立体几何空间向量

空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a +=+=;b a -=-=;)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求．5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量. 空间直线的向量参数表示式：t +=a或)(t -+=t t +-=)1(， 中点公式．)(21+=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.11．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||c os ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影. 可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅空间向量的直角坐标及其运算1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)Ax y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)A B x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则2||a a a a =⋅=+2||b b b b =⋅=+．5．夹角公式：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==，或2,212()()A B d =x y一． 空间向量及其运算1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是 A.－21a +21b +c B.21a +21b +cC.21a －21b +c D.－21a －21b +c2.空间四边形OABC 中，OB=OC ，∠AOB=∠AOC=600，则cos = （ ）A ．21B ．22 C ．-21 D ．03.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且000=∙=∙=∙，，，则∆BCD 是 （ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定4．已知空间四边形ABCD 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN = （ ） A ．213221+- B ．212132++-C ．212121-+D ．213232-+5.已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6.与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1）B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）7.已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ）A ．85BC ．D ．508.在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．OM --=2B ．OC OB OA OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 09.在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=，11D A =，A A 1=c .则下列向量中与MB 1相等的向量是（ ）A ．c b a ++-2121B ．c b a ++2121C ．+-2121D ．+--212110已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为 （ ）A ．3B ．32C ．6D ．2611.已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为 （ ）A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 12.若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为 13.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN 2=，现用基组{},,表示向量，有OG=x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ．14.已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则∆ABC 的形状是 ． 15.已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．16.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是( )A.OM --=23B.OC OB OA OM 513121++=C.0=+++OC OB OA OMD.0=++MC MB MA17.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ⋅等于( )A.41 B.41- C.43 D.43-18.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为( ) A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.119.设)2,1,1(-=，)8,2,3(=，)0,1,0(=，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为B A.213 B.253 C.453 D.45320.A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是21.向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( ) A.相交 B.垂直平行以上都不对22.m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( ) A25C.221 D.823.若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则（ ） A.x =1，y =1 B.x =21，y =－21 C.x =61，y =－23 D.x =－61，y =23 24.a ＝｛1,5,-2｝，b ＝｛m ,2,m +2｝，若a ⊥b ，则m 的值为-25.若非零向量a ＝｛x 1，y 1，z 1｝，b ＝｛x 2，y ２，z 2｝,则212121z z y y x x ==是a 与b同向或反向的( )充分不必要条件 B.必要非充分条件充要条件 D.不充分不必要条件26.已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角（ ） A ．0 B ．2πC ．πD ．32π27.已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC 与的夹角为（ ） A. 030 B.045 C.060 D.09028.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x+y +z ，则（x ，y ，z ）为( )A.（41，41，41） B.（43，43，43） C.（31，31，31） D.（32，32，32） 29.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为的余弦值( )A C 1A.23 B. 1010 C. 53D. 5230.已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607D.65731（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,． （1）试用c b a ,,表示出向量； （2） 求BM 的长．空间向量在立体几何中的应用一．直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由与确定直线的方向向量是.平面法向量 如果，那么向量叫做平面的法向量.111(,,)A x y z 222(,,)B x y z AB 212121(,,)AB x x y y z z =---a α⊥a αMPDCBA二．证明平行问题1．线线平行：证明两直线平行可用或.2.线面平行：直线的方向向量为，平面的法向量为，且，若即则.3.面面平行：平面的法向量为，平面的法向量为，若即则.三．证明垂直问题1．线线垂直：证明两直线垂直可用 2．线面垂直：直线的方向向量为，平面的法向量为，且，若即则.3.面面垂直：平面的法向量为，平面的法向量为，若即则.四．求夹角1．线线夹角：设为一面直线所成角，则：；；. 2．线面夹角：如图，已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，过作平面的垂线，连结则为斜线和平面所成的角，记为易得.3． 面面夹角：设、分别是二面角两个半平面、的法向量，当法向量、同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为；当法向量、一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角的大小为.五．距离1．