）计算(1 x y z)，其中是由x0, y 0, z 0 及 xy z 1所围成的立体域 .2、（ 8 分）设f (x)为连续函数，定义 F (t )[ z 2f ( x 2 y 2 )]dv，( x, y, z) | 0 z h, x2y2t2dF其中，求dt.五、求解下列问题（ 15 分） 1、（ 8 分）求I(e x sin y my)dx (e x cos y m)dy，其中 L 是从 A （ a ， 0）经yax x2L到O （0， 0）的弧 .Ix 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy是 x2y2z 2 (0 z a) 的外侧 .2、（ 7 分）计算，其中六、（ 15 分）设函数( x)具有连续的二阶导数，并使曲线积分[ 3 (x) 2(x) xe 2x ] ydx( x)dyL与路径无关，求函数( x).高等数学（下册）试卷（三）一、填空题（每小题3 分，共计 24 分）uyz t2dtue1、设xz， 则z.2、函数 f (x, y)xy sin( x 2y) 在点（ 0， 0）处沿 l(1,2) 的方向导数f (0,0)l=.x2y 2, zIf ( x, y, z) dv3、设为曲面z1 0所围成的立体，如果将三重积分化为先对 z再对 y最后对 x三次积分，则 I=.lim1f (x, y)d22224、设f ( x, y)为连续函数，则It 0 tD，其中D : xyt .( x 2y 2 )dsL : x 2y 2a25、 L，其中.6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数P(x, y, z) ， Q ( x, y, z) ， R(x, y, z) 在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：， 该关系式称为 公式 .7、微分方程y6 y 9 yx26x9 的特解可设为 y *.( 1) n 18、若级数 n 1np发散，则 p.二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）f ( x a, b)f (a x, b)lim1、设 f x (a, b) 存在，则 x 0x=（ ）1（A ） f x(a,b)；（ B ） 0；（ C ） 2 f x(a,b)；（ D ）2f x(a,b).2、设zx y 2 ，结论正确的是（）2z2z2z 2z（ A ）x yy x； （ B ）x yy x；2 z2 z（ C ）x yy x； （ D ）3、若f ( x, y)为关于 x的奇函数，积分域2z2zx y y x.D 关于 y轴对称，对称部分记为D 1, D2 ，f ( x, y)在D 上连f ( x, y)d续，则D（）f (x, y) df ( x, y)df ( x, y)d（A ）0；（ B ）2 D 1；（ C ）4 D 1； (D)2 D 2.： x2y2z2R 2 ，则( x 2 y 2 )dxdydz4、设=（ ）8 R 54 R5 8 R516 R 5（A ）3； （B ）3； （C ） 15 ； （D ） 15 .5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L ，在点( x, y)处的线密度为( x, y) ，则曲线弧 Ｌ 的重心的 x坐标 x为（）1 x ( x, y)ds1x ( x, y)dx（Ａ） x =M； （B ） x =MLL；x ( x, y)ds1xds（ C ） x= L；（ D ） x =ML, 其中 M 为曲线弧 Ｌ的质量 .６、设为柱面 x2y 21和 x0, y 0, z1在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分y 2 zdxdy xzdydz x 2 ydxdz＝（ ）5（ A ） 0； （B ） 4； （C ）24； （D ） 4.７、方程y2 yf ( x)的特解可设为（ ）（ A ） A ，若 f ( x) 1； （ B ） Ae x，若f (x)e x ； （ C ） Ax4Bx3Cx 2DxE ，若 f ( x) x 22x ；（ D ） x( Asin 5x B cos5x) ，若 f (x)sin 5x .f (x)1,x 010 x，则它的 Fourier 展开式中的a n等于（８、设）2 [1 ( 1) n ]14（ A ）n； （ B ）0； （ C ） n ； （ D ） n.y f (x, t),t确定的 x, y的函数，其中f , F具有一阶连续偏三、 （１２分）设为由方程 F (x, y, t) 0 dydx .导数，求四、 （８分）在椭圆x 24y 24上求一点，使其到直线2x 3y 6 0的距离最短 .五、 （８分）求圆柱面x 2 y 22y被锥面zx 2y 2和平面z 0 割下部分的面积Ａ .Ixyzdxdy为球面 x2y 2 z 2 1 的 x 0, y部分六、（１２分）计算，其中的外侧 .df (cos x) 1 sin 2 x七、 （ 10 分）设d (cos x)，求 f (x) .八、（ 10 分）将函数f ( x) ln(1 xx 2x 3 )展开成x 的幂级数 .高等数学（下册）试卷（四）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、由方程xyzx2y2z22所确定的隐函数z z(x, y)在点（ 1， 0，-1）处的全微分dz.2、椭球面 x22 y23z26在点（ 1，1， 1 ）处的切平面方程是.x 2, yI(1 x 2 )dxdy3、设 D 是由曲线 yx2所围成，则二重积分D.4、设是由 x2y24, z 0, z4所围成的立体域，则三重积分I( x 2y 2 )dv=.5、设是曲面zx 2 y 2 介于z 0, z 1之间的部分，则曲面积分I(x 2y 2 )ds.x 2 dsx2y 2z 2a 26、 xy z 0.7、已知曲线 yy( x) 上点 M(0,4) 处的切线垂直于直线 x 2 y 5 0 ，且 y( x)满足微分方程 y 2yy，则此曲线的方程是 .8、设f (x)是周期 T= 2的函数，则f ( x)的 Fourier 系数为.二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）zarcsinyxy1、函数x的定义域是（ ）（ A ） (x, y) | x y , x 0 ； （B ） ( x, y) | x y , x 0 ；（ C ）(x, y) | xy 0, x 0(x, y) | x y0, x 0 ；（ D ） (x, y) | x 0, y 0( x, y) | x 0, y 0 .2、已知曲面 z4 x 2y 2 在点 P 处的切平面平行于平面2x 2 y z 1 0，则点 P 的坐标是（ ）（ A ）（ 1，-1， 2）； （ B ）（ -1， 1， 2）；（ C ）（ 1， 1，2）； （D ）（ -1， -1， 2） .3、若积分域 D 是由曲线yx 2 及y2 x 2f (x, y)d所围成，则 D=（）12 x21x2（A ） 1dx x21yf ( x, y)dy（ B ） 1dx 2 x 2 ；2 x 21f (x, y)dy；（ C ）dy2 yf ( x, y) dx；（ D ） x 2dy1 f ( x, y)dx .4、设1: x2y 2z 2R 2, z 0;2: x2 y2z 2R 2, x 0, y 0, z 0，则有（）（ A ）xdv 4 xdv（ B ）ydv4ydv12；12；（ C ）xyzdv4 xyzdv（ D ）zdv4zdv12；12.5、设 为由曲面zx2y 2及平面 z 1所围成的立体的表面，则曲面积分( x2y 2 )ds =（ ）122（ A ）2； （B ） 2； （C ）2； （D ）0 .６、设是球面 x2y 2z 2a 2 表面外侧，则曲面积分x 3 dydz y 3 dzdx z 3 dxdy＝（ ）12a 312a 54 a 5（A ）5；（B ）5；（C ）5； （D ）k７、一曲线过点 (e,1)，且在此曲线上任一点 M ( x, y) 的法线斜率（）12a 55.x ln x xy ln x ，则此曲线方程为yx x ln(ln x)yx x ln xee（ A ）；（B ）；yx ln(ln x)（ C ）yex x ln(ln x) ；e（ D ）.