点点距离：设，，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈312123//aa a ab b b b ⇔==l a αn l α⊄a n ⊥0a n ⋅=//a αα1n β2n 12//n n 12n n λ=//αβ1122330a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=++=l a αn l α⊄//a n a n λ=a α⊥α1n β2n 12n n ⊥120n n ⋅=αβ⊥123(,,)a a a a =123(,,)b b b b =(0,90]θ∈︒︒||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>2cos ,||||a ba b a b a ⋅<>==⋅+cos |cos ,|a b θ=<>PA αn αP αPO OA PAO ∠PA αθsin |sin(,)|2OP AP πθ=-<>|cos ,|OP AP =<>|cos ,|n AP =<>|cos ,|n PA =<>||||||n PA n PA ⋅=1n 2n αβ1n 2n θ12,n n π-<>1n 2n θ12,n n <>111(,,)A x y z 222(,,)B x y z ,A B d =α2．点面距离：为平面任一点，已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，过作平面的垂线，连结则为斜线和平面所成的角，记为易得.3．线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.设两条异面直线、的公垂线的方向向量为, 这时分别在、上任取、两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线、的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线、的距离. 4．线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.题型一 证明线线平行 线面平行 面面平行1.如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1，AE 的中点，求证：PQ ∥RS ．||(AB AB AB x =⋅=A αPA αn αP αPO OA PAO ∠PA αθ||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n θ=⋅=⋅<>||||||||PA n PA PA n ⋅=⋅⋅||||PA n n ⋅=a b n a b A B n a b a b ||||||||n AB n d AB n n ⋅=⋅=2．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ， OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． 证明：直线MN ∥平面OCD ；3. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．题型二证明线线垂直线面垂直面面垂直1.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上，且C1E＝3EC．证明：A1C⊥平面BED；2. 如图3­2­16，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.3. 如图3­2­17，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.题型三利用空间向量求角1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N是棱A1B1，B1B的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．2．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．3.如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB1A 1所成角的大小．4.如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，2 BC ，求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值．5．在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2=AD ，DC ＝SD ＝2．点M 在侧棱SC 上，∠ABM ＝60°．(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；(Ⅱ)求二面角S －AM －B 的平面角的余弦值．题型四 空间向量在立体几何中的综合应用1.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，22PA BC AB ===，PB =（Ⅰ）求证：BC PB ⊥；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值；（Ⅲ）若点E 在棱PA 上，且BE ∥平面PCD ，求线段BE 的长．2.如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB //PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF PC ⊥； （Ⅱ）求证：BD //平面PEC ； （Ⅲ）求二面角D PC E --的大小．3.如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥．2CD DA AF FE ====，4AB =（Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ； （Ⅱ）求二面角C BF A --的余弦值；（Ⅲ）线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BBCF ？请说明理由．4.已知三棱锥P -ABC （如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形．在三棱锥P -ABC 中： （Ⅰ）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A -PC -B 的余弦值； （Ⅲ）若点M 在棱PC 上，满足CM CP =λ，1233,⎡⎤λ∈⎢⎥⎣⎦，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BNBP的取值范围.5．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2． （Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；(图1)CAC（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC？若存在，求出11A FA C的值；若不存在，说明理由．图1 图26.（本小题14分）如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC BCDE 平面⊥,22AB AC CD BE ====,//BE CD ，CD CB ⊥,AB AC ⊥.（Ⅰ）求证：ACD 平面⊥平面ABC ；（Ⅱ）若O 为BC 中点，P 为线段CD 上一点，//OP 平面ADE ，求CPCD的值； （Ⅲ）求二面角A DE B --的的大小;7. （本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12A C B CA B ===，1AB ⊥平面ABC ，1AC AC ⊥，D ，E 分别是AC ，11B C 的中点．（Ⅰ）证明：11AC B C ⊥AC 1A 1CB 1BDE（Ⅱ）证明：//DE 平面11AA B B ；（Ⅲ）求DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值.8如图，在三棱柱ABC -111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB的中点，AB=BC ，AC =1AA =2．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ； （Ⅱ）求二面角B-CD -C 1的余弦值； （Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．9．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．10．如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把∆DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF . （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.C空间向量及其运算1.A2. D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值．3. B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．4. B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 5 C ；解析：||||cos b a ⋅=θ1．6. C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0．