( n 1) x n８、幂级数 n 1的收敛区间为（）（ A ）（ -1， 1）； （B ）(,)； （ C ）（ -1， 1）； （ D ） [-1 ， 1].uyf ( x) xg( y)三、（１０分）已知函数yx ，其中f , g具有二阶连续导数，求2u 2 ux yx 2x y的值 .四、（１０分）证明：曲面xyzc 3 (c0)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值 .五、（１４分）求抛物面z 4 x 2y 2 的切平面，使得与该抛物面间并介于柱面( x 1)2y21内部的部分的体积为最小 .I(e x sin y y)dx (e x cos y x)dy2六、（１０分）计算 L，其中Ｌ为y4 x由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段.y2 y y 2 七、（８分）求解微分方程1 =0 .x n八、（８分）求幂级数n 1n的和函数S( x).高等数学（下册）试卷（五）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、设zf (x, y) 是由方程 zy x xez y x所确定的二元函数，则dz.x 2 y 2z 2 3x 0２、曲线2x 3y 5z 4 0在点（１，１，１）处的切线方程是 .是由 x2y2z21，则三重积分e z dv３、设＝.a y４、设f ( x)为连续函数，a, m是常数且 a 0 ，将二次积分dye m(a x)f ( x)dx化为定积分为.Pdx Qdy与积分路径L( AB)无关的充要条件为５、曲线积分 L(AB).６、设 为 za 2 x 2 y 2 ，则 ( x 2 y 2z 2 ) ds.７、方程y3y e 2 x 的通解为.a nb n(a n b n ).８、设级数 n 1 收敛， n 1 发散，则级数 n 1必是二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）x 2 y ,(x, y) (0,0)f ( x, y)x 2 y 2１、设0,( x, y)(0,0)，在点（０，０）处，下列结论（）成立 .（Ａ）有极限，且极限不为 0；（Ｂ）不连续； （Ｃ）f x(0,0)f y (0,0) 0 ；（Ｄ）可微 .２、设函数（Ａ）2f2zf ( x, y) 有 y 2，且 f ( x,0) 1， f y( x,0) x，则 f ( x, y) =（）1 xy y 2； （Ｂ）1xy y 2； （Ｃ） 1 x 2yy2 ；（Ｄ）1x 2 y y 2 .３、设Ｄ： 1 x2y 24， f在 D 上连续，则f ( x 2 y 2 ) dD在极坐标系中等于（）22rf (r )dr2 22)dr1rf (r（Ａ）；（Ｂ）1；2 [2r 2f (r )dr1r 2f ( r )dr ]2 [2rf (r 2 )dr1rf (r 2 )dr ]（Ｃ）； （Ｄ）.４、设是由x0, y 0, z 0 及 x 2y z1所围成，则三重积分xf ( x, y, z)dv ( )1 1 yx 2 ydx12 dz（Ａ）111 x2 yxf ( x, y, z)dy；dxdyxf ( x, y, z)dz（Ｂ）；11 x1 x2 ydx2dyxf ( x, y, z)dz（Ｃ）；11 dy1dx xf (x, y, z)dz（Ｄ） 0.５、设是由x0, y 0, z 0, x 1y1, z 1所围立体表面的外侧，则曲面积分xdydz ydzdxzdxdy ( )（Ａ） 0；（Ｂ） 1； （Ｃ） 3；（Ｄ） 2.６、以下四结论正确的是（）(x2 y2 z2 ) dv 4 a 5 （Ａ）x2 y 2 z2 a23 ；x2 y 2 z2 ds 4 a 4 ;（Ｂ） x2 y2 z2 a2( x2 y2 z2 )dxdy 4 a 4 （Ｃ）x2 y 2 z2 a2外侧；（Ｄ）以上三结论均错误 .７、设g ( x)具有一阶连续导数，g(0)1.并设曲线积分yg ( x) tan xdx g( x)dyL与积分路径( , )g( x) dy ( )4 4 yg( x) tan xdx无关，则(0,0 )2 2 2 2（Ａ） 2 ；（Ｂ） 2 ；（Ｃ）8 ；（Ｄ）8 .( 1) n 1８、级数n 1 2n 1 的和等于（）（Ａ） 2/3；（Ｂ） 1/3；（Ｃ） 1；（Ｄ） 3/2.三、求解下列问题（共计１５分）u u u１、（８分）设ux yz ,, 求x y z .u f ( x,y)（７分）设y z，f具有连续偏导数，求du.四、求解下列问题（共计１５分）I af (x) bf ( y) d2 y 2 R 2１、（８分）计算D f (x) f ( y)，其中D : x .I ( x y z 1) dv（７分）计算，其中 : x2 y 2 z2 R 2 .五、（１５分）确定常数，使得在右半平面x0 上，2 xy( x 4 y 2 ) dx x 2 ( x 4y 2 ) dyu( x, y) .L与积分路径无关，并求其一个原函数1 xf ( x)x)3六、 （８分）将函数(1 展开为 x的幂级数 .七、 （７分）求解方程y6y9y.高等数学（下册）试卷（六）一、单选题（共 15 分，每小题 3 分）1．设函数 f ( x, y) 在 P( x 0 , y 0 )的两个偏导 f x ( x 0 , y 0 ) ， f y( x 0, y 0)都存在，则( )A ．f ( x, y)在 P 连续B ．f (x, y)在 P 可微lim f ( x, y 0 ) lim f ( x 0 , y) C ． x x 0及 y y 02．若zy ln x ，则dz等于（ y ln x ln y y ln x ln yA. x yC . y ln x ln ydxy ln x ln y dyxlim f ( x, y)都存在D ． ( x, y ) ( x 0 , y 0 ) 存在）．B.y ln xln yxy ln x ln yy ln x ln xD.dxdyxy是圆柱面 x2y 22x 及平面 z 0, z1所围成的区域，则f (x, y, z) dxdydz (3．设）．A.2d2 cos1f (r cos , r sin , z)dzB.2d2cos rdr 1f (r cos , r sin , z)dz0 dr0 02d2 cos12cos x rdr1C.rdrf (r cos , r sin , z)dzD . df (r cos , r sin , z)dz2a n (x 1)n1 处收敛，则此级数在 x2 处（ 4． 4．若 n 1 在 x）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定x y z 25．曲线 z x 2y 2在点（ 1，1， 2）处的一个切线方向向量为（ ） .A. （ -1， 3， 4）B. （ 3， -1， 4）C. （ -1， 0， 3）D. （ 3， 0，-1）二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）edxln xIf ( x, y)dyI2．交 换 1的积分次序后， _____________________ ．z23．设u2xy，则 u 在点M ( 2, 1,1)处的梯度为.e xx nn! ，则 xe x4. 已知 n 0. 5. 函数zx 3y 3 3x 2 3y 2 的极小值点是.三、解答题（共 54 分，每小题 6--7 分）z y arctanyzzy .1.（本小题满分 6 分）设x , 求 x,2.（本小题满分 6 分）求椭球面2x 23y2z29 的平行于平面 2x 3y 2z 1的切平面方程，并求切点处的法线方程r1 r 3 r3. （本小题满分 7 分）求函数z x 2y 2 在点 (1,2) 处沿向量l 2i2 j方向的方向导数 .1f ( x)3的幂级数，并求收敛域 .4. （本小题满分 7 分）将x展开成x5．（本小题满分 7 分）求由方程2x 2 2y 2 z 2 8yz z 8 0 所确定的隐函数 z z(x, y)的极值 .(x 2y 2 )d , D 由曲线 x1 y2 , y1, y 16．（本小题满分 7 分）计算二重积分 D及 x2 围成 .xy 2 dy x 2 ydx22 2Lxa向） .xydxdydz是由柱面 x2y21 及平面 z 1, x 0, y所围成8. （本小题满分 7 分）计算 ，其中且在第一卦限内的区域 ..四、综合题（共 16 分，每小题 8 分）u n ,v n(u n v n )21．（本小题满分 8 分）设级数 n 1n 1都收敛，证明级数 n 1收敛 .f2xf ( x, y) 在 R 2内具有一阶连续偏导数，且x2．