7.B ；解析：只需将A A C A '++='，运用向量的内即运算即可，||C A ='．8.A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,z y x ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．9.A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==+21（－+）=－21+21+．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.10. D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<,sin ,cos ，从而得><=S ,sin ||||21． 11.C ；12.56；解析：72||||,cos -=>=<b a b a ，得753,sin >=<，可得结果．13.313161++；OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 14.直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=．15. 39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅>=<k k b a ，得39±=k ．16. D 17. B 18. B 19. B 20. C 21. C 22. C 23. C 24. B 25.A. 26. C 27. C 28. A 29. D 30. D 31. 解：（1）∵是PC 的中点，∴ （2）空间向量在立体几何中的应用题型一 证明线线平行 线面平行 面面平行1.解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)． ∵AP ＝2PA 1，∴ M )]([21)(21-+=+=c b a a c b 212121)]([21++-=-+=2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于160cos 12,0,60,00=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴=∠=∠⊥c b c a b a PAD PAB AD AB 由于),(21c b a ++-=BM 由于23)]110(2211[41)](2[41)(412222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=c b c a b a c b a c b a ),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP∴同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，，又R PQ ， ∴PQ ∥RS ．2．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，，O (0，0，2)，M (0，0，1)， 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则即取，得∵∴MN ∥平面OCD ．3. 解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．⋅)34,0,3(P ⋅)32,4,0(S ,)32,2,3(RS PQ =-=∴//∉)0,22,22(),0,22,0(-D P ⋅-)0,42,421(N ⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(,0,0==⋅⋅OD OP n n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y ,2=z ).2,4,0(=n ,0=⋅n取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，则O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)．＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，1，4)，∴∥，，∴MN//EF，AK//OG，∴MN∥平面EFBD，AK∥平面EFBD，∴平面AMN∥平面EFBD．解法二：设平面AMN的法向量是a＝(a1，a2，a3)，平面EFBD的法向量是b＝(b1，b2，b3)．由得取a3＝1，得a＝(2，－2，1)．由得取b3＝1，得b＝(2，－2，1)．∵a∥b，∴平面AMN∥平面EFBD．题型二证明线线垂直线面垂直面面垂直1．以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D－xyz．依题设，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)．MN EF AK OGMN EF=,0,0==⋅⋅ANAM aa⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231aaaa,0,0==⋅⋅bb⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132bbbb),0,2,2(),1,2,0(==).4,0,2(),4,2,2(11=--=DACA(Ⅰ)∵∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ．又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．2.以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，DF →＝(0，2，1)，BD →＝(2，－2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量， 则n ⊥BD →，n ⊥DF →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝2x －2y ＝0，n ·DF →＝2y ＋z ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1，得x ＝1，z ＝－ 2. 则n ＝(1,1，－2)． 因为AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.所以n ＝－ 2 AM →，得n 与AM →共线． 所以AM ⊥平面BDF .3.法一 设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.连接AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.,0,011==⋅⋅A A因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， 所以OE →＝12AS →.所以OE ∥AS .又因为AS ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥平面ABCD . 又因为OE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABCD .法二 设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为BD →＝(－1,1,0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0，令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1,1,0)． 因为AS ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0,0,1)． 因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABC D .题型三 利用空间向量求角1.设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)．设和所成的角为，则∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是2．∴),1,0,2(),2,1,0(==AM CN ,52cos ==θ⋅52543.解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，取A 1B 1的中点D ，则，连接AD ，C 1D ． 则∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，)，，从而 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )，由得取p ＝1，得a ＝(1，0，0)． 设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为4.