（本小题满分 8 分）设函数，证明曲线积分2xydx f ( x, y)dyt 恒有L与路径无关．若对任意的( t ,1)f ( x, y) dy(1, t )f ( x, y)dy2xydx2xydx(0,0)(0,0)，求f ( x, y)的表达式．高等数学（下册）试卷（一）参考答案一、 1、当 0 a 1时，x 2y 21；当a 1 时， x 2 y 2 1 ；1 e 1 yddye ydx;3222、负号；3、 D24、(t )(t )dt ；y；Cxsin5、 180 ；6、 x；7、yC 1 cos 2x C 2 sin 2x C 3 e 2 x C 4 e2 x ；8、 1；二、 1、 D ； 2、 D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、 B ； 7、 A ； 8、C ；uf 1 yf 2uxg (xxy )三、 1、xy；；uf (x t)f (x t )uf (xt) f (x t )2、xt；；22e y2dy 2 y y 2dx2y2dy 1 (1 e 4)dxdyeye2四、1、 0x； 柱面坐标22 23dz 22 dr 23dz 14I0 ddrrd 2 1 2 r1r32、2；五、令Py ,QxPy 2 x 2Qx 2y 2 x 2y 2 则 y ( x 2y 2 )2x ， ( x, y) (0,0) ；P , Q于是①当 L 所围成的区域 D 中不含 O （ 0， 0）时，yx在 D 内连续 .所以由 Green 公式得：P , QI=0 ；②当 L 所围成的区域 D 中含 O （ 0，0）时， yx在 D 内除 O （ 0，0）外都连续，此时作曲线l为 x2y22( 01)，逆时针方向，并假设D * 为 L 及 l 所围成区域，则ILl l L l Green 公式 (QP) dxdy 2lD *xy x 2 y 22六、由所给条件易得：f (0)2 f (0) f (0)1f 2( 0)f (x)lim f ( xx) f ( x) 又x 0xlim1 f2 ( x)f ( x)f ( x) f (x)x x 01f ( x) f (0)即1f 2 ( x)arctan f ( x) f ( 0) xc 即 又 f (0) 0 即 c k , k Zf (x) f ( x)f ( x)lim 1 f ( x) f ( x)= x 0 xf ( 0)f (0)[1 f 2 ( x)]f ( x) tan[ f (0) x c] f ( x) tan( f (0)x)( 1) nt 2n1七、令x 2 t，考虑级数n 12n 1t 2 n3lim 2n 3 t 2t 2 n 1n2n 1当 t 21即t1时，亦即 1x3时所给级数绝对收敛；当t 1即 x3 或 x 1 时，原级数发散；当t1即 x1时，级数n( 1) n 11 12n 1 收敛；(1) n 11收敛；当 t 1 即 x 3 时，级数 n 12n级数的半径为 R=1，收敛区间为 [1， 3].高等数学（下册）试卷（二）参考答案2y42dyf ( x, y)dxdy一、 1、 1； 2、-1/6 ； 3、y / 22 y / 2f ( x, y)dx2 f (0)；4、3；5、 8； 6、2(x y z)； 7、yy2 y；8、 0；二、 1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、 D ； 7、B ； 8、C ；三、 1、函数uln( xux AxuAyxuz Ax而 l ABuul Axy 2 z 2 )在点 A （ 1，0， 1）处可微，且1 (1,0,1)y 2z 21/ 2；1y (1,0 ,1)y 2z 2y 2z 2；1z(1,0 ,1)1/ 2y 2z 2 y 2z 2l 2 2 1(2, 2,1), ( ,, ),故在 A 点沿 l AB方向导数为：所以33 3uA cosuAcosAcos + y+ z1 2 0 ( 2 1 1 1/ 2.2 3 ) 2 33 f x 2xy(4 x y) xy( 1) 0f y x 2 (4 x 2 y)得 D 内的驻点为M 0 (2,1),且 f (2,1)4，2、由又 f (0, y) 0, f (x,0) 0而当xy 6, x 0, y0 时， f ( x, y) 2x 312 x 2(0 x 6)令(2 x 312x 2 ) 0 得 x 10, x 2 4于是相应y 16, y 2 且 f (0,6) 0, f (4,2)64.17/180 x 1: 0y x 1四、 1、的联立不等式组为0 z 1 x ydz11 x1 x yIdxdy 0(1x yz)3所以11 1 x [112dxxy) 2]dy0 0(1 41 1 13 x )dx 1ln 252(4 216x 12、在柱面坐标系中2t ht21 32[hf ( r ) rr ] drF (t )ddr [ z 2f ( r 2)] rdzh3所以dF 2 [hf (t 2)t 1h 3t ] 2 ht[ f (t 2 ) 1 h 2 ]dt3 3五、 1、连接 OA ，由 Green 公式得：。
高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下）一。
选择题（3分10)1。
点到点的距离（）。
A。
3 B。
4 C.5 D。
62。
向量，则有( ）.A。
∥ B.⊥C。
D.3。
函数的定义域是（）。
A。
B。
C. D4.两个向量与垂直的充要条件是（）。
A. B。
C. D.5.函数的极小值是( ).A。
2 B。
C.1 D.6.设,则＝（）.A. B. C。
D。
7。
若级数收敛，则（）。
A。
B。
C。
D.8。
幂级数的收敛域为（）。
A。
B C. D.9.幂级数在收敛域内的和函数是( ）。
A。
B。
C。
D。
10.微分方程的通解为（）。
A. B。
C. D.二。
填空题（4分5)1.一平面过点且垂直于直线，其中点,则此平面方程为______________________。
2。
函数的全微分是______________________________.3。
设，则_____________________________.4。
的麦克劳林级数是___________________________。
三。
计算题(5分6)1。
设，而,求2。
已知隐函数由方程确定，求3。
计算,其中.4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(为半径）。
四。
应用题（10分2）1。
要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省？。
试卷1参考答案一.选择题CBCAD ACCBD二.填空题1。
2. 。
3. .4。
5。
三。
计算题1。
，。
2。
.3。
.4。
5。
四。
应用题1。
长、宽、高均为时,用料最省.2.《高数》试卷2（下）一。
选择题（3分10）1.点，的距离（）.A. B。
C. D.2。
设两平面方程分别为和，则两平面的夹角为（)。
A。
B. C。
D。
3。
函数的定义域为（）。
A。
B。
C. D。
4。
点到平面的距离为( ）。
A.3 B。
4 C。
5 D.65。
函数的极大值为（）.A。
0 B。
1 C。
D。
6。
设，则（）.A。
6 B。
7 C。
《高等数学》(下)习题参考答案
《高等数学》（下）习题参考答案第七章 空间解析几何与矢量代数习题一、 1．(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z ------； 2．k j i 573--；3．2y z +=或210x y z +-=； 4．圆， 圆柱面； 5．2340x y z --+=． 二、 1. 2. 3. 4. 5.B C B A C三、1.u =11232.cos cos cos 22343πππαβγαβγ=-=====；3.4-；4.32550x y z +-+=；5.3πθ=； 6.P r j βα=；7.2OABS ∆= 2228.9x y z ++=； 222289.0x x y z ⎧-+=⎨=⎩； 10．⎪⎭⎫ ⎝⎛--8343,8356,83273； 11.0x y z -+=． 第八章 多元函数微分学习题一 一、 1、yyx +-112； 2、},0,0|),{(2y x y x y x ≥≥≥； 3、1，2； 4、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++xy xy xy xy x 1)1ln()1(，12)1(-+x xy x ； 5、22812y x -，22812x y -，xy 16-． 二、1. 2. 3. 4. 5.D D B B A三、 111ln ln ln z z z z y y z y z uuuy x x y z x x y x y xyz--∂∂∂===∂∂∂、 2、)ln (1z x y z y x x u x z y +=∂∂-，)ln (1z x y z y x yux z y +=∂∂-，)ln (1y z x z y x z u x z y +=∂∂-2222222222222222223z xy z xy x x y y x y z y x x y x y ∂∂==-∂+∂+∂-=∂∂+、（）（）（）4、xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-5、dy dx 3231+习题二 一、1、)()(y x f xy y x yf +'++，)()()()(y x f xy y x f y x y x f +''++'+++；2、2242232f y x f y x ''+'； 3、dy f f dx f f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+''-''-12121； 4、y x y x -+； 5、x y z z z -ln ln ，yyz xy z ln 2-二、1、C ；2、A ；3、C ；4、B ；5、C 三、 1、321f yz f y f x u '+'+'=∂∂，32f xz f x yu '+'=∂∂，3f xy z u '=∂∂ 3、212f x f y x z '+'=∂∂，22122211124)(2f xy f y x f xy f yx z''-''-+''+'=∂∂∂ 6、)()(1)](1)[(v g u f v g u f x z ''+'+'=∂∂，)()(1)](1)[(v g u f v g u f y z ''+'+'-=∂∂ 7、2222111133332sin cos 2cos x y x y x y zf x f x e f x f e e f x+++∂''''''''=-⋅+⋅+⋅+⋅+∂； 332232313122sin cos sin cos f e f y e f e f x e y x f y x zy x y x y x y x ''+''⋅-'+''⋅+''-=∂∂∂++++ 8、2222222222222222222221213394133u u u u u u u x x u u u u u u u y y u u u u x y ζηζζηηζηζζηηζζηη∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=--=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂ 习题三 一、12121281610148x y z x y z ---==-+-=-2、042=-+y x ，2112zy x =-=-3.1+4.326i j k --5.(3,2)大 36二、1. 2. 3. 4. 5.B D A C C 三、(1,2)2zl∂=∂、13(,1)2-、极小值2e-2433p p 、22222222221212121251122022020x y zx y z x y z z x y x y z F x y z x y z z x y x y z F x x F y y F z x λλλλλλλλ=++=+++==+++--+++-=-+=⎧⎪=-+=⎨⎪=++=⎩2、设椭圆上点为（x，y，z），则原点到椭圆上这点的距离平方为d ，其中，，满足和令（，，）（）（）==11求解方程，最长距离为d d 6、在点)1,1(-处有极小值：-2；极大值：6．第九章 重积分 习题一一、1.()2aba b + 2、⎰⎰e ey dx y x f dy ),(10；3、)1(214--e ；4、1210cos sin (cos ,sin )d f d πθθθρθρθρρ+⎰⎰；5、⎰⎰-+--2211111),(x x dy y x f dx二、1. 2. 3. 4. 5.C A B D C三、1.[36,100]ππ； 62.55； 3．49； 4.e e 2183-； 5．2643π；6．38； 7．π6； 8．)0(32f 'π． 习题二 一、1、⎰⎰⎰+----111112222),,(y x x xdz z y x f dy dx ； 2、π32； 3、θϕϕd drd r dv sin 2=；4、⎰⎰⎰adr r f r d d 0224020)(sin ππϕϕθ； 5、dxdy y z x z dS 221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= 二、1. B ；2．B ；3．D ；4．C ；5．B三、1．)852(ln 21-； 2．481； 3．467a π； 4．6π； 5．)22(162-π； 3232001()6.()2[()],lim (0)33t t F t F t r h h f r dr h hf t πππ+→=+=+⎰； 27.2()a a π-．第十章 习题一 一、填空题 1、23202(2sin 2cos 2)sin 2ta t t t t dt π--+⎰； 2、2； 3、34/3；4、⎰； 5、π2二、选择题1、(B)；2、(A)；3、（C ）；4、（A ）；5、（A ）；6、（C ）三、计算题1、242-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a e a π； 2、9四（略）五1、π2-；2、1/2 六、⎰++Lds xxQP 2412七、⎰Γ++++ds yx yRxQ P 2294132习题二一、选择题 1、（B ）； 2、（D ）； 3、（B ）； 4、（D ）； 5、（C ） 二、8 三、1、42R π-；2、241π；3、281a m π四、3cos 42cos 9+ 五、y x y x u 2),(=六、283a π七、八（略） 习题三一、填空题1、π8；2、321； 3、π8-； 4、dS R Q P ⎰⎰∑++53223； 5、22a π 二、选择题1、（D ）；2、（B ）；3、（C ）；4、（C ） 三、计算题 1、427-； 2、π221+ 四、 1、π23； 2、81五、552a π六、π32第十一章 习题一 一、判断题1、√；2、×；3、√；4、×；5、√；6、× 二、填空题1、0；2、1>p 且.const p =；3、1>p ，10≤<p ，0≤p ；4、 ,2,1,1=≥+n u u n n 且0lim =∞→n n u三、选择题 1、（C ）； 2、（A ）； 3、（C ）； 4、（A ）； 5、（C ） 四（略） 五、1、发散；2、收敛 六、1、发散；2、收敛 七、1、发散；2、收敛八、当b a >时，收敛；当b a <时，发散；当b a =时，可能收敛，也可能发散． 九、1、收敛；2、收敛 十（略） 习题二一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、√ 二、填空题1、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,21； 2、)5,1[-； 3、)1,1[-，)1ln(x --； 4、22,2)1(1)1(2ln 011≤<-⋅+-+∑∞=++x x n n n n n； 5、26,)4(3121011-<<-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=++x x n nn n三、选择题1、（D ）；2、（B ）；3、（B ）；4、（C ）；5、（C ） 四、1、)3,3[-；2、)3,1[；3、]1,1[- 五、 1、)1,1(,)1(1)(2-∈-=x x x s ；2、)1,1(,arctan 21)]1ln()1[ln(41)(-∈+--+=x x x x x s六、2(1)(),(1,1](1)n nn f x x x x n n ∞=-=+∈--∑七、)1,1(,)1(2131)(01-∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑∞=+x x x f nn n n八、)1,1(,)1ln(arctan 21222-∈+-++x x x x xx 第十二章 习题一 一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、× 二、填空题1、2)(ln 21)(x x f =；2、x cxe y -=；3、x y 2=；4、x x x y 91ln 31-=；5、yP x Q ∂∂=∂∂ 三、1、C y x =⋅tan tan ；2、C e e y x =-⋅+)1()1( 四、22sec )1(=⋅+y e x 五、s cm /3.269 六、1、Cx y x =-332；2、223x y y -= 七、)ln 41(x x y -= 八、 1、)(sin C x ey x+=-； 2、322Cy y x +=； 3、)cos 1(1x y --=ππ 九、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-t m ke k m k t k k v 2122121 十、xx x f 3132)(+=十一、)1,1[,)1ln()(1-∈--=∑∞=x x e x f x n n习题二一、选择题 1、（C ）； 2、（B ）； 3、（D ）； 4、（C ）； 5、（B ）； 6、（A ）； 7、（D ） 二、填空题1、3221)3(C x C x C e x y x +++-=；2、22121C x x e C y x +--=； 3、)1ln(1+-=ax ay三、1、x x e C e C y 221-+=；2、x C x C y sin cos 21+=；3、x C x C e C e C y x x sin cos 4321+++=-；4、4x x y e e -=- 四、⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-++-tk k tk k k eek k v x 1221222424122014五、)sin (cos 21)(x e x x x ++=ϕ 六、u u f ln )(= 七、1)(21)(++=-x xe e x s。
高等数学(下)典型习题及参考答案
第八章典型习题一、 填空题、选择题1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是2、平行于向量}1,2,1{a -=的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为且与平面过点=--+-z y x4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线⎩⎨⎧==++Γ2102225、()==-=+=+=-δλδλ则平行与设直线,z y x :l z y x :l 1111212121()23A ()12B ()32C ()21D6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b -+=,则与b a 3-平行的单位向量为 ( )（A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-±（D ）}11,7,3{1791-± 7、曲线⎩⎨⎧==++2z 9z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为（ ）（A ）⎩⎨⎧==+2z 5y x 22 （B ）⎩⎨⎧==++0z 9z y x 222（C ）⎩⎨⎧==+0z 5y x 22 （D ）5y x 22=+8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的方程分别为251214:1+=+=+z y x L ，67313:2+=+=z y x L ，41312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面11、方程05z 3y 3x 222=-+所表示的曲面是（ ）（A ）椭圆抛物面 （B ）椭球面 （C ）旋转曲面 （D ）单叶双曲面二、解答题1、设一平面垂直于平面0=z ，并通过从点)1,1,1(-P 到直线⎩⎨⎧=+-=010z y x 的垂线，求该平面方程。
大学高等数学下考试题库(附答案)
一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2.则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =.则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22 B.22- C.2 D.2- 7.若p 级数∑∞=11n pn收敛.则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-2110.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB .其中点()1,1,2-B .则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z .则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =.而y x v xy u +==,.求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定.求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin .其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱.问长、宽、高各取怎样的尺寸时.才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍.且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1.求此曲线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin .()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时.用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M .()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x .则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=.则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的.则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行.则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=.求.b a ⨯2.设22uv v u z -=.而y x v y x u sin ,cos ==.求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定.求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图.求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 四.应用题 1.316.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题.每题3分.共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k.则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1.4π）处的两个偏导数分别为（ ）A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx.则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点.半径为R.面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2A D 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2.-1 B 、2.1 C 、-2.1 D 、1.-2 二、填空题（本题共5小题.每题4分.共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