如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，，C (0，1，0)，P (0，),2,0,0(1a A ⋅-)2,2,23(1a a a C )2,2,0(a aD ),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-=,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC ),2,2,0(),2,2,23(1a aa a a AC =-=23cos 111==∴AD C a 2)2,2,23(1a a a C -⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a aa AC a AA a ,0,01==⋅⋅AA AB a a ⎩⎨⎧==,02,0ar aq ],2π,0[,∈θθ.30,21|,cos |sin 111 ===〉〈=θθa AC )0,1,2(B0，1)，设平面PAB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)， 平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由得取a 1＝1，得 由得取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)．∵二面角A －PB －C 为锐二面角，∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是5．如图建立空间直角坐标系，设A(，0，0)，则B(，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2).(Ⅰ)设， 则 ).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP ,0,0==⋅⋅a a ⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a ).0,2,1(-=a 0,0==⋅⋅b b ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b ∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a ⋅=-33|33|22)0(>=λλMC SM ),12,12,2(),12,12,0(λλλλλ++--=++BM M又故 即解得＝1．∴M 是侧棱SC 的中点．(Ⅱ)由M (0，1，1)，A (，0，0)得AM 的中点又cos等于二面角S －AM －B 的平面角． 即二面角S －AM －B 的平面角的余弦值是－． 题型四 空间向量在立体几何中的综合应用1.（Ⅰ）证明：因为平面⊥平面，且平面平面，因为⊥，且平面 所以⊥平面． 因为平面， 所以⊥．（Ⅱ）解：在△中，因为，，，所以，所以⊥． 所以，建立空间直角坐标系，如图所示． 所以，，，，，，．易知平面的一个法向量为．.60,),0,2,0( >=<-=BM BA BA ,60cos ||||. BM=,)12()12()2(14222λλλ+++-+-=+2⋅)21,21,22(G ),1,1,2(),1,1,0(),21,23,22(-=-=-=AM MS GB ∴,,,0,0AM MS AM GB AM MS AM GB ⊥⊥∴==⋅⋅∴〉MS ,G B 〈 ,36||||),cos(-==MS GB MS GB 36PAB ABCD PAB=ABCD AB BC AB BC ⊂ABCD BC PAB PB ⊂PAB BC PB PAB =2PA =PB =1AB 222=+PA AB PB PB AB B xyz -(1,0,0)A -(0,0,0)B (0,2,0)C (1,3,0)D -P (1,1,0)CD =-(0,2,PC =ABCD =(0,0,1)n设平面的一个法向量为，则， 即，令，则． 设二面角的平面角为，可知为锐角， 则， 即二面角．（Ⅲ）解：因为点在棱，所以，．因为， 所以，． 又因为平面，为平面的一个法向量， 所以，所以． 2．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ．如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向 立空间直角坐标系． ……2分依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ． 因为(2,0,2)AF =，(4,4,4)PC =-，所以80(8)0AF PC ⋅=++-=． ……5分所以AF PC ⊥（Ⅱ）证明：取PC 的中点M ，连接EM ． 因为(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-，(4,4,0)BD =-，所以2BD EM =，所以//BD EM ．又因为EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，PCD =(,,)x y z m 00CD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 2x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩=2z =m P CD A --ααcos cos ,5α⋅=<>===⋅n m n m n m P CD A --E PA AE AP λ=[0,1]λ∈=AP （=)AE λ（()BE BA AE λ=+=-//BE PCD m PCD 0BE ⋅=m 1)20λλ-+=1=3λ所以//BD 平面PEC ． （Ⅲ）解：因为AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =，所以AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =为平面PCD 的一个法向量．……10分 设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =， 因为(4,4,4)PC =-，(0,4,2)PE =-，所以0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =-，得1x =-，2z =-，故(1,1,2)n =---．所以cos ,AF n <>==，所以二面角D PC E --的大小为5π6． 3．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =， 所以 四边形CDFE 为平行四边形， 所以 //DF CE ． 因为 DF ⊄平面BCE ， 所以 //DF 平面BCE ．（Ⅱ）在平面ABEF 内，过A 作Az AB ⊥．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =， 又 Az ⊂平面ABEF ，Az AB ⊥， 所以 Az ⊥平面ABCD ，所以 AD AB ⊥，AD Az ⊥，Az AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -． 由题意得，(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(2,2,0)C，E，F ． 所以 (2,2,0)BC −−→=-，(0,BF −−→=-．设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,BC BF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即220,30.x y y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则1x =，z ==n ． 平面ABF 的一个法向量为 (1,0,0)=v ， 则cos ,||||⋅〈〉==n v n v n v ． 所以 二面角C BF A --． （Ⅲ）线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： 解法一：设平面ACE 的法向量为111(,,)x y z =m ，则 0,0,AC AE −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩m m即1111220,30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令11y =，则11x =-，1z =(1,1,=-m ． 因为 0⋅≠m n ，所以 平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． 解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： 假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ， 设 CG CE λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．设 222(,,)G x y z，则有222(2,2,)(2,)x y z λλ--=-， 所以，22y λ=+，2z =，从而(22,2,)G λλ-+， 所以(22,2)AG λλ−−→=-+． 因为 AG ⊥平面BCF ，所以 //AG n ． 所以有22211λλ-+=，因为 上述方程组无解，所以假设不成立．所以 线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ．4..（本题满分14分）OPCA设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥， ·················································································· 1分 因为 在ABC ∆中，BA BC =，O 为AC 的中点所以 BO AC ⊥， ·················································································· 2分 因为 POBO O =，PO ⊂平面PAC ，BO ⊂平面ABC ，所以∠POB 为二面角P -AC -B 的平面角。