高等数学下册试卷及答案
高等数学下册试卷及答案高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z=loga(x+y)的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。
2、二重积分∬|x|+|y|≤1 2ln(x+y)dxdy的符号为负。
3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(e+1-x)dx dy，其值为e-1.4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t)。
y=ψ(t)} (α≤t≤β)，则弧长元素ds=√[φ'(t)²+ψ'(t)²]dt。
5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧，则∫∫∑(x²+y²+1)ds=18√2.6、微分方程y'=x/(y²+1)的通解为y=1/2ln(y²+1)+1/2x²+C。
7、方程y''-4y=tanx的通解为y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-1/2cosxsinx。
8、级数∑n=1∞1/(n(n+1))的和为1.二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是（B）f_x'(x,y)，f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。
2、设u=yf(x)+xf(y)，其中f具有二阶连续导数，则x²+y²等于（A）x+y。
3、设Ω：x+y+z≤1.z≥0，则三重积分I=∭ΩzdV等于（D）∫0^1∫0^(1-z)∫0^(1-x-y)zdxdydz。
4、球面x²+y²+z²=16a²与柱面x²+y²=2ax所围成的立体体积V=（C）8∫0^π/2∫0^(2acosθ)∫0^√(16a²-r²)rdzdrdθ。
注：原文章中第一题的符号“>”应该是“≥”，已进行更正。
大学高等数学下考试习题库(附答案)
大学高等数学下考试习题库(附答案)《高等数学》试卷6（下）一.选择题（3分?10）1.点M1?2,3,1?到点M2?2,7,4?的距离M1M2?（）.A.3B.4C.5D.62.向量a？？i?2?j?k?,b？2?i？j，则有（）.A.a?∥b?B.a?⊥b?C.a?,b？?3D.a?,b？?43.设有直线L:某?1y?5z?8?某?y?611？2?1和L2:？2y?z?3，则L1与L2的夹角为（（A）6；（B）?4；（C）?3；（D）?2. 4.两个向量a?与b?垂直的充要条件是（）. A.a？b？0 B.a？b？?0 C.a？b？?0 D.a？b？?0 5.函数z?某3?y3?3某y的极小值是（）. A.2 B.?2 C.1 D.?1 6.设z?某siny，则?z?y?＝（）. ？？1,4？A.22 B.?22 C.2 D.?2 ?7. 级数?(?1)n(1?cos?) (？0)是（n?1n ）（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）敛散性与?有关. ?某n8.幂级数?的收敛域为（）. n?1nA.？1,1? B？1,1? C.？1,1? D.？1,1?n9.幂级数？某？2？在收敛域内的和函数是（）.n?0A.11?某B.22?某C.211?某D.2?某二.填空题（4分?5）页脚内容1.一平面过点A?0,0,3?且垂直于直线AB，其中点B?2,?1,1?，则此平面方程为______________________.2.函数z?sin?某y?的全微分是______________________________.2z_____________________________.3.设z?某y?3某y?某y?1，则某?y32324. 设L为取正向的圆周：某2?y2?1，则曲线积分?(2某y?2y)d某?(某?4某)dy?____________. ?L(某?2)n5. .级数?的收敛区间为____________. nn?1?三.计算题（5分?6） 1.设z?eusinv，而u?某y,v?某?y，求?z?z,. ?某?y?z?z,. ?某?y2.已知隐函数z?z?某,y?由方程某2?2y2?z2?4某?2z?5?0确定，求3.计算？sin某2?y2d?，其中D:?2?某2?y2?4?2. D4. ．计算.10dyyysin某d某某试卷6参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.2某?y?2z?6?0. 2.cos?某y？yd某?某dy? . 3.6某2y?9y2?1 .4. ?n?0？?1?n某n.2n?15.y？C1?C2某?e?2某.三.计算题1.zze某y?某sin?某?y？cos?某?y？. ?e某y?ysin?某?y？cos?某?y？，?y?某页脚内容z某?2?某z?1,?z?y?2yz?1. 3.?2?d？2?0sin？?d？?6?2?.4.163R3.5.y?e3某?e2某.四.应用题1.长、宽、高均为32m时，用料最省.2.y?13某2.《高数》试卷7（下）一.选择题（3分?10）1.点M1?4,3,1?，M2?7,1,2?的距离M1M2?（）.A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为某?2y?2z?1?0和?某?y?5?0，则两平面的夹角为（A.6 B.4 C.3 D.2 3.点P？1,?2,1?到平面某?2y?2z?5?0的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 ?4.若几何级数?arn是收敛的，则（）.n?0A.r?1 B. r?1 C.r?1 D.r?1 ?8.幂级数？n?1?某n的收敛域为（）. n?0A.？1,1? B.？1,1? C.？1,1? D. ？1,1? ?9.级数?sinna是（）n?1n4. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10. ．考虑二元函数f(某,y)的下列四条性质：（1）f(某,y)在点(某0,y0)连续；（2）f某(某,y),fy(某,y)在点(某0,y0)连续页脚内容（3）f(某,y)在点(某0,y0)可微分；（4）f某(某0,y0),fy(某0,y0)存在. 若用“P?Q”表示有性质P推出性质Q，则有（）（A）(2)?(3)?(1)；（B）(3)?(2)?(1) （C）(3)?(4)?(1)；（D）(3)?(1)?(4) 二.填空题（4分?5）(某?3)n1.级数?的收敛区间为____________.nn?1?2.函数z?e某y的全微分为___________________________. 3.曲面z?2某2?4y2在点?2,1,4?处的切平面方程为_____________________________________. 1的麦克劳林级数是______________________. 21?某三.计算题（5分?6）?1.设a?i?2j?k,b?2j?3k，求a?b. 4.2.设z?u2v?uv2，而u?某cosy,v?某siny，求?z?z,. ?某?y?z?z,. ?某?y3.已知隐函数z?z?某,y?由某3?3某yz?2确定，求4. 设?是锥面z?某2?y2 (0?z?1)下侧，计算？某dydz?2ydzd某?3(z?1)d某dy ?四.应用题（10分?2）试用二重积分计算由y?某,y?2某和某?4所围图形的面积. 试卷7参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题某?2y?2z?1？1.. 1122.e某y?yd某?某dy?. 3.8某?8y?z?4.4.？?1?某2n.nn?0?页脚内容?1.8i?3j?2k.2.zz3某2sinycosy?cosy?siny?,？2某3sinycosy?siny?cosy？某3sin3y?cos3y . ?某?y？3.zyzz某z?,?. ?某某y?z2?y某y?z2323？2?a？?. 3?23?4.5.y?C1e?2某?C2e?某. 四.应用题 161.. 312. 某？gt2?v0t?某0. 2《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（） 4 5 A、10 B、20 C、24 D、22 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k，则a与b 的向量积为（） A、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k 3、点P（-1、-2、1）到平面某+2y-2z-5=0的距离为（） A、2 B、3 C、4 D、5 4、函数z=某siny在点（1，A）处的两个偏导数分别为（）422222222,,B、,?,C、??D、?222222225、设某2+y2+z2=2R某，则Azz,分别为（） ?某?y某?Ry某?Ry某?Ry,? B、?,? C、?,zzzzzz D某?Ry, zz页脚内容。
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《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分10）1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（）.A.3B.4C.5D.62.向量ai2jk,b2ij，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC. a,bD.3 a,b43.函数122y2xy的定义域是（）.22xy12y2y22A.x,y1x2B.x,y1x22y2y22C.x,y1x2Dx,y1x24.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.ab0B.ab0C.ab0D.ab0335.函数zxy3xy 的极小值是（）.A.2B.2C.1D.16.设zxsiny，则zy 1, 4＝（）.A.22B.22C.2D.27.若p级数n1 1 pn收敛，则（）.A.p1B.p1C.p1D.p18.幂级数n1nxn的收敛域为（）.A.1,1B1,1C.1,1D.1,19.幂级数nx02n在收敛域内的和函数是（）.1221A.B.C.D.1x2x1x2x 10.微分方程xyylny0的通解为（）.A. xyceB.xyeC.xycxeD. ycxe二.填空题（4分5）1.一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB，其中点B2,1,1，则此平面方程为______________________.2.函数zsinxy的全微分是______________________________.3yxy3xy2 3.设zx31，则2zxy_____________________________.1的麦克劳林级数是___________________________.4.2x三.计算题（5分6）zzu sin，而uxy,vxy，求,.1.设zevxyzz2yzxz222.已知隐函数zzx,y由方程x24250确定，求,.xy22 3.计算sinxyd，其中24222 D:xy.D4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.四.应用题（10分2）1.要用铁板做一个体积为23m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？.试卷1参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.2xy2z60.2.cosxyydxxdy.2yy23.6x91.4.n0n1n12nx.11.y2x CCxe1.2三.计算题zxyzxy4.eysinxycosxy，exsinxycosxy.xy5.zx2zx1,zy2zy1.6.22dsind26.7.1633R.8.y3xe2ex.四.应用题5.长、宽、高均为m32时，用料最省.126.yx.3《高数》试卷2（下）一.选择题（3分10）2.点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.A.12B.13C.14D.153.设两平面方程分别为x2y2z10和xy50，则两平面的夹角为（）.A.B.C.D.64324.函数22zarcsinxy的定义域为（）.2y2y22A.x,y0x1B.x,y0x1C. 2y2x,y0xD.2 x,y0x 2y225.点P1,2,1到平面x2y2z50的距离为（）.A.3B.4C.5D.66.函数222z2xy3xy的极大值为（）.A.0B.1C.1D. 1 212.设z 23xyy2zx，则1,2x（）.A.6B.7C.8D.913.若几何级数nar是收敛的，则（）. n0A.r1B.r1C.r1D.r114.幂级数nn1x的收敛域为（）.n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,115.级数sinnn1n a4 是（）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定二.填空题（4分5）x3t9.直线l过点A2,2,1且与直线yt 平行，则直线l的方程为__________________________.z12t10.函数xyze的全微分为___________________________.11.曲面242z2xy在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分6）7.设ai2jk,b2j3k，求ab.8.设zz 2zu，而uxcosy,vxsiny，求,.2vuvxyzz3xyz9.已知隐函数zzx,y由x32确定，求,.xy10.如图，求球面2y2z24a22 2x与圆柱面xy2ax（a0）所围的几何体的体积.四.应用题（10分2）16.试用二重积分计算由yx ,y2x 和x4所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题CBABACCDBA. 二.填空题 12.x 2y2z 112 1 . xy13.eydxxdy.14.8x8y z4.15.1n0nx 2n. 16.3 yx. 三.计算题11.8i3j2k.z 2z 333312.3xsinycosycosysiny,2xsinycosysinycosyxsinycosy .xy zyzzxz 13.2,2xxyzyxyz. 14. 3232 a.323 15. 2xxCeyCe21.四.应用题17. 16 3.12xgtvtx.2.002《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（） 42A 、,22 2,2 B 、,22 2C 、2 22 2D 、2 22 2, 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则2+y 2+z 2=2Rx ，则z x z,分别为（）yA 、x R z yx ,B 、 z z R yxRy ,C 、,D 、 zzzx z R , y z 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为2y 2 x 的薄板的质量为（）（面积A= 2 R ）1A 、R2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、RA22n xn7、级数(1)的收敛半径为（）nn1A 、2B 、1 2C 、1D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、 ( n0 n 1) ( 2n x 2n)!B 、 (1) n1n 2n x (2n)! C 、 n 0 ( 1) n 2n x (2n)!D 、 n 0 ( 1) n ( 2n x 2n 1 1)!二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）___________。
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第九章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0） 2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。
当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim 22)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。
所以函数 在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=222242244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：§ 2 偏导数1、设z=xyxe xy + ,验证 z x y +=∂∂+∂∂yz y x z x证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π)3、设yxy xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，yu ∂∂ ，z u ∂∂ 解：1-=∂∂y zx y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→ 连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在， 0000lim )0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)）§ 3 全微分1、单选题（1）（D ）既非充分又非必要条件（2）（B ）偏导数连续，则全微分必存在2、求下列函数的全微分：1）xy e z = )1(2dy x dx xy e dz x y+-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zy x u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz y z y ln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=， 求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--=∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx zz y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、解：)0,0(01sin )(lim 2222)0,0(),(f yx y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
0)0,0(),0(lim )0,0(,0)0,0()0,(lim)0,0()0,0(),()0,0(),(=∆-∆==∆-∆=→→yf y f f x f x f f y x y y x x0)()(0),(22→∆+∆-∆∆y x y x f ，所以可微。
§4 多元复合函数的求导法则1、设t v e v t u u z ===,sin ,，求dtdz 2、解：dtdz=1cos .(sin )lnsin (sin )t t e t e t t t e t t e -⋅+⋅⋅ 3、设,)(32y x y x z -+=，求yzx z ∂∂∂∂,23123(23)()3()ln(),x y x y zx y x y x y x y y ---∂=-+-++∂4、设)(2xyf x z n =，f 可微，证明nz y z yx z x =∂∂+∂∂25、设)2,(22xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求22x z ∂∂，y x z∂∂∂2， 22yz ∂∂解：1222zxf yf x∂''=+∂ ,1222zyf xf y∂''=-+∂ ,21112221222((2)2)22((2)2)z x f y f x f y f y f x x y ∂'''''''''=-+++-+∂∂ =221111222244()4f xyf x y f xyf '''''''-+-+222111122222484z f x f xyf y f x ∂'''''''=+++∂,222111122222484z f y f xyf x f y ∂'''''''=-+-+∂6、设)(),(yxg x y xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数、g 具有二阶连续导数，求y x z ∂∂∂2 解：1221z y f y f g x x y ∂'''=-+∂ ，2111122122222231111∂'''''''''''''=++--+--∂∂()()z y xf y f x f f f x fg g x y x x x x y y7、设),,(z y x F u =，),(y x f z =，)(x y ϕ=，求dxdu解：dxdu ))(()(321x f f F x F F y x ϕϕ''+''+''+'=。
7、证明：v zu z x z ∂∂+∂∂=∂∂ v z a u z y z ∂∂+∂∂-=∂∂2 2222222v u v u z uz x z ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂ 2222222244v u a v u z a u zy z ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 222222)2(2vu a v u z a u z y x z ∂∂+∂∂∂-+∂∂-=∂∂∂ 得：0)6()510(2222=∂∂-++∂∂∂+vu a a v u z a a=38、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,a f =)1,1(/1,b f =)1,1(/2 又，{})],(,[,)(x x f x f x f x =ϕ 求 ).1(ϕ和)1(/ϕ (1) , (a+ab+ab 2+b 3)§ 5 隐函数的求导公式1、设y x y y +=ln ，求dxdy解：令(,)ln F x y y y x y =--，11,ln ,ln x y dy F F y dx y=-=∴=2、设),(y x z z =由方程)(222yzyf z y x =++确定，其中f 可微，证明xz yzxy x z z y x 22)(222=∂∂+∂∂--3、设),(y x z z =由方程zy e z x +=所确定，其中f 可微，求y x z ∂∂∂2,1,)1(z z y z z x z x z +-=∂∂+=∂∂ y x z∂∂∂23)1(z x z +-=4、设⎩⎨⎧+==++222221y x z z y x ，求dx dy，dx dz ( dy x dx y =-，0dz dx =)5、设),(y x z z =由方程0),,(=+xz z y xy F 所确定，F 可微，求yzx z ∂∂∂∂,解：令(,,)F x y z =(,,)F xy y z xz + ，则13122323,y x z zF F F y zF F x F zz x F y F F xF F xF ''''++∂∂=-=-=-=-∂∂''''++ 6、 设),(y x f z =由方程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz (dy dx dz --=)7、设z=z(x,y)由方程 y z yz x xy =-+3)cos(3所确定，求xz ∂∂, y z ∂∂ ,)sin(3)cos(3ln .32yz xy z yz y x z xy ++=∂∂ , )sin(31)sin(3ln 3.2yz xy z yz xz x y z xy +--=∂∂§ 6 微分法在几何中的应用1、 求螺旋线t z t y t x 3,sin 2,cos 2=== 在对应于4π=t 处的切线及法平面方程343z π-== 法平面方程0)43(3)2(2)2(2=-+-+--πz y x2、解：切线方程为 053443-=--=-z y x ，法平面方程：034=-y x3、求曲面932222=++z y x 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为0)2(2)1(3)1(2=-++--z y x及法线方程223121-=-+=-z y x4、证明：令),(),,(bz ay bz ax f z y x F --=，则),,(,,,21212121'-'-''=∴'-'-='='=bf bf a f a f n bf bf F a f F a f F z y x0),,(=⋅∴a b b n ，所以在（000,,z y x ）处的切平面与定向量（a b b ,